POLINOMIOS

POLINOMIOS
1. Diga cuál de las siguientes expresiones son o no polinomios.
a) ‫ ݔ‬ଷ − 5‫ ݔ‬ଶ − 2
Sí es un polinomio, porque los exponentes de las variables son números enteros
positivos.
b) ‫ି ݔ‬ସ − 5‫ݔ‬
No es polinomio, porque en la expresión hay un exponente negativo(-4).
c) ‫ ݔ‬ଶ −
ଵ
ଶ௫
+3
No es polinomio, porque la variable se encuentra en el denominador (
ଵ
ଶ௫
)
d) ܽସ + ܽଷ + ܽଶ + ܽ
Sí es un polinomio, porque los exponentes de las variables son números enteros
positivos.
2. Encuentra el grado de cada polinomio:
a) −5‫ ݎ‬ଶ ‫ ݏ‬ଶ − ‫ ݎ‬ଷ ‫ ݏ‬+ 3
El grado del polinomio es 4, pues es la mayor suma de exponentes en cada término.
b) 17ܾܽ ହ − 12ܽଷ ܾ
El grado del polinomio es 6, pues es la mayor suma de exponentes en cada término.
3. Si se sabe que el polinomio 2‫ ݔ‬ସ − 8‫ ݔ‬௔ + ‫ ݔ‬ଶ − 10 es de grado 6; hallar 2ܽ + 1.
Si el polinomio es de grado 6, entonces ܽ = 6, luego:
2ܽ + 1 = 2ሺ6ሻ + 1
= 12 + 1
= 13
4. El polinomio 3‫ ݔ‬ସ ‫ ݕ‬+ 5‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ଷ + 4‫ ݔ‬௔ ‫ ݕ‬௕ es degrado 10. Hallar 3ܽ + 3ܾ.
Si el polinomio es de grado 10, entonces ܽ + ܾ = 10, luego:
3ܽ + 3ܾ = 3ሺܽ + ܾሻ
= 3ሺ10ሻ
= 30
5. Los polinomios ܲሺ‫ݔ‬ሻ = −2‫ ݔ‬ହ + 7‫ ݔ‬௠ − 2 y
respectivamente. Según esto, hallar 3݉ − ݊.
ܳሺ‫ݔ‬ሻ = 5 − 2‫ ݔ‬ଷ + 8‫ ݔ‬௡ son de grado 9 y 7
Si ܲ es de grado 9, entonces ݉ = 9
Si ܳ es de grado 7, entonces n = 7
Entonces: 3݉ − ݊ = 3ሺ9ሻ − 7
= 27 − 7
= 20
6. Si ܲሺ‫ݔ‬ሻ = −3‫ ݔ‬ସ + 5‫ ݔ‬ଷ − 2‫ ݔ‬+ 1; hallar ܲሺ−2ሻ.
ܲሺ−2ሻ = −3ሺ−2ሻସ + 5ሺ−2ሻଷ − 2ሺ−2ሻ + 1
= −3ሺ16ሻ + 5ሺ−8ሻ + 4 + 1
= −48 − 40 + 4 + 1
= −83
7. ܳሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ = 2‫ ݔ‬ହ ‫ ݕ‬− 12‫ ݔ‬ସ ‫ ݕ‬ଷ + 10‫ ݔ‬ଶ ‫ ݕ‬ହ − 8. Hallar ܳሺ2, −1ሻ.
ܳሺ2, −1ሻ = 2ሺ2ሻହ ሺ−1ሻ − 12ሺ2ሻସ ሺ−1ሻଷ + 10ሺ2ሻଶ ሺ−1ሻହ − 8
= 2ሺ32ሻሺ−1ሻ − 12ሺ16ሻሺ−1ሻ + 10ሺ4ሻሺ−1ሻ − 8
= −64 + 192 − 40 − 8
= 80
8. Hallar un trinomio de grado 2, tal que al ser evaluado en ‫ = ݔ‬−2 resulta igual a 1.
Una solución para este problema es ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬− 1 (esta solución no es única)
9. Resuelve:
a)
2ሺ‫ ݔ‬+ 3ሻ + 4ሺ‫ ݔ‬− 2ሻ = 2‫ ݔ‬+ 6 + 4‫ ݔ‬− 8
= 6‫ ݔ‬− 2
b) 6ሺ2‫ ݕ‬ଶ + 2‫ ݕ‬− 5ሻ − 5ሺ‫ ݕ‬ଶ − 2‫ ݕ‬− 6ሻ = 12‫ ݕ‬ଶ + 12‫ ݕ‬− 30 − 5‫ ݕ‬ଶ + 10‫ ݕ‬+ 30
= 7‫ ݕ‬ଶ + 22‫ݕ‬
c)
2ሺ2‫ ݕ‬ଶ − 2‫ ݕ‬+ 2ሻ − 4ሺ3‫ ݕ‬ଶ − 4‫ ݕ‬− 1ሻ + 4ሺ‫ ݕ‬ଷ − ‫ ݕ‬ଶ − ‫ݕ‬ሻ = 4‫ ݕ‬ଶ − 4‫ ݕ‬+ 4 − 12‫ ݕ‬ଶ + 16‫ ݕ‬+ 4 + 4‫ ݕ‬ଷ − 4‫ ݕ‬ଶ − 4‫ݕ‬
= 4‫ ݕ‬ଷ − 12‫ ݕ‬ଶ + 8‫ ݕ‬+ 8
10. Restar ‫ ݏ‬ଶ + 4‫ ݏ‬+ 2 de 5‫ ݏ‬ଶ − ‫ ݏ‬+ 9.
ሺ5‫ ݏ‬ଶ − ‫ ݏ‬+ 9ሻ − ሺ‫ ݏ‬ଶ + 4‫ ݏ‬+ 2ሻ = 5‫ ݏ‬ଶ − ‫ ݏ‬+ 9 − ‫ ݏ‬ଶ − 4‫ ݏ‬− 2
= 4‫ ݏ‬ଶ − 5‫ ݏ‬+ 7
11. De la suma de 3‫ ݐ‬ଷ + ‫ ݐ‬ଶ y −‫ ݐ‬ଷ + 6‫ ݐ‬− 3 restar ‫ ݐ‬ଷ − 2‫ ݐ‬ଶ + 2.
൫3‫ ݐ‬ଷ + ‫ ݐ‬ଶ – ‫ ݐ‬ଷ + 6‫ ݐ‬− 3൯ − ሺ‫ ݐ‬ଷ − 2‫ ݐ‬ଶ + 2ሻ = 2‫ ݐ‬ଷ + ‫ ݐ‬ଶ + 6‫ ݐ‬− 3 − ‫ ݐ‬ଷ + 2‫ ݐ‬ଶ − 2
= ‫ ݐ‬ଷ + 3‫ ݐ‬ଶ + 6‫ ݐ‬− 5
12. ¿Qué polinomio debe ser añadido a 2‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݔ‬+ 3 para que la suma sea 6‫ ݔ‬ଶ − 7‫ ݔ‬− 8?
ሺ6‫ ݔ‬ଶ − 7‫ ݔ‬− 8ሻ − ሺ2‫ ݔ‬ଶ − ‫ ݔ‬+ 3ሻ = 6‫ ݔ‬ଶ − 7‫ ݔ‬− 8 − 2‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬− 3
= 4‫ ݔ‬ଶ − 6‫ ݔ‬− 11
13. Encuentre el polinomio que representa el perímetro de la figura
‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬+ 1
70°
70°
ଶ
‫ ݔ‬−4
2ሺ‫ ݔ‬ଶ + 3‫ ݔ‬+ 1ሻ + ‫ ݔ‬ଶ − 4 = 2‫ ݔ‬ଶ + 6‫ ݔ‬+ 2 + ‫ ݔ‬ଶ − 4
= 3‫ ݔ‬ଶ + 6‫ ݔ‬− 2
14. Escriba un polinomio que exprese la longitud de la manguera, si las piezas más cortas se unen.
ሺ3‫ ݕ‬ଶ − 2‫ ݕ‬+ 1ሻ
ሺ2‫ ݕ‬ଶ + ‫ ݕ‬+ 1ሻ
Longitud = 3‫ ݕ‬ଶ − 2‫ ݕ‬+ 1 + 2‫ ݕ‬ଶ + ‫ ݕ‬+ 1
= 5‫ ݕ‬ଶ − ‫ ݕ‬+ 2
15. Una pieza de madera mide ሺ2‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬+ 1ሻ metros de largo. Si se corta el extremo más corto,
escriba un polinomio para expresar la longitud de la pieza restante.
ሺ2‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬+ 1ሻ
ሺ‫ ݔ‬ଶ − 5ሻ
ሺ2‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬+ 1ሻ − ሺ‫ ݔ‬ଶ − 5ሻ = 2‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬+ 1 − ‫ ݔ‬ଶ + 5
= ‫ ݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬+ 6