Tema 3. Compacidad y espacios Lindelöf Definición 8.3.1. Sea X un

Tema 3. Compacidad y espacios Lindelöf Definición 8.3.1. Sea X un

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8. AXIOMAS DE RECUBRIMIENTO
Tema 3.
Compacidad y espacios Lindelöf
Definición 8.3.1. Sea X un espacio topológico, diremos que X es Lindelöf
si todo recubrimiento abierto de X posee un subrecubrimiento finito o numerable.
Como en la compacidad, si A ⊂ X podemos comprobar que es Lindelöf trabajando con familias de abiertos absolutos cuya unión contiene a A.
La siguiente proposición se demuestra como en el caso compacto.
Proposición 8.3.2. Sea X un espacio topológico Lindelöf, entonces se tiene:
1. Si A ⊂ X es cerrado, entonces A es Lindelöf.
2. Si Y otro espacio topológico y f : X → Y una aplicación continua y
sobreyectiva. Entonces, Y es Lindelöf.
El principal resultado que vamos a demostrar es el siguiente:
Proposición 8.3.3. Sea X un espacio topológico Lindelöf. Entonces X es
compacto si y sólo si es numerablemente compacto.
La clave de la demostración es el siguiente lema.
Lema 8.3.4. Un espacio topológico es numerablemente compacto si y solo si
todo recubrimiento abierto numerable admite un subrecubrimiento finito.
Teorema 8.3.5 (Teorema de Lindelöf). Sea X e.t. iian. Entonces X es
Lindelöf.
Ejercicio 8.5. La recta de Sorgenfrey o R con la topologı́a conumerable son
Lindelöf pero no segundo numerables.
A continuación veremos una relación entre Lindelöf y propiedades de separación.
Proposición 8.3.6. Si X es un espacio topológico Lindelöf regular, entonces,
X es normal.
Probaremos que algunas de estas definiciones son equivalentes para espacios
pseudometrizables.
Proposición 8.3.7. Sea X un espacio pseudometrizable, entonces las tres propiedades siguientes son equivalentes:
1. X es segundo numerable.
2. X es separable.
TEMA 3. COMPACIDAD Y ESPACIOS LINDELÖF
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3. X es Lindelöf.
Definición 8.3.8. Sea X un espacio seudométrico y sea U un recubrimiento
abierto de X. Diremos que ε > 0 es un número de Lebesgue del recubrimiento si
toda bola de radio ε está contenida en un abierto de U .
Proposición 8.3.9. Sea X un espacio seudométrico secuencialmente compacto. Entonces, todo recubrimiento abierto posee un número de Lebesgue.
Proposición 8.3.10. Sea X un espacio pseudometrizable, entonces las siguientes propiedades siguientes son equivalentes:
1. X es compacto.
2. X es numerablemente compacto.
3. X es secuencialmente compacto.
Corolario 8.3.11. Un espacio seudométrico es compacto si y solo si es totalmente acotado y completo.