Tema 8. Geometría de la Circunferencia

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Tema 8. Geometría de la Circunferencia
1. Definición la circunferencia. Ecuación de la circunferencia
1.1 Ecuación de la circunferencia centrada en el origen
1.2 Ecuación de la circunferencia con centro arbitrario
2. Rectas tangentes y normales a una circunferencia
3. Posición relativa de dos circunferencias
4. Posición relativa de una circunferencia y una recta
Tema 8. Geometría de la circunferencia
1. Definición la circunferencia. Ecuación de la circunferencia.
Definición: la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan
la misma distancia, denominada radio r, de un punto denominado centro de la
circunferencia.
Elementos de una circunferencia:
Ocentro de la circunferencia
Radio OA, segmento que une un punto de
la circunferencia con O. Valor numérico es r
Diametro BC, segmento que une dos puntos
de la circunferencia pasando por O. Valor
numérico d=2r
B
E
G
F
O
Cuerda ED segmento que une dos puntos
de la circunferencia sin pasar por O
A
FlechaFG, segmento perpendicular a la
cuerda que une su punto medio con la
circunferencia
D
C
parte de la circunferencia
Arco comprendida entre dos puntos de la misma.
Circulo área de la circunferencia
Segmento circular área comprendida entre
un arco y su cuerda.
Perímetro de la circunferencia: P=2·π
π·r
Perímetro arco de ánguloα P=α
α·r
Área del círculo a=π
π·r2
Área del sector circular de ánguloα a=
1.1. Ecuación de la circunferencia centrada en el origen.
En este apartado vamos a calcular la ecuación de la circunferencia con centro en
el origen O(0,0) a partir de la definición. Todo punto P(x,y) de la circunferencia
equidista de O una distancia r:
al cuadrado
d(P,O)= ( x − 0) 2 + ( y − 0) 2 = r elev

 → c: x2+y2=r2
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Tema elaborado por José Luis Lorente ([email protected])
Ejemplo: calcular la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio
de valor r=4. Obtén 4 puntos de la circunferencia
c: x2+y2=16
Puntos: A(4,0), B(-4,0), C(0,4), D(0,-4)
Calculo de P y Q x=3 32+y2=16 y2=7 y= ± 7
P(3, 7 ), Q(3,- 7 )
Ejercicio: calcular la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 3.
Obtener 6 puntos de la misma:
x2+y2=9
A(3,0), B(-3,0), D(0,3), E(0,-3).
Si y=1 x2+12=9 x= ± 8 P( 8 ,1), Q(- 8 ,1)
1.2. Ecuación de la circunferencia con centro arbitrario.
En este apartado vamos a obtener la ecuación de la circunferencia cuando el
centro con coordenadas O(x0,y0).
Para obtener la ecuación vamos a ver como se modifica la ecuación cuando
desplazamos una gráfica en el eje OX y en el eje OY.
Desplazamiento gráfica en el eje OX: Si desplazamos una gráfica x0 en el eje
OX entonces la ecuación de nuestra nueva gráfica se obtiene sustituyendo x de la
ecuación original por (x-x0).
Desplazamiento gráfica en el eje OY: Si desplazamos una gráfica y0 en el eje OY
entonces la ecuación de nuestra nueva gráfica se obtiene sustituyendo y de la ecuación
original por (y-y0)
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Cuando situamos una circunferencia con centro O(x0,y0) entonces hemos
desplazado la circunferencia con centro en el origen x0 en el eje OX , y0 en el eje OY:
P’
y0
O(x0,y0)
P
x0
Así la ecuación de la circunferencia con centro en O(x0,y0) y radio r es:
c: (x-x0)2+(y-y0)2=r2
Date cuenta que esta es la ecuación de todo punto P(x,y) cuya distancia a O(x0,y0)
es igual a r.
Ejemplo: encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en O(1,-3) y de
radio 4. Dibujar la circunferencia y encontrar 6 puntos de la misma.
c: (x-1)2+(y+3)2=16 x2+y2-2x+6y-6=0
Calculemos P y Q:
y=-6 (x-1)2+9=16 (x-1)2=7
x=1 ± 7
P(1+ 7 ,-6), Q(1- 7 ,-6)
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Ecuación general de la circunferencia: esta se obtiene desarrollando los
cuadrados de la ecuación vista antes. Haciendo esto la ecuación viene dada por la
siguiente expresión:
c: x2+y2+Ax+By+C=0
Identifiquemos los valores de esta ecuación con el centro O(x0,y0) y el radio de la
circunferencia:
c: x2-(2x0) ·x+y2-(2y0)·y+(x02+y02-r2)=0
A=-2x0 x0=-A/2
B=-2y0 y0=-B/2
C= x02+y02-r2 r=( x02+y02-C)1/2
Ejemplo: dibujar la circunferencia con la ecuación x2+y2+4x+6y-3=0
x0=-(4/2)=-2; y0=-6/2=-3; r= ( −2) 2 + ( −3) 2 + 3 = 16 = 4
Ejercicio: dibujar las siguientes circunferencias y obtener 6 puntos de las
mismas.
a) x2+y2-4x+2y+4=0
b) 2x2+2y2+ 4x-12y+12=0
c) x2+y2+2x-6y+14=0
Solución
a) (x-2)2+(y+1)2=1
b) (x+1)2+(y-3)2=4
c) No es una circunferencia.
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2. Rectas tangentes y normales a una circunferencia.
Definición: se dice que una recta es normal a la circunferencia en un punto de la
misma cuando la recta pasa por este punto y por el centro de la circunferencia.
Calculo de la recta normal: simplemente hay que calcular la recta que pasa por el
punto dado y por el centro de la circunferencia.
Definición: Se dice que una recta es tangente a una circunferencia en un punto de
la misma si sólo tiene este punto en común con la circunferencia. Se cumple que esta
recta es perpendicular a la recta normal por este punto.
Cálculo de la recta tangente: calculamos la pendiente a partir de la pendiente de
la recta normal. Conocida la pendiente y el punto de tangencia calculamos la recta.
Ejemplo: calcular la recta tangente y normal en el punto de la circunferencia con
x=0 a la circunferencia dada por la siguiente ecuación c: x2+y2-2x+2y+1=0
Primero calculemos el centro y el radio:
x0=1; y0=-1; r=1. O(1,-1).
Si x=0 y2+2y+1=0 y=-1. Luego el punto de tangencia es P(0,-1)
Normal: m =
−1+1
= 0 r: y=-1
0 −1
Tangente: m=∞ como pasa por P(0,-1) x=0
Ejercicio: Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen
sabiendo que una de sus rectas tangentes es r: y=-x+√2.
Podemos calcular el punto de tangencia si calculamos la intersección de r con la
recta normal. Sabemos de la recta normal que pasa por el centro O(0,0) y su pendiente
es m=1 (perpendicular a r). Luego es y=x.
La intersección de ambas es P( −
1
2
,
1
2
).
El radio será la distancia entre P y O r=d(P,O)=1 c: x2+y2=1
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Ejercicio: calcular las rectas tangentes a la circunferencia con radio 3 y centrada
en O(1,-3), sabiendo que la coordenada x de los puntos de tangencia es x=0.
Calculemos primero los puntos de tangencia, para ello necesitamos la ecuación de
la circunferencia:
c: (x-1)2+(y+3)2=9. Si x=0 y=-3 ± 8 P(0,-3+ 8 ), P’(0,-3- 8 )
Recta tangente en P(0,-3+ 8 ):
Calculemos la pendiente de la recta normal (que une P con el origen)
1
− 3 − ( −3 + 8 )
m=
= − 8 Luego como la tangente es perpendicular m=
1− 0
8
r: (y+3- 8 )=
1
(x-0)
8
Recta tangente en P’(0,-3- 8 ):
Calculemos la pendiente de la recta normal (que une P con el origen)
1
− 3 − ( −3 − 8 )
m=
= 8 Luego como la tangente es perpendicular m=1− 0
8
r: (y+3+ 8 )=-
1
8
(x-0)
3. Posición relativa de una circunferencia
La posición relativa de dos circunferencias pueden ser las siguientes:
Exteriores
Tangentes
Secantes
Interiores
D>(r1+r2)
D=r1+r2
|r1-r2|<D<r1+r2
D<=|r1-r2|
Ninguna solución
Una solución
Dos soluciones
Ninguna solución
D es la distancia entre los dos centros.
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Ejemplo: Calcular la posición relativa entre las siguientes circunferencias:
1) c1: (x-1)2+(y+2)2=4 c2: x2+(y-2)2=1
c1 O1(1,-2), r1=2
c2O2(0,2), r2=1
D=d(O1, O2)= 1 + 16 = 17
1,4
r1+r2=3< 17 exterior
2) c1:(x-1)2+y2=9, c2:(x+2)2+(y-1)2=4
c1 O1(1,0), r1=3
c2O2(-2,1), r2=2
D=d(O1, O2)= 9 + 1 = 10
3,1
r1+r2=5;
|r1-r2|=1
5> 10 >1 secantes
3) c1:(x+1)2+(y-2)2=25; c2: x2+(y-1)2=4
c1O1(-1,2), r1=5
c2O2(0,1), r2=2
D=d(O1, O2)= 1 + 1 = 2
1, 1
r1+r2=7; |r1-r2|=3
3>
2 Interior
4) c1:(x-3)2+y2=1, c2:(x-3)2+(y+3)2=4
c1O1(3,0), r1=1
c2O2(3,-3), r2=2
D=d(O1, O2)= 0 + ( −3) 2 = 3
0, 3
r1+r2=3=D Tangente.
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Ejercicio: calcular los puntos de intersección de las siguientes circunferencias
c1:x2+y2=4, c2: (x+3)2+y2=4
c1O1(0,0), r1=2
c2O2(-3,0), r2=2
D=d(O1, O2)= 3 2 + 0 2 = 3
3,0
r1+r2=4;
|r1-r2|=0
4>3>0 se cortan
c1:x2+y2=4
c2: (x+3)2+y2=4
y2=4-x2 (x+3)2+4-x2=4 x2+6x+9+4-x2-4=0 6x=-9 x=-3/2
y2=4-(9/4) y2=7/4y= ±
7
7
7
P(-3/2,
); P’(-3/2,)
2
2
2
4. Posición relativa de una circunferencia y de una recta.
Una recta y una circunferencia en el plano pueden tener las siguientes posiciones
relativas:
Exterior a la circunf.
Tangente a la circunf.
Secante a la circunf.
Ninguna solución
Una solución
Dos soluciones
Para ver la posición relativa también se puede hacer viendo la distancia de la
recta al centro y comparándola con el radio, pero no sabemos calcular la distancia de un
punto a una recta. Así que para ver la posición relativa tendremos que ver el número de
soluciones del sistema que forman las ecuaciones de la recta y de la circunferencia.
Ejemplo: calcular la posición relativa entre la recta r:y=2x+1 y la circunferencia
c: x2+(y-1)2=4

5
2
2
2
;
 → x + (2 x + 1 − 1) = 4 → 5 x = 4 → x = ±
x + ( y − 1) = 4
2
y = 2x + 1
2
P(
2
5
5
, 5 + 1), P ' ( −
,− 5 + 1) → Re cta Secante a la circunferencia
2
2
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Ejercicio: calcular la posición relativa entre las siguientes rectas y
circunferencias. Calcular los puntos de corte o tangencia si existen.
a) r:y=-2x+7, c:(x-2)2+(y-1)2=4
b) r:y=x-2+√2, c:(x-2)2+y2=1
c) r:y=2x+1, c:x2+y2=9
a) c: (x-2)2+(-2x+7-1)2=4 x2-4x+4+(6-2x)2-4=0 x2-4x+4+36+4x2-24x-4=0
5x2-28x +36=0 x=2, x=18/5
x=2 y=3
x=18/5 y=-1/5
Se corta en los puntos P1(2,3) y P2(18/5,-21/5)
b) (x-2)2+(x-2+√2)2-1=0 x2-4x+4+x2+(√2-2)2+2·x·(√2-2)-1=0 x2-4x+4+x2+2+4-4√2+2√2x-4x-1=0 2x2+(2√2-8)x+9-4√2=0 − 2 2 + 8 ± (2 2 − 8) 2 − 8·(9 − 4 2 ) − 2 2 + 8 ± 8 + 64 − 32 2 − 72 + 32 2
=
=
x=
4
4
−2 2 +8±0
8
2 2
2
=
= 2−
= 2−
= 2−
4
2
4
2
2
2
-2+√2=
y=22
2
P(2-
2
2
,
) Tangente
2
2
c) x2+(2x+1)2=9 x2+4x2+4x+1-9=0 5x2+4x-8=0
x= −
2 2 11
±
5
5
x= −
 2 2 11 
2 2 11
1 4 11
 +1= +
y=2·  − +
+

5
5
5
5
5 
 5
x= −
 2 2 11 
2 2 11
1 4 11
 +1= −
y=2·  − −
−

5
5
5
5
5 
 5
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