5.4 Análisis de Estabilidad con Routh Hurwitz El algoritmo de Routh

5.4 Análisis de Estabilidad con Routh Hurwitz El algoritmo de Routh

5.4
Análisis de Estabilidad con Routh Hurwitz
El algoritmo de Routh Hurwitz permite determinar si hay raíces
en el semiplano derecho.
Consideremos el polinomio p(s) de grado n, definido como:
n
p(s) = ∑ a s i
i
i=0
El algoritmo de Routh Hurwitz está basado en el siguiente arreglo
numérico:
sn
sn-1
sn-2
.
.
s2
s1
s0
an
an-1
b1
an-2
an-3
b2
an-4
an-5
b3
d1
e1
f1
d2
0
0
0
0
donde:
a
a
- a a
n n-3
−
n
1
n
2
b =
1
a
n -1
b
f
a
a
- a a
n n-5
= n−1 n-4
2
a
n -1
e d - d 0
1
= 1 2
1
e
1
Entonces el número de raíces con parte real más grande que cero
es igual al número de cambios de signo en la primera columna del
arreglo.
El algoritmo de Routh Hurwitz se puede aplicar al polinomio
característico del sistema realimentado nominal. Por ejemplo, sea:
G(s) =
1
(s + 1) 2
=
B o (s )
A o (s )
C(s) =
y
K P (s )
=
s L( s )
Se desea saber que valores de K hace que el sistema realimentado
nominal sea internamente estable:
C(s) = A (s)L(s) + B (s)P(s)
o
o
2
= (s + 1) s + 1K
2
= (s + 2s + 1)s + K
3
2
= s + 2s + s + K
Construyendo el arreglo tenemos:
s3
s2
1
1
K
s1
2
2-K
2
s0
K
0
Para que no hayan raíces en el SPD se tiene que cumplir que
2−K
> 0 y K > 0 . Combinando estos dos requerimientos tenemos
2
que: 0 < K < 2.
5.5 Estabilidad usando Root Locus
Esta herramienta se puede usar para examinar la ubicación de las
raíces del polinomio característico cuando un parámetro está
cambiando.
Supongamos que el modelo nominal de una planta es Go(s) y que
el controlador tiene la función de transferencia C(s) = K Ca(s) es
conocido y K es una constante positiva desconocida.
Entonces los polos del sistema realimentado son las raíces de:
1 + KCa (s)G (s) = 0
0
El conjunto de todos los puntos en el plano complejo que
satisfacen esta ecuación para los valores positivos de K es
conocido como el “Root Locus”
Hoy en día, el root locus de algún problema particular se puede
obtener fácilmente usando las herramientas que trae MATLAB
(comando rlocus en rltool).