Trigonométrie I Fonctions circulaires

1
Trigonométrie
I
Fonctions circulaires
1
Premières propriétés
sinx
cosx
Ensemble de
définition
R
R
Pério de
2π
2π
π
π
impaire
paire
impaire
impaire
f(π − x)
sinx
− cosx
− tanx
− cotanx
f(π + x)
π
f
x
2−
− sinx
− cosx
tanx
cotanx
cosx
sinx
cotanx
tanx
cosx
− sinx
− cotanx
− tanx
R
R
π
+kπ
2
R
Parité
f
π
+x
2
Ensemble de
dérivabilité
Dérivée
2
cosx
− sinx
tanx
cotanx
π
+kπ
2
R
R
k∈Z
k∈Z
1
1+ tan x=
cos2 x
2
R
πZ
πZ
2
− 1 − cotan x
1
= −2
sin x
Valeurs remarquables
π
2
π
3
1
2
π
4
π
2
cotanx
π
6
tanx
sinx
1
2
0
cosx
0
2
II
1
Trigonométrie
x
0
sinx
0
cosx
1
tanx
0
cotanx
indéfini
π
6
√
1
2
√
3
2
π
4
√
2
2
√
2
2
1
√
3
1
√
3
π
3
√
3
2
√
1
2
√
π
2
1
0
indéfini
3
1
√
3
1
0
Fonctions réciproques des fonctions circulaires
Définition
La p ériodicité et la parité des fonctions sinus et cosinus intro duisent une ambiguïté
dans la définition de leurs fonctions réciproques. Par exemple, les trois nombres
π/6 ,
5π /6et π/6 + 4π ont tous la même image par sinus. Pour s’en sortir,on définit deux
notations : arcsin x désigne n’imp orte quelnombredont l’image par sinus est x (ce
n’est pas une fonction), et Arcsinx désigne l’unique nombrecomprisentre − π/2 et
+π /2 dont l’image par sinus vaut x (Arcsinest une fonction). On a doncles relations
suivantes:
π π
x = siny ⇐⇒ y=Arcsinx
si y ∈ − ;
2 2
⇐⇒
x = cosy
y= arcsin x=
Arcsinx
+2kπ
ou π − Arcsinx
+2kπ
⇐⇒
y=Arccosx
⇐⇒
y= arccosx=
si y ∈ [0 ;π]
Arccosx
+2kπ
ou − Arccosx
x = tany
x =cotany
si y ∈
+2kπ
π π
− 2;2
⇐⇒
y=Arctanx
⇐⇒
y= arctan x = Arctan x+ kπ
⇐⇒
y= Arccot x
⇐⇒
y= arccot x= Arccot x+ kπ
si y ∈ ]0 ;π[
3
Trigonométrie
2
3
Propriétés
Arcsinx
Arccosx
Arctanx
Arccotx
Ensemble de
définition
[ − 1 ; 1]
[ − 1 ; 1]
R
R
Pério de
aucune
aucune
aucune
aucune
Parité
impaire
aucune
impaire
aucune
Ensemble de
dérivabilité
] − 1 ; 1[
] − 1 ; 1[
R
R
Dérivée
√
−1
1 − x2
1
1 +x
1
1−
√
x2
Relations
π
2
Arccos x+ Arcsin x=
Arctan x+ Arctan y = Arctan
x+y
+επ
1 − xy
0
si xy <1


avecε=
1
si xy >1 et x, y
 1 si xy >1 et x, y
−
π
2
Arctan x+ Arccot x=
 Arctan 1

x
Arccot x= 
1
 π +Arctan
x
1
si x>0
si x<0
1
π
= sign(x) ×
x
2
Arctan x+ Arctan
I II
−1
1 +x 2
2
Formules
Corollaires du théorèmede Pythagore
cos2 x +sin
2
x =1
cos2 x=
1
1 +tan 2 x
sin2 x=
1
tan 2 x
=
2
1 +cot x
1 +tan 2 x
0
0
4
2
Trigonométrie
Additiondes arcs
cos(a + b) = cos a cosb− sin a sinb
sin(a + b) = sina cos b + sin b cosa
tan( a + b)=
tan a+ tanb
1 − tana tanb
cos(a− b) = cosa cosb + sin a sinb
sin(a − b) = sina cosb − sin b cosa
tana − tanb
tan(a − b)=
1 + tana tanb
3
p+q
p q
cos −
2
2
p+q
p− q
sin p+ sinq =2 sin
cos
2
2
sin(p + q)
tanp+ tan q=
cos p cosq
p q
p+q
sinp − sinq =2 sin − cos
2
2
p+q
p− q
cosp − cos q= − 2sin
sin
2
2
sin(p − q)
tanp − tan q=
cos p cosq
cos p+ cos q =2 cos
Arcdouble, arcmoitié
cos 2x = cos2 x − sin2 x
= 2cos 2 x − 1
=1 − 2sin 2 x
sin2x = 2 sinx cosx
tan 2x=
cos2 x=
1 + cos 2x
2
sin2 x=
1 − cos 2x
2
tan x=
sin 2x
1 cos 2x
= −
1 + cos 2x
sin 2x
2 tanx
1 − tan 2 x
x
1 t2
, on a:
cos x= − 2
et
2
1 +t
Ces formules servent dans les règles de Bio che.
En notant t= tan
4
sin x=
2t
1 +t
2
.
Formulede Moivre
(cos a +i sin a)n = cosna +i sin na
2
cos3a = cos3 a − 3 cos a sin
a = 4cos 3 a − 3 cosa
d’où
sin 3a = 3 cos2 a sina − sin3 a = 3 sina − 4sin 3 a
tan 3a=
5
3 tana − tan 3 a
1 − 3tan 2 a
Arcsenprogression arithmétique
n
k =0
sin kx=
sin
nx
(n + 1)x
sin
2
2
x
sin
2
n
k =0
cos kx=
cos
nx
(n + 1)x
sin
2
2
x
sin
2
5
Trigonométrie
IV
Trigonométrie hyperbolique
ch 2 x − sh 2 x =1
p+q
ch
2
p+q
shp+sh q=2 sh
ch
2
sh(p + q)
th p+thq=
ch pchq
p+q
chp − ch q= 2 sh
sh
2
p q
shp − sh q= 2 sh − ch
2
sh (p− q)
thp − th q=
ch pchq
ch(a + b)= ch a ch b+ sh a shb
chp+ch q=2 ch
sh(a + b)= sh a ch b+ sh b cha
th(a + b)=
th a+thb
1 + th a thb
ch (a − b) = ch achb − sh ashb
sh (a− b) = sh achb − sh bcha
th (a − b)=
tha − thb
1 − th athb
ch 2x = ch 2 x +sh
2
x
ch 2 x=
ch 2x +1
2
sh 2x = 2 sh xchx
sh 2 x=
ch 2x − 1
2
2thx
2
1 +th x
th x=
2
= 2ch x − 1
= 1 + 2sh 2 x
th 2x=
En posant t= th
x
,ona
2
ch x=
1+t 2
1 − t2
(ch a+ sh a)
d’où
ch 3a= ch
3
sh 3a = 3ch
th 3a=
n
et
2
2t
1 − t2
= ch na + sh na
3
a − 3cha
a sh a+ sh 3 a = 4sh 3 a + 3sha
3
3 th a+ th a
1 + 3th 2 a
p− q
2
p+q
2
sh 2x
ch 2x − 1
=
ch 2x +1
sh 2x
sh x=
a +3 ch a sh 2 a = 4ch
p− q
2
p− q
2
.