P23.62 Cuatro cargas puntuales idénticas cada una con carga +q

P23.62
Cuatro cargas puntuales idénticas cada una con carga +q están fijas en las esquinas de un
cuadrado de lado d. Una quinta carga puntual -Q está a una distancia z del cuadrado, a lo largo
de la línea que es perpendicular al plano del cuadrado y que pasa por su centro.
a. Muestre que la fuerza jercida sobre -Q por las otras cuatro cargas es :
F=−
Advierta que esta fuerza está
es positiva o negativa.
4k l qQz
k
d 2 3/ 2
2
dirigida hacia el centro del cuadrado si z
(z + )
2
b. Si z<<d la expresión anterior se reduce a F -(const)zk. ¿Porqué este resultado implica que
el movimiento de -Q es armónico simple y cuál sería el periodo de este movimiento si la masa
de -Q es m2 ?
Respuesta :
La distancia de cada esquina al centro del cuadrado es :
((d/2)2 + (d/2)2)1/2 = ((d2 /2)1/2
La distancia de cada carga positiva a -Q es (z2 + d2 / 21/2). Cada carga positiva ejerce una
fuerza
k e qQ
2
z + d 2 / 2 dirigida en dirección a la línea que une q y -Q.
z
Esta línea forma un ángulo con el eje z cuyo coseno es
( z + d 2 / 2 ) 1/ 2
2
Las cuatro cargas juntas ejercen fuerzas cuyas componentes en x e y, se anulan, mientras que en z
producen :
4k qQ( − k )
e
( z 2 + d 2 / 2 ) 3/2
b. Para z <<d
F≅
− 4( 2 3 / 2 )k e qQ
= maz
d3
La aceleración del objeto es directamente opuesta
a su desviación del equilibrio, y en
az = −ω2 z
magnitud proporcional a ella. Esta es la condición para el MAS, con
128k e qQ 4π 2
ω =
= 2
md 3
T
2
π  md 3 
• T = 1/4 

8  k e qQ 
1/2