Démonstrations des formules trigonométriques :

Démonstrations des formules trigonométriques :

Démonstrations des formules trigonométriques :
Addition des angles :
1. cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
Démonstration:
Sur le cercle trigonométrique, on nomme
E, le point d’intersection du cercle avec les abscisses
A, le point tel que l’amplitude de EÔA égale a
B, le point tel que l’amplitude de EÔB égale b
D, le point tel que l’amplitude de EÔD égale a - b
Il s’ensuit que les coordonnées De E sont (1 ; 0)
De A sont (cos a ; sin a)
De B sont (cos b ; sin b)
De D sont (cos (a - b) ; sin (a – b))
D’autre part, BÔA = a – b = EÔD
Dès lors, ED = AB (des angles au centre de même amplitude interceptent des cordes
de même longueur.)
Ou encore ED²= AB²
Ce qui donne, en utilisant la formule de distance entre deux points, dans un repère
orthonormé :
[cos(a – b) – 1]² + [sin(a – b) -0]² = (cos b – cos a)² + (sin b – sin a)²
Cos² (a – b) – 2 cos(a – b) +1 + sin²(a – b) = cos²b – 2 cos b cos a + cos²a + sin²b – 2
sin b sin a + sin ²a
2 – 2 cos (a – b) = 2 – 2 cos a cos b – 2 sin a sin b
Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b
2. cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
Démonstration:
En remplaçant b par – b dans la formule cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b, on a :
Cos (a – (- b)) = cos a cos (- b) + sin a sin (- b)
Or,
cos (- b) = cos b
Sin (- b) = -sin b
Donc,
cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
3. sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a
Démonstration:
Pour trouver les formules en “sinus”, on peut utiliser les angles complémentaires :
Sin(a – b) = cos(π/2 – (a – b) )
Sin(a – b) = cos ( (π/2 – a) + b)
Sin(a – b) = cos (π/2 – a) cos b – sin (π/2 – a) sin b
Sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b
(nombres trigonométriques d’angles
complémentaires)
4. sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
Démonstration:
En remplaçant b par – b dans la formule sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a, on a :
Sin(a + b) = sin(a – (- b))
Sin(a + b) = sin a cos (- b) – cos a sin (- b)
Sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
(nombres trigonométriques d’angles
opposés)
5. tg(a – b) = tg a – tg b
si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ, a – b ≠ π/2 + kπ
1+ tg a tg b
Démonstration:
Tg(a – b) = sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a
cos( a – b) cos a cos b + sin a sin b
A condition que cos a et cos b soient non nuls, on peut diviser le numérateur et le
dénominateur de cette fraction par le produit de cos a cos b.
Il vient après simplification,
Si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ et a – b ≠ π/2 + kπ :
Tg(a – b) = tg a – tg b
1 + tg a tg b
6. tg(a + b) = tg a + tg b
si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ, a + b ≠ π/2 + kπ
1 – tg a tg b
Démonstration:
En remplaçant b par – b dans la formule tg(a – b) = tg a – tg b
, on a :
1+ tg a tg b
Si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ et a + b ≠ π/2 + kπ :
Tg(a – (- b)) = tg a – tg(- b)
(nombres trigonométriques d’angles
opposés)
1 + tg a tg(- b)
Tg(a + b) = tg a + tg b
1 – tg a tg b
Duplication des angles :
1. cos 2a = cos² a – sin² a
Démonstration:
Si l’on pose a = b
Cos(a + a) = cos a cos a - sin a sin a
Cos 2a = cos² a – sin² a
2. sin 2a = 2 sin a cos a
Démonstration:
Si l’on pose a = b
Sin( a + a) = sin a cos a + sin a cos a
Sin 2a = 2 sin a cos a
3. tg 2a = 2 tg a
si 2a ≠ π/2 + kπ, a ≠ π/2 + kπ, c.-à-d. a ≠ π/4 + kπ/2
1 – tg² a
Démonstration:
Si l’on pose a = b
Tg( a + a) = tg a + tg a
1 – tg a tg a
Tg 2a = 2 tg a
1 – tg² a
Formule de Carnot :
1. 2 cos²a = 1 + cos 2a
Démonstration:
Cos 2a = cos²a – sin²a
Cos 2a = cos²a – (1 – cos²a)
Cos 2a = 2 cos² a – 1
2 cos²a = 1 + cos 2a
2. 2 sin²a =1 – cos 2a
Démonstration:
Cos 2a = cos²a – sin²a
Cos 2a = 1 – sin²a – sin²a
Cos 2a = 1 – 2 sin²a
2 sin²a = 1 – cos 2a
Multiplication de l’angle par trois :
1. cos 3a = 4 cos³a – 3 cos a
Démonstration:
Cos 3a = cos(2a + a)
Cos 3a = cos 2a cos a – sin 2a sin a
Cos 3a = (cos²a – sin²a) cos a – (2 sin a cos a) sin a
Cos 3a = Cos³a – cos a sin²a – 2 sin²a cos a
Cos 3a = Cos³a – 3 cos a sin²a
Cos 3a = Cos³a – 3 cos a (1- cos²a)
Cos 3a = Cos³a – 3 cos a + 3 cos³a
Cos 3a = 4cos³a – 3 cos a
2. sin 3a = 3sin a – 4 sin³a
Démonstration:
Sin 3a = sin(2a + a)
Sin 3a = Sin 2a cos a + sin a cos 2a
Sin 3a = (2 cos a sin a) cos a+ sin a (cos²a – sin²a)
Sin 3a = 2 cos²a sin a + cos²a sin a – sin³a
Sin 3a = 3 cos²a sin a – sin ³a
Sin 3a = 3 (1- sin²a) sin a – sin³a
Sin 3a = 3 sin a – 3 sin³a – sin³a
Sin 3a = 3 sin a – 4 sin³a
3. tg 3a = 3 tg a – tg³a
1 – 3 tg²a
Démonstration:
///////////////////////
Nombres trigonométriques en fonction de tg a/2 :
1. cos a = 1 – tg²a/2
si a ≠ π + 2kπ
1 + tg²a/2
Démonstration:
Cos a = cos²a/2 – sin²a/2
Cos a = cos²a/2 – sin²a/2
cos²a/2 + sin²a/2
Cos a = cos²a/2 – sin²a/2
Cos²a/2
cos²a/2 qui est
cos²a/2 + sin²a/2
Cos²a/2
Cos a = 1 – tg²a
1 + tg²a
(duplication)
(cos²a + sin²a = 1)
(on divise le numérateur et le dénominateur par
non nul car a ≠ π + 2kπ)
2. sin a = 2 tg a/2
si a ≠ π + 2kπ
1 + tg²a/2
Démonstration:
Sin a = 2 sin a/2 cos a/2
(duplication)
Sin a = 2 sin a/2 cos a/2
cos²a/2 + sin² a/2
(cos²a + sin²a = 1)
Sin a = 2 sin a/2 cos a/2
cos²a/2
(on divise le numérateur et le dénominateur par
cos²a/2 qui est
cos²a/2 + sin²a/
non nul car a ≠ π + 2kπ)
cos²a/2
Sin a = 2 tg a/2
1 + tg²a/2
3. tg a = 2 tg a/2
si a ≠ π + 2kπ et a ≠ π/2 + kπ
1 – tg²a/2
Démonstration:
Tg a = sin a
cos a
Tg a = 2 tg a/2 . 1 + tg²a/2
1 + tg²a/2
1 – tg²a/2
Tg a = 2 tg a/2
1 – tg²a/2
Factorisation (Simpson) :
1. sin p + sin q = 2 sin(p+q) cos(p – q)
2
2
Démonstration:
Sin(a + b) + sin(a – b) = (sin a cos b + sin b cos a) + (sin a cos b – sin b cos a)
(formules d’addition Sin(a + b) + sin(a – b) = 2 sin a cos b
des angles)
En notant a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q
2
2
Sin p + sin q = 2 sin(p+q) cos (p – q)
2
2
2. sin p – sin q = 2 cos(p + q) sin(p – q)
2
2
Démonstration:
Sin(a + b) – sin(a – b) = (sin a cos b + sin b cos a) – (sin a cos b – sin b cos a)
(formules d’addition
Sin(a + b) – sin(a – b) = 2 sin b cos a
angles)
En notant a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q
2
2
Sin p – sin q = 2 cos(p + q) sin(p – q)
2
2
des
3. cos p + cos q = 2 cos(p + q) cos(p – q)
2
2
Démonstration:
Cos(a + b) + cos(a – b) = (cos a cos b – sin a sin b) + (cos a cos b + sin a sin b)
(formules d’addition
Cos(a + b) + cos(a – b) = 2 cos a cos b
des
angles)
En notant a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q
2
2
Cos p + cos q = 2 cos(p + q) cos(p – q)
2
2
4. cos p – cos q = - 2 sin (p + q) sin (p – q)
2
2
Démonstration:
Cos(a + b) – cos(a – b) = (cos a cos b – sin a sin b) – (cos a cos b + sin a sin b)
(formules d’addition
Cos(a + b) – cos(a – b) = -2 sin a sin b
des
angles)
En notant a + b = p et a – b = q, il vient a = p + q et b = p – q
2
2
Cos p – cos q = -2 sin(p + q) sin(p – q)
2
2
5. tg p + tg q = sin(p + q)
si p ≠ π/2 + kπ et q ≠ π/2 + kπ
cos p cos q
Démonstration:
Tg p + tg q = sin p + sin q
(définition de la tangente
d’un angle)
cos p cos q
Tg p + tg q = sin p cos q + sin q cos p
(réduction au même
dénominateur)
cos p cos q
Tg p + tg q = sin(p + q)
(formules d’addition des
angles)
cos p cos q
6. tg p – tg q = sin(p – q)
si p ≠ π/2 + kπ et q ≠ π/2 + kπ
cos p cos q
Démonstration:
Tg p – tg q = sin p – sin q
cos p cos q
Tg p – tg q = sin p cos q – sin q cos p
cos p cos q
tg p – tg q = sin(p – q)
cos p cos q
Transformation de produits en sommes :
1. sin a cos b = ½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ]
Démonstration:
½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ] = ½ [ (sin a cos b – sin b cos a) + (sin a cos b + sin b cos a)
]
½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ] = ½ (2 sin a cos b)
½ [ sin(a – b) + sin(a + b) ] = sin a cos b
2. sin a sin b = ½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ]
Démonstration:
½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ] = ½ [ (cos a cos b + sin a sin b) – (cos a cos b – sin a sin
b) ]
½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ] = ½ (2 sin a sin b)
½ [ cos(a – b) – cos(a + b) ] = sin a sin b
3. cos a cos b = ½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ]
Démonstration:
½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = ½ [ (cos a cos b + sin a sin b) + (cos a cos b – sin a sin
b) ]
½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = ½ (2 cos a cos b)
½ [ cos(a – b) + cos(a + b) ] = cos a cos b