GEOMETRÍA DEL ESPACIO. POLIEDROS

Transcripción

9
Geometría del espacio. Poliedros
9
E
GEOMETRÍA DEL
ESPACIO. POLIEDROS
n esta unidad trataremos de que los alumnos entiendan y sean capaces de imaginar elementos y cuerpos en el espacio tridimensional.
Lo fundamental es que los alumnos relacionen poliedros con objetos de la vida cotidiana y vean la utilidad de conocer su superficie y su
volumen.
Será muy importante que hayan aprendido, en las unidades anteriores, los conceptos básicos de la geometría plana para que puedan aplicarla
en el cálculo de longitudes y áreas. Es recomendable que los alumnos calculen las áreas de poliedros reconociendo la figura y el área de cada
una de sus caras.
Los contenidos de esta unidad se presentan de forma gráfica, de esta forma los alumnos serán capaces de relacionar la realidad visual con los
conceptos teóricos.
La metodología se ha diseñado incluyendo actividades integradas que permitirán al alumnado adquirir eficazmente varias competencias al
mismo tiempo.
Comunicación lingüística (CL)
En toda la unidad se utilizarán argumentos y conceptos matemáticos para expresar y comunicar propiedades de la geometría en el espacio,
teniendo especial importancia en las secciones: Composición de poliedros, Geometría en el arte y Lee y comprende las matemáticas de final
del bloque.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)
Se desarrolla lo largo de toda la unidad, aplicarán destrezas y desarrollarán actitudes para razonar matemáticamente.
Competencia digital (CD)
Se integra en los ejercicios de cálculo de las áreas y los volúmenes de las pirámides y de los cuerpos compuestos, teniendo que recurrir a la
visualización y búsqueda de información haciendo uso de medios informáticos.
Competencias sociales y cívicas (CSC)
En toda la unidad trataremos que los alumnos enfoquen los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo y colaborador.
Competencia aprender a aprender (CAA)
A lo largo de toda la unidad se considera la necesidad de que desarrollen la curiosidad, la perseverancia y la actitud crítica. En todas las secciones se presentan situaciones de la vida cotidiana, de esta forma conseguiremos que los alumnos reflexionen sobre su propio aprendizaje. Con
el trabajo en equipo se potenciarán las metas de su aprendizaje.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)
Desde esta unidad se contribuye al desarrollo de habilidades para desenvolverse adecuadamente, con autonomía e iniciativa personal, en diversos ámbitos de la vida y para interpretar el mundo que nos rodea. Muestra de ello son las actividades propuestas en la sección Matemáticas
vivas, extraídas de la realidad social y del día a día.
Competencia conciencia y expresiones culturales (CCEC)
A lo largo de toda la unidad se realizarán actividades en las que los alumnos reconocerán la geometría como parte integrante de la expresión
artística de la humanidad. En las secciones de Matemáticas vivas y Geometría en el arte (El cubismo) se trabaja esta competencia con más
énfasis.
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 3 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
Unidades didácticas 260
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
9
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚❚ Reconocer los elementos básicos de la geometría en el espacio y las posiciones relativas entre rectas y planos.
❚❚ Identificar poliedros y sus planos de simetría.
❚❚ Clasificar y calcular áreas y volúmenes de prismas y de pirámides.
❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando los poliedros.
Atención a la diversidad
Para atender las diversas necesidades que presenta el grupo el docente podrá diseñar una organización flexible de los contenidos de la unidad
con la inclusión de actividades de refuerzo y de ampliación con distintos niveles de dificultad.
Material complementario
En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de
problemas de geometría del espacio. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre los poliedros, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar los problemas de poliedros pueden acceder a las lecciones 1111, 1078, 1107,
1139 y 1122 de la web www.mismates.es.
PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD
Contenidos
Criterios de evaluación
Estándares de aprendizaje evaluables
Relación de
actividades del
libro del alumno
Competencias
clave
Elementos de la
geometría del
espacio
Posiciones relativas
1. Identificar los elementos básicos de la
geometría del espacio.
1.1. Reconoce rectas, planos, puntos y aristas en
el espacio.
1, 50
2. Determinar la posición relativa entre rectas
y planos.
2.1. Identifica la posición relativa entre dos
rectas, dos planos y una recta y un plano.
2-4, 51
Poliedros
Planos de simetría
3. Describir, clasificar y desarrollar poliedros.
3.1. Reconoce elementos básicos de poliedros,
los relaciona y clasifica.
4. Identificar planos de simetría en poliedros.
4.1. Describe y dibuja planos de simetría en
poliedros.
5-8
52-62
Matemáticas vivas 2
9, 10, 52
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
Prismas
Clasificación de
prismas
5. Identificar y distinguir prismas
5.1. Reconoce, clasifica, dibuja y realiza el
desarrollo plano de prismas.
5.2. Determina elementos básicos de prismas.
11, 12, 15
63, G1
13, 14
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
Área y volumen de
prismas
6. Comprender y aplicar las fórmulas para el
cálculo de áreas y volúmenes de prismas.
6.1. Calcula áreas y volúmenes de prismas.
16-18, 22-25
27-28
64, 72-75
19-21, 26, 29
65-71
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
30-32
35-38, 61, 62
G1
33, 34
CL
CMCT
CSC
CSIEE
6.2. Relaciona elementos, áreas y volúmenes de
prismas para resolver problemas.
CL
CMCT
CSC
CAA
CSIEE
Pirámides
Clasificación de
pirámides
Troncos de pirámide
7. Identificar y distinguir pirámides.
7.1. Determina los elementos básicos, clasifica,
dibuja y realiza el desarrollo plano de pirámides.
8. Reconocer troncos de pirámides.
8.1. Dibuja y averigua elementos básicos en
trocos de pirámide.
Área y volumen de
pirámides
Área y volumen de los
troncos de pirámide
9. Comprender cómo ha de realizarse el
cálculo de áreas y volúmenes de pirámides.
10. Comprender cómo ha de realizarse el
cálculo de áreas y volúmenes de troncos de
pirámides.
9.1. Calcula áreas y volúmenes de pirámides y los 39-41, 44
aplica para hallar elementos básicos.
76-82
10.1. Determina elementos, áreas y volúmenes
42, 43
de troncos de pirámides.
83-85
Trabajo cooperativo
CL
CMCT
CD
CSC
CAA
CCEC
Composición de
poliedros
11. Reconocer cuerpos compuestos por
poliedros y determinar su área y su volumen.
11.1. Obtiene el área y el volumen de cuerpos
compuestos por poliedros.
CL
CMCT
CD
CAA
CSIEE
CCEC
45-49
86-89
9
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
PARA EL PROFESOR
PARA EL ALUMNO
Presentación de la unidad
Ideas previas
Repasa lo que sabes
Actividades de Refuerzo
Actividades de Ampliación
Propuesta de Evaluación A
Propuesta de Evaluación B
Matemáticas en el día a día
Contenido WEB. Leonhard Euler
1.Elementos de la geometría del
espacio
• P osiciones relativas
2.Poliedros
• Planos de simetría
3.Prismas
• Clasificación de prismas
4. Área y volumen de prismas
5.Pirámides
• Clasificación de pirámides
• Troncos de pirámides
MATERIAL COMPLEMENTARIO
6. Área y volumen de pirámides
• Área y volumen de los troncos de
pirámide
7. Composición de poliedros
Comprende y resuelve
problemas
Vídeo. Área y volumen de pirámide
Vídeo. Área y volumen de un cuerpo
compuesto
¿Qué tienes que saber?
• P rismas
• P irámides
• Troncos de pirámide
Practica+
MisMates.es
Lecciones 1111, 1078, 1107,
1139 y 1122 de la web
www.mismates.es
Actividades finales
Actividades interactivas
Matemáticas vivas
Las pirámides
•G
randiosas construcciones
geométricas
Trabajo cooperativo
Tarea cuya estrategia es Situación
problema de Ferreiro Gravié
Avanza
Medida de ángulos
Geometría en el arte
El cubismo
9
Sugerencias didácticas
9
En esta esta unidad los alumnos aprenderán a clasificar poliedros y a calcular áreas y volúmenes de poliedros regulares.
GEOMETRÍA
DEL ESPACIO.
POLIEDROS
S
IDEAS PREVIA
goras.
❚ Teorema de Pitá
un polígono
❚ Apotema de
.
regular
áreas
❚ Perímetros y
de polígonos.
Empezaremos la unidad proponiendo ejercicios en los que
tengan que aplicar el teorema de Pitágoras y las fórmulas
del cálculo de perímetros y áreas de figuras planas.
La geometría del espacio se ocupa del estudio de las medidas
y las propiedades de los cuerpos geométricos en el espacio
tridimensional. De estas, las determinadas por polígonos, ya
sean del mismo o de distinto tipo, son poliedros.
Al terminar la unidad debemos asegurarnos de que los
alumnos son capaces de identificar poliedros, y dado un
poliedro regular conocer cómo ha de hacerse el diseño plano y el cálculo del área y volumen. Valoraremos los diseños
gráficos que realicen y el buen uso de la calculadora.
Nuestro entorno cotidiano se halla repleto de poliedros; muchos
están huecos y pueden contener en su interior otros cuerpos,
es decir, tienen una capacidad relacionada directamente con
su volumen.
Desde las primeras construcciones del hombre hasta los
más modernos edificios de la actualidad, los arquitectos han
utilizado los poliedros en sus diseños para dar respuesta a las
necesidades de alojamiento o cobijo ante las inclemencias
atmosféricas.
Es muy importante también que utilicen el lenguaje matemático adecuado para referirse a los elementos principales.
REPASA LO QUE SABES
1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm, y uno de
sus catetos, 6 cm. Halla la medida del otro cateto.
Contenido WEB. LEONHARD EULER
2. Los catetos de un triángulo rectángulo miden, respectivamente,
48 m y 55 m. Averigua la longitud de la hipotenusa.
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información
relativa a la unidad. En este caso se dedica a la figura de Euler,
aportando algunos datos biográficos sobre él y su obra. Puede
utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar
la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.
3. Los lados de un hexágono regular miden 16 cm. Calcula la
medida de la apotema. Halla el área del polígono.
4. Se sabe que los lados iguales de un triángulo isósceles miden
6 cm, y el lado desigual, 4 cm. Determina su perímetro y su área.
[
Matemáticas en el día a día
mac3e33
]
Leonhard Euler (1707-1783), matemático y físico suizo,
considerado el principal matemático del siglo XVIII, publicó
una gran cantidad de obras dedicadas a diversas ramas de
las matemáticas, aportando nuevos descubrimientos con
infinidad de aplicaciones prácticas, algunas de las cuales
continúan desarrollándose en la actualidad.
161
Repasa lo que sabes
Soluciones de las actividades
1.La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm, y uno de sus catetos, 6 cm. Halla la medida del otro cateto.
Aplicando el teorema de Pitágoras: 102 = 62 + c2 → c =
102 − 62 =
64 = 8 cm
2.Los catetos de un triángulo rectángulo miden, respectivamente, 48 m y 55 m. Averigua la longitud de la hipotenusa.
Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 = 482 + 552 → a =
482 + 552 =
5 329 = 73 m
3.Los lados de un hexágono regular miden 16 cm. Calcula la medida de la apotema. Halla el área del polígono.
Aplicando el teorema de Pitágoras: 162 = 82 + a2 → a = 162 − 82 = 192 = 13,86 cm
16 ⋅ 6 ⋅13,86
A=
= 665,28 cm2
2
4.Se sabe que los lados iguales de un triángulo isósceles miden 6 cm, y el lado desigual, 4 cm. Determina su perímetro y su
área.
P = 6 + 6 + 4 = 16 cm
Aplicando el teorema de Pitágoras: 62 = 22 + h2 → h =
4 ⋅ 5,66
A=
= 11,32 cm2
2
Unidades didácticas 62 − 22 =
263
32 = 5,66 cm
9
1. Elementos de la geometría del espacio
9
Aprenderás a…
●
●
9
Actividades
1. ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Identificar los elementos
básicos de la geometría del
espacio.
A Pablo, por su cumpleaños, le han
regalado un rompecabezas, el cubo de
Rubik.
Reconocer las posiciones
relativas entre rectas y planos
en el espacio.
Pablo observa el cubo y encuentra en él
los elementos básicos de la geometría
en el espacio:
EJERCICIO RESUELTO
}
Determina los siguientes
elementos en la figura.
H
E
a) Los puntos.
F
c) Las caras.
A
d) Las caras que pertenecen a planos
paralelos.
❚ Cada arista es un segmento que
pertenece a la recta que pasa por dos
vértices contiguos.
G
D
b) Las aristas.
❚ Los vértices del cubo son puntos.
C
Solución
a) Los puntos son: A, B, C, D, E, F, G y H
❚ Las caras del cubo están contenidas en
planos.
B
b) Las aristas son: AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG y DH
c) Las caras son: ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG y ADHE
d) Las caras que pertenecen a planos paralelos son: ABCD y EFGH
•A
•A
•A
1
•B
Indica los elementos
geométricos que
aparecen en la figura.
•B
A
D
B
•
C
❚ Un punto queda determinado por dos rectas que se cortan.
E
C
❚ Una recta se define por dos puntos o por dos planos que se cortan.
Determina la posición relativa entre los planos α y β en cada caso.
a)
b)
α
β
2
❚ Un plano queda definido por tres puntos no alineados o dos rectas que se cortan.
Lenguaje matemático
Para nombrar los puntos,
escribimos letras mayúsculas
(A, B,…); para las rectas,
letras minúsculas (r, s,…);
y para los planos, letras
griegas (α, β,…).
F
Posiciones relativas
α
❚ Las rectas en el espacio pueden ser:
β
◗ Paralelas si tienen la misma dirección y no tienen puntos
en común.
◗ Secantes si se cortan en un punto.
◗ Se cruzan si tienen distinta dirección y no comparten
ningún punto.
Cuando dos planos se
cortan, el espacio queda
dividido en cuatro regiones,
cada una de las cuales se
llama ángulo diedro.
Señala la posición relativa de la recta r y el plano α.
a)
b)
3
r
❚ Los planos en el espacio pueden ser:
r
◗ Paralelos si no tienen puntos en común.
◗ Secantes si se cortan en una recta.
α
α
❚ Una recta y un plano en el espacio pueden ser:
Investiga
◗ Paralelos si no tienen puntos comunes.
◗ Secantes si comparten alguno.
4
❚ Una recta está contenida en un plano si todos los puntos
de la recta son puntos del plano.
Indica cuál es la posición relativa de los siguientes elementos.
a) La recta determinada por una puerta entreabierta y la pared que atraviesa, y el plano definido por tres
puntos no alineados en el suelo.
b) Los planos determinados por las hojas de un libro cerrado. ¿Y si lo abrimos?
162
163
que hablar de rectas que se cruzan en el espacio equivale a
decir que no pertenecen al mismo plano, ya que las rectas
que pertenecen al mismo plano, o bien se cortan o bien son
paralelas.
Prestaremos atención a la expresión verbal de los alumnos
sobre los puntos, las rectas y los planos en el espacio tridimensional, son conceptos que serán utilizados a lo largo de
la unidad. Conviene presentarles un prisma para definirlos
y deberán ser capaces de identificarlos en las representaciones gráficas de las actividades que realicemos.
Para superar las dificultades que pueden surgir cuando sean
ellos los que dibujen podemos proponerles que observen su
aula, identifiquen puntos, rectas y planos, y los representen
en su cuaderno.
No presentará problema el reconocimiento de rectas secantes o paralelas, pero puede costarles entender que dos
rectas pueden cruzarse en el espacio. Debemos contarles
1 Indica los elementos geométricos que aparecen en la figura.
A
D
B
E
C
F
❚❚ Los puntos son: A, B, C, D, E y F
❚❚ Las rectas son: AB, AC, BC, DE, DF, EF, AD, CF y BE
❚❚ Los planos son: ABC, ADFC, ABDE, BCFE y DEF
9
2 Determina la posición relativa entre los planos α y β en cada caso.
a)α
b)
β
α
β
a)Son planos paralelos.
b)Son planos secantes.
3 Señala la posición relativa de la recta r y el plano α.
a)
b)
r
r
α
α
a)La recta está contenida en el plano.
b)La recta y el plano son secantes.
Investiga
4 Indica cuál es la posición relativa de los siguientes elementos.
a)La recta determinada por una puerta entreabierta y la pared que atraviesa, y el plano definido por tres puntos no alineados en el suelo.
b)Los planos determinados por las hojas de un libro cerrado. ¿Y si lo abrimos?
a)La recta y el plano son secantes.
b)Las hojas de un libro cerrado pertenecen a planos paralelos, si lo abrimos pertenecen a planos secantes.
9
2. Poliedros
9
Aprenderás a…
●
Reconocer los poliedros como
cuerpos geométricos.
●
Distinguir entre poliedros
cóncavos y convexos.
●
Identificar planos de simetría
en poliedros.
2. POLIEDROS
5
Iván y Laura han encontrado
dos objetos de metacrilato
en su casa. Se han fijado
en que ambos tienen
caras que son polígonos:
triángulos,
cuadrados,
rectángulos y polígonos
irregulares. Son cuerpos
geométricos
llamados
poliedros porque están
formados por polígonos.
Determina el número de vértices, aristas y caras de los siguientes poliedros.
Clasifícalos y comprueba si se cumple el teorema de Euler.
a)
b)
6
Halla el número de aristas que tiene un poliedro convexo con 8 caras y 12 vértices.
7
Calcula el número de caras de un poliedro convexo que tiene 6 aristas y 4 vértices.
8
Determina cuántas diagonales tienen los siguientes poliedros.
a)
b)
El que tiene Iván en la mano es un poliedro convexo, ya que, si unimos dos
cualesquiera de sus puntos, el segmento que forman está contenido en él.
El cuerpo que sostiene Laura es un poliedro cóncavo: podemos trazar un segmento,
no contenido en él, que una dos de sus puntos y atraviese sus caras.
Recuerda
Iván comprueba que el poliedro convexo tiene 5 caras, 9 aristas y 6 vértices y observa
que se cumple que: 5 + 6 = 9 + 2
Las diagonales de un poliedro
son segmentos que unen dos
vértices que no pertenecen a
la misma cara.
Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos, no
necesariamente iguales. Puede ser:
Presta atención
9
Actividades
❚ Convexo, si cualquier segmento que une dos de sus puntos está contenido en él.
❚ En cada vértice de un poliedro
concurren tres o más caras.
❚ Cóncavo, si se puede trazar un segmento que une dos de sus puntos y no está
contenido en él.
❚ La suma de los ángulos de las
caras que concurren en un
vértice de un poliedro ha de ser
menor que 360º.
9
Teorema de Euler. Si un poliedro es convexo, se verifica que el número de
caras, C, y el número de vértices, V, coinciden con el número de aristas, A, más
2 unidades.
C+V=A+2
Dibuja en tu cuaderno los siguientes cuerpos geométricos indicando sus planos
de simetría.
a)
b)
Decimos que un poliedro
tiene simetría especular si a
cada punto le corresponde
su simétrico respecto de un
plano de simetría.
Planos de simetría
Si Laura vierte agua en el poliedro
convexo, puede considerar el
plano que divide el poliedro en
dos cuerpos iguales.
Investiga
Este poliedro tiene un plano de
simetría, esto es, un plano tal
que, si fuese un espejo, reflejaría
de forma idéntica una parte del
cuerpo en la otra.
10
Los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, son los formados por polígonos regulares iguales
en cuyos vértices concurren el mismo número de caras. Los únicos poliedros regulares son:
EJERCICIO RESUELTO
}
Clasifica estos poliedros y dibuja sus planos de
simetría.
a)
b)
Solución
a) Poliedro convexo
b) Poliedro cóncavo
Tetraedro
Hexaedro o cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
a) ¿Tienen los poliedros regulares simetría central, es decir, existe un punto del espacio que equidiste de sus
caras, de sus vértices y de sus aristas?
b) ¿Tienen los sólidos platónicos simetría axial, esto es, son simétricos respecto a rectas del espacio? Si existen
estas rectas, ¿cuál es su posición relativa?
c) ¿Tienen los poliedros regulares simetría especular? Si tu respuesta es afirmativa, ¿cuál es la posición relativa
de los planos de simetría?
164
165
También se puede reconocer que un poliedro es convexo si
todas sus diagonales son interiores.
Es importante que los alumnos reconozcan el teorema de
Euler en los poliedros convexos. Así, en los ejercicios que
realicen, identificarán sus elementos básicos.
Encontrar y dibujar planos de simetría de poliedros no debería presentar dificultades por ser una idea bastante intuitiva para los alumnos.
Para la clasificación de poliedros en cóncavos y convexos,
además de utilizar las definiciones basadas en los segmentos que unen dos de sus puntos, conviene explicar que un
poliedro es convexo si todos sus ángulos diedros interiores
son convexos (mayores de 0º y menores de 180º).
Por último, el ejercicio propuesto en la sección Investiga,
nos permitirá repasar los poliedros regulares.
5 Determina el número de vértices, aristas y caras de los siguientes poliedros. Clasifícalos y comprueba si se cumple el teo-
rema de Euler.
a)
b)
a)V = 12, C = 8, A = 18
Es un poliedro cóncavo y se cumple el teorema de Euler: 8 + 12 = 18 + 2
b)V = 5, C = 5, A = 8
Es un poliedro convexo y se cumple el teorema de Euler: 5 + 5 = 8 + 2
6 Halla el número de aristas que tiene un poliedro convexo con 8 caras y 12 vértices.
Aplicando el teorema de Euler: C + V = A + 2 → 8 + 12 = A + 2 → A = 18
9
7 Calcula el número de caras de un poliedro convexo que tiene 6 aristas y 4 vértices.
Aplicando el teorema de Euler: C + V = A + 2 → C + 4 = 6 + 2 → C = 4
8 Determina cuántas diagonales tienen los siguientes poliedros.
a)
b)
a)Tiene 4 diagonales.
b)Tiene 4 diagonales.
9 Dibuja en tu cuaderno los siguientes cuerpos geométricos indicando sus planos de simetría.
a)
b)
a)
b)
Investiga
10 Los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, son los formados por polígonos regulares iguales en cuyos
vértices concurren el mismo número de caras. Los únicos poliedros regulares son:
Tetraedro
Hexaedro o cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
a)¿Tienen los poliedros regulares simetría central, es decir, existe un punto del espacio que equidiste de sus caras, de sus
vértices y de sus aristas?
b)¿Tienen los sólidos platónicos simetría axial, esto es, son simétricos respecto a rectas del espacio? Si existen estas rectas,
¿cuál es su posición relativa?
c) ¿Tienen los poliedros regulares simetría especular? Si tu respuesta es afirmativa, ¿cuál es la posición relativa de los
planos de simetría?
a)Si, todos tienen simetría central.
b)Si, todos tienen simetría axial. Los ejes de simetría pasan por el centro de simetría de cada poliedro regular, por esto los
ejes de simetría se cortan en el centro de simetría de cada uno de los poliedros.
c) Todos los poliedros regulares tienen simetría especular respecto a planos que los dividen en dos partes iguales. Los
planos de simetría de cada poliedro regular se cortan.
9
3. Prismas
9
Aprenderás a…
●
Identificar y clasificar prismas.
9
Actividades
3. PRISMAS
EJERCICIO RESUELTO
Si miras a tu alrededor, en tu clase, en tu casa, en tu calle…, podrás observar objetos
que son prismas.
}
Hay lápices que son prismas hexagonales, cajas que son paralelepípedos y edificios
que son ortoedros o prismas oblicuos.
Clasifica estos prismas.
a)
b)
c)
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas llamadas bases que son
polígonos iguales y otras caras que son paralelogramos y que reciben el nombre
de caras laterales.
Clasificación de prismas
Solución
Según los polígonos que forman las bases de un prisma, este puede ser triangular,
si las bases son triángulos; cuadrangular, si son cuadriláteros; pentagonal, si son
pentágonos…
a) Prisma cuadrangular, recto, irregular y convexo.
❚ Si las caras
laterales son
rectángulos,
el prisma es
recto.
b) Prisma cuadrangular, recto, irregular y cóncavo.
c) Prisma hexagonal, oblicuo, regular y convexo.
❚ Si las caras
laterales
no son
rectángulos,
el prisma es
oblicuo.
11
Clasifica los siguientes prismas y realiza su desarrollo plano.
a)
b)
c)
❚ Los lados de los polígonos
de las bases de un
poliedro se llaman aristas
básicas.
❚ La altura, h, de un prisma
es la distancia entre sus
bases.
Los prismas rectos se clasifican en:
❚ Prismas
regulares,
si sus
bases son
polígonos
regulares.
Recuerda
El desarrollo plano de un
poliedro es la figura formada
por los polígonos de sus
caras que permite construirlo
doblando por sus aristas.
❚ Prismas
irregulares,
si sus
bases son
polígonos
irregulares.
12
Dibuja un prisma pentagonal, oblicuo, regular y convexo; y otro hexagonal, recto,
irregular y cóncavo.
13
Dibuja un prisma cuadrangular, recto y regular, sabiendo que su altura mide 10 cm
y que tiene aristas básicas de 6 cm. Calcula la apotema de las bases y el radio de
sus circunferencias circunscritas.
EJERCICIO RESUELTO
}
Pedro compró una maleta con forma de ortoedro cuyas dimensiones son
55 × 40 × 20 cm. ¿Podrá llevar en ella un paraguas de 70 cm?
Solución
c
D
Los prismas convexos de seis caras se denominan paralelepípedos. Todas las caras
de un paralelepípedo pueden ser bases.
d
b
a
D=
d +c =
2
2
Las aristas a y b son perpendiculares y forman un
triángulo rectángulo con la diagonal de la cara,
d. Aplicando el teorema de Pitágoras: d 2 = a2 + b2
También d y c son perpendiculares y forman un
triángulo rectángulo con la diagonal del ortoedro,
D. De nuevo, por el teorema de Pitágoras:
a2 + b2 + c 2 =
552 + 402 + 202 = 70,89 cm
Como 70 < 70,89, Pedro podrá llevar, en efecto, su paraguas en la maleta.
14
Si las caras son
cuadrados, es un
hexaedro o cubo.
Si las caras son
rectángulos, es un
ortoedro.
Si las caras son
rombos, es un
romboedro.
Determina la longitud máxima de un bastón que se quiere guardar en una caja con
forma de ortoedro, cuyas dimensiones son 10 × 100 × 20 cm.
Investiga
Si las caras son
romboides, es un
romboiedro.
15
166
Busca en tu entorno seis prismas diferentes. Haz un dibujo de cada uno de ellos y clasifícalos.
167
En el último ejercicio resuelto, los alumnos aprenderán a
modelizar el cálculo de la diagonal de un ortoedro. Sería
conveniente que intentaran obtener la expresión sin mirar
la resolución del ejercicio.
Presentamos a los alumnos prismas rectos y oblicuos, regulares e irregulares, y la clasificación de los paralelepípedos.
Podemos pedirles que traigan a clase fotografías de artículos cotidianos y de construcciones arquitectónicas donde
estén presentes los prismas estudiados en este epígrafe.
Esta actividad resultará muy atractiva si preparamos murales con las fotos y su clasificación.
Unidades didácticas Al terminar el epígrafe debemos asegurarnos de que los
alumnos han aprendido a clasificar prismas y que son capaces de dibujar aquellos que cumplan las condiciones que
indiquemos.
268
9
11 Clasifica los siguientes prismas y realiza su desarrollo plano.
a)
b)
c)
a)Prisma heptagonal, recto,
b)Prisma pentagonal, recto,
c) Prisma cuadrangular, recto,
regular y convexo. regular y convexo. regular y convexo.
12 Dibuja un prisma pentagonal, oblicuo, regular y convexo; y otro hexagonal, recto, irregular y cóncavo.
Respuesta abierta, por ejemplo:
13 Dibuja un prisma cuadrangular, recto y regular, sabiendo que su altura mide 10 cm y que tiene aristas básicas de 6 cm.
Calcula la apotema de las bases y el radio de sus circunferencias circunscritas.
La apotema de las bases mide la mitad del lado: 3 cm.
Como cada base es un cuadrado de lado 6 cm, el radio de las circunferencias circunscritas a cada uno
medirá lo mismo que la mitad de la diagonal de cada cuadrado:
r =
1
2
6 2 + 62 =
1
2
72 = 4,24 cm
14 Determina la longitud máxima de un bastón que se quiere guardar en una caja con forma de ortoedro, cuyas dimensiones
son 10 × 100 × 20 cm.
El bastón deberá tener una longitud máxima de: D =
102 + 1002 + 202 = 102, 47 cm
Investiga
15 Busca en tu entorno seis prismas diferentes. Haz un dibujo de cada uno de ellos y clasifícalos.
Respuesta abierta.
9
4. Área y volumen de prismas
9
Aprenderás a…
●
Deducir la forma más
adecuada para hallar el área
y el volumen de un prisma.
4. ÁREA Y VOLUMEN DE PRISMAS
16
Victoria ha visto estas cajas en una
tienda. Todas ellas tienen en común
que son prismas rectos.
Si la que tiene forma de prisma
hexagonal regular mide 20 cm de
altura y tiene una arista básica de
8 cm, ¿qué cantidad de cartón es
necesaria para construirla? ¿Qué
capacidad tendrá?
17
Para determinar la cantidad de cartón necesaria para construir un prisma hexagonal,
calculamos su área.
18
Para ello, primero, dibujamos el desarrollo plano del prisma.
h
h
20 cm
Está compuesto por dos hexágonos regulares, que son las bases, y seis rectángulos,
que forman las caras laterales.
AL = P ⋅ h = 6 ⋅ 8 ⋅ 20 = 48 ⋅ 20 = 960 cm
a
a=
8
82 − 42 =
AT = AL + 2 Ab = 960 + 2 ⋅
4
48 = 6,93 cm
48 ⋅ 6,93
2
Las dimensiones de un ortoedro son 12 cm, 14 cm y
8 cm, respectivamente. Determina:
a) La longitud de su diagonal.
b) El área lateral.
c) El área total.
d) El volumen.
21
Determina la longitud de la diagonal de un cubo si
su área total mide 96 cm2.
22
Las bases de un prisma que tiene 10 cm de altura son
triángulos rectángulos cuyos catetos miden 4 cm y
8 cm, respectivamente. Calcula:
a) El área lateral.
b) El área total.
c) El volumen.
23
Halla el volumen de la jarra de agua que sostiene
Alejandra.
= 1 292,64 cm2
25
Determina el área lateral,
el área total y el volumen
del cuerpo geométrico
representado.
15 cm
Si el volumen de un cubo es 512 cm3, ¿cuánto mide
el área de cada una de sus caras?
Para hallar estas áreas, calculamos la apotema de
cada hexágono, aplicando el teorema de Pitágoras:
Calcula el volumen de un prisma recto de 40 cm de
altura que tiene por bases dos triángulos isósceles
cuyos lados iguales miden 10 cm y cuyo lado desigual
es de 16 cm.
2,8 cm
20
❚ El área total es la suma del área lateral y las áreas de
los dos hexágonos.
24
La arista de un cubo mide 8 cm. Halla:
a) La longitud de su diagonal.
c) El área total.
d) El volumen.
Halla la longitud de la arista de un cubo cuya área
total mide 150 cm2.
❚ El área lateral es la suma de las áreas de los rectángulos de las caras laterales:
2
Un prisma recto de 16 cm de altura tiene por
bases dos rectángulos de 8 cm y 6 cm de lado,
respectivamente. Calcula:
b) El área total.
c) El volumen.
19
8 cm
8 cm
Recuerda
9
Actividades
4 cm
26
El depósito de agua de una granja está construido
con láminas de acero.
a) Calcula los metros cuadrados de acero necesarios
para su construcción.
b) Halla el volumen de agua que puede contener el
depósito.
27
Determina el
volumen del prisma
representado.
10 cm
2
Para construir la caja, son necesarios 1 292,64 cm de cartón.
❚ Calculamos la capacidad de la caja aplicando el principio de Cavalieri que nos
permitirá hallar el volumen del prisma:
V = Ab ⋅ h =
48 ⋅ 6,93
2
3 cm
4 cm
⋅ 20 = 3 326, 4 cm3
28
Como el volumen es 3 326,4 cm2 tendrá una capacidad de 3,33 L.
❚ El área lateral de un prisma, AL, es la suma de las áreas de los polígonos que
forman sus caras laterales.
Principio de Cavalieri. Si dos
cuerpos tienen la misma altura
y las secciones producidas al
cortarlos por planos paralelos
a la base presentan igual
área, entonces los dos cuerpos
tienen el mismo volumen.
AL = P ⋅ h
Las bases de un prisma que tiene 15 cm de altura
son trapecios cuyos lados miden 5 cm, 6 cm, 5 cm y
12 cm, respectivamente. Calcula:
b) El área total.
c) El volumen.
❚ El área total de un prisma, AT , es la suma del área lateral y las áreas de las dos
bases.
DESAFÍO
AT = AL + 2Ab
29
❚ El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la altura.
V = Ab ⋅ h
Una columna de una catedral es maciza y está hecha de granito. Si tiene forma de prisma hexagonal regular,
mide 30 m de altura y tiene una arista básica de 50 cm, halla su peso sabiendo que 1 m3 de granito pesa
3 000 kg.
168
169
Es muy importante que los alumnos identifiquen y reconozcan los diferentes elementos de los prismas.
Debemos prestar atención al cálculo correcto de la apotema de los polígonos regulares de las bases.
Es recomendable insistir para que los alumnos no aprendan
las fórmulas de memoria, el cálculo de las áreas se puede
plantear a partir del desarrollo plano y la representación
del prisma ayudará al cálculo de su volumen. Además, será
de gran utilidad para que los alumnos desarrollen su visión
espacial.
El cálculo del volumen no presentará dificultades, pero debemos insistir en la utilización correcta de las medidas de
capacidad.
16 Un prisma recto de 16 cm de altura tiene por bases dos rectángulos de 8 cm y 6 cm de lado, respectivamente. Calcula:
a)El área lateral.
b)El área total.
c) El volumen.
a)AL = 2 ⋅ 8 ⋅ 16 + 2 ⋅ 6 ⋅ 16 = 448 cm2
b)AT = AL + 2Ab = 448 + 2 ⋅ 8 ⋅ 6 = 448 + 96 = 544 cm2
c) V = Ab ⋅ h = 8 ⋅ 6 ⋅ 16 = 768 cm3
17 La arista de un cubo mide 8 cm. Halla:
a)La longitud de su diagonal.
c) El área total.
b)El área lateral.
d)El volumen.
a) D = 82 + 82 + 82 = 13,86 cm
b)AL = P ⋅ h = 4 ⋅ 8 ⋅ 8 = 256 cm2
c) AT = AL + 2Ab = 256 + 2 ⋅ 82 = 384 cm2
d)V = Ab ⋅ h = 8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 512 cm3
9
18 Las dimensiones de un ortoedro son 12 cm, 14 cm y 8 cm, respectivamente. Determina:
a)La longitud de su diagonal.
b)El área lateral.
c) El área total.
d)El volumen.
a) D = 122 + 142 + 82 = 20,1 cm
b)AL = 2 ⋅ 14 ⋅ 8 + 2 ⋅ 12 ⋅ 8 = 416 cm2
c) AT = AL + 2Ab = 416 + 2 ⋅ 12 ⋅14 = 752 cm2
d)V = Ab ⋅ h = 12 ⋅ 14 ⋅ 8 = 1 344 cm3
19 Halla la longitud de la arista de un cubo cuya área total mide 150 cm2.
6 ⋅ a2 = 150 → a2 = 25 → a = 5 cm
20 Si el volumen de un cubo es 512 cm3, ¿cuánto mide el área de cada una de sus caras?
a3 = 512 → a = 8 cm
A = 82 = 64 cm2
21 Determina la longitud de la diagonal de un cubo si su área total mide 96 cm2.
6 ⋅ a2 = 96 → a2 = 16 → a = 4 cm
D = 42 + 42 + 42 = 6,93 cm
22 Las bases de un prisma que tiene 10 cm de altura son triángulos rectángulos cuyos catetos miden 4 cm y 8 cm, respectivamente. Calcula:
a)El área lateral.
b)El área total.
a)Calculamos la hipotenusa de los triángulos rectángulos: a =
c) El volumen.
8 + 4 = 8,94 cm
2
2
AL = P ⋅ h = (8 + 4 + 8,94) ⋅ 10 = 209,4 cm
8⋅4
b)AT = AL + 2Ab = 209,4 + 2 ⋅
= 241,4 cm2
2
c) V = Ab ⋅ h = 6 ⋅ 10 = 60 cm3
2
23 Halla el volumen de la jarra de agua que sostiene Alejandra.
Las bases son triángulos equiláteros, cuya altura mide:
a = 102 − 52 = 8,66 cm
Por tanto, el volumen de la jarra es:
10 ⋅ 8,66
V = Ab ⋅ h =
⋅ 25 = 1 082,5 cm3
2
24 Calcula el volumen de un prisma recto de 40 cm de altura que tiene por bases dos triángulos isósceles cuyos lados iguales
miden 10 cm y cuyo lado desigual es de 16 cm.
La altura de los triángulos isósceles mide: a = 102 − 82 = 6 cm
16 ⋅ 6
El volumen del prisma es: V = Ab ⋅ h =
⋅ 40 = 1 920 cm3
2
9
25 Determina el área lateral, el área total y el volumen del cuerpo geométrico representado.
AL = P ⋅ h = 5 ⋅ 4 ⋅ 15 = 300 cm2
5 ⋅ 4 ⋅ 2,8
AT = AL + 2Ab = 300 + 2 ⋅
= 356 cm2
2
V = Ab ⋅ h = 28 ⋅ 15 = 420 cm3
15 cm
2,8 cm
4 cm
26 El depósito de agua de una granja está construido con láminas de acero.
a)Calcula los metros cuadrados de acero necesarios para su construcción.
b)Halla el volumen de agua que puede contener el depósito.
a)La apotema de los hexágonos mide: a =
42 − 22 = 3, 46 m
Los metros cuadrados de acero necesarios son el área total del
prisma hexagonal:
6 ⋅ 4 ⋅ 3, 46
AT = AL + 2Ab = 6 ⋅ 4 ⋅ 12 + 2 ⋅
= 371,04 m2
2
b)V = Ab ⋅ h = 41,52 ⋅ 12 = 498,24 m3
27 Determina el volumen del prisma representado.
V = Ab ⋅ h = 4 ⋅ 3 ⋅ 10 = 120 cm3
10 cm
3 cm
4 cm
28 Las bases de un prisma que tiene 15 cm de altura son trapecios cuyos lados miden 5 cm, 6 cm, 5 cm y 12 cm, respectiva-
mente. Calcula:
a)El área lateral.
b)El área total.
c) El volumen.
a)AL = P ⋅ h = (5 + 6 + 5 + 12) ⋅ 15 = 420 cm
2
b)Calculamos la altura del trapecio: h = 52 − 32 = 4 cm
(12 + 6 ) ⋅ 4
AT = AL + 2Ab = 420 + 2 ⋅
= 492 cm2
2
c) V = Ab ⋅ h = 36 ⋅ 15 = 540 cm3
Desafío
29 Una columna de una catedral es maciza y está hecha de granito. Si tiene forma de prisma hexagonal regular, mide 30 m
de altura y tiene una arista básica de 50 cm, halla su peso sabiendo que 1 m3 de granito pesa 3 000 kg.
La apotema de los hexágonos de las bases de la columna mide: a =
6 ⋅ 0,5 ⋅ 0, 43
El área de cada base es: A =
= 0,65 m2
2
El volumen de la columna mide: V = Ab ⋅ h = 0,65 ⋅ 30 = 19,5 m3
0,52 − 0,252 = 0, 43 m
Como 1 m3 de granito pesa 3 000 kg, el peso de la columna es: 19,5 ⋅ 3 000 = 58 500 kg
9
5. Pirámides
9
Aprenderás a…
●
Reconocer y clasificar
pirámides y troncos de
pirámides.
9
Actividades
5. PIRÁMIDES
EJERCICIO RESUELTO
Varias civilizaciones antiguas construyeron pirámides con diferentes usos y formas
según su cultura: unas eran monumentos funerarios; otras, templos consagrados
a la oración. Las más famosas son las de Egipto, como las pirámides de Meroe,
construidas por los nubios, una de las primeras civilizaciones que habitó en el valle
del Nilo. Pero se han encontrado edificaciones de este tipo en México, en Perú o en
Sudán.
}
EJERCICIO RESUELTO
Clasifica las siguientes pirámides.
a)
}
b)
La pirámide de cristal situada en el patio de
entrada del museo del Louvre, en París, mide
20,65 m de altura y sus aristas básicas miden 35 m.
Halla la longitud de la apotema de esta pirámide.
Una pirámide es un poliedro cuyas caras laterales son triángulos que comparten
un único vértice y cuya base es un polígono.
Clasificación de pirámides
Solución
Según el polígono que determina la base de una pirámide, esta puede ser triangular,
si la base es un triángulo; cuadrangular, si es un cuadrilátero; pentagonal, si es
un pentágono…
❚ Si las caras
laterales son
triángulos
isósceles, se
trata de una
pirámide
recta.
a) Pirámide hexagonal, recta, regular y convexa.
b) Pirámide heptagonal, recta, irregular y cóncava.
Solución
❚ Si alguna
de las caras
laterales
no es un
triángulo
isósceles, se
trata de una
pirámide
oblicua.
30
Clasifica estas pirámides.
a)
b)
La apotema y la altura de la pirámide determinan un
triángulo rectángulo porque la altura es perpendicular
a la base de la pirámide.
ap
h
b
Recuerda
❚ La altura, h, de una pirámide
es la distancia del vértice a la
base de la misma.
❚ La apotema, ap , de una
pirámide regular es la altura
de los triángulos de las caras
laterales.
31
Realiza el desarrollo plano de las pirámides del
ejercicio anterior.
32
Dibuja cada uno de estos cuerpos.
Las pirámides rectas se clasifican en:
❚ Pirámide
irregular, si
su base es
un polígono
irregular.
❚ Pirámides
regulares,
si su base es
un polígono
regular.
c) Pirámide hexagonal, recta, irregular y cóncava.
Realiza el desarrollo plano de:
Determina la longitud de cada una de las aristas
laterales de la pirámide de cristal del museo de Louvre
a partir de los datos del ejercicio anterior.
36
Dibuja una pirámide hexagonal, recta y regular de
10 cm de altura y cuya arista básica mida 6 cm.
a) Calcula la apotema y el radio de la circunferencia
circunscrita del hexágono de la base.
b) Halla la longitud de la apotema de la pirámide.
37
Determina el número de lados que tiene el polígono
de la base de una pirámide en cada uno de estos
casos.
a) Si tiene 10 aristas.
b) Si tiene 9 vértices.
c) Si tiene 8 caras.
a) Un tronco de pirámide cuadrangular y recto.
b) Un tronco de pirámide pentagonal, recto y regular.
34
Recuerda
Si las bases de un tronco
de pirámide son polígonos
regulares y las caras laterales
son trapecios isósceles iguales:
a) Dibuja el tronco de pirámide que se obtiene al
cortar la pirámide por un plano paralelo a la base
que dista 8 cm de ella.
Algunas construcciones que se
conservan de las civilizaciones
antiguas que hemos citado
son pirámides seccionadas por
un plano que corta a todas
las caras laterales; se trata de
troncos de pirámide.
b) ¿Cuál es la altura de la otra pirámide que resulta al
obtener este tronco de pirámide?
Investiga
❚ La altura, h, es la distancia
entre sus bases.
❚ La apotema, atp , es la altura
de los trapecios de sus caras
laterales.
Considera una pirámide pentagonal, recta, regular y
convexa de 12 cm de altura, cuya arista básica mida
3 cm.
732,67 = 27,07 m
35
d) Pirámide triangular, recta, regular y cóncava.
33
Si aplicamos
el teorema de
Pitágoras, resulta:
ap2 = h2 + b2 = 20,652 + 17,52 = 732,67
ap =
a) Pirámide cuadrangular y oblicua.
b) Pirámide pentagonal, recta, regular y convexa.
El segmento que
une el centro de
la base y el punto
medio de la arista
básica mide 17,5 m.
38
Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) Se puede construir una pirámide recta con cualquier triángulo como base.
Un tronco de pirámide es un poliedro formado por dos bases que son polígonos
y varias caras laterales que son trapecios.
b) Se puede construir una pirámide recta con cualquier cuadrilátero como base.
170
171
Pueden tener dificultades a la hora de hacer los dibujos ellos
mismos, debemos inculcarles la necesidad de hacer representaciones gráficas para afrontar la mayoría de los problemas geométricos.
Presentaremos a los alumnos pirámides diferentes para que
comprendan la necesidad de su clasificación.
Es muy importante que aprendan que la apotema de la pirámide recta es la altura de las caras laterales.
Conviene que presentemos a los alumnos, mediante diferentes dibujos, la relación que existe entre la altura, la apotema de la pirámide y la apotema de la base.
30 Clasifica estas pirámides.
a)
b)
a)Pirámide triangular, recta, irregular y convexa.
Unidades didácticas b)Pirámide hexagonal, oblicua, irregular y convexa.
273
9
31 Realiza el desarrollo plano de las pirámides del ejercicio anterior.
a)b)
32 Dibuja cada uno de estos cuerpos.
a)Pirámide cuadrangular y oblicua.
b)Pirámide pentagonal, recta, regular y convexa.
c) Pirámide hexagonal, recta, irregular y cóncava.
d)Pirámide triangular, recta, regular y cóncava.
a)c)
b)d)
No existe.
33 Realiza el desarrollo plano de:
a)Un tronco de pirámide cuadrangular y recta.
b)Un tronco de pirámide pentagonal y recta.
a)b)
34 Considera una pirámide pentagonal, recta, regular y convexa de 12 cm de altura, cuya arista básica mida 3 cm.
a)Dibuja el tronco de pirámide que se obtiene al cortar la pirámide por un plano paralelo a la base que dista 8 cm de ella.
b)¿Cuál es la altura de la otra pirámide que resulta al obtener este tronco de pirámide?
a)
Unidades didácticas b)La altura de la pirámide pequeña que resulta mide:
12 − 8 = 4 cm
3 cm
274
9
35 Determina la longitud de cada una de las aristas laterales de la pirámide de cristal del museo de Louvre a partir de los datos
del ejercicio anterior.
La arista de la pirámide es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la apotema de la pirámide y la mitad de la
arista básica.
Aplicando el teorema de Pitágoras: a = 27,072 + 17,52 = 32,23 m
36 Dibuja una pirámide hexagonal, recta y regular de 10 cm de altura y cuya arista básica mida 6 cm.
a)Calcula la apotema y el radio de la circunferencia circunscrita del hexágono de la base.
b)Halla la longitud de la apotema de la pirámide.
a)La apotema de la base de mide: a =
62 − 32 = 5,2 cm
El radio de la circunferencia circunscrita del hexágono mide lo mismo que el lado, por tanto:
r = 6 cm
b)La apotema de la pirámide mide: ap =
102 + 5,22 = 11,27 cm
37 Determina el número de lados que tiene el polígono de la base de una pirámide en cada uno de estos casos.
a)Si tiene 10 aristas.
b)Si tiene 9 vértices.
c) Si tiene 8 caras.
a)5 lados
b)8 lados
c) 7 lados
Investiga
38 Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a)Se puede construir una pirámide recta con cualquier triángulo como base.
b)Se puede construir una pirámide recta con cualquier cuadrilátero como base.
a)Si la base es un triángulo, entonces las caras laterales serán triángulos isósceles, por lo que siempre podremos construir
una pirámide recta.
b)No siempre es posible, si la base es un cuadrilátero cóncavo las caras laterales no son todas triángulos isósceles y la
pirámide no puede ser recta.
9
6. Área y volumen de pirámides
9
Aprenderás a…
●
Deducir la forma más
adecuada para hallar el área
y el volumen de pirámides y
troncos de pirámide.
9
Actividades
6. ÁREA Y VOLUMEN DE PIRÁMIDES
Héctor pasea por una plaza
y observa en ella una fuente
con
forma
de
pirámide.
¿Qué cantidad de material es
necesaria
para
construirla?
¿Cuál es su capacidad?
39
Una pirámide recta de 20 cm de altura tiene como base un cuadrado cuyo lado
mide 10 cm. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de la pirámide.
40
El volumen de un prisma hexagonal es de 300 cm3; ¿cuál será el volumen de una
pirámide que tenga la misma base y altura que dicho prisma?
41
Halla el área total de una pirámide hexagonal regular de 10 cm de altura, sabiendo
que su arista básica mide 4 cm.
Presta atención
EJERCICIO RESUELTO
}
La fuente es una pirámide pentagonal regular recta. Para establecer la cantidad de
material necesaria para construirla, calculamos su área, y, para conocer la capacidad
de la fuente, determinamos su volumen.
La altura de un tronco de pirámide recto mide 4 cm. Sus bases son dos
cuadrados de 3 cm y 9 cm de lado, respectivamente. Determina el área lateral,
el área total y el volumen del tronco.
Solución
❚ Para calcular el área lateral, hallamos la
apotema del tronco aplicando el teorema
de Pitágoras:
atp =
Necesitamos el contenido de
tres pirámides para completar la
capacidad de un prisma con la
misma base y altura.
atp
h
42 + 32 = 5 cm
AL =
( Pb1 + Pb2 ) ⋅ atp
2
Presta atención
=
(36 + 12) ⋅ 5
2
= 120 cm2
También podemos calcular el
volumen del tronco de pirámide
con la fórmula:
❚ Determinamos el área total:
AT = AL + Ab1 + Ab2 = 120 + 81 + 9 = 210 cm2
V =
❚ Para hallar el volumen del tronco de pirámide, consideramos las pirámides que
tienen como bases las del tronco.
Observamos los triángulos determinados por sus alturas y sus apotemas y
comprobamos que están en posición de Tales.
mac3e34
Así pues, para construir la fuente, son necesarios 812,36 dm2 de material y puede
contener 1 385,64 dm3, es decir, 1 385,64 L de agua.
Así:
❚ El área lateral de una pirámide, AL, es la suma de las áreas de los triángulos que
forman sus caras laterales.
P ⋅ ap
AL =
2
x
1,5
=
x+4
4,5
→ 4,5 x = 1,5 x + 6
3x = 6 → x = 2 cm
1,5 cm
Calculamos el volumen del tronco:
V =
❚ El área total de una pirámide, AT , es la suma del área lateral y el área de la base.
81⋅ 6
3
−
9⋅2
3
= 162 − 6 = 156 cm3
(A
b1
Ab 1 ⋅ Ab 2 ) ⋅ h
+ Ab 2 +
3
En el ejercicio resuelto:
V =
( 81 + 9 + 81⋅ 9 ) ⋅ 4
3
= 156 cm3
x
4 cm
4,5 cm
AT = AL + Ab
❚ El volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de la base por la
altura.
V =
Recuerda
Podemos calcular el área de
un trapecio con la fórmula:
(B + b ) ⋅ h
A=
2
donde B es la longitud de
la base mayor, b es la de la
menor, y h corresponde a la
altura.
42
Un tronco de pirámide recto tiene dos bases cuadradas cuyas aristas miden 4 cm y
8 cm, respectivamente. Si la apotema del tronco mide 5 cm, calcula:
a) La longitud de la altura del tronco.
c) El área total.
d) El volumen.
43
Determina el volumen de un recipiente para palomitas con forma de tronco de
pirámide cuadrangular cuyas aristas básicas miden 20 cm y 14 cm, respectivamente,
y que tiene una apotema de 30 cm.
Ab ⋅ h
3
Área y volumen de los troncos de pirámide
❚ El área lateral de un tronco de pirámide, AL , cuyas bases son paralelas y son
dos polígonos regulares, es la suma de las áreas de los trapecios que forman sus
caras laterales.
Investiga
❚ El área total de un tronco de pirámide, AT , es la suma del área lateral y las áreas
de las bases.
44
❚ El volumen de un tronco de pirámide se puede calcular hallando la diferencia
entre los volúmenes de las pirámides cuyas bases corresponden a las bases del
tronco.
Halla el área total y el volumen de un tetraedro cuya arista mide 4 cm. Encuentra una fórmula que permita
calcular el área total y el volumen de un tetraedro conociendo su arista y comprueba que se verifican los
resultados anteriores.
172
173
Puede ser necesario recordar la fórmula para el cálculo del
área de un trapecio, así como la aplicación del teorema de
Tales para relacionar la altura de un tronco con la altura de
la pirámide correspondiente.
Es imprescindible que el alumnado sea capaz de identificar
y reconocer los elementos principales de las pirámides estudiados en el epígrafe anterior.
El desarrollo plano de las pirámides les será de gran utilidad
para comprender cómo ha de calcularse el área lateral y el
área total.
Vídeo. ÁREA Y VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE
En el vídeo se resuelve, paso a paso, el cálculo del área y del volumen de la pirámide del ejemplo.
Para determinar el volumen de la pirámide es conveniente
relacionarlo con el de un prisma que tenga la misma base
y altura.
Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación del procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o como
recurso para que los alumnos lo repasen.
Puede resultar más complicado el aprendizaje del cálculo de
áreas y volumen de un tronco de pirámide. Para empezar podemos realizar alguna actividad en la que estudien el área y el
volumen del tronco como diferencia de los de dos pirámides.
39 Una pirámide recta de 20 cm de altura tiene como base un cuadrado cuyo lado mide 10 cm. Calcula el área lateral, el área
total y el volumen de la pirámide.
Calculamos primero la apotema de la pirámide: ap =
4 ⋅10 ⋅ 20,62
AL =
= 412, 4 cm2
2
AT = AL + Ab = 412,4 + 102 = 512,4 cm2
100 ⋅ 20
V =
= 666,67 cm3
3
Unidades didácticas 202 + 52 = 20,62 cm
276
9
40 El volumen de un prisma hexagonal es de 300 cm3; ¿cuál será el volumen de una pirámide que tenga la misma base y
altura que dicho prisma?
300
V =
= 100 cm3
3
41 Halla el área total de una pirámide hexagonal regular de 10 cm de altura, sabiendo que su arista básica mide 4 cm.
6 ⋅ 4 ⋅ 3, 46
Calculamos la apotema del hexágono: a = 42 − 22 = 3, 46 cm → Ab =
= 41,52 cm2
2
6
⋅
4
⋅10,2
Hallamos la apotema de la pirámide: ap = 102 + 22 = 10,2 cm → AL =
= 122, 4 cm2
2
AT = AL + Ab = 122,4 + 41,52 = 163,92 cm2
42 Un tronco de pirámide recto tiene dos bases cuadradas cuyas aristas miden 4 cm y 8 cm, respectivamente. Si la apotema
del tronco mide 5 cm, calcula:
a)La longitud de la altura del tronco.
c) El área total.
b)El área lateral.
d)El volumen.
a)La altura del tronco mide: h =
b) AL =
(16 + 32) ⋅ 5
c) AT = AL + Ab1 + Ab2 = 120 + 64 + 16 = 200 cm2
52 − 22 = 4,58 cm
= 120 cm2
( 64 + 16 + 64 ⋅16 ) ⋅ 4,58
= 170,99 cm3
2
3
43 Determina el volumen de un recipiente para palomitas con forma de tronco de pirámide cuadrangular cuyas aristas básicas miden 20 cm y 14 cm, respectivamente, y que tiene una apotema de 30 cm.
La altura del tronco mide: h =
d)V =
V =
302 − 32 = 29,85 cm
( 400 + 196 + 400 ⋅196 ) ⋅ 29,85
3
= 8 716,2 cm3
Investiga
44 Halla el área total y el volumen de un tetraedro cuya arista mide 4 cm. Encuentra una fórmula que permita calcular el área
total y el volumen de un tetraedro conociendo su arista y comprueba que se verifican los resultados anteriores.
2
2
La apotema de la pirámide mide: ap = 4 − 2 = 3, 46 cm
4 ⋅ 3, 46
AT = 4 ⋅
= 27,68 cm2
2
Para calcular la altura de la pirámide, tenemos en cuenta que la distancia del centro de la base al punto medio de uno de
3, 46
los lados del triángulo mide la tercera parte de la altura del triángulo:
= 1,15 cm
3
1 4 ⋅ 3, 46
Entonces: h = 3, 462 −1,152 = 3,26 cm
V = ⋅
⋅ 3,26 = 7,52 cm3
3
2
Para hallar la fórmula que permita calcular el área total de un tetraedro de arista a determinamos su apotema:
2
ap =
⎛ a⎞
a − ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ =
⎝ 2⎠
a2
2
h=
a2 −
⎛ 3 ⎞⎟
⎛
⎜⎜
⎟⎟ − ⎜⎜ 1 ⋅ 3
a
⎜⎝
⎜⎝ 3 2
2 ⎟⎠
=
3a2
3
2
⎞⎟
a ⎟⎟⎟ =
⎠
El volumen de un tetraedro es: V =
Comprobamos: AT =
4
=
a2 −
1
3
⋅
1
12
3
4
a
a2 =
a2 ⋅
El área de un tetraedro es: AT = 4 ⋅
1
3
a = 3a2
4
4
2
2
2
Para hallar la fórmula que permita calcular el volumen de un tetraedro de arista a determinamos la altura de la pirámide:
2
2
3
3 ⋅ 42 = 27,71 cm2 y V =
2a2
3
a=
2
12
=
2
12
2
3
a⋅
a
a3
⋅ 43 = 7,54 cm3
277
9
7. Composición de poliedros
9
Aprenderás a…
●
Obtener el área y el volumen
de cuerpos compuestos por
poliedros.
9
Actividades
7. COMPOSICIÓN DE POLIEDROS
45
Estamos rodeados por multitud de
monumentos, figuras y piezas formadas
por diferentes composiciones de
poliedros.
Halla el área total de un cuerpo
compuesto como el de la figura.
6c
m
6c
m
m
6c
10
Fíjate en el obelisco de Hatshepsut,
perteneciente al templo de Amón, en
Karnak, construido hacia el año 2400
a. C. ¿De qué poliedros está compuesto?
cm
10
Como puedes ver, el obelisco se apoya
en un prisma de base cuadrada, sobre
el que hay un tronco de pirámide; en la
parte superior, sobre la base menor del
tronco, se encuentra una pirámide que
recibe el nombre de piramidión.
cm
10
cm
46
Calcula los metros cuadrados necesarios para construir el podio de la competición.
47
Halla el volumen de la figura
compuesta del dibujo.
Las casetas de una feria de artesanía son cuerpos compuestos por una base cúbica
de 2 m de arista, sobre la que se apoya una pirámide que tiene la misma base y cuya
altura mide 3 m. ¿Cómo podemos determinar la cantidad de lona necesaria para
montar la caseta completa? ¿Qué volumen ocupará la estructura así compuesta?
2m
2m
2m
1m
2m
1m
2m
1m
3m
48
Determina el volumen de una caja de fresas si cada una de sus esquinas está
rematada por unos topes que son prismas triangulares irregulares.
mac3e35
El área y el volumen de un cuerpo compuesto por dos o más poliedros se halla
sumando las áreas y los volúmenes de los cuerpos que lo forman.
EJERCICIO RESUELTO
}
Calcula el área total y el volumen de la pieza dibujada.
10
Solución
cm
m
4c
4c
m
DESAFÍO
La pieza está formada por un cubo de cuyo interior
se ha eliminado un prisma cuadrangular; por tanto:
49
A = Acubo − 2Ab del prisma + AL del prima =
A = 6 ⋅ 10 ⋅ 10 − 2 ⋅ 42 + 4 ⋅ 4 ⋅ 10 =
10 cm
A = 600 − 32 + 160 = 728 cm2
V = Vcubo − Vprisma =
10
A = 103 − 42 ⋅ 10 =
cm
El dueño de una fábrica de envases de
aceite necesita conocer la expresión
algebraica que permita calcular el
volumen de los envases según las
dimensiones de las aristas. Si todos
los envases tienen la forma del dibujo,
¿cuál es la expresión que debe utilizar
el dueño?
A = 1 000 − 160 = 840 cm3
174
175
En esta sección se pondrán en práctica los conocimientos
adquiridos en las secciones anteriores. Los alumnos suelen
desarrollar una actitud muy positiva cuando les proponemos actividades en las que deban observar figuras para su
descomposición en otras más pequeñas.
Vídeo. ÁREA Y VOLUMEN DE UN CUERPO COMPUESTO
En el vídeo se resuelve, paso a paso, el cálculo del área y del volumen del cuerpo compuesto del ejemplo.
Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación del procedimiento a seguir para resolver este tipo de ejercicios o como
recurso para que los alumnos lo repasen.
Debemos hacer hincapié en la necesidad de una buena
presentación de la resolución de los ejercicios. Habrá de
hacerse de forma ordenada, incluyendo dibujos de piezas
cuando sea necesario y explicando que áreas o volúmenes
se calculan para la correcta presentación de la resolución.
45 Halla el área total de un cuerpo compuesto como el de la figura.
m
6c
A = Acubo grande + Acubo pequeño + Acara común = 5 ∙ 10 ∙ 10 + 5 ∙ 6 ∙ 6 + 10 ∙ 10 − 6 ∙ 6 = 744 cm
2
m
cm
10
278
m
6c
10
Unidades didácticas 6c
cm
10
cm
9
46 Calcula los metros cuadrados necesarios para construir el podio de la competición.
A = 2 ∙ Apodio lateral + Apodio central = 2 ∙ (2 ∙ 1 ∙ 0,5 + 2 ∙ 1 ∙ 0,8 + 0,8 ∙ 0,5) + (2 ∙ 2 ∙ 1 + 2 ∙ 2 ∙ 0,8 + 2 ∙ 0,5 ∙ 0,8) = 14 m2
47 Halla el volumen de la figura compuesta del dibujo.
2m
V = 2 ∙ 2 ∙ 2 + 2 ∙ 1 ∙ 1 + 2 ∙ 1 ∙ 1 + 4 ∙ 3 ∙ 1 = 8 + 2 + 2 + 12 = 24 m
3
2m
2m
1m
2m
1m
2m
1m
3m
48 Determina el volumen de una caja de fresas si cada una de sus esquinas está rematada por unos topes que son prismas
triangulares irregulares.
Vortoedro = 28 ∙ 28 ∙ 10 = 7 840 cm3
En la base de cada prisma triangular: h =
4 ⋅ 3, 46
42 − 22 = 3, 46 → Ab =
2
= 6,92 cm2
Vprisma = 6,92 ∙ 10 = 69,2 cm3 → Vcaja = 7 840 − 4 ∙ 69,2 = 7 563,2 cm3
Desafío
49 El dueño de una fábrica de envases de aceite necesita conocer la expresión algebraica que permita calcular el volumen de
los envases según las dimensiones de las aristas. Si todos los envases tienen la forma del dibujo, ¿cuál es la expresión que
debe utilizar el dueño?
Vcubo = x3
2
En la cara de la pirámide: ap =
⎛x⎞
(2 x ) − ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ =
⎝2⎠
2
4 x2 −
x2
2
Así, la altura de la pirámide es: h =
x2 ⋅
Vpirámide =
14
2
3
x
=
14
6
2
⎛ 15 ⎞⎟
⎛ ⎞
⎜⎜
⎟⎟ − ⎜⎜ x ⎟⎟ =
x
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝ 2 ⎟⎠
2
15
4
15 x 2
=
4
x2 −
x2
4
=
15
2
14
4
x
x2 =
14
2
x
x3
Entonces el volumen de los envases es: V = x 3 +
=
14
6
⎛
⎜
x 3 = ⎜⎜1+
⎝
279
14 ⎞⎟⎟ 3
⎟x
6 ⎟⎠
9
¿Qué tienes que saber?
?
¿QUÉ
9
Ten en cuenta
Un prisma es un poliedro que tiene
dos caras paralelas llamadas bases
que son polígonos iguales y otras
caras que son paralelogramos y que
reciben el nombre de caras laterales.
❚ Área lateral:
AL = P ⋅ h
50
Calcula el área lateral, el área total y el volumen del ortoedro dibujado.
9
Finales
Elementos de la geometría
del espacio
Prismas
55
10
cm
m
8c
10 cm
Explica por qué las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas.
b) Una recta está definida por dos puntos alineados.
Área lateral:
c) Dos planos que se cortan determinan una recta.
AL = (10 ⋅ 2 + 8 ⋅ 2) ⋅ 5 = 36 ⋅ 5 = 180 cm2
8 cm
d) En el espacio no existen rectas que se crucen.
Área total:
5 cm
e) Dos rectas que se cortan definen un plano.
AT = 180 + 2 ⋅ 10 ⋅ 8 = 180 + 160 = 340 cm2
❚ Volumen:
51
Volumen:
V = Ab ⋅ h
V = 10 ⋅ 8 ⋅ 5 = 400 cm3
Dibuja tres planos de forma que dos de ellos sean
paralelos y el tercero los corte a ambos. ¿Qué posición
relativa tienen las dos rectas que se determinan?
Poliedros
Ten en cuenta
Una pirámide es un poliedro cuyas
caras laterales son triángulos que
comparten un único vértice y cuya
base es un polígono.
Halla el área lateral, el área total y el volumen de esta pirámide.
13,08 cm
Área lateral:
12 cm
AL =
Ab ⋅ h
Volumen:
3
V =
Ten en cuenta
( Pb1 + Pb2 ) ⋅ atp
2
❚ Área total:
93,6 ⋅12
3
b)
e)
= 374, 4 cm3
Determina el área lateral, el área total y el volumen del tronco de pirámide que se
obtiene al cortar una pirámide recta cuadrangular por un plano paralelo a la base
que dista 7 cm de ella.
56
¿Cuántos planos hay que contengan una arista de
un tetraedro y pasen por el punto medio de la arista
opuesta?
57
Halla el número de planos que pasan por dos aristas
opuestas de un hexaedro.
58
Averigua cuántos planos contienen las caras de un
octaedro que sean perpendiculares al segmento que
une dos de sus vértices.
c)
59
Calcula el número de aristas que tiene la base de un
prisma en los siguientes casos.
a) Si el prisma tiene 12 vértices.
b) Si el prisma tiene 7 caras.
c) Si el prisma tiene 21 aristas.
60
Un tetrabrik de zumo tiene unas dimensiones de
4 cm × 4 cm × 10 cm. Razona si es posible introducir
totalmente un palillo que mide 12 cm.
61
Dibuja una pirámide cuadrangular, recta, regular y
convexa. Indica su altura, la apotema de su base y la
de la pirámide.
62
Halla la longitud de la apotema de una pirámide
regular de 4 m de altura cuya base es un hexágono
de 2 cm de lado.
f)
Área lateral:
1,8 cm
7,3 cm
10 cm
AL =
(6 ⋅ 4 + 1,8 ⋅ 4 ) ⋅ 7,3
2
= 113,88 cm2
Área total:
AT = 113,88 + 62 + 1,82 =
AT = AL + Ab1 + Ab2
❚ Volumen:
V = Vpirámide grande − Vpirámide pequeña
d)
❚ Área lateral:
AL =
a)
= 235, 44 cm2
36 ⋅ 5,2
AT = 235, 44 +
=
2
AT = 235, 44 + 93,6 = 329,04 cm2
6 cm
❚ Volumen:
Un tronco de pirámide es un
poliedro formado por dos bases que
son polígonos y varias caras laterales
que son trapecios.
2
1. Poliedro regular cuyas caras son 20 triángulos
equiláteros.
2. Poliedro regular que tiene 8 vértices.
3. Poliedro regular formado por 8 triángulos
equiláteros.
4. Poliedro regular que tiene 6 aristas.
5. Poliedro regular cuyas caras son cuadrados.
6. Poliedro regular cuyas caras son pentágonos.
7. Paralelepípedo cuyas caras son rectángulos.
8. Prisma convexo de 6 caras que son rombos.
9. Paralelepípedo cuyas caras son romboides.
Clasifica los siguientes poliedros, comprueba si
cumplen el teorema de Euler e investiga si tienen
planos de simetría.
Área total:
2
❚ Área total:
V =
36 ⋅13,08
5,2 cm
P ⋅ ap
AT = AL + Ab
52
Pirámides
❚ Área lateral:
AL =
Copia en tu cuaderno el crucigrama que está
haciendo Pablo y complétalo.
a) Un plano queda definido por dos puntos que
estén alineados.
5c
m
❚ Área total:
AT = AL + 2Ab
Actividades
tienes que saber
6 cm
AT = 113,88 + 36 + 3,24 = 153,12 cm2
Volumen:
53
36 ⋅10 3,24 ⋅ 3
V =
−
=
3
3
V = 120 − 3,24 = 116,76 cm3
Elabora una tabla en la que indiques el número de
caras, vértices y aristas de los poliedros regulares y
comprueba que todos verifican el teorema de Euler.
54
Dibuja un octaedro y su desarrollo plano.
176
177
En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta
unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
❚❚ Calcular áreas y volúmenes de prismas realizando su desarrollo plano.
❚❚ Dibujar correctamente los elementos de una pirámide, su desarrollo plano y determinar su área y volumen.
❚❚ Hallar áreas y volúmenes de troncos de pirámides y dibujar su desarrollo plano.
Actividades finales
50 Explica por qué las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a)Un plano queda definido por dos puntos que estén alineados.
b)Una recta está definida por dos puntos alineados.
c) Dos planos que se cortan determinan una recta.
d)En el espacio no existen rectas que se crucen.
e)Dos rectas que se cortan definen un plano.
a)Falsa porque para definir un plano son necesarios tres puntos no alineados.
b)Verdadera porque dos puntos siempre están alineados.
c) Verdadera porque los puntos comunes están alineados.
d)Falsa porque existen rectas que se cruzan, las que tienen distinta dirección pero no tienen puntos comunes.
e)Verdadera porque el punto de corte y otro punto cualquiera de cada recta son tres puntos no alineados y determinan
un plano.
9
51 Dibuja tres planos de forma que dos de ellos sean paralelos y el tercero los corte a ambos. ¿Qué posición relativa tienen
las dos rectas que se determinan?
Las rectas son paralelas.
52 Clasifica los siguientes poliedros, comprueba si cumplen el teorema de Euler e investiga si tienen planos de simetría.
a)
c) b)
e)
d)
f)
a)Poliedro convexo. Cumple el teorema de Euler: 6 + 8 = 12 + 2. Tiene un plano de simetría.
b)Poliedro convexo. Cumple el teorema de Euler: 5 + 6 = 9 + 2. Tiene un plano de simetría.
c) Poliedro convexo. Cumple el teorema de Euler: 7 + 7 = 12 + 2. Tiene tres planos de simetría.
d)Prisma, recto, cuadrangular e irregular. Cumple el teorema de Euler: 6 + 8 = 12 + 2. Tiene dos planos de simetría.
e)Pirámide, recta, cuadrangular e irregular. Cumple el teorema de Euler: 5 + 5 = 8 + 2. No tiene planos de simetría.
f) Poliedro cóncavo. No cumple el teorema de Euler. Tiene un plano de simetría.
53 Elabora una tabla en la que indiques el número de caras, vértices y aristas de los poliedros regulares y comprueba que
todos verifican el teorema de Euler.
Caras
Vértices
Aristas
C+V=A+2
Tetraedro
4
4
6
4+4=6+8+2
Hexaedro
6
8
12
6 + 8 = 12 + 2
Octaedro
8
6
12
8 + 6 = 12 + 2
Dodecaedro
12
20
30
12 + 20 = 30 + 2
Icosaedro
20
12
30
20 + 12 = 30 + 2
54 Dibuja un octaedro y su desarrollo plano.
9
55 Copia en tu cuaderno el crucigrama que está haciendo Pablo y complétalo.
1. Poliedro regular cuyas caras son 20 triángulos equiláteros.
2. Poliedro regular que tiene 8 vértices.
3. Poliedro regular formado por 8 triángulos equiláteros.
4. Poliedro regular que tiene 6 aristas.
5. Poliedro regular cuyas caras son cuadrados.
6. Poliedro regular cuyas caras son pentágonos.
7. Paralelepípedo cuyas caras son rectángulos.
8. Prisma convexo de 6 caras que son rombos.
9. Paralelepípedo cuyas caras son romboides.
1. Icosaedro
3. Octaedro
5. Hexaedro
7. Ortoedro
2. Cubo
4. Tetraedro
6. Dodecaedro
8. Romboedro
9. Romboiedro
56 ¿Cuántos planos hay que contengan una arista de un tetraedro y pasen por el punto medio de la arista opuesta?
Como tiene seis aristas hay seis planos que cumplen la condición.
57 Halla el número de planos que pasan por dos aristas opuestas de un hexaedro.
Hay seis planos que pasan por dos aristas opuestas en un hexaedro.
58 Averigua cuántos planos contienen las caras de un octaedro que sean perpendiculares al segmento que une dos de sus
vértices.
Hay ocho planos que contienen las caras de un octaedro.
59 Calcula el número de aristas que tiene la base de un prisma en los siguientes casos.
a)Si el prisma tiene 12 vértices.
b)Si el prisma tiene 7 caras.
c) Si el prisma tiene 21 aristas.
a)Tiene 6 aristas.
b)Tiene 5 aristas.
c) Tiene 7 aristas.
60 Un tetrabrik de zumo tiene unas dimensiones de 4 cm x 4 cm x 10 cm. Razona si es posible introducir totalmente un palillo
que mide 12 cm.
La diagonal del ortoedro mide: D = 42 + 42 + 102 = 11, 49 cm
Por tanto, se puede introducir totalmente el palillo.
61 Dibuja una pirámide cuadrangular, recta, regular y convexa. Indica su altura, la apotema de su base y la de la pirámide.
Respuesta abierta, por ejemplo:
ap
h
a
62 Halla la longitud de la apotema de una pirámide regular de 4 m de altura cuya base es un hexágono de 2 cm de lado.
La apotema de la base mide: a =
22 −12 = 1,73 cm
Entonces, la apotema de la pirámide es: ap =
Unidades didácticas 42 + 1,732 = 4,36 cm
282
9
Actividades
Prismas. Áreas y volúmenes
Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o
falsas.
a) Los hexaedros son poliedros regulares.
b) Todos los cubos son ortoedros.
c) Un romboedro tiene seis caras que son romboides.
d) Los romboiedros son paralelepípedos cuyas caras
son romboides.
64
Un envase de tomate frito tiene forma de ortoedro
con unas dimensiones de 6 cm x 4 cm x 8 cm. Calcula
el área lateral y el área total de este envase. ¿Cuál es
el volumen que puede contener?
65
72
Averigua la altura máxima que puede alcanzar el
agua en la pecera de Cristina cuando vierte en ella
180 L.
67
Una piscina tiene 50 m de largo, 25 m de ancho
y 2,5 m de profundidad. Si queremos que el agua
llegue hasta el borde, calcula:
a) Los litros de agua que necesitamos para llenarla.
b) El tiempo que tardará en llenarse si el agua sale
por dos grifos con un caudal de 5 L/s cada uno.
Ignacio tiene una bañera en su casa con forma
de ortoedro de 150 cm de largo, 60 cm de ancho
y 50 cm de alto. Si la llena hasta una cierta altura
y se sumerge totalmente en ella, el nivel del agua
aumenta 5 cm.
a) Halla el volumen de la bañera.
b) Calcula el volumen que ocupa Ignacio.
68
Determina cuánto costará tapizar un taburete con
forma de cubo de 50 cm de arista, si el precio de la
tela es de 8 €/m2.
69
El área total de un cubo es 600 cm2; calcula la
longitud de su arista, de su diagonal y de la diagonal
de una de sus caras.
70
Averigua en cuánto aumenta el volumen de un cubo
si se duplica la longitud de sus aristas. ¿Y si se triplica?
Las bases de un prisma triangular son triángulos
equiláteros cuyo lado mide 6 cm. Si la altura del
prisma mide 4 cm, halla:
b) El área total.
c) El volumen.
73
Una caja de bombones tiene la forma de un prisma
hexagonal regular recto de 8 cm de altura. Sabiendo
que la arista básica mide 14 cm, calcula:
b) El área total.
c) El volumen que puede contener.
74
Determina el volumen de un cubo si su diagonal
mide 10 m.
75
66
79
Calcula el área total de la pieza del rompecabezas
que ha cogido Inés.
9
Finales
Calcula el volumen de una pirámide regular cuya
base y cuya altura coinciden con las del prisma del
dibujo.
Composición de poliedros
86
En el interior de un cubo de 12 cm de arista se
construye una pirámide cuya base es una cara del
cubo y cuyo vértice se encuentra en el centro de la
cara opuesta. Calcula:
a) El área total de la pirámide.
b) El volumen de la pirámide.
c) La capacidad disponible en el cubo si se mantiene
la pirámide en su interior.
87
La estructura de un satélite de comunicaciones es un
cuerpo compuesto.
10 cm
63
71
6 cm
Las bases de un prisma de 10 cm de altura son
rombos cuyas diagonales miden 6 cm y 4 cm,
respectivamente. Calcula:
b) El área total.
c) El volumen.
Pirámides y troncos de pirámide.
Áreas y volúmenes
76
Dibuja una pirámide cuadrangular regular que tiene
una apotema de 12 cm si sus aristas básicas miden
10 cm.
a) Calcula la altura de la pirámide.
b) Halla el área lateral y el área total.
c) Determina el volumen de la pirámide.
77
Averigua la longitud de la apotema de la pirámide
regular, recta y de base cuadrada, cuya área lateral
mide 80 cm2 si el perímetro de la base es de 32 cm.
78
La apotema de una pirámide hexagonal regular mide
10 cm, medida que coincide con la de sus aristas
básicas. Calcula:
a) La altura de la pirámide.
c) El área total.
d) El volumen.
80
El área total de un tetraedro mide 60 cm2; ¿cuánto
mide el área lateral? ¿Y la de la base?
81
Susana ha comprado un adorno con forma de
octaedro de 2 cm de arista. Halla:
a) La longitud de la diagonal que une los vértices
más alejados entre sí.
b) El área total del octaedro.
c) Su volumen.
82
La base de una pirámide es un hexágono regular cuyo
lado mide 10 cm. Determina la altura de la pirámide
si su área lateral es el doble que el área de la base.
83
Un tronco de pirámide recto tiene dos bases cuadradas
cuyas aristas miden 4 cm y 10 cm, respectivamente.
Si la altura del tronco es de 4 cm, calcula:
a) La longitud de la apotema del tronco.
c) El área total.
d) El volumen.
84
Halla el área lateral y el área total de un tronco de
pirámide recto cuyas bases son dos hexágonos
regulares de 6 cm y 8 cm de aristas, respectivamente,
si la apotema del tronco mide 4 cm.
85
Halla la cantidad de tela necesaria para forrar la
pantalla de la lámpara que ha comprado Ángel para
decorar su salón.
9
Determina la cantidad de material necesario para
construir dicha estructura y el volumen que puede
contener.
88
En un parque se ha construido una fuente de acero
formada por un cuerpo compuesto.
Calcula los metros cuadrados necesarios para
construir la fuente. ¿Qué volumen de agua puede
albergar en su interior?
89
Un busto está
colocado
sobre
un pedestal de
hierro.
Calcula el peso del
pedestal sabiendo
que la densidad
del hierro es de
7,87 g/cm3.
178
179
63 Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas.
a)Los hexaedros son poliedros regulares.
b)Todos los cubos son ortoedros.
c) Un romboedro tiene seis caras que son romboides.
d)Los romboiedros son paralelepípedos cuyas caras son romboides.
a)Verdadera
b)Verdadera
c) Falsa. Las seis caras de un romboedro son rombos.
d)Verdadera
64 Un envase de tomate frito tiene forma de ortoedro con unas dimensiones de 6 cm x 4 cm x 8 cm. Calcula el área lateral
y el área total de este envase. ¿Cuál es el volumen que puede contener?
AL = (6 + 4 + 6 + 4) ⋅ 8 = 160 cm2
AT = AL + 2Ab = 160 + 2 ⋅ 6 ⋅ 4 = 208 cm2
V = 6 ⋅ 4 ⋅ 8 = 192 cm3
65 Averigua la altura máxima que puede alcanzar el agua en la pecera de Cristina cuando vierte en ella 180 L.
Si el volumen es 180 L = 180 000 cm3 → 180 000 = 40 ∙ 90 ∙ h → h =
180 000
= 50 cm
40 ⋅ 90
66 Una piscina tiene 50 m de largo, 25 m de ancho y 2,5 m de profundidad. Si queremos que el agua llegue hasta el borde,
calcula:
a)Los litros de agua que necesitamos para llenarla.
b)El tiempo que tardará en llenarse si el agua sale por dos grifos con un caudal de 5 L/s cada uno.
a)Necesitamos: V = 50 ∙ 25 ∙ 2,5 = 3 125 m3 = 3 125 000 L
b)Al abrir los dos grifos tardará: 3 125 000 : 10 = 312 500 s = 86 h 48 min 20 s
9
67 Ignacio tiene una bañera en su casa con forma de ortoedro de 150 cm de largo, 60 cm de ancho y 50 cm de alto. Si la
llena hasta una cierta altura y se sumerge totalmente en ella, el nivel del agua aumenta 5 cm.
a)Halla el volumen de la bañera.
b)Calcula el volumen que ocupa Ignacio.
a)V = 150 ∙ 60 ∙ 50 = 450 000 cm3 = 450 L
b)Si Ignacio se sumerge en la bañera, el volumen que ocupa es: V = 150 ∙ 60 ∙ 5 = 45 000 cm3 = 45 L
68 Determina cuánto costará tapizar un taburete con forma de cubo de 50 cm de arista, si el precio de la tela es de 8 €/m2.
El área total del taburete mide: AT = 50 ∙ 50 ∙ 6 = 15 000 cm2 = 1,5 m2
El precio del tapizado será: 1,5 ∙ 8 = 12 €
69 El área total de un cubo es 600 cm2; calcula la longitud de su arista, de su diagonal y de la diagonal de una de sus caras.
6a2 = 600 → a2 = 100 → a = 10 cm
D=
102 + 102 + 102 = 17,32 cm
d =
102 + 102 = 14,14 cm
70 Averigua en cuánto aumenta el volumen de un cubo si se duplica la longitud de sus aristas. ¿Y si se triplica?
Si se duplica la longitud de las aristas: V = (2a)3 = 8a3
Por tanto, el volumen aumenta 8 veces.
Si se triplica la longitud de las aristas: V = (3a)3 = 27a3
Así, el volumen será 27 veces mayor.
71 Calcula el área total de la pieza del rompecabezas que ha cogido Inés.
La hipotenusa del triángulo rectángulo mide:
c =
42 + 42 = 5,66 cm
Así el área total es:
AT = AL + 2Ab = ( 4 + 4 + 5,66 ) ⋅ 3 + 2 ⋅
4⋅4
2
= 56,98 cm2
72 Las bases de un prisma triangular son triángulos equiláteros cuyo lado mide 6 cm. Si la altura del prisma mide 4 cm, halla:
a)El área lateral.
b)El área total.
c) El volumen.
a)AL = 3 ⋅ 6 ∙ 4 = 72 cm
2
b)La altura de los triángulos equiláteros mide: h =
62 − 32 = 5,2 cm
6 ⋅ 5,2
Así, el área total del prisma es: AT = AL + 2Ab = 72 + 2 ⋅
= 103,2 cm2
2
c) V = 15,6 ⋅ 4 = 62,4 cm3
73 Una caja de bombones tiene la forma de un prisma hexagonal regular recto de 8 cm de altura. Sabiendo que la arista
básica mide 14 cm, calcula:
a)El área lateral.
b)El área total.
c) El volumen que puede contener.
a)AL = 6 ⋅ 14 ∙ 8 = 672 cm
2
b)La apotema del hexágono mide: h =
142 − 72 = 12,12 cm
6 ⋅14 ⋅12,12
Así, el área total del prisma es: AT = AL + 2Ab = 672 + 2 ⋅
= 1690,08 cm2
2
c) V = 509,04 ⋅ 8 = 4 072,32 cm3
74 Determina el volumen de un cubo si su diagonal mide 10 m.
Sea a la longitud de la arista del cubo, entonces:
a2 + a2 + a2 = 10 → 3a2 = 100 → a =
3
⎛ 10 ⎞⎟
⎟⎟ = 192, 45 m3
Así, el volumen del cubo es: V = ⎜⎜⎜
⎝ 3 ⎟⎠
10
3
m
9
75 Las bases de un prisma de 10 cm de altura son rombos cuyas diagonales miden 6 cm y 4 cm, respectivamente. Calcula:
a)El área lateral.
b)El área total.
a)Los lados del rombo miden: c =
c) El volumen.
32 + 22 = 3,61 cm
Así, el área lateral es: AL = 4 ⋅ 3,61 ∙ 10 = 144,4 cm2
6⋅4
b)AT = AL + 2Ab = 144, 4 + 2 ⋅
= 168, 4 cm2
2
c) V = 12 ⋅ 10 = 120 cm3
76 Dibuja una pirámide cuadrangular regular que tiene una apotema de 12 cm si sus aristas básicas miden 10 cm.
a)Calcula la altura de la pirámide.
b)Halla el área lateral y el área total.
a) h =
122 − 52 = 10,91 cm
10 ⋅12
b)AL = 4 ⋅
= 240 cm2
2
AT = AL + Ab = 240 + 102 = 340 cm2
100 ⋅10,91
c) V =
= 363,67 cm3
3
77 Averigua la longitud de la apotema de la pirámide regular, recta y de base cuadrada, cuya área lateral mide 80 cm2 si el
perímetro de la base es de 32 cm.
32 ⋅ ap
= 80 → ap = 5 cm
2
78 La apotema de una pirámide hexagonal regular mide 10 cm, medida que coincide con la de sus aristas básicas. Calcula:
a)La altura de la pirámide.
b)El área lateral.
a)La apotema del hexágono mide: a =
c) El área total.
d)El volumen.
102 − 52 = 8,66 cm
Entonces: h = 102 − 8,662 = 5 cm
10 ⋅10
b)AL = 6 ⋅
= 300 cm2
2
6 ⋅10 ⋅ 8,66
c) AT = AL + Ab = 300 +
= 559,8 cm2
2
259,8 ⋅ 5
d)V =
= 433 cm3
3
79 Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base y cuya altura coinciden con las del prisma del dibujo.
La apotema del hexágono mide: a = 62 − 32 = 5,2 cm
El volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma:
10 cm
6 ⋅ 6 ⋅ 5,2
6 cm
V =
2
3
⋅10
= 312 cm3
80 El área total de un tetraedro mide 60 cm2; ¿cuánto mide el área lateral? ¿Y la de la base?
El área total es cuatro veces el área de una cara, así el área de una cara mide: 60 : 4 = 15 cm2
El área lateral es: AL = 3 ∙ 15 = 45 cm2
Y el área de la base mide 15 cm2.
9
81 Susana ha comprado un adorno con forma de octaedro de 2 cm de arista. Halla:
a)La longitud de la diagonal que une los vértices más alejados entre sí.
b)El área total del octaedro.
c) Su volumen.
a)La diagonal, D, mide el doble de la altura de las pirámides cuadrangulares que forman el octaedro.
La apotema de las pirámides es: ap =
22 −12 = 1,73 cm
Entonces: D = 2 1,732 −12 = 2,82 cm
2 ⋅1,73
b) AT = 8 ⋅
= 13,84 cm2
2
4 ⋅1, 41
c) V = 2 ⋅
= 3,76 cm3
3
82 La base de una pirámide es un hexágono regular cuyo lado mide 10 cm. Determina la altura de la pirámide si su área
lateral es el doble que el área de la base.
La apotema del hexágono mide: a = 102 − 52 = 8,66 cm
10 ⋅ ap
6 ⋅10 ⋅ 8,66
Entonces: 6 ⋅
= 2⋅
→ ap = 2 ⋅ 8,66 = 17,32 cm
2
2
Como la altura de la pirámide y las apotemas forman un triángulo rectángulo: h = 17,322 − 8,662 = 15 cm
83 Un tronco de pirámide recto tiene dos bases cuadradas cuyas aristas miden 4 cm y 10 cm, respectivamente. Si la altura
del tronco es de 4 cm, calcula:
a)La longitud de la apotema del tronco. c) El área total.
b)El área lateral.
d)El volumen.
a) atp =
c) AT = AL + Ab1 + Ab2 = 140 + 100 + 16 = 256 cm2
b) AL =
4 + 3 = 5 cm 2
2
( 40 + 16 ) ⋅ 5
= 140 cm2
d)V =
(100 + 16 + 100 ⋅16 ) ⋅ 4
= 208 cm3
2
3
84 Halla el área lateral y el área total de un tronco de pirámide recto cuyas bases son dos hexágonos regulares de 6 cm y 8
cm de aristas, respectivamente, si la apotema del tronco mide 4 cm.
(36 + 48 ) ⋅ 4
AL =
= 168 cm2
2
Para hallar las áreas de las bases calculamos las apotemas de los hexágonos:
ab 2 = 62 − 32 = 5,2 cm
82 − 42 = 6,93 cm
48 ⋅ 6,93 36 ⋅ 5,2
AT = AL + Ab1 + Ab2 = 168 +
= 427,92 cm2
+
2
2
85 Halla la cantidad de tela necesaria para forrar la pantalla de la lámpara que ha comprado Ángel para decorar su salón.
La apotema del tronco de pirámide mide:
ab 1 =
atp =
222 + 172 = 27,8 cm
(280 + 144 ) ⋅ 27,8
AL =
= 5 893,6 cm2
2
Ángel necesitará 0,59 m2 de tela para forrar la pantalla.
9
86 En el interior de un cubo de 12 cm de arista se construye una pirámide cuya base es una cara del cubo y cuyo vértice se
encuentra en el centro de la cara opuesta. Calcula:
a)El área total de la pirámide.
b)El volumen de la pirámide.
c) La capacidad disponible en el cubo si se mantiene la pirámide en su interior.
a)La apotema de la pirámide mide: ap =
AT = AL + Ab = 4 ⋅
b) V =
122 ⋅12
12 ⋅13, 42
2
122 + 62 = 13, 42 cm
+ 12 = 466,08 cm2
= 576 cm3
3
c) La capacidad disponible en el cubo es: 123 − 576 = 1 152 cm3
87 La estructura de un satélite de comunicaciones es un cuerpo
compuesto.
Determina la cantidad de material necesario para construir dicha
estructura y el volumen que puede contener.
La apotema del hexágono mide: a =
42 − 22 = 3, 46 m
La apotema de la pirámide es: ap = 72 + 3, 462 = 7,81 m
El material necesario para construir el satélite es el área total del
cuerpo compuesto:
AT = Apirámide + Aprisma + Ab = 6 ⋅
4 ⋅ 7,81
2
+6⋅4⋅5+
6 ⋅ 4 ⋅ 3, 46
El volumen que puede contener es: V = Vpirámide + Vprisma =
= 255,24 m2
2
41,52 ⋅ 7
+ 41,52 ∙ 5 = 304,48 m3
3
88 En un parque se ha construido una fuente de acero formada por un
cuerpo compuesto.
Calcula los metros cuadrados necesarios para construir la fuente.
¿Qué volumen de agua puede albergar en su interior?
La apotema del tronco de pirámide mide:
atp = 302 + 202 = 36,06 cm
El material necesario para construir la fuente es el área lateral del
cuerpo compuesto:
(10 000 + 3600 ) ⋅ 36,06
AL tronco + AL prisma =
+ 4 ⋅ 60 ⋅ 120 = 274 008 cm2 = 27,4008 m2
2
El volumen de agua que puede contener es:
V = Vtronco + Vprisma =
(10 000 + 3600 +
10 000 ⋅ 3600 ) ⋅ 30
3
89 Un busto está colocado sobre un pedestal de hierro.
+ 602 ∙ 120 = 628 000 cm3 = 628 L
Calcula el peso del pedestal sabiendo que la densidad del hierro es de 7,87 g/cm3.
V = Vtronco + Vprisma =
( 802
+ 452 +
802 ⋅ 452 ) ⋅150
+ 1002 ∙ 50 = 1 101 250 cm3
3
El peso del pedestal es: 1 101 250 ∙ 7,87 = 8 666 837,5 g = 8 666,8357 kg
9
Matemáticas vivas
9
MATEMÁTICAS VIVAS
Las pirámides
REFLEXIONA
De todas las formas geométricas utilizadas en la arquitectura, la pirámide despierta un interés especial
por el significado y la trascendencia que tuvo en culturas tan antiguas como la egipcia, la índica o la de la
América precolombina.
3
9
Un grupo de arqueólogos va a realizar un estudio de la gran pirámide de Keops.
Los grandes monumentos funerarios tienen su ejemplo más significativo en las pirámides de Gizeh,
grandiosas construcciones del antiguo Egipto declaradas Patrimonio de la Humanidad.
Antes de comenzar los trabajos, deben construir, una valla que rodee la pirámide a fin de evitar el acceso
de visitantes al monumento en las zonas no autorizadas.
Responde a las siguientes cuestiones, teniendo en cuenta que la arista básica mide 230,35 m y la altura
de la pirámide es de 136,86 m.
COMPRENDE
1
a. Si la valla ha de estar situada a 3 m de la pirámide, calcula los metros que serán necesarios para rodearla.
b. Halla la superficie que ocupa la gran pirámide sobre el terreno donde se asienta.
Observa la fotografía de las pirámides de Egipto.
a. ¿Cómo es el polígono de la base de cada pirámide, cóncavo o convexo?
c. Determina el volumen de la pirámide.
PIENSA Y RAZONA
d. Suponiendo que la pirámide no tuviera ningún espacio hueco en su interior, ¿cuántos bloques de granito de
1 m3 tendrían que emplearse en su construcción? Si cada bloque pesa aproximadamente 2,5 T, ¿cuál sería el
peso total de la pirámide?
b. Clasifica las pirámides según los polígonos que las determinan.
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO
RESUELVE
O
TRABAJ IVO
RAT
COOPE
RELACIONA
2
La naturaleza es la principal fuente de inspiración del hombre a la hora de crear sus obras.
a. ¿Qué elementos naturales conoces que tengan formas poliédricas?
ARGUMENTA
b. Averigua los nombres de los instrumentos mecánico-ópticos que se pueden utilizar para medir las dimensiones
de grandes monumentos.
UTILIZA LAS TIC
c. En el siglo VI a. C. hubo un matemático y filósofo griego que calculó la altura de las pirámides basándose en el
teorema que lleva su nombre. ¿Quién fue este personaje? ¿Cómo halló estas medidas?
COMUNICA
180
181
Las pirámides
En esta sección se les presenta a los alumnos la forma geométrica por excelencia utilizada en la arquitectura a lo largo de la
humanidad. Se pretende que los alumnos tomen conciencia de la expresión cultural que hemos recibido como herencia.
Habrán de analizar e investigar, interpretar, tomar decisiones y comunicar matemáticamente los diversos problemas con los
que se van a encontrar.
En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y razona, Utiliza el lenguaje matemático, Argumenta, Utiliza las
TIC, Comunica o Resuelve.
En las actividades de comprensión deberán razonar qué tipo de sucesión es la que surge al extraer litros del camión cada hora.
En las actividades de comprensión, deberán analizar la fotografía de las pirámides de Gizeh y ser capaces de encontrar similitudes con los conceptos aprendidos en la unidad.
En las actividades de relación, los alumnos citarán elementos naturales que tienen formas poliédricas, utilizarán las TIC en la
investigación de instrumentos que son utilizados para la medida de grandes monumentos y reconocerán el teorema de Tales.
Para terminar, en las actividades de reflexión se plantean cuatro ejercicios donde el alumno pondrá en práctica los conocimientos adquiridos en la sección.
Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa
es Situación problema, adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro
Gravié.
Para desarrollar esta tarea, el profesor propondrá a los alumnos cuestiones sobre medidas de la pirámide truncada del problema que se plantea. Los alumnos dedicarán unos minutos a intentar resolverlas. Después, formarán pequeños grupos para
discutir las distintas soluciones y elegir una respuesta común. Finalmente, el profesor elegirá a un miembro de cada grupo para
que explique la respuesta elegida por su equipo.
9
De todas las formas geométricas utilizadas en la arquitectura, la pirámide despierta un interés especial por el significado y la
trascendencia que tuvo en culturas tan antiguas como la egipcia, la índica o la de la América precolombina.
Los grandes monumentos funerarios tienen su ejemplo más significativo en las pirámides de Gizeh, grandiosas construcciones
del antiguo Egipto declaradas Patrimonio de la Humanidad.
Comprende
1 Observa la fotografía de las pirámides de Egipto.
a)¿Cómo es el polígono de la base de cada pirámide, cóncavo o convexo?
b)Clasifica las pirámides según los polígonos que las determinan.
a)El polígono de cada base es convexo.
b)Son pirámides cuadrangulares, rectas, regulares y convexas.
Relaciona
2 La naturaleza es la principal fuente de inspiración del hombre a la hora de crear sus obras.
a)¿Qué elementos naturales conoces que tengan formas poliédricas?
b)Averigua los nombres de los instrumentos mecánico-ópticos que se pueden utilizar para medir las dimensiones de
grandes monumentos.
c) En el siglo vi a. C. hubo un matemático y filósofo griego que calculó la altura de las pirámides basándose en el teorema
que lleva su nombre. ¿Quién fue este personaje? ¿Cómo halló estas medidas?
a)Respuesta abierta, por ejemplo: los cristales de roca como el silicato, la pirita o la fluorita.
b)Respuesta abierta, por ejemplo:
El teodolito es un instrumento muy preciso que permite la medición de ángulos, básicamente es un telescopio montado sobre un trípode con dos círculos graduados, uno vertical y otro horizontal, con los que se miden los ángulos con
ayuda de lentes.
Las máquinas fotográficas también nos permiten, utilizando la fotogrametría, obtener medidas del monumento fotografiado.
c) Fue Tales de Mileto, comparó las sombras que proyectaban las pirámides con la sombra de su bastón y utilizó la semejanza de triángulos.
Reflexiona
3 Un grupo de arqueólogos va a realizar un estudio de la gran pirámide de Keops.
Antes de comenzar los trabajos, deben construir, una valla que rodee la pirámide a fin de evitar el acceso de visitantes al
monumento en las zonas no autorizadas.
Responde a las siguientes cuestiones, teniendo en cuenta que la arista básica mide 230,35 m y la altura de la pirámide es
de 136,86 m.
a)Si la valla ha de estar situada a 3 m de la pirámide, calcula los metros que serán necesarios para rodearla.
b)Halla la superficie que ocupa la gran pirámide sobre el terreno donde se asienta.
d)Suponiendo que la pirámide no tuviera ningún espacio hueco en su interior, ¿cuántos bloques de granito de 1 m3
tendrían que emplearse en su construcción? Si cada bloque pesa aproximadamente 2,5 T, ¿cuál sería el peso total de
la pirámide?
a)Cada lado de la valla debe medir: 230,35 + 6 = 236,35 m
Así, la longitud total de la valla será: 4 ⋅ 236,35 = 945,4 m
b)Ab = 230,352 = 53 061,12 m2
1
c) V = ⋅ 53061,12 ⋅136,86 = 2 420 648,29 m3
3
d)Se tendrían que utilizar 2 420 649 bloques, con lo que el peso total de la pirámide sería:
2 420 649 ⋅ 2,5 = 6 051 622,5 T
9
Trabajo cooperativo
Si la base superior es un cuadrado de 12 m de lado, y la inferior, de 55 m, el triángulo rectángulo que forma la rampa con el
suelo y la apotema del tronco de pirámide tiene como catetos: 25 m y 27,5 − 6 = 21,5 m
Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 = 21,52 + 252 = 1 087,25 → a = 32,97 m
3 297 : 30 = 109,9
Si cada escalón mide 30 cm, un visitante tendrá que subir 110 escalones.
9
Avanza. Medida de ángulos
9
AVANZA
En esta sección se introduce el sistema de medida de ángulos en radianes.
Medida de ángulos
Para medir ángulos, se puede utilizar el sistema de medida de grados sexagesimales: si dividimos una circunferencia
en 360 ángulos centrales iguales, cada uno representa un grado sexagesimal: 1º.
Existen otros sistemas de medida de ángulos: los radianes.
Conviene asegurarnos de que los alumnos manejan correctamente el sistema sexagesimal.
Y
Un radián (rad) es la amplitud del ángulo central de una circunferencia
cuyo arco tiene la misma longitud que el radio de la circunferencia.
r
Como la longitud de la circunferencia es L = 2πr, la circunferencia contiene
2π radianes.
O
1 rad
r
X
Debemos realizar algunos ejercicios sencillos donde tengan
que escribir la expresión compleja e incompleja de la medida de ángulos y también es buen momento para iniciarles a
trabajar los ángulos con la calculadora.
La medida de un radián es independiente del valor del radio de la circunferencia.
2π rad = 360º
90º =
Por ejemplo:
π
2
1 rad =
360°
2π
= 57º 17’ 44”
180º = π rad
rad
A1. Indica la medida en grados sexagesimales de los
ángulos cuya amplitud es:
a)
π
b)
3
A2. Expresa en radianes los siguientes ángulos.
a) 45º
d) 225º
2π
b) 120º
e) 315º
5
c) 135º
f) 330º
GEOMETRÍA EN EL ARTE
A1.Indica la medida en grados sexagesimales de los ángulos cuya amplitud es:
El cubismo
El cubismo es un movimiento artístico desarrollado entre 1907 y 1914, en
Francia, por Pablo Picasso, Georges Braque y Juan Gris.
a)
La aparición de la fotografía, que representa la realidad visual de manera
más exacta que la pintura, llevó a muchos artistas a cambiar el concepto
de dibujar las cosas tal como aparecen ante nuestros ojos.
El cubismo se ha relacionado también con una corriente filosófica
que defiende que las cosas pueden ser diferentes a como aparentan.
El espectador tiene que reconstruir la obra en su mente para poder
comprenderla.
a)
El cubismo se desliga completamente de la semejanza con la naturaleza.
Para apreciar una obra no debes fijarte en la visión global, sino
descomponer la figura en sus partes mínimas, en planos, que luego has
de estudiar de forma aislada.
π
3
π
3
b)
=
180 º
3
= 60 º b)
2π
5
2π
5
=
360 º
5
= 72º
En La ventana abierta, cuadro pintado por Juan Gris en 1921, las formas
geométricas lo invaden todo y la perspectiva se hace múltiple debido a
la cantidad de ángulos de visión.
La obra Fábrica en Horta de Ebro, pintada por Picasso en 1909, contiene
sobre todo elementos geométricos.
G1. Fíjate en ambos cuadros.
a) Encuentra y enumera los elementos geométricos que contienen.
b) Indica si hay alguna figura en estas obras que no sea geométrica.
182
A2.Expresa en radianes los siguientes ángulos:
a)45º
b)120º
π
π
rad
=
180 º 4
π
2π
b)120 º ⋅
rad
=
180 º
3
a) 45º ⋅
c) 135º
d)225º
3π
c) 135º ⋅
rad
=
180 º
4
π
5π
d) 225º ⋅
rad
=
180 º
4
π
e)315º
f) 330º
7π
e) 315º ⋅
rad
=
180 º
4
π
11π
f) 330 º ⋅
rad
=
180 º
6
π
Geometría en el arte. El cubismo
En esta sección se introduce un movimiento artístico estrechamente ligado a las matemáticas, y más concretamente, a la geometría. Los alumnos pueden descubrir cómo artistas de la época, tras el nuevo invento de la fotografía, cambiaron el concepto
de su pintura.
Se propone que los alumnos lean el texto y aprendan las recomendaciones para entender y apreciar una obra. A continuación, deberán encontrar elementos geométricos en los dos cuadros que se les presentan. También pueden sacar sus propias
conclusiones y comunicarlas a sus compañeros.
Para terminar, sería interesante proponer que realicen un dibujo con las características propias del cubismo.
G1.Fíjate en ambos cuadros.
a)Encuentra y enumera los elementos geométricos que contienen.
b)Indica si hay alguna figura en estas obras que no sea geométrica.
a)Cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios, cilindros, prismas, pirámides y troncos de pirámides.
b)No son elementos geométricos: las nubes y las montañas en el cuadro de Juan Gris; y las hojas de las palmeras, en el
cuadro de Picasso.
9
PROPUESTA DE EVALUACIÓN
PRUEBA A
1. ¿Qué posición relativa tienen los planos que contienen las caras de una pirámide recta de base cuadrada? ¿Y las rectas
que contienen a sus aristas?
Los planos que contienen las caras son secantes.
Las rectas que contienen a las aristas laterales son secantes en el vértice de la pirámide, las que contienen a las aristas
básicas son secantes, si son consecutivas, o paralelas, en caso contrario.
2. Indica el número de planos de simetría que tiene un prisma octogonal, recto y regular y comprueba que se cumple el
teorema de Euler.
Un prisma octogonal, recto y regular tiene 9 planos de simetría.
El teorema de Euler se cumple porque 10 + 16 = 24 + 2
3. Una caja de zapatos tiene 28 cm de largo, 12 cm de ancho y 10 cm de alto. Calcula su volumen en dm3.
V = 28 ⋅ 12 ⋅ 10 = 3 360 cm3 = 3,36 dm3
4. Un cubo tiene 216 m³ de volumen. Calcula la longitud de su arista y su área total.
a3 = 216 → a = 6 m
AT⋅= 6 ⋅ 62 = 216 m2
5. Una pirámide tiene de 12 cm de altura y su base es un cuadrado de 7 cm de lado.
Calcula:
a)El área lateral.
b)El área total.
c) Su volumen.
a)La apotema de la pirámide mide: ap =
AL = 4 ⋅
7 ⋅12,5
2
122 + 3,52 = 12,5 cm
= 175 cm2
b)AT = AL + Ab = 175 + 72 = 224 cm2
c) V =
49 ⋅12
3
Unidades didácticas = 196 cm3
292
9
PROPUESTA DE EVALUACIÓN
PRUEBA B
2
1. Calcula el volumen de un ortoedro del que sabemos que su lado mayor mide 24 cm, el lado mediano mide
del lado
3
1
mayor y el lado menor mide
del mayor.
6
El lado mediano mide 16 cm, y el lado menor, 4 cm.
V = 24 ⋅ 16 ⋅ 4 = 1 536 cm3
2. Un cubo tiene 1 350 cm² de área total. Calcula su volumen.
6 ⋅ a2 = 1 350 → a2 = 225 → a = 15 cm
V = 153 = 3 375 cm3
3. Calcula el volumen del cuerpo dibujado.
V = 63 +
3 cm
36 ⋅ 3
3
= 252 cm3
6 cm
4. Halla el área total de un icosaedro de 8 cm de arista.
Como el icosaedro está formado por 20 triángulos equiláteros:
h=
82 − 42 = 6,93
8 ⋅ 6,93
= 554,26 cm2
AT = 20 ⋅
2
5. Calcula el volumen del tronco de pirámide que se obtiene al cortar una pirámide cuadrangular recta de 12 cm por un plano paralelo a su base que pasa por el punto medio de su altura, si las aristas básicas miden 4 cm y 8 cm, respectivamente.
Al cortar la pirámide por el punto medio de la altura obtenemos un tronco de 6 cm de alto.
V =
( 64 + 16 + 64 ⋅16 ) ⋅ 6
= 224 cm3
293

GEOMETRÍA DEL ESPACIO. POLIEDROS

Transcripción

Documentos relacionados

prismas y pirámides.