Guia

Variable Compleja 1
Guı́a para el primer parcial
1. Para cada uno de los siguientes números complejos encuentra: su parte
real e imaginaria, su norma, su argumento, su conjugado y su inverso.
• z = 3 − 4i
• z = i(i + 1)
• z = (2 + i)3
• Los z tal que z 3 = 8.
2. Sea P (z) un polinomio con coeficientes reales.
• Demuestra que α es raı́z de P si y sólo si α es raı́z de P .
• Demuestra que todo polinomio con coeficientes reales puede expresarse como el producto de polinomios con coeficientes reales de grado
1 o 2.
3. Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones:
• (az + b)3 = c, donde a, b, c > 0,
• z 4 + 2z + 2 = 0.
4. Dibuja las regiones del plano asociadas con las siguientes desigualdades.
Determina si son abiertas, cerradas, acotadas, compactas, conexas o arcoconexas.
• |2z + 1 + i| ≤ 4
• 0 < |2z + 1| < 2
5. Determina cuales de las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann. En caso de hacerlo, encuentra la expresión de f en
términos de z.
• f (x, y) = x − iy + 1
• f (x, y) = y 3 − 3x2 y + i(x3 − 3xy 2 + 2)
6. Se da la parte real de una función analı́tica. Encuentra la parte imaginaria
en términos de z:
• 2x(c − y),
1
•
y
.
x2 + y 2
7. Determina en donde son analı́ticas las siguientes funciones. En los puntos donde no sean analı́ticos analiza el comportamiento de la función en
vecindades alrededor del punto.
• f (z) = tan z,
• f (z) = esin z ,
• f (z) = ez ,
• f (z) =
z4
z
,
+1
1
• f (z) = e z .
8. Determina todos los posibles valores y da los valores principales(los que
corresponden a las ramas principales) de los siguientes números:
√
• i,
1
• √
,
1+i
√
• log(1 + 3i)
√
• i
3
9. Demuestra que para la rama principal se cumple
d
1
tan−1 z =
.
dz
1 + z2
10. Considera la función multivaluada f (z) = z m/n , donde m, n > 0 definida
en C − {0}. Explica como definir la rama principal de esta función y en
dónde de está definida. Encuentra la derivada en dicho caso.
11. Establece la siguiente generalización de Cauchy-Riemann: Sea f (z) =
u(z) + iv(z) una función derivable en z0 ∈ G, donde G es un dominio,
entonces se cumple que:
∂u
∂v ∂u
∂v
=
,
=− ,
∂s
∂n ∂n
∂s
∂ ∂
donde
,
denotan las derivadas direccionales con respecto a dos di∂s ∂n
recciones s, n ortogonales.
12. Sea f (z) = z 2 .
• Encuentra la imagen bajo f de las rectas paralelas al eje real.
• Encuentra la imagen bajo f de las rectas paralelas al eje imaginario.
2
• Haz un dibujo de las imagenes de las familias de los incisos anteriores
y verifica que en todo punto z 6= 0 los ángulos se mantienen.
• Demuestra que en z = 0 los ángulos se duplican.
• Explica como se alteran las distancias bajo este mapeo.
13. Decimos que F : U → C es una antiderivada de f : U → C si F 0 (z) = f (z)
para toda z ∈ U , donde U es un dominio y f es holomorfa. Si f tiene una
antiderivada F , determina si es cierto que F tenga una antiderivada.
14. Sean U1 , U2 dos abiertos tal que su intersección es no vacı́a y conexa.
Supongamos que f es holomorfa en la unón U1 ∪ U2 , y que f tiene una
antiderivada en U1 , U2 . Demuestra que f tiene una antiderivada en U1 ∪U2 .
Demuestra, dando un ejemplo, que las suposiciónes sobre la intersección
no pueden removerse.
15. Sean z1 , z2 , ... números complejos tal que |zj − zk | es un entero para cualesquiera j, k. Demuestra que z1 , z2 , ... se encuentran todos sobre una
misma recta.
16. Demuestra que si lim zn = ω ∈ C entonces
n→∞
lim
n→∞
z1 + ... + zn
= ω.
n
17. Supongamos que zn → ω 6= 0 y tal que ω no es un número negativo.
Demuestra que arg zn → arg ω.
18. Da un ejemplo de una sucesión cuya convergencia puede ser determinado
usando el criterio de la raı́z pero no el de la razón.
19. Investiga la convergencia de las siguientes series:
•
•
•
∞
X
1
,
(1
+
i)n
n=0
∞ X
n=0
∞
X
cos
nπ
nπ + i sin
,
4
4
(1 + i)n
.
i(1 + i)n + 2
n=0
20. Demuestra que si la serie
∞
X
zn2 converge absolutamente, entonces
n=0
∞
X
zn
n=0
también. Determina la veracidad del inverso.
21. Demuestra que si la serie
∞
X
zn converge y además | arg zn | ≤ α <
n=0
toda n, entonces la serie converge absolutamente.
3
π
2
para
22. Sea E el conjunto de los puntos en el semiplando superior que no pertenecen
1
a ninguna de los segmentos z = + it, 0 < t ≤ 1, n ∈ Z. Determina la
n
frontera de E. También determina si E es un dominio, y en caso de serlo
si es simplemente conexo.
4