Espectro de PAM banda base Teorema de Wiener-Khinchin
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Espectro de PAM banda base Teorema de Wiener-Khinchin
Espectro de PAM banda base Señal PAM banda base s(t) = ! n A[n] · g(t − nT) Sea {A[n]}∞ n=−∞ una secuencia de variables aleatorias (proceso aleatorio) E[A[n]] = m E[|A[n]|2 ] = Es E[A[k] · A∗ [j]] = RA [k − j] = RA [j − k] La densidad espectral de potencia es SA (ejω ) = ∞ ! n=−∞ RA [n] · e−jωn Sea g(t) cualquier señal determinista con transformada de Fourier G(jw) IT (UC3M) Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 1/7 Teorema de Wiener-Khinchin Densidad espectral de potencia " # |XT (jω)|2 E[|XT (jω)|2 ] def SX (jω) = E lı́m = lı́m . T→∞ T→∞ T T Teorema de Wiener-Khinchin Si para cualquier valor finito τ y cualquier intervalo A, de longitud |τ |, la autocorrelación del proceso aleatorio cumple $% $ $ $ $ RX (t + τ, t)dt$ < ∞, $ $ A la densidad espectral de potencia de X(t) es la transformada de Fourier de % 1 T/2 def < RX (t + τ, t) > = lı́m RX (t + τ, t) · dt. T→∞ T −T/2 IT (UC3M) Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 2/7 Corolarios Teorema de Wiener-Khinchin Corolario 1: Si X(t) es un proceso estacionario y τ RX (τ ) < ∞ para todo τ < ∞, entonces SX (jω) = TF[RX (τ )]. Corolario 2: Si X(t) es ciclostacionario y se cumple que $ % To $ $ $ $ $ < ∞, R (t + τ, t)dt X $ $ 0 entonces &X (τ )], SX (jω) = TF[R donde &X (τ ) = 1 R To % To /2 −To /2 RX (t + τ, t) · dt, y To es el perı́odo del proceso cicloestacionario. IT (UC3M) Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 3/7 Espectro de una PAM banda base X(t) = ∞ ! n=−∞ mX (t) = E ' ! n ( A[n]g(t − nT) = A[n]g(t − nT) ! n E[A[n]]g(t − nT) = m ! n g(t − nT) RX (t, t + τ ) = E[X(t)X ∗ (t + τ )] + , ! ! = E A[k]g(t − kT) A∗ [j]g∗ (t + τ − jT) j k = !! k = k IT (UC3M) j !! j E[A[k]A∗ [j]]g(t − kT)g∗ (t + τ − jT) RA [k − j]g(t − kT)g∗ (t + τ − jT) Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 4/7 Cicloestacionariedad mX (t + T) = m ! n =m ! j g(t + T − nT) = m g(t − jT) = mX (t) ! n g(t − (n − 1)T) RX (t + T, t + τ + T) = !! = RA [k − j]g(t + T − kT)g∗ (t + T + τ − jT) k = k = j !! m = j !! n !! m n RA [k − j]g(t − (k − 1)T)g∗ (t − (j − 1)T + τ ) RA [m + 1 − (n + 1)]g(t − mT)g∗ (t − nT + τ ) RA [m − n]g(t − mT)g∗ (t − nT + τ ) = RX (t, t + τ ) IT (UC3M) Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 5/7 Promedio temporal de la autocorrelación 1 R̃X (τ ) = T 1 = T % T 0 % 0 T RX (t, t + τ )dt !! k ∞ 1 ! = T 1 = T 1 = T = IT (UC3M) 1 T j ∞ ! RA [k − j]g(t − kT)g∗ (t + τ − jT)dt RA [−m] k=−∞ m=−∞ ∞ ! RA [m] m=−∞ ∞ ! m=−∞ ∞ ! n=−∞ RA [m] ∞ % ! k=−∞ % ∞ −∞ % T 0 g(t − kT)g∗ (t + τ − (k + m)T)dt −(k−1)T −kT g(u)g∗ (u + τ − mT)du g(u)g∗ (u + τ − mT)du RA [n]rg (nT − τ ), rg (t) = g(t) ∗ g∗ (−t), Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 6/7 Densidad Espectral de Potencia ∞ 1 ! R̃X (τ ) = RA [n] · rg (nT − τ ) T n=−∞ ∞ ! 1 = rg (τ ) ∗ RA [n] · δ(τ − nT) T n=−∞ ∞ ! 1 ∗ = g(τ ) ∗ g (−τ ) ∗ RA [n] · δ(τ − nT) T n=−∞ ∞ ! 1 ∗ RA [n] · e−jωnT SX (jω) = · G(jω) · G (jω) T n=−∞ = IT (UC3M) |G(jω)|2 · SA (ejωT ) T Comunicaciones Digitales Modulaciones Lineales 7/7
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