Programación lógica basada en restricciones

Transcripción

Trabajo de Curso: 2008-2009
Introducción.
La programación lógica basada en restricciones [1][2] es un paradigma muy útil para formular y
resolver problemas que se definen de forma natural en términos de las restricciones que
deben verificar un conjunto de variables.
La resolución de tales problemas consiste normalmente en encontrar la asignación de valores
a las variables que permite que se verifiquen las restricciones impuestas. A esta aproximación
se le denomina “satisfacción de restricciones”. En la Programación Lógica basada en
Restricciones (CLP, de las siglas en inglés de Constraint Logic Programming) se incluyen
recursos para poder tratar este tipo de problemas en el ámbito de un lenguaje de
programación lógica como Prolog.
Un problema de satisfacción de restricciones se plantea, en general, en los siguientes
términos:


Dados un conjunto de variables, los dominios de definición de cada variable y las
restricciones que las variables deben cumplir,
Encontrar una asignación de valores a las variables, de manera que no se incumpla
ninguna de las restricciones impuestas.
Un ejemplo [1]: En un problema de planificación de tareas (scheduling) se tienen 4 tareas,
denominadas A, B, C y D. La duración de estas tareas es, respectivamente, de 2, 3, 5 y 4 horas.
Las tareas no pueden ejecutarse en cualquier orden. Concretamente, la tarea A debe preceder
a las tareas B y C, y B debe realizarse antes de D. El problema es encontrar los tiempos de
comienzo de las tareas de manera que el tiempo de finalización (Tf) de la última tarea sea
mínimo.
Variables: tiempos de comienzo de cada tarea (Ta, Tb, Tc, Td) y de finalización de la última (Tf).
Dominios: todas las variables son reales positivos.
Restricciones:
Ta + 2 ≤ Tb (la tarea A, de 2 horas de duración, debe preceder a la tarea B)
Ta + 2 ≤ Tc (la tarea A precede a la tarea C)
Tb + 3 ≤ Td (la tarea B precede a la tarea D)
Tc + 5 ≤ Tf (la finalización de la tarea C puede marcar el final del conjunto de tareas)
Td + 4 ≤ Tf (la finalización de la tarea d puede marcar el final del conjunto de tareas)
La solución óptima será aquella que minimice Tf. Con estas restricciones, es posible definir el
siguiente conjunto de soluciones:
Ta = 0
Tb = 2
2 ≤ Tc ≤ 4
Td = 5
Tf = 9
1
El tiempo de comienzo queda determinado para todas las tareas excepto para la tarea C, que
puede comenzar en cualquier momento en el intervalo [2,4].
Son numerosas las implementaciones de Prolog que incorporan extensiones en forma de
librerías para tratar este tipo de problemas. Estas librerías se diferencian en el tipo de dominio
y de restricciones que pueden tratar, de manera que los sistemas CLP se suelen agrupar en
función del tipo de dominio de definición de las variables. Por ejemplo, en CLP(R) los dominios
de la variables se establecen sobre números reales, y las restricciones son expresiones
aritméticas definidas sobre los números reales, normalmente en forma de ecuaciones e
inecuaciones lineales; de forma similar CLP(Q) se circunscribe al ámbito de los números
racionales; CLP(B) a dominios booleanos y CLP(FD) a dominios finitos.
Desde el punto de vista del programador el conjunto de primitivas que se incorporan en cada
librería CLP(X) (por ejemplo, para expresar dominios de definición) es heterogéneo. Es
relativamente frecuente encontrar implementaciones de sistemas CLP que bien difieren en la
sintaxis o nombre de las primitivas, o bien no incorporan primitivas que se encuentran en otras
implementaciones. SWI-Prolog dispone de sistemas CLP(R, Q y FD) en diferentes grados de
desarrollo, y, aunque presentan limitaciones si los comparamos con los que es posible
encontrar en sistemas más desarrollados como Eclipse-Prolog o SICStus-Prolog, servirán para
cubrir los objetivos de este trabajo de curso. Se recomienda consultar la ayuda en línea de
SWI-Prolog en el apartado “SWI_prolog Library” para conocer el soporte CLP incluido en la
presente versión, siendo muy recomendable emplear siempre la última versión “estable”
disponible.
Objetivos y estrategia de desarrollo del trabajo.
El objetivo de este trabajo de curso es resolver un conjunto de problemas CSP, de dificultad
progresiva. La siguiente colección de problemas simples son ejemplos de problemas que se
pueden resolver con facilidad con este tipo de técnicas. Lo alumnos deberán resolver como
mínimo esta colección de problemas simples y el problema de las fichas de dominó. Es posible,
previa consulta con el profesor responsable, el reemplazo de algunos de estos problemas por
otros de dificultad similar.
En todos los problemas se pide:
 Obtener una representación adecuada del problema en términos de definición de
dominios y de restricciones.
 Implementar un programa Prolog que resuelva el problema.
 La solución del problema.
Problemas simples.
1. El problema de las N-Reinas. Se pide resolver el clásico problema de cómo disponer un
N reinas sobre un tablero de ajedrez de NxN sin que ninguna de ellas pueda ser
atacada otra reina.
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2. Sudoku. Se trata de un juego cuyo objetivo es completar una cuadrícula de 9x9, que a
su vez está dividida en nueve áreas o “cajas” de 3x3, con los dígitos del 1 al 9,
obedeciendo las siguientes restricciones:
 En cada columna no puede haber dígitos repetidos.
 En cada fila no puede haber dígitos repetidos.
 En cada caja no puede haber dígitos repetidos.
3. Máximo beneficio. Supóngase una empresa que fabrica tres tipos de productos. Cada
producto genera un beneficio a la empresa pero también le supone un coste (por
ejemplo de espacio). El primer producto se vende en 3 unidades de dinero y requiere
de 2 unidades de espacio. El segundo ítem se vende por 4 unidades y requiere 3
unidades de espacio. Y el tercer producto se vende por 10 unidades de dinero, pero
demanda 7 unidades de espacio. Diseñar un programa que permita descubrir una
solución que maximice el beneficio neto cuando el espacio es limitado.
4. Comprando zapatos. Harriet, tras volver de un centro comercial, describe a su amiga
Aurora los zapatos que ha comprador. A Aurora le han encantado los cuatro tipos de
zapatos que Harriet ha comprado (esclavas, botas, zapatos de tacón y sandalias), el
problema es que Harriet no recuerda las zapatarías en las que compró cada uno de los
modelos. Sabe que compró en The Foot Farm, Heels , The Shoe Palace y en Tootsies.
¿Podrías ayudarlas a recordar dónde y en qué orden Harriet compró cada modelo?
Harriet sí que recuerda lo siguiente:
 Harriet compró las esclavas en Heels.
 La zapatería que visitó justo después de comprar las botas no era Tootsies.
 The Foot Farm fue la segunda tienda donde compró.
 Tras salir de The Shoe Palace, Harriet visitó dos tiendas más antes de comprar
las sandalias.
5. Crucigrama de sumas. Dado un cuadrado como el de la izquierda en la siguiente
figura, rellenar las casillas en blanco con números enteros en el intervalo [1,9] de
manera que al sumar el contenido por filas y por columnas se obtenga en el resultado
indicado por el número inscrito en el triángulo. Los números de una fila o columna
deben ser todos diferentes. Un solución se muestra en la tabla de la derecha.
11
21
8
11
21
8
24
24
8
9
7
10
10
2
7
1
6
6
1
5
Un problema más complejo.
6. Las fichas de Dominó. Un tablero rectangular contiene un cierto número de piezas de
Dominó dispuestas de manera que cubren todas las casillas del tablero. En cada casilla
del tablero aparece el número de puntos de una de las mitades de una ficha. El
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problema consiste en decidir cómo deben asociarse dos casillas contiguas para definir
el perímetro de todas las fichas involucradas. Normalmente la dificultad del problema
depende del número más alto de ficha (d) que contiene el tablero. Para d = 3, un
ejemplo de problema y su única solución se muestran en la siguiente figura.
Sobre la representación en el problema del dominó.
Parece ser la representación del problema la principal dificultad a la hora de intentar
resolverlo. Hay varias representaciones posibles, y es probable que alguno de Uds idee otra
mejor que la que vamos a comentar aquí. Por tanto, en absoluto debe entenderse como
“obligatorio” el uso de esta representación.
La idea consiste en describir la estructura del tablero en base a dos variables por cada celda
(i,j) del tablero, donde i ( 1≤ i ≤ nº filas) representa la fila y j ( 1≤ j ≤ nº columnas) la columna.
Las variables son las siguientes:
Eij tomará el valor 1 si y sólo si el borde “Este” (el borde
derecho) de la celda (i,j) representa la línea media de una
ficha del dominó. En el tablero del ejemplo, E11 = 0, pero
E12=1. En otro caso, Eij=0.
De forma similar, la variable Sij tomará el valor 1 si y sólo
si el borde “Sur” (el borde inferior) de la celda (i,j)
representa la línea media de una ficha del dominó. Así, en
el tablero del ejemplo, S11 = 1, pero S12=1. En otro caso,
Sij=0.
En base a esta idea es fácil representar las restricciones de conectividad de las celdas, es decir,
las formas en las que se puede cubrir una celda del tablero con una ficha del dominó. Veamos
algunos casos:




Celda (1,1): E11+S11 = 1. Esta restricción recoge la idea de que en la esquina del tablero
sólo es posible ubicar una ficha en dos posiciones diferentes.
Celda (1,3): E12 + S13 + E13= 1. En el ejemplo, E12=1 y S13=E13=0.
Celda (2,2): E21 + S12 + E22 + S22= 1. Con la disposición de la figura, sólo E22=1.
Celda (4,1): S31 + E41 = 1. En nuestro ejemplo, S31=0 y E41=1.
4

Celda (4,5): S35 + E44 = 1.
Este tipo de restricciones dará lugar a tantas restricciones como celdas tenga el tablero.
Nótese que estas restricciones sólo dependen de las dimensiones del tablero.
Planteando estas restricciones no hemos recogido todas las condiciones de que definen un
problema particular. Concretamente, el otro conjunto de restricciones deberá establecer las
posibles ubicaciones en el tablero para cada ficha del dominó. En nuestro caso, las fichas que
hay que colocar sobre el tablero son las diez siguientes:
<0,0>, <0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,1>, <1,2>, <1,3>, <2,2>, <2,3>, <3,3>
Si prestamos atención a los números que ocupan las
celdas del tablero, vemos que algunas fichas, como
<1,1> o <2,2> sólo pueden ocupar una posición. De
hecho, este análisis debería traducirse en el
establecimiento de dos nuevas restricciones: S14=1 y
E41=1.
Para otras fichas, por ejemplo <0,2>, existen más
posibilidades, pero que también se pueden recoger en
una restricción similar a las anteriores: E22+S34+E44=1.
A partir de aquí les toca a Uds. Espero que estas notas hayan servido para arrojar un poco de
luz sobre este ejercicio.
Sobre la realización práctica.
Es conveniente que la depuración del código se realice inicialmente sobre problemas más
sencillos que el propuesto en el guión del trabajo, que – por otra parte - tampoco tiene que ser
el único que se intente resolver. Los dos problemas siguientes pueden ser interesantes en la
fase de desarrollo, donde el primer argumento define el problema y el segundo (d) de
domino/2 indica la dimensión del problema, es decir, la puntuación de cada mitad de una ficha
del dominó estará comprendida en el intervalo cerrado [0,d].
A. domino([ [0,0,1],
[0,1,1]
], 1).
B. domino([ [0,0,1,1],
[0,1,1,2],
[0,2,2,2]
], 2).
Es fácil comprobar que el problema A tiene 3 posibles soluciones y el B siete.
5
Sobre la forma de presentar los resultados.
Realmente hay muchas formas de presentar los resultados, pero la siguiente es sencilla, pero
es muy clara y se puede construir fácilmente para un terminal alfanumérico.
1 3-0 1 2
|
| |
3 2-0 1 3
3-3 0-0 1
|
2-2 1-2 0
Sobre la memoria del trabajo.
Tras finalizar el desarrollo del trabajo, y dentro del plazo que se establezca al efecto, los
alumnos deberán entregar una memoria del trabajo realizado. Esta memoria deberá reflejar,
en un estilo técnico y correcto, el trabajo realizado en cada una de sus fases, los resultados
obtenidos y unas instrucciones que indiquen la forma de compilar la aplicación y ejecutarla.
Más concretamente, la memoria de la práctica deberá incluir los siguientes puntos:
Definición del problema.
En este primer punto se debe realizar una clara definición del problema que se va a
resolver, incluyendo - si fuera el caso - qué restricciones se han impuesto y su
justificación.
Descripción de la solución adoptada.
En este apartado se indicará básicamente la estructuración de la solución propuesta y
cómo se ha trasladado este enfoque a la implementación. Es importante destacar
explícitamente los objetivos específicos que este desarrollo pretende alcanzar. Este
aspecto es clave a la hora de establecer, en el apartado de conclusiones, la valoración
final del trabajo realizado.
Implementación.
Aquí se debe explicar la implementación realizada. Debe incluirse una descripción
funcional de los distintos módulos que componen la aplicación, haciendo hincapié en
algún elemento - que a juicio del alumno – sea un elemento determinante en cuanto a
capacidad del sistema, velocidad de ejecución, facilidad de uso, etc.
Experimentos.
Es importante demostrar la corrección y capacidades del sistema demostrando su
aplicación sobre un conjunto de problemas lo más completo posible. Si se emplean
ficheros de datos debe indicarse con claridad su ubicación y nombre completo.
Conclusiones.
En este apartado se deberá realizar una valoración crítica de los resultados obtenidos,
destacando tanto aquellos aspectos positivos o a destacar como las limitaciones o
deficiencias que se hayan detectado. Se valorará la riqueza y rigor de las conclusiones
a tenor de los resultados incluidos en el apartado de los experimentos y de los
6
objetivos consignados en el segundo apartado de la memoria (Descripción de la
solución adoptada).
Apéndice.
Además de lo anterior se incluirá a modo de apéndice un pequeño manual que detalle
la lista de ficheros que componen la aplicación, su organización en directorios (si la
hubiera) y las instrucciones necesarias para compilar y ejecutar el programa.
Normas de entrega.
La memoria del trabajo de curso y el código deberán ser remitidos por correo electrónico al
profesor responsable de la asignatura ([email protected]) dentro del periodo que se
establezca al efecto. Posteriormente se concertará una fecha para la defensa del trabajo entre
el profesor responsable y el alumno.
Bibliografía.
*1+ I. Bratko, “Prolog Programming for Artificial Intelligence”, Addison-Wesley, 3ª edición,
2001.
[2] Constraint Logic Programming (CLP),
http://en.wikipedia.org/wiki/Constraint_logic_programming
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Programación lógica basada en restricciones

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En nuestra nota anterior "El tablero de control" introdujimos