1 Movimiento Rectilineo Uniforme

1
Movimiento Rectilineo Uniforme
A partir de las de…niciones anteriores podemos estudiar (siempre para el caso
unidimensional) los siguientes tipos de movimiento
Sea un movil para el que la velocidad instantánea es constante, para todo
tiempo. Esto signi…ca que la pendiente de la recta tangente a la trayectoria (
x(t) ) en todo punto es la misma.
De donde se desprende que
v = lim
x(t + )
x (t)
!0
= cte
La ecuacion que satisface esta relación es
x(t) = t +
Con
la velocidad instantánea (es una constante) y
= x(t = 0)
Lo cual se veri…ca haciendo la cuenta explicitamente.
v
=
lim
=
lim
=
lim
!0
x(t + )
x (t)
(t + ) +
!0
!0
=
t
=
=
De…nimos entonces el movimiento rectilineo uniforme como aquél descripto por las ecuaciones
v = cte
x(t) = vt + x0
En este grá…co mostramos en rojo la posición en función del tiempo para
t>0
La recta horizontal de color verde (rayas) denota la velocidad como función
del tiempo
Medimos el espacio en metros y el tiempo en segundos
Hemos tomado x(0) = 3 m y v(t) = 2m=s
1
x(m)
12
10
8
6
4
2
0
0
2
1
2
3
4
5
tiempo
Movimiento rectilineo uniformemente variado
Sea ahora un movimiento unidimensional para el cual la aceleración instantánea
es la misma en todo tiempo
a = cte
Esto signi…ca que la pendiente de la velocidad instantánea es la misma para
todo punto
Razonando como antes, esto nos lleva a que la ecuación correspondiente para
la velocidad es:
v(t) = at + v(0)
Cuál será la forma general de x(t) que sea consistente con la ecuación anterior?
Hemos visto en los ejemplos anteriores que cuando calculo la pendiente de
una función del tipo
f (t) = tn
La solución es
n tn
1
Denotaremos esta operación del siguiente modo
f (t) = n tn
2
1
Es inmediato que para obtener v(t) = at + v(0) como resultado de calcular
la pendiente de x(t) necesitamos que:
x(t) =
1 2
at + v(0)t + x(0)
2
Si calculamos la pendiente de esta función (que es la posición) como función
del tiempo (o sea la velocidad instantánea como función del tiempo) obtenemos:
v(t)
=
lim
=
lim
!0
x(t + )
x (t)
1 2
at + v(0)t + x(0)
2
1
1
2
2
2 a(t + ) + v(0)(t + ) + x(0)
2 a(t) + v(0)(t) + x(0)
=
!0
Vemos que
v(t)
=
lim
=
lim
=
lim
!0
!0
1
2 a(t
+ )2 + v(0)
1 2
2 at
+ 21 a2t + 12 a
at + 12 a
2
!0
= at + v(0) + lim
!0
1
2
2 a(t)
2
+ v(0)
+ v(0)
1
2
2 a(t)
=
1
a = at + v(0)
2
Como queríamos!.
Luego de…nimos el movimiento uniformemente variado con las siguientes ecuaciones
a(t)
v(t)
x(t)
= constante=a
= at + v(0)
1 2
=
at + v(0)t + x(0)
2
Vemos entonces que x es una funcion cuadratica del tiempo
Sabemos que la solución de la cuadratica es
x =
0 =
t2 + t +
t2 + t + (
q
2
t
=
2
3
x) =)
4 (
x)
de donde con
v(t)
= v(0) ,
=
=
=
v (t) =
2
= a=2; = x(0)
p
v(0)
v(0)2 4a=2 (x(0) x(t))
a
+ v(0) =
2a=2
p
v(0)
v(0)2 2a (x(0) x(t)) + v(0) =)
p
v(0)2 2a (x(0) x(t)) =)
2
v (0) + 2a (x(t) x(0))
En este grá…co mostramos en rojo la posición en función del tiempo para
t>0
La color verde (rayas) denota la velocidad como función del tiempo
En color azul (rayas) mostramos la aceleración como función del tiempo
Medimos el espacio en metros y el tiempo en segundos
Hemos tomado a = 2m=s2 , x(0) = 3 m y v(t) = 2m=s
x (m)
30
20
10
0
0
1
2
3
4
4
5
tiempo (s)
3
Problemas
1) Un ciclista se mueve según las x > 0 con una aceleración de 2m=s2 . Si parte
del reposo, determine su velocidad y posición a t = 5s
2) Un auto se mueve en una linea recta según las x > 0 con una velocidad
v(t) de…nida por
v(t) = (9t2 + 2t)m=s
Calcule la posición y aceleración para t = 3s
3)un ciclista tiene una aceleración de 2m=s2 : Parte de x(0) = 0:con v(0) = 0
a t = 0 Otro ciclista pasa por el mismo punto a t = 1s con una velocidad cte de
10m=s:
a) Gra…que las trayectorias ( x(t) )
b)Cuando y donde se cruzan?
4) Una persona está parada al borde de un precipicio de 40m de profundidad.. Arroja hacia arriba una esfera con una velocidad de 15m=s. Durante todo
el tiempo la esfera tiene una aceleración hacia abajo de 9; 81m=s2 (aceleración
de la gravedad)
a) Calcule la altura máxima que alcanza la esfera
b) Calcule la velocidad cuando la esfera vuelve a pasar por el borde del
precipicio
c) Calcule la velocidad de la esfera cuando llega al fondo del precipicio
5
5) Un globo se mueve "hacia arriba" con una velocidad constante de 4m=s
. Cuando alcanza una altura de 50m se deja caer desde el globo un objeto.
a) Cual es la altura maxima que alcanza el objeto?
b) Clacule el tiempo al que el objeto llega al piso
c) Con que velocidad llega al piso el objeto?
6