)´( m xf = )3´( m f = 9 2 − x

RESOLUCION DEL TRABAJO PRÁCTICO 2.
Materia:
Matemáticas
Profesor:
María Laura Companys
Ejercicio 1 (2 puntos)
Hallar la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = ( x − 5).e
x 2 −9
en x = 3.
Graficar en un mismo plano cartesiano f(x) y la recta que resuelve el problema propuesto.
Solución
Queremos determinar la ecuación de la recta tangente a la función
f(x) = ( x − 5).e x
f(x) = (3 − 5).e 3
2
2
−9
−9
en el punto P = (3, f(3))
= ( −2).e 0 = (−2).1 = −2
Así podemos decir que P=(3,-2)
La recta tangente tiene ecuación y = m. x + b (es una función lineal)
•
Determinación de m
f ´(x1 ) = mtan
En nuestro caso:
f ´(3) = mtan
Calculamos primero f´(x) con las reglas de derivación:
f´(x) = ( x − 5)´.e x
2
−9
f´(x) = [( x)´−(5)´].e x
f´(x) = [1 − 0].e x
2
−9
+ ( x − 5).[e x
2
−9
2
−9
+ ( x − 5).[e x
+ ( x − 5).[e x
2
−9
]´ por regla 3 dada en la clase 8
2
−9
]´ por regla 2 dada en la clase 8
]´ por tabla
x 2 − 9 derivamos según regla 5 dada en la clase 8:
Ahora llamamos u(x)=
f´(x) = 1.e x
2
−9
+ ( x − 5).[e u ]´
f´(x) = 1.e x
2
−9
+ ( x − 5).e u .u´
f´(x) = e x
2
−9
+ ( x − 5).e x
2
−9
.( x 2 − 9)´
f´(x) = e x
2
−9
+ ( x − 5).e x
2
−9
. ( x 2 )´−(9)´ por regla 2 dada en la clase 8
f´(x) = e x
2
−9
+ ( x − 5).e x
2
−9
.2 x por tabla
−9
+ (3 − 5).e 3
2
−9
.2.3 = e 0 + ( −2).e 0 .6 = 1 + ( −2).1.6 = 1 − 12 = −11
f´(3) = e 3
2
[
]
Así la recta tangente será y = − 11 .x + b
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1
•
Determinación de b
Sabemos que esta recta es tangente a la ecuación en el punto (3,-2), por lo tanto si x=3, y=2, reemplazando:
-2=-11.3+b
-2+33=b
31=b
Por lo tanto, la recta tangente a la función es y = -11.x +31
Respuesta del ejercicio 1)
La ecuación de la recta tangente a f(x) = ( x − 5).e
x 2 −9
en el punto P=(3,-2) es: y =-11.x +31
Ejercicio 2 (2 puntos)
Determinar el o los valores de x que verifican la siguiente ecuación:
2.log 10 ( x ) − log 10 (x + 12 ) = 0
Solución
2.log 10 (x ) − log 10 ( x + 12 ) = 0
log 10 (x ) − log 10 ( x + 12 ) = 0 recordemos que log (a)n=n. log a (pag 67. carpeta UOC)
2
log10 [
x2
] = 0 recordemos que log (a/b)= log a - log b. (pag 67. carpeta UOC)
x + 12
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2
x2
= 10 0
x + 12
x2
=1
x + 12
x 2 = x + 12
x 2 − x − 12 = 0
Aplicando la fórmula de recurrencia para la resolución de ecuaciones de segundo grado
obtenemos:
x=
1 ± (−1) 2 − 4.1.(−12) 1 ± 1 + 48 1 ± 49 1 ± 7
=
=
=
2.1
2
2
2
Los valores que se obtienen son:
x=4
ó
x = -3
Ahora debemos suponer (x) y
(x + 12 )
positivos de modo que sus logaritmos esten definidos,
veamos si esto ocurre para x = -3, x = 4
• x = -3
(x ) en x = -3 ⇒ (− 3) negativo
(x + 12 ) en x = -3 ⇒ [−3 + 12] = 9
positivo
• x=4
(x ) en x = 4 ⇒ (4) positivo
(x + 12 ) en x = 4 ⇒ [4 + 12] = 16
positivo
Respuesta del ej. 2) La solución de la ecuación dada es x = 4
Verificación:
• Para x = 4
2.log 10 (4) − log 10 (4 + 12) = 0
log 10 (4 ) − log 10 (4 + 12 ) = 0
log 10 (16) − log 10 (16 ) = 0
2
0=0
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3
Ejercicio 3 (3 puntos)
Hallar el dominio, los ceros, f´ ̦ ecuaciones de las asíntotas, intervalos de crecimiento y
decrecimiento, extremos locales (máximos y mínimos) y hacer un gráfico aproximado para la
función f(x) =
1− x2
x2 − 4
Solución
Dominio
No podemos dividir por cero, así que debemos encontrar todos los valores de x que hacen que
el denominador sea cero. Éstos no pueden ser números de entrada. Entonces igualamos el
denominador a cero y resolvemos:
x 2 − 4 = 0 si
x 2 = 4 si
x = ±2
Entonces, el dominio de f es todos los números reales excepto -2 y 2, en símbolos: Dom f =
ℜ − {− 2,2}
Ceros
C0 = { x ∈ ℜ / f(x) = 0 }es buscar cuales son los valores de x para los cuales el valor de la
función es cero.
Debemos plantear entonces:
1− x2
=0
x2 − 4
1− x2 = 0
1 = x 2 ⇔ x = −1 ó
x =1
Por lo tanto: C0 = { x ∈ ℜ / f(x) =0 } = {-1,1}
Continuidad
Esta función racional tiene denominador
x 2 − 4 que es 0, cuando x=-2, x=2. Así f es
discontinua en x = -2 y en x=2.
Como además lim f ( x ) = lim (
x → −2
lim f ( x) = lim(
x→2
x →2
x → −2
1− x2
)=∞
x2 − 4
1− x2
)=∞
x2 − 4
De acuerdo a la clasificación de las discontinuidades dada en la página 13 de la carpeta de
trabajos UOC en x=-2 y en x=2 la función tiene discontinuidades con asíntotas verticales.
Ecuaciones de las asíntotas verticales: x=-2, x=2
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4
Asíntota horizontal
Para hallar las asíntotas horizontales de una función debemos calcular:
Si
lim f ( x)
x →∞
lim f ( x) = n entonces y = n es la asíntota horizontal de f(x)
x →∞
1− x2
1 x2
1
− 2
−1
2
2
2
1− x2
x
x
x
x
) = −1
lim f ( x) = lim( 2
) = lim( 2
) = lim( 2
) = lim(
x →∞
x →∞ x − 4
x →∞ x − 4
x →∞ x
x →∞
4
4
1− 2
−
x
x2
x2 x2
y = 1 es la asíntota horizontal de f(x)
Máximos y mínimos
Calculamos la derivada de la función
f(x) =
1− x2
x2 − 4
f´(x) = (
f´(x) =
1− x2
)´
x2 − 4
(1 − x 2 )´.(x 2 − 4) − (1 − x 2 ).( x 2 − 4)´
( x 2 − 4) 2
(−2 x).( x 2 − 4) − (1 − x 2 ).2 x − 2.x 3 + 8 x − (2 x − 2 x 3 ) − 2.x 3 + 8 x − 2 x + 2 x 3
6x
=
= 2
f´(x) =
=
2
2
2
2
2
2
( x − 4)
( x − 4)
( x − 4)
( x − 4) 2
f´(x) =
6x
( x − 4) 2
f´(x) =
6x
= 0 si 6 x = 0 ⇔ x = 0
( x − 4) 2
2
2
El denominador de f ´(x)=0 cuando x=-2, x=2 por lo que f´(-2) y f´(2)
no existen. El valor x =0 es crítico pero x=-2, x=2 no lo son porque
f(-2) y f(2) no están definidos (f es discontinua en x=-2, x=2)
Los valores hallados nos conducen a probar cuatro intervalos.
(en cada uno de esos intervalos, f es diferenciable y no es cero).
-2
0
2
Enmarcamos los valores x = -2, x = 2 para indicar que no se pueden
corresponder a extremos relativos. Sin embargo, es esencial que x = -2,
x=2
se
considere
en
nuestro
análisis
relativo
de
crecimiento/decrecimiento.
Si x < -2 entonces f ´(x) < 0, por lo que f es decreciente
si -2 <x < 0 entonces f ´(x) < 0, por lo que f es decreciente
si 0 <x < 2 entonces f ´(x) > 0, por lo que f es creciente
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5
si x > 2 entonces f ´(x) > 0, por lo que f es creciente
Así f es creciente en el intervalo (0,2) y en (2, +∞) y es decreciente en (-∞,-2) en (-2,0)
f ´(x) < 0
f ´(x) < 0
f decreciente f decreciente
-2
f ´(x) > 0
f ` (x) > 0
f creciente f creciente
0
2
De la figura anterior concluimos que cuando x = 0 se tiene un mínimo relativo ya que f ´(x)
cambia de - a + (éste valor mínimo es f(0) = -1/4). Ignoramos a x = -2, x=2 ya que no son
valores críticos.
Por lo tanto el punto mínimo relativo es (0,-1/4).
Para verificar todas las respuestas hacemos un grafico de la función con el programa GNUPLOT
Respuestas del ejercicio 3
Dom f = ℜ - {-2,2}
C0 = {-1,1}
f es discontinua en x = -2, x=2.
Las ecuaciones de las asíntotas verticales son: x=-2, x=2.
La ecuación de la asíntota horizontal es y=1
f es creciente en el intervalo (0,2) y en (2, +∞) y es decreciente en (-∞,-2) en (-2,0)
f alcanza el mínimo relativo en el punto (0,-1/4)
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Ejercicio 4 (3 puntos)
La función de ingreso por las ventas de un producto esta dada por I (q ) = q. 900 − 4.q . Hallar
el valor de q para el cual el ingreso es máximo y los intervalos de crecimiento del ingreso.
Solución
Como es una función económica, primero le buscamos el dominio
En primer lugar, q > 0
Por otro lado,
900 − 4.q > 0
900 > 4q
900
>q
4
225 > q
Así, ésta función está bien definida para valores de q en el intervalo [0,225]
Procedimiento para encontrar los extremos absolutos de una función continua en
[a,b]
(desarrollado en la clase 9)
1. Encontrar los valores críticos de f
2. Evaluar f(x) en los puntos extremos a y b y en los valores críticos sobre (a,b).
3. El valor máximo de f es el mayor de los valores encontrados en el paso 2. El valor mínimo
de f es el menor de los valores encontrados en el paso 2.
Como f es continua sobre [0,225], el procedimiento anterior es aplicable aquí.
1.
Para encontrar los valores críticos de n(t), encontramos primero n ´(t)
I ´(q ) = 1. 900 − 4.q −
2.q
900 − 4.q
= 0 si q = 150
Esto da el valor crítico q = 150
2.
Al evaluar f(x) en los puntos extremos 0 y 225 y en el valor crítico 150, tenemos:
I(0)=0
I(150) ≅ 2598
I(225)=0
3.
De los valores de la función en el paso 2, vemos que se tiene un máximo absoluto en
I=150
Para verificar todas las respuestas hacemos un grafico de la función con el programa GNUPLOT
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Respuesta del ejercicio 4)
El ingreso es máximo para q = 150
El intervalo de crecimiento del ingreso se obtiene para valores de q en el intervalo (0,150)
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