ESTE - Efren ricardo baquero

Universidad Distrital Francisco José de Caldas
algebra Lineal II − Prof: Efrén Baquero
Teorema 1. Si los vectores v1 , v2 , · · · , vk son vectores propios asociados a valores propios diferentes
λ1 , λ2 , · · · , λk de una matriz A entonces el conjunto formado por ellos es linealmente independiente.
Demostración. Supongamos que el conjunto formado por los vectores vi es linealmente dependiente.
Además el vector cero no es vector propio, supongamos que el primero vi que es combinación de los
anteriores y que el conunto
B = {v1 , v2 , · · · , vi−1 } es L.I.
es decir
vi = a1 v1 + a2 v2 + · · · + ai−1 vi−1
(1)
multiplicando por A
Avi
= A (a1 v1 + a2 v2 + · · · + ai−1 vi−1 )
= a1 Av1 + a2 Av2 + · · · + ai−1 Avi−1
= a1 λ1 v1 + a2 λ2 v2 + · · · + ai−1 λi−1 vi−1
(2)
multiplicando (1) por λi y restando (2) se sigue que
0 = a1 (λ1 − λi ) v1 + a2 (λ2 − λi ) v2 + · · · + ai−1 (λi−1 − λi ) vi−1
como los λi son distintos y los vectores de B son L.I. se concluye que ak = 0 para k = 1, 2, ..., i − 1.
por tanto vi = 0, lo cual es contradictorio; es decir, El conjunto debe ser linealmente independiente.
1.
Diagonalización 2
1. La matriz

−1 1
 0 −3
A=
 0 −2
0
0

−3 7
4 4 
,
3 2 
0 1
tiene polinomio caracteristico pA (λ) = λ4 − 2λ2 + 1 = (λ − 1)2 (λ + 1)2 . Los valores
propios son λ = 1, −1 cada uno con multiplicidad algebráica 2. Los vectores
propios son: para λ = 1



4
−1
 1 
 1


v1 = 
 0  , v2 =  1
1
0




es decir la multiplicidad geometrica es 2.
para λ = −1


1
 0 

v3 = 
 0 
0
es decir la multiplicidad geometrica es 1.
Como solo tenemos 3 vectores propios y A es de orden 4, A no es diagonalizable.
2. La matriz



A=


0 −6
0 −5
−6 0
−1 −6
0 −1
0
0
−5
0
0
1
0
6
2
1
0
0
0
0
1






tiene Polinomio caracteristico
2
3
pA (λ) = λ5 + 7λ4 − 2λ3 − 46λ2 + 65λ − 25 = (λ + 5) (λ − 1)
λ = −5, multiplicidad algebraica 2
λ = 1, multiplicidad algebraica 3
Ahora hacer (A − λI) v = 0 para hallar v,
para λ = −5



0 −6 0 1 0
 0 −5 0 0 0 







−6
0
−5
6
0
(A − λI) = 
 − (−5) 
 −1 −6 0 2 0 

0 −1 0 1 1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1


 
 
=
 
 
5 −6 0
0
0 0
−6 0 0
−1 −6 0
0 −1 0
1
0
6
7
1
0
0
0
0
6






El
 sistema,


 

5 −6 0 1 0
x
0
5x − 6y + w = 0 


 0

 

0 0 0 0 
0=0 


 y   0 
 −6 0 0 6 0   z  =  0  →
−6x
+
6w
=
0


 


 −1 −6 0 7 0   w   0 
−x − 6y + 7w = 0 



0 −1 0 1 6
s
0
−y + w + 6s = 0
tiene

solucion




 


y
1
0
1
0 




 1 
 0 

 


 y 







 1   0 
 z  = y  0  + z  1 , con lo cual,  0  ,  1 







 




 y 
 1 
 0 
 1   0 






0
0
0
0
0
son vectores propios asociados a λ = −5,
es decir este tiene multiplicaidad geometrica 2
De la misma forma para
λ=1



A − λI = 


El






0 −6
0 −5
−6 0
−1 −6
0 −1
sistema
−1
0
−6
−1
0
−6
−6
0
−6
−1
0
0
−6
0
0
1
0
6
1
1
0
0
0
0
0


1 0
1
 0
0 0 



6 0 
 − 1 0
 0
2 0 
1 1
0
0
0
−5
0
0






x
y
z
w
s


 
 
=
 
 
0
0
0
0
0



,


0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1


 
 
=
 
 
−x − 6y + w
−6y
−6x − 6z + 6w
−x − 6y + w
−y + w
=0
=0
=0
=0
=0











−1 −6
0 −6
−6 0
−1 −6
0 −1
0
0
−6
0
0
1
0
6
1
1
0
0
0
0
0



tiene solucion 








0
0
0
0
s






es decir λ = 1, tiene multiplicidad geométrica 1.
Podemos concluir que A no es diagonalizable, pues no hay 5 vectores propios L.I. (de
hecho solo hay 3) para formar la matriz P de modo que P sea invertible.
3. La matriz

10
 8
A=
 22
6
3
8
11
3

0
0 

0 
4
−3
−4
−7
−3
tiene polinomio caracteristico
3
pA (λ) = λ4 − 15λ3 + 84λ2 − 208λ + 192 = (λ − 3) (λ − 4)
los valores propios son
λ = 3, de multiplicidad algebraica 1
λ = 4, de multiplicidad algebraica 3
ahora,
 losvectores propios son
1

v1 = 

4
3
11
3



1
1
 −2
v2 = 
 0
0

con lo
asociado a λ = 3,





0
0





 , v3 =  1  , v4 =  0  , asociados a λ = 4.

 1 
 0 
0
1
cual λ = 3, de multiplicidad geometrica 1
de multiplicidad geometrica 3
Conesto se puede conluir que A es diagonalizable, de hecho
λ = 4,
1


P =


4
3
11
3
1

1 0 0
−6

−2 1 0 

 , P −1 =  7
 22
0 1 0 

6
0 0 1
−3
3
11
3
3
−3
−10
−3

0
0 
,
0 
1
luego,


−6 −3

7
3
P −1 AP = 
 22 11
6
3
3
−3
−10
−3

0
10
 8
0 

0   22
1
6
3
8
11
3
−3
−4
−7
−3

0


0 


0 

4
1
4
3
11
3
1
1
0
0



−2 1 0 
 
=

0 1 0 

0 0 1
3
0
0
0
0
4
0
0
0
0
4
0

0
0 

0 
4
Ejercicio 1.
1. Mostrar que A es diagonalizable si y solo para todo valor propios λ de A su multiplicidad geometrica es igual a su multiplicidad algebráica.
2. Mostrar que para todo valor propios λ de A su multiplicidad geometrica mg(λ) es menor o igual a
su multiplicidad algebráica ma(λ).
3. Las matrices

21 −11
 22 −12
22 −11

7
 0
0
1
7
0
 
4 8
−12 6
−15 12  ,  0 20
0 24
−24 21

 

4 0 0 0
0
 0 6 0 0  
 
0 ,
 0 0 6 0 ,
7
0 0 0 6
 
0
15
0  ,  12
−1
12
 
0
7
1 , 0
7
0
1
7
0
son diagonalizables ? es caso afirmativo, Diagonalizarlas.
 
−8
50
−16  ,  21
−126
−20
 
4 1 0 0

0 6 0 0 
,
0 0 6 1  
0 0 0 6
−14
1
42
4
0
0
0
1
6
0
0

14
7 
−34

0 0
1 0 

6 1 
0 6