prismas y pirámides.

PRISMAS Y PIRÁMIDES.
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Comprende la relación que existe entre el volumen de un prisma con respecto al volumen de una pirámide que tienen la misma base
y altura.
En “Presentación de Contenidos” para explicar el volumen de los prismas y las pirámides se estudia qué es un poliedro, sus partes y
cómo se clasifican. En “Ejercicios” resuelven problemas de volumen en prismas y pirámides. En “Aplico” obtienen el volumen de los
modelos que construyeron.
¿Qué es un poliedro?
Un poliedro es un cuerpo geométrico que tiene alto, ancho y largo.
Está formado por caras planas que limitan un volumen.
Todo poliedro está conformado por caras, base o bases, aristas y vértices.




Cara: Es el polígono (figura plana) delimitado por líneas.
Aristas: Son las líneas que limitan a cada cara y coinciden con otra cara..
Vértice: Es el punto donde se juntan más de 2 aristas.
Base: Es la parte donde se apoya el poliedro.
Las bases de los poliedros pueden ser circulares, triangulares, rectangulares, pentagonales, etcétera. De acuerdo a la forma de sus
bases reciben su nombre.
¿Cómo clasificamos los poliedros?

Poliedros regulares: Todas sus caras o lados tienen la misma forma y el mismo tamaño.

Poliedros irregulares: Son aquellas figuras geométricas que no tienen iguales todas sus caras o lados.
Los poliedros irregulares se dividen en 2 tipos:
o
Prismas: Son los poliedros irregulares que tienen 2 bases y sus caras laterales son rectángulos. Si las bases son
triángulos se llama prisma triangular, si son rectángulos se llama prisma rectangular, si son pentágonos se llama
prisma pentagonal, etcétera.
o
Pirámides: Son los poliedros irregulares que tienen una sola base. Al igual que los prismas, las pirámides reciben su
nombre de acuerdo a la forma de su base; por ejemplo, si su base es un triángulo se llama pirámide triangular, si es
un cuadrado se llama pirámide cuadrangular, si su base es un pentágono se llama pirámide pentagonal, etcétera.
¿Qué es volumen?
Volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo.
¿Cómo calculamos el volumen de un poliedro?
El primer paso para calcular el volumen es calcular el área de la base. Para calcular el volumen de un poliedro es necesario primero
calcular el área de su base.
¿Recuerdas qué es la base?
Los prismas tienen dos bases. En este prisma su base es pentagonal (5 lados).
Las pirámides tienen una base. En esta pirámide su base también es pentagonal.
Las bases de los poliedros siempre son figuras poligonales (figuras planas); para calcular el área de la base se debe observar
la forma de la base, porque cada polígono tiene una fórmula diferente. A continuación te presentamos algunos poliedros,
escribe debajo de cada figura la forma de su base:
Las fórmulas para obtener el área de polígonos son las siguientes:
Una vez que hemos recordado cómo se obtiene el área de la base de los poliédros podemos decir que...
La fórmula para obtener el volumen del prismas es V = (B) (h)
1)
Para calcular el volumen de un prisma es necesario...
a) Conocer el área de la base “B”.
b) Conocer la altura.
c) Multiplicar el área de la base por la altura “h”.
Ejemplo:
“Calculemos el volumen de un prisma cuadrangular que una de sus aristas de la base mide 15 cm y tiene 43 cm de altura”
(observa la ilustración).
Analicemos este caso:
- ...Calculemos el volumen de un Prisma cuadrangular (significa que su base es un cuadrado)
- ...que una de sus aristas de la base mide 15 cm (la arista es una línea que va de un vértice a otro del cuadro)
-
...y tiene 43 cm de altura.


Necesitamos conocer el área de la base:
o Sabemos que la base es cuadrada y que cada arista mide 15 cm.
2
o La fórmula para obtener el área de un cuadrado es A = a
Entonces...
2
A=a
2
A = (15)
2
A = 225 cm (esta es el área de la base)

Después aplicamos la fórmula para el volumen de un prisma que es V = B x h (“B” es área de la base y “h” es altura).

Entonces...
o V=Bxh
o V = (225)(43)
3
o V = 9675 cm (este es el volumen de este prisma)
La fórmula para obtener el volumen de la pirámide es
Para calcular el volumen de una pirámide es necesario...
 Conocer el área de la base “B”.
 Multiplicar el área de la base por la altura (“h”).
 Dividir el resultado entre 3.
Ejemplo:
“Calculemos el volumen de una pirámide triangular que tiene de altura 32 cm y las características de su base son: que mide
18 cm de largo, que su altura es de 15.6 cm” (observa la ilustración).
Analicemos este caso:
- ...Calculemos el volumen de una Pirámide triangular (significa que su base es un triángulo)
- ...que tiene de altura 32 centímetros (esta es la altura de la pirámide)
- ...y las características de su base son: que mide 18 cm y que su altura es de 15.6 cm (sabiendo estas características de su base
podremos calcular su área)

Necesitamos conocer el área de la base:
o Sabemos que la base es triangular, que mide 18 cm y que su altura es de 15.6 cm.
o La fórmula para obtener el área de un triángulo es A = b x h / 2
Entonces...
A = (b)(h) / 2
A = (18)(15.6) / 2
2
A = 140.4 m (esta es el área de la base)

Después aplicamos la fórmula para el volumen de una pirámide que es
altura).
(“B” es área de la base y “h” es
Entonces:
V = (140.4) (32) / 3
3
V = 1497.6 cm
Observa la diferencia que existe entre las fórmulas para obtener el volumen de los prismas y de las pirámides
Esto es porque una pirámide ocupa la tercera parte del volumen que ocupa un prisma. Esto se puede comprobar si se construye un
prisma y una pirámide de las mismas dimensiones de base y altura. Si llenamos la pirámide hasta el límite con arena fina y luego la
vaciamos dentro del prisma, apenas llenaríamos la tercera parte del prisma; pero si vacías el contenido de 3 pirámides en un mismo
prisma quedará totalmente lleno.
2
Por último, no olvides que las medidas de longitud (alto, largo y ancho) siempre se expresan en m y las medidas del volumen
3
siempre se expresan en m .
Recuerda que...
 La fórmula del volumen para los prismas es:
V = Bh (donde “B” es el área de la base y “H” es la altura) y

La fórmula del volumen para las pirámides es:
(Donde “B” es el área de la base; “h” es la altura de la pirámide sobre 3)
Resuelve los siguientes ejercicios; en cada uno continúa los siguientes pasos:
1) Analicemos este caso...
2) Necesitamos conocer el área de la base...
3) Aplicamos la fórmula del volumen...
a)
Encuentra el volumen de un prisma pentagonal que tiene 1.5 cm por lado; una altura de 9 cm de altura y el apotema de su base
es de 1.3 cm.
b) Encuentra el volumen de una pirámide pentagonal que tiene las mismas dimensiones que el prisma anterior: 1.5 cm por lado;
una altura de 9 cm de altura y el apotema de su base es de 1.3 cm.
c)
Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular que tiene 8.4m de altura y 3.2m por lado en la base. Calcule su volumen.
d) ¿Cuánto es el volumen de una cisterna en forma de prisma cuadrangular con las mismas dimensiones que la pirámide anterior?
(lado: 3.2 m. Altura del prisma: 8.4).
e)
Si la base es un triángulo equilátero de 5cm por lado; la altura de la base de 3.8 cm y la altura del prisma es de 25cm. ¿Cuál es el
volumen de una envoltura de chocolate que tiene forma de prisma triangular?
f)
Calcula su volumen de “La Gran Pirámide de Guiza” que se encuentra en Egipto; tiene una base casi cuadrangular, sus lados
miden aproximadamente 36.3m y tiene 136.86m de altura.

Trabajo Individual.
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Obtienen el volumen de los modelos que arman.
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
Trabajo Individual
10 minutos para el armado.
Modelo Terminado
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Alumno 01
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Los modelos que has construido son diferentes “cuerpos geométricos”. Observa que cada uno tiene asignado un número:
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Contesta...
2
a) ¿Cuál es la fórmula para obtener el área de la base del cuerpo geométrico 2? A = a
b) ¿Cuántas bases tiene el cuerpo geométrico 1? Tiene una base
c)
¿Cuántas aristas tiene el cuerpo geométrico 4? 24 aristas
d) ¿Cuál es la fórmula para obtener el área de la base del cuerpo geométrico 1? A = a
2
e)
¿Cuántas vértices hay en el cuerpo geométrico 3? 6 vértices
f)
¿Cuál es la fórmula para obtener el área de la base del cuerpo geométrico 4? A = P x a / 2 (perímetro por apotema
entre 2)
g)
¿Cuántas bases tiene el cuerpo geométrico 4? 2 bases
h) ¿Qué forma tiene el polígono que sirve de base del cuerpo geométrico 4? octágono
i)
¿Cuántas aristas tiene el cuerpo geométrico 1? 8 aristas
j)
¿Cuál es la fórmula para obtener el área de la base del cuerpo geométrico 3? A = b x h / 2 (base por altura entre 2)
k)
¿Cuántas vértices hay en el cuerpo geométrico 4? 16 vértices
l)
Calcula el volumen del tercer cuerpo geométrico considerando que su base es triangular, que los 3 lados de la base
miden 9 centímetros y que la altura de la base también es de 9 centímetros. La altura del cuerpo geométrico mide 15
cm.
m) Calcula el volumen del cuarto cuerpo geométrico considerando que cada uno de los lados de su base miden 7.5 cm y su
apotema mide 9 cm. La altura de este cuerpo mide 11.5 cm.
RESPUESTA