Funciones esféricas asociadas al par (Sn, Sn-1)

Funciones esféricas asociadas al par (Sn, Sn-1)

Generalidades de Funciones Esféricas
Generalidades del Par (Sn , Sn−1 )
Determinación de las Funciones Esféricas
Dualidad de Schur
Funciones esféricas asociadas al par
(Sn , Sn−1 )
Carmen Luz Blanco
Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba
UMA 2016
Generalidades de Funciones Esféricas
Carmen Luz Blanco
Funciones esfericas asociadas al par (Sn , Sn−1 )
Generalidades de Funciones Esféricas
Generalidades del Par (Sn , Sn−1 )
Determinación de las Funciones Esféricas
Dualidad de Schur
Esquema de la charla
1
Generalidades de Funciones Esféricas
2
Generalidades del Par (Sn , Sn−1 )
3
Determinación de las Funciones Esféricas
4
Dualidad de Schur
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Determinación de las Funciones Esféricas
Dualidad de Schur
Esquema de la charla
1
Generalidades de Funciones Esféricas
2
Generalidades del Par (Sn , Sn−1 )
3
Determinación de las Funciones Esféricas
4
Dualidad de Schur
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Dualidad de Schur
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Generalidades de Funciones Esféricas
2
Generalidades del Par (Sn , Sn−1 )
3
Determinación de las Funciones Esféricas
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Determinación de las Funciones Esféricas
Dualidad de Schur
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Determinación de las Funciones Esféricas
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Generalidades de Funciones Esféricas
Sea G un grupo finito, K subgrupo de G, δ ∈ K̂ .
Φ : G → End(V ) es una función esférica de tipo δ si
Φ(e) = I
y
Φ(x)Φ(y ) =
X
χδ (k −1 )Φ(xky )
∀x, y ∈ G.
z∈K
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Determinación de las Funciones Esféricas
Dualidad de Schur
Funciones esféricas de tipo δ surgen de forma natural al
considerar representaciones del grupo G que contengan al K
tipo δ.
Φ : G −→ End(Vδ ) definida por
Φ(g)v = (P(δ) ◦ λ(g))v ,
g ∈ G,
v ∈ Vδ
(1)
es una función esférica de tipo δ, mas aún toda función
esférica de tipo δ se obtiene de esta manera a partir de una
representación de G.
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Determinación de las Funciones Esféricas
Dualidad de Schur
Sea (V , π) una representación de dimensión finita de K tal que
cualquier subrepresentacion irreducible pertenece a la misma
clase δ ∈ K̂ .
Teorema Φ : G −→ End(V ) es una función esférica de tipo δ si
y solo si
i) Φ(e) = I.
ii) Φ(k1 gk2 ) = π(k1 )Φ(g)π(k2 ), para todo k1 , k2 ∈ K , g ∈ G.
iii) [Φ ∗ f̌ ](x) = Φ(x)[Φ ∗ f̌ ](e), para todo f ∈ A[G]K , x ∈ G.
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Determinación de las Funciones Esféricas
Dualidad de Schur
Generalidades del Par (Sn , Sn−1 )
Teorema Sea G = Sn y K = S1 × Sn−1 . Sea δ ∈ K̂ . Una
función Φ : G −→ End(Vδ ) es esférica de tipo δ ∈ K̂ si y solo si
i) Φ(e) = I.
ii) Φ(k1 gk2 ) = δ(k1 )Φ(g)δ(k2 ), for all k1 , k2 ∈ K , g ∈ G.
iii) La función Φ satisface las siguientes ecuaciones
n
X
δ(jn)Φ(1n)δ(jn) = ηI ,
j=2
n−1
X
Id+
δ(jn) Φ(1n) = ηΦ(1n),
j=2
para algún η ∈ C.
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Dualidad de Schur
Determinación de las Funciones Esféricas
Dado M = centK (A) = {σ ∈ K /σ(n) = n} ' Sn−2 toda función
esférica Φ de Sn de tipo δ ∈ K̂ está caracterizada por su valor
en la transposición (1 n) y Φ(1n) es un M - morfismo por Lema
de Schur existen escalares αi tal que
Φ(1, n) = α1 Iσ1 ⊕ · · · ⊕ αr Iσr .
Además Φ(1n) satisface las ecuaciones
n
X
δ(jn)Φ(1n)δ(jn) = ηI.
j=2

Id + 
n−1
X

δ(jn) Φ(1n) = ηΦ(1n).
j=2
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Dualidad de Schur
Para resolver esas ecuaciones seguimos losPsiguientes pasos.
n−1
δ(jn) is un M
Consideramos la transformación lineal T = j=2
- morfismo, entonces existen escalares uj en cada M - modulo
Vσj (por lema De Schur), que es
T = u1 Idσ1 ⊕ · · · ⊕ ur Idσr .
Se calculan los escalares ui usando la fórmula
ui =
(n−1)(n−2)
2 dim(δ) χδ (C(2))
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−
(n−2)(n−3)
2 dim(σi ) χσi (C(2)).
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Dualidad de Schur
Se calcula η a partir de la ecuación
η=
n(n−1)
2 dim(λ) χλ (C(2))
−
(n−1)(n−2)
2 dim(δ) χδ (C(2)).
Para cada η tenemos
αi =
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1
η − µi
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Dualidad de Schur
Dualidad de Schur
El grupo G = U(n) × Sk actúa en el producto tensorial ⊗k Cn la
dualidad de Schur establece la descomposición en irreducibles
de este espacio.
Teorema Dualidad de Schur
⊗k Cn ∼ ⊕m∈Par (k ,n) (V m ⊗ W m )
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Dualidad de Schur
A partir de la Dualidad de Schur se establece el siguiente
resultado entre funciones esféricas de los pares
(U(n), U(n − 1)) y (Sk , Sk −1 ).
Dualidad de Schur en Esféricas La función esférica Φk ,λ de
(G, K ) tiene la siguiente descomposiciónen funciones esféricas
irreducibles.
m
Φk ,λ (g, σ) ∼ ⊕m∈Par (k ,n) (Φm
k (g) ⊗ Ψλ (σ))
para todo g ∈ U(n) y todo σ ∈ Sk
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References I
TJ. Tirao Spherical Functions Rev. de la Unión Matem.
Argentina, 28 (1977),75-98.
F - HW. Fulton - J. Harris Representation Theory Springer
- Verlag, Berlin, New York, 1991
IG. Macdonald Symmetric Functions and Hall
Polynomials Clarendon Press, Oxford, 1979
SJ. P. Serre Linear Representations of Finite Groups
Springer - Verlag, Berlin, New York, 1971
Carmen Luz Blanco
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Gracias...
Carmen Luz Blanco
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