Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras
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Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras
Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras: Ejemplos. José Marı́a Rico Martı́nez Departamento de Ingenierı́a Mecánica División de Ingenierı́as, Campus Irapuato-Salamanca. Universidad de Guanajuato CP 36730, Salamanca, Gto., México E-mail: [email protected]. Alejandro Tadeo Chávez. Instituto Tecnológico Superior de Irapuato. Carretera Irapuato Silao K.M 12.5. CP 36821, Irapuato, Gto., México Tel. (462) 60 67 900. E-mail: [email protected] 1 Introducción. En estas notas se presentan algunos ejemplos de aplicación de las condiciones de rotabilidad y del criterio de Grashoff para la determinación del tipo de mecanismos planos de cuatro barras y sus, posibles, posiciones crı́ticas. 2 Ejemplo 1: Mecanismo rotatorio-oscilatorio. Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 2 cuyas longitudes son: a1 = 10; a2 = 2; a3 = 8; a4 = 6. Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto es: L+s≤p+q (1) Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por a1 = 10 = L; a2 = 2 = s; a3 = 8 = p; a4 = 6 = q. Por lo que, sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene 1 10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14 (2) Por lo tanto, el mecanismo es10de aún, concluye + 2la≤Clase 8 + 6 I,ó más 12 ≤ 14 puesto que s = a2 , se(2) que el mecanismo es rotatorio-oscilatorio y el eslabón 2 puede completas. Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto realizar que s = arotaciones 2 , se concluye que el mecanismo es rotatorio-oscilatorio y el eslabón 2 puede realizar rotaciones completas. En una segunda etapa, se confirmará este resultado empleando las condiciones de segunda etapa, se este resultado empleando las condiciones de de los rotabilidadEny,una adicionalmente, seconfirmará determinarán las, posibles, posiciones crı́ticas rotabilidad y, adicionalmente, se determinarán las, posibles, posiciones crı́ticas de los eslabones de entrada y de salida. eslabones de entrada y de salida. Figure Mecanismo plano plano de barras Figure 1: 1: Mecanismo decuatro cuatro barras 1. Eslabón 2. 1. Eslabón• 2. Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior • Primera condición de rotabilidad. de puntos muertos(3)exterior a1 + a2 ≤ a3Posición + a4 Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene a1 + a2 ≤ a3 + a4 10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14 (3) (4) Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad. • Segunda condición 10 de + rotabilidad. 2 ≤ 8 + 6 Posición ó 12de≤puntos 14 muertos interior. |a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 | (5) (4) El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad. Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene • Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior. |2 − 10| ≥ |6 − 8| ó 8 ≥ 2. | ≥ |a4 −dea3rotabilidad. | El eslabón 2 satisface esta |a segunda 2 − a1condición (6) (5) Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene 2 |2 − 10| ≥ |6 − 8| ó 8 ≥ 2. El eslabón 2 satisface esta segunda condición de rotabilidad. (6) Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar 360◦ . 2. Eslabón 4. ◦ Por lo tanto, se verifica de que rotabilidad. este eslabón 2 puede girar 360 . • Primera condición Posición lı́mite exterior. 2. Eslabón 4. a1 + a4 ≤ a2 + a3 (7) • Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior. Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene a1 + a4 ≤ a2 + a3 (7) 10 + 6 2 + 8 ó 16 10 (8) Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene El eslabón 4 no cumple con de rotabilidad, por lo tanto 10 esta + 6 condición 2 + 8 ó 16 10 (8) tiene una posición lı́mite, vea la figura 2. El ángulo correspondiente se obtiene como El eslabón 4 no cumple con esta condición de rotabilidad, por lo tanto tiene una posición lı́mite, vea la figura 2. El ángulo correspondiente se obtiene como a21 + a24 − (a2 + a3 )2 cosα = 1 a2 4+ a3 )2 + 2a − (a cosα = 2a1 a4 se obtiene que Sustituyendo las longitudes de los eslabones a21 a24 (9) (9) 2: Mecanismo plano cuatrobarras barras en lı́mite externa. Figure Figure 2: Mecanismo plano de de cuatro enuna unaposición posición lı́mite externa. Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que ◦ αα= = 72.5423 72.5423◦ Entonces el ángulo estádado dado por por Entonces el ángulo θ4L1θ4L1 está ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ = 180 180◦ − 4L1 180 θ4L1θ= −−αα==180 −72.5423 72.5423=◦ 107.4576 = 107.4576◦ • Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior. |a4 −3a1 | ≥ |a3 − a2 | Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene (10) 4L2 θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 33.5573◦ = 146.4426◦ El paso final consiste en, dado que el eslabón 4 no puede rotar completamente, • Segunda condición de lı́mite interior.como determinar el ángulo de oscilación, vearotabilidad. la figura 4,Posición que está definido |a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 | (10) φ4 = α − β Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene (13) Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene |6 − 10| |8 − 2| ó 4 6. ◦ ◦ (11) ◦ φ4eslabón = 72.5423 − 33.5573 = 38.985 Entonces el 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto tiene una posición lı́mite interior, vea la Figura 2. El ángulo correspondiente se obtiene como (14) Figure 3:Figure Mecanismo plano de cuatro barras unaposición posición puntos muertos interior. 3: Mecanismo plano de cuatro barras en en una de de puntos muertos interior. a21 + a24 − (a3 − a2 )2 cosβ = 2a1 a4 Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que (12) β = 33.5573◦ Entonces el ángulo θ4L2 está dado 4 por θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 33.5573◦ = 146.4426◦ El paso final consiste en, dado que el eslabón 4 no puede rotar completamente, determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 2, que está definido como φ4 = α − β (13) φ4 = 72.5423◦ − 33.5573◦ = 38.985◦ (14) Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene La figura 2 muestra una animación del movimiento del mecanismo. 4 Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras. Ángulo de oscilación del eslabón motriz. Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras. Ángulo de oscilación del mecanismo. 3 Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio. Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 5, cuyas longitudes están dadas por a1 = 3; a2 = 6;(VideoMecanismoUno.wmv) a3 = 11; a4 = 9. Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto es: L+s≤p+q (15) Figure 5: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras. 3 Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio. Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 3, cuyas longitudes están dadas por a1 = 3; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 9. Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto es: L+s≤p+q (15) Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por a1 = 3 = s; a3 = 11 = L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene Figure 5: Mecanismo plano de cuatro barras. 5 Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por a1 = 3 = s; a3 = 11 = L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene Grashoff, esto es: L+s≤p+q (15) Figure Mecanismo plano plano dedecuatro barras Figure 5: 6: Mecanismo cuatro barras. Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está 11 + 3 ≤ 6 + 9 ó 14 ≤ 15 (16) dada por a1 = 3 = s; a3 = 11 = L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo las Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que y puesto que el dimensiones correspondientes, se obtiene eslabón más pequeño es s = a1 = 3,el mecanismo es doble rotatorio. 3 ≤ 6 +este 9 resultado ó 14 ≤empleando 15 En una segunda etapa,11 se+verificará las condiciones de rotabilidad para los eslabones de entrada y de salida. 1. Eslabón 2. 5 • Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior a1 + a2 ≤ a3 + a4 (17) Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene 3 + 6 ≤ 11 + 9 ó 9 ≤ 20 (18) • Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior. |a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 | (19) Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene |6 − 3| ≥ |9 − 11| ó 3 ≥ 2. (20) Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 2, por lo tanto, este eslabón puede rotar 360◦ . 6 (16) 2. Eslabón 4. • Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior. a1 + a4 ≤ a2 + a3 (21) Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene 3 + 9 ≤ 6 + 11 ó 12 ≤ 17 (22) • Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior. |a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 | (23) Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene |9 − 3| ≥ |11 − 6| ó 6 ≥ 5. (24) Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 4, por lo tanto el eslabón 4 puede rotar 360◦ . La figura 3 muestra una animación del movimiento del mecanismo. (VideoMecanismoDos.wmv) Figure 7: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras. Con este resultado se verifica que el mecanismo es doble rotatorio. Por lo tanto, no es necesario calcular ángulo de oscilación alguno. 4 Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la clase I. Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 4, cuyas longitudes están dadas por a1 = 7; a2 = 6; a3 = 3; a4 = 5. 7 Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 6, cuyas longitudes están dadas por a1 = 7; a2 = 6; a3 = 3; a4 = 5. Figure Mecanismo plano cuatro barras. Figure 6: 8:Mecanismo planodede cuatro barras. Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Primeramente Grashoff, esto se es: determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto es: L+s≤p+q (25) + s ≤ pmás + qlargo, más corto e intermedios está (25) Para este caso, la selección de losLeslabones dada por a1 = 7 = L; a3 = 3 = s; a2 = 6 = p; a4 = 5 = q. Sustituyendo las dimensiones Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está correspondientes, se obtiene dada por a1 = 7 = L; a3 = 3 = s; a2 = 6 = p; a4 = 5 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene 7 + 3 ≤ 6 + 5 ó 10 ≤ 11 (26) Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que s = a3 = 3,el mecanismo 7 + 3 ≤ 6 + 5 ó 10 ≤ 11 es doble oscilatorio. (26) Por loEn tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que s = a3 = 3,el mecanismo una segunda etapa, se verificará este resultado empleando las condiciones de es doble oscilatorio. rotabilidad para los eslabones de entrada y de salida. 1. Eslabón En una segunda2.etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones de rotabilidad para los eslabones de entrada y de salida. • Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior a1 + a2 ≤ a3 + a4 1. Eslabón 2. (27) Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene • Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior 7 + 6 3 + 5 ó 13 8 a1 + a2 ≤ a3 + a4 (28) (27) El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto el Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene eslabón 2 presenta una posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 1, el ángulo θ2D1 está dado por: 7 + 6 3 + 5 ó 13 8 8 7 (28) θ2D1 = 75.52◦ (30) Figure 9: Posición de puntos muertos exterior en un mecanismo plano de cuatro barras. Figure 7: Posición de puntos muertos exterior en un Mecanismo plano de cuatro barras. a21 + a22 − (a3 + a4 )2 cos θ = (29) interior. • Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos 2D1 2a1 a2 Sustituyendo las longitudes de |a2los − eslabones a1 | ≥ |a4se−obtiene a3 | que θ2D1 = 75.52◦ Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene (31) (30) • Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior. |6 − 7| |5 − 3| ó 1 2. |a2 − a1 | ≥ |a4 − a3 | (32) (31) El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto se Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene presenta una posición de puntos muertos interior, vea la Figura 8, el ángulo θ2D2 está dado por: |6 − 7| |5 − 3| ó 1 2. (32) 2 2 2 a1 + a2 − El eslabón 2 no cumple con ésta condición de(a rotabilidad, por lo tanto se 4 − a3 ) cos θ2D2 =muertos presenta una posición de puntos interior, vea la Figura 1, el ángulo 2a1 a2 θ2D2 está dado por: (33) Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que θ2D2 = 15.35◦ (34) 8 Figure 10: Posición de puntos muertos interior en en un plano de cuatro barras. barras. Figure 8: Posición de puntos muertos interior unmecanismo Mecanismo plano de cuatro 9 La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz de rotar 360◦ . El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación, vea la Figura 9, que está definido como: φ2 = θ2D1 − θ2D2 (35) Figure 8: Posición de puntos muertos interior en un Mecanismo plano de cuatro barras. ◦ La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz a21 + a22 −de (a4rotar − a3 )2360 . El paso final consiste cos θ2D2 = (33) en determinar el ángulo de oscilación, vea la2aFigura 9, que está definido como: 1 a2 Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que φ2 = θ2D1 − θ2D2 ◦ θ2D2 = 15.35 (34) (35) Sustituyendo los valores los eslabones La conclusión es que el de eslabón 2 es incapazsedeobtiene rotar 360◦ . El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación,◦ vea la Figura 1, que◦está definido como: ◦ φ2 = 75.52 − 15.35 = 60.17 φ2 = θ2D1 − θ2D2 (35) (36) Figure 11: Determinación del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo plano Figurede9:cuatro Determinación del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo plano barras. de cuatro barras. Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene 2. Eslabón 4. φ2 = 75.52◦ − 15.35◦ = 60.17◦ (36) La Figura 1 muestra el rango de movimiento del eslabón 2. • Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior. 2. Eslabón 4. a +a ≤a +a (37) 1 4 2 3 • Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior. Sustituyendo las dimensionesacorrespondientes se obtiene 1 + a4 ≤ a2 + a3 (37) Sustituyendo las dimensiones 7 + 5correspondientes 6 + 3 ó se 12obtiene 9 7 + 5 6 + 3 ó 12 9 (38) (38) 9 condición de rotabilidad, por lo tanto El eslabón 4 no cumple con ésta el eslabón 4 tiene una posición lı́mite exterior, vea la Figura 2, el ángulo correspondiente está dado por: 10 El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto el eslabón 4 tiene una posición lı́mite exterior, vea la Figura 10, el ángulo correspondiente está dado por: a21 + a24 − (a2 + a3 )2 cos α = 2a1 a4 (39) (VideoMecanismoTresI.wmv) Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que α = 95.73◦ (40) Entonces el ángulo θ4L1 está dado por θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 95.73◦ = 84.27◦ Figure 12: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimiento del eslabón 2. (41) Figure Posición lı́mite exterior exterior en mecanismo planoplano de cuatro barras. barras. Figure 10: 13: Posición lı́mite enunun mecanismo de cuatro 2 a2 + a24 − (aPosición 2 + a3 ) • Segunda condición decosrotabilidad. lı́mite interior. (39) α= 1 2a1 a4 |a4los−eslabones a1 | ≥ |a3se−obtiene a2 | que Sustituyendo las longitudes de Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene α = 95.73◦ (42) (40) Entonces el ángulo θ4L1 está dado por |5 − 7| |3 − 6| ó 2 3. θ = 180◦ − α = 180◦ − 95.73◦ = 84.27◦ (43) (41) 4L1 De acuerdo con este resultado el eslabón 4 no puede rotar completamente; • Segunda Posición lı́mitelı́mite interior. por lo tanto, condición el eslabónde4 rotabilidad. presenta una posición correspondiente, vea la figura 11, el ángulo β está dado por: |a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 | a21 + a24 − (ase3 correspondientes Sustituyendo las dimensiones cos β = 2a1 a4 (42) 2 − a2 ) obtiene (44) 11 Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que β = 21.78◦ (45) |5 − 7| |3 − 6| ó 2 3. (43) De acuerdo con este resultado el eslabón 4 no puede rotar completamente; por lo tanto, el eslabón 4 presenta una posición lı́mite correspondiente, vea la figura 2, el ángulo β está dado por: 14: Posición lı́mite interioren enun un mecanismo mecanismo plano de cuatro barras. Figure Figure 11: Posición lı́mite interior plano de cuatro barras. y el ángulo θ4L2 está dadocos por β= a21 + a24 − (a3 − a2 )2 2a1 a4 (44) ◦ de los eslabones ◦ ◦ ◦ Sustituyendoθlas longitudes se obtiene que 4L2 = 180 − β = 180 − 21.78 = 158.21 β = 21.78◦ (46) (45) La conclusión es que el eslabón 4 no puede rotar completamente. El paso final consiste en ydeterminar ángulo el ángulo θ4L2elestá dado de poroscilación, vea la figura 12, el ángulo φ4 está dado por ◦ θ4L2 = 180◦ φ −4β= =α 180 − 21.78◦ = 158.21◦ (46) (47) −β La conclusión es que correspondiente el eslabón 4 no puede rotar completamente. El paso final Sustituyendo los valores se obtiene consiste en determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 2, el ángulo φ4 está dado por φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦ φ4 = α − β (48) (47) Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦ (48) La Figura 4 muestra el rango de movimiento del eslabón 4. 12 Figure 12: Determinación del ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismo plano de cuatro barras. Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦ (48) Figure Figure 12: Determinación deldelángulo oscilaciónφ4φdel eslabón un mecanismo 15: Determinación ángulo de de oscilación eslabón 4 en 4 unen mecanismo 4 del plano de cuatro barras. plano de cuatro barras. 5 Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la clase II. (VideoMecanismoTresII.wmv) Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 13, cuyas longitudes están dadas por a1 = 11; a2 = 6; a3 = 9; a4 = 7. 11 Figure 16: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimiento del eslabón 4. 5 Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la clase II. Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 5, cuyas longitudes están dadas por a1 = 11; a2 = 6; a3 = 9; a4 = 7. Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff, esto es: L+s≤p+q (49) Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por a1 = 11 = L; a2 = 6 = s; a3 = 9 = p; a4 = 7 = q. Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene 13 Figure UnMecanismo Mecanismo plano de de cuatro barras. Figure 13:17:Un plano cuatro barras. Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de 11 + 6 9 + 7 ó 17 16 (50) Grashoff, esto es: Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase II y por lo tanto es doble oscilatorio. L+s≤p+q (49) En una segunda etapa, se verificará este resultado empleando las condiciones de rotabilidad para eslabonesde delos entrada y de salida. Para este caso, lalos selección eslabones más largo, más corto e intermedios está dada por a1 = 11 = L; a2 = 6 = s; a3 = 9 = p; a4 = 7 = q. Sustituyendo las 1. Eslabón 2. dimensiones correspondientes, se obtiene • Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior 11 + 6 9a+ 7 ó 17 16 1 + a2 ≤ a3 + a4 (51) (50) Por lo tanto,Sustituyendo el mecanismo es de la Clase II y por lo tanto es doble oscilatorio. las dimensiones correspondientes, se obtiene 11 + 6 9se+ verificará 7 ó 17 empleando 16 (52) En una segunda etapa, este resultado las condiciones de rotabilidad para los eslabones de entrada y de salida. El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto tiene una posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 14, el ángulo θ2D1 1. Eslabón 2. está dado por: a2 + a22 − (a3 + a4 )2 (53) exterior θ2D1 = 1 • Primera condición decosrotabilidad. Posición de puntos muertos 2a1 a2 Sustituyendo las longitudes dea1los se obtiene que +eslabones a2 ≤ a3 + a4 θ2D1 = 138.59◦ Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene (51) (54) • Segunda condición de 11rotabilidad. + 6 9 + 7Posición ó 17depuntos 16 muertos interior. |a − a | ≥ |a − a | (55) (52) 2 1 4 3 El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto tiene una posición de puntos muertos 14 exterior, vea la Figura 14, el ángulo θ2D1 está dado por: a21 + a22 − (a3 + a4 )2 cos θ2D1 = (53) 2a1 a2 Figure 14: Posición de puntos muertos exterior en un Mecanismo plano de cuatro barras. 18: Posición de puntos muertos exterior exterior enen unun mecanismo planoplano de cuatro barras. barras. Figure Figure 14: Posición decondición puntos muertos Mecanismo de cuatro • Segunda de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior. Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene |a2 − a1 | ≥ |a (55) 4 − a3 | de puntos muertos interior. • Segunda condición de rotabilidad. Posición |11 − 6| ≥ |7 − 9| ó 5 ≥ 2. Sustituyendo las dimensiones|acorrespondientes se obtiene 2 − a1 | ≥ |a4 − a3 | (56) (55) Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con ésta condición de rotabilidad. |11 − 6|correspondientes ≥ |7 − 9| ó 5 se ≥ obtiene 2. (56) Sustituyendo las dimensiones El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ2 , vea la Figura 1, el Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con ésta condición(56) de cual está definido como: |11 − 6| ≥ |7 − 9| ó 5 ≥ 2. rotabilidad. φ2 = 2θ2D1 (57) Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con ésta condición de rotabilidad. FigureFigure 15: Ángulo de de oscilación enun unmecanismo mecanismo plano de cuatro 19: Ángulo oscilación φ φ2 en plano de cuatro barras. barras Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene Figure 15: Ángulo de oscilación φ2 en un mecanismo plano de cuatro barras El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ2 , vea la Figura 15, φ2 = 2(138.59◦ ) = 277.18◦ (58) el cual está definido como: φ2el=ángulo 2θ2D1 El paso oscilación φ2 , vea la Figura(57) 15, La final Figuraconsiste 1 muestraenel determinar rango de movimiento del de eslabón 2. el cual está definido como: Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene φ15 (57) 2 = 2θ2D1 ◦ ◦ 2(138.59 se ) =obtiene 277.18 (58) 2 =eslabones Sustituyendo los valores de φlos 2. Eslabón 4. φ2 = 2(138.59◦ ) = 277.18◦ (58) • Primera condición de rotabilidad. Posición lı́mite exterior. (VideoMecanismoCuatroI.wmv) a +a ≤a +a 1 4 2 (59) 3 Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene 11 + 7 6 + 9 ó 18 15 (60) El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto el Figureeslabón 20: Movimiento del mecanismo plano lı́mite de cuatro barras: Rango movimiento 4 presenta una posición exterior, vea ladeFigura 16, el ángulo del eslabón 2. correspondiente α está dado por: 2. Eslabón 4. a21 + a24 − (a2 + a3 )2 cos α = 2a1 a4lı́mite exterior. • Primera condición de rotabilidad. Posición Sustituyendo las longitudes ade eslabones a4 ≤ a2 + a3 se obtiene que 1 +los (61) (59) α = 110.92◦se obtiene Sustituyendo las dimensiones correspondientes + 7 dado 6 + por 9 ó 18 15 Entonces el ángulo θ4L1 11 está (62) (60) ◦ de rotabilidad, ◦ ◦ tanto el El eslabón 4 noθ cumple con◦ ésta condición por lo 4L1 = 180 − α = 180 − 110.92 = 69.07 eslabón 4 presenta una posición lı́mite exterior, vea la Figura 2, el ángulo correspondiente α está dado por: (63) Figure Posiciónlı́mite lı́mite exterior exterior enenunun mecanismo planoplano de cuatro barras. barras. Figure 16: 21: Posición mecanismo de cuatro 16 • Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior. |a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 | (64) cos α = a21 + a24 − (a2 + a3 )2 2a1 a4 (61) Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que α = 110.92◦ (62) Entonces el ángulo θ4L1 está dado por θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 110.92◦ = 69.07◦ (63) • Segunda condición de rotabilidad. Posición lı́mite interior. |a4 − a1 | ≥ |a3 − a2 | (64) Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene |7 − 11| ≥ |9 − 6| ó 4 ≥ 3. (65) Este resultado muestra que el eslabón 4 si cumple con esta condición de rotabilidad. La conclusión es que el eslabón 4 es incapaz de rotar completamente. El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ4 , vea la figura 2, el cual está definido como φ4 = 2α (66) Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene φ4 = 2(110.92◦ ) = 221.84◦ La Figura 2 muestra el rango de movimiento del eslabón 4. 17 (67) Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene φ4 = 2(110.92◦ ) = 221.84◦ (67) Figure 17: Ángulo de oscilación φ4φdel eslabón 4 en un mecanismo plano de cuatro Figure 22: Ángulo de oscilación 4 del eslabón 4 en un mecanismo plano de cuatro barras. barras. (VideoMecanismoCuatroII.wmv) Figure 23: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimiento del eslabón 4. 15 18
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José Marı́a Rico Martı́nez Departamento de Ingenierı́a Mecánica. División de Ingenierı́as, Campus Irapuato-Salamanca. Universidad de Guanajuato. CP 36730, Salamanca, Gto., México E-mail: jrico@...
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