Rotabilidad de Mecanismos Ejemplos

Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras:
Ejemplos.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica.
División de Ingenierı́as, Campus Irapuato-Salamanca.
Universidad de Guanajuato.
CP 36730, Salamanca, Gto., México
E-mail: [email protected]
Alejandro Tadeo Chávez.
Instituto Tecnológico Superior de Irapuato.
Carretera Irapuato Silao K.M 12.5.
CP 36821, Irapuato, Gto., México
Tel. (462) 60 67 900. E-mail: [email protected]
1
Introducción.
En estas notas se presentan algunos ejemplos de aplicación de las condiciones de rotabilidad y del
criterio de Grashoff para la determinación del tipo de mecanismos planos de cuatro barras y sus,
posibles, posiciones crı́ticas.
2
Ejemplo 1: Mecanismo rotatorio-oscilatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1 cuyas longitudes son:
a1 = 10, a2 = 2, a3 = 8, a4 = 6.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto
es:
L+s≤p+q
(1)
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por
a1 = 10 = L, a2 = 2 = s, a3 = 8 = p, a4 = 6 = q. Por lo que, sustituyendo las dimensiones
correspondientes, se obtiene
10 + 2 ≤ 8 + 6
o
12 ≤ 14
(2)
Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que s = a2 , se concluye que el
mecanismo es rotatorio-oscilatorio y el eslabón 2 puede realizar rotaciones completas.
En una segunda etapa, se confirmará este resultado empleando las condiciones de rotabilidad
y, adicionalmente, se determinarán las, posibles, posiciones crı́ticas de los eslabones de entrada y
de salida.
1
Figure 1: Mecanismo plano de cuatro barras
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4
(3)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
10 + 2 ≤ 8 + 6
12 ≤ 14.
o
(4)
El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior
|a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 |
(5)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|2 − 10| ≥ |6 − 8|
8 ≥ 2.
o
(6)
El eslabón 2 satisface esta segunda condición de rotabilidad.
Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar 360◦ .
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior
a1 + a4 ≤ a2 + a3
(7)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
10 + 6 ≤ 2 + 8
o
16 6≤ 10
(8)
El eslabón 4 no cumple con esta condición de rotabilidad, por lo tanto tiene una posición
lı́mite, vea la figura 2. El ángulo correspondiente se obtiene como
cos α =
a21 + a24 − (a2 + a3 )
2a1 a4
2
2
(9)
Figure 2: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición lı́mite externa
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
α = 72.5423◦
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 72.5423◦ = 107.4576◦
• Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
(10)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6 − 10| ≥ |8 − 2|
o
4 6≥ 6
(11)
Entonces el eslabón 4 no cumple con está condición de rotabilidad, por lo tanto tiene
una posición lı́mite interior, vea la figura 3. El ángulo correspondiente se obtiene como
cosβ =
a21 + a24 − (a3 − a2 )
2a1 a4
2
(12)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
β = 33.5573◦
Entonces el ángulo θ4L2 está dado por
θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 33.5573◦ = 146.4426◦
El paso final consiste en, dado que el eslabón 4 no puede rotar completamente, determinar el
ángulo de oscilación, vea la figura 4, que está definido como
φ4 = α − β.
(13)
Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene
φ4 = 72.5423◦ − 33.5573◦ = 38.985◦
3
(14)
Figure 3: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición de puntos muertos interior.
Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras: Ángulo de oscilación del mecanismo
3
Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 5, cuyas longitudes están
dadas por a1 = 3, a2 = 6, a3 = 11, a4 = 9.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto
es:
L+s≤p+q
(15)
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por
a1 = 3 = s, a3 = 11 = L, a2 = 6 = p, a4 = 9 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientes
se obtiene
11 + 3 ≤ 6 + 9
o
14 ≤ 15
(16)
Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que el eslabón más pequeño es s = a1 = 3,
el mecanismo es doble rotatorio.
4
Figure 5: Mecanismo plano de cuatro barras
En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones de rotabilidad
para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabón 2
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior.
a1 + a2 ≤ a3 + a4
(17)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
3 + 6 ≤ 11 + 9
9 ≤ 20.
o
(18)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior
|a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 |
(19)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6 − 3| ≥ |9 − 11|
3 ≥ 2.
o
(20)
Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 2, por lo tanto, este eslabón
puede rotar 360◦ .
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3
(21)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
3 + 9 ≤ 6 + 11
5
o
12 ≤ 17.
(22)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
(23)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|9 − 3| ≥ |11 − 6|
o
6 ≥ 5.
(24)
Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 4, por lo tanto este eslabón 4
puede rotar 360◦ .
Con este resultado se verifica que el mecanismo es doble rotatorio. Por lo tanto, no es necesario
calcular ángulo de oscilación alguno.
4
Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la clase I.
Considere un mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 6 cuyas longitudes están dadas
por a1 = 7, a2 = 6, a3 = 3, a4 = 5.
Figure 6: Mecanismo de cuatro barras
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto
es
L+s≤p+q
(25)
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por
a1 = 7 = L, a3 = 3 = s, a2 = 6 = p, a4 = 5 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientes
se obtiene
7+3≤6+5
o
10 ≤ 11.
(26)
Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que s = a3 = 3 el mecanismo es doble
oscilatorio.
En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones de rotabilidad
para los eslabones de entrada y de salida.
6
1. Eslabón 2
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior.
a1 + a2 ≤ a3 + a4
(27)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
7+6≤3+5
13 6≤ 8
o
(28)
El eslabón 2 no cumple con está condición de rotabilidad, por lo tanto tiene una posición
de puntos muertos exterior, vea la figura 7, el ángulo θ2D1 está dado por
cos θ2D1 =
a21 + a22 − (a3 + a4 )
2a1 a2
2
(29)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
θ2D1 = 75.52◦
(30)
Figure 7: Posición de puntos muertos exterior en un mecanismo plano de cuatro barras
• Segunda condición de rotabilidad Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 |
(31)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6 − 7| ≥ |5 − 3|
o
1 6≥ 2.
(32)
El eslabón 2 no cumple con está condición de rotabilidad, por lo tanto, se presenta una
posición de puntos muertos interior, vea la figura 8, el ángulo θ2D2 está dado por
cos θ2D2 =
a21 + a22 − (a4 − a3 )
2a1 a2
2
(33)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene
θ2D2 = 15.35◦
7
(34)
Figure 8: Posición de puntos muertos interior en un mecanismo plano de cuatro barras.
La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz de rotar 360◦ . El paso final consiste en determinar
el ángulo de oscilación, vea la figura 9, que está definido como
φ2 = θ2D1 − θ2D2 .
(35)
Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene
φ2 = 75.52◦ − 15.35◦ = 60.17◦
(36)
Figure 9: Determinación del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo plano de cuatro
barras.
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3
8
(37)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
7+5≤6+3
12 6≤ 9.
o
(38)
El eslabón 4 no cumple con está condición de rotabilidad; por lo tanto, el eslabón 4
tiene una posición lı́mite exterior, vea la figura 10, el ángulo correspondiente está dado
por
2
a2 + a24 − (a2 + a3 )
cos α = 1
(39)
2a1 a4
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene
α = 95.73◦
(40)
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 95.73◦ = 84.27◦
(41)
Figure 10: Posición lı́mite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior.
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
(42)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|5 − 7| ≥ |3 − 6|
o
2 6≥ 3.
(43)
De acuerdo con este resultado, el eslabón 4 no puede rotar completamente; por lo tanto, el
eslabón 4 presenta una posición lı́mite correspondiente, vea la figura 11, el ángulo θ4L2 está
dada por
2
a2 + a24 − (a3 − a2 )
cos β = 1
(44)
2a1 a4
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene
β = 21.78◦
9
(45)
Figure 11: Posición lı́mite interior en un mecanismo plano de cuatro barras.
y el ángulo θ4L2 está dado por
θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 21.78◦ = 158.21◦
(46)
La conclusión es que el eslabón 4 no puede rotar completamente. El paso final consiste en
determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 12, el ángulo θ4L2 está dado por
φ4 = α − β
(47)
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦
Figure 12: Determinación del ángulo de oscilación φ4 en un mecanismo de cuatro barras
10
(48)
5
Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la clase II.
Considere un mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 13, cuyas longitudes están dadas
por a1 = 11, a2 = 6, a3 = 9, a4 = 7.
Figure 13: Un mecanismo plano de cuatro barras
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto
es
L+s≤p+q
(49)
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por
a1 = 11 = L, a2 = 6 = s, a3 = 9 = p, a4 = 7 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientes
se obtiene
11 + 6 ≤ 9 + 7
o
17 6≤ 16.
(50)
Por lo tanto, el mecanismo es de la clase II y por lo tanto es doble oscilatorio.
En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones de rotabilidad
para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior.
a1 + a2 ≤ a3 + a4 .
(51)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
11 + 6 ≤ 9 + 7
o
17 6≤ 16.
(52)
Es eslabón 2 no cumple con está condición de rotabilidad; por lo tanto, el eslabón 2
presenta una posición de puntos muertos exterior, vea la figura 14, el ángulo θ2D1 está
dado por
2
a2 + a22 − (a3 + a4 )
cosθ2D1 = 1
(53)
2a1 a2
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene
θ2D1 = 138.59◦
11
(54)
Figure 14: Posición de puntos muertos exterior en un mecanismo plano de cuatro barras
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 |
(55)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|11 − 6| ≥ |7 − 9|
o
5≥2
(56)
Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con está condición de rotabilidad.
Figure 15: Ángulo de oscilación φ2 en un mecanismo plano de cuatro barras
El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación, φ2 , vea la figura 15, el cual está
definido como
φ2 = 2 θ2D1
(57)
Sustituyendo los valores correspondientes se tiene
φ2 = 2 (138.59◦ ) = 277.18◦
12
(58)
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3
(59)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
11 + 7 ≤ 6 + 9
18 6≤ 15
o
(60)
El eslabón 4 no cumple está condición de rotabilidad; por lo tanto, el eslabón 4 presenta
una posición lı́mite exterior, vea la figura 16, el ángulo θ4L1 está dado por
cos α =
a21 + a24 − (a2 + a3 )
2a1 a4
2
(61)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones obtenemos que:
α = 110.92◦
(62)
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por:
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 110.92◦ = 69.07◦
(63)
Figure 16: Posición lı́mite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior.
|a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 |
(64)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|7 − 11| ≥ |9 − 6|
o
4≥3
(65)
Este resultado muestra que el eslabón 4 si cumple con está condición de rotabilidad.
13
La conclusión es que el eslabón 4 es incapaz de rotar completamente. El paso final consiste en
determinar el ángulo de oscilación, φ4 , vea la figura 17, el cual está definido como
φ4 = 2α
(66)
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 2 (110.92◦ ) = 221.84◦ .
Figure 17: Ángulo de oscilación φ4 en un mecanismo plano de cuatro barras
14
(67)