La Parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del

La Parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del

La Parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Características geométricas.
a) Vértice. Es el punto donde la parábola corta a su eje focal.
b) Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se
encuentra del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz.
c) Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos
puntos de la parábola.
d) La directriz es una línea paralela al lado recto, a una distancia al vértice igual a la que
hay del foco al vértice.
e) Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz.
f) Parámetro p. Distancia del foco al vértice
Parábola con vértice en el origen.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas,
tiene una ecuación de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 2 donde el parámetro a especifica la escala de la
parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo
antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la
parábola abre “hacia arriba” y cuando es negativo abre “hacia abajo”.
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría
analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en
los trabajos de Apolonio.
Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0, 𝑝). La directriz es por
tanto, la recta vertical que pasa por (0, −𝑝). A la distancia entre el vértice y el foco se le
1
llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a 𝑝. Con esta
configuración se tiene:
En resumen, si la parábola abre hacia el foco por lo que si el foco
tiene coordenadas negativas; o bien, abre abajo o a la izquierda, sin embargo si el foco es
positivo puede abrir hacia arriba o hacia la derecha.
Ejemplo. Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen
y contiene al punto 𝐵(3,4), además su eje focal es paralelo al eje 𝑋.
Solución,
𝑦 2 = 4𝑝𝑥 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐵
16 = 4𝑝(3) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑐𝑜
𝑝 = 16⁄12 = 4⁄3
16
𝑦2 =
𝑥
3
4
4
Foco: 𝐹(3 , 0) Directriz: 𝑥 = − 3
Parábola con traslado del eje
Una Parábola con Vértice 𝑉(ℎ, 𝑘) fuera del
origen, eje de simetría paralelo al de coordenadas
𝑦, con un foco a una distancia 𝑝 del vértice, como
la siguiente gráfica,
Elevando al cuadrado ambos miembros:
(𝑥 − ℎ)2 + [𝑦 − (𝑘 + 𝑝)]2 = [𝑦 + (𝑝 −
𝑘)]2
Al factorizar tenemos,
2
(𝑥 − ℎ)2 + 𝑦 2 − 2(𝑘 + 𝑝)𝑦 + (𝑘 + 𝑝)2 = 𝑦 2 + 2(𝑝 − 𝑘)𝑦 + (𝑝 − 𝑘)2
Así,
(𝑥 − ℎ)2 − 2𝑘𝑦 − 2𝑝𝑦 + 𝑘 2 + 2𝑘𝑝 + 𝑝2 = 2𝑝𝑦 − 2𝑘𝑦 + 𝑝2 − 2𝑘𝑝 + 𝑥 2
(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝𝑦 − 4𝑘𝑝
(𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)
Esta última es la ecuación general de una parábola de vértice 𝑉(ℎ, 𝑘), que abre hacia arriba,
con un foco a una distancia 𝑝 del vértice
Se podría demostrar que si la pendiente es negativa, la gráfica abre hacia abajo y la ecuación
general sería,
(𝒙 − 𝒉)𝟐 = −𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)
De manera similar podríamos encontrar las ecuaciones de la parábola que abren a la
derecha o a la izquierda del eje que tienen la siguiente ecuación
(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) 𝑎𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎
(𝑦 − 𝑘)2 = −4𝑝(𝑥 − ℎ) 𝑎𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎
Regresamos a la ecuación (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘), desarrollamos el binomio, y al simplificar
nos queda,
𝑥 2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 = 4𝑝𝑦 − 4𝑘𝑝 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑥 2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 − 4𝑝𝑦 + 4𝑘𝑝 = 0
Finalmente si sustituimos por 𝐷 = −2ℎ, 𝐸 = −4𝑝 y 𝐹 = 4𝑘𝑝 + ℎ2, obtenemos;
𝑥 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
De acuerdo a la forma de la parábola tenemos en resumen,
Forma de la
parábola
Ecuación
Foco
Vértice
Directriz
Abre hacia arriba
(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
𝐹 (ℎ, 𝑘 + 𝑝)
𝑉 (ℎ, 𝑘)
𝑦 = 𝑝−𝑘
Abre hacia abajo
(𝑥 − ℎ)2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑘)
𝐹 (ℎ, 𝑘 − 𝑝)
𝑉 (ℎ, 𝑘)
𝑦 = 𝑝+𝑘
Abre a la derecha
(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)
𝐹 (ℎ + 𝑝, 𝑘)
𝑉 (ℎ, 𝑘)
𝑥 =ℎ−𝑝
Abre a la izquierda
(𝑦 − 𝑘)2 = −4𝑝(𝑥 − ℎ)
𝐹 (ℎ − 𝑝, 𝑘)
𝑉 (ℎ, 𝑘)
𝑥 =ℎ+𝑝
Ecuación de la circunferencia
Sea (𝑎, 𝑏) un punto en el plano, se llama circunferencia de radio 𝑟 con centro en (𝑎, 𝑏) al
lugar geométrico de los puntos (𝑥, 𝑦) del plano cuya distancia al centro es 𝑟.
3
Su ecuación es de la forma
𝑟 = √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2
O bien,
𝑟 2 = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2
Si desarrollamos los binomios tendremos
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑟 2 = 0
y hacemos las siguientes sustituciones
𝐴 = −2𝑎;
𝐵 = −2𝑏; 𝑦 𝐶 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 𝑟 2
Se puede reescribir la ecuación como,
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝐴
𝐴 2 𝐵 2
𝐵
Donde el centro es: 𝐶(− 2 , − 2 ) y el radio cumple con la relación, 𝑟 2 = (𝐵) ( 2 ) − 𝐶 y
Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda
reducida a:
𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓 𝟐
Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 4
→ 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦 2 − 8𝑦 + 16 = 4
𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 21 = 0
Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.
−2 = −2𝑎 → 𝑎 = 1
𝐶(1, −2 )
4 = −2𝑏 → 𝑏 = −2
−4 = 1 + 4 − 𝑟 2 → 𝑟 = 3
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 𝐴(2,0), 𝐵(2,3), 𝐶(1, 3).
Si sustituimos x e y en la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0por las coordenadas de los
puntos se obtiene el sistema:
4 + 0 + 2𝐴 + 0 + 𝐶 = 0
𝐶 = −4 − 2𝐴
𝐶=2
4 + 9 + 2𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 = 0 →
3𝐵 = −9
𝐵 = −3
1 + 9 + 𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 = 0
10 + 𝐴 − 9 − 4 − 2𝐴 = 0 𝐴 = −3
La ecuación de la circunferencia es entonces 𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0
De esta manera, para que una expresión del tipo: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 sea una
circunferencia debe cumplir que:
4
1. Los coeficientes de 𝑥 2 e 𝑦 2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo
coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.
2. No tenga término en 𝑥𝑦.
𝐴 2
𝐵 2
3. ( 2 ) + ( 2 ) − 𝐶 > 0
Ejemplo, Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia,
y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.
1. Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:
𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 − 2𝑦 −
2. Cumple, no tiene termino en 𝑥𝑦
−1 2
−2 2
11
=0
4
11
3. ( 2 ) + ( 2 ) − (− 3 ) > 0
Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.
El centro y el foco son,
−1 = 2𝑎 → 𝑎 = 1⁄2
1
𝐶( ,1)
2
−2 = −2𝑏 → 𝑏 = 1
11 1
−
= + 1 + 𝑟2 → 𝑟 = 2
2
4
Ecuación de la elipse
Se denomina elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano en los que la suma de las
distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante. Tiene la forma de un círculo
achatado con dos ejes perpendiculares achatados
Las
elipses
geométricamente
se
caracterizan porque; la suma de las
distancias de cada punto 𝑃(𝑥, 𝑦) hasta dos
puntos denominados focos (𝐹 𝑦 𝐹′) es
siempre la misma.
Características geométricas
Si observamos la figura anterior podemos
distinguir los siguientes elementos dentro
de una elipse.
5






Focos. Puntos (𝐹 𝑦 𝐹′) cuya suma de sus distancias a cada uno de los puntos 𝑃(𝑥, 𝑦)
de la elipse es siempre la misma.
Distancia Focal. Se trata de la distancia entre los dos focos, o lo que es lo mismo la
longitud del segmento 𝐹𝐹′.
Eje focal. Recta que pasa por los dos focos 𝐹 y 𝐹′ de la elipse.
Vértices. Puntos de corte de la elipse con el eje focal 𝑉 y 𝑉’.
Eje mayor. Segmento que une 𝑉 y V' y cuya longitud es 2a. Se denomina semieje
mayor a los segmentos OV o OV' cuya longitud es a.
Eje menor. Segmento que une B y B' y cuya longitud es 2b. Se denomina semieje
menor a los segmentos OB o OB' cuya longitud es b.
Formas de la Elipse
La ecuación de la elipse se puede representar de cuatro formas distintas dependiendo de:


Si se encuentra centrada en el origen del sistema de coordenadas, también conocida
como ecuación reducida, o si se haya centrada en otro punto distinto.
Y si su semieje mayor está en las abscisas o en las ordenadas.
A continuación vamos a determinar cada una de ellas.
Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor en las abscisas
Con el fin de determinar la ecuación de la elipse, es posible considerar un sistema de
referencia en el que el eje de abscisas sea el eje focal y el eje de ordenadas sea el eje
secundario. A la ecuación de este tipo de elipses centradas en el origen de coordenadas se
les denomina ecuación reducida de la elipse.
La figura muestra una elipse centrada en el
origen con semieje mayor horizontal en la
que se representa el valor de sus puntos
principales expresados en función de la
semidistancia focal ´c’ y la longitud de los
semiejes mayor y menor (a y b). Comprueba
como en este tipo de elipses el eje focal se
sitúa sobre el eje de las 𝑥´𝑠 y el secundario
sobre el eje de la 𝑦´𝑠.
Así, partimos de la definición de elipse, la longitud de las distancias a un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) es
igual, 2𝑎.
√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 = 2𝑎
(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 = (2𝑎 − √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 )
2
6
(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 + (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2
𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2
4𝑐𝑥 − 4𝑎2 = −4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 → −4𝑐𝑥 + 4𝑎2 = 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2
𝑎2 − 𝑐𝑥
= √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2
𝑎
→
𝑐 2
(𝑎 − 𝑥) = (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2
𝑎
2
𝑎2 − 2𝑎(𝑐⁄𝑎)𝑥 + 𝑐 ⁄𝑎2 𝑥 2 = 𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2
2
𝑎 − 𝑐 = 𝑥 − 𝑐 ⁄𝑎2 𝑥 2 + 𝑦 2
2
2
2
𝑥 2 (𝑎2 − 𝑐 2 )
𝑎 −𝑐 =
+ 𝑦2
𝑎2
2
2
1=
𝑥2
𝑦2
+
𝑎2 𝑎2 − 𝑐 2
𝑎2 𝑥 2 − 𝑐 2 𝑥 2
→ 𝑎 −𝑐 =
+ 𝑦2
𝑎2
2
→
2
𝑥 2 (𝑎2 − 𝑐 2 )
𝑦2
1= 2 2
+
𝑎 (𝑎 − 𝑐 2 ) 𝑎2 − 𝑐 2
𝑠𝑖 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2
(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 La ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor en
las abscisas tiene la forma:
𝑥2 𝑦2
+
=1
𝑎2 𝑏 2
Donde:
 a es la longitud de su semieje mayor.
 b es la longitud de su semieje menor.
Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor en las ordenadas
La figura muestra una elipse centrada en el origen con
semieje mayor vertical en la que se representa el valor de
sus puntos principales expresados en función de la
semidistancia focal (c) y la longitud de los semiejes mayor
y menor (a y b). Observa que en este caso el eje focal se
sitúa sobre el eje OY y el secundario sobre el eje OX
La ecuación reducida de una elipse cuyo semieje mayor se
encuentra situado de forma vertical tiene la forma:
𝑥2 𝑦2
+
=1
𝑏 2 𝑎2
Donde:


a es la longitud de su semieje mayor.
b es la longitud de su semieje menor.
7
Ecuación de la elipse no centrada en el origen con semieje mayor horizontal
La figura muestra una elipse no centrada en el origen con
el valor de sus puntos principales expresados en función
de la semidistancia focal (c) y la longitud de los semiejes
mayor y menor (a y b).
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+
=1
𝑎2
𝑏2
Donde:



a es la longitud de su semieje mayor.
b es la longitud de su semieje menor.
(ℎ, 𝑘) son las coordenadas del centro de la elipse.
Los vértices son 𝑉(ℎ − 𝑎, 𝑘) y 𝑉(ℎ + 𝑎, 𝑘) los focos 𝐹(ℎ − 𝑐, 𝑘) y 𝐹(ℎ + 𝑐, 𝑘)
Cuando la elipse no centrada en el origen con eje mayor paralelo a las ordenadas, tiene la forma,
y su ecuación es,
(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2
+
=1
𝑏2
𝑎2
Donde:



a es la longitud de su semieje mayor.
b es la longitud de su semieje menor.
(𝑥0 , 𝑦0 ) son las coordenadas del centro de la elipse.
Los vértices son 𝑉(ℎ, 𝑘 + 𝑎) y 𝑉(ℎ, 𝑘 − 𝑎) los focos 𝐹(ℎ, 𝑘 − 𝑐) y 𝐹(ℎ, 𝑘 + 𝑐)
Excentricidad de una elipse
Existe una relación entre la semidistancia focal y el semieje mayor de cualquier elipse que
nos permite determinar como de "achatada" es. Dicha relación recibe el nombre de
excentricidad de una elipse.
La excentricidad de una elipse se define como el cociente entre la distancia focal ′2𝑐′ y la
longitud del eje mayor de dicha elipse ′2𝑎′.
8
𝑒=
2𝑐 𝑐
=
2𝑎 𝑎
En cualquier elipse la excentricidad es un valor que oscila entre 0 y 1; 0 ≤ 𝑒 ≤ 1. De hecho,
si 𝑒 = 0, la elipse en realidad, se trataría de una circunferencia. A medida que tomamos
valores de e más cercanos a 1 mayor será el grado de "achatamiento" o "aplastamiento"
que experimentará la elipse, hasta el punto de que si 𝑒 = 1 la elipse se trata en realidad de
una recta.
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