VISUALIZANDO LA CURVATURA

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Escuela de Historia de la Fı́sica RSEF, Julio 2014, Fundación Sierra-Pambley, Villablino
We shall not cease from exploration
And the end of all our exploring
Will be to arrive where we started
And know the place for the first time.
T.S.Eliot, Little Gidding
VISUALIZANDO LA CURVATURA
UNA EXCURSIÓN CULTURAL
Mariano Santander
Universidad de Valladolid
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El carro del emperador que apunta ‘hacia el Sur’
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Curvatura: una noción esencial en fı́sica
‚ Yu.I Manin, 1970s
Para describir [la curvatura] como desviación,
empleamos pues un “molde externo”. Este cı́rculo de ideas es natural y útil, pero la teorı́a de
Einstein de la gravitación, la teorı́a de Maxwell
del electromagnetismo, y también, como estamos
ahora [finales de los 1970s] comenzando a entender la teorı́a de las interacciones fuertes y
quizás, todas las interacciones, requieren nociones de curvatura más finas.
La materia afecta a la conexión, imponiendo restricciones sobre
la curvatura, y la conexión afecta a la materia, obligandola a ser
transportada paralelamente a lo largo de sus lı́neas de universo.
Las famosas ecuaciones de Einstein, Maxwell-Dirac y Yang-Mills
son expresiones precisas de estas ideas.
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¿Curvatura? ¡Curvatura!
‚ Polisemia
‚ Curvatura ¿de qué? ¿Qué objetos tienen o pueden tener curvatura?
‹ Curvas, superficies, el propio Espacio, nuestro Espacio-Tiempo, el
Universo, .... Y también otras estructuras matemáticas básicas en nuestra
descripción de la Naturaleza.
‹ Matemáticamente, en su nivel más básico, el objeto que puede
tener curvatura es una conexión
‚ Curvatura ¿cómo? ¿Cómo se describe la curvatura de una curva, de una
superficie, de nuestro Espacio-Tiempo, . . . ?
‹ Para curvas, idea bastante sencilla
‹ Para superficies bidimensionales descripción muy visualizable. Dos
tipos de curvatura, cada una de las cuales tiene su importancia y su significado.
‹ Para espacios de dimensión mayor La situación es más complicada. Pero
hay un núcleo inicial muy simple conceptualmente que con ciertas estrategias
permite una buena visualización.
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¿Curvatura? ¡Curvatura!
‚ Curvatura ¿cúando? ¿Tiene nuestro Espacio curvatura? ¿Tiene nuestro EspacioTiempo curvatura? Y si la tiene, ¿podemos ligar esta curvatura con algún
agente fı́sico?
‚ Teorı́a prototipica: Gravitación como curvatura Tres niveles en la teorı́a
de la gravedad
X Métrica (tensor métrico)
Potenciales gravitatorios
X Conexión (métrica, de Levi-Civita)
Campo gravitatorio ordinario
X Curvatura (tensor de curvatura)
Tensor campo de marea
‹ La materia le dice al Espacio-Tiempo como debe curvarse, el EspacioTiempo le dice a la materia cómo moverse.
‚ Las restantes interacciones fundamentales (electromagnéticas, débiles
y fuertes) admiten descripciones en cuyas matemáticas hay una curvatura.
‚ Teorı́a prototipica: Electromagnetismo Dos niveles en Electromagnetismo
X Campo gauge (Potenciales electromagnéticos)
Potencial escalar y vector
X Campo electromagnético (Tensor de Faraday)
Campos eléctrico y magnético
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La charla: qué es frente a qué no es
‚ No es historia en el sentido profesional del término
‹ Es, en todo caso, una ‘parahistoria conceptual’.
‹ Énfasis en las relaciones entre conceptos, tal cual les vemos hoy,
más que en los avatares históricos.
‚ Matemáticas versus Fı́sica.
‚ Geometrı́a ha incluido, tradicionalmente, el estudio de las formas posibles.
‹ Matemáticas como modelos posibles de la Naturaleza La irrazonable
efectividad de las matemáticas (E.P. Wigner)
‚ Antes de hacer un estudio completo, es buena idea tener una imagen
de qué se está hablando
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Contenido de la charla
‚ La formalización de las ideas de curvatura para curvas y luego para
superficies, culminando también en la década de 1820
‚ La prodigiosa extensión de la idea de curvatura de una superficie a
la idea de curvatura de un espacio de n-dimensiones alumbrada en
1856.
‹ Esta extensión se funde con el largo proceso del descubrimiento de
las geometrı́as no euclidianas, desde Euclides hasta la década de
los 1820 .
‹ Las geometrı́as no euclidianas clásicas son los ejemplos más sencillos
de espacios curvos, precisamente aquellos de curvatura constante.
‚ La interpretación de la Gravitación como curvatura del Espacio-Tiempo,
desarrollada entre 1908 y 1916, y confirmada cada vez con mayor precisión y
fiabilidad hasta hoy.
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Curvatura de lı́neas, de superficies bidimensionales, de espacios n-dim
‚ Idea intuitiva de lı́nea curva o de superficie curva es bastante primitiva
‚ Pero no fue nada fácil matematizar estas ideas Etapas importantes
‹ Huygens, Newton para curvatura de curvas.
‹ Euler, Lagrange, Sophie Germain, Gauss para la curvatura de superficies
bidimensionales
‹ Riemann, Christoffel, Levi-Civita para la curvatura de un espacio general
de dimensión arbitraria.
‚ Einstein interpretando la gravitación como curvatura del Espacio-Tiempo
‚ Otras ideas de curvatura están detras de nuestra actual descripción
de las interacciones electromagnéticas, débiles y fuertes
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La idea de curvatura de una curva en el plano (euclideo)
‹ La curvatura es una sola cantidad
en cada punto de la curva, que
mide el ritmo al que la curva
cambia de dirección
κpsq :“
dθpsq
ds
‹ Lı́nea de curvatura 0 es aquella que no cambia de dirección con el
avance Lı́nea recta.
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La idea de curvatura de una curva en el espacio (euclideo)
‚ Hay dos ‘curvaturas’ en cada punto
Primera y segunda Curvatura, o curvatura y torsión.
‹ Ecuaciones básicas Frenet-Serret.
‚ En un espacio euclideo de dimensión n
‹ Hay primera, segunda, . . . n ´ 1-ésima Curvatura.
‹ Ecuaciones básicas Versión n-d de las fórmulas de Frenet-Serret.
‚ Esquema conceptual Se compara el comportamiento de la curva con un
comportamiento patrón prefijado: ser una recta, estar contenida en un plano
bidimensional, estar contenida en un espacio tridimensional,
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Los primeros pasos hacia una definición de curvatura de una superficie
‚ Descripción ‘codificada’ válida en cualesquiera coordenadas métrica, operador de forma, sı́mbolos de Christoffel, .....
‚ Cantidades que tienen sentido
para una superficie
X Longitudes de curvas
X Ángulo entre curvas
X Área de regiones
‚ Geodésicas Lı́neas sobre la superficie, con extremos fijados, que hacen extremal
la longitud.
‹ Una vez definidos estos conceptos es posible construir análogos, sobre
una superficie, de cualquier configuración geométrica en el plano euclideo
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Los primeros pasos hacia una definición II: curvaturas normales
‚ Resultado básico de la prehistoria de la teorı́a de superficies Teorema
de Euler.
‹ Curvaturas normales máxima y mı́nima (curvaturas principales) κ1
y κ2 ocurren en direcciones perpendiculares sobre la superficie
‹ Tomando el origen de ángulos en la sección normal de curvatura
máxima la curvatura de la sección normal depende del ángulo α de una
manera rı́gida:
κpαq “ κ1 cos2α ` κ2 sin2α
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Promedios de curvaturas normales: Curvatura media
‚ Promedio sobre todo el haz. Resultado: 12 pκ1 ` κ2q “
1
2
`
κpαq ` κpα ` π2 q
˘
‚ Esta cantidad se define como la Curvatura media de la superficie.
‹ Mensaje subliminal importante: hay infinitas orientaciones posibles de
un plano normal por un punto dado P de la superficie, pero las correspondientes curvaturas normales dependen realmente solo de dos cantidades en
cada punto.
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Geometrı́a intrı́nseca de superficies
‚ Todo lo anterior corresponde a la geometrı́a extrı́nseca de la superficie
‚ ¿Qué ocurre si deliberadamente ignoramos el espacio ambiente? Geometrı́a intrı́nseca de la superficie.
‚ Conceptos relevantes de la geometrı́a intrı́nseca Gauss 1829.
X Geodésicas
X Curvatura intrı́nseca (gaussiana) de la superficie
‚ Curvatura intrı́nseca mide la desviación de las relaciones existentes entre longitudes, ángulos, áreas, comparativamente al patrón euclı́deo
‚ Varias configuraciones en el plano euclı́deo
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Geometrı́a intrı́nseca de superficies II
‚ Varias configuraciones análogas en una superficie curva Gráficos en la
esfera de curvatura K “ R12
‹ Sobre la esfera, expresiones válidas en el lı́mite de tamaños pequeños; A
denota el área encerrada por el cı́rculo o por el triángulo
Cprq « 2πrp1´ 61 Kr2q
pα ` β ` γq ´ π « KA
d2δplq
Aprq « πr
« ´Kδplq
dl2
‚ Un solo número caracteriza la desviación de todas las relaciones
2
1
p1´ 12
Kr2q
‹ Este número (curvatura de Gauss en el punto P) es intrı́nseco
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Geometrı́a intrı́nseca de superficies III
‚ ¿Relación entre curvatura gaussiana y las curvaturas principales?
‹ Theorema egregium K “ κ1κ2
‹ ¿Cómo lo hizo Gauss?
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Interludio sobre la curvatura media
‹ Curvatura media H “ 12 pκ1 ` κ2q
‹ Esta es la cantidad que interviene por ejemplo en la ecuación de movimiento de una membrana, como primero vió Sophie Germain.
‹ Configuración de equilibrio de una membrana: aquella superficie con área mı́nima para
el borde dado
‹ Energı́a proporcional a la superficie, tensión superficial
‚ Superficies de curvatura media nula son las extremales del área. Se
llaman superficies mı́nimas.
‹ Por tanto, la idea de superficie mı́nima en el espacio euclideo es
análoga de la idea de geodésica en el plano euclideo (las rectas)
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Resumen: la historia de la definición de curvatura de una superficie
‚ A principios del S. XIX faltaba dar el paso crucial: Introducir una medida
de curvatura de la propia superficie, no de curvas sobre la superficie.
‹ Dos cantidades candidatos en competencia ; cada una de un modo,
generalizan para superficies la idea de curvatura de una curva.
‹ Progresivamente fue ganando terreno la idea de que ambas no eran
competidoras sino complementarias. Actualmente se llaman curvatura
extrı́nseca (o curvatura media) de la superficie y curvatura intrı́nseca (o de
Gauss) de la superficie.
‹ Son dos medidas de curvatura diferentes, reflejan o corresponden a
propiedades diferentes de la superficie.
‚ Moraleja En una superficie es necesario distinguir entre propiedades intrı́nsecas
y extrı́nsecas de la superficie.
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Resumen: la historia de la definición de curvatura de una superficie II
‚ Propiedades extrı́nsecas: Dependen de cómo está la superficie inmersa
en su espacio ambiente. Para definirlas se requiere ‘mirar afuera’ de
la propia superficie. (Accesibles a seres inteligentes tridimensionales que
pudieran ver la superficie desde fuera)
‹ Ejemplos paradigmáticos: la normal a la superficie o las dos curvaturas principales de la superficie en un punto son propiedades
extrı́nsecas
‚ Propiedades intrı́nsecas: Las que tienen sentido sin necesidad de mirar
afuera de la superficie. (Accesibles a seres inteligentes bidimensionales que
vivieran sobre la superficie)
‹ Ejemplos paradigmáticos: la longitud de una curva sobre la superficie, el ángulo entre dos curvas, el área de una región de superficie
‚ Porqué se llama ‘teorema egregium’ a la relación escondida tras K “
κ1κ2
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La idea de transporte paralelo. Caso euclideo
‚ La idea realmente básica; ésto tardó mucho tiempo en reconocerse
‚ Formalización de la idea de ‘dirección’ resultó ser una fuente inagotable de confusión durante la aventura de las paralelas (Leibniz).
‚ Cuestión ¿Cómo transportar un vector de un punto a otro manteniéndole en la misma dirección (o paralelo a sı́ mismo).
‚ Propuesta natural en el plano euclı́deo (obvia, implı́cita).
X
Angulo constante a lo largo de rectas; consideración de los vértices
‹ Propiedad crucial de este transporte paralelo El resultado del transporte
de un vector de A a B no depende del camino seguido
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La idea de transporte paralelo II. Caso general
‚ Para una superficie bidimensional, introducida por Levi-Civita (1917)
‹ Formulación matemática Ecuación del transporte paralelo de un vector.
El transporte paralelo es a lo largo de una curva.
‹ Propiedades básicas
X El transporte paralelo mantiene un vector tangente a la superficie
X Si el transporte es a lo largo de una geodésica, el ángulo con la geodésica es constante
X En los vértices, hay que tomar en consideración el ángulo del vértice
‹ El resultado del transporte de un vector depende del camino seguido
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Geometrı́a de la superficie revelada por el carro chino indicador del sur
‚ ¿No era ésto lo que hacı́a el Carro Chino indicador del Sur?
‹ En el plano euclideo sı́, pero ¿en una superficie curva?
‚ ¿Y si le engañamos colocándolo sobre una superficie curva?
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El carro indicador del sur realiza el transporte paralelo
El carro indicador del sur realiza el transporte paralelo
‚ El carro chino (en el lı́mite de anchura a Ñ 0) realiza exactamente
transporte paralelo para su indicador Esto ocurre independientemente de
que la superficie sea plana (K “ 0) o curva (K ‰ 0), con curvatura constante
o no.
‚ El carro sigue una geodésica de la superficie cuando el indicador está fijo respecto al carro
‚ Si la superficie es plana K “ 0, tras un circuito cerrado el indicador
retorna a su situación inicial
‚ Si la superficie es curva K ‰ 0, tras un circuito cerrado el indicador
NO retorna a su situación inicial.
‹ En ambos casos, el indicador regresa habiendo girado un cierto
ángulo ∆ « KA que s proporcional al área del circuito cerrado
que se ha recorrido. El coeficiente de proporcionalidad es la curvatura
gaussiana de la superficie.
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Matemáticas como perspectiva en muchas dimensiones
‚ Yu.I Manin, 1970s
Entre otras cosas, la matemática moderna es un entrenamiento
riguroso, siguiendo un programa unificado, en perspectiva multidimensional.
[...]
... desde su dı́as de estudiante, a los matemáticos y a los fı́sicos se
les enseña a pensar de manera diferente. Serı́a muy bueno aprender
ambos tipos de pensamiento profesional, como aprendemos a usar
ambas manos, la derecha y la izquierda.
[...]
Un buen fı́sico utiliza el formalismo como un poeta usa el lenguaje,
justificando su olvido de las demandas del rigor mediante un recurso a la verdad fı́sica, algo que un matemático no podrı́a permitirse
a sı́ mismo hacer.
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Subiendo de dimensión. ¿Espacio tri- (o n)-dimensional curvo?
‚ B. Riemann Extensión de una tacada a espacios
curvos de cualquier dimensión.
‹ Riemann solamente consideró espacios localmente euclideos De hecho, en su lección
habla del Espacio.
‚ ¿Es posible visualizar estos espacios?
‹ No resulta útil tratar de imaginar un tal
espacio inmerso en un espacio ambiente
plano de dimension mayor
‹ La visualización efectiva se basa en apreciar que la curvatura es una
propiedad de naturaleza bidimensional, que toma valores en cada 2-dirección
plana (bivector) por cada punto.
‹ Reducción a las curvaturas en direcciones bidimensionales: curvatura seccional
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Visualización del caso n “ 3: Bivectores por un punto
‚ Pero además de los bivectores representados en los tres diagramas,
hay muchos más bivectores por el punto fijado
‹ Cómo son las curvaturas seccionales por P ‘a lo largo de’ todos
estos bivectores?
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Análogo Riemanniano del teorema de Euler
‚ Consideremos el haz de 2-planos con una
‘bisagra’ común. Según α varı́a, la curvatura seccional alcanza valores máximo y mı́nimo en dos 2-planos ortogonales.
‚ En general, para elección arbitraria de las
direcciones 123 (mutuamente ortogonales), la curvatura seccional a lo largo
del 2-plano parametrizado por α es
Kp121q “ Kp12q cos2 α ` Kp13q sin2 α ` K1p23q cos α sin α
‚ Tomando α “ 0 correspondiendo a la curvatura seccional máxima (lo
que requiere orientar de otra manera los ejes 123), la curvatura
seccional a lo largo del 2-plano parametrizado por α es
Kp121q “ Kp12q cos2 α ` Kp13q sin2 α
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Visualización del caso n “ 3: Bivectores por un punto
‚ La descripción completa de la curvatura
de un espacio tridimensional requiere
6 números en cada punto
‚ De esos 6, tres no son esenciales y se
pueden reducir a 0 escogiendo adecuadamente la orientación de las direcciones básicas 123
‹ Sin embargo, es aconsejable seguir
pensando siempre en 6 números aunque algunos puedan reducirse a 0.
‹ Análogo con los vectores ordinarios. Tres numeros en cada punto, de
los que solo uno es esencial; los otros dos se pueden reducir a 0 escogiendo
la orientación de las direcciones básicas adecuadamente, de manera que una
de las direcciones básicas tenga la misma dirección que el vector. Pero sigue
siendo aconsejable pensar en tres números, sea v 1 “ v, v 2 “ 0, v 3 “ 0
‚ Tensor de curvatura de Riemann-Christoffel Rijmn
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Promediando curvaturas
‚ Promedio sobre todas las direcciones 2-planas
que contengan una ‘bisagra dada’ Para la
bisagra 1, el resultado de este promedio es proporcional a Kp12q ` Kp13q y es independiente de la
orientación de las direcciones 23 (supuestas sempre ortogonales a la 1 que está fijada).
‹ Tensor de Ricci
‚ Promedio sobre todas las direcciones 2-planas El resultado de este promedio es proporcional a Kp12q ` Kp23q ` Kp31q y es independiente de la orientación
de las direcciones 123 (mutuamente ortogonales).
‹ Escalar de curvatura
‚ Interpretación visual de la curvatura escalar
Regula área y volumen de esferas
‹ Área de la esfera de radio r Aprq ‰ 4πr2.
‹ Volumen de la esfera de radio r Vprq ‰ 43 πr3.
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Curvatura en el Espacio-Tiempo
‚ En 1908 Minkowski introduce la interpretación que hoy es habitual
La Relatividad (especial) no es más que la geometrı́a real del Espacio-Tiempo
‹ Esta geometrı́a es cuadrática (como la euclidea) pero indefinida (en
contraste con la euclı́dea)
‚ ¿Qué consecuencias tiene esta diferencia a efectos de extender la idea
de curvatura al propio espacio-tiempo?
‹ Antes de que Einstein y Grossmann utilizaran la geometrı́a (pseudo)Riemanniana, al parecer nadie habı́a considerado de manera explı́cita
esa posibilidad de un espacio con curvatura localmente minkowskiano.
‹ Afortunadamente lo esencial es que la métrica sea no degenerada. El que
sea definida positiva o indefinida apenas requiere modificaciones de detalle.
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Geometrı́a intrı́nseca del plano de Minkowski
‚ Plano de Minkowski Análogo del plano euclidiano.
‹ Expresiones exactas
χA “ χ B ` χC
d2δpτ q
“0
dt2
∆χ “ 0
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Geometrı́a intrı́nseca de planos localmente minkowskianos
‚ Espacio localmente Minkowskiano con curvatura Espacios de DeSitter,
análogos de la esfera y del plano hiperbólico para métricas indefinidas.
‹ Expresiones válidas en el lı́mite de tamaños pequeños (coeficientes omitidos)
χA « χB ` χC ` KA
d2δpτ q
« ´Kδpτ q
dt2
∆χ « KA
A denota el área (en el espacio-tiempo) encerrada por el triángulo o por el circuito
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Geometrı́a intrı́nseca de espacios localmente minkowskianos 1+2
‚ La curvatura de este espacio está determinada en cada punto por seis
cantidades
‹ De ellas tres se pueden reducir a
0 adaptando (en ese punto) el
sistema de coordenadas
‹ Las tres restantes son las curvaturas Kp01q, Kp02q, Kp12q
‚ A nuestra visión ordinaria, que distingue el tiempo del espacio, estas
cantidades aparecen de manera muy diferente desde el punto de vista
de cada observador que se considera a sı́ mismo ‘en reposo’
‹ Kp12q , curvatura del espacio (espacio-espacio).
‹ Kp01q, Kp02q , curvaturas del espacio-tiempo.
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Geometrı́a intrı́nseca del espacio-tiempo localmente minkowskiano 1+3
‚ La curvatura de este espacio está determinada en cada punto por 20
cantidades
‹ De ellas 6 se pueden reducir a 0 adaptando el sistema de coordenadas en cada punto.
‹ Entre las restantes cantidades las más importantes son las seis
curvaturas Kp01q, Kp02q, Kp03q y Kp12q, Kp23q, Kp31q. Corresponden al campo
de marea, o campo gravieléctrico.
‹ Aparte están las componentes del campo gravimagnético.
‚ A nuestra visión ordinaria, que distingue el tiempo del espacio, estas
cantidades aparecen de manera muy diferente desde el punto de vista
de cada observador (en movimiento arbitrario) desde su punto de vista propio
(se considera a sı́ mismo ‘en reposo’)
‹ Kp12q, Kp23q, Kp31q curvaturas del espacio (espacio-espacio).
‹ Kp01q, Kp02q, Kp03q curvaturas del espacio-tiempo.
36
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Cómo se relaciona este enfoque con las ecuaciones de Einstein
‚ Enfoque basado en Feynman Lectures on Physics, Lectures on Gravitation
‚ Conjunto completo de las ecuaciones de Einstein resulta ser equivalente
a que, para cualquier observador, en movimiento arbitrario, entre las curvaturas
del espacio-tiempo y la densidad de energı́a y presión registradas por él exista
la relación:
˘
4πG `
Kp01q ` Kp02q ` Kp03q “ 2 ρE ` p1 ` p2 ` p3
c
8πG
Kp12q ` Kp23q ` Kp31q “ 4 ρE
c
‹ Escritas en esta forma, el lı́mite ‘no relativista’, en el que ρE “ ρmc2,
resulta
Kp01q ` Kp02q ` Kp03q “ 4πGρm
Kp12q ` Kp23q ` Kp31q “ 0
La primera es la ecuación de Poisson del campo gravitatorio newtoniano
B2φ
pues en ese lı́mite Kp0iq “ Bpx
i q2 ; la segunda refleja que en la gravitación
newtoniana no hay curvatura espacial.
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Extrapolación y especulación
‚ H. Bondi
Parece haber una tendencia muy extendida a considerar ‘autoevidente’ cualquier extrapolación de
los datos observacionales, por grande que sea, y
por lo tanto, a no contarla como una hipótesis
especial que debe añadirse a las demás hipótesis
que requiera la teorı́a [.....]
Es un peligroso hábito de la mente humana generalizar y extrapolar sin reparar en que se está haciendo ası́. Por ello, el fı́sico debe contrarrestar
este hábito, aplicando vigilancia incesante para
detectar cualquier extrapolación de ese tipo.
La mayor parte de los avances en fı́sica han tenido que ver con el
reconocimiento de la falacia de tales extrapolaciones, que al haberse
supuesto como auto-evidentes, no se habı́an considerado hipótesis.
Para el avance de la Fı́sica, estas extrapolaciones constituyen un
peligro mucho mayor que la llamada especulación.
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Operacionalización de la idea de marco de referencia inercial
‚ ¿Hay análogos del Carro chino indicador del sur para explorar la geometrı́a del espacio-tiempo? Los hay.
‚ Marco de referencia inercial Una impresionante extrapolación.
‚ Operacionalización de la idea de marco de referencia inercial
‹ Observadores necesitan acelerómetros y giróscopos Un observador
puede decir de sı́ mismo que es localmente inercial si:
X Sus tres acelerómetros marcan permanentemente 0
X Sus tres giróscopos se mantienen su eje fijo con respecto a su marco espacial
‚ Gravitación como desviación del comportamiento de los observadores
localmente inerciales con respecto al comportamiento patrón
X Dos observadores localmente inerciales están en reposo relativo
X Dos oservadores localmente inerciales no rotan uno con respecto al otro
‚ Marcos de referencia localmente inerciales Caracterización operacional.
‹ Movimiento de traslación relativo de observadores cercanos
‹ Movimiento de rotación relativa de observadores cercanos
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Unos valores numéricos
‚ Estimaciones numéricas del valor de las curvaturas seccionales
Curvatura tiempo-espacio (Campo de marea) debido a la Tierra, sobre su superficie:
Kp0iq «
GMC
» 1,541 ¨ 10´6s´2
3
RC
Curvatura espacio-espacio debida a la Tierra, sobre su superficie:
Kpijq «
GMC
» 0,17 ¨ 10´24m´2
3
2
c RC
KC » 2,67 ¨ 10´14m´2
Campo de marea debido al Sol, sobre la Tierra:
Kp0iq «
GM@
´14 ´2
»
3,97
¨
10
s
3
R@C
Campo de marea debido a la Luna, sobre la Tierra:
Kp0iq «
GMK
» 8,6 ¨ 10´14s´2
3
R@K
41
Coda
¿Como se explica lo que es una ‘estrella’ a alguien que nunca ha visto una estrella?.... Incluso quienes ven las estrellas preguntan ‘¿Qué es
una estrella?’ porque ver solamente con los propios ojos es, todavı́a, demasiado poco. Los “ojos
de la mente” deben ser capaces de ver en el espacio de fase de la Mecánica, en el espacio de
los sucesos elementales de la teorı́a de la probabilidad, en el espacio curvo tetradimensional de
la relatividad general, en el espacio proyectivo de
dimensión infinita de la Mecánica Cuántica, . . .
Yuri I. Manin, Mathematics and Physics
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MUCHAS GRACIAS
www://unavistacircular.wordpress.com
[email protected]