administración, finanzas y economía

Transcripción

REVISTA DE
Volumen 2
Número 1
Enero-Junio
2008
ADMINISTRACIÓN, FINANZAS
Y ECONOMÍA
(Journal of Management, Finance and Economics)
Artículos
Edgar Rodolfo Castillo-Huerta
Generalizaciones de la metodología VAR para el análisis de riesgos
de fondeo liquidez, y margen financiero
Francisco Ortiz-Arango y Francisco Venegas-Martínez
El modelo de Vasicek y la integral de trayectoria de Feynman
Adán Díaz-Hernández y José C. Ramírez-Sánchez
Modelo de cálculo de capital económico por riesgo de crédito para
portafolios de créditos a personas físicas
Jesús Bravo Pliego
Análisis empírico de la relación entre las tasas de interés forward
subyacentes al mercado Mexicano de swaps de TIIE
Antonio Ruiz-Porras y William Henry Steinwascher Sacio
Gobierno corporativo, diversificación estratégica y desempeño
empresarial en México
Carlos M. Urzúa, Alejandra Macías y Héctor H. Sandoval
TIPs for the Analysis of Poverty in Mexico, 1992-2005
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
CAMPUS CIUDAD DE MÉXICO
Revista de Administración, Finanzas y Economı́a
(Journal of Management, Finance and Economics)
Director
Dr. José Antonio Núnez Mora
Tecnológico de Monterrey
Editor de Producción
Dr. Fernando Cruz Aranda
Directores Adjuntos
Carlos M. Urzúa
Enrique Cásares
José C. Ramı́rez-Sánchez
Universidad Autónoma Metropolitana
Comité Editorial
Alberto Hernández
Antonio Ruiz-Porras
Edgar Ortiz
Elvio Accinelli
José L. de la Cruz
Anabella Davila
Francisco Venegas-Martı́nez
ISNN:
Universidad de Guadalajara
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Economı́a de la UASLP
Escuela Superior de Economı́a, IPN
en trámite
Escuela de Graduados en Administración y Dirección de Empresas, EGADE
División de Negocios
Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México
Calle del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C. P. 14380, México D. F.
Aulas III, cuarto piso. Tel. +52 (55) 54832020 ext. 2240 y 1392
Correo electrónico: [email protected]
Página: http://www.csf.itesm.mx/egade/publicaciones
Artı́culos
Página
Edgar Rodolfo Castillo-Huerta
Generalizaciones de la metodologı́a VAR para el análisis de riesgos
de fondeo liquidez, y margen financiero....................................................1
Francisco Ortiz-Arango y Francisco Venegas-Martı́nez
El modelo de Vasicek y la integral de trayectoria de Feynman.................9
Adán Dı́az-Hernández y José C. Ramı́rez-Sánchez
Modelo de cálculo de capital económico por riesgo de crédito para
portafolios de créditos a personas fı́sicas.................................................20
Jesús Bravo Pliego
Análisis empı́rico de la relación entre las tasas de interés forward
subyacentes al mercado Mexicano de swaps de TIIE...............................44
Antonio Ruiz-Porras y William Henry Steinwascher Sacio
Gobierno corporativo, diversificación estratégica y desempeño
empresarial en México.............................................................................58
Carlos M. Urzúa, Alejandra Macı́as y Héctor H. Sandoval
TIPs for the Analysis of Poverty in Mexico, 1992-2005.......................74
Revista de Administración, Finanzas y Economı́a (Journal of Management, Finance and
Economics), vol. 2, núm. 1 (2008), pp. 1-8.
Generalizaciones de la metodologı́a VAR
para el análisis de riesgos de fondeo
liquidez, y margen financiero
Edgar Rodolfo Castillo-Huerta∗
Recibido 18 de mayo 2007, Aceptado 14 de junio 2007
Resumen
En este artı́culo estudiamos extensiones de VaR para administrar el riesgo estructural, aplicable a las instituciones financieras y en particular a los bancos,
basados en la identificación, medición y control del riesgo. Se propone el uso de
medidas de riesgo aplicables en ambas partes del balance (Activo y Pasivo) y
en el flujo de efectivo de la institución. Se propone el uso de medidas de control
de riesgo de fondeo, ingreso y liquidez, además de la muy conocida medida de
riesgo de mercado (VaR).
Abstract
In this paper we study an extension of value at risk to structural risk
management alternative, applied to financial institutions, banks particularly,
this investigation was based on identify, quantify and risk control. We propose
to use risk measures over both sides of balance sheet (Asset and Liability) and
over cash flow of the institution. We propose risk control measure like funding,
earnings and liquidity, besides the well known measure of market risk (VaR).
Clasificación JEL:C61
Palabras clave: Riesgo, Var, MaR, LaR, WaR, Liquidez, Fondeo, Banco, limites
1. Introducción
En este artı́culo estudiamos un extensión al la metodologı́a de valor en riesgo
para administrar el riesgo estructural, aplicable a las instituciones financieras
y en particular a los bancos, basados en la identificación, medición y control
del riesgo, antes de empezar, quisiera comentar sobre las fuentes de riesgo en
el manejo de los activos y pasivos, la fuentes de incertidumbre en el balance se
encuentra en los flujos de efectivo, el costo de fondeo y la tasa de rendimiento,
por esta razón para las instituciones financieras es necesario adecuar un modelo
que les permita de forma fácil, tomar decisiones de inversión y fondeo, siempre
buscando una interacción entre riesgo, rendimiento y liquidez, temas que serán
abordados más ampliamente a lo largo de este documento.
La Administración de Activos y Pasivos bajo incertidumbre involucra distintas fuentes de riesgo. Las fuentes de riesgo o incertidumbre se basan en
movimientos de los factores económicos, mercado y condiciones demográficas.
∗
Galeana 118-101C, Santa Ursula Xitla, Tlalpan 14420 México, D.F. Tel. 5229-2203,
5513-3526, Fax. 5229-2396
2
El modelado de los riesgos de los Activos y Pasivos ha sido abordado ampliamente por autores como R. Harrington (1987), D. Uyemura (1993), W.T.
Ziemba, y Mulvey (1986), Cosiglio, Cocco y Stavros A. Zenios (2005), H.
Jonson (1994), Deelstra y Janssen (2000), Carino y Ziemba (1996), todos ellos
basan su trabajo en estimaciones econométricas o modelos multivariados con
programación estocástica, sin embargo, en ningún caso se muestra un nivel de
confianza sobre un horizonte dado como en el caso del bien conocido riesgo de
mercado “VaR”1, una aproximación a lo que estamos proponiendo es el trabajo
de Javier Márquez Diez Canedo (1999 y 2002), quien para un portafolio de
crédito propone el uso de la metodologı́a ”VaR” para determinar el nivel de
solvencia de un banco.
Académicamente el trabajo busca completar estas investigaciones, en cuanto a la forma de ver el riesgo estructural abordado desde varios puntos de
vista, con el fin de obtener una administración de riesgo integral. Estos puntos
de vista son los siguientes: identificación de riesgos desde cada parte de la hoja
de balance, Activos y Pasivos; desde los flujos de efectivo como la liquidez; o,
desde el cambio en los ingresos al cambio en tasas de interés.
Se propone el uso de medidas de control de riesgo de fondeo, ingreso y
liquidez, además de la muy conocida medida de riesgo de mercado. El artı́culo
se organiza de la siguiente manera. La sección dos plantea las herramientas
que serán utilizadas para la administración de riesgos estructurales de forma
separada, empezando por la más conocida, el VaR como medida de riesgo de
mercado. La sección tres introduce el uso de esas medidas de forma conjunta
con el fin de obtener un análisis de riesgo integral. Finalmente, la sección cuatro
sintetiza los resultados y comenta el uso de las herramientas como medidas de
gestión y control.
2. Medidas de control de riesgo
Al hablar de “riesgos” se piensa en la posibilidad de que ocurran eventos no
deseados. Pero una parte de los riesgos en los mercados financieros ocurren
por sucesos a los cuales no se les asocia ninguna probabilidad. Asignar una
probabilidad a todos los eventos que puedan alterar las utilidades de las empresas, es lo que se denomina “Análisis de Riesgos”. Financieramente, se puede
definir el “Riesgo” como la probabilidad de que los precios de los activos que se
tengan en un portafolio se muevan adversamente ante cambios en las variables
macroeconómicas que los determinan.
Las variables financieras que se requieren para el análisis, son todas aquellas
variables que al cambiar de valor podrı́an cambiar de forma adversa el valor del
portafolio; por ejemplo, en el caso de un bono con tasa revisable cada 28 dı́as, la
única variable que suponemos afectarı́a, serı́a la tasa de 28 dı́as y la tasa actual
(fórmula de valuación), por supuesto hay otros factores que podrı́an afectar a la
valuación de este instrumento, sin embargo sólo tomaremos en cuenta aquellas
variables que directamente afecten según la forma de valuar cada instrumento.
En la parte activa el riesgo de mercado, ya muy estudiado a través del valor en
riesgo, “VaR” se refiere a determinar la pérdida máxima que podrı́a tener una
cartera de inversión en un horizonte de tiempo con un nivel de confianza dado,
1
VaR por sus siglas en ingles “Value at Risk”, “Valor en Riesgo”, terminologı́a introducida
por JP Morgan (1995) y divulgada en su documento técnico RiskmetrixRM
3
esta herramienta supone que las variables financieras siguen una distribución
Gausiana (Normal).
Figura 1
Probability Density Estimate
Profit/Loss Value(millions)
Distribución Gausiana (Normal)
El V aR se refiere encontrar el punto donde la probabilidad acumulada alcanza
la cantidad 1-Nivel de confianza,
V aR
−∞
f(s)ds = 1 − c,
donde c = nivel de confianza, f(s) = Función de densidad de los precios
V aRc = μ+zc σ, con μ = rendimiento promedio del portafolio, z = Distribución
acumulada normal hasta en nivel de confianza (c).
Al igual que en la parte activa (Portafolio−V aR) en la sección pasiva
se busca determinar el monto de fondeo que se cancelará. Herramienta que
definiremos como pasivos en riesgo o “WaR” por sus siglas en ingles “Withdrawalls at Risk” es necesario conocer las probabilidades de cancelación de
pasivos a un plazo determinado.
Supongamos los siguientes pasivos: chequeras (f1 ), depósitos a plazo (f2 ),
pagare (f3 ) y papel de mercado de dinero (f4 ), junto con sus diferentes plazos
de vencimiento.
El valor total de los pasivos esta dado por la siguiente expresión
V =
N
fi ,
i=1
donde N = 4. Supongamos que la decisión del cliente de mantener o no (cancelar) el ahorro o inversión, para el banco serı́a mantener el fondeo o cancelarlo,
4
sigue una distribución Bernoulli (p), donde “(p)” representa la probabilidad de
cancelación de los pasivos.
El valor medio de los retiros al ser una distribución Bernoulli (p) serı́a:
μ = pV .
Mientras tanto el riesgo del portafolio estarı́a dado por la varianza como:
σ 2 = p(1 − p)
N
fi2 .
i=1
Esto es por supuesto asumiendo independencia entre los depositantes.
Para el caso de pasivos se tiene la posibilidad de que:
i) Disminuya a causa de cancelaciones de depósitos / inversiones / compras
ii) Aumente derivado de nuevos depósitos / inversiones / emisión
Riesgo = Cancelación de Pasivo = Retiro esperado + Retiro no esperado
(Cancelaciones de pasivos), por tanto el monto en riesgo de ser retirado serı́a el
siguiente:
N
W aR = μ + zα σ = pV + zα p(1 − p)
fi2
i=1
W aR = Cancelación de Pasivo (Withdrawals at Risk), p = Probabilidad de
Cancelación de pasivos, Z = Probabilidad acumulada de una distribución normal hasta el nivel de confianza dado, f = El i−ésimo pasivo.
La siguiente medida se refiere a la liquidez, misma que denominaremos
Liquidez en Riesgo o “LaR” (Liquidity at Risk). El análisis de LaR parte de la
clasificación del pasivo en rubros que engloben clientes o productos con perfiles
similares. La liquidez que debe mantenerse disponible en una institución a
través de fuentes de fondeo externas o de activos lı́quidos en el balance, en
función al grado de aversión al riesgo que se tenga.
Para calcular el monto mı́nimo de activos lı́quidos es necesario analizar los
patrones de renovación y permanencia de cada categorı́a de pasivo.
Con el fin de evitar riesgos excesivos de liquidez, se debe considerar un
monto de activos lı́quidos superior, o al menos igual al LaR. La liquidez debe
ser suficiente para solventar las obligaciones de la institución, sin que se tenga
que acceder recurrentemente al fondeo más costoso o de última instancia.
Una medida comúnmente utilizada para el control de la liquidez es justamente “Ψ”, el coeficiente de liquidez, que es función del capital “K” y de los
pasivos “V ”
K
Ψ=
(1)
V
Es necesario determinar la concentración de un sólo cliente o grupo de clientes
para esto tendrı́amos que compararlo contra el pasivo total es decir, determinar
la proporción de la fuente de fondeo que representa de todo el pasivo como
sigue:
(2)
fk ≤ ΘV
donde:
fk =
ΘV ;
0;
k = 0, 1, 2, . . . , n
k = n + 1, n + 2, . . . , N.
5
La proporción Θ del total del pasivo, que representa el fondeo fk , están relacionados por el nivel de capitalización del banco, y podrı́a representar un limite
de fondeo.
Con esto introduzco el lı́mite de liquidez como una proporción de los pasivos
relacionado con una probabilidad de cancelación de pasivos:
Lα Rα = nα ΘV
(3)
El argumento n, se refiere al número de clientes que desean cancelar sus pasivos
(Ahorros) y requieren retirar su dinero, suponiendo una distribución Binomial,
es decir:
n
P r(m, n) =
pm (1 − p)n−m
(4)
m
donde p representa la probabilidad de retiro de fondos, con esta distribución
podemos determinar la media “np” y la varianza “np(1 − p)” y determinar
con un nivel de confianza, α, el nivel de capitalización requerido para cubrir la
solicitud de efectivo que se retira:
|np + zα np(1 − p)|ΘV ≤ K
(5)
donde zα = Probabilidad acumulada en una distribución Gausiana “Normal”
hasta el nivel α
N
LaR = μ + zα σ = pV + zα p(1 − p)
fi2
i=1
Ψ ≥ p̄ + zα σ
H(G).
En donde el ı́ndice de Herfindal - Hirschman H(G) queda dado por:
H(G) ≤
Ψ − p̄
zα σ
2
,
p̄ =
πT F
V
y
σ=
1T G
V
Donde, H(G): Es la concentración de los pasivos redimensionados; P : Es la
probabilidad de cancelación esperada promedio de los de pasivos; σ: Es una
medida de la desviación estándar de la probabilidad de cancelación; F : Vector
de montos de pasivos; G: Vector transformado de F ; π: Es el vector de probabilidades de cancelación de pasivos y zα : Nivel de confianza de acuerdo al grado
de aversión al riesgo.
Finalmente, la medida de riesgo para los ingresos futuros se refiere a descontar cada una de las brechas (diferencia entre activos y pasivos en cada
momento del tiempo) en el flujo de efectivo utilizando estructuras de tasas de
interés calculadas con algún modelo de estructuras de tasas de interés como
Vasicek, Cox Ingersol y Ross o cualquier otro, que nos provea de un insumo sin
considerar arbitraje, es decir, tasas neutrales al riesgo.
El riesgo total será la suma del valor absoluto de los flujos obtenido, a lo
cual llamaremos Ingresos en riesgo o “EaR” (Earnings at Risk).
6
Para determinar la densidad de la distribución será necesario hacer una
simulación (con la siguiente fórmula) y determinando la máxima pérdida con
un nivel de confianza dado después de hacer un análisis de frecuencias.
EaR =
N
max (Ai − Li )x
i=1
(Ai − Li )x
1
1
−
DxV
/360
i
(1 + ri )
(1 + ri + 0.01)DxVi/360
1
1
−
DxV
/360
i
(1 + ri − 0.01%)
(1 + ri )DxVi /360
,
Donde, ri = Tasa cupón cero en base anual del periodo i (Calculada con base
en la estructura de plazos calculada con base en algún modelo de estructura de
tasas de interés por ejemplo: Vasicek o Cox Ingersol & Ross), DxVi = Dı́as por
vencer del periodo i.
A continuación mostraré un análisis comparativo de las diferentes metodologı́as, a fin de aclarar cualquier duda.
Tabla 1
Análisis comparativo de las diferentes metodologı́as
V aR
−∞ f(s)ds = 1 − c
Supuestos
Dist. Normal
V aR
f(x) =
2
√ 1
e(x−μ) /2
2πσ2
Media = μ
Varianza = σ 2
V aRc = μ + zc σ
Forma de cálculo
Paramétrico
Simulación Histórica
Simulación Montecarlo
W aR
−∞
W aR
f(s)ds = 1 − c
Dist. Bernoulli
p; si cancelan pasivo
f(x) =
1 − p; si continúa.
Media = p
Varianza = p(1 − p)
V aRc = μ + zc σ
Paramétrico
V aR ≡Riesgo mercado, se refiere a la pérdida máxima en un horizonte
de tiempo y con un nivel de confianza dado. W aR ≡Riesgo
cancelación de pasivos, busca determinar el monto máximo
a ser retirado.
Las diferentes formas de ver a la institución nos ayudaran a conocer como
se está comportando de forma integral, con la ayuda de los indicadores de
riesgo mostrados podemos conocer de forma individual el riesgo de cada parte
del balance, activos (V aR) o pasivos (W aR), de hecho también los cambios en
los ingresos por intereses o margen financiero (EaR) y la liquidez (LaR), sin
embargo, la interacción de estos indicadores podrı́a ayudar a la gestión y al
control de la institución, este tema será tratado en la siguiente sección.
7
(Continuación) Tabla 1
Análisis comparativo de las diferentes metodologı́as
LaR
f(s)ds
= 1−c
−∞
Supuestos
Dist. Binomial
f(x) = Cnm pi (1 − p)n−i
Media = np
Varianza = np(1 − p)
V aRc = μ + zc σ
Forma de cálculo
Paramétrico
LaR
EaR
−∞
EaR
f(s)ds = 1 − c
Dist. Dada por el modelo de
estructura de tasas empleado
(Normal, Familia de valores
extremos, etc.)
V aRc = μ + zc σ
Simulación
LaR ≡Riesgo de liquidez, determina el nivel de liquidez necesaria
para solventar obligaciones. EaR ≡Riesgo en flujos de efectivo,
busca determinar la máxima pérdida al cambiar
la tasa de interés.
3. Aplicación de las medidas de riesgo de forma conjunta
Para controlar a la institución pueden ser utilizados lı́mites por cada una de
nuestras herramientas mencionadas, y dado que toman en cuenta todo el balance y la interacción entre los activos y los pasivos entonces claramente representan
medidas integrales de riesgo.
El nivel de riesgo que la institución está dispuesta a asumir puede depender
del impacto de la evolución observada de las tasas de interés sobre el desempeño
futuro de los resultados. Aquellos instrumentos para los cuales no se realiza
una valuación a mercado diaria (cálculo de V aR o riesgo de mercado), pueden
contener utilidades o pérdidas pendientes de realizar, producto del movimiento
en las tasas. Estas utilidades o pérdidas se reflejarán en los resultados de toda
institución en el transcurso del tiempo.
Para conjuntar la medidas de riesgo mencionadas (EaR, V aR, W aR y
LaR) los lı́mites de liquidez se pueden traducir en restricciones al tamaño de
los vencimientos de corto plazo, o bien, imponer costos por cambiar el tamaño
de los vencimientos de corto plazo, que a su vez restringe a los gaps que se
utilizan para el cálculo de la frontera eficiente para el riesgo total.
El modelo propuesto para la gestión del riesgo estructural tiene que ver
con la programación estocástica donde lo que se busca es maximizar el margen
financiero, sujeto a restricciones presupuestales, regulatorias y de estrategia
propia de la institución donde se quiera implementar esta metodologı́a.
4. Conclusiones y comentarios
En este artı́culo se dio a conocer una alternativa para administrar en las instituciones financieras y en particular bancos, el riesgo estructural, basándonos en
la identificación, medición y control del riesgo.
8
El “A-L” estocástico se recomienda para realizar proyecciones y determinar
presupuestos (Plan de negocios)
El uso de tasas estocásticas permite conocer mejor el valor económico real
de la entidad
El nivel de solvencia esta determinado por el ı́ndice de concentración de
pasivos y la probabilidad de retiro o cancelación de recursos
Se propuso el uso de medidas de riesgo aplicables en ambas partes del balance
(Activo y Pasivo) y en el flujo de efectivo de la institución. Se incentivo el uso
de medidas de control de riesgo de fondeo, ingreso y liquidez, en forma conjunta.
Este trabajo puede ser aplicado directamente en la banca mexicana y es
posible hacer una propuesta de legislación sobre el cálculo de capital para mantener la solvencia de las instituciones.
Bibliografı́a
Sheldom M. Ross, (1992). “Applied Probability Models with Optimization
Applications” Dover Publications, Inc., New York.
William T. Ziemba, John M. Mulvey, (2001). “Worldwide Asset and Liability
Modeling”, Cambridge University Press.
Roy Kouwenberg and Stavros A. Zenios, (2001). “Stochastic Programming
Models for Asset Liability Management, Hermes Center on Computational
Finance & Economics, School of Economics and Management, University
of Cyprus, Working paper.
M. I. Kusy, W. T. Ziemba, (May - Jun, 1986). “A Bank Asset and Liability
Management Model”, Operations Research, Vol. 34, No 3. pp. 356-376.
Griselda Deelstra, Jacques Janssen, (2000). “Interaction Between Asset
Liability Management and Risk Theory: An Unsegmented and a
Multidimensional Study”, Working paper.
Andrea Consiglio, Flavio Cocco, Stavros A. Zenios, (2005) “Scanario
Optimization Asset Liability Modelling for Individual Investors”, Hermes
Center on Computational Finance & Economics, School of Economics
and Management, University of Cyprus, Working paper.
Nikolas Topaloglou, Hercules Vladimirou, Stavros A. Zenios, (2004). “Dynamic
Stochastic Programming Models for internacional portfolio management”,
HERMES European Center of Excellence on Computational Finance and
Economics School of Economics and Management University of Cyprus,
Working paper.
Javier Márquez Diez-Canedo, (2002). “Suficiencia de Capital y Riesgo de
Crédito en Carteras de Préstamos Bancarios”, Documentos de investigación de Banco de México.
El modelo de Vasicek y la integral
de trayectoria de Feynman
Francisco Ortiz-Arango∗
Francisco Venegas-Martı́nez∗∗
Recibido 8 de junio 2007, Aceptado 10 de julio 2007
Resumen
En este artı́culo se plantea la conveniencia de utilizar las herramientas matemáticas de la mecánica cuántica para resolver algunos problemas financieros. En
particular, se discute el modelo de tasa corta de Vasicek en tiempo continuo en
el marco de la integral de trayectoria de Feynman. Para ello, se determina el
Lagrangiano del sistema a partir del Hamiltoniano asociado de la ecuación hacia
atrás de Fokker-Planck. Posteriormente, se calcula la acción a fin de obtener
el precio de un bono cupón cero y su tasa forward. En conclusión, se pretende
mostrar que la mecánica cuántica es una alternativa eficaz en la solución de
algunos problemas complejos que surgen en la valuación de derivados.
Abstract
The aim of this paper is to show the convenience of using mathematical tools
from quantum mechanics to solve some financial problems. In particular, the
Vasicek short-rate model in continuous time is discussed in the framework of the
Feynman path integral. To do this, the Lagrangian of the system is obtained
from the Hamiltonian associate to the backward Fokker-Planck equation.
Subsequently, the action is calculated to obtain the price of a zero-coupon bond
and its forward rate. In conclusion, the paper attempts to show that quantum
mechanics is an effective alternative in solving some complex problems that
arise in pricing derivatives.
Clasificación JEL: G13
Palabras clave: Productos derivados.
1. Introducción
En los últimos años un gran número de fı́sicos se han interesado en resolver
problemas financieros. Para ello, han empleado herramientas matemáticas de
la mecánica estadı́stica y la mecánica cuántica desarrolladas a lo largo de muchos
años para resolver problemas complejos de la fı́sica. Esta situación le ha dado
un gran impulso a la teorı́a financiera dando origen a la “Econo-Fı́sica” y a las
“Finanzas Cuánticas”
En particular una de las ramas de la fı́sica que ha cobrado más interés es la
mecánica cuántica. Desde principios del siglo pasado, prácticamente, muchas
∗
∗∗
Profesor-Investigador de la Escuela de Ingenierı́a de la Universidad Panamericana.
Profesor-Investigador de la Escuela Superior de Economı́a del Instituto Politécnico Nacional. Correo electrónico: [email protected]
10
El modelo de Vasicek
de las mentes brillantes de la fı́sica se enfocaron en la solución de problemas de
mecánica cuántica. En este marco, es posible distinguir tres diferentes enfoques
para estudiar la mecánica cuántica:
a) El enfoque de Schrödinger, mediante una ecuación diferencial parcial que
lleva su nombre y que analiza una función de onda asociada al comportamiento
del átomo de hidrógeno.
b) El enfoque de Dirac, mediante matrices, operadores y reglas de conmutación.
c) El enfoque de la integral de trayectoria de Feynman, metodologı́a que considera las contribuciones de todas las posibles trayectorias que puede seguir un
sistema cuando pasa de un estado a otro.
El objetivo primordial de este trabajo es mostrar de manera detallada el uso
de la integral de trayectoria de Feynman como una herramienta eficaz en la
solución de algunos problemas complejos de las finanzas. Para ilustrar esto se
determina el precio de un bono cupón cero que sigue el modelo de tasa corta
de Vasicek.
El trabajo está constituido por las siguientes secciones: En la sección 2
se plantea la ecuación de Fokker-Planck hacia atrás, pues ésta constituye la
base para construir la integral de trayectoria de Feynman. En este marco,
se parte del Hamiltoniano asociado el sistema y, posteriormente, se obtiene el
Lagrangiano, el cual a su vez se usa para calcular la acción del sistema. En la
sección 3 se plantea el problema central de esta investigación, el cual consiste
en abordar el modelo de Vasicek mediante el uso de la integral de trayectoria
de Feynman a fin de valuar un bono cupón cero. En la medida de lo posible
el trabajo proporciona los detalles técnicos de las demostraciones para darle
fluidez a su lectura. Por último, en la sección 4 se plantean las conclusiones del
trabajo.
2. Ecuación hacia atrás de Fokker-Planck
La ecuación hacia atrás de Fokker-Planck, también conocida como ecuación de
Kolmogorov1, se utiliza para valuar opciones, esto es debido a que la función de
pago se propaga hacia atrás en el tiempo. En otras palabras, dado que el precio
de compra o venta de una opción al vencimiento se fija al inicio del contrato, es
necesario “traer” al presente las posibles ganancias del contrato. Este proceso
puede aprovechase también para el estudio de las tasas de interés, en este caso,
es necesario propagar el valor de la tasa de interés en el tiempo final T , la cual
se denotará por R, hacia un valor r en un tiempo previo, cuando el tiempo corre
hacia atrás. En este caso la probabilidad condicional hacia atrás denotada por
PB (R, t; r) representa la probabilidad de que la tasa “spot” tome el valor r en
el tiempo t, dado que en el tiempo futuro T > t, tomará el valor R. Con lo
cual, para un valor r = r(t + ) y r = r(t), se cumple:
(1)
PB (R, t; r ) = δ {r − r − [a(r ) − σ(r )R(t)] r}P (R, t + ; r)dr.
1
Tomado de Venegas (2006), pag. 253.
11
En esta expresión los coeficientes a(r ) y σ(r ) contienen la información de la
tasa “spot” en el pasado. El Hamiltoniano de Fokker-Planck hacia atrás está
dado por la expresión:
donde:
∂
PB (R, t; r) = HB PB (R, t; r),
∂t
(2)
1
∂2
∂
HB = − σ 2 (r) 2 − a(r) .
2
∂r
∂r
(3)
Observe que para calcular el valor de PB (R, t; r) como elementos de una matriz
es necesario utilizar la notación de Dirac, en la cual el vector “ket” representa
el |estado inicial y el vector “bra” (vector dual) representa el estado final|.
Sin embargo, para este caso, dado que se considera el tiempo hacia atrás, el
estado inicial será |R y el estado final r|, con lo cual se llega a las siguientes
condiciones para calcular PB (R, t; r):
PB (R, t; r) = r|e−(T −t)HB |R,
(4)
r(T ) = R.
Ahora a partir del Hamiltoniano definido en la ecuación (3) se obtiene el Lagrangiano requerido para calcular la acción y con ésta el precio del bono mediante una integral de trayectoria de Feynman de la forma:
P (t0 , T ) =
1
ZB
eSB Dr,
(5)
donde ZB es la función de partición definida mediante una integral de trayectoria que considera tanto a la tasa spot r(t) como el efecto del ruido blanco
R(t),2 ası́la expresión para calcularla es:
ZB =
eSB Dr.
(6)
En este caso, SB se refiere a la acción hacia atrás de Fokker-Planck:
T
SB =
LB dt.
(7)
t0
Para calcular el Lagrangiano hacia atrás de Fokker-Planck a partir del Hamiltoniano correspondiente, expresado en la ecuación (3), se emplea la siguiente
2
Ver Baaquie (2004), pag. 120
12
ecuación tı́pica en mecánica cuántica que relaciona a ambos operadores, a saber:
PB (r̃, t; r) = r|e−(T −t)HB |r̃ = N eLB [r,r̃]
∞
dp
=
r|e−HB |pp|r̃
2π
−∞
1
=
2π
=
1
2π
∞
−
e
−∞
∞
e−
σ2
2
σ2
2
p2 +iap
(8)
eip(r−r̃) dp
p2 ip(r−r̃−a)
e
dp.
−∞
Para calcular la última integral en la expresión (8) se utiliza la integración
Gaussiana dada por la expresión:
Z[j] = N
∞
−∞
con N =
se toman:
2
−λ
2 x +jx
e
dx = N e
1
2λ j
∞
λ
2
1
e− 2 x dx = e 2λ j ,
(9)
−∞
λ/2π. En consecuencia, si en la última integral de la expresión (8)
λ = σ 2 ; j = i(r − r̃ − a),
se llega a
PB (r̃, t; r) = r|e−(T −t)HB |r̃ = N eLB [r,r̃]
1 2
Z[j]
1
=
=
e 2λ j
N
2πN 2
2
2
1
1
1 − 2 ( r−r̃
=
e 2σ2 i (r−r̃−a) =
e 2σ −a)
2πN 2πN 2
1 −[ 12 ( r−r̃
=
e 2σ −a) ]
2πN 2 1
r − r̃
1
exp −
−a
= √
2σ 2
2πλ
2 r − r̃
1
1
= √
exp −
.
−a
2σ 2
2πσ 2
(10)
Por lo tanto, es posible concluir que el Lagrangiano hacia atrás de Fokker-Planck
está dado por:
2
r − r̃
1
LB = − 2
(11)
−a .
2σ
13
Si en la ecuación (11) se toma el lı́mite → 0, se obtiene (r − r̃)/ → dr/dt,
con lo cual se llega a la forma definitiva del Lagrangiano hacia atrás de FokkerPlanck:
2
dr
1
LB = − 2
(12)
− a(r) .
2σ
dt
De esta manera, al sustituir (12) en (7), se obtiene la forma explı́cita para el
cálculo de la acción:
1
SB = −
2
T
t0
1
2
σ (t)
2
dr
− a(r) dt,
dt
(13)
3. Desarrollo del modelo de Vasicek utilizando la integral
de trayectoria de Feynman
En esta sección se muestra que el modelo de Vasicek de tasa corta en tiempo
continuo puede resolverse de manera cerrada (exacta) mediante el uso de la
integral de trayectoria de Feynman establecida en la ecuación (5). Como es
sabido, el modelo de Vasicek es considerado el parteaguas en lo que se refiere a
modelos de tasa corta en tiempo continuo.
Sea P (t0 , T ) el precio de un bono cupón cero, el cual puede calcularse
mediante la expresión:
T
P (t0 , T ) = E exp −
r(t)dt
(14)
r(t0 ) = r0 .
t0
En el caso del modelo de Vasicek, la tasa corta sigue el comportamiento descrito
por la siguiente ecuación diferencial estocástica:
dr
= a(b − r) + σdWt ,
dt
(15)
con las condiciones r(t0 ) = r0 , t0 ≤ t ≤ T , y donde Wt es un movimiento Browniano definido sobre un espacio fijo de probabilidad con su filtración aumentada
W
(Ω, F , (Ft )t∈[0,T ] , IP).
Dado que el valor presente de un bono cupón cero se obtiene al descontar
su valor futuro, la tasa spot debe establecerse en el tiempo T, de este modo la
propagación de su comportamiento se hace “hacia atrás”, hasta llegar al valor
r0 en el tiempo t0 . De este modo la acción hacia atrás de Fokker-Planck, dada
en la ecuación (13), puede expresarse para este caso especı́fico como:
1
SV = −
2
T
t0
2
1 dr
− a(b − r) dt,
σ 2 dt
(16)
14
donde a y b son constantes. A través de la ecuación (16) es posible calcular el
valor esperado del precio del bono en la ecuación (14), para lo cual se requiere
establecer la forma de la función r(t) a ser integrada, las condiciones de frontera
y una distribución de probabilidad: la distribución de probabilidad propuesta
es de la forma eSV /Z , con Z definida como en la ecuación (6) y que funciona
como condición de normalización, además se cumple que:
∞ T
Dr ≡
dr(t),
(17)
−∞ t=t0
junto con las condiciones de frontera
dr(T )
= 0.
dt
r(t0 ) = r0 ;
(18)
Con base en lo anterior se puede obtener el precio del bono cupón cero mediante el cálculo del promedio del factor de descuento sobre la distribución de
probabilidad mencionada antes, ası́:
T
−
r(t)dt
1
P (t0 , T ) =
Dr.
(19)
eSV e t0
Z
Si ahora se define
T
S ≡ SV −
r(t)dt,
(20)
t0
entonces se tendrá
1
P (t0 , T ) =
Z
eS Dr.
(21)
Al sustituir (16) en (21), se obtiene:
T
S = SV −
t0
1
r(t)dt = − 2
2σ
T t0
2
T
dr
− a(b − r) dt − r(t)dt.
dt
(22)
t0
Como la medida de la integral de trayectoria permanece invariante bajo traslaciones es posible hacer la siguiente consideración: r(t) → r(t) + b, con lo cual
se obtiene: a(b − r) → ar. Al incorporar estos cambios en la ecuación (22), se
obtiene:
2
T T
1
dr
S=− 2
(23)
+ ar dt − (r(t) + b)dt.
2σ
dt
t0
t0
Una forma de calcular las integrales de la expresión (23) es a través del siguiente
cambio de variable:
dr
v(t) =
+ ar.
(24)
dt
15
Al resolver la ecuación diferencial resultante para r(t) se llega a la expresión:
−a(t−t0 )
r(t) = e
−at
T
r0 + e
eat v(t )dt .
(25)
t0
Nuevamente, hay que integrar (25) para posteriormente sustituirlo en (23), de
tal forma que
T
T
r(t)dt =
t0
⎛
T
⎝e−a(t−t0 ) r0 + e−at
t0
⎞
eat v(t )dt ⎠dt
t0
T
= r0
e−a(t−t0 ) dt +
t0
T
⎛ t
⎞
e−at ⎝ eat v(t )dt ⎠ dt
t0
(26)
t0
= r0 I1 + I2 .
A continuación se calcula I1 :
T
I1 =
−a(t−t0)
e
t0
1
dt = − eat0
a
T
e−at dt =
t0
1 − e−a(T −t0 )
≡ B(t, T ).
a
(27)
Para I2 , se puede demostrar3 que:
T
I2 =
B(t, T )v(t)dt,
(28)
t0
con lo cual se obtiene
T
T
r(t)dt = r0 B(t, T ) +
t0
B(t, T )v(t)dt.
(29)
t0
Ahora hay que verificar que r(t) como está expresada en (25) cumpla las condiciones inicial y de frontera:
i) En efecto, en t = t0 se cumple que r(t0 ) = r0 .
ii) Para la condición final en t = T , dado que (dr/dt) = 0, ésto equivale a decir
que r(T ) es libre de tomar cualquiera de sus valores posibles y, por consiguiente,
de la ecuación (24), v(T ) también es libre de tomar valores. En este caso, las
condiciones de frontera se satisfacen para la variable v(t) cuando t0 ≤ t ≤ T .
3
Ver Baaquie 2004, pag. 122
16
Antes de proceder a calcular el precio del bono cupón cero P (t0 , T ), la
ecuación (23) se reexpresará en términos del cambio de variable dado en (24),
ası́:
T
T
1
2
S=− 2
v (t)dt − (r(t) + b)dt,
(30)
2σ
t0
t0
si se sustituye (29) en (30) se obtiene:
T
1
S =− 2
2σ
T
2
v (t)dt − r0 B(t, T ) −
t0
B(t, T )v(t)dt − b(T − t0 ),
t0
y reagrupando términos se llega a:
1
S =− 2
2σ
T
2
v (t) + 2σ 2 B(t, T )v(t) dt − r0 B(t0 , T ) − b(T − t0 ).
(31)
t0
Ahora bien, debido al cambio que se hizo en (23): a(b − r) → ar, entonces
se tiene que hacer el cambio r → r − b, con lo cual la expresión (31) queda
finalmente como:
S=−
1
2σ 2
T
2
v (t) + 2σ 2 B(t, T )v(t) dt − (r0 − b)B(t0 , T ) − b(T − t0 ). (32)
t0
Ahora se calcula el precio del bono cupón cero para lo cual se sustituye (32) en
(21):
1
P (t0 , T ) =
Z
=
−
1
2σ 2
e
T
[v 2 (t)+2σ2 B(t,T )v(t)]dt−(r0 −b)B(t0,T )−b(T −t0)
t0
Dr
1 −(r0 −b)B(t0 ,T )−b(T −t0)
e
Z
−
e
1
2σ 2
T
(33)
[v 2(t)+2σ2 B(t,T )v(t)]dt
t0
Dr.
Si se define K = e−(r0 −b)B(t0 ,T )−b(T −t0) , entonces (33) queda como
K
P (t0 , T ) =
Z
=
K
Z
K
=
Z
− 2σ12
e
− 2σ12
e
σ2
2
e
T
t0
T
{[v 2 (t)+2σ2 B(t,T )v(t)+σ4 B2 (t,T )]−σ4 B2 (t,T )}dt
t0
Dr
T 2
[v(t)+σ2 B(t,T )] −σ4 B2 (t,T ) dt
t0
Dr
B 2 (t,T ) −
e
1
2σ 2
T
t0
[v(t)+σ2 B(t,T )]2 dt
Dr.
(33 − a)
17
Si ahora se hace la consideración v(t) → v(t) + σ 2 B(t, T ), ya que la métrica
es invariante ante la traslación, entonces la expresión (33−a) se puede escribir
como:
T 2
T 2
σ2
B (t,T )dt − 12
v (t)dt
2
2σ
K
t0
P (t0 , T ) = e t0
e
Dr
Z
T 2
T 2
σ2
σ2
B (t,T )dt B (t,T )dt
2
2
(34)
K
K
eSV Dr = e t0
Z
= e t0
Z
Z
T
2
2
σ
−(r0 −b)B(t0,T )−b(T −t0 )
=e
A continuación, se calcula la integral
T
t0
B (t,T )dt
2
e
t0
.
B 2 (t, T )dt, usando la definición de
B 2 (t, T ) establecida en la expresión (27):
2
T
T 1 − e−a(T −t0 )
2
B (t, T )dt =
dt
a
t0
t0
1
= 2
a
1
= 2
a
T 1 − 2e−a(T −t) + e−2a(T −t) dt
t0
T − t0 −
(35)
3
1 −2a(T −t0)
2
.
+ e−a(T −t0 ) −
e
2a a
2a
Si se definen: θ = T −t0 y B(θ) = (1 − e−aθ )/a, es posible reescribir la expresión
(35) como:
T
3
1
1 −2aθ
2 −aθ
2
B (t, T )dt = 2 θ −
− e
+ e
a
2a a
2a
t0
2
1
1
1
1
1
= 2 θ−
−
+ e−aθ + e−aθ − e−2aθ
(36)
a
2a 2a a
a
2a
1
1
1
2
1 − e−aθ −
1 − e−aθ
= 2 θ−
a
a
2a
a
1 = 2 θ − B(θ) − B 2 (θ) .
a
2
Con el resultado anterior sustituido en la expresión (34) es posible calcular el
precio del bono cupón cero, primero se calcula:
P (t0 , T ) = e−(r0 −b)B(θ)−bθ e
σ2
σ2 1
2 a2
σ2
(θ−B(θ)− a2 B2 (θ))
σ2
2
= er0 B(θ) e( 2a2 −b)θ−( 2a2 −b)B(θ)− 4a B (θ)
2
σ
σ2 2
r0 B(θ)
=e
exp
− b (θ − B(θ)) −
B (θ) .
2a2
4a
(37)
18
Con la expresión anterior es posible expresar el valor del bono cupón cero mediante la expresión:
P (t0 , T ) = A(θ)e−B(θ)r0 ,
(38)
donde:
A(θ) = exp
σ2
σ2 2
−
b
(θ
−
B(θ))
−
(θ)
.
B
2a2
4a
(39)
Como puede apreciarse las expresiones (37), (38) y (39) coinciden perfectamente
con las obtenidas por Vasicek en su artı́culo original, ası́como con los libros de
texto clásicos.4 Por último, para el cálculo de la tasa forward se sigue que:
∂
ln P (t0 , T )
∂T 2
∂
σ
σ2 2
=−
−
b
(θ
−
B(θ))
−
(θ)
−B(θ)r0 +
B
∂T
2a2
4a
2
2
σ
σ
= e−a(T −t0 ) r0 + 2 − b −
−b
2a
2a2
σ2 − 2 e−a(T −t0 ) − e−2a(T −t0 )
2a 2
σ2
σ
σ 2 −aθ
−aθ
r0 + 2 − b −
−
b
+
− e−2aθ
=e
e
2
2
2a
2a
2a
2 σ
= e−aθ (r0 − b) + b − 2 1 − 2e−aθ + e−2aθ
2a
2
σ2 −aθ
= r0 + (b − r0 ) − e
(b − r0 ) − 2 1 − e−aθ
2a
2 2
σ
= r0 + 1 − e−aθ (b − r0 ) − 2 1 − e−aθ .
2a
f(t0 , T ) = −
(40)
Este último resultado coincide con el obtenido por Vasicek, con lo cual se demuestra que el empleo de la integral de trayectoria y los conceptos fı́sicos asociados como el Hamiltoniano, el Lagrangiano y la acción pueden ser empleados
para resolver problemas financieros.
4. Conclusiones
Como puede verse a lo largo de este trabajo, el empleo de la integral de trayectoria de Feynman constituye una herramienta poderosa para resolución de problemas complejos en el campo de las finanzas. En este ejercicio se utilizó un
método alternativo para valuar un bono cupón cero cuya tasa corta se comporta
de acuerdo con modelo de Vasicek en tiempo contı́nuo.
Se prevee que este sea el primero de una serie de trabajos relacionados con
uso de la integral de trayectoria de Feynman para otros modelos de tasa corta
disponibles en la literatura financiera. Una gran ventaja que tiene el uso de
4
Véase Venegas (2006).
19
la integral de trayectoria de Feynman es que una vez planteado el problema
la integral puede calcularse tanto por métodos analı́ticos como por métodos
numéricos.
Bibliografı́a
Baaquie, B. (2004). Quantum Finance. Path Integrals and Hamiltonians for
Options and Interest Rates, Editorial Cambridge University Press. 2004
Baaquie, B. (2002). “Quantum Field Theory of Forward Rates with Stochastic
Volatility”. Physical Review E, 65 (2002) 056122
Dash, J. W. (1988). Path Integrals and Options-I. Quantitative Analysis/ Financial Strategies Group, Merrill Lynch Capital Markets, World Financial
Center, NY, NY 10281. 1988.
Feynman, R. P. and A. R. Hibbs (1965). Quantum Mechanics and Path
Integrals. McGraw-Hill (1965)
Kleinert, H. (2006). Path Integrals, in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer
Physics and Financial Markets. 4th. Edition. 2006.
Landau, L. y E. Lifshitz (1982). Curso Abreviado de Fı́sica Teórica, Libro 2,
Editorial Mir Moscú 1982.
Ortiz, F. (2007). Tesis doctoral “Finanzas cuánticas”, Doctorado en Ciencias
Financieras, Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México.
Otto, M. (1998). “Using path integrals to price interest rate derivatives”,
http://xxx.lanl.gov /cond-mat/9812318.
Vasicek, O. (1977).“An equilibrium characterization of the term structure”.
Journal of Financial Economics, 5:177.
Venegas-Martı́nez, F. (2006). Riesgos Financieros y Económicos, 1a. Ed.
Thomson Internacional (2006).
Modelo de cálculo de capital económico por
riesgo de crédito para portafolios de
créditos a personas fı́sicas
Adán Dı́az-Hernández1
José C. Ramı́rez-Sánchez2
Recibido 26 de noviembre 2007, Aceptado 4 de enero 2008
Resumen
Este artı́culo discute una nueva metodologı́a para estimar el capital económico
por riesgo de crédito para un portafolio de créditos al menudeo -o de personas
fı́sicas-, utilizando los conceptos generales de cópula y medidas de dependencia,
ası́ como algunos de los resultados centrales de Teorı́a de Valores Extremos
(TVE). La superioridad del modelo propuesto sobre las técnicas tradicionales
de estimación se demuestra al aplicar cópulas Elı́pticas Generalizadas y cópulas
Agrupadas del tipo t de Student para modelar la estructura de dependencia de
los parámetros de riesgo P D, EAD y LGD. Además, se utiliza el método POT
para analizar el comportamiento de las pérdidas extremas del portafolio.
Abstract
This paper discusses a new methodology to estimate the economic capital by
credit risk for a retail portfolio based on the general concepts of copula and
dependence measures as well as some core results of the Extreme Value Theory
(EVT). The superiority of the proposed approach over the traditional estimation
techniques is demonstrated in the application of Elliptical Generalized copulas
and Grouped copulas of the t Student type to model the dependence structure
of the risk parameters P D, EAD and LGD. Furthermore, the POT method is
used to analyze the extreme losses behavior.
Clasificación JEL: C14, C15, C16 y G32
Palabras clave: Capital Económico, Riesgo de Crédito, Cópulas, Valores Extremos
1. Introduction
El capital económico (CE) es el capital en riesgo que los accionistas invierten
para limitar, con cierto nivel estadı́stico de confianza, la probabilidad de incumplimiento de una posición en un horizonte de tiempo dado. A diferencia
del capital contable o del regulatorio, el CE provee una estimación del riesgo
basada en medidas objetivas, transparentes (o expresadas en unidades monetarias especı́ficas) y comprensivas (al incluir a diferentes clases de riesgos) que
permiten utilizar más eficientemente el capital.
1
Alumno del doctorado en Ciencias Financieras, ITESM-CCM.
2
Director Académico de la División de Negocios, ITESM-CCM, josecarlos.ramirez@itesm
.mx
Modelo de cálculo de capital económico
21
En la literatura existe una amplia gama de trabajos que permiten modelar
el riesgo de crédito de portafolios de préstamos comerciales -empresas o personas
morales- de acuerdo con los lineamientos propuestos por CreditMetrics (CM),
KMV PortfolioManager (KMV), CreditRisk+, o CreditPortfolioView (para una
revisión de estos modelos ver Crouhy 2000 y Crosbie 2002). Pero esta no parece
ser la misma situación para el caso de los préstamos a personas fı́sicas. La escasez de trabajos en este rubro ha obligado a los practicantes ha adaptar o
modificar los modelos de préstamos comerciales para medir el riesgo de crédito
en portafolios de préstamos personales, según sean las necesidades o las disponibilidades de información de las instituciones financieras (ver De Andrade 2004
y Perli 2004). De hecho, gran parte de las reglas que en materia de riesgo de
crédito establece Basilea II en su enfoque más avanzado de calificaciones internas (IRB), tienen sus bases sobre ciertos resultados asintóticos para portafolios
grandes bajo versiones bastante simplificadas de modelos del tipo KMV/CM.
El objetivo principal de este documento es proponer e implementar una
metodologı́a para el cálculo del CE de un portafolio de créditos al menudeo -o
de personas fı́sicas-, utilizando como herramientas los conceptos generales de
cópula y medidas de dependencia, ası́ como algunos de los resultados centrales
de Teorı́a de Valores Extremos (TVE). La metodologı́a propuesta considera, al
igual que los modelos tradicionales y el enfoque regulatorio, que las pérdidas del
portafolio atribuidas al riesgo de crédito son determinadas por los parámetros de
riesgo de probabilidad de incumplimiento (P D), exposición al incumplimiento
(EAD) y pérdida dado el incumplimiento (LGD). Sin embargo, a diferencia de
la práctica habitual, el presente trabajo de investigación supone que la relación
de dependencia entre los parámetros de riesgo es establecida mediante cópulas
multivariadas. En concreto la metodologı́a busca: 1) evaluar el impacto que
tienen las reglas de capitalización propuestas en el enfoque más avanzado de
IRB sobre los requerimientos de capital del portafolio; 2) medir la efectividad de
un grupo alternativo de cópulas (las Elı́pticas simétricas, las Elı́pticas Generalizadas, ası́ como las de Mezcla de Normales Agrupadas) frente a otro grupo que
ha recibido mayor uso y atención en la literatura como modelos de estructuras
de dependencia (la cópula Gaussiana y la de Independencia); y 3) hacer comparaciones con otras metodologı́as de cálculo de CE consagradas en la práctica.
Para analizar adecuadamente el comportamiento de las pérdidas extremas del
portafolio, es decir, el área de la cola de la distribución de pérdidas simuladas,
se emplea uno de los métodos de la TVE, denominado Peaks Over Threshold
(POT), en la estimación del Valor en Riesgo (V aRq ), el Déficit Esperado (ESq )
y, posteriormente, el CE del portafolio.
El resto del documento está organizado como sigue. En sección 2 se aborda
el concepto de cópula, medidas de dependencia, ası́ como las familias de cópulas
especı́ficas que se aplicarán para modelar la estructura de dependencia de los
parámetros de riesgo. La estimación de los mismos, ası́ como la composición del
portafolio de créditos se presentan en la sección 3. En la sección 4 se presentan
los resultados obtenidos de los ajustes de las cópulas utilizadas: Gaussiana, t
de Student simétrica, t de Student Generalizada y t de Student Agrupada, las
dos últimas, como posibles alternativas a las dos primeras, se implementa un
análisis de bondad de ajuste para determinar estadı́sticamente al mejor de los
modelos. En la sección 5, se realiza un ejercicio para comparar la robustez
de los resultados de la metodologı́a aquı́ propuesta contra algunos modelos
22
alternativos, tales como el de incumplimiento de un sólo factor tipo KMV/CM,
un modelo basado en matrices de transición y el enfoque más avanzado de IRB
propuesto por Basilea II. Finalmente, en la sección 6 se exponen las conclusiones
relativas a los resultados obtenidos. Los algoritmos utilizados en la estimación
de los modelos de cópulas son descritos en un Apéndice al final del documento.
2. Cópulas Elı́pticas Generalizadas y cópulas Agrupadas
La función de distribución (f.d.) conjunta de un vector aleatorio de factores de
riesgo contiene tanto la descripción del comportamiento marginal de los componentes individuales como una descripción de su estructura de dependencia.
El concepto de cópula3 permite describir dicha estructura de dependencia sin
especificar la forma de las f.d. marginales. El Teorema Sklar (1959) que indica
que cualquier distribución multivariada se puede descomponer en una cópula y
sus marginales; si las distribuciones marginales son continuas la cópula es única.
De acuerdo con este resultado, dada una f.d. F con marginales F1 , . . . , Fd continuas, existe una única cópula C tal que
F (x1 , . . . , xd ) = C(F1 (x1 ), . . . , Fd(xd )),
(1)
¯ ≡ [−∞, ∞]. La expresión (1) muestra explı́citamente
para todo x1 , . . . , xd ∈ cómo se pueden construir distribuciones conjuntas F combinando distribuciones
marginales con cópulas C. Dado un vector aleatorio X = (X1 , . . . , Xd ) que
tiene f.d. FX con distribuciones marginales continuas F1 , . . . , Fd , se dice que
la cópula C asociada a X (o a FX ) es la f.d. del vector aleatorio (F1 (x1 ), . . . ,
Fd (xd ))4 .
Uno de los ejemplos de cópulas más simples es la cópula de cópula de
Independencia, que está dada por
Π(u1 , . . . , ud) =
d
ui .
(2)
i=1
Entre las cópulas más ampliamente utilizadas en riesgos, y en particular en
riesgo de crédito, se encuentra la cópula Gaussiana, la cual se define como la
cópula asociada a algún vector aleatorio gaussiano Y ≺ Nd (μ, Σ) y está dada
por
(3)
CPGa(u1 , . . . , ud) = ΦP (Φ−1 (u1 ), . . . , Φ−1 (ud ))
−1
−1
donde
P = Δ ΣΔ es la matriz de correlaciones, con Δ = diag( V ar(Y1 ),
. . . , V ar(Yd )). Otra cópula bastante popular en finanzas es la t de Student
(simétrica), que se define como la cópula asociada al vector aleatorio X ≺
td (α, 0, P ) con distribución t de Student multivariada. De acuerdo con esta
definición, la cópula t de Student tiene la forma
t
−1
Cα,P
(u1 , . . . , ud) = tα,P (t−1
α (u1 ), . . . , tα (ud ))
(4)
3
Se define a una cópula d-dimensional como una f.d. sobre [0,1]d con distribuciones
marginales uniformes estándar.
4
Más precisamente, se puede verificar fácilmente que en este caso la cópula asociada a X
está dada por C(u1,...,ud )=F (F1−1 (u1 ),...,Fd−1 (ud )).
23
Las dos cópulas anteriores pertenecen a una familia de cópulas más generales
llamadas cópulas Elı́pticas Generalizadas (incluidas las simétricas), cuya fácil
manipulación (y estimación) para dimensiones grandes la hacen una alternativa más atractiva frente a otras familias multivariadas. Se dice que un vector
aleatorio Y tiene distribución Elı́ptica Generalizada si se le puede representar
como
Y d = μ + RAU k ,
(5)
donde U k es un vector aleatorio uniformemente distribuido sobre la esfera unitaria S k−1 = {x ∈ k |x x = 1}, R es una v.a., μ ∈ d , y A ∈ Md×k ().
Esencialmente, la estructura de dependencia entre R y U k determinan la f.d.
de Y. En el caso particular en que R ≥ 0es una v.a. independiente de U k , se
tiene que Y tiene distribución Elı́ptica (Simétrica)5 .
Frahm et al. 2003 propone modelar la asimetrı́a mediante una distribución
condicional en escala para R, es decir, considera FR|U (d) =u (r) = P {γ(u)R∗ ≤
r}, donde la función de escala γ está dada por
γ(u) = γ0 +
d
i=1
ηi θi
d
Au
Au
αi δ
+
βi δ
,
, νi+
, νi−
||Au||
||Au||
(6)
i=1
con γ0 > 0, α1 , . . . , αd , β1 , . . . , βd ≥ 0, η1, . . . , ηd, θ1 , . . . , θd ≥ 0. Además, R∗ es
una v.a. positiva independiente de U d , δ(u, ν) = 12 − 12 signo(u, ν
)
F B 1 d−1 (u, ν
2) definida para u, ν ∈ S d−1 denotando por F B(α,β) a la f.d.
2,
2
Beta(α, β). Por otro lado, los vectores de referencia ν1+ , . . . , νd+ son los vectores
propios de Σ y ν1−, . . . , νd− sus conjugados negativos, los cuáles existen ya que
se supone que Σ = AA es positiva definida.
2
Cuando se define FR|U (d) =u (r) = F(d,γ(u)) rd , donde F(m,n) es la f.d. F
de Fisher con grados de libertad (m, n), a la distribución resultante para Y se
conoce como t de Student Generalizada y su densidad está dada por
Γ((w(x) + 2)/2)
f(x) =
Γ(w(x)/2)(πw(x))d/2 |Σ|1/2
(x − μ) Σ−1 (x − μ)
1+
w(x)
−(w(x)+d)/2
,
(7)
y x = μ, donde w(x) = γ(x − μ). A la cópula asociada al vector aleatorio Y se
llama cópula Elı́ptica Generalizada.
Existe un grupo de cópulas llamadas cópulas de Mezcla de Normal Agrupadas. Uno de los ejemplos más comunes es la cópula t de Student Agrupada,
definida por Demarta et al. 2004, en donde se construye una cópula para un
vector aleatorio X de manera que ciertos subvectores de X tengan cópulas t de
Student pero con diferentes niveles de dependencia en la cola entre sı́. Sean las
v.a. Z ∼ Nd (0, P ) y U ∼ U (0, 1) independientes entre sı́. Considérese una partición del conjunto {1, . . . , d} en m subconjuntos de tamaos {s1 , . . . , sm } y para
5
Las propiedades y resultados más importantes de las distribuciones Elı́pticas Generalizadas se pueden revisar en Frahm et al. 2003, mientras que para el caso simétrico se
recomienda Cambanis et al. 1981.
24
k = 1, . . . , m sea νk el parámetro de grados de libertad asociado al grupo k. Denotando por Gα a la f.d. univariada Gamma Inversa GI( α2 , α2 ), sea Wk = G−1
αk
(esto implica que W1 , . . . , Wm son comonóticos o perfectamente dependientes6
). Entonces la cópula t de Student Agrupada está dada por la f.d. del vector
aleatorio
(tα1 (X1 ), . . . , tα1 (Xs1 ), tα2 (Xs1 +1 ), . . . , tα2 (Xs1 +s2 ), . . . , tαm (Xd )) ,
(8)
donde
X=
W1 Z1 , . . . , W1 Zs1 , W2 Zs1 +1 , . . . , W2 Zs1 +s2 , . . . , Wm Zd
es un vector aleatorio con distribución t de Student Agrupada.
Asociadas intrı́nsecamente al concepto de cópula, se encuentran las medidas de dependencia. La más conocida y popular es correlación lineal de
Pearson que, aunque juega un papel central en la teorı́a financiera, funciona
bien solamente en el contexto Normal multivariado o más generalmente, para
distribuciones Elı́pticas simétricas (ver Embrechts 2002). En contraste con la
correlación lineal, las llamadas correlaciones de rango resultan ser funciones de
la cópula (suponiendo marginales continuas), y por tanto, pueden ser utilizadas
en su parametrización sin importar la familia de cópulas de que se trate. Entre
las más utilizadas están la correlación de tau de Kendall y la rho de Spearman.
Para dos v.a. X1 y X2 se definen la tau de Kendall y la rho de Spearman,
respectivamente, como
ρτ (X1 , X2 ) = E signo((X1 − X̃1 )(X2 − X̃2 ))
(9)
y
ρS (X1 , X2 ) = ρ(F1 (X1 ), F2 (X2 )),
donde (X̃1 , X̃2 ) es una copia independiente de (X1 , X2 ) cuyas marginales correspondientes son F1 y F2 . Aquı́ ρ(X1 , X2 ) denota la correlación lineal de Pearson
de X1 y X2 .
Otras medidas de dependencia para parejas de v.a. que también dependen
solamente de la cópula de las v.a. X1 y X2 con marginales continuas, son los
coeficientes de dependencia de la cola. Estos coeficientes proporcionan medidas de dependencia extrema, es decir, permiten cuantificar la magnitud de la
dependencia en las colas de una distribución divariada. Se define el coeficiente
de dependencia de X1 y X2 de la cola superior como
(10)
λu ≡ λu (X1 , X2 ) = lim P X2 > F2−1 (q)|X1 > F1−1 (q) ,
q→1−
siempre y cuando el lı́mite λu ∈ [0, 1] exista. Análogamente, el coeficiente de
dependencia de la cola inferior está dado por
λ1 ≡ λ1 (X1 , X2 ) = lim P X2 ≤ F2−1 (q)|X1 ≤ F1−1 (q) .
q→1+
6
Es decir, su cópula asociada es la f.d. del vector aleatorio (U,...,U ), que se denota como
cópula de comonoticidad y está dada por M (u1 ,...,ud )=min{u1 ,...,ud }.
25
Existe una relación entre la tau de Kendall y la correlación lineal para vectores elı́pticamente distribuidos con marginales continuas (para una prueba se
recomienda ver Lindskog et al. 2003), la cuál establece que
ρ(X1 , X2 ) = sen
π
2
ρτ (X1 , X2 ) .
(11)
Para el caso de v.a. continuas cuya cópula asociada es una t de Student
t
Cα,P
(u1 , u2 ), con P = ρI2 , los coeficientes de dependencia están dados por
1−ρ
. Sin embargo, existe una expresión general para
λ = 2tα+1 − (α + 1) 1+ρ
los coeficientes de dependencia de la cola de vectores con f.d. Elı́ptica simétrica
(en este caso λl = λu ) cuando la v.a. R de la representación (4) es de variación
regular con ı́ndice α. Dicha expresión, obtenida por Hult and Lindskog 2001,
coincide, para x = π4 − 12 arcsinρ, con el valor de la función
π
2
λ(α, x) = xπ
2
0
cosα tdt
cosα tdt
(12)
Entre los numerosos procedimientos estadı́sticos de estimación para las distribuciones Elı́pticas, son pocos los que están diseados para trabajar sobre las cópulas
Elı́pticas independientemente de sus marginales. Kostadinov 2005 propone un
método de estimación no paramétrico, el cuál se describe resumidamente en
el Algoritmo 1 del Apéndice y que básicamente se enfoca en estimar robustamente las medidas de dependencia ρτ y λ, ası́ como el ı́ndice de la cola α. éste
mismo algoritmo se utiliza para estimar los parámetros de la cópula t de Student Agrupada. Para el caso de las cópulas Elı́pticas Generalizadas se estiman
μ y Σ utilizando estimadores propuestos por Frahm 2003.
3. Descripción del Portafolio y estimación de los parámetros
de riesgo
3.1 Descripción del Portafolio
El portafolio de créditos a utilizar para la implementación de la metodologı́a
propuesta incluye a las tres subclases de activos al menudeo que las instituciones
bancarias en México identifican: las exposiciones aseguradas por la vivienda
del acreditado (como el portafolio hipotecario), las que tienen caracterı́sticas
revolventes (como el portafolio de tarjetas de crédito) y todas las demás exposiciones (como el portafolio de créditos al consumo). Los datos utilizados para
la composición del portafolio son reales pero, como es común esperar en estas
situaciones, se ha decidido mantener en secreto el origen de la fuente de información por razones de confidencialidad. Esta limitación no afecta, sin embargo,
el alcance de los resultados ya que el método propuesto puede implementarse
en casi cualquier institución financiera sin ninguna pérdida de generalidad.
Debido a que los productos que componen el portafolio están formados
por un número grande de exposiciones, la modelación de los incumplimientos
individualmente por cuenta es poco efectiva, por lo que es conveniente segmentar cada producto en grupos de créditos homogéneos en su perfil de riesgo. El
26
portafolio ha sido segmentado mediante una técnica clasificatoria basada en
árboles de decisión llamada Detección de Interacción Automática Ji-Cuadrada
(CHAID) que permite identificar divisiones óptimas cuando las variables son
continuas, nominales e incluso categóricas (ver Biggs 1991). El procedimiento
incluye una serie de reglas que son establecidas por las trayectorias de variables
independientes a lo largo del árbol con el fin de obtener una partición de la
población en grupos significativamente diferentes en relación con alguna variable clave. Tras utilizar como variable clave al parámetro P D y como variables
independientes el producto, número de pagos vencidos, tiempo en libros, uso
de lı́nea de crédito y morosidad observada; el método CHAID arrojó una segmentación de 62 grupos (cubetas) repartidas en 10 productos. Cada producto
tiene asociada una cubeta predeterminada de créditos incumplidos, mientras
que el resto de éstas incluye alguna de las variables independientes.
Tabla 1
Composición del portafolio de créditos
Producto
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Total
Subgrupos
4
6
9
8
5
7
12
4
3
4
62
Volumen
2,077
455,902
25,465
265,835
90,373
92,361
2,206,829
9,451
20,642
7,897
3,176,832
Exposición
$ 52,369,300
$ 1,913,675,323
$ 1,343,202,349
$16,304,975,098
$1,015,491,658
$ 387,029,421
$ 33,518,889,702
$ 5,845,773,697
$ 10,976,303,005
$ 796,397,845
$ 72,154,107,399
La tabla 1 resume los resultados de la segmentación, mostrando para cada producto el número de subgrupos, el volumen en número de cuentas y la exposición
en saldo (en el producto revolvente G ésta se expresa como el lı́mite de lı́nea de
crédito).
3.2 Estimación de los parámetros de riesgo
Una vez segmentado el portafolio, es necesario estimar los parámetros de riesgo.
Para tal efecto conviene introducir, primero, la notación a utilizar. Sean i =
1, . . . , M los grupos o cubetas en los que se divide el portafolio (en nuestro caso
M = 62); t = 1, . . . , n las fechas de observación; j = 1, . . . , Nit los créditos y
(j)
(j)
eit su exposición; Yit la indicadora del incumplimiento para cada crédito j
dentro de una ventana anual a partir de la fecha de observación y, finalmente,
(j)
eadit el saldo de dicho crédito al momento de su incumplimiento.
a) Probabilidad de incumplimiento. Para calcular la probabilidad de incumplimiento P Di del grupo i se utiliza como estimador a la tasa de incumplimiento
27
observada, T Iit correspondiente a la ventana anual t (vista a partir de la fecha
de observación t) en el grupo i; esto es:
nit
TI it =
,
Nit
(13)
Nit (j)
donde nit =
es el número de incumplimientos observados en la
i=1 Yit
correspondiente ventana de observación y T I i1 , . . . , T I in las realizaciones del
parámetro de riesgo P Di para cada cubeta i = 1, . . . , M .
b) Exposición al momento del incumplimiento. Asociada al parámetro EADi
de cada grupo i se emplea la variable CCFi o factor de conversión del crédito,
definida como la proporción pérdida de la exposición inicial de los créditos al
momento del incumplimiento. Para cada ventana de observación t = 1, . . . , n
se calcula CCFi mediante el estimador insesgado
Nit
(j) (j)
j=1 eadit Yit
CCF it = N (j) (j)
it
j=1 eit Yit
(14)
c) Pérdida dado el incumplimiento. En el cálculo de LGD es primordial conocer,
primero, el comportamiento de las recuperaciones de los créditos que incumplen
exactamente en cada fecha de observación. Por eso es importante definir para
cada producto p (formado a su vez por un conjunto de cubetas) el porcentaje
que se recupera del saldo eadpt de todos los créditos incumplidos en t durante los
primeros k meses posteriores (ventana de recuperación); esto es de interés para
definir la correspondiente tasa de recuperación τpt . En caso que se consideren
los costos fijos cp en el proceso de recuperación de cada producto p, el estimador
de τpt está dado por
k
1 − cp
=
(15)
τ
pt
(1
+ r)t
τ=1
(τ)
donde Rpt es la recuperación del mes τ posterior correspondiente a los créditos
(j)
del producto p = 1, . . . , K que incumplieron en t; cik es el factor de costos y r
es la tasa de interés adecuada para descontar los flujos. Con el cálculo de τpt
se puede obtener, para cada fecha de observación t = 1, . . . , n, el estimador
pt = 1 − τpt
LGD
(16)
como una realización de LGDp o de la pérdida dado el incumplimiento para el
producto p en una ventana de recuperación de k meses. Se decidió considerar
k = 24 meses para el caso de los portafolios de Consumo y Tarjeta de Crédito,
y k = 36 meses para el de portafolio Hipotecario. Los tamaos de las ventanas
de recuperación se eligieron de manera que las estimaciones τpt se estabilizaran
a partir de k o más observaciones.
Los resultados de la consolidación de los parámetros de riesgo por producto
son mostrados en las Figura 1. En concreto, las figuras muestran las estimaciones históricas de P D (a la izquierda) y CCF (al centro) de todas las cubetas
28
que componen al portafolio y adicionalmente se muestra el histograma de las
estimaciones históricas de LGD que se tienen por producto (a la derecha). En
todos los casos se observan niveles diferenciados del parámetro P D para cada
cubeta en que se segmenta el producto, ası́ como un comportamiento de LGD
diferente para cada producto. Se presentan solamente las gráficas correspondientes a los productos A y B.
Figura 1
Estimaciones históricas de P D (izquierda), CCF (al centro)
y LGD (derecha) por producto.
De la agregación de las estimaciones históricas de los parámetros de riesgo
considerando la posición actual del portafolio, se obtienen las pérdidas históricas
(como porcentaje de saldo), con las que se estiman empı́ricamente la pérdida
esperada (P E) y el Valor en Riesgo (V aRq ) para ciertos niveles de confianza,
por ejemplo, q = .99, .995, .999, .999. Los resultados de la simulación histórica
de las pérdidas se muestran en la Tabla 2 y Figura 2.
29
Tabla 2
Estimaciones empı́ricas de P E y V aRq de las pérdidas
históricas por producto y portafolio total.
Producto
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
TO TA L
PE
8.87%
5.31%
0.34%
1.34%
7.35%
8.95%
9.56%
5.9 9%
1.71%
2.88%
3.79%
99%
10.35%
6.72%
0.89%
2.50%
11.15%
12.05%
12.92%
7.76%
2.23%
4.88%
5.21%
VaRqEmp
99 .5%
99.9%
10.37%
10.37%
6.73%
6.73%
0.90%
0.90%
2.51%
2.51%
11.15%
11.15%
12.10%
12.10%
12.93%
12.93%
7.76%
7.76%
2.23%
2.23%
4 .8 8%
4.88%
5.22%
5.22%
99.95%
10.37%
6.73%
0.90%
2.51%
11.15%
12.10%
12.93%
7.76%
2.23%
4.88%
5.22%
Figura 2
Histogramas de las pérdidas históricas por producto
y portafolio total.
De acuerdo con la Tabla 2, para niveles de confianza q cercanos a 1, el estimador
empı́rico de V aRq (columna VaRqEmp) resulta poco apropiado debido al reducido número de 60 observaciones. En contraste, las estimaciones empı́ricas
de la pérdida esperada (P E) pueden considerarse como estimaciones aceptables
(columna P E). Los histogramas de la Figura 2 muestran comportamientos en
los que no se pueden observar realizaciones de pérdidas suficientemente extremas. Para tener un buen ajuste al comportamiento distribucional marginal
30
se ajustan densidades kernel de suavización de Epanechinikov7 .
4. Implementación del modelo de cálculo de CE usando cópulas
Para modelar la estructura de dependencia, es decir, la cópula asociada del
vector aleatorio (P Di , EADi )M
que (T Ii1,CCFi1 )M
i=1 , se supone
i=1 , . . . , (T Iin ,
M
CCFin)i=1 las estimaciones conjuntas asociadas a dichos los parámetros de
riesgo son observaciones independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.).
Se considerará despreciable la posible correlación serial ocasionada por el uso
de ventanas de observación que se traslapan, no obstante el cambio mes a
mes que sufre la composición del portafolio por los créditos originados y los
liquidados. Por otro lado, se supone que LGD es una v.a independiente de los
parámetros de riesgo P D y EAD. Para la estimación de la cópula asociada al
vector aleatorio (LGDp )K
p=1 también se supone que las estimaciones conjuntas
K
(LGD p1 )p=1 , . . . , (LGDpm )K
p=1 son observaciones i.i.d. de éste.
En la agrupación de las M cubetas en sus correspondientes productos, se
considera que las correspondientes v.a. P D y CCF son dependientes entre sı́ y
entre cubetas, y que la estructura de dependencia está dada por alguna cópula.
Más precisamente, se supone que el vector aleatorio 2k−dimensional
P DEADp = (CCFi1, T Ii1 , . . . , CCFik , T Iik )
(17)
P DEAD
tiene marginales absolutamente continuas y una cópula C p
asociada,
donde {i1 , . . . , ik } ⊂ {1, . . . , M } es un conjunto de cubetas que forman alguno
de los p = 1, . . . , K productos ajenos entre sı́. Para todo el portafolio, se supone
también que el vector aleatorio K−dimensional
LGD = (LGD1 , . . . , LGDK )
(18)
posee marginales absolutamente continuas y alguna cópula asociada C LGD .
Estructuras de dependencia multidimensionales comúnmente utilizadas,
como la cópula de Independencia (2) y la cópula Gaussiana (3), son ajustadas
a los datos de los parámetros de riesgo P D y CCF como ejercicios iniciales.
Por el momento, el parámetro LGD se considera constante e igual a su media histórica. Para el ajuste Gaussiano, la matriz de correlaciones se estima
mediante el estimador usual
n
Σ̂ =
yk yk
(19)
k=1
donde yk =
Φ−1 (F̂1 (xik )), . . . , Φ−1 (F̂d (xdk )) y F̂i es la f.d. empı́rica del
vector de observaciones (xi1 , . . . , xin ) de la v.a. Xi , para cada i = 1, . . . , d.
7
Para una muestra de observaciones x1 ,...,xn el estimador de densidad kernel está dado
ˆ
por la función f(x)=
Σn
K (x−xj )
j=1 h
n
Kh (t−u)dt
donde Kh (x)=( h1 )K ( hx ), K(u)=( 34 )(1−u2 ) 1{|u|<1} es la
llamada función kernel de Epanechinikov y el parámetro
h se llama ancho de banda.
31
Para efectos de comparación, en todos los ajustes marginales el ancho de banda
será el dado por la regla de Silverman8 .
Los resultados obtenidos en cada ejercicio se muestran en las Tablas 5 y 6
abajo, mismas en las que por producto y portafolio total se estiman la P E y
el V aRq ; éste último mediante los métodos P OT , Empı́rico y el ajuste de una
distribución Beta.
Tabla 3
Estimaciones de P E y V aRq ajustando la cópula de Independencia
a P D y CCF de todo el portafolio.
Producto
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
TO TA L
PE
8.91%
5.37%
0.38%
1.36%
7.36%
8.88%
9.73%
6.00%
1.73%
2.87%
3.83%
99%
10.61%
6.58%
1.05%
1.83%
11.48%
10.76%
11.72%
7.65%
2.30%
4.39%
4.27%
VaRqEmp
99 .5%
99.9%
10.79%
11.20%
6.67%
6.96%
1.15%
1.31%
1.88%
2.00%
11.87%
12.65%
10.99%
11.37%
11.93%
12.42%
7.74%
7.89%
2.35%
2.46%
4.52%
4.84%
4.33%
4.43%
99.95%
11.32%
7.01%
1.35%
2.04%
12.80%
11.61%
12.65%
7.96%
2.51%
4.93%
4.47%
Tabla 4
Estimaciones P E y V aRq ajustando una cópula Gaussiana
a P D y CCF de todo el portafolio.
VaRqEmp
Producto
PE
99%
99.5%
99.9%
99.95%
A
8.92%
10.33%
10.52%
10.85%
10.93%
B
5.36%
6.82%
6.96%
7.17%
7.21%
C
0.37%
0.94%
1.02%
1.14%
1.21%
D
1.37%
2.41%
2.51%
2.68%
2.72%
E
7.41%
12.25%
12.6 6%
13.55%
1 4.01%
F
8.94%
12.07%
12.4 1%
13.11%
13.19%
G
9.74%
13.52%
13.83%
14.55%
14.73%
H
6.00%
7.43%
7.51%
7.72%
7.74%
I
1.72%
2.19%
2.24%
2.34%
2.36%
J
2.88%
4.60%
4.69%
4 .86%
4.93%
TO TA L
3.84%
5.04%
5.17%
5.39%
5.42%
8
Para la elección del parámetro de ancho de banda de la densidad kernel se puede utilizar
la regla de Silverman, que permite determinar un ancho de banda h óptimo (para ajustar den√
1/5
sidades normales) el cuál está dado por (40 π/n) σ̂, donde n es el número de observaciones
y σ̂ la volatilidad estimada de los datos.
32
Las estimaciones de P E (columna P E), comparadas con sus estimadores
históricos, parecen ser poco sensibles a la manera en que se modela la estructura
de dependencia de los parámetros de riesgo. Sin embargo, las estimaciones
empı́ricas de V aRq (columnas VaRqEmp), en ambos ajustes, son relativamente
inferiores respecto del comportamiento histórico de las pérdidas.
Una estructura de dependencia que le asigna probabilidad positiva a los
eventos de observas conjuntas extremas es la cópula t de Student. El siguiente
ejercicio consiste en ajustar esta cópula bajo las mismas consideraciones de
LGD y densidades kernel. La matriz
de correlaciones se estima
también con
−1
la ecuación (19) tomando yk = t−1
, donde tα
α (F̂1 (xik )), . . . , tα (F̂d (xdk ))
denota la f.d. t de Student univariada cuyo parámetro de grados de libertad α
es estimado aplicando el Algoritmo 1 del Apéndice.
Tabla 5
Estimaciones de P E y V aRq ajustando una cópula t de
Student Simétrica P D y CCF de todo el portafolio.
Producto
A
B
C
B
C
B
C
B
C
B
TOTA L
PE
8.90%
5.36%
0.37%
1.36%
7.37%
8.90%
9.70%
6.00%
1.72%
2.87%
3.82%
99%
10.94%
7.19%
0.98%
2.56%
12.77%
12.62%
14.18%
7.80%
2.27%
4.79%
5.33%
VaRqEmp
99.5%
99.9%
11.12%
11.49%
7.32%
7.61%
1.08%
1 .21%
2.69%
2.84%
13.35%
14.07%
13.05%
13.66%
14.49%
15.30%
7.91%
8.13%
2.34%
2.46%
4.91%
5.08%
5.46%
5.68%
99.95%
11.73%
7.67%
1.25%
2.87%
14.42%
13.93%
15.47%
8.17%
2.48%
5.14%
5.78%
La Tabla 5 revela que el ajuste de la cópula t de Student Simétrica al
portafolio total es más adecuado que los ajustes de las cópulas de Independencia
y Gaussiana ya que las estimaciones de V aRq obtenidas son consistentes con
las estimaciones históricas.
4.1 Ajuste de cópulas Elı́pticas Simétricas y Generalizadas
al portafolio de créditos
En esta sección se modela la estructura de dependencia al interior de cada producto utilizando alguna cópula Elı́ptica Simétrica y Generalizada. ésta última
cópula se emplea para introducir y, por tanto, evaluar el efecto de asimetrı́a en
la estructura de dependencia de los parámetros de riesgo.
Aplicando el Algoritmo 2 se ajusta para cada producto p una cópula
C pPDEAD para modelar la estructura de dependencia del vector aleatorio
pPDEAD dado por la ecuación (17), al tiempo que al vector aleatorio LGD
33
se le ajusta de manera independiente una cópula C CLGD . La distribución
marginal de los parámetros de riesgo contenidos en los vectores anteriores se
modela, como se ha venido haciendo en los ejercicios anteriores, ajustando densidades kernel de suavización a las observaciones históricas de P D, EAD y
LGD.
Para cada cubeta i la pérdida (como porcentaje de su saldo) se define como
la v.a.
Li = T Ii ∗ CCFi ∗ LGDi
(20)
Entonces con las observaciones simuladas pPDEAD1 , . . . pPDEADN , p = 1,
N de los parámetros de riesgo y aplicando (20) se con 1 , . . . LGD
. . . , K y LGD
struyen, para cada cubeta i ∈ {i1 , . . . , ik } del producto p en cuestión, las
pérdidas simuladas Li1 , . . . , LiN . Para hacer la agregación de pérdidas para
cada producto (como porcentaje de su saldo) es necesario conocer la composición de un portafolio de créditos actual, es decir, el saldo actual ei de cada
cubeta i. Entonces, simplemente se pondera por el saldo de cada producto p
para obtener las pérdidas simuladas por producto, es decir,
ei
Lpj =
Lij ,
j = 1, . . . , N
(21)
j∈{i1 ,...,ik } ej
i∈{i1 ,...,ik }
son las pérdidas simuladas del producto p formado por las cubetas i ∈ {i1 , . . . ,
ik }.
La tabla 8 muestra los estimadores del ı́ndice de la cola α9 que resultan
de ajustar las cópulas Elı́pticas a cada producto y al portafolio total. Como se
puede apreciar, los comportamientos a observaciones extremas conjuntas para
los parámetros P D y CCF son bastante diferentes entre productos.
Tabla 6
Grados de libertad para (P D, CCF ) por producto y portafolio total.
(PD, CCF)
Producto
Grados de libertad
αp (Depend. Cola)
A
20.5
B
C
38.8
11.8
D
14.2
E
67.9
F
9.7
G
H
10.8
2.0
I
22.1
J
3.2
TOTAL
276.8
9
La v.a. espectral R de la representación (5) se supone de variación regular en infinito
con ı́ndice α > 0. Dicho ı́ndice mide la ocurrencia de observaciones conjuntas extremas, a
menor valor de α mayor dependencia entre las observaciones extremas conjuntas. En el caso
de la cópula t de Student coincide con los grados de libertad.
34
Los resultados de las simulaciones de las cópulas ajustadas t Simétrica y Genealizada están contenidos en las tablas 7 y 8, respectivamente. Dichas tablas
incluyen las estimaciones del V aRq por los tres métodos de estimación de altos cuantiles propuestos: P OT 10 (Columna VaRqPOT), Empı́rico (columna
VaRqEmp) y Ajuste de una distribución Beta (VaRqBeta).
Tabla 7
Estimaciones de P E y V aRq por producto ajustando una cópula t
de Student Simétrica a los parámetros de riesgo P D y CCF .
Tabla 8
Estimaciones de P E y V aRq por producto ajustando una cópula t
de Student Generalizada a los parámetros de riesgo P D y CCF .
Según los resultados obtenidos, aparentemente no hay ventaja significativa
de modelar la asimetrı́a en la estructura de dependencia con el uso de las cópulas
elı́pticas generalizadas, sin embargo, se debe utilizar un criterio estadı́stico que
permita evaluar la adecuación de los diferentes ajustes de las cópulas a los datos
observados.
4.2 Ajuste de la cópula t Agrupada al portafolio de créditos
La cópula t de Student Agrupada permite modelar la estructura de dependencia
entre grupos de v.a. que a su vez tienen estructura de dependencia dada por
alguna cópula t de Student pero cuyo comportamiento de dependencia a eventos
extremos es diferenciado entre grupos. ésta cópula se ajusta a los parámetros
de riesgo P D y CCF del portafolio total, utilizando los estimadores obtenidos
en el paso (i) del Algoritmo 2 para los parámetros de grados de libertad αp de
10
Para revisar los resultados más importantes de este método derivado de la Teorı́a de
Valores Extremos se recomienda ver Embrechts 1997.
35
cada producto p y la matriz de correlaciones P que resulta para el portafolio
total. A partir de la expresión (8) y utilizando los estimadores de los parámetros
anteriores se simulan observaciones de (pP DEAD)K
p=1 , que al ser agregados
por producto y portafolio Total se muestran en la Figura 3.
Según la Tabla 9, las estimaciones por producto de P E y V aRq mediante éste enfoque son consistentes con los ajustes de las cópulas t de Student
Simétrica y Generalizada. La estimación de V aRq del portafolio total permite
cuantificar el efecto de diversificación cuando se le compara con la suma de los
V aRq ’s de todos los productos ponderados por el saldo total (renglón inferior
Total pond rho = 1 de la tabla), ası́ como con la raı́z cuadrada de suma de sus
cuadrados (Total pond rho = 0).
Tabla 9
Estimaciones de P E y V aRq por producto y portafolio total ajustando una cópula t de Student Agrupada a los parámetros de riesgo P D y CCF .
Figura 3
Histogramas de las pérdidas simuladas por producto y portafolio total ajustando una cópula t de Student Agrupada a los parámetros P D y CCF .
Para establecer estadı́sticamente la bondad de ajuste de cada modelo de cópulas
ajustado, se emplea un estadı́stico basado en formas bilineales propuesto por
Panchenko 2005. En la Tabla 9 se presentan los valores promedio de las distan-
36
cias Q basadas en formas bilineales que se obtienen al implementar, por cada
producto y al portafolio total.
Tabla 10
Distancias Q (estadı́stica de prueba) para cada tipo de cópulas ajustado.
Los valores de la estadı́stica de prueba Q muestran que la cópula t de
Student Agrupada es, de entre las cópulas utilizadas, la que presenta un mejor
ajuste a los datos (a la cópula empı́rica de los parámetros de riesgo). No
obstante que el reducido número de observaciones históricas de los parámetros
de riesgo no permite establecer la significancia de la prueba, la Tabla 10 indica
que el ajuste de la cópula t de Student Agrupada es ligeramente superior a los
ajustes de las cópulas t de Student Simétrica y Generalizada, en tanto que los
supuestos de independencia y gaussiano no son objetivos con lo observado en
los datos.
Con fundamento en el criterio anterior, se decide modelar la estructura
de dependencia de los parámetros de riesgo del portafolio P D y CCF con la
cópula t de Student Agrupada. Por otro lado, la estructura de dependencia
del parámetro LGD entre productos del portafolio se modela con una cópula
t de Student simétrica. Con el fin de estresar las distribuciones marginales del
modelo, todas las densidades kernel se ajustan con el doble del ancho de banda
empleado en los ejercicios anteriores. Los resultados obtenidos se presentan
en las Tablas 11 y 12, donde esta última contiene además el cálculo de la
medida de riesgo Déficit Esperado (ESq ), también estimada por los tres métodos
implementados para V aRq .
Tabla 11
Estimaciones de P E y V aRq ajustando una cópula t de Student
Agrupada a los parámetros P D y CCF , y una cópula t de Student a la LGD.
37
Tabla 12
Estimaciones de ESq ajustando una cópula t de Student Agrupada
a los parámetros P D y CCF , y una cópula t de Student a la LGD.
Los estimaciones obtenidas por el método P OT son bastante consistentes con
los estimadores empı́ricos, al tiempo que permiten obtener estimaciones más
confiables para niveles de q bastante cercanos a 1, esto debido a su base sobre
resultados asintóticos de la TVE (ver Embrechts et al. 1997 y Dı́az 2003). En la
Figura 4 se muestra el desempeo de los estimadores de V aRq y ESq por los tres
métodos P OT , Empı́rico y el ajuste de una Beta. Se presentan los resultados
para el caso del portafolio total
Figura 4
Estimaciones de V aRq y ESq (métodos P OT , Empı́rico y Beta)
Portafolio Total.
La primera de las subgráficas (de izquierda a derecha y de arriba a abajo)
contiene el histograma de las pérdidas simuladas y la parte de la cola a la que
se ajusta una DP G, mientras que en la segunda aparece su ajuste con la distribución empı́rica. En la tercera se presentan el ajuste entre la Distribución
de Excesos Fu y la empı́rica de la cola de la distribución de pérdidas. Final-
38
mente, en la cuarta se subgráfica se presenta el comportamiento de los diferentes
estimadores de las medidas de riesgo V aRq y ESq , para q ∈ (.99, 1).
Además de la cópula t de Student Agrupada, existen otras cópulas relacionadas a la cópula t de Student como es el caso de la cópula t de Valores
Extremos y la cópula t de Cola Inferior, sin embargo, su manipulación y estimación para dimensiones grandes es bastante complicada (ver Demarta et al.
2004).
5. Estimaciones de CE bajo modelos tradicionales y el enfoque IRB
Con el fin de comparar el modelo propuesto con otros enfoques, se implementan
un modelo de incumplimiento de un sólo factor, un modelo basado en matrices
de transición y el cálculo del requerimiento de capital regulatorio según las
reglas de Basilea II (ver BCBS 2004) en su enfoque avanzado de calificaciones
internas (IRB).
El modelo de un factor tipo KM/CM ha sido ampliamente utilizado para
la estimación de capital económico en portafolios de créditos revolventes y de
consumo (ver RMA 2003). Sus parámetros importantes, la correlación de activos (AV C) y la correlación entre incumplimientos (LC) se calibran con información histórica de las tasas de incumplimiento. Concretamente, el CEi (como
porcentaje del saldo) de la cubeta i se estima como
√
−1
Φ (P Di ) + 1 − AV Ci Φ−1 (q)
√
Ki = LGDi · CCFi · Φ
,
(22)
1 − AV Ci
donde q es el nivel de confianza y P Di se estima como el valor promedio de las
correspondientes tasas de incumplimiento observadas.
Con las mismas bases teóricas que el modelo de un factor del tipo KM V
/CM , el enfoque avanzado de calificaciones internas (IRB) de Basilea II, utiliza
resultados asintóticos sobre los cuantiles de la función de pérdidas del portafolio cuando el número de exposiciones es suficientemente grande (ver Frey et al.
2003). Más precisamente, este enfoque regulatorio propone estimar el requerimiento de capital RCi , para cada cubeta i de créditos homogéneos en perfil de
riesgo, como
−1
√
Φ (P Di ) + ρΦ−1 (.999)
√
RCi = LGDi · CCFi · Φ
1−ρ
donde el nivel de confianza se fija en q = .999 y la correlación de activos ρ está
preestablecida según el tipo de portafolio al que pertenezca la cubeta
para
(0.04
1−e−35P Di
1−e−35P Di
+
.16
tarjeta de crédito, 0.15 para hipotecario y .03
1−e−35
1−e−35
para el portafolio de consumo).
En ambos enfoques los parámetros CCF y LGD se consideran constates,
por lo que para fines de la aplicación serán iguales a su valor promedio histórico.
En el siguiente cuadro resumen (Tabla 13) se muestran los resultados de
CE y capital regulatorio obtenidos bajo el modelo de un factor y las reglas
de IRB de Basilea II. Se agregan también las estimaciones de V aRq por el
método P OT que se obtuvieron en el ajuste de la cópula t de Student Agrupada,
ası́ como las que resultan de ajustar densidades kernel que dan más peso a
39
observaciones recientes de los parámetros de riesgo mediante el uso de un factor
de decaimiento, por ejemplo, λ = .97. Pensando en niveles de confianza q
realistas, se consideran 99.5% y 99.9% (si por ejemplo, la institución aspira
la calificación mxAAA, que en escala internacional corresponde a BBB, que
indica una probabilidad de incumplimiento del 0.5%, el nivel de confianza a
considerar es q = 99.5%).
Tabla 13
Estimaciones de CE por el modelo de un factor KM V /CM , el
capital regulatorio bajo el enfoque IRB de Basilea II y el CE del modelo
Cópula t Student grupada.
En la mayorı́a de los casos el modelo de un factor indica un CE menor que el
requerimiento de capital regulatorio bajo Basilea II, lo cual se debe en esencia
a que, no obstante que la construcción en ambos enfoques es casi la misma,
la correlación de activos que el primero utiliza es calculada con información
histórica, mientras que en el enfoque IRB las correlaciones de activos están
predeterminadas y el nivel de confianza que usa es del .999. Por su parte, el
modelo propuesto basado en la cópula t de Student Agrupada refleja niveles de
CE superiores al capital regulatorio y al estimado con el modelo de un factor
tipo KM V /CM . Una ventaja del modelo propuesto es que permite modelar
la dependencia existente entre los factores de riesgo y entre todos los grupos
de créditos y productos que forman al portafolio; en consecuencia este modelo
proporciona un efecto de diversificación del portafolio que no es posible apreciar
en el modelo de un factor tipo KM V /CM ni en las reglas del enfoque más
avanzado de IRB propuestas en Basilea II.
Finalmente, en la Tabla 13 se presentan los resultados obtenidos de implementar un modelo basado en matrices de transición de pagos vencidos. El
supuesto de que el proceso de migración de pagos vencidos (incluido el estado
absorbente de incumplimiento) sigue una cadena de Markov, en la práctica no
se satisface (ver Lando et al. 2002), siendo éste una de las grandes deficiencias
de este enfoque. Sin embargo, igual que en los dos últimos modelos presentados
en esta sección, ni la estructura de dependencia de los parámetros de riesgo ni
la dependencia entre incumplimientos son considerados bajo esta metodologı́a
que, no obstante, es ampliamente utilizada en la práctica.
40
Tabla 14
Comparación del modelo propuesto con un enfoque de
matrices de transición.
Producto
A
B
C
D
E
F
G
H, I, J
Matrices Transición
PE
VaRqEmp 99.5%
9.40%
32.74%
4.11%
17.34%
0.36%
5.58%
0.91%
7.90%
6.21%
30.00%
6.57%
21.96%
8.23%
68.77%
3.04%
12.94%
Cópula t agrupada
PE
VaRqEmp 99.95%
9.01%
14.79%
5.48%
10.20%
0.43%
2.29%
1.41%
3.52%
7.61%
19.00%
9.02%
16.66%
9.83%
16.09%
3.20%
4.36%
Como la información disponible para su implementación contiene agregado
al portafolio hipotecario, el número de productos en que se divide al portafolio
total se reduce. Las estimaciones de PE difieren considerablemente en algunos
productos, esto se debe muy probablemente a que el supuesto de transiciones
no ocurre de manera Markoviana. Además, el CE estimado por el modelo de
matrices de transición es muy superior al que se estima con la metodologı́a de
cópulas propuesta, lo cual se debe principalmente al hecho de que no es muy
realista suponer que cada suma de exposición total por pagos vencidos es una
v.a. Bernoulli con probabilidad de éxito la probabilidad de incumplimiento
estimada.
6. Conclusiones
La metodologı́a de cálculo del CE por riesgo de crédito propuesta en este trabajo
de investigación muestra las ventajas de modelar la estructura de dependencia
de los parámetros de riesgo mediante el uso de cópulas Elı́pticas Generalizadas
y de Mezclas de Normales Agrupadas, para el caso concreto de familias del tipo
t de Student. Este tipo de cópulas arrojó mejores resultados en la modelación
del comportamiento de las pérdidas extremas del portafolio con respecto a las
estructuras de dependencia comúnmente utilizadas en finanzas, como son la
cópula Gaussiana y la cópula de Independencia. El ejercicio de bondad de ajuste
reveló que el mejor ajuste lo proporciona la cópula t de Student Agrupada, al
tiempo que no se encontraron diferencias significativas entre los ajustes de la
cópula t de Student Simétrica y la cópula t de Student Generalizada en cada
producto, no obstante que ésta última sı́ modela la asimetrı́a en la estructura
de dependencia. Una de las principales razones por las que se utiliza la cópula
t de Student Agrupada obedece a que permite modelar la dependencia entre
productos con diferentes ı́ndices de dependencia extrema, lo que hace posible la
agregación de las pérdidas del portafolio total, resaltando el beneficio del efecto
de diversificación.
Al comparar la metodologı́a propuesta con otros modelos, se observó que el
modelo de incumplimiento de un sólo factor tiende a subestimar el CE, mientras
41
que el enfoque de matrices de transición de pagos vencidos tiende a sobreestimarlo. Para la mayorı́a de los productos, el modelo de un sólo factor arroja un
CE menor que el requerimiento de capital regulatorio bajo Basilea II, lo cual se
debe al hecho de que la correlación de activos que el primero utiliza es calculada
con información histórica, mientras que en el enfoque IRB las correlaciones de
activos están predeterminadas, ası́ como su nivel de confianza (99.9%). Las estimaciones de CE en el modelo propuesto parecen ser, en general, superiores al
requerimiento regulatorio que establecen las reglas de capitalización del enfoque
más avanzado de IRB propuestas en Basilea II. Estos resultados obtenidos ponen en duda la aplicabilidad de tales reglas en el mercado mexicano, por lo
que el capital regulatorio bajo Basilea II puede ser insuficiente para cubrir el
capital en riesgo que enfrentan las instituciones financieras que otorgan créditos
al menudeo. Una ventaja de la metodologı́a expuesta, es su gran flexibilidad
para modelar no sólo la dependencia existente entre los factores de riesgo sino,
también, entre todos los grupos de créditos y productos que forman al portafolio; lo que hace posible que se muestren las bondades de la diversificación del
portafolio que no es posible apreciar en el modelo de un factor tipo KM V /CM
ni en las reglas del enfoque más avanzado de IRB propuestas en Basilea II.
Apéndice
Denótense las realizaciones de n copias independientes del vector aleatorio X
(el conjunto de los datos) por
⎛
x11
⎜
⎜x
{(x1 , . . . , xdt ) }nt=1 ≡ ⎜ .21
⎝ ..
xd1
x12
..
.
...
⎞
. . . x1n
.. ⎟
. ⎟
= [ x.1
.. ⎟
..
.
. ⎠
. . . xdn
x.2
. . . x.n ]
Algoritmo 1
(i) Determinar las correlaciones tau de Kendall de cada pareja (Xi , Xj ) medi −1
n
(n)
ante el estimador ρ̂τ (Xi , Xj ) =
k>l sign[(xik − xil )(xjk − xjl )];
2
(ii) Usar la ecuación (11) para calcular ρ̂ij y estimar ası́ la matriz de correlación
ρij ;
d
(iii) Estimar los coeficientes de dependencia de la cola inferior Λ̂ = λnij i,j=1
como
n √
1 2
(n,r)
n
(Xi , Xj ) =
1{Qk <r} sen2φk ,
λij ≡ λ̂l
n
r
k=l
donde para k = 1, . . . , n las cantidades (Qk , φk ) satisfacen las ecuaciones F̂i (xik )
= Qk senφk , F̂j (xjk ) = Qk cosφk , donde cada F̂i es la f. d. empı́rica de la
componente Xi ;
42
(iv) Estimar el ı́ndice de la cola α de la v.a. espectral R como
π
α̂n = arg min λ(α, (1 − ρ̂ij ))ij − Λ̂(n) ,
4
×
donde L(α, ρ̂τ )(n) es la matriz λ(α, π4 (1 − ρ̂ij ))ij , la función λ(α, x) está definida
d
2
2
como en (12) y ||A||× =
i,j=l Aij define la norma en L definida sobre
Md×d ().
Algoritmo 2
(i) Estimar los parámetros ρij y α de una distribución Elı́ptica Generalizada
sobre el vector X usando el Algoritmo 1;
(ii) Ajustar a cada componente de X alguna f.d. marginal Fj∗ continua. Si por
ejemplo, el número de observaciones n no es muy grande, se puede utilizar un
kernel de suavización;
(iii) Simular observaciones y1 , . . . , yN de un vector Y cuya representación está
dada por la ecuación (5), utilizando las estimaciones de los parámetros anteriores y estructura de dependencia de dicha representación (bajo la especificación
de la f.d. de la v.a. espectral R);
(iv) Construir observaciones u
1 , . . . , u
N de la cópula empı́rica con las observaciones simuladas y1 , . . . , yN , a saber,
u
i = (Ui1 , . . . , Uid ) F̂1 (yi1 ), . . . , F̂1 (yid ) ,
donde F̂j es un estimador de la f.d. de Yj , por ejemplo, se puede usar una
1 n
variante de la f.d. empı́rica F̂j (x) = n+1
i=l 1{yij <x} .
(v) Con las observaciones simuladas u
1 , . . . , u
N , las cuales incorporan la estrucuj ), j = 1, . . . , N .
tura de dependencia de la cópula C, construir x
j = Fj∗−1 (
xN son observaciones simuladas del vector original X.
Los vectores x
1 , . . . , Bibliografı́a
Basel Committee on Banking Supervision (BCBS) (2004). International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards. A Revised
Framework.
Biggs, D., B. De Ville y E. Suen (1991). A method of choosing multiway
partitions for classification and decision trees. Journal of Applied Statistics,
62, pp. 18-49.
Crosbie, P. y J. Bohn (2002), Modelling Default Risk. KMV working paper.
Crouhy, M., D. Galai y R. Mark (2000). A comparative analysis of current
credit risk models. Journal of Banking and Finance, 24, 59-117.
De Andrade, F. y L. Thomas (2004). Structural Models In Consumer Credit.
Risk and Insurance 0407001, EconWPA.
Dı́az, A. (2003). Teorı́a de Valores Extremos para sucesiones de variables
aleatorias dependientes, Tesis de licenciatura, UNAM.
43
Embrechts, P., C. Klppelberg y T. Mikosch (1997). Modelling Extremal Events
for Insurance and Finance. Springer Verlag, Berlin.
Embrechts, P., A. McNeil y D. Straumann (2002). Correlation and dependency
in risk management: properties and pitfalls. Risk Management for Central
Bank Foreign Reserves, 243-261, Frankfurt: European Central Bank.
Frahm, G. y M. Junker (2003). Generalized elliptical distributions: models
and estimation. Research Center Caesar Financial Engineering.
Frey, R. y A. McNeil (2003). Dependent defaults in models of portfolio credit
risk. Journal of Risk, 6(1), 59-92.
Hult, H. y F. Lindskog (2001). Multivariate extremes, aggregation and dependence in elliptical distributions. Research paper, RiskLab.
Joos, P., K. Vanhoof, H. Ooghe y N. Sierens (1998). Credit classification: A
comparison of logit models and decision trees. 10th European Conference
on Machine Learning, April 24, Chemnitz (Germany), p. 59-72.
Lando, T. y T. Skodeberg (2002). Analyzing rating transitions and rating
drift with continuous observations. Journal of Banking and Finance, 26,
423-444.
Lindskog, F., A. McNeil y U. Schmock (2003). Credit Risk - Measurement,
Evaluation and Management. Physica-Verlag, Heidelberg.
Panchenko, V. (2005). Goodness of fit test for copulas. Physica A, 355, 176182.
Perli, R. y W. Nayda (2004). Economic and Regulatory Capital Allocation
for Revolving Retail Exposures. Journal of Banking & Finance, 28(4),
789-809.
RMA (2003). Retail Credit Economic Capital Estimation-Best Practices. The
Risk Management Association (RMA).
Análisis empı́rico de la relación entre las tasas
de interés forward subyacentes al mercado
Mexicano de swaps de TIIE
Jesús Bravo Pliego∗
Recibido 21 de junio 2007, Aceptado 8 de enero 2008
Resumen
En este trabajo se analiza empı́ricamente la relación entre las tasas de interés
forward implı́citas en la curva mexicana de los swaps de TIIE-28 dı́as. Los
resultados muestran que existen correlaciones fuertes entre tasas de plazos adyacentes, pero que tal correlación se va debilitando conforme se amplı́a la “distancia” (en la estructura de plazos) entre ellas. Esto es coherente con la teorı́a
del nicho preferido de Modigliane y Stuch (1966) y sugiere que los modelos
de ajuste, calibración o análisis de la curva interbancaria de tasas en México
deberı́an incorporar alguna relación entre las tasas forward.
Abstract
In this paper, the degree of the relationship amongst the underlying forward
interest rates to the Mexican TIIE-28-day swap interest rate curve is analyzed.
It is found empirically that there are strong correlations between term-adjacent
forward interest rates, but such correlations become weak when the “distance”
(in the term structure) between them increases. This is in line with the preferred
habitat theory of Modigliane and Stuch (1966), and it suggests that the models
for adjusting, calibrating or analyzing the Mexican interbank interest rate curve
should incorporate some relationship amongst the forward interest rates.
Clasificación JEL: E43, G12
Palabras clave: Tasa de interés spot y forward, bootstrapping, correlación, swaps de TIIE-28
dı́as .
1. Introducción
Un cuestionamiento aparentemente obvio, pero cuya respuesta tiene serias consecuencias en el contexto de la aplicación práctica de los modelos de tasas de
∗
Dirección de Riesgos de Mercado, Grupo Financiero HSBC. Este artı́culo es parte
del trabajo inicial realizado por el autor para el desarrollo de su tesis doctoral en el programa de Doctorado en Ciencias Financieras del Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad
de México. Dirección para correspondencia: Paseo de la Reforma 347, Oficina 14, Col.
Cuauhtémoc, C.P. 06500, México, D.F. Tel.: 57212663. Fax: 57212666. Correo electrónico:
[email protected] .
Análisis empı́rico
45
interés, es si las tasas de interés forward sobre la estructura de plazos están
correlacionadas entre sı́. Si esto es ası́, en qué grado?
El supuesto de correlación perfecta en los modelos de tasa corta, como los
de Vasicek (1977) y CIR (1985), es esencial para poder derivar las formas funcionales de la estructura de plazos tal como lo indica Brigo y Mercurio (2001).
Sin embargo, si la correlación existe, pero está lejos de poder considerarse perfecta a lo largo de toda la estructura de plazos de las tasas de interés, entonces
es claro que el análisis, modelación, calibración y utilización de dicha estructura de plazos requerirá de consideraciones adicionales a las que plantean los
modelos de tasa corta.
Santomero (2001, pp. 86-91) presenta un análisis empı́rico muy interesante
de la relación de las tasas de interés de los bonos del gobierno de los Estados
Unidos, analizando sus cambios mensuales entre el periodo de 1947 a 1999. Sus
principales conclusiones son que hay correlación (aunque no perfecta) entre las
tasas spot, pero que tal relación no es fácil de describir.
Afortunadamente, se han realizado desarrollos para considerar estas correlaciones no perfectas al modelar la dinámica de las tasas de interés, dentro
de los que destaca el desarrollo del ’LIBOR Market Model’ o modelo de BGM
(Brace, et al., 1997). Sin embargo, en los modelos empı́ricos o de bootstrapping
la incorporación de una relación entre los niveles de tasas de interés forward al
momento de derivar de los datos de mercado la curva de tasas de interés, no se
trata con fundamento económico sólido, y en la mayorı́a de los casos la relación
resultante es mera consecuencia de la forma en que se asume la interpolación
entre las tasas cupón cero implı́citas o entre las cotizaciones de mercado.
Una pregunta relevante que atañe a los mercados financieros en México
es si los resultados de Santomero (Op. cit.) se pueden asumir en ellos. La
única forma de saberlo es replicar tal análisis de manera particular en dichos
mercados. En este artı́culo, en la sección 2, se presenta este análisis tomando
las cotizaciones de los swaps de TIIE-28 dı́as, pero se critica la solidez de tales
resultados (ver sección 2.3). En la sección 3, se deriva la estructura de plazos
de los swaps de TIIE por medio de un modelo de bootstrapping y se estudia
ahora, para obtener resultados más sólidos conceptualmente, el patrón de la
relación entre los distintos niveles de tasas forward implı́citas diferenciados por
plazo1 .
Relación de las tasas de interés spot (cotizaciones de los swaps de
TIIE-28 dı́as) a distintos plazos de cotización
2.1 La relación entre las tasas de corto plazo y las de largo plazo
Para inspeccionar la relación entre las tasas de interés de los swaps de TIIE, la
información utilizada son las cotizaciones de dichos swaps para todos sus plazos
negociados. Esta información es de frecuencia diaria y proviene de los datos
reportados por PiP (Proveedor Integral de Precios, S.A.) quien es uno de los
dos “price vendors” autorizados por la CNBV como fuentes oficiales de precios2 .
1
Todos los detalles técnicos acerca del bootstrapping se presentan en el Anexo 1 con la
finalidad de presentar en el cuerpo principal de este trabajo solo los resultados del análisis de
la manera más clara posible.
2
Consultar página web de PiP en www.precios.com.mx.
46
Es importante mencionar que la muestra utilizada va del 24 de enero de 2005
al 13 de marzo de 2007 debido a que se considera que en los últimos dos años
es cuando éste mercado ha madurado y se ha profundizado en su operación3 .
Una inspección simple a la volatilidad histórica de los cambios de las tasas
swap (tasas spot) de TIIE a distintos plazos4 , mostrada en la figura 1, nos dice
que las volatilidades promedio no son iguales (se observa un patrón creciente
en el plazo), esto significa que la consideración de movimientos paralelos sobre
la curva, comúnmente asumidos en administración de riesgos, no es razonable.
Pero si bien las volatilidades de los cambios en las tasas spot no son las mismas
a lo largo de la estructura de plazos, las tasas aún podrı́an estar correlacionadas.
Las figuras 2 y 3 muestran la relación entre los cambios de la tasa swap del swap
de TIIE-28 dı́as a 1 año y los cambios de la tasa swap del swap de TIIE-28 dı́as
a 10 años5 . En la figura 2 se observa que un cambio de 100 puntos base en la
tasa swap a 1 año “impacta en promedio” en un cambio de 126 puntos base en
la tasa swap a 10 años con una relación relativamente fuerte (R cuadrada =
0.6403). La figura 2 muestra por el contrario que un cambio de 100 puntos base
en la tasa swap de 10 años “impacta en promedio” en un cambio de 51 puntos
base en la tasa swap de 1 año6 .
3
Utilizar historia más antigua podrı́a sesgar el análisis realizado debido a la relativa
iliquidez o poca profundidad del mercado de los swaps de TIIE en el pasado.
4
En todos los casos los cambios utilizados son cambios cada cuatro semanas para reflejar
el hecho de que al tener la TIIE plazo de 4 semanas, la unidad mı́nima de plazo sobre los
swaps de TIIE es 4 semanas. Es importante mencionar que la estructura de plazos suele
presentarse con información a todos los plazos (cada dı́a y teóricamente en un continuo)
porque se ha asumido algún modelo de interpolación o ajuste para derivarla a cada plazo
(modelo de bootstrapping y/o modelo de ajuste global).
5
1 y 10 años se refieren realmente a que el swap esta compuesto de 13 y 130 periodos de
28 dı́as, respectivamente (estos swaps son conocidos como los swaps “13X1” y “130X1” por
este hecho), lo cual equivale a 364 y 3640 dı́as naturales.
6
Favor de notar que 1/1.2559=0.7962=0.5098 ; es decir, no se cumple la “reciprocidad”
entre las pendientes entre las rectas ajustadas debido a que la correlación no es perfecta.
Nótese sin embargo que el producto de las pendientes es igual al producto de los coeficientes
de correlación como lo indica la teorı́a de regresión:(1.2559)(0.5098)=(0.8002)(0.8002)=0.6403.
47
Figure 1
Volatilidad histórica de los cambios en las tasas swap de
TIIE-28 dı́as.
FUENTE: Elaboración propia del autor con base en los datos de PiP de cotizaciones de
Swaps de TIIE para el periodo del 24 de enero de 2005 al 13 de marzo de 2007.
Figure 2
Cambios en la tasa swap de 10 años explicados por los cambios
en la tasa swap de 1 año.
48
Figure 3
Cambios en la tasa swap de 1 año explicados por los cambios
en la tasa swap de 10 años.
Con la intención de mostrar que tanto “impacta” un cambio en la tasa swap
de 1 año (que se considerará como de corto plazo) a las tasas swap de otros
plazos, la figura 4 muestra el factor que relaciona los cambios en las tasas swap
(estimado por regresión lineal) si la tasa swap de 1 año fueran el único factor
que explicara los cambios en las demás. Por otro lado, la figura 5 muestra lo
mismo que la figura 4 pero ahora tomando como factor explicativo a los cambios
de la tasa swap de 10 años (que se considerará como de largo plazo)7 .
Como la respuesta de las tasas swap mostradas en las figuras 4 y 5 es
una “respuesta estadı́stica promedio” estimada por regresión, se ha dibujado
(lı́neas punteadas) la variación posible en la estimación con un intervalo de
±2 errores estándar. Los resultados empı́ricos presentados son sólo indicativos
y muestran claramente que existe correlación entre los cambios de las tasas de
interés spot de los swaps de TIIE-28 dı́as que se operan en el mercado mexicano
de derivados OTC de tasa de interés, pero definitivamente tal correlación no es
perfecta; más aún, tal correlación se debilita conforme se aumenta la “distancia”
entre las tasas swap comparadas. Esto indica que la utilización de modelos de
tasa corta unifactoriales no son buenos para estimar y representar la estructura
completa de las tasas de interés de los swaps de TIIE-28 dı́as.
7
Es importante mencionar que existen tasas swap de TIIE-28 dı́as para plazos menores
a 1 año y plazos mayores a 10 años; no obstante se consideran las tasas swap de 1 a 5 años,
7 años y 10 años para simplicidad del análisis y tener plazos en múltiplos de años.
49
Figure 4
Cambios en las tasas swap explicados por los cambios en la
tasa swap de 1 año.
FUENTE: Elaboración propia del autor con base en los datos de PiP de cotizaciones de Swaps
de TIIE para el periodo del 24 de enero de 2005 al 13 de marzo de 2007.
Figure 5
Cambios en las tasas swap explicados por los cambios en la
tasa swap de 10 años.
50
2.2 La relación entre tasas de interés de plazos adyacentes
Sugestivamente, al observar la relación entre los cambios de las tasas swap
en las figuras 4 y 5, parece que la correlación entre dichos cambios aumenta
entre más cerca estén de la variable explicada. No obstante esto solo puede
verse cuando la variable explicativa son los cambios de las tasas swaps de 1 y
10 años. Con la finalidad de analizar la estructura completa de correlaciones
de manera explı́cita, en el cuadro 1 se muestran la matriz de coeficientes de
correlación entre los cambios de las tasas swap a distintos plazos de cotización.
En dicha tabla se ha utilizado la “etiqueta” que se asigna en el mercado para
referenciar a los swaps de TIIE en cada plazo de cotización (ver nota al pie
número 5). Se puede ver claramente que entre más cerca o adyacentes estén las
tasas swaps en relación a su plazo de cotización, la correlación de sus cambios
es más alta; observándose un patrón de reducción gradual entre más se alejan.
Cuadro 1
Correlación entre los cambios de las tasas de interés spot o tasas
swap de los swaps de TIIE-28 dı́as.
Las correlaciones anteriores muestran que las cotizaciones de los swaps de
TIIE se comportan de acuerdo a lo establecido por la Teorı́a del Nicho Preferido
de Modigliani y Sutch (Op. cit.) donde mercados adyacentes son sustitutos
(imperfectos) entre sı́.
2.3 La relación entre tasas de interés spot de plazos adyacentes es
real o un hecho matemático?
Algo muy importante a mencionar respecto a la relación encontrada en la
sección anterior entre las tasas de interés spot es el hecho de que se ha supuesto
que las tasas de interés spot en si mismas son las piezas de información que explican los cambios en la forma de la curva de las tasas de interés. No obstante, si
se piensa en las tasas de interés forward implı́citas, derivada de las tasas swaps,
las tasas swap pueden también expresarse en función de tales tasas forward;
además, estas últimas se van “anidando” hasta el plazo final de manera que
cada tasa swap de plazo más largo contiene a todas las tasas de interés forward
que definen las tasas swap de plazos menores (ver ecuación (9) del Anexo 1).
Matemáticamente, la tasa swap de un plazo Tk − t, vista en función de la
serie de tasas de interés forward F (t, Ti−1 , Ti ), i = 1, 2, . . . , k, contiene las tasas
51
de interés forward de las tasas swap de cualquier plazo menor Ti − t(0 < i < k).
Este hecho matemático, hace que las correlaciones presentadas en el cuadro 1
puedan ser una simple consecuencia de correlación de la misma “información”,
siendo no relevante lo analizado en la sección anterior.
La única forma de saber si la relación entre tasas de interés spot de plazos
adyacentes es real o un simple hecho matemático es tomar ahora los cambios
de las tasas de interés forward implı́citas como las piezas de información que
explican los cambios en la forma de la curva de las tasas de interés. Conceptualmente hacer esto no representa ningún problema si se tienen las tasas de
interés forward, pero en la realidad hay que derivarlas a partir de las tasas
swap por medio de bootstrapping8 , de manera que cada tasa de interés forward
en cada plazo de cotización sea consistente con obtenerse simplemente con la
información que adiciona cada tasa swap y condiciones de no arbitraje, evitando asumir alguna forma funcional a priori entre las tasas de interés forward
implı́citas entre plazos de cotización que no tenga que ver con las condiciones
de equilibrio9. El Anexo 1 presenta el modelo que se ha utilizado para obtener
las tasas de interés forward implı́citas.
3. Relación de las tasas de interés forward implı́citas a
distintos plazos de cotización
Analizar las tasas de interés forward es algo que se ha aceptado comúnmente
después de que Heat, Jarrow y Morton (1992) desarrollaron su marco conceptual
(modelo HJM) de modelos dinámicos de tasas de interés no arbitrables.
Las figuras 6 y 7 muestran la relación entre las tasas de interés forward
implı́citas en la estructura de plazos de los swaps de TIIE-28 dı́as, tomando
primero la tasa de interés forward de 1 a 2 años como variable explicativa
(figura 7) y después la tasa de interés forward de 7 a 10 años como variable
explicativa (figura 8)10 . Se observa que un cambio de 100 puntos base en la
tasa de interés forward implı́cita de 1 a 2 años “impacta en promedio” en un
cambio de 100 a 125 puntos base en las demás tasas forward; por otro lado,
un cambio de 100 puntos base en la tasa de interés forward implı́cita de 7 a
10 años “impacta en promedio” en un cambio de 58 a 100 puntos base en las
demás tasas forward.
El cuadro 2 presenta la correlación de los cambios de las tasas de interés
forward implı́citas en la estructura de plazos de las tasas cupón cero, obtenidas
por métodos numéricos (bootstrapping) para cada dı́a en el periodo del 24 de
enero de 2005 al 13 de marzo de 200711.
8
Es importante aclarar que los modelos de bootstrapping son modelos de ajuste puntual
y por lo tanto son utilizados para derivar la estructura de plazos a partir de cotizaciones de
mercado y no son modelos dinámicos estocásticos de pronóstico. No obstante, contar con la
estructura de plazos es básico para calibrar modelos dinámicos estocásticos.
9
Las relaciones de equilibrio y no arbitraje deben cumplirse siempre.
10
Notar que se ha cuidado de utilizar la misma escala que en las figuras 4, 5, 7 y 8 para
poder comparar sin efectos de distorsión de escala.
11
Se derivó para cada dı́a la estructura de plazos cupón cero por bootstrapping considerando métodos numéricos de solución de punto fijo para las ecuaciones del Anexo 1, para
de allı́ obtener las tasas de interés forward subyacentes.
52
Figura 6
Cambios en las tasas de interés forward implı́citas explicados por los
cambios en la tasa de interés forward implı́cita de 1 a 2 años.
Figura 7
Cambios en las tasas de interés forward implı́citas explicados por los
cambios en la tasa de interés forward implı́cita de 7 a 10 años.
53
El cuadro 2 muestra que las tasas de interés forward implı́citas también están
correlacionadas, sugiriendo que la modelación de su comportamiento y ajuste
por medio de bootstrapping debe considerar alguna relación entre ellas12 .
Cuadro 2
Correlación entre los cambios de las tasas de interés forward implı́citas
de los swaps de TIIE-28 dı́as.
4. Conclusiones
Se ha mostrado empı́ricamente que no existe correlación perfecta a lo largo de
la curva interbancaria en México; por lo tanto, la utilización de los modelos de
tasa corta para derivar la estructura de tasas de interés del mercado de swaps
de TIIE-28 dı́as es algo que debe considerarse antes de su implementación.
Asimismo, se ha visto que la volatilidad histórica a lo largo de la curva es variable en cada plazo de cotización, por lo que no resulta factible asumir cambios
paralelos en la curva de tasas cuando se realiza administración de riesgos.
Bajo la consideración de que las tasas de interés forward son las piezas
de información independientes que explican la estructura de plazos (supuesto
fundamental del desarrollo teórico del modelo HJM (Ibid.), sobre el que se
pueden contextualizar los modelos teóricos de tasa corta), se encontró evidencia
estadı́stica (utilizando la historia del 24 de enero de 2005 al 13 de marzo de
2007) de que para el mercado de los swaps de TIIE-28 dı́as, tales tasas de
interés forward obedecen a tener una relación entre sı́, siendo más fuerte esta
relación entre más cerca están. Los resultados obtenidos sugieren incorporar
relación entre las tasas de interés forward en los modelos de ajuste de tasas de
interés empı́ricos (modelos de bootstrapping).
El patrón de correlación encontrado entre los cambios de las tasas de interés spot y forwards, puede interpretarse dentro del contexto de la “Teorı́a del
Nicho Preferido” de Modigliani y Sutch (1966) que supone que los mercados de
cotización a plazo tienen su propio equilibrio por oferta y demanda, reflejando
las preferencias de los agentes en cada cotización a plazo (o “nicho”). En tal
teorı́a se espera, además, una sustitución (no perfecta) entre los distintos plazos
de cotización.
12
En estricto sentido, deberá realizarse nuevamente un bootstrapping para obtener nuevos
niveles de las tasas de interés forward implı́citas bajo cierta relación entre ellas asumida a
priori.
54
Anexo 1. Tasas de Interés Forward Implı́citas y Modelo Ajuste de
la Estructura de Plazos de las Tasas de Interés a partir de las
Tasas Swap de TIIE-28 Dı́as.
Aquı́ se considera el modelo de ajuste empı́rico de la estructura de plazos de las
tasas de interés a través tomar constantes (o con tendencia nula) las tasas de
interés forward instantáneas implı́citas entre plazos de cotización definidos por
las tasas swap de mercado. Se asume, sin perdida de generalidad, que existen
N plazos de cotización dados por las cotizaciones de los swaps de TIIE-28 dı́as.
Si fj (s − t) es la tasa de interés forward instantánea, con información
conocida al tiempo t, para el plazo s − t, s ∈ [Tj−1 , Tj ] (j = 1, 2, . . . , N ), su
“tendencia” puede asumirse nula dando la ecuación13 :
∂fj (s − t)
= 0.
∂s
(1)
De esta manera, la ecuación (1) implica directamente, a través de la obtención
de la integral indefinida, que:
fj (s − t) = 0ds = 0 + f¯j ,
s ∈ [Tj−1 , Tj ], j = 1, 2, . . ., N.
(2)
La variable f¯j de la ecuación (2) tiene el propósito de expresar la constante de
integración que resulta de la obtención de la integral indefinida. Se eligió f¯j
para representar el hecho de que la consideración de que la tendencia de las tasas
de interés forward instantáneas es nula, implica que dichas tasas son constantes
en cada mercado de cotización a plazo definido por el intervalo s ∈ [Tj−1 , Tj ].
En este modelo, la tasa de interés forward discreta F (t, Tj−1, Tj ) para el
intervalo [Tj−1 , Tj ] se obtiene como:
F (t, Tj−1, Tj ) =
1
Tj − Tj−1
Tj
Tj−1
fj (s − t)ds =
1
Tj − Tj−1
Tj
Tj−1
f¯j ds = f¯j , (3)
donde j = 1, 2, . . . , N . Por otro lado, bajo no arbitraje, a partir de precios
conocidos de los bonos cupón cero Bj−1 (t, T ) y Bj (t, T )(dados por información
de mercado o estimados a partir de información de mercado) se tiene que:
1
Bj
, s ∈ [Tj−1 , Tj ] j = 1, 2, . . . , N
ln
F (t, Tj−1, Tj ) = −
Tj − Tj−1
Bj−1
(4)
De esta manera, combinando las ecuaciones (3) y (4), los precios de los bonos
cupón cero son:
−
B(t, T ) = B(t, Tj−1 )e
T
Tj−1
f¯i ds
, T ∈ [Tj−1 , Tj ] con
j = 1, 2, . . . , N (T0 = t).
(5)
13
Todos los plazos se asumen en años (financieros), de manera que 28 dı́as equivale a
28/360 años para un “Basis” (regla de contabilización de dı́as) de 360. El Basis de 360 es el
que aplica para los swaps de TIIE-28 dı́as.
55
O bien:
¯
B(t, T ) = B(t, Tj−1 )e−fj (T −Tj−1 ) , T ∈ [Tj−1 , Tj ],
j = 1, 2, . . . , N (T0 = t).
(5bis)
Finalmente, en este modelo simple, se puede obtener una expresión explı́cita
para B(t, T ) considerando que:
B(t, T ) = Bj−1 e
1
Tj −Tj−1
ln
Bj
Bj−1
(T −Tj−1 )
ln
= Bj−1 e
= Bj−1
Bj
Bj−1
Bj
Bj−1
Tj −T
T −Tj−1
j
= Bj−1
j−1
TT −T
−T
j
j−1
j−1
TT −T
−T
j
j−1
T −Tj−1
T −Tj−1
Bj j
Lo cual se puede expresar como:
α
1−αj
j
B(t, T ) = Bj−1
Bj
,
T ∈ [Tj−1 , Tj ] j = 1, 2, . . . , N (T0 = t).
(6)
T −T
j
Con αj = Tj −T
.
j−1
La ecuación (6) define por si sola completamente el modelo de bootstrapping con tasas de interés forward instantáneas con tendencia nula, comúnmente
conocido como “modelo de tasas de interés forward constantes”14 . Queda obvia la simplicidad de este modelo (definido en una sola ecuación) y quizás eso
explique su uso tan común en la práctica.
Por otro lado, la condición de valuación justa de un swap de tasa de interés
(lo cual también se cumple en el caso particular de los swaps de TIIE-28 dı́as)
nos dice que si QTn es la tasa swap (cotización) del swap al plazo Tn − t, se
debe cumplir que:
n
B(t, Ti )QTn · (Ti − Ti−1 ) + B(t, Tn ) = 1.
(7)
i=1
Despejando de la ecuación (7) la tasa swap o de cotización, se obtiene:
1 − B(t, Tn )
.
i=1 B(t, Ti ) · (Ti − Ti−1 )
QT n = n
14
(8)
Otros nombres que se le dan a este modelo cuando se utiliza para interpolar precios de
bonos cupón cero o factores de descuento (y consecuentemente las tasas de interés cupón cero
de cualquier convención considerada) son: “método de interpolación money market”, “método
de interpolación log-lineal”, “método de interpolación alambrada (interna)” y “método de
interpolación exponencial (en los factores de descuento)”.
56
O equivalentemente en términos de las tasas de interés forward:
QT n
n
1 − exp − i=1 f¯i (Ti − Ti−1 )
.
= n
i
¯j (Tj − Tj−1 ) · (Ti − Ti−1 )
exp
−
f
i=1
j=1
(9)
Un punto importante a notar es que la ecuación (9) muestra que las tasas
swap están correlacionadas entre si debido a que dependen de las tasas de
interés forward subyacentes de manera que estas últimas se van “anidando”
hasta el plazo final; por lo tanto, matemáticamente QTn−1 y QTn están correlacionadas15 .
Despejando de la ecuación (7) el precio del bono cupón cero al plazo de
cotización del swap de TIIE-28 dı́as Tn , se obtiene:
B(t, Tn ) =
n−1
1 − QTn i=1 B(t, Ti ) · (Ti − T1−1 )
1 + QTn · (Tn − Tn−1 )
(10)
La ecuación (10) permite obtener el precio del bono cupón cero al plazo
de cotización Tn del swap de TIIE-28 dı́as si se conoce la tasa swap o tasa de
cotización QTn y los precios de los bonos cupón cero de todos los flujos del swap
de TIIE con plazo menor a Tn . Los precios de los bonos cupón cero en plazos
donde no existe cotización o tasa swap se obtienen implı́citamente a través de
la ecuación (6). Esta ecuación es una ecuación muy importante a la hora de
aplicar el modelo pues será la condición para obtener los precios de los bonos
cupón cero a partir de las cotizaciones de los swaps de TIIE-28 dı́as: realización
del bootstrapping16 .
Bibliografı́a
Brace, A., D. Gatarek and D. Musiela. (1997). The Market Model of Interest
Rate Dynamics. Mathematical Finance, 7(April, 1997), pp. 127-156.
Brigo, Damian and Fabio Mercurio. (2001). Interest Rate Models, Theory and
Practice. Springer (Springer Finance).
Burden, Richard y Douglas Faires J. (2002). Análisis Numérico. Séptima
Edición, Internacional Thompson Editores, S. A. de C. V. (División de
Thomson Learning, Inc.), México.
Cox, John C., Jon E. Ingersoll, and Stephen A. Ross. (1985). A Theory of the
Term Structure of Interest Rates. Econometrica, 53, pp. 385-407.
Heath, D., R. Jarrow and A. Morton. (1992). Bond Pricing and the Term
Structure of Interest Rates: A New Methodology. Econometrica, 60, pp.
77-105.
15
Este hecho matemático resulta si se asume que las tasas de interés forward son las piezas
de información básicas que determinan el comportamiento de las tasas swap.
16
Será necesario utilizar un método numérico para encontrar los precios de los bonos cupón
cero combinando las ecuaciones (6) y (10). En este artı́culo se utiliza un método propio a
partir de una solución de punto fijo. Un enfoque práctico de aplicación de soluciones de punto
fijo puede consultarse en Burden y Faires (2002).
57
Modigliani, Franco y Richard Sutch. (1966). Innovations in Interest Rate
Policy. American Economic Review, 56 (May 1966), pp. 178-197.
Santomero, Anthony M. & David F. Babbel. (2001). Financial Markets,
Instruments & Institutions. Second Edition (International Edition), Mc
Graw-Hill, Capı́tulos 3-6.
Vasicek, Oldrich. (1977). An Equilibrium Characterization of the Term
Structure. Journal of Financial Economics, 5, pp. 177-188.
PiP: Provedor Integral de Precios. Acceso a datos varios en su página web en:
www.precios.com.mx.
Gobierno corporativo, diversificación estratégica
y desempeño empresarial en México∗
Antonio Ruiz-Porras∗∗
William Henry Steinwascher Sacio∗∗∗
Recibido 27 de julio 2007, Aceptado 14 de enero 2008
Resumen
Estudiamos las relaciones entre gobierno corporativo, diversificación estratégica
y desempeño financiero en México. El estudio usa datos de 99 empresas no
financieras listadas en la BMV (Bolsa Mexicana de Valores) durante 2004. Los
principales hallazgos son: Las empresas cuya propiedad se concentra en un
accionista mayoritario se enfocan hacia el mercado domestico. Las empresas
familiares tratan de diversificar sus actividades productivas y fuentes de ingreso.
No existen tendencias, en cuanto a estrategias y desempeño, asociadas a la
separación entre propiedad y control. Finalmente, cuando en los consejos de
administración existen comités independientes se favorece la diversificación de
espectro limitado en las empresas.
Abstract
We study the relationships among corporate governance, strategic
diversification and financial performance in Mexico. The study uses data from
99 non-financial firms listed in the BMV (Mexican Stock Market) during 2004.
The main findings are: Firms which property is concentrated in a principal
shareholder focus on the domestic market. Family firms try to diversify their
productive activities and sources of income. There are no trends, regarding
strategies and performance, related to the separation between ownership and
control. Finally, when independent committees exist in the boards of directors,
mean-narrow-spectrum diversification is encouraged in the firms.
Clasificación JEL: G34, L20, M21
Palabras clave: Gobierno corporativo, diversificación estratégica, desempeño empresarial,
propiedad familiar, consejos de administración.
1. Introducción
Tradicionalmente, el gobierno corporativo se define como el conjunto de relaciones mediante las cuales los grupos con intereses en la empresa (accionistas
∗
Los autores agradecen los valiosos comentarios de Nancy Garcı́a Vázquez (FLACSO,
Sede México) y de Rocı́o Durán Vázquez (Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de
México).
∗∗
Departamento de Contabilidad y Finanzas. Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad
de México.
∗∗∗
Programa Doctoral en Ciencias Administrativas. Tecnológico de Monterrey, Campus
Ciudad de México.
Gobierno corporativo
59
y administradores), establecen y controlan la dirección estratégica y los resultados de la misma [Eiteman, Stonehill y Moffet (2007)]. Bajo esta definición, los
mecanismos de gobierno corporativo se entienden como los métodos mediante
los cuales se establece orden en las empresas para asegurarse que se tomen decisiones y los intereses grupales estén representados. Ası́, las estrategias y el
desempeño de las empresas están influenciados por los mecanismos de gobierno
corporativo.
En la administración de empresas, el estudio de las prácticas de gobierno
corporativo tiene gran importancia para la gestión empresarial.1 Paradójicamente, en México existe poco conocimiento acerca de las mismas. En este
artı́culo analizamos las relaciones entre el gobierno corporativo, la diversificación estratégica y el desempeño financiero de las empresas mexicanas. Especı́ficamente, investigamos cómo las estrategias de diversificación de las empresas y su desempeño, se vinculan a ciertas caracterı́sticas mesurables de los
mecanismos de gobierno corporativo. Dicho análisis se basa en datos de 99 empresas no financieras listadas en la Bolsa Mexicana de Valores (BMV) durante
2004.
La relevancia de este análisis está dada por razones académicas y de ı́ndole
práctica. Académicamente está motivado por la escasa literatura con respecto
a la relaciones entre los mecanismos de gobierno corporativo (estructura de
propiedad y consejo de administración), con las estrategias de diversificación
y el desempeño de las empresas en economı́as emergentes, como la mexicana.2
Esta situación dificulta que las decisiones para maximizar beneficios, minimizar
impuestos y asignar recursos sean tomadas y ejercidas adecuadamente. Más
aun, posibilita la existencia de conflictos de interés y de problemas financieros.
Otros argumentos que justifican el análisis están asociados a la idea de
que buenas prácticas de gobierno corporativo conducen a un buen desempeño
financiero y, eventualmente, al macroeconómico [Claessens (2003)]. En economı́as emergentes es conocido que las precondiciones asociadas a la existencia de
buenas prácticas de gobierno corporativo suelen no existir [Allen (2005)].3 Esta
situación induce a la creación de mecanismos alternativos a fin de subsanar la
falta de estas precondiciones (vinculados a los mecanismos de gobierno corporativo y a las estrategias empresariales). Sin embargo, sobre dichos mecanismos,
sus interacciones y sus efectos sobre el desempeño financiero conocemos poco.
En esta investigación exploramos las asociaciones entre los mecanismos
de gobierno corporativo con las prácticas de diversificación estratégica y el
desempeño financiero de las empresas mexicanas. Esto con el objeto de sugerir respuestas a las siguientes preguntas: ¿Cómo afecta la concentración de
la propiedad a las estrategias de las empresas? ¿Cómo afecta dicha concentración a su desempeño financiero? ¿Cuáles son los efectos de la separación de
la propiedad y el control en las empresas? y ¿Cómo afecta la estructura de
1
2
Véase a Schleifer y Vishny (1997) para una revisión de la literatura.
Anderson, Bates, Bizjak y Lemmon (2000) revisan algunos estudios en torno a la vinculación entre gobierno corporativo y las estrategias de diversificación de las firmas en paı́ses
desarrollados. Nandelstadh y Rosenberg (2003) revisan la literatura de la vinculación entre
gobierno corporativo y desempeño financiero y analizan el caso de las empresas finlandesas.
3
Estas precondiciones incluyen la existencia de mercados perfectos y completos; ası́ como
de marcos legales e institucionales sólidos.
60
los consejos de administración a las mismas? Metodológicamente, el análisis se
basa en técnicas de estadı́stica descriptiva y de contraste de hipótesis.
El análisis descriptivo sugiere que existen caracterı́sticas comunes en las
empresas mexicanas analizadas: 1) La propiedad y el control suelen concentrarse en el accionista mayoritario, quien participa directamente en el manejo
corporativo. 2) Las estructuras de los consejos de administración suelen cumplir
con la regulación, al incluir comités de auditoria, pero no se caracterizan por
incluir comités independientes para realizar funciones de evaluación, compensación, planeación y finanzas. 3) Las empresas suelen concentrar sus ingresos
en su lı́nea principal de producto y en el mercado interno; y 4) Sus actividades
suelen desarrollarse dentro de una misma rama productiva.
Las principales relaciones empı́ricas halladas entre el gobierno corporativo,
la diversificación y el desempeño financiero en las empresas mexicanas son las
siguientes: 1) Las empresas cuya propiedad se concentra en un accionista mayoritario tienden a orientarse hacia el mercado interno. 2) La empresa familiar
tiende a diversificar, en términos relativos, sus actividades productivas y sus
fuentes de ingresos. 3) No existen tendencias, en lo que se refiere a las estrategias
y desempeño, asociadas a la separación entre la propiedad y el control de las
empresas; y 4) En las empresas donde existen comités independientes, se tiende
a favorecer la diversificación de espectro limitado.
El trabajo está dividido en seis secciones. La sección 2 muestra algunos
estudios sobre los mecanismos de gobierno corporativo, las estrategias de diversificación y el desempeño empresarial en México. La sección 3 muestra los
indicadores de análisis y la metodologı́a de investigación. La sección 4 describe
las formas de propiedad y los consejos de administración de las empresas de la
muestra; ası́ como sus caracterı́sticas en cuanto a la concentración de propiedad
e ingresos, sus estrategias de diversificación y de desempeño financiero. La
sección 5 se centra en el análisis de contraste de medias estadı́sticas. Finalmente, la última sección incluye conclusiones y comentarios.
2. Los mecanismos de gobierno corporativo, las estrategias de
diversificación y el desempeño de las empresas mexicanas
En esta sección revisamos algunos trabajos que han estudiado la estructura
de la propiedad, los consejos de administración, la diversificación estratégica
y el desempeño en el contexto mexicano. Consideramos relevante incluir esta
revisión porque los estudios sobre las prácticas mexicanas de gobierno corporativo son escasos. Esto ocurre, entre otras razones, porque las dimensiones
que abarca el gobierno corporativo son múltiples. Éstas incluyen el manejo de
conflictos y la armonización de intereses, las formas en las que se componen
y controlan los consejos de administración y el análisis de variables históricas,
institucionales y culturales.
En México, la mayorı́a de los estudios se centran en el régimen de propiedad
y el control de las empresas. De acuerdo a estos estudios, el tipo de propietario
más común lo constituye la familia, quien retiene una alta concentración de la
propiedad y el control de las empresas mexicanas [Castañeda (1999) y Husted y
Serrano (2002)]. Además, el tipo de estructura de control que las caracteriza es
piramidal [La Porta, López-de-Silanes y Shleifer (1999)].4 Estos hallazgos nos
4
Las estructuras de tipo piramidal permiten a los propietarios tener un mayor control de
61
permiten ver la importancia de la estructura corporativa familiar. En México,
las familias juegan un rol esencial en la definición de las prácticas de gobierno
corporativo.
La importancia de la familia se corrobora en estudios sobre el control y la
administración de las empresas mexicanas. Husted y Serrano (2002) muestran
que los fundadores de empresas y los presidentes de los directorios, normalmente tienen y retienen las posiciones ejecutivas de mayor nivel de las empresas
mexicanas; los sucesores generalmente tienden a ocupar las posiciones de Dirección General. Lo anterior es consistente con las prácticas de reservar las
posiciones gerenciales de mayor nivel a los miembros de la familia y de formar
internamente el talento gerencial. Prácticas, ambas, que han sido reportadas
por Hoshino (2004).
Analı́ticamente, la predominancia de la estructura corporativa familiar ha
sido explicada en términos de la teorı́a del conflicto, asumiendo un marco ineficiente para proteger los derechos de propiedad [Castillo-Ponce (2007)]. En este
contexto, la elección de mantener la empresa en manos de la familia es una decisión racional. La razón es porque dicha elección representa, para el dueño de
la empresa, la estrategia que le reporta el mayor valor accionario de la misma.
Este resultado es consistente con los hallazgos de Schleifer y Vishny (1997),
quienes encuentran una relación inversa entre la protección de los derechos de
los accionistas y la concentración de la propiedad corporativa.
Los estudios sobre las estrategias de diversificación de las actividades de
las empresas mexicanas son escasos. Entre estos, Castañeda (1999) reporta que
en México dichas estrategias se caracterizan por ser poco diversificadas y muy
integradas. La explicación de este fenómeno ha sido dada en términos de los
beneficios que conlleva la especialización. En este contexto, las estrategias de
diversificación buscan apoyar el crecimiento y la rentabilidad de las lı́neas del
negocio principal de las empresas. Ası́ la escasa diversificación e integración
existentes reflejarı́an una cierta aversión al riesgo en la administración de las
empresas.
Los estudios sobre gobierno corporativo y desempeño empresarial también
se encuentran en una etapa incipiente de desarrollo. Un estudio particularmente
relevante es el de Castrillo-Lara y San Martin-Reyna (2007). Los resultados de
este estudio sugieren que hay una menor discrecionalidad directiva (y por tanto
una mayor generación de valor) cuando existe una supervisión efectiva por parte
de los mecanismos de gobierno de las empresas. Concretamente, en el estudio
se encuentra que dicha supervisión es mayor cuando las empresas son familiares
y cuando existen consejeros independientes en los consejos de administración.
Los anteriores estudios sugieren que el análisis las relaciones entre la diversificación estratégica y el desempeño financiero, no puede deslindarse de los
mecanismos de gobierno que existen en las empresas. El estudio de los mecanismos de gobierno ha sido un tema relativamente descuidado en los estudios
enfocados a México. Esto es debido, entre otras razones, a la particular importancia de la familia en el entorno mexicano. Ciertamente la familia es un medio
importante para reducir conflictos y evitar problemas de agencia; pero esta no
puede ser, necesariamente, el medio óptimo. Su lógica, racionalidad y formas
de operación no sólo atienden a criterios empresariales.
las empresas de manera indirecta.
62
El estudio conjunto de las relaciones entre gobierno corporativo, diversificación estratégica y desempeño financiero es necesario para ofrecer una visión
integradora a los trabajos reseñados. Esta consideración es la que justifica esta
investigación y la que nos permite enmarcarla en el contexto de la literatura.
Particularmente, nosotros enfatizamos las asociaciones e interacciones que caracterizan a las relaciones analizadas abstrayéndonos del rol de la familia en
las mismas. Además, nos enfocamos en las actividades de diversificación y la
rentabilidad de las empresas. Esto a fin de profundizar en temas poco abordados
en otros estudios empı́ricos.5
3. Indicadores de análisis y metodologı́a de investigación
En esta sección describimos los indicadores y la metodologı́a usados en esta
investigación. Esta descripción nos permite establecer los objetivos, alcances y
lı́mites del trabajo. Particularmente, aquı́ hacemos explicito cómo abordamos
los problemas de definición y medida de los indicadores de gobierno corporativo,
diversificación estratégica y desempeño financiero; y presentamos las técnicas
estadı́sticas usadas para estudiar sus relaciones empı́ricas. La importancia de
ambos, indicadores y metodologı́a, estriba en que estos nos permiten estudiar
analı́ticamente los determinantes y consecuencias de las decisiones corporativas
en México.
Los indicadores capturan las caracterı́sticas de los mecanismos de gobierno
corporativo, el espectro de las actividades de diversificación y la rentabilidad de
las empresas. Los datos usados, para construir los indicadores, se obtuvieron
de los reportes anuales y actas ordinarias anuales de cada una de las empresas
que se incluyen en la muestra. Dicha muestra incluye datos de 99 empresas no
financieras que cotizaron sus acciones en la Bolsa Mexicana de Valores en el año
2004. Dada la diversidad y naturaleza de las empresas incluidas en la muestra,
puede decirse que la misma es representativa del sector empresarial mexicano.
Solamente el sector financiero no está incluido en la misma.6
Los efectos de los mecanismos de gobierno corporativo son capturados mediante indicadores de la estructura de la propiedad y de los consejos de
administración. Los indicadores usados para cuantificar la estructura de la
propiedad son el porcentaje de la propiedad del accionista mayoritario sobre
la propiedad total y el porcentaje de acciones con derecho a voto que tiene el
accionista mayoritario. Estos indicadores de concentración de la propiedad son
complementados con otros referidos al control accionario de la empresa. Entre
estos se incluyen indicadores cualitativos referidos a la existencia de acciones
sin derecho a voto7 y a la autorización de la propiedad familiar.
La evaluación de los consejos de administración es más complicada. Aquı́
analizamos la independencia y estructura de los consejos de administración mediante indicadores cualitativos. Estos incluyen indicadores relativos a la figura
5
Véase a Huerta y Navas (2007), para una revisión de la literatura entre la diversificación
y el desempeño empresarial.
6
En el sector financiero existen ciertas peculiaridades contables que impiden la construcción de indicadores adecuados de gobierno corporativo [Véase Castrillo-Lara y SanMartin Reyna (2007)]. Esta consideración es la que nos hace omitir de la muestra a las
empresas pertenecientes a este sector.
7
Adviértase que estas acciones permiten dispersar la propiedad sin dispersar el control.
63
de un Presidente relacionado; a la autorización de duplicidad de funciones entre
el Presidente y el Director General; y a la existencia de Comités de Evaluación
y Compensación, y de Planeación y Finanzas. En México es obligatorio que
existan Comités de Auditoria, los otros son optativos. Es con base en esta consideración que el papel de los Comités de Auditoria es minimizado para efectos
de evaluación.
La diversificación estratégica de las empresas la estudiamos mediante indicadores porcentuales y numéricos. Los porcentuales incluyen indicadores de
la concentración de ingresos que tienen los principales productos de la empresa y del porcentaje de ventas que realizan fuera de México. Los indicadores
numéricos incluyen medidas del grado y dirección de la diversificación de las
actividades de las empresas. Especı́ficamente son indicadores numéricos de diversificación de espectro amplio y limitado [véase Varadarajan (1986)].8 Dichos
indicadores son construidos con base en el Sistema de Clasificación Industrial
de América del Norte, (SCIAN).
El desempeño financiero de una empresa depende en buena medida de sus
polı́ticas y sus decisiones. Aquı́ usamos razones de rentabilidad como indicadores de dicho desempeño. Especı́ficamente, usamos la ROA, la ROE y el
margen neto. La ROA es la razón del ingreso neto a los activos totales; esto
es, un indicador del rendimiento de los activos totales después de intereses e
impuestos. La ROE es la razón de ingreso a neto al capital contable; esto es, un
indicador del rendimiento sobre la inversión de los accionistas. Finalmente el
margen neto es la razón del ingreso neto a las ventas netas, esto es, un indicador
de la facilidad de convertir ventas en utilidad.
Estadı́sticamente, la investigación se divide en una parte descriptiva y una
parte de contraste de hipótesis. La primera identifica las caracterı́sticas de
la distribución de frecuencia individual de cada indicador analizado en este
estudio. La segunda compara los indicadores de diversificación estratégica y
desempeño financiero cuando la muestra se subdivide en grupos de indicadores.
El procedimiento estadı́stico Prueba T para muestras independientes es el que
usamos para comparar las medias de los grupos. Esta técnica divide la muestra
en dos grupos, de acuerdo a algún criterio de diferenciación, y contrasta la
hipótesis de igualdad de sus medias.9
Los criterios de diferenciación de la muestra en grupos están dados en
términos de los indicadores de gobierno corporativo de las empresas. Estos criterios nos permiten analizar los efectos de cada uno de mecanismos de gobierno
8
La diversificación de espectro amplio (diversificación no relacionada), se refiere al número de ramas donde la empresa realiza actividades. La diversificación de espectro limitado
(diversificación relacionada), se refiere al número promedio de actividades que la empresa
realiza en cada rama. Metodológicamente estos indicadores numéricos de diversificación de
actividades se construyen con base en Varadarajan (1986).
9
Ciertamente debe reconocerse que la técnica de análisis propuesta tiene limitaciones.
Estas están asociadas al procedimiento de Prueba T. Idealmente los sujetos a contrastar (las
empresas), debieran asignarse aleatoriamente en grupos distintos [véase Pérez-López (2001)].
En nuestro caso, dichos grupos están asignados con base en caracterı́sticas comunes. Esto
puede hacer que la significancia estadı́stica de las diferencias entre medias de indicadores
sea sobre o subestimada. Este fenómeno se explica en términos de efectos asociados a otros
factores.
64
corporativo mediante los contrastes de hipótesis. Si hay efectos asociadas a
dichos mecanismos, entonces habrá diferencias estadı́sticamente significativas
entre las medias de los grupos. La significancia estadı́stica de dichas diferencias
se estima con base en niveles de significancia de 1, 5 y 10 por ciento. El supuesto
detrás de dichos contrastes es que las varianzas de los grupos de indicadores son
iguales. 10
Los mecanismos de gobierno nos ayudan a definir la organización del análisis de contraste de hipótesis. Esta organización se enfoca en cuatro áreas. La
primera se orienta hacia los efectos que tiene la estructura de la propiedad sobre
la diversificación y desempeño de las empresas. La segunda observa los efectos
que tienen los mecanismos de control accionario. La tercera registra los efectos
de la separación de la propiedad y el control en la empresa. La cuarta área
se enfoca en los efectos que tienen la independencia y la estructura de los consejos de administración. Analı́ticamente, la importancia de esta organización
radica en que nos permite obtener una visión conjunta de las relaciones entre el
gobierno corporativo, la diversificación estratégica y el desempeño financiero.
4. Análisis descriptivo
En esta sección describimos el comportamiento de los indicadores usados en
este estudio. Especı́ficamente, aquı́ mostramos las caracterı́sticas de la distribución de frecuencia individual asociada a cada indicador. Esta descripción
se hace en términos de la naturaleza porcentual, numérica o cualitativa de los
indicadores. En lo que se refiere a los indicadores porcentuales y numéricos,
el análisis estadı́stico incluye las medidas de tendencia central y de dispersión
de los indicadores. En lo que se refiere a los indicadores cualitativos, dicha
descripción incluye la frecuencia de ocurrencia de los valores categóricos de los
indicadores estudiados.
Los indicadores porcentuales y numéricos incluyen medidas de concentración de propiedad, de concentración de ingresos, de diversificación de actividades y de desempeño financiero. Los estadı́sticos descriptivos de dichos
indicadores se encuentran en la siguiente tabla:
10
En esta investigación usamos la prueba de Levene para validar este supuesto. Estadı́sticamente, cuando la evidencia rechaza la hipótesis nula de igualdad de varianzas, se
reportan los resultados asumiendo varianzas desiguales. Este supuesto, como se verá más
adelante, se rechaza en pocas ocasiones.
65
Tabla 1
Estadı́stica descriptiva para los datos discretos
La Tabla 1 muestra que las empresas mexicanas en el periodo estudiado se
caracterizaron por tener una alta concentración de la propiedad, por estar poco
diversificadas y por tener un pobre desempeño financiero. Particularmente, los
indicadores de propiedad y control de las empresas sugieren que los conflictos
de intereses son escasos. Los indicadores también nos sugieren que estás tienden
a concentrar sus actividades en un producto principal y que su producción no
suele estar orientada hacia los mercados internacionales. Además, los valores
de las desviaciones estándar nos sugieren que hay diferencias notorias en la
rentabilidad de las empresas.
Los indicadores cualitativos incluyen los indicadores de control accionario,
de la independencia y la estructura de los consejos de administración de las
empresas. Los estadı́sticos descriptivos de dichos indicadores se encuentran en
la siguiente tabla:
66
Tabla 2
Estadı́stica descriptiva para los datos dicotómicos
La Tabla 2 sugiere que hay tendencias claras en torno a la estructura de la
propiedad y el control de las empresas mexicanas. En dos terceras partes de
las mismas, la propiedad familiar es permitida y en algunas de estas, existen
acciones sin derecho a voto. Además, en la gran mayorı́a de los consejos de
administración de estas empresas existe un Presidente relacionado y duplicidad
de funciones entre el Presidente y el Director General. Otra tendencia es que hay
relativamente pocos comités independientes en los consejos de administración.
Sólo el Comité de Auditorı́a, obligatorio por ley, constituye la excepción a la
regla.
El análisis descriptivo de los indicadores sugiere algunas hipótesis en torno
a los mecanismos de gobierno corporativo. Especı́ficamente, los indicadores de
estructura de la propiedad y de control sugieren que hay una correlación muy
importante entre la propiedad del accionista mayoritario y la de las familias. Los
indicadores relativos a los consejos de administración sugieren que los mismos
poseen escasa independencia para tomar decisiones que afecten el desempeño
de las empresas. Además, los indicadores sugieren que hay poca participación
de los propietarios minoritarios en la composición y estructura del gobierno
corporativo.
Los indicadores de diversificación estratégica muestran que, en promedio,
hay escasa diversificación en las actividades de las empresas mexicanas. Especı́ficamente los indicadores de diversificación de espectro amplio muestran
que al menos la mitad de las empresas concentran sus esfuerzos en una sola
rama productiva (mediana unitaria). Los indicadores de espectro limitado (mediana 2.5) muestran que las empresas desarrollan lı́neas de negocio alrededor
de esta misma rama. Estos hechos son consistentes con las estimaciones de
concentración de ingresos de las empresas. De acuerdo a estos, en promedio, el
77% de estos ingresos devienen de un producto principal.
Los indicadores de desempeño financiero muestran que las empresas mexicanas registran escasa rentabilidad y alta desigualdad financiera (medidas en
términos de medias y desviaciones estándar). Esta situación no es sorprendente
en virtud de que las empresas tienen caracterı́sticas muy diferentes. Esta consideración nos hace evaluar el desempeño promedio de las mismas en términos
67
de los valores de las medianas. Ası́la ROA, la ROE y el margen neto registran,
respectivamente, valores de 5.4, 11.3 y 4.7 por ciento. Estos valores sugieren que
el desempeño financiero de las empresas es relativamente mejor que el sugerido
por los indicadores promediados.
Finalizamos señalando algunas caracterı́sticas comunes en las empresas
mexicanas: 1) La propiedad y el control suelen concentrarse en el accionista
mayoritario, quien participa directamente en el manejo corporativo. 2) Las estructuras de los consejos de administración suelen cumplir con la regulación, al
incluir comités de Auditoria, pero no se caracterizan por incluir comités independientes para realizar funciones de evaluación, compensación, planeación y
finanzas. 3) Las empresas suelen concentrar sus ingresos en su lı́nea principal de
producto y en el mercado interno; y 4) Las actividades de las empresas suelen
desarrollarse dentro de una misma rama productiva.
5. Análisis de contraste de hipótesis
En esta sección realizamos los contrastes de hipótesis para analizar las relaciones
entre gobierno corporativo, diversificación estratégica y desempeño financiero.
Tal como se indicó anteriormente, el análisis se enfoca en cuatro áreas: 1)
Los efectos que tiene la estructura de la propiedad sobre la diversificación y
desempeño de las empresas. 2) Los efectos que tienen los mecanismos de control
accionario sobre las empresas. 3) Los efectos de la separación de la propiedad
y el control en la empresa. 4) Los efectos que tienen la independencia y la
estructura de los consejos de administración.
El análisis de los efectos de la estructura de la propiedad se centra en
los indicadores de propiedad y control del accionista mayoritario. Estos indicadores nos sirven para dividir los grupos de empresas de la muestra y hacer
los contrastes de hipótesis. En la Tabla 3 se incluyen los resultados de dichos
contrastes.
68
Tabla 3
La concentración de la propiedad y el control en el gobierno corporativo,las
estrategias y el desempeño de las empresas
La Tabla 3 muestra que la estructura de la propiedad tiene efectos en las estrategias y rentabilidad empresariales. Especı́ficamente, los datos sugieren que
las empresas cuya propiedad se concentra en un accionista mayoritario están
orientadas hacia el mercado interno. Otros resultados indican que la relevancia
del accionista principal, medida en términos de propiedad y control, tiende a
reducir la diversificación y a aumentar la rentabilidad de las empresas. Estos
resultados son consistentes para todos los indicadores, más no estadı́sticamente
significativos. Ası́la evidencia sugiere que la concentración de la propiedad y el
control reducen la diversificación y mejoran el desempeño financiero.
El análisis de los efectos de los mecanismos de control accionario se centra
en los contrastes de hipótesis relacionados a la existencia de acciones sin derecho
a voto y a la autorización de la propiedad familiar. En la Tabla 4 se incluyen
los resultados estadı́sticos asociados a dichos contrastes.
69
Tabla 4
Las acciones con derechos limitados y la empresa familiar en el gobierno
corporativo, las estrategias y el desempeño de las empresas
La Tabla 4 sugiere que los mecanismos de control accionario tienen impacto en
las estrategias empresariales. Ası́ encontramos evidencia, significativa, de que
en las empresas, donde se permite la propiedad familiar, se tiende a incursionar
en un mayor número de actividades productivas y sus ingresos tienden concentrarse menos en un solo producto. Otros resultados, no significativos, sugieren
que el mercado interno y la diversificación limitada tienen mayor importancia
cuando las empresas son familiares y cuando existen acciones sin derecho a
voto. Paradójicamente, la evidencia no muestra que haya relaciones entre los
mecanismos de control y el desempeño de las empresas.
El análisis de los efectos de la separación de la propiedad y el control en
la empresa se centra en los contrastes de hipótesis relacionados a la figura de
un Presidente relacionado y a la duplicidad de funciones entre el Presidente y
Director General. En la Tabla 5 se incluyen los resultados asociados a dichos
contrastes.
70
Tabla 5
Participación del propietario en las estrategias y el desempeño
de las empresas
La Tabla 5 muestra que no hay tendencias, en lo que se refiere a las estrategias
y desempeño, asociadas a la separación entre la propiedad y el control de las empresas. Los indicadores no muestran diferencias estadı́sticamente significativas
ni consistentes. Aparentemente, las estrategias y el desempeño de las empresas
no dependen de que el accionista mayoritario tenga participación ejecutiva ni
de que haya duplicidad de funciones entre el Presidente y el Director General. Estos hallazgos son contra-intuitivos. Sin embargo pudieran explicarse en
términos de la existencia de relaciones más complejas asociadas a la propiedad
y el control corporativos.
El análisis de los efectos de la independencia de los consejos de administración se centra en los contrastes de hipótesis relacionados a la existencia de
los comités no exigidos por ley en la estructura de los mismos. Estos comités
son los de Evaluación y Compensación y los de Planeación y Finanzas. En la
Tabla 6 se incluyen los resultados asociados a dichos contrastes.
71
Tabla 6
Estructura del Consejo de Administración en las estrategias y el desempeño
de las empresas
La Tabla 6 sugiere que la independencia de los consejos de administración tiene
impacto sobre las estrategias empresariales. Encontramos evidencia significativa de que en las empresas, donde existen comités legalmente no exigibles y
presuntamente independientes, tienden a incrementar las actividades en una
misma rama productiva (diversificación de espectro limitado). Más aún, los resultados muestran que hay un mejor desempeño cuando existen estos comités.
Sin embargo, estos resultados no son significativos, pese a ser consistentes.
Otros resultados, no significativos, sugieren que la diversificación estratégica
aumenta cuando hay comités de evaluación y compensación.
Finalizamos sintetizando las principales relaciones empı́ricas halladas entre
el gobierno corporativo, la diversificación y el desempeño financiero en las empresas mexicanas: 1) Las empresas cuya propiedad se concentra en un accionista
mayoritario tienden a orientarse hacia el mercado interno. 2) La empresa familiar tiende a diversificar, en términos relativos, sus actividades productivas y
sus fuentes de ingreso. 3) No existen tendencias, en lo que se refiere a las estrategias y desempeño, asociadas a la separación entre la propiedad y el control
de las empresas; y 4) En las empresas donde existen comités independientes, se
tiende a favorecer la diversificación de espectro limitado.
6. Conclusiones y comentarios
En esta investigación hemos estudiado las relaciones entre gobierno corporativo,
diversificación estratégica y desempeño financiero en las empresas mexicanas.
En el estudio utilizamos datos de 99 empresas no financieras listadas en la
Bolsa Mexicana de Valores (BMV) durante 2004. Estos datos nos sirvieron
para construir indicadores porcentuales, numéricos y cualitativos para capturar
72
los mecanismos de gobierno corporativo, el espectro de las actividades de diversificación y la rentabilidad de las empresas. En el análisis identificamos las
caracterı́sticas de la distribución de frecuencia individual de los indicadores y
en usamos pruebas T para contrastar medias.
Los hallazgos concretos de nuestro estudio sugieren que hay caracterı́sticas
comunes en las empresas mexicanas: 1) La propiedad y el control suelen concentrarse en el accionista mayoritario, quien participa directamente en el manejo
corporativo. 2) Las estructuras de los consejos de administración suelen cumplir
con la regulación, al incluir comités de Auditoria, pero no se caracterizan por
incluir comités independientes para realizar funciones de evaluación, compensación, planeación y finanzas. 3) Las empresas suelen concentrar sus ingresos
en su lı́nea principal de producto y en el mercado interno; y 4) Sus actividades
suelen desarrollarse dentro de una misma rama productiva.
Las principales relaciones empı́ricas halladas entre el gobierno corporativo,
la diversificación y el desempeño financiero en México fueron las siguientes: 1)
Las empresas cuya propiedad se concentra en un accionista mayoritario tienden
a orientarse hacia el mercado interno. 2) La empresa familiar tiende a diversificar, en términos relativos, sus actividades productivas y sus fuentes de ingreso.
3) No existen tendencias, en lo que se refiere a las estrategias y desempeño, asociadas a la separación entre la propiedad y el control de las empresas; y 4)
En las empresas donde existen comités independientes, se tiende a favorecer la
diversificación de espectro limitado.
Académicamente los resultados de esta investigación complementan los de
otros estudios realizados para economı́as emergentes. Particularmente, a aquellos estudios que han enfatizado la importancia de la estructura de propiedad
en estas economı́as [Filatotchev, Lien y Piesse (2005) y Chiou y Lin (2005)].
Asimismo, complementan algunos estudios teóricos sobre las prácticas de gobierno corporativo y sobre los efectos del gobierno corporativo sobre el desarrollo
económico [Allen (2005) y Claessens (2003)] También completan a otros estudios que han analizado las relaciones entre la diversificación estratégica y el
desempeño financiero [véase Huerta y Navas (2007)].
Finalmente, no sobra mencionar que creemos que esta investigación puede
extenderse en varias direcciones. Una de ellas estarı́a asociada a la inclusión de
variables sectoriales y demográficas. Otra, a la inclusión de datos en panel. En
ambos casos, existen argumentos teóricos y empı́ricos que justificarı́an analizar
dichas extensiones de manera independiente. Su importancia esta dada en
términos de su posible contribución al entendimiento de las dinámicas intertemporal y sectorial en la administración de empresas; particularmente en lo que
corresponde a las interacciones entre el gobierno corporativo, la diversificación
estratégica y el desempeño financiero.
Bibliografı́a
Allen, F. (2005). “Corporate Governance in Emerging Economies”, Oxford
Review on Economic Policy, 21(2), 164-177
Anderson, R. C., Bates T. W., Bizjak J. M. y Lemmon M.L. (2000). “Corporate
Governance and Firm Diversification”, Financial Management, 29(1), 5-22.
Castañeda, G. (1999). “Governance of Large Corporations in México and
Productivity Implications” International Conference “Gobierno Corpora-
73
tivo: Desafı́os para América Latina”. Pontificia Universidad Católica de
Chile, Santiago de Chile.
Castillo Ponce, R. A. (2007). “Entre familia y amigos: La elección de la
estructura de la propiedad corporativa”, Estudios Económicos, 22(1), 318.
Castrillo Lara, L. A. y San Martı́n Reyna J. M. (2007). “La propiedad familiar
como un mecanismo disciplinador de dirección de las empresas mexicanas:
Una evidencia empı́rica”, Contadurı́a y Administración, 222, 59-82.
Chiou, J. y Lin, Y. (2005). “The Structure of Corporate Ownership: A
Comparison of China and Taiwan’s Security Markets”, Journal of American Academy of Business, 6(2), 123-127.
Claessens, S. (2003). Corporate Governance and Development, Washington:
BERD.
Eiteman, D. K., Stonehill A.I., y Moffet M.H. (2007). Multinational Business
Finance, Onceava edición, Boston: Pearson Addison Wesley.
Filatotchev, I., Lien, Y. y Piesse, J. (2005). “ Corporate Governance and
Performance in Publicly Listed, Family-Controlled Firms: Evidence from
Taiwan”, Asia Pacific Journal of Management, 22 (3), 257-283.
Hoshino, T. (2004). “Family Business in Mexico: Responses to Human
Resource Limitations and Management Succession”, The Institute of
Developing Economies, Discussion Paper 12.
Huerta, P. y Navas, J. E. (2007). “Análisis de la relación entre la diversificación
y los resultados empresariales: Una revisión teórica”, Análisis Económico,
22(49), 133-148.
Husted, B.W. y Serrano, C. (2002). “Corporate Governance in Mexico”,
Journal of Business Ethics, 37 (3), 337-348.
La Porta, R., Lopez-de-Silanes, F. y Shleifer, A. (1999). “Corporate Ownership
Around the World”, Journal of Finance, 54(2), 471-517.
Nandelstadh, A von y Rosenberg, M. (2003). “Corporate Governance
Mechanisms and Firm Performance: Evidence from Finland”, Swedish
School of Economics and Business Administration, Working Paper 497
Pérez-López, C. (2001). Técnicas Estadı́sticas con SPSS., Madrid: PrenticeHall.
Schleifer, A y Vishny, R.W. (1997). “A Survey of Corporate Governance”,
Journal of Finance, 52 (2), 737-783.
Varadarajan, P. (1986). “Product Diversity and Firm Performance: An
Empirical Investigation”, Journal of Marketing, 50 (3), 43-57.
TIPs for the Analysis of Poverty
in Mexico, 1992-2005
∗
Carlos M. Urzúa†
Alejandra Macı́as††
Héctor H. Sandoval†††
Recibido 16 de enero 2008, Aceptado 23 de enero 2008
Abstract
This paper proposes some changes to the official methodology that is currently
in use to measure the state of poverty in Mexico. Among other suggestions, it
is recommended the use of bootstrapping to estimate confidence intervals for
the poverty statistics, as well as the use of dominance analysis when making
intertemporal comparisons. In particular, since poverty lines change over time,
the paper proposes the use of TIP curves for that end. Using the eight surveys
that were made during the period 1992-2005, the paper presents a large number
of absolute poverty statistics and TIP curves, as well as comparisons among
them.
Resumen
Este trabajo propone varios cambios a la metodologı́a oficial que se utiliza actualmente para medir el estado de pobreza en México. Entre otras sugerencias,
se recomienda el uso de métodos de remuestreo para estimar los intervalos de
confianza de los estadı́sticos de pobreza, ası́ como el empleo del análisis de dominancia cuando se hacen comparaciones intertemporales. De manera particular,
dado que las lı́neas de pobreza cambian a lo largo del tiempo, se propone para
ese fin el uso de las curvas TIP. Usando las ocho encuestas que fueron levantadas durante el periodo 1992-2005, se presentan un gran número de ı́ndices de
pobreza absoluta y de curvas TIP, ası́ como comparaciones entre sı́.
JEL Classification: I32, D63
Keywords: Poverty, confidence intervals, standard error,
measures, TIP curves, dominance, Mexico
bootstrap,
resampling,
FGT
∗
We are grateful to James Foster for his criticism to an earlier draft, and to Silvio Rendón
for sharing with us an unpublished technical report by Javier Ruiz-Castillo (2005a) on poverty
in Mexico. Among several suggestions made by Ruiz-Castillo in that report, he advocates, as
we do here, the use of TIP curves. The views expressed in this paper are those of the authors
and should not be attributed to PNUD or CONEVAL.
† Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México. e-mail: [email protected] Tel.:
+52(55)5483 1878.
†† Programa de las Naciones Unidas para el Desarrollo en México.
††† Consejo Nacional de Evaluación de la Polı́tica de Desarrollo Social.
75
1. Introduction
Given its endemic and enduring character, the issue of poverty in Mexico has
always been a matter of concern. In particular, the sharp increase in the poverty
rate that was experienced during the second half of the nineties, due to the 19941995 economic crisis, lead the newly arrived authorities to allocate, starting
in 2001, more resources to quantify the magnitude of the problem. Since at
that time there was not a widely accepted methodology to measure poverty in
Mexico, the government decided to constitute an ad-hoc committee of experts
on the subject. The Comité Técnico para la Medición de la Pobreza (CTMP)
was then asked to provide a single methodology that could be employed by the
government to produce official poverty statistics. In 2006 that ad-hoc committee
was replaced by the legally constituted Consejo Nacional de Evaluación de la
Polı́tica de Desarrollo Social (CONEVAL), which, starting that year, has the
mandate of defining, identifying and measuring poverty in Mexico. As will be
briefly reviewed later, CTMP and CONEVAL have made substantial advances
to that end. Although the official methodology for measuring poverty may
be subject to criticisms, some of which will be noted below, the fact that all
economic and political actors are willing to take it as a reference certainly helps
to articulate better policies to attack poverty.
The main purpose of this paper is to suggest some changes in that
official methodology in order to have more robust conclusions on the state of
poverty in Mexico. To start with, it is suggested that all poverty measures
should be always accompanied with an estimate of their precision. Somewhat
surprisingly, it is not until very recently that studies on Mexican poverty have
started to incorporate information about the standard errors of their poverty
estimates. Bad examples are numerous, including a recent book by the World
Bank (2004) in which increases or decreases of poverty estimates are viewed
invariably as meaningful, without ever reporting the corresponding standard
errors. On the other hand, the very first estimates of poverty incidence
in Mexico released by the Consejo Nacional de Evaluación de la Polı́tica de
Desarrollo Social were already accompanied by their corresponding estimated
standard errors (see CONEVAL, 2006).
However, in contrast to the statistical procedure employed by the
authorities to estimate the precision of poverty rates, based on a simple Taylor
expansion (see CONEVAL, 2007, and CTMP 2005), we suggest in this paper the
use of bootstrapping to calculate confidence intervals for the poverty statistics.
We also stress here that such a resampling procedure should take into account
the statistical design of the income and expenditure surveys on which poverty
estimates are generated.
A second suggestion to make more robust the official statistics relates to
the aggregate poverty measures to be employed. For reasons of simplicity, both
CTMP and CONEVAL decided to report in official documents only headcount
ratios. But it is known since Sen (1976) that such an index, although very
easy to understand by the public, is fraught with conceptual difficulties. This
point is implicitly acknowledged by CTMP (2002) in an appendix to its first
methodological document, where the committee recommended a further
examination of the data using some of the aggregate poverty measures
introduced by Foster, Greer and Thorbecke (1984). In this paper we advocate
just the same, and present those poverty statistics for the eight latest income
76
and expenditure surveys.1
Finally, this paper also proposes the use of dominance analysis when
making intertemporal comparisons about the state of poverty in Mexico. In
particular we advocate the use of TIP curves, as presented by Jenkins and
Lambert (1997). Although there are other possible ways to do that analysis,
we believe that TIP curves are easier to understand by the general public.
The paper presents the curves corresponding to each of the surveys, and also
comments on possible poverty dominances over different years. In particular,
our analysis casts some doubts about the commonly-held belief that in 2005
the state of poverty in Mexico was less worrisome than the one that prevailed
before the 1994 economic crisis.
The content of the paper is as follows: The next section presents
information on the surveys that are employed in this paper to calculate the
poverty measures, as well as on two important data adjustments that had to
be made prior to the computation of the statistics. It also presents the
methodology for poverty measurement suggested by CTMP and CONEVAL.
Section three presents a detailed description of the bootstrap method, which is
then applied to compute robust confidence intervals for several poverty indexes.
The results are quite comprehensive, since they cover all the eight income and
expenditure surveys mentioned earlier. Furthermore, those results are
complemented with separated tables on the extent of poverty in urban and
rural areas, which are given (and discussed) in the Appendix. Section four
goes one step further and makes a dominance analysis by means of TIP curves.
Finally, section five draws the conclusions.
2. Surveys and methodology
The information used to measure poverty in Mexico comes from the ENIGH
(Encuesta Nacional de Ingresos y Gastos de los Hogares), a household income
and expenditure survey made by INEGI (Instituto Nacional de Estadı́stica,
Geografı́a e Informática) every two years. This paper uses the eight different
surveys corresponding to the years 1992, 1994, 1996, 1998, 2000, 2002, 2004 and
2005 (this last year is an exception to the current rule that surveys are taken
only in even years). Although the methodology used to make those surveys has
changed over the years, the eight most recent ones can be safely compared with
each other (except for a minor difference to be mentioned later). Furthermore,
those particular years are quite interesting, since during that single span the
Mexican economy went through sharp economic downturns and upturns: After
coming from a period of stability and relatively low growth rates from 1992 to
1994, the economy suffered at the end of 1994 a financial crisis that sent it to
a very deep recession that lasted two years. A strong recovery ensued in the
years 1998-2000, partially fueled by the strong performance showed by the US
economy in that period. From the year 2001 to 2003, though, the Mexican
economy stagnated, and had an even more disappointing record than the US
economy. Finally, in the last two years covered by the surveys, 2004-2005, the
economy enjoyed a mild but sustained recovery.
1
At the moment of the writing of this paper, the 2006 survey was not yet publicly
available.
77
Before starting our study, it is important to note that the data reported
in the surveys mentioned above were adjusted in two ways: First, we deleted
all duplicated income entries that were found in each of the surveys. The first
three ENIGHs were free of error in that respect, while the rest had duplicated
responses in varying degrees.2 . It is interesting to note that the same cleaning
procedure was followed by the authorities in their document on poverty
circulated at the end of 2006 (CONEVAL, 2006). Our second adjustment had
to do with the cases of households that reported negative net incomes. For
reasons that will be given later on, in those instances the net incomes were
changed to zero.
There are two other comments, more technical, that we would like to make
regarding the surveys. First, all the ENIGHs were designed to be representative
not only at national level, but also at urban (localities with 2,500 inhabitants
or more) and rural (i.e., non-urban) levels.
Although the most recent surveys are also representative at other levels,
for purposes of comparison our results are only reported on those first three.
To give an idea of the relative importance of urban and rural areas, Table 1
provides the percentage of Mexicans living in each of them during the eight
years covered in this study.
The second comment to be made is about the sampling design of the
ENIGHs. This is an important issue if one wants to make poverty comparisons
over the years, since the estimation of standard errors for poverty measures
should take into account such a sampling design (see, e.g., Howes and
Lanjow, 1998). For that end, in this paper we make use of the information on
the corresponding strata and primary sampling units reported by INEGI for
each ENIGH.3
Regarding the official methodology to measure poverty, as first established
by CTMP (2002 and 2005) and later adopted by CONEVAL, we can state
its two main elements as follows: First, as is the case in most of the
other developing countries, the official poverty statistics are based on absolute
poverty lines, while the household welfare is identified with its income. Since
we donft want to take issue on those two choices here, we refer the reader to the
thoughtful papers by Ruiz-Castillo (2005a,b) in which both of those directives
are challenged for the case of Mexico. In particular, Ruiz-Castillo advocates
the simultaneous estimation of absolute and relative poverty, while he sides in
favor of consumption-based measures.
The other main point is that the official methodology also establishes that
the headcount ratio should be used to report poverty incidence, and this
according to three different poverty definitions: “food poverty”, when income
is too low to cover basic food necessities; “capabilities poverty”, when income
is insufficient to buy basic food, education and health necessities; and “assets
poverty”, when income is too low to cover basic food, education, health,
dressing, housing and public transportation necessities. The reader may consult
2
The number of duplicated entries for the years 1998, 2000, 2002, 2004 and 2005 were,
respectively, 1, 4, 9, 92 and 1. Except for the year 2004, whose duplicated entries accounted
for .12% of the total, the errors found in the rest of the years can be regarded as insignificant.
3
We also follow this institution in disregarding, in the case of the calculation of standard
errors, the instances in which there are also secondary, and even tertiary, sampling units.
78
CTMP (2002) for the way in which the corresponding three poverty lines are
derived. Here it suffices to note that by “income” is meant per capita income,
since individuals, rather than households, are typically considered in the official
statistics.
Table 1
Percentage of Mexicans Living in Urban and Rural Areas
Urban
Rural
1992
59.0
41.0
1994
57.8
42.2
1996
59.3
40.7
1998
59.1
40.9
2000
61.1
38.9
2002
61.8
38.2
2004
62.5
37.5
2005
62.9
37.1
Source: Own estimates based on the corresponding ENIGHs.
Furthermore, the actual variable that is employed is net income, which
is the result of subtracting from total current income all transfers to other
households. This is important to keep in mind, since, as shown by Sandoval
and Urzúa (2007), in all the ENIGHs that are examined in this paper there are
some households that actually report negative net incomes, a fact that may have
in turn some consequences. In such a case, that paper shows that if the poverty
measures go beyond a mere headcount they could behave in rather anomalous
ways. Thus, it is important to decide from the onset what to do with the
negative net incomes. As pointed out earlier, in our exercise we decided to set
them equal to zero. Although Sandoval and Urzúa (2007) suggest other ways
to deal with that problem, by setting them equal to zero we continue to get the
same official poverty incidence statistics while avoiding anomalous behaviors.
Regarding the poverty indices to be computed in this paper, we will use
particular members of the following FGT class introduced by Foster, Greer and
Thorbecke (1984):
α
q 1 z − yi
Pα (z) =
, α ≥ 0,
(1)
n
z
i=1
where q is the number of poor people in a population of size n, and where
the i−th member has an income yi which is less or equal than the poverty
line z. The headcount ratio used by CTMP and CONEVAL is obtained when
α = 0, which gives poverty incidence (the proportion of the population whose
welfare falls below the poverty line). On the other hand, the relative povertygap
measure is found when α = 1:
q 1 z − yi
P1 (z) =
,
n
z
i=1
This index measures poverty intensity, the shortfall in the welfare of the
poor relative to the poverty line. Finally, the squared poverty-gap index is
obtained when α = 2:
2
q 1 z − yi
P2 (z) =
,
n i=1
z
79
which, by giving more weight to the poorest individuals, provides a measure
of the severity of poverty. It may be noted that if one were to accept Sen’s
(1976) monotonicity and transfer axioms, of the three indexes considered here
it is only the squared poverty-gap which would be considered to be a bona fide
poverty measure.
3. Testing for changes in poverty
As noted in the introduction, one of the purposes of this paper is to calculate
confidence intervals for the FGT poverty statistics in the case of Mexico. An
approach that might be used for that end is to apply the delta method (which
boils down to a simple Taylor expansion). This is in fact the procedure
suggested by CTMP (2005) and CONEVAL (2007), and which is illustrated in
the study of poverty incidence in Mexico during the years 1992-2005 made by
CONEVAL (2006).
Assuming that a poverty line is fixed, it is easy to find the asymptotic
sampling variances when the estimators are means of simple functions of random
variables. In fact, Kakwani (1993) has presented explicitly the approximate
sampling variance for the class of FGT poverty indices given in (1); namely,
var(Pα ) ≈
P2α − Pα2
.
n
Note that, as we stressed earlier, that type of approximation cannot be
applied directly, since it presumes that the survey was taken using a simple
design. However, after making use of the fact that the FGT measures are
additively decomposable, Jolliffe and Semykina (2000) show how to include the
possibility of a complex design that includes stratification and clustering.4 A
methodological note that is broadly similar is also made by CTMP (2005).
It is worth noting, however, that the Taylor approximation given above is
derived assuming an asymptotic normal distribution for the estimators, which
is obviously incorrect in the case of poverty measures. This is so because those
indexes oscillate between 0 and 1 (0% and 100%). As a consequence, if one
uses a normal approximation for the confidence intervals, these could end
up containing values less than zero or greater than one (see, e.g., Sandoval
and Urzua, 2007, for an example with real data). Furthermore,
a normal approximation would lead to symmetric confidence intervals, which
seems unwarranted on a priori grounds.
But then, how can one construct more robust confidence intervals for
poverty statistics? The answer is well known: By using resampling methods,
the most versatile of which is Efron’s bootstrap. Even though since
the mid-eighties there have been numerous applications of bootstrapping in
Economics, it is interesting to note that it took some time for this simulation
procedure to be recognized as a valuable tool among researchers interested on
poverty and income distribution. To our knowledge, it was Deaton (1997) who
first used it in the context of poverty, while Mills and Zandvakili (1997) were
the pioneers in the case of inequality measurement.
4
Those authors have actually written a STATA program, whose command name is sepov,
that accomplishes automatically that task.
80
The idea of bootstrapping is simple. Given a dataset, such as the one
coming from an income and expenditure survey, one creates a large number of
independent bootstrap samples (in our case “bootstrap surveys”) by sampling
with replacement from the dataset. One then computes the statistic of interest
for each of those samples, and estimates the standard error of the original
statistic by the empirical standard deviation of those replications.
To be more precise, and following the presentation in Efron and
Tibshiriani (1993), if n is the sample size, then the bootstrap algorithm for the
(nonparametric) estimation of the standard error of the FGT statistic Pα can be
described as follows: First, select B independent bootstrap samples, each with
size n and drawn with replacement. In our case B was selected to be equal
to 500.5 The second step involves the computation of the poverty measure
for each bootstrap sample: P̂α (b), b = 1, 2, . . . , B. The last step involves
the estimation of the standard error of the original poverty statistic using the
standard deviation of the B replications given by:
B
b=1
Pα (b) − P̄
2
1/2
/(B − 1)
,
where
P̄α =
B
Pα (b)/B.
b=1
In the case of the estimation of confidence intervals for the poverty measures,
which is important in the case of this paper, there are several procedures
available. We choose here to work with Efron’s bias-corrected and accelerated
(BCa ) method, which is more time demanding than most of the others, but
it is also one of the best. Since the formulae required to present the method
is a little bit cumbersome we refer the reader to Efron and Tibshiriani (1993,
chap. 14) for the details. Finally, there is an important reminder to be
made before presenting the empirical results: The bootstrapping computation
of the confidence intervals has to take into account the complex design of the
ENIGHs.6
Table 2 presents the values of the FGT poverty indices and their confidence
intervals thus obtained. The estimates are given for eight different years, as
well as for the three official definitions of poverty. As noted there, the figures
correspond to the population at large (individuals, not households), and also
to the national level. To complement this last case, tables A1 and A2 in the
Appendix present the FGT indices for the case of urban and rural Mexico.
Before making intertemporal comparisons, it is worth commenting about
how our results compare to the ones calculated by the government. Since the
current methodology dictates that only the head-count ratio (poverty
incidence) be reported, the official documents typically present just the point
5
Efron and Tibshiriani (1993) suggest that in the case of standard error estimation an
upper bound that works well is 250 replications. However, since the interest in this paper is
on robust confidence intervals, that lead us to choose 500 replications for all cases.
6
This is not a difficult task to accomplish in most statistical packages. For instance,
in STATA one has to declare first the survey design using the command svyset, and then
use the command bootstrap leaving the “size” option unspecified (in such a way that the
bootstrap samples are in agreement with the total number of clusters in each stratum). The
BCa confidence intervals are also available in that package.
81
estimates of P0 for the three definitions and poverty, classified by levels
(national, urban and rural). Those estimates are also typically accompanied
by graphs similar to our Figure 1 below, although the authorities donft plot,
or report, the corresponding confidence intervals. How do our point estimates
of poverty incidence compare to the latest estimates reported by CONEVAL
(2006)? They are exactly the same in the years 2000, 2002, 2004 and 2005.7
Table 2
FGT Poverty Indices for Mexico, 1992-2005
(Population at large, national level)
Year
P (0)
[95%Conf.Int.]
P (1)
[95%Conf.Int.]
P (2)
[95%Conf.Int.]
Food Poverty
1992
1994
22.4%
21.3%
19.4% 25.7%
19.0% 23.6%
7.5%
7.2%
6.1% 8.8%
6.2% 8.1%
3.5%
3.3%
2.9% 4.2%
2.9% 3.8%
1996
36.9%
36.1% 38.4%
1998
34.3%
33.0% 35.6%
13.8%
13.3% 14.4%
7.0%
6.6% 7.5%
13.5%
12.9% 14.2%
7.2%
2000
24.1%
22.7% 25.7%
6.7% 7.6%
8.4%
7.9% 9.1%
4.1%
2002
2004
20.0%
17.4%
3.9% 4.8%
19.0% 21.4%
16.4% 18.4%
6.2%
5.8%
5.8% 6.6%
5.6% 6.5%
2.8%
3.0%
2.7% 3.8%
2.5% 3.4%
2005
18.2%
17.2% 19.0%
6.1%
5.9% 6.7%
3.0%
2.3% 3.7%
9.3% 12.2%
5.2%
4.3% 6.1%
Capabilities Poverty
1992
30.7%
27.4% 34.1%
10.7%
1994
1996
30.1%
46.1%
27.0% 32.6%
45.1% 47.4%
10.2% 9.2% 11.7%
18.5% 17.9% 19.4%
4.9% 4.3% 5.6%
9.8% 9.5% 10.3%
1998
42.6%
41.4% 43.9%
17.7%
17.0% 18.4%
9.7%
9.2% 10.3%
2000
31.8%
30.3% 33.2%
11.6%
11.1% 12.4%
5.9%
5.7% 6.7%
2002
26.9%
25.7% 28.1%
9.1%
8.6% 9.6%
4.3%
4.1% 5.1%
2004
24.7%
23.7% 25.8%
8.4%
8.1% 9.1%
4.2%
3.7% 4.8%
2005
24.7% 23.7% 25.7%
Assets Poverty
8.7%
8.3% 9.2%
4.4%
3.5% 5.2%
1992
54.0%
50.8% 57.3%
22.5%
20.3% 24.6%
12.3%
10.9% 13.7%
1994
52.7%
49.5% 55.4%
21.8%
20.1% 23.5%
11.8%
10.9% 13.1%
1996
68.7%
67.7% 70.0%
33.2%
32.7% 34.1%
20.0%
19.5% 20.7%
1998
2000
64.5%
53.6%
63.3% 65.9%
51.9% 55.2%
31.4%
23.3%
30.5% 32.4%
22.4% 24.2%
19.1%
13.1%
18.6% 19.9%
12.5% 13.9%
2002
50.0%
48.7% 51.2%
20.0%
19.4% 20.8%
10.6%
10.3% 11.2%
2004
47.2%
45.4% 48.4%
18.6%
18.1% 19.4%
10.0%
9.2% 10.8%
2005
47.0%
45.9% 48.1%
19.0%
18.4% 19.6%
10.2%
8.8% 11.6%
7
The results obtained by CONEVAL and us are in turn, for the years 2000, 2002 and
2004, slightly different from the ones reported earlier in other official and academic documents.
The reason is that the expansion factors for those ENIGHs were revised by INEGI in 2006.
82
They are also the same for the year 1994. In the case of the years 1992 and
1996, there are very small differences probably due to rounding errors.8 In the
year 1998, however, CONEVAL’s estimates for the three types of poverty are
about 0.5% below ours, since that institution reports 33.9%, 42.3% and 64%,
respectively. Given that there was only one duplicated entry in the ENIGH
of that year (remember the discussion in Section 2), it is difficult to give a
reason for those discrepancies, except for typographical errors or programming
mistakes.
Figure 1
Poverty Incidence in Mexico for the Population at Large, 1992-2005
As opposed to CONEVAL (2006), Table 2 also reports the 95% confidence
intervals for poverty incidence, as well as estimates for poverty intensity (P1 )
and poverty severity (P2 ), and their respective 95% confidence intervals. Thus,
we can draw more robust conclusions on the intertemporal changes in the state
of poverty in Mexico. To give an important example: There was a fierce
discussion when the government announced that poverty incidence had dropped
significantly from 2000 to 2002, since during that period the economy suffered
a recession. Regardless of the factors that could explain that finding (on those
see Cortés, 2005), Table 2 provides strong evidence in its favor. For all the
three definitions of poverty, that table shows that from 2000 to 2002 there was
a significant drop in the incidence, the intensity and the severity of poverty in
8
The differences arise in the case of the estimates for capabilities poverty and assets
poverty, for which CONEVAL (2006) reports 30.6% and 53.9% in 1992 (0.1% below ours),
and 46.2% and 68.8% in 1996 (0.1% above ours).
83
Mexico.9 We know that not because of the large decreases in P0 , P1 and P2
per se (from 24.1% to 20%, 8.4% to 6.2% and 4.1% to 2.8%, in the case of
food poverty), but because those drops are statistically significant. How can
we assure that? Because the 95% confidence intervals do not overlap in any
of the nine cases (since there are three indices and three poverty definitions).
It is interesting to note that, as discussed in the Appendix, those results
at the national level are mostly explained by the even more substantial (and
statistically significant) drops of the poverty indices in the case of the rural
sector.
Returning to the big picture, among the most noticeable conclusions that
can be drawn from the table, we can single out three: First, after the economic
crisis that erupted at the end of 1994, the state of poverty in Mexico
deteriorated very sharply. This can be seen by comparing the figures in Table
2 for 1994 (the corresponding ENIGH was made several months before the
beginning of the crisis) with the ones for 1996-1998. Second, as noted earlier,
poverty conditions improved significantly from 2000 to 2004. And third, even
though the government decided to make, for electoral reasons, an untypical
ENIGH in the year 2005, poverty conditions in that year did not turn out to
have improved over the ones prevailing in 2004.
We leave at the end the most polemical question to be answered: whether
or not the state of food poverty in Mexico that prevailed in 1994, right before
the crisis, was definitely worse than the current conditions, as represented by
the 2004 indices (which are better, in terms of simple point estimates, than the
2005 indices). According to Table 2, poverty incidence and poverty intensity
did decrease from 1994 to 2004, but that was not the case for poverty severity.10
Thus, the answer to that question is negative. This finding will be corroborated
at the end of the next section using TIP curves, a subject to which we turn
next.
4. TIP curves
Since all the comparisons made in the last section depend on particular indices,
a natural question to ask is if by using other poverty measures we would end
up with the same rankings as the ones obtained before. There is an important
literature that tries to establish criteria for unambiguous poverty rankings, the
general framework to which that question belongs. Although there are several
possible ways to face that problem (e.g., through the use of generalized Lorenz
curves), we believe that the methodology introduced by Jenkins and Lambert
(1997) is, aside from being visually appealing, the easiest to understand by the
general public. Furthermore, their particular procedure is well suited to study
the dominance across distributions when the poverty lines change over time,
which is our main interest here. What Jenkins and Lambert propose is the
use of a “Three ‘I’s of Poverty” (TIP) curve to represent three dimensions of
9
That claim may be also substantiated using the dominance analysis presented in the
next section.
10
This is so because the two confidence intervals corresponding to P2 overlap. Even
though the overlapping region is quite small, it can be shown, following a similar procedure
than the one that is mentioned in the Appendix, that we cannot reject at the 5% level the
null hypothesis of the same poverty severity in both years.
84
poverty: incidence, intensity and inequality.11Once the TIP curves are drawn
for all the periods of interest, one proceeds to order those graphs that do
not intersect. That ordering corresponds in turn to an unambiguous poverty
ranking according to a large class of poverty measures.
Before defining the TIP curve, it is necessary to present some notation.
As before, let z denote a given poverty line, and yi be the income of the i−th
member of a population of size n. After arranging the (positive) incomes in
ascending order, y1 ≤ y2 ≤ . . . ≤ yn define the relative poverty gaps as
Γ(y; z) = max{(z − yi )/z, 0}
(the analysis might be also made in terms of absolute gaps, but we focus here
on normalized gaps since those are the ones used in the FGT poverty indices
calculated earlier). The TIP curve is now constructed by cumulating those
relative poverty gaps and graphing them.
Figure 2
The TIP Curve and It’s Three I’s
Figure 2 presents an example (with a shape similar to the Mexican case).
As is illustrated there, poverty incidence is given by the length of the line that
11
Those curves may be named “TIP” in Spanish as well, since they represent the following
tres I’s: incidencia, intensidad e inequidad. Note that “inequality” is usually translated in
Spanish as “desigualdad”, a word that does not start with an “i”. But in Mexico, and some
other Latin American countries, “inequidad” is an equivalent term. In any case, the Spanishspeaking readers that dislike neologisms may use instead the word “iniquidad”.
85
goes from the origin to the intersection of the dotted line and the horizontal
axis. This is so because the poverty headcount ratio is found precisely where
the TIP curve totally flattens out. Poverty intensity, on the other hand, can
be represented by the height of the curve, since the average normalized poverty
gap is given by the slope of the ray that goes from the origin to the point
at which the curve becomes horizontal. Finally, the curvature of the graph
summarizes poverty inequality. In the limit, if all individuals were identically
poor, the curve would be just a straight line, while if there were no poor people,
the curve would be parallel to the horizontal axis.
Now suppose that there are two TIP curves derived from normalized
poverty gap distributions Γ(y; zy ) and Γ(x; zx), each coming from, say, a
different ENIGH. It is said that Γ(x; zx) dominates Γ(y; zy ) if its TIP curve lies
wholly above the other curve. As shown by Jenkins and Lambert (1998), if
there is such a TIP dominance, then for a broad class of poverty indices it has
to be the case that each poverty measurement would be worse for Γ(x; zx ) than
for Γ(y; zy ); that is, there would be an unambiguous poverty ordering. But, the
reader may now ask, how large is that class of indices? Broad enough, since
not only includes the FGT aggregate measures, but also many others, such as
Pyatt’s, Shorrocks’s and Watts’s (see Table 1 in Jenkins and Lambert, 1997).
Returning to the examination of the state of poverty in Mexico, Figure 3
graphs the TIP curves corresponding to the eight ENIGHs under study. To
avoid the use of too many graphs, we restrict our attention to food poverty
among the population at large, although similar results would be obtained by
using other poverty definitions, or by distinguishing among urban and rural
Mexico.
Focusing now on Figure 3, note that the graphs corresponding to 2002 and
2005 are basically undistinguishable at their maximum height, since poverty
intensity was very similar in those two years (6.2% and 6.1%, according to Table
2). Note also that even though the 1996 and 1998 TIP curves do not dominate
each other, they certainly do over the rest. Thus, the poverty conditions in 19961998 were considerably worse than the ones prevailing before the economic crisis,
as represented by the 1992-1994 TIP curves, and also worse than the poverty
conditions that took place after the end of that crisis, as given by the 2000-2005
TIP curves.
The reader may draw other conclusions from Figure 3 (and may also
compare them with the conclusions drawn before). Here we just want to try
to verify the answer given to the important question that was put at the end
of Section 3; namely, was the state of food poverty in 1994 worse than the one
that prevails today, using the 2004 ENIGH as representative of the current
conditions? For that end, Figure 4 presents the 1994 and 2004 TIP curves
alone. It is evident from there that the 1994 TIP curve does not dominate the
2004 one, since in the lowest percentiles the dominance is actually reversed.
This finding corroborates our claim in the last section that the state of (food)
poverty in 1994 was not definitely worse than in 2004.
86
Figure 3
TIPs Curves for Mexico, 1992-2005
(Food poverty, population at large)
But we can go one step further in the comparison. It can be checked that
it is in between the fourth and the fifth percentile of the lowest segment where
the 2004 TIP curve starts to dominate the 1994 TIP curve. At first sight that
evidence would seem to suggest that the living conditions of the poorest among
the poor, about a half million people, might have worsened since the 1994
economic crisis. However, is that claim statistically sound? We have to make
a further analysis, since the comparison of the two TIP curves given above is
just a geometric exercise.
One way to proceed at this point is to use, for instance, the statistical
procedure developed by Davidson and Duclos (2000) to make inferences about
the stochastic dominance of one curve over the other.12 But we propose here
a different statistical procedure, more akin to the other methods used in this
paper: The idea is simple: For each of the two years, 1994 and 2004, gradually
lower the corresponding poverty line by, say, 10% each time. Having done that,
for each reduced level calculate the incidence, the intensity and the severity of
poverty, as well as the corresponding 95% confidence intervals. Finally, for each
variation of the poverty line check if the difference in the poverty measures for
each of the two years is significant or not.
12
Actually, for the exercise that occupies us it is better to use the newer (and more
powerful) method in Davidson and Duclos (2006) to test for restricted dominance.
87
Figure 4
TIPs Curves for 1994 and 2004
(Food poverty, population at large)
In our case, it was until the reduction to 40% of the poverty lines when
the 2004 point estimates became worse than in 1994. For instance, P0
became 2.87% in 2004 and 2.64% in 1994 (a similar phenomenon occurred for
the other indices). However, since the corresponding confidence intervals
were, respectively, (2.53%,3.25%) and (2.27%,3.05%), such a difference is not
significant at the 5% level. Actually, one has to reduce the poverty lines up to
their minima, at 10% of their original value, to really have a significant (and
very minor) difference between the two estimates of poverty incidence. Thus,
this last exercise suggests that it is incorrect to state that the poorest among
the poor were actually better off in 1994 as compared to 2004. They were as
poor in one year as in the other.
5. Conclusions
On the normative side, this paper has proposed several changes to the official
methodology that is currently being employed to measure the state of poverty
in Mexico. Among other suggestions, it is recommended the use of resampling
methods to estimate confidence intervals for the poverty statistics, as well as
the use of TIP curve for dominance analysis. We hope to have provided in this
paper compelling reasons for the need to revise the existing methodology along
those lines.
On the empirical side, the paper has presented several findings on the
evolution of poverty in Mexico. Some of them are in line with the findings
reported by the government, while others are not. In particular, we challenge
88
in this paper the widespread view that the state of poverty in Mexico in 1994
was worse than the one prevailing a decade later.
Appendix
Tables A1 and A2 in this appendix present the FGT poverty indices for both the
urban and the rural populations in Mexico, as a complement to the information
contained in Table 2 above. It is important to keep track of the evolution of
poverty rates at both the urban and the rural levels, since in some periods
the corresponding rates may be moving at a different pace. A good example
of it is the decrease in poverty from 2000 to 2002, an empirical fact that was
discussed in the main text. As can be observed from Table A2, those results
at the national level are mostly explained by the even more substantial (and
statistically significant) drops of the poverty indices in the case of the rural
sector. Furthermore, in the case of the poverty statistics for urban Mexico,
shown in Table A1, the drops are not statistically significant. How can we
make such a claim in this last case? We can presume it, by noting that, for all
indices and poverty definitions, the confidence intervals corresponding to the
two years do overlap. But that is just a conjecture, since in the case of confidence
intervals whose intersection is relatively small there is a possibility of rejecting at
the end the null hypothesis of equality between the indices. Thus, as opposed to
the case of non-overlapping confidence intervals (when the difference is always
statistical significant), one has to pursue a further analysis. In the case of
bootstrapping, as is explained thoroughly in Efron and Tibshiriani (1993, chap.
16), this is accomplished by drawing bootstrap samples for both ENIGHs, and
then computing a confidence interval for the difference between the poverty
estimates in those two years. If zero is not contained in the interval, then the
change would be deemed to be statistically significant. However, after doing
such an exercise for each of the cases in Table A1, we can confirm the former
claim of non-significant poverty changes, at the 5% level, in urban Mexico from
2000 to 2002.
Table A1
FGT Poverty Indices for Urban Mexico, 1992-2005
(Population at large)
Year
P (0)
[95%Conf.Int.]
P (1)
[95%Conf.Int.]
P (2)
[95%Conf.Int.]
Food Poverty
1992
13.3%
10.9% 16.6%
3.6%
2.9% 4.4%
1.4%
1994
9.9%
8.2% 11.4%
2.6%
2.1% 3.1%
1.0%
1.1% 1.8%
0.8% 1.2%
1996
26.7%
25.2% 28.2%
8.4%
7.9% 9.1%
3.7%
3.4% 4.0%
1998
2000
21.8%
12.5%
20.2% 23.1%
10.7% 14.7%
6.6% 6.0% 7.1%
3.3% 2.6% 4.1%
2.9%
1.4%
2.6% 3.2%
1.1% 1.9%
2002
11.3%
9.0% 14.1%
2.8%
2.1% 3.5%
1.1%
0.8% 1.4%
2004
11.0%
8.3% 13.1%
3.0%
2.1% 3.7%
1.4%
1.0% 1.7%
2005
9.9%
8.0% 11.7%
2.6%
2.0% 3.2%
1.1%
0.8% 1.3%
1992
20.4% 17.7% 24.5%
6.0%
4.9% 7.4%
2.6%
2.0% 3.2%
1994
17.5%
15.0% 20.4%
4.7%
3.8% 5.5%
1.9%
1.6% 2.3%
1996
36.2%
34.7% 37.9%
12.7%
12.1% 13.5%
6.1%
5.6% 6.5%
1998
30.9%
29.2% 32.4%
10.2%
9.5% 10.8%
4.8%
4.4% 5.2%
2000
20.2%
18.0% 22.5%
5.7%
4.8% 6.7%
2.4%
2.0% 3.1%
2002
2004
17.2%
17.8%
14.3% 20.5%
14.7% 20.8%
4.9%
5.1%
3.9% 6.1%
3.8% 6.1%
2.0%
2.3%
1.5% 2.4%
1.7% 2.8%
2005
15.8%
13.9% 18.0%
4.5%
3.8% 5.3%
1.9%
1.5% 2.2%
8.2%
7.0% 9.4%
Assets Poverty
1992
44.5%
40.3% 48.6%
16.5%
14.6% 18.9%
1994
1996
40.6%
60.9%
37.1% 44.9%
59.2% 62.2%
14.1%
27.0%
12.4% 15.8%
26.0% 27.8%
6.8% 6.0% 7.7%
15.2% 14.5% 15.8%
1998
56.3%
54.6% 57.8%
23.6%
22.7% 24.7%
12.7%
2000
43.7%
40.6% 46.4%
16.0%
14.6% 17.4%
7.9%
7.0% 9.0%
2002
41.2%
37.7% 45.7%
14.4%
12.3% 16.3%
6.9%
5.7% 8.2%
2004
2005
41.1%
38.3%
37.5% 44.1%
35.4% 41.5%
14.5%
13.4%
12.4% 16.4%
12.0% 15.0%
7.1%
6.4%
5.8% 8.3%
5.5% 7.4%
12.2% 13.5%
89
90
Table A2
FGT Poverty Indices for Rural Mexico, 1992-2005
(Population at large)
Year
P (0)
[95%Conf.Int.]
P (1)
[95%Conf.Int.]
P (2)
[95%Conf.Int.]
Food Poverty
1992
35.6%
30.7% 41.4%
13.1%
10.8% 15.4%
6.4%
1994
37.0%
32.7% 40.8%
13.4%
11.7% 15.4%
6.6%
1996
52.1%
50.0% 54.0%
21.8%
20.7% 23.1%
11.8%
11.1% 12.7%
1998
52.3%
50.3% 54.6%
23.5%
22.3% 24.7%
13.3%
12.4% 14.1%
2000
42.3%
37.3% 47.7%
16.4%
13.8% 19.5%
8.4%
6.7% 11.5%
2002
2004
34.0%
28.0%
28.3% 38.0%
22.0% 37.8%
11.8% 10.1% 13.5%
10.5% 6.9% 15.2%
5.6%
5.6%
4.7% 6.5%
3.7% 8.6%
2005
32.3%
26.2% 41.7%
12.2%
9.5% 16.7%
6.4%
4.8% 8.6%
5.0% 7.7%
5.6% 7.6%
1992
45.6%
40.3% 50.3%
17.5%
15.1% 20.3%
9.0%
7.4% 10.6%
1994
1996
47.4%
61.0%
43.1% 51.0%
58.9% 62.8%
17.9%
27.2%
15.7% 19.9%
26.0% 28.2%
9.1%
15.5%
7.9% 10.5%
14.6% 16.4%
1998
59.7%
57.5% 61.5%
28.5%
27.1% 29.9%
16.9%
15.9% 18.0%
2000
50.0%
44.8% 55.2%
21.0%
17.9% 24.5%
11.4%
9.1% 13.9%
2002
42.6%
38.1% 47.2%
15.9%
14.0% 18.1%
8.0%
6.9% 9.0%
2004
2005
36.2%
39.8%
29.4% 44.6%
33.9% 49.6%
13.9% 9.9% 20.2%
15.9% 12.7% 21.0%
7.5%
8.5%
5.1% 11.0%
6.6% 11.7%
Assets Poverty
1992
67.7%
63.5% 71.4%
31.1%
28.0% 34.6%
18.2%
15.9% 21.0%
1994
69.5%
66.0% 72.9%
32.3%
29.5% 34.9%
18.8%
17.1% 20.7%
1996
80.6%
79.2% 82.0%
42.7%
41.5% 43.8%
1998
2000
76.3%
69.2%
74.4% 78.1%
65.1% 73.6%
42.6%
34.7%
41.2% 43.9%
31.1% 38.8%
28.2%
21.3%
27.0% 29.4%
18.3% 24.4%
2002
64.3%
58.9% 68.5%
29.2%
26.4% 32.7%
16.7%
14.7% 18.7%
2004
57.3%
52.1% 64.7%
25.5%
21.0% 32.5%
14.8%
11.0% 20.2%
2005
61.8%
55.8% 71.0%
28.3%
24.1% 35.0%
16.7%
13.9% 21.7%
27.2%
26.2% 28.3%
References
Comité Técnico para la Medición de la Pobreza (2002). Medición de la pobreza:
Variantes metodológicas y estimación preliminar, México, Secretarı́a de
Desarrollo Social. Reprinted in M. Székely, ed. (2005).
Comité Técnico para la Medición de la Pobreza (2005). Recomendaciones
metodológicas para la evaluación intertemporal de niveles de pobreza en
México (2000-2002), in M. Székely, ed. (2005).
Consejo Nacional de Evaluación de la Polı́tica de Desarrollo Social (2006).
El CONEVAL reporta cifras sobre la evolución de la pobreza en México,
Comunicado 001/2006, México.
91
Consejo Nacional de Evaluación de la Polı́tica de Desarrollo Social (2007). Aplicación de la metodologı́a de la pobreza por ingresos y pruebas de hipótesis,
Nota técnica 001/2007, México.
Cortés, F. (2005), ¿Disminuyó la pobreza? México 2000-2002, in M. Székely,
ed. (2005).
Davidson, R., and J. Y. Duclos (2000). Statistical Inference for Stochastic
Dominance and for the Measurement of Poverty and Inequality,
Econometrica, 68, 1435-1464.
Davidson, R., and J. Y. Duclos (2006). Testing for Restricted Stochastic
Dominance, Working Paper 2006-20, Department of Economics, McGill
University.
Deaton, A. (1997). The Analysis of Household Surveys: A Microeconometric
Approach to Development Policy, Baltimore, Johns Hopkins.
Efron, B., and R. J. Tibshirani (1993). An Introduction to the Bootstrap,
London, Chapman & Hall.
Foster, J., J. Greer, and E. Thorbecke (1984). A Class of Decomposable
Poverty Measures, Econometrica, 52, 761-765.
Howes, S., and J. O. Lanjow (1998). Does Sample Design Matter for Poverty
Rate Comparisons?, Review of Income and Wealth, 44, 99-109.
Jenkins, S. P., and P. J. Lambert (1997). Three ‘I’s of Poverty Curves, with
an Analysis of UK Poverty Trends, Oxford Economic Papers, 49, 317-327.
Jenkins, S. P., and P. J. Lambert (1998). Three ‘I’s of Poverty Curves and
Poverty Dominance: Tips for Poverty Analysis, Research on Economic
Inequality, 8, 39-56.
Jolliffe, D., and A. Semykina (2000). Robust Standard Errors for the FosterGreer-Thorbecke Class of Poverty Indices, Stata Technical Bulletin
Reprints, 8, 274-278.
Kakwani, N. (1993). Statistical Inference in the Measurement of Poverty,
Review of Economics and Statistics, 75, 632-639.
Mills, J. A., and S. Zandvakili (1997). Statistical Inference via Bootstrapping
for Measures of Inequality, Journal of Applied Econometrics, 12, 133-150.
Ruiz-Castillo, J. (2005a). An Evaluation of El Ingreso Rural y la Producción
Agropecuaria en México, technical report, Servicio de Información Alimentaria y Pesquera, México, SAGARPA.
Ruiz-Castillo, J. (2005b). Relative and Absolute Poverty: The Case of Mexico,
1992-2004, Working Paper 06-11, Departamento de Economı́a, Universidad
Carlos III de Madrid.
Sandoval, H. H., and C. M. Urzúa (2007). Negative Net Incomes and the
Measurement of Poverty: A Note, Working Paper EGAP-2007-07, EGAP,
Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México.
Sen, A. (1976). Poverty: An Ordinal Approach to Measurement, Econometrica,
52, 219-231.
Székely, M., ed. (2005). Números que mueven al mundo: La medición de
la pobreza en México, México, ANUIES, CIDE, SEDESOL, Miguel Ángel
Porrúa.
World Bank (2004). Poverty in Mexico: An Assessment of Conditions, Trends,
and Government Strategy, Washington, World Bank.
INSTRUCCIONES PARA LOS AUTORES
1) La Revista de Administración, Finanzas y Economı́a (Journal of
Management, Finance and Economics) recibe trabajos de investigación en
cualquiera de las áreas o especialidades de administración, economı́a,
contabilidad y finanzas; en la dirección electrónica:
<[email protected]>
2) Los trabajos que se sometan a arbitraje y dictaminación deberán ser inéditos y no podrán ser enviado simultáneamente para su publicación en otro
medio.
3) Los trabajos pueden ser escritos en español o inglés.
4) El documento puede ser escrito en cualquier editor de texto (Word, PcTex,
MigTex, LaTex) con letra tipo Times New Roman, tamaño 12 a doble
espacio. El justificado no se deberá realizar en los primeros párrafos de
cada sección o después de una tabla o fórmula.
5) Los tı́tulos y subtı́tulos de secciones se escribirán de tamaño 14 y en negritas, comenzando siempre con una capitular. Se numerarán empleando
la numeración arábiga. La numeración para los subtı́tulos será una numeración anidada: 2.1., 2.2., 2.3., etc.
6) La primera página del documento deberá contener: a) tı́tulo del trabajo;
b) nombre del autor o autores, sin incluir el grado académico; c) institución
de filiación; d) resumen de no más de 100 palabras en inglés y en español;
e) palabras claves en Inglés y Español; f) clasificación JEL, disponible en
el sitio electrónico: http://www.aeaweb.org/journal/jel class system.html
#G y g) al pie de página deberán incluirse domicilio, teléfono y correo
electrónico del autor o de los autores para recibir correspondencia.
7) Sólo podrá existir un pie de página adicional en la primera hoja. En dicho pie podrán los autores expresar sus agradecimientos o incluir alguna
información adicional que consideren relevante.
8) Las ecuaciones deben estar numeradas consecutivamente, al igual que los
cuadros, las figuras y las gráficas.
9) Los cuadros, gráficas y figuras deben poseer un tı́tulo o encabezado que las
distinga. Cada cuadro, gráfica o figura deberá incluir alguna referencia, el
origen de la fuente de información y siempre deberá presentarse en blanco
y negro.
10) La relación bibliográfica deberá presentarse al final del documento, en orden alfabético de autores y éstas deben ser como:
Casar, J. I., G. Rodrı́guez y J. Ros (1985). Ahorro y balanza de pagos: un
análisis de las restricciones al crecimiento económico de México. Economı́a
Mexicana, núm. 7, pp. 21-33.
Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). An Intertemporal General
Equilibrium Model of Asset Prices. Econometrica, 53(2), pp. 363-384.
Fuller, W. A. (1996). Introduction to Statistical Time Series. 2nd ed., John
Wiley, New York.
Granger, C. W. (1980). Long Memory Relationships and the Aggregation of
Dynamics Models. Journal of Econometrics, 14(1), pp. 227-238.
The Trouble with Rational Expectations and the Problem of Inflation
Stabilization, en R. Fredman y E. S. Phelps (comps.).
INSTRUCTIONS TO AUTHORS
1) Revista
de Administración, Finanzas y Economı́a (Journal
of Management, Finance and Economics) is a peer reviewed scientific
journal and receives manuscripts with subject matter in Management,
Economics, Accounting and Finance. Articles should be sent to:
<[email protected]>
2) Manuscripts will be considered for possible publication provided they are
unpublished and not submitted elsewhere.
3) The articles could be written in English or Spanish.
4) The manuscripts could be written in Microsoft Word, PcTex, MigTex, or
LaTex format, the font must be Times New Roman, size 12 and pages must
be double spaced. Do not use indentation in the first paragraph of each
section or after a table or equation.
5) Titles and subtitles of sections should be written in size 14 and bold faces.
It should use the arabic numerals. Numerals for the subtitles should be
consecutive: 2.1., 2.2., 2.3.,. . .
6) The Cover page should include: a) titles of the paper; b) full name of
the author(s), no specification of academic grade; c) institutional
affiliation(s); d) a summary of you paper in English and Spanish of at most
100 words; e) keywords in English and Spanish; f) JEL classification, which
can be found in: http://www.aeaweb.org/journal/jel class system.html
#G and g) footnote should has: address, telephone and electronic mail
of the author(s).
7) Only one footnote at the first page is allowed. In the footnote, the author(s)
could include some relevant information.
8) The equations should be in consecutive arabic numerals, and the same
applies for the tables, figures and graphics.
9) Tables, figures and graphics should have a title. Each table, figure, graphic
should include any reference or source.
10) Bibliographical references will be at the end of text with the autor(s) in
alphabetical order, according to the following examples:
Casar, J. I., G. Rodrı́guez y J. Ros (1985). Ahorro y balanza de pagos: un
análisis de las restricciones al crecimiento económico de México. Economı́a
Mexicana, núm. 7, pp. 21-33.
Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). An Intertemporal General
Equilibrium Model of Asset Prices. Econometrica, 53(2), pp. 363-384.
Fuller, W. A. (1996). Introduction to Statistical Time Series. 2nd ed., John
Wiley, New York.
Granger, C. W. (1980). Long Memory Relationships and the Aggregation of
Dynamics Models. Journal of Econometrics, 14(1), pp. 227-238.
The Trouble with Rational Expectations and the Problem of Inflation
Stabilization, en R. Fredman y E. S. Phelps (comps.).
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
CAMPUS CIUDAD DE MÉXICO
Revista de Administración, Finanzas y Economı́a (Journal of Management,
Finance and Economics) es un revista de investigación cientı́fica con arbitraje,
sus artı́culos son responsabilidad de los autores, son ajenos a ella las instituciones que representan, la revista o el Tecnológico de Monterrey. Indice en el
que aparece la revista: IDEAS-RePEc.
Escuela de Graduados en Administración y Dirección de Empresas, EGADE
Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México
Calle del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C. P. 14380, México D. F.
Aulas III, cuarto piso. Tel. +52 (55) 54832020 ext. 2240 y 1392
Correo electrónico: [email protected]
Página: http://www.csf.itesm.mx/egade/publicaciones

administración, finanzas y economía

Transcripción

Documentos relacionados

una amante imaginaria

artículos de prensa