Certamen 2 - Alberto Mercado
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Certamen 2 - Alberto Mercado
UTFSM Departamento de Matemática. Prof.: Alberto Mercado Saucedo. Ayud.: Fernando Roldán. MAT-125 INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA AVANZADA. CERTAMEN 1. VIERNES 20 DE NOVIEMBRE Problema 1. (40 pts.) Sea X un conjunto no vacı́o, y f : X −→ X una función inyectiva. Considere la siguiente proposición: x ∈ X \ f (X) =⇒ o(x) := {f n (x) : n ∈ N} ⊂ X es infinito. (1) a) b) c) d) Demuestre la Proposición ?? (notación: f n = f ◦f n−1 , de manera que o(x) = {x, f (x), f 2 (x), . . .}). Exhiba un ejemplo explı́cito que ilustre la Proposición ??. Demuestre que el recı́proco de la Proposición ?? no es cierto. Si f no es inyectiva, ¿la Proposición ?? es cierta?. Demuéstrelo. Problema 2. (40 pts.) Se define en Z × N∗ la relación de equivalencia dada por (2) (m, n) ∼ (p, q) si mq = pn, para todo par (m, n), (p, q) ∈ Z × N∗ . m n. Denotaremos (m, n) por a) Demuestre que la relación es de equivalencia. Se define el conjunto de los números racionales como el conjunto de clases de equivalencia nh m i o : m ∈ Z, n ∈ N∗ . Q := n Definimos la suma y la multiplicación en Q por h m i p mq + pn h m i p mp + · (3) = , = . n q nq n q nq b) Demuestre que las operaciones dadas en (??) están bien definidas. c) Demuestre que todo elemento de Q posee inverso aditivo, y que todo elemento de Q \ {0} posee unverso multiplicativo. d) Demuestre que Q es numerable. Problema 3. (20 pts.) Principio de inducción transfinita. Sea I un conjunto bien ordenado (esto es, todo subconjunto A ⊂ I posee un elemento µ ∈ A tal que µ ≤ λ para todo λ ∈ A). Pruebe que I es totalmente ordenado. Ahora, sea P (λ) una proposición formulada para cada elemento λ ∈ I. Suponga que i) P (λ) es cierta para el menor elemento de I. ii) Si P (λ) es cierta para todo λ < λ∗ entonces P (λ∗ ) es cierta. Demuestre que P (λ) es cierta para todo λ ∈ I. Sugerencia: Proceda por contradicción. 1