TEMA 2 MODULACIONES DIGITALES: LINEALES, DE FASE Y

TEMA 2 MODULACIONES DIGITALES: LINEALES, DE FASE Y

T EMA 2
M ODULACIONES D IGITALES :
L INEALES ,
DE FASE Y FRECUENCIA
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
1 / 43
Modulaciones lineales
Modulación lineal en espacio multidimensional (N)
s(t) =
! N−1
!
n
j=0
Aj [n] · φj (t − nT)
La información se transporta linealmente
En la amplitud de las funciones φj (t)
Codificador: A[n]
Constelación en espacio de dimensión N
Diseño considerando Es y Pe
Modulador: {φj (t)}N−1
j=0
Adecuación al canal
Idealmente: canal aditivo gaussiano
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
2 / 43
Modulación PAM en banda base
Modulación unidimensional N = 1.
!
s(t) =
A[n] · g(t − nT)
n
PAM (Pulse Amplitude Modulation)
ASK (Amplitude Shift Keying)
Constelaciones - Normalizadas: A[n] ∈ {±1, ±3, · · · , ±(M − 1)}
Ejemplos: 2-PAM (a), 4-PAM (b), 8-PAM (c)
−1
! +1
!
0
(a)
−3
! −1
! +1
! +3
!
0
(b)
A[n]
−7
! +5
! −3
! −1
! +1
! +3
! +5
! +7
!
0
(c)
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
A[n]
A[n]
Modulaciones Lineales
3 / 43
Modulación PAM como filtrado
Señal de sı́mbolos
a(t) =
!
n
A[n] · δ(t − nT)
Generación de la señal PAM
s(t) = a(t) ∗ g(t)
A[1]
A[3]
"
"
A[0]
A[2]
"
"
a(t)
!Modulador
!
s(t) = a(t) ∗ g(t)
!
B[#] !
Codificador
MMC (UC3M)
A[n] !
Comunicaciones Digitales
a(t) !
g(t)
s(t) !
Modulaciones Lineales
4 / 43
Elección de g(t)
La respuesta g(t) recibe dos nombres:
Filtro transmisor
Pulso conformador (aunque no sea un pulso)
Selección para poder recuperar la secuencia de sı́mbolos
Pulsos de duración limitada al tiempo de sı́mbolo
No hay solapamiento
"t#
1
√
ga (t) =
·Π
T
T
Pulsos de mayor duración
Interferencia no destructiva en algún punto
"t#
1
gb (t) = √ · sinc
T
T
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
5 / 43
Formas de onda
Secuencia: A[n] = · · · , −1, +1, +1, −1, +1, −1, −1, −1, +1, −1, · · ·
....
..... .....
............... ga (t)
. ...
.
.
.
1.5
............... gb (t)
.. ....
....
...
.
.
1
........................................................
...................................
...................................
.
.
. .
... ..
...... .... ...
.. .... .... ...
.
.
.
.... .....
.
.
... ..
... ..
......
0.5 ... ..
...
.....
...
... ...
.
.
.
...
.
.
.
.....
.
...
... ...
......
.
..... .....
.
.
.
.
.
.
......
.
.
.
.
.
.
.
....
... ..
.
.
.
.
0
.
.
.... ...
.
.
................
......
....
. ..
.. ..
... ...
.
.
.
.
.
.
.....
... ....
... ... .. ...
.. ....
.. ....
......
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
...... .. ..
... ...
... ... .. ..
-0.5 ...
.. ....
.
...... ... ...
.
.
... ... ... ...
.
......
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.... .. ..
... ...
... .... ......
................
.......
.
.
.
.
..
.
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..
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.
.......................
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-1
.... ...... ..... ..
.......
......
....
.........
-1.5
5
7
0
3
6
8
9
10
1
2
4
t/T
2
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
6 / 43
Espectro de PAM banda base
Señal PAM banda base
s(t) =
!
n
A[n] · g(t − nT)
Sea {A[n]}∞
n=−∞ una secuencia de variables aleatorias (proceso
aleatorio)
E[A[n]] = m
E[|A[n]|2 ] = Es
E[A[k] · A∗ [j]] = RA [k − j] = RA [j − k]
La densidad espectral de potencia es
jω
SA (e ) =
∞
!
n=−∞
RA [n] · e−jωn
Sea g(t) cualquier señal determinista con transformada de
Fourier G(jw)
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
7 / 43
Teorema de Wiener-Khinchin
Densidad espectral de potencia
$
%
|XT (jω)|2
E[|XT (jω)|2 ]
def
SX (jω) = E lı́m
= lı́m
T→∞
T→∞
T
T
Teorema de Wiener-Khinchin
Si para cualquier valor finito τ y cualquier intervalo A, de longitud
|τ |, la autocorrelación del proceso aleatorio cumple
&'
&
&
&
& RX (t + τ, t)dt& < ∞
&
&
A
la densidad espectral de potencia de X(t) es la transformada de
Fourier de
'
1 T/2
def
< RX (t + τ, t) > = lı́m
RX (t + τ, t) · dt
T→∞ T −T/2
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
8 / 43
Corolarios Teorema de Wiener-Khinchin
Corolario 1: Si X(t) es un proceso estacionario y τ · RX (τ ) < ∞
para todo τ < ∞, entonces
SX (jω) = TF[RX (τ )]
Corolario 2: Si X(t) es ciclostacionario y se cumple que
&' To
&
&
&
&
&<∞
R
(t
+
τ,
t)dt
X
&
&
0
entonces
(X (τ )]
SX (jω) = TF[R
donde
(X (τ ) = 1
R
To
'
To /2
−To /2
RX (t + τ, t) · dt
y To es el perı́odo del proceso cicloestacionario
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
9 / 43
Espectro de una PAM banda base
X(t) =
∞
!
n=−∞
mX (t) = E
)
!
n
*
A[n]g(t − nT) =
A[n]g(t − nT)
!
n
E[A[n]]g(t − nT) = m
!
n
g(t − nT)
RX (t, t + τ ) = E[X(t)X ∗ (t + τ )]

.
!
!
= E
A[k]g(t − kT) 
A∗ [j]g∗ (t + τ − jT)
j
k
=
!!
k
=
k
MMC (UC3M)
j
!!
j
E[A[k]A∗ [j]]g(t − kT)g∗ (t + τ − jT)
RA [k − j]g(t − kT)g∗ (t + τ − jT)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
10 / 43
Cicloestacionariedad
mX (t + T) = m
!
n
=m
!
j
g(t + T − nT) = m
g(t − jT) = mX (t)
!
n
g(t − (n − 1)T)
RX (t + T, t + τ + T) =
!!
=
RA [k − j]g(t + T − kT)g∗ (t + T + τ − jT)
k
=
k
=
j
!!
m
=
j
!!
n
!!
m
n
RA [k − j]g(t − (k − 1)T)g∗ (t − (j − 1)T + τ )
RA [m + 1 − (n + 1)]g(t − mT)g∗ (t − nT + τ )
RA [m − n]g(t − mT)g∗ (t − nT + τ ) = RX (t, t + τ )
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
11 / 43
Promedio temporal de la autocorrelación
1
R̃X (τ ) =
T
1
=
T
'
T
0
'
0
T
RX (t, t + τ )dt
!!
k
∞
1 !
=
T
1
=
T
1
=
T
=
1
T
MMC (UC3M)
j
∞
!
RA [k − j]g(t − kT)g∗ (t + τ − jT)dt
RA [−m]
k=−∞ m=−∞
∞
!
RA [m]
m=−∞
∞
!
m=−∞
∞
!
n=−∞
RA [m]
∞ '
!
k=−∞
'
∞
−∞
'
T
0
g(t − kT)g∗ (t + τ − (k + m)T)dt
−(k−1)T
−kT
g(u)g∗ (u + τ − mT)du
g(u)g∗ (u + τ − mT)du
RA [n]rg (nT − τ ),
rg (t) = g(t) ∗ g∗ (−t),
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
12 / 43
Densidad Espectral de Potencia
∞
1 !
R̃X (τ ) =
RA [n] · rg (nT − τ )
T n=−∞
∞
!
1
= rg (τ ) ∗
RA [n] · δ(τ − nT)
T
n=−∞
∞
!
1
∗
= g(τ ) ∗ g (−τ ) ∗
RA [n] · δ(τ − nT)
T
n=−∞
∞
!
1
∗
RA [n] · e−jωnT
SX (jω) = · G(jω) · G (jω)
T
n=−∞
|G(jω)|2
=
· SA (ejωT )
T
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
13 / 43
Densidad espectral de potencia (II)
Ss (jω) =
1
· SA (ejωT ) · |G(jω)|2
T
Dos contribuciones:
Una componente determinista: |G(jω)|2
Una componente estadı́stica: SA (ejω )
Para secuencias A[n] blancas
RA [n] = Es · δ[n],
5
6
SA (ejω ) = Es = E |A[n]|2
Ss (jω) =
Es
· |G(jω)|2
T
g(t): Pulso conformador
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
14 / 43
Espectro para secuencia blanca
Ga (jω) =
√
T · sinc
7
ωT
2π
8
Gb (jω) =
,
√
T ·Π
Es
7
ωT
2π
8
... ........................................ .
... ... ... ...
... ... .... ...
... ..
... ...
... ...
.............. ga (t)
... ..
.
... ..
... ..
.............. gb (t)
... ...
... ...
.
... ..
... ...
... ...
.
... ..
.....
......
.....
....
..
.....
.......
......
..
.. ...
.... ....
... ...
... ...
.. ...
.
... ...
.... ....
.. ...
.
. ...
..
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
... ........................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
................................................
...........
.
4π
3π
2π − π
− 5π
−
−
−
T
T
T
T
T
MMC (UC3M)
0
π
T
2π
T
Comunicaciones Digitales
3π
T
4π
T
5π
T
Modulaciones Lineales
ω
15 / 43
Potencia de una PAM banda base
Se calcula mediante Ss (jω)
' ∞
1
P=
Ss (jω) · dω
2π −∞
Para una secuencia blanca de sı́mbolos
' ∞
Es 1
P=
·
|G(jω)|2 · dω
T 2π −∞
Si g(t) está normalizado, aplicando la relación de Parseval
P=
MMC (UC3M)
Es
T
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
16 / 43
Transmisión sobre canales gaussianos
s(t)! "r(t)
! f (t) = g∗ (−t) q(t) # q[n]
! Decisor Â[n]
! Decod.
B̂[#]
!
$
"
t = nT
n(t)
Como g(t) es real, f (t) = g∗ (−t) = g(−t). La señal recibida es
r(t) = s(t) + n(t)
La señal a la entrada del muestreador es
q(t) = s(t) ∗ g(−t) + n(t) ∗ g(−t)
n(t): ruido blanco, gaussiano, de media nula, Sn (jω) = N0 /2.
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
17 / 43
Canal discreto equivalente
A!
Modulador
s(t)!
Canal
r(t)!
Demodulador
q
!
.............
.. .... ...
Canal
A ! Discreto
Equivalente
q
!
En sistemas ideales
q[n] = A[n] + n[n]
Distribución gaussiana de las observaciones (condicionando a
A[n] = ai )
||q−a ||2
1
− Ni
0
fq[n]|A[n] (q|ai ) =
e
(πNo )N/2
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
18 / 43
Canal discreto equivalente (II)
Señal antes del muestreador
.
!
q(t) =
A[k] · g(t − kT) ∗ g(−t) + n(t) ∗ g(−t)
k
=
!
k
=
!
k
7
8
A[k] · g(t − kT) ∗ g(−t) + n(t) ∗ g(−t)
A[k] · p(t − kT) + z(t)
p(t) = g(t) ∗ g(−t): respuesta conjunta de los pulsos transmisor y
receptor
Observación a la salida del demodulador
!
A[k] · p ((n − k)T) + z(nT)
q[n] = q(t)|t=nT =
k
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
19 / 43
Canal discreto equivalente (III)
Definición de canal discreto equivalente
!
q[n] =
A[k] · p[n − k] + z[n] = A[n] ∗ p[n] + z[n]
k
A[n]
!
! #
p[n]
q[n]
!
"
z[n]
Interferencia intersimbólica
q[n] = A[n] · p[0] +
!
k
A[k] · p[n − k] + z[n]
k"=n
ISI =
!
k
A[k] · p[n − k]
k"=n
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
20 / 43
Criterio de Nyquist para ausencia de ISI
En el dominio del tiempo
&
&
p[n] = p(t)&&
= δ[n]
t=nT
En el dominio de la frecuencia
p(t)
∞
!
n=−∞
δ(t − nT) = δ(t)
7
8
∞
2π !
2πk
P(jω) ∗
δ jω − j
=1
T
T
k=−∞
8
7
∞
2πk
1 !
=1
P jω − j
T
T
k=−∞
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
21 / 43
Aplicación: pulsos limitados en banda
" ω #
P(jω) = Π
=
2W
Ejemplo: para W <
9
1 |ω| < W
0 |ω| > W
π
T
1
T
;
<
2πk
P
jω
−
j
k=−∞
T
:∞
.......................... .......................... ..........................
...
.. ...
.. ...
..
...
.. ....
.. ....
..
...
.. ...
.. ...
..
...
.. ...
.. ...
..
...
.. ...
.. ...
..
...
.. ...
.. ...
..
...
.. ....
.. ....
..
...
.. ...
.. ...
..
...
..............
..............
.......
.....
π
π
MMC (UC3M)
− 2π
T
−T
0
T
Comunicaciones Digitales
2π
T
Modulaciones Lineales
22 / 43
Aplicación: pulsos limitados en banda (II)
Sólo son válidos aquellos pulsos tales que
π
W = n · rad/s
T
Lo que equivale, en el dominio temporal, a funciones del tipo
" t#
p(t) = sinc n
T
Mı́nimo ancho de banda para transmisión sin ISI a Rs =
π
Wmin = rad/s
T
1
T
simb./s
Para ancho de banda W, el perı́odo de sı́mbolo y la velocidad son
W
π
T = n · , Rs =
W
nπ
Máxima velocidad sin ISI sobre un ancho de banda W rad/s
&
W
Rs &max =
baudios (sı́mbolos/s)
π
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
23 / 43
Pulsos en coseno alzado
Expresión del pulso
p(t) =
7
sen(πt/T)
πt/T
87
cos(απt/T)
1 − (2αt/T)2
8
Transformada de Fourier
P(jω) =



T



)

T

2





0
1 − sen
Ancho de banda
MMC (UC3M)
-
0 ≤ |ω| < (1 − α)
π
T
..*
T
π
π
π
|ω| −
(1 − α) ≤ |ω| ≤ (1 + α)
2α
T
T
T
π
|ω| > (1 + α)
T
W = (1 + α)
Comunicaciones Digitales
π
T
Modulaciones Lineales
24 / 43
Pulsos en coseno alzado: p(t)
p(t)
.......
........ .........
..
..........
..............
..........
.........
............
............... α = 1
............
..........
..........
............
............... α = 0,75
............
.............
............
............... α = 0,5
.....
............
.................
............... α = 0
............
.
...........
.................
...........
...........
.
.........
.
.
......
.................
.
....
....................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...... ................................................................................
.............................................................................................................
t
........................................
.
.
.
.......... ................
.
.
.
.
.
.
.
.
................ .
.. ..............
−3T
−2T ..................−T
T .................. 2T
0
3T
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
25 / 43
Pulsos en coseno alzado: P(jω)
P(jω)
... ................................................................................................... .
.... .... ... ..
... ... ... ....
.... .. .. ...
.
.
.
... .. .. ..
... ... ... ..
... ... ... ...
... ... .. ..
... ... ... ... ............... α = 1
... ... ......
......... ..
.
.
.
... ......
......... ... ............... α = 0,75
.
.
.
... ......
........ ..
... .........
........ .. ............... α = 0,5
.........
..........
..... ............... α = 0
........
...
......
........
...........
...............
... ........
......... ...
.. ..........
.. .
... .......
............ ....
.. ..........
.
.. ... ... ...
.
... ... .. ...
...
.
.
.
.. ... .... ....
.
.
.
.. ... ... ...
... .. .. ...
.
.
.
.
.
.. .... ..... ......
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...
.
............................................................. .
................................................................
− 2π
T
MMC (UC3M)
− πT
0
Comunicaciones Digitales
π
T
2π
T
ω
Modulaciones Lineales
26 / 43
Pulsos en raı́z de coseno alzado
Procedimiento general para obtener g(t)
1
2
3
Diseñar p(t) para que cumpla Nyquist a perı́odo T y calcular
P(jω).
A
Hacer G(jω) = P(jω)
g(t) = TF −1 {G(jω)}
Pulsos en raı́z de coseno alzado
4α
g(t) = √
π T
MMC (UC3M)
-
cos (1 + α)
πt
T
.
1−
+T
-
-
sen (1 − α)
4αt
T
πt
T
.
4αt
.2
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
27 / 43
Relación espectro continuo/discreto
Relación señal continua x(t) y discreta x[n] muestreada a T seg.
&
x[n] = x(t)&t=nT = x(nT)
Normalmente se emplea la notación
X(jω):
; jω <espectro de x(t)
X e : espectro de x[n]
La relación entre ambos es la siguiente
Para pasar de continuo a discreto
7
8
; jω <
1 !
ω
2πk
X e = ·
X j −j
T
T
T
k
Para pasar de discreto a continuo
MMC (UC3M)
;
<
X(jω) = T · X ejωT
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
28 / 43
Procesos aleatorios y sistemas lineales
X(t) !
h(t)
Y(t) !
Teorema: X(t) es estacionario, de media mX y función de
autocorrelación RX (τ ). El proceso pasa a través de un sistema
lineal e invariante con respuesta al impulso h(t). En este caso,
los procesos de entrada y salida, X(t) e Y(t), son conjuntamente
estacionarios, siendo
' ∞
mY = mX
h(t) · dt
−∞
RY (τ ) = RX (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h(−τ )
RXY (τ ) = RX (τ ) ∗ h(−τ )
Además, se puede comprobar que
MMC (UC3M)
RY (τ ) = RXY (τ ) ∗ h(τ )
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
29 / 43
Relaciones en el dominio de la frecuencia
Media del proceso de salida
mY = mX · H(0)
Densidad espectral del proceso de salida
SY (jω) = SX (jω) · |H(jω)|2
Densidades espectrales cruzadas
def
SXY (jω) = TF[RXY (τ )]
SXY (jω) = SX (jω)H ∗ (jω)
∗
SYX (jω) = SXY
(jω) = SX (jω)H(jω)
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
30 / 43
Consecuencias del Criterio de Nyquist
El ruido a la salida del filtro adaptado: ruido coloreado
Sz (jω) = Sn (jω) · |G∗ (jω)|2 =
N0
· |G(jω)|2
2
Ruido a la salida del demodulador
& 7
8& 2
!
&
&
N
ω
2πk
0
&G j − j
&
Sz (ejω ) =
&
2T
T
T &
k
7
8
N0 !
ω
2πk
=
P j −j
2T
T
T
k
Si se cumple el Criterio de Nyquist z[n] es blanca !!!
7
8
1!
ω
2πk
P j −j
= constante.
T
T
T
k
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
31 / 43
Relación señal a ruido
Si se satisface el criterio de Nyquist, la señal recibida es
q[n] = A[n] + z[n]
En este caso, la relación señal a ruido es
7 8
S
E{|A[n]|2 }
Es
=
=
N q
σz2
σs2
σz2 es la varianza del ruido z[n]
1
σz2 =
2π
'
π
−π
Sz (ejω )dω
Si se cumple el criterio de Nyquist (con p[0] = 1) vale
σz2 =
MMC (UC3M)
N0
2
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Modulaciones Lineales
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Cálculo de probabilidades de error
Probabilidad de error de sı́mbolo
Pe =
M−1
!
i=0
Pe|ai =
'
pA (ai ) · Pe|ai
q∈I
/i
fq|A (q|ai )dq
Probabilidad de error de bit
BER =
M−1
!
i=0
BERai =
M−1
!
j=0
pA (ai ) · BERai
Pe|ai →aj ·
me|ai →aj
m
j"=i
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
33 / 43
Cálculo de la Pe|a0 y de la BERa0
01
a0
$
-3
00
a1
-2
$
-1
10
a2
0
$
1
11
a3
2
$
q
3
..........................
......
........
.....
....
....
....
.....
....
.....
.....
.....
......
.......
a0
a1
a..2.....................
...............a....$3................... q
$
$
$
-3
MMC (UC3M)
-2
-1
0
1
Comunicaciones Digitales
2
3
Modulaciones Lineales
34 / 43
Cálculo de la Pe|a0 y de la BERa0 (II)
Cálculo de Pe|a0
Pe|a0 = Q
Cálculo de BERa0
) -
BERa0 = Q
B
A
) -
+ Q
B
) -
+ Q
B
MMC (UC3M)
1
N0 /2
.
-
1
A
N0 /2
−Q
CD
-
Pe|a0 →a1
A
A
3
N0 /2
.
−Q
CD
A
-
Pe|a0 →a2
5
N0 /2
CD
.*
E
Pe|a0 →a3
×
.
3
N0 /2
A
.*
E
5
N0 /2
1
2
BCDE
×
me|a →a
0
1
m
.*
×
E
1
2
BCDE
2
2
BCDE
me|a →a
0
2
m
me|a →a
0
3
m
Comunicaciones Digitales
Modulaciones Lineales
35 / 43
Codificación de Gray
01
a0
$
-3
BER =
3
Q
4
00
a1
-
-2
A
-3
No /2
.
0
1
+ Q
2
-
00
a1
-2
BER =
MMC (UC3M)
-1
1
11
a0
$
$
10
a2
$
-1
-
5
Q
4
11
a3
$
1
A
2
3
No /2
.
10
a2
0
1
A
No /2
$
.1
$
3
1
− Q
4
q
-
5
A
No /2
01
a3
2-
1
− Q
4
Comunicaciones Digitales
$
3
A
3
No /2
.
q
.
Modulaciones Lineales
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Diagrama de Ojo
Herramienta de visualización del sistema
226 ón de formas de onda en torno al punto de M ODULACIONES LINEALES
Superposici
muestreo
Duración: 2T
Permite detectar varios problemas:
Problemas/sensibilidad al sincronismo
Nivel de ruido
ODULACIONES LINEALES
Presencia (y nivel) de la MISI
Figura 5.19: Proceso de construcción de un diagrama de ojo.
MMC (UC3M)
Comunicaciones Digitales
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Diagrama de ojo
Figura 5.19: Proceso de construcción de un diagrama de ojo.
(a)
(b)
Figura 5.20: Diagramas de ojo para una PAM binaria antipodal con pulsos en coseno
Factor de caida
α = 0,35
Factor de caida α = 1
alzado con (a) α = 0,35 y (b) α = 1.
c
!Antonio
Artés Rodríguez, Fernando Pérez González
(a)
MMC (UC3M)
Comunicaciones
(b) Digitales
Figura 5.20: Diagramas de ojo para una PAM binaria antipodal con pulsos en coseno
alzado con (a) α = 0,35 y (b) α = 1.
Modulaciones Lineales
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Transmisión PAM sobre canales lineales
Canal discreto equivalente
A[n]
!
p[n]
! #
q[n]
!
"
z[n]
p(t) = g(t) ∗ h(t) ∗ g(−t)
&
&
p[n] = p(nT) = (g(t) ∗ h(t) ∗ g(−t)) &&
t=nT
P(jω) = G(jω)H(jω)G∗ (jω) = H(jω) |G(jω)|2
Criterio de Nyqusist
Debe cumplirlo p[n] (o P(jω))
MMC (UC3M)
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Eliminación de la ISI
1
2
Diseñar el pulso p(t) para cumplir Nyquist a perı́odo de
sı́mbolo T.
Calcular
"
#1
 P(jω) 2
, si H(jω) = 0
H(jω)
G(jω) =
.
0,
en otro caso
De esta forma el filtro receptor está adaptado al utilizado en
transmisión.
MMC (UC3M)
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Eliminación de la ISI - Problemas
Hay que conocer la respuesta del canal, H(jω)
Puede ser difı́cil
El canal puede ser variante
El ruido deja de ser blanco
& ;
<&
&
ω
2πk &
!
<
N0
& P ;j T − j T < &
Sz ejω =
&
&
&
2T k & H j ωT − j 2πk
T
;
El decisor sı́mbolo a sı́mbolo no es óptimo
Es preciso utilizar toda la secuencia q[n] para estimar el
sı́mbolo A[n0 ]
Se puede amplificar el ruido
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Filtro receptor genérico
! #
s(t)
r(t)
!
"
f (t)
q(t) # q[n]
#
! Decisor
$
t = nT
n(t)
p(t) = g(t) ∗ h(t) ∗ f (t)
&
&
p[n] = p(nT) = (g(t) ∗ h(t) ∗ f (t)) &&
t=nT
P(jω) = G(jω)H(jω)F(jω)
z(t) = n(t) ∗ f (t)
MMC (UC3M)
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Criterios de diseño de f (t)
Filtro adaptado a la respuesta conjunta de transmisor y canal
gr (t) = g(t) ∗ h(t),
f (t) = gr (−t)
Maximiza la relación señal a ruido
No garantiza la ausencia de ISI y el ruido no es blanco
Eliminación de la ISI
F(jω) =
El ruido no es blanco
P(jω
Gr (jω)
Criterio MMSE: maximizar
E
MMC (UC3M)
97
:
F
G
2
E (A[n]p[0])
k
k"=n
82 H
A[k]p[n − k] + z[n]
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