Tercer examen de ev. cont – Modelo 1

UniversidadeVigo - EET
Algebra Lineal (1o Teleco)
Curso 2013/14
Tercer examen de ev. cont – Modelo 1
1.
(a) Escribe una matriz cuadrada singular 5 × 5 tal que dos de sus valores propios no nulos
tengan multiplicidad geométrica 2.
(b) Sabiendo que A es una matriz que tiene las propiedades del apartado anterior, contesta
razonadamente: ¿tenemos suficiente información para saber si A es diagonalizable?.
(c) En caso afirmativo di si A es diagonalizable o no, razonando tu respuesta.
(d) Halla el polinomio caracterı́stico de la matriz que has escrito en el apartado (a).
Pistas:
(a) Basta escribir una matriz triangular 5 × 5 que tenga en la diagonal dos pares de elementos iguales y un cero
(para que sea singular) y tal que al eliminar la fila y la columna de ese cero resulte una matriz diagonal.
(b) Sı́ porque la matriz tendrá dos autovalores con multiplicidad geométrica 2 cada uno y un tercer autovalor
igual a cero con multiplicidad geométrica igual a 1, con lo que la suma de las multiplicidades geométricas
será conocida (igual a 5).
(c) Sı́, será diagonalizable porque la suma de las multiplicidades geométricas de sus autovalores será igual al
orden de la matriz.
(d) Será de la forma pA (λ) = −λ(a − λ)2 (b − λ)2 (¡observa el signo menos!).
2. Sabiendo que dos de los autovalores de

4
 0

A=
 6
 9
15
la matriz

4
2
3 −2
1 −2 −2
2

12 11
2 −4

20 10 10 −6
28 14
5 −3
son 3 y 5, ambos con multiplicidad geométrica 2,
(a) Calcula todos los autovalores de A y halla el valor de det A.
(b) Averigua si A es diagonalizable.
(c) Halla una base del espacio propio de cada autovalor de A que no sea 3 ni 5.
Pistas:
(a) Como las multiplicidades algebraicas de todos lo autovalores tienen que sumar 5 y las de los conocidos
suman 4, falta uno con multiplicidad algebraica y geométrica 1. Ese que falta sumado a 3 + 3 + 5 + 5 tiene
que ser igual a la traza de la matriz.
det A es el producto de los cinco autovalores (contando el 3 y el 5 dos veces).
(b) Halla el rango de A − 3I y el de A − 5I si ambos son 3 es diagonalizable. Si no, no lo es.
3. Sea A una matriz no nula cuyo espacio nulo tiene dos dimensiones y cuyo polinomio caracterı́stico es pA (x) = x2 (x + 1)(x − 1).
(a) Explica por qué el teorema de Cayley-Hamilton implica que A4 = A2 .
(b) Sea el polinomio q(x) = x5 − x3 + x2 + 1 y sea B la matriz
B = q(A).
Calcula el determinante de B.
Pistas:
(a) Si expandes pA (x) obtendrás x4 − x2 .
(b) De A4 = A2 se deduce A5 = A3 , luego q(A) = A2 + I. Las condiciones sobre A implican que es diagonalizable: A = P DP −1 con D una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son ±1 y 0. Entonces
B = P q(D)P −1 = P (D2 + I)P −1 y det B = det(D2 + I) = 4.