SERIE DE FOURIER Y SU APLICACIÓN A LA FISICA

SERIE DE FOURIER Y SU APLICACIÓN A LA FISICA

IV CONACIN
SERIE DE FOURIER Y SU APLICACIÓN A LA FISICA
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2
Cruz-García, Ani Taly Marisela ; Aranda-Silva, Ever Osvaldo ;
1Universidad Peruana Unión Filial Tarapoto, Facultad de Ingeniería y Arquitectura, Ingeniería Ambiental Urbanización Santa Lucia, Tarapoto, San Martin – Perú, [email protected]
Resumen
Resolución:
𝑓′′
El objetivo de las series de Fourier es expresar una función “arbitraria” f con valores
reales como la suma de una serie formada por funciones trigonométricas (serie
Fourier). (Genaro, 2001)
El siguiente artículo esta presentado de forma teorica , donde se estudiaran las
series de Fourier, quienes cumplen un papel muy importante en diversos temas en
física y en otras ramas de la ingeniería tambien daremos ejemplos de algunas de
las aplicaciones más importantes de la serie de Fourier a varias ramas de la
matemática y de la física aplicado en distintas areas de la ingenieria.
Explicaremos sobre el Método de resolución de dicha Serie, empleando, sus
fórmulas básicas para su mayor entendimiento.
Introducción
La idea base de la serie de Fourier es que todo función periódica T se exprese
como una suma de senos y cosenos. La historia moderna de las series de Fourier
comenzó con D'Alembert (1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del
violín. El desplazamiento u = u (t; x) de una cuerda de violín, como una función del
tiempo t y De la posición x, es solución de la ecuación diferencial
2
𝜕 𝑢
𝜕𝑡 2
2
=
𝜕 𝑢
𝜕𝑥 2
, 𝑡 > 0, 0 < 𝑥 < 1
𝑓
′′
Reemplazando nuestra primera
ecuación inicial:
𝑓(0) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜆0) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜆0)
𝑓(0) = 0 = 𝐴 ⟶ 𝐴 = 0
𝑓(𝑥) = 𝐵𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝑥)
𝑓(𝜋) = 0 = 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜆𝜋) ⟶ 𝐵 ≠ 0
𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥) = 0 = 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) ⟶ 𝜆 = 𝑛
𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
donde:
= −𝜆2
α=0 ᴧ β=𝜆
2
𝑓 + 𝑓𝜆 = 0
𝑟 = ±𝜆𝑖
𝑓(𝑥) = 𝑒 −0𝑥 (𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥))
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)
Resolución de la segunda ecuación.
𝑔′′
−
= −𝜆2
𝑔
𝑔′′ + 𝜆2 = 0
𝑟 = ±𝜆𝑖
𝑔(𝑦) = 𝐶𝑒 𝜆𝑦 + 𝐷𝑒 −𝜆𝑦
Ahora decimos que nuestra constante
C es igual a 0, por la condición de que
la placa de metal es semi infinita y se
extiende a “y” positivo. 𝐶 = 0 ᴧ 𝜆 =
𝑛
𝑔𝑛 (𝑦) = 𝐷𝑒 −𝑛𝑦
Formula de la sumatoria para
encontrar el valor del coeficiente n.
Reemplazamos en la fórmula:
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑔
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝐷𝑒 −𝑛𝑦
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑒 −𝑛𝑦
∞
𝑏𝑛 𝑒 −𝑛𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑢(𝑥, 𝑦) =
𝑈(𝑥, 0) =
𝑛=1
∞
𝑛=1 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
∞
𝑢(𝑥, 0) =
= 𝑓(x)
𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) = 100
𝑛=1
Sujeto a las condiciones iniciales u (t; 0) = u (t; 1) = 0 para 𝑡 ≥ 0.
𝜕𝑢
𝜕𝑡
(0, 𝑥) = 0
Fourier hizo un intento serio por demostrar que cualquier función diferenciable
puede ser expandida en una serie trigonométrica. Una prueba satisfactoria de este
hecho fue dada por Dirichlet en 1829. Rieman también hizo contribuciones
importantes al problema. (Genaro, 2001)
𝜋
2
𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝜋
Reemplazando nuestro 𝑏𝑛 en la Σ
∞
200
(cos(𝑛𝜋) − 1)𝑒 −𝑛𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑢(𝑥, 𝑦) =
−
𝑛𝜋
0
𝜋
EJEMPLO 1
2
𝑏𝑛 = ∫ 100𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝜋
Desarrollar en serie de Fourier la función 𝑓(𝑥) = |𝑠𝑒𝑛 𝑥| 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 𝜋 𝑦𝜋
|𝑠𝑒𝑛 𝑥| = {
Procedemos a calcular nuestro 𝑏𝑛 con la
serie de Fourier ya conocidas.
𝑠𝑒𝑛 𝑥
−𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑏𝑛 = −
0
200
(cos(𝑛𝜋) −
𝑛𝜋
𝑛=1
Resultado del proceso de la temperatura de una
placa de metal.
1)
0<𝑥<𝜋
−𝜋<𝑥<0
Por ser una función par: 𝑏𝑛 = 0
2
𝜋
𝑎0 = ∫0 (𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑑𝑥 =
𝜋
𝑎0
2
=
2
𝜋
2 𝜋
1 − cos(𝑛 + 1) 𝜋 + 1 − cos(𝑛 − 1) 𝜋 − 1
𝑎𝑛 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ⌊
+
⌋
(𝑛 + 1)
(𝑛 − 1)
𝜋 0
𝜋
𝑛 𝑝𝑎𝑟
= {𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
−4
𝜋(𝑛2 − 1)
𝑎𝑛 = 0
𝑎𝑛 =
Conclusiones
Al finalizar la investigación concluimos que la serie de Fourier tiene importantes
aplicaciones a la física, ya que se puede obtener el calor unidimensional y en otros
desarrollos de problemas como el de la temperatura del cuerpo
Y así mismo concluimos que tiene diferentes aplicaciones en diversas ciencias.
Referencias
Aplicaciones de Fourier a la fisica
Calcular de la temperatura a una placa de metal semi infinita que se extiende en
la dirección positiva “y”
Y
U=0
U=0
X
u= f(x) = 100v
Condiciones iniciales
u (0, y)=0
u (x, 0)= 100
u (π, y)=0
f (0) =0
f (π)=0
π
Ahora nuestro ejercicio nos
Planteamos nuestra ecuación del
𝑓′′
𝑔
calor:
= −𝑔
𝑓
plantea una gráfica de dos
dimensiones:
𝑓′′ 𝑔′′
=
= 𝜆2
𝑓
𝑔
Departamento de matematica aplicada,universidad de sevilla,(2008). Serie de
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