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Apellido 1
Apellido 2
Nombre
DNI
Calificación
1. Considere la asociación de cuadripolos de la siguiente figura:
RG
a
Cuadripolo A
⎛ za
[ Z a ] = ⎜ 11
⎜ za
⎝ 21
+
c
a ⎞
z12
⎟
a ⎟
z22
⎠
R
vG(t)
RL
1:1
Cuadripolo B
⎛ zb
[ Z b ] = ⎜ 11
⎜ zb
⎝ 21
b
b ⎞
z12
⎟
b ⎟
z22
⎠
d
Se pide:
a) Calcular la matriz de parámetros Z del cuadripolo visto entre las puertas a-b y c-d en función de los
parámetros Z de los cuadripolos A y B y de R. (1 punto)
b) Calcular la impedancia de entrada vista desde las bornas a-b en función de los parámetros Z
calculados en a) y RL. (0.5 puntos)
⎛ 1
⎞
⎛ jω + 0.5 1⎞
+ 0 .5 1 ⎟
⎜
⎟⎟ y [ Z b ] = ⎜ jω
⎟⎟ , calcular
1
1⎠
⎜
⎝
1
2⎠
⎝
c) Si vG(t)=cos(t), RG=1, RL=1, R=1 [ Z a ] = ⎜⎜
la potencia entregada a la carga, la potencia entregada al cuadripolo y las pérdidas de transmisión en
dB. (1 punto)
(2,5 puntos)
Solución.a) El cuadripolo visto entre las puertas a-b y c-d es una asociación serie-serie con la particularidad de
que hay una resistencia R entre las puertas 1 de ambos cuadripolos.
Por otro lado, la existencia de un transformado ideal 1:1 garantiza que la corriente circulatoria sea nula.
Para hallar la matriz Z de la asociación, se pueden plantear dos métodos:
a1) Circuitos equivalentes de ambos cuadripolos y comprobar que la resistencia R se suma al z11 de uno
de los dos cuadripolos.
a2) Análisis circuital:
Tiempo total: 3 horas
Análisis y Diseño de Circuitos.
Examen 8 / 6 / 2010
1/8
Apellido 1
Apellido 2
RG
I1
Nombre
I1'
a
V1'
+
DNI
I 2'
Cuadripolo A
+
−
⎛ za
[ Z a ] = ⎜ 11
⎜ za
⎝ 21
I1'
+
a ⎞
z12
⎟
a ⎟
z22
⎠
−
Calificación
c
V2'
I2
+
I 2'
+
vG(t)
R
V1
V2
I1''
1:1
I1''
+
⎛ zb
[ Z b ] = ⎜ 11
⎜ zb
−
⎝ 21
−
I1
b
I1''
I 2''
Cuadripolo B
V1''
b ⎞
z12
⎟
b ⎟
z22 ⎠
I1''
+
V2''
−
−
I 2''
⎫
Cuadripolo ab - cd :⎪
V1 = z11 I1 + z12 I 2 ⎪
⎪
V2 = z 21 I1 + z 22 I 2 ⎪
⎪
Puerta ab :
⎪
⎛zA + zB + R
⎪
V1 = V1' + I1' R + V1' ' ⎬ → Z = ⎜ 11 A 11 B
⎜ z +z
⎪
21
⎝ 21
'
''
I 1 = I1 = I1
⎪
⎪
Puerta cd :
⎪
'
''
⎪
V 2 = V 2 + V2
⎪
⎪⎭
I 2 = I 2' = I 2' '
RL
d
I2
A
B ⎞
z12
+ z12
⎟
A
B ⎟
z 22
+ z 22
⎠
V
b) La impedancia de entrada del cuadripolo ab-cd viene dada por: Z in = 1
I1
Planteando el sistema de ecuaciones del circuito, se tiene:
) (
)(
V1 = z11 I1 + z12 I 2 ⎫
B
V
z z
z A + z B z A + z 21
⎪
A
B
+ R + z11
− 12 12 21
V2 = z 21 I1 + z 22 I 2 ⎬ → Z in = 1 = z11 − 12 21 = z11
A
B
I1
z 22 + R L
+ z 22
+ RL
z 22
⎪
V2 = − I 2 R L
⎭
(
c) Con los valores dados, para el análisis en r.p.s. con ω=1, se tiene:
Tiempo total: 3 horas
Análisis y Diseño de Circuitos.
Examen 8 / 6 / 2010
2/8
)
Apellido 1
Apellido 2
Nombre
DNI
Calificación
⎛ j + 0.5 1⎞ ⎫
⎟ ⎪
[ Z a ] = ⎜⎜
1⎟⎠ ⎪
⎝ 1
⎛ 2 2⎞
⎛ − j + 0.5 1 ⎞⎪⎪
⎟⎟ y Z in = 1 .
⎟⎟⎬ → [ Z ] = ⎜⎜
[ Z b ] = ⎜⎜
1
2 ⎠⎪
⎝ 2 3⎠
⎝
⎪
R =1
⎪
⎪⎭
RL = 1
Al haber adaptación de impedancias, la potencia entregada al cuadripolo es:
RG=1
+
VG=1
2
1 VG
1
P1 =
= = 0.125W
8 Z in
8
Zin=1
P1
Para calcular la potencia entregada a la carga:
RG=1
+
VG=1
I1
+
V1
−
I2
+
V2
⎛ 2 2⎞
⎟⎟
[Z ] = ⎜⎜
⎝ 2 3⎠
RL=1
−
P2
V1 = z11I1 + z12 I 2 = 2 I1 + 2 I 2 ⎫
V2 = z21I1 + z22 I 2 = 2 I1 + 3I 2 ⎪⎪
1
1
1
1 1
1
*
*
= W
⎬ → V2 = → P2 = Re V2 I 2 = Re V2 V2 / RL =
V2 = − I 2 RL = − I 2
4
2
2
2 16 32
⎪
⎪
V1 = VG − I1RG = 1 − I1
⎭
{ }
{
}
Las pérdidas de transmisión se calculan como la relación entre la potencia entregada al cuadripolo P1 y
la potencia entregada a la carga P2:
⎛P ⎞
⎛ 1/ 8 ⎞
Pérdidas de transmisión = 10 log10 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = 10 log10 ⎜
⎟ = 6dB
⎝ 1 / 32 ⎠
⎝ P2 ⎠
Tiempo total: 3 horas
Análisis y Diseño de Circuitos.
Examen 8 / 6 / 2010
3/8
2. La figura representa un circuito cuya excitación es e(t)=u(-t-T), siendo u(t) el escalón unidad. En
ella, v(t) es la tensión en bornas de la resistencia R.
Por otra parte, el interruptor conmuta de 1 a 2 en el instante t=0. R, L y C son todos valores
normalizados iguales a 1. T es un valor mayor que cero.
a.
Calcule las condiciones iniciales del circuito para el instante t= –T.
b.
Usando un cambio de variable t’=t+T, calcule la tensión en bornas del condensador y la
corriente que atraviesa la bobina para el intervalo de tiempo t entre –T y 0.
c.
Calcule las condiciones iniciales del circuito para el instante t=0. Razone su sentido físico.
d.
Determinar V(p), transformada de Laplace de v(t), en función de T.
e.
Determinar v(t), a qué valor converge cuando el tiempo tiende a infinito, y explique por qué
converge a este valor.
(2,5 puntos)
a. Hasta t<-T estamos en una situación de estacionario en continua. La bobina se
comporta como un cortocircuito y el condensador en un circuito abierto. Por lo tanto:
vc (−T ) = 1
iL (−T ) = 0
b. En el intervalo -T< t < 0, tenemos un circuito con condensador y bobina en serie
con las anteriores condiciones iniciales. Usando el cambio de variable descrito, las
condiciones iniciales se trasladan a t'=0.
Sobre este circuito, analizando, tenemos:
1
IL = − 2
=> iL (t ') = − sin(t ') * u(t ')
p +1
Vc = −
1
p
= −1 / p + 2
=> vc (t ') = ( −1 + cos(t ')) * u(t ')
2
p p +1
p +1
(
)
Tiempo total: 3 horas
(
)
Análisis y Diseño de Circuitos. Examen 22 / 6 / 2010 1/8
Hay que tener en cuenta que el generador de continua del circuito es una componente
continua que supone en realidad una carga en el condensador que cancela el valor de
-1 anterior.
Por tanto, hasta t=0:
iL (t) = − sin(t + T ) * u(t + T )
vC (t) = cos(t + T ) * u(t + T )
c. En t=0, sustituyendo el resultado anterior, tenemos:
iL (0) = − sin(T )
vC (0) = cos(T )
El circuito, entre -T y 0 oscila, transfiriendo energía a la pulsación de resonancia (1)
entre condensador y bobina. Dependiendo del intervalo T la distribución de dicha
energía entre ambos elementos es distinta.
d. El circuito ahora compone de la asociación serie de bobina, condensador y
resistencia, junto con dos generadores asociados a ambas condiciones iniciales.
Analizando, queda:
I(1+1/p+p)+(cosT/p+senT)=0
VR = −R * I = −I
VR =
cosT + p * senT
( p 2 + p + 1)
e. Haciendo la trasformada inversa mediante residuos queda:
t
⎛
⎛ 3 ⎞ ⎛ 2
⎛ 3 ⎞ ⎛ cosT 1 ⎞ ⎞ ⎞
−
vR (t) = e 2 sinT * ⎜ cos ⎜
t⎟ + ⎜
* sin ⎜
t⎟ * ⎜
− ⎟ ⎟ ⎟ u(t)
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3
⎝ 2 ⎠ ⎝ sinT 2 ⎠ ⎠ ⎠
⎝
se puede aplicar el teorema del valor final, quedando
lim vR (t) = lim pVR ( p) = 0
t →∞
p→0
De cualquiera de las dos maneras, se ve que la señal tiende a cero, por que la energía
inicialmente almacenada en el conjunto bobina mas condensador se va disipando en la
resistencia.
Tiempo total: 3 horas
Análisis y Diseño de Circuitos. Examen 22 / 6 / 2010 2/8