D54 SPZ - Club Pitagóricos

Solución al Desafı́o 54
Cumpleaños (por Sebas)
Paquito Superpanzeta
Club Pitagóricos, 6 de enero de 2013
2013
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Enunciado
En la prestigiosa Universidad de Losetodo 1 se están impartiendo unas
charlas de Probabilidad, recordando la paradoja del cumpleaños, su asistencia no es posible de forma individual, cada asistente debe ir acompañado de
otro interesado, con la condición que ambos cumplan años el mismo dı́a.
Apolonio asiste junto con su amigo Bartolo, (los dos cumplen años el
mismo dı́a), al llegar a la sala de conferencias, Apolonio ve a dos conocidos
suyos, Cirilo y Dionisio que también han asistido y cumplen la condición
exigida, los presenta a Bartolo.
Al separarse de ellos, Apolonio dice a Bartolo:
Ası́ como hace años yo te doblaba en la edad, hace 3 años la suma
de sus edades (refiriéndose a Cirilo y Dionisio) era el doble de la suma de
las nuestras, y ninguno coincidimos en la edad ni llegamos a los 100 años,
¿Sabrı́as decirme sus edades?
Bartolo contesta: Creo que con estos datos se me hace imposible saberlo,
a pesar de que Cirilo se ve mayor que Dionisio, ¿Puedo hacerte algunas
preguntas?
Apolonio dice: Supongo que te ayudará saber que cumplen años el mismo
dı́a que nosotros
Bartolo: efectivamente, pero no es suficiente. Al igual que nosotros, ¿Alguno de los dos su edad es un cuadrado perfecto o un número primo?
Apolonio le contesta con un monosı́labo
Bartolo dice: ahora si lo sé, y los Pitagóricos también deberı́an saber
nuestras edades y la de tus amigos
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Situada en Sebas-topol.
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Solución
Interpretando el enunciado
De ahora en adelante, y por abreviar, llamaremos a Apolonio, Bartolo,
Cirilo y Dionisio como A, B, C y D, respectivamente.
Apolonio asiste junto con su amigo Bartolo, (los dos cumplen años el
mismo dı́a), al llegar a la sala de conferencias, Apolonio ve a dos conocidos
suyos, Cirilo y Dionisio que también han asistido y cumplen la condición
exigida, los presenta a Bartolo.
De aquı́ se sabe que A y B cumplen años el mismo dı́a, y que C y D
también cumplen años el mismo dı́a. Aún no sabemos si es el mismo dı́a
para los cuatro, o son dos cumpleaños distintos.
Ası́ como hace años yo te doblaba en la edad, hace 3 años la suma de sus
edades (refiriéndose a Cirilo y Dionisio) era el doble de la suma de las nuestras, y ninguno coincidimos en la edad ni llegamos a los 100 años, ¿Sabrı́as
decirme sus edades?
Este párrafo es una mina. Veamos qué extraemos de ella.
A > B, y B conoce su propia edad y la de A.
A < 2B. El enunciado dice años, ası́ que A debe ser menor que 2B en
más de 1 año.
C +D−6 = 2(A+B−6), de donde obtenemos que C +D = 2(A+B−3)
A 6= B 6= C 6= D
A < 100, B < 100, C < 100, D < 100
Bartolo contesta: Creo que con estos datos se me hace imposible saberlo, a pesar de que Cirilo se ve mayor que Dionisio, ¿Puedo hacerte algunas
preguntas?
De aquı́ averiguamos que C > D, o al menos eso es lo que B supone por
su aspecto fı́sico. Luego veremos si es una suposición atrevida o no.
Apolonio dice: Supongo que te ayudará saber que cumplen años el mismo
dı́a que nosotros.
Bartolo: efectivamente, pero no es suficiente.
Esta frase es la más delicada. Para empezar, averiguamos por fin que los
cuatro comparten cumpleaños. Esta es una información que en principio no
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parece servir de mucho, pero combinada con que ninguno de ellos coincide
en edad, permite a B reducir el campo de búsqueda. La única forma de que
esto sea posible es si la fecha tiene algo especial. Y ese algo especial es que
no todos los años la contienen, ya que se trata del 29 de Febrero. Ignoramos
cuándo celebran sus cumpleaños en los años no bisiestos, pero si todos los
protagonistas nacieron un 29 de Febrero, y ninguno coincide en edad, obtenemos la valiosa información de que todos tienen la misma edad módulo
4, o lo que es lo mismo, que las edades dan el mismo resto al dividirlas por 4.
Aplicando los posibles restos a la ecuación C+D = 2(A+B−3), podemos
observar que:
Si el resto fuera 0, (C + D) mód 4 serı́a también 0. A + B − 3 mód 4
serı́a 1, y 2(A + B − 3) mód 4 serı́a 2, ası́ que caso descartado.
Si el resto fuera 1, (C + D) mód 4 serı́a 2, y 2(A + B − 3) mód 4
también serı́a 2. Caso posible.
Si el resto fuera 2, (C + D) mód 4 serı́a 0, y 2(A + B − 3) mód 4 serı́a
2. Caso imposible.
Si el resto fuera 3, (C + D) mód 4 serı́a 2, y 2(A + B − 3) mód 4 serı́a
2. Caso posible.
Ya sabemos que, módulo 4, las edades que buscamos deben ser 1 ó 3, lo que
es equivalente a decir que todas las edades serán impares.
Al igual que nosotros, ¿alguno de los dos su edad es un cuadrado perfecto
o un número primo?
Apolonio le contesta con un monosı́labo.
Bartolo dice: ahora si lo sé, y los Pitagóricos también deberı́an saber nuestras edades y la de tus amigos.
Este párrafo confirma que B conoce la edad de A, pero también es delicado, ya que tiene varias interpretaciones. En mi opinión, las interpretaciones
posibles para A y B son:
A es cuadrado, B no es nada.
A es cuadrado, B es cuadrado.
A es cuadrado, B es primo.
A es primo, B no es nada.
A es primo, B es cuadrado.
A es primo, B es primo.
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A no es nada, B es cuadrado.
A no es nada, B es primo.
Sebas tuvo a bien informarnos en un comentario que la interpretación
correcta era que A era una cosa y B la otra. Eso nos deja sólo dos posibilidades: o bien A es primo y B cuadrado, o A es cuadrado y B primo. Esta
información no era realmente necesaria, ya que si queremos resolver el problema, debemos suponer que es resoluble, y eso implica que si una posible
interpretación no permite resolverlo, debemos usar otra que sı́.
Por parte de la pareja C y D, las interpretaciones serı́an:
C es cuadrado, D no es nada. Monosı́labo SI.
C es cuadrado, D es cuadrado. Monosı́labo SI.
C es cuadrado, D es primo. Monosı́labo SI.
C es primo, D no es nada. Monosı́labo SI.
C es primo, D es cuadrado. Monosı́labo SI.
C es primo, D es primo. Monosı́labo SI.
C no es nada, D es cuadrado. Monosı́labo SI.
C no es nada, D es primo. Monosı́labo SI.
C no es nada, D no es nada. Monosı́labo NO.
Como vemos, son las mismas combinaciones que para la pareja A y B,
con una adición, la última. Una vez más, habrá que suponer lo que nos
convenga para que el problema sea resoluble. En este caso, suponer que la
respuesta ha sido SI reduce las posibilidades, pero no tanto como suponer el
NO. Elegiremos, pues el último caso. En el grupo C,D no debe haber primos
ni cuadrados.
Haciendo listas
Como ya sabemos que la pareja A y B contiene un primo y un cuadrado,
que deben ser impares y menores de 100, ya podemos empezar a combinar.
Primos impares menores de 100:
3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.
Cuadrados impares menores de 100:
1,9,25,49,81.
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Con estas listas ya hemos averiguado una cosa más. Todos los cuadrados
de la lista2 son 1 módulo 4, ası́ que tanto si el cuadrado es A como si es B,
al estar separadas todas las edades por múltiplos de 4, todas ellas serán 1
módulo 4. Ası́, descartamos también todas las edades congruentes a 3 módulo 4, y eso nos permite reducir la lista de primos.
Primos válidos:
5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97.
Cuadrados válidos:
1,9,25,49,81.
Podemos empezar a combinar como queramos, por ejemplo con A como cuadrado y B primo, eliminando aquellas parejas que no cumplan que
A < 2B, e iremos calculando la suma C+D correspondiente. También eliminaremos aquellas parejas que impliquen sumas C+D demasiado grandes, ya
que ninguna edad puede ser superior a 99, deben ser distintas, y deben ser 1
mód 4. La suma máxima para C+D será entonces 97+93=190, y podremos
eliminar todas las parejas A,B que impliquen sumas mayores.
Posibles parejas (A Cuadrado,B Primo):
Ac , Bp
9,5
25,13
25,17
49,29
49,37
49,41
C + D = 2(A + B − 3)
22
70
78
150
166
174
Posibles parejas (A Primo,B Cuadrado):
Ap , Bc
13,9
17,9
29,25
37,25
41,25
C + D = 2(A + B − 3)
38
46
102
118
126
2
Esto no es una casualidad. Absolutamente todos los cuadrados perfectos son congruentes a 0 ó 1 módulo 4, y al haber eliminado los pares previamente nos quedan sólo
números congruentes a 1 módulo 4.
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A partir de aquı́, uniremos todas las sumas posibles para C + D en una
única lista ordenada de 11 elementos (22,38,46,70,78,102,118,126,150,166,174),
desarrollando las posibles parejas C,D para cada suma.
22 se puede conseguir sumando números que sean 1 módulo 4 de las
siguientes formas, sin tener en cuenta el orden. Para las eliminaciones, he
indicado un único motivo pero en muchos casos hay más.
22 = 1 + 21
22 = 5 + 17
22 = 9 + 13
No sirve porque 1 es cuadrado.
No sirve porque 5 es primo.
No sirve porque 9 es cuadrado.
38, siguiendo los mismos criterios, se puede conseguir ası́:
38 = 1 + 37
38 = 5 + 33
38 = 9 + 29
38 = 13 + 25
38 = 17 + 21
No
No
No
No
No
sirve
sirve
sirve
sirve
sirve
porque
porque
porque
porque
porque
1 es cuadrado.
5 es primo.
9 es cuadrado.
25 es cuadrado.
17 es primo.
El sistema está claro. Me ahorraré algunos pasos y saltaré al por ejemplo
al 150, que se puede conseguir ası́:
150 = 1 + 149
...
150 = 53 + 97
150 = 57 + 93
150 = 61 + 89
150 = 65 + 85
150 = 69 + 81
150 = 73 + 77
No sirve porque 149 > 97.
Grupo eliminado por sumandos > 97.
No sirve porque 53 es primo.
Sirve.
No sirve porque 61 es primo.
Sirve.
No sirve porque 81 es cuadrado.
No sirve porque 73 es primo.
...
Finalmente, saltaré por ejemplo al último número, 174, que se puede
conseguir ası́:
174 = 1 + 173
...
174 = 77 + 97
174 = 81 + 93
174 = 85 + 89
No sirve porque 173 > 97.
Grupo eliminado por sumandos > 97.
No sirve porque 97 es primo.
No sirve porque 81 es cuadrado.
No sirve porque 89 es primo.
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De toda esta poda obtenemos solamente 9 posibles resultados:
A,B
25,17
25,17
29,25
29,25
37,25
41,25
41,25
49,29
49,29
C,D
45,33
57,21
57,45
69,33
85,33
69,57
93,33
85,65
93,57
C+D
78
78
102
102
118
126
126
150
150
Estas descomposiciones posibles para C+D no se pueden descartar porque dejan resto 1 al dividir por 4, no incluyen primos ni cuadrados, ni repiten
números dentro del grupo ni con los correspondientes A,B, ni incluyen números mayores a 97, ni sumas mayores a 190.
Como se puede ver, todas las sumas C+D posibles vienen en parejas,
menos una: la que suma 118.
Bartolo sabe las edades reales de la pareja A,B, ası́ que, si la suma fuera otra cualquiera de la lista, Bartolo podrı́a suponer las otras edades por
el aspecto, pero no podrı́a saberlas con seguridad porque tendrı́a dos casos
para elegir. Ası́ pues, si Bartolo es capaz de dar con la solución sin dudar, es
porque sólo hay un caso: el que incluye las edades A y B que él conoce,junto
con el grupo C,D correspondiente a la suma 118.
Ordenando el caso de suma C + D = 118 para que se cumpla que A > B
y C > D, la solución es3 :
Apolonio
Bartolo
Cirilo
Dionisio
=
=
=
=
37
25
85
33
años
años
años
años
SPZ
3
La única incertidumbre que quedarı́a es saber quién es Cirilo y quién Dionisio, pero
la diferencia de edades es tan grande que nos fiaremos del comentario de Bartolo de que
Cirilo (85) se ve mayor que Dionisio (33).
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