Universidad de Santiago de Chile Departamento de

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Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Matemática y C.C.
Álgebra 3 L.C.C.
Guı́a N◦ 1: Espacio Dual
Profesor Ricardo Santander Baeza
Septiembre del 2012
(1) Sea α = {1, 1 − x, 1 − x2 , 1 − x3 } ⊂ R3 [x]. Determine si es posible α∗ , la base de (R3 [x])∗ . Es decir,
determine si es posible la base dual de α
(2) Determine una base α de MR (2), si α∗ = {A∗1 , A∗2 , A∗3 , A∗4 }, es su base dual correspondiente en
(MR (2))∗ , y cada vector básico dual A∗i (i = 1, 2, 3, 4) es definido como sigue:
x y
∗
A1
=t+y+z
z t
x y
∗
= −y
A2
z t
x y
∗
A3
= −z
z t
x y
∗
A4
= x+y+z
z t
(3)
• Sea α = {1 − x, 1 + x, 1 + x + x2 } ⊂ R2 [x]. Determine si es posible α∗ , la base de (R2 [x])∗ . Es
decir, determine si es posible la base dual de α
• Si f ∈ (R2 [x])∗ tal que f (a0 + a1 x + a2 x2 ) = a0 + a1 + a2 entonces determine [f ]α∗
(4)
• Determine una base α de R3 , si α∗ = {f1∗ , f2∗ , f3∗ }, es su base dual correspondiente en (R3 )∗ , y
cada vector básico dual fi∗ (i = 1, 2, 3) es definido como sigue:
f1∗ (x, y, z) = x − y
f2∗ (x, y, z) = 2x + z
f3∗ (x, y, z) = x + 2y + z
• Si u = (1, 2, 3) ∈ R3 entonces determine [(1, 2, 3)]α
(5) Demuestre que el R espacio vectorial MR (2) es isomorfo a su espacio dual (MR (2))∗ . Es decir exhiba
T : MR (2) 7−→ (MR (2))∗ isomorfismo.
(6) Sea V un R espacio vectorial de dimensión n. Demuestre que
T ∈ V∗ =⇒ T = 0 ∨ T sobreyectiva
(7) Sea α = {(1, 0, 1), (0, 1, −2), (−1, −1, 0)} ⊂ R3 .
| {z } | {z } | {z }
v1
v2
v3
1
• Determine φ ∈ (R3 )∗ tal que
φ(v1 ) = 1,
φ(v2 ) = −1
φ(v3 ) = 3
• Determine φ ∈ (R3 )∗ tal que
ker(φ) = h{v1 , v2 }i
∧
v3 ∈
/ ker(φ)
(8) Sea α = {v1 , v2 } una base de V y β ⋆ = {(v1 + v2 )⋆ , (v1 − v2 )⋆ }.
Demuestre que
(v1 + v2 )⋆ 6= v1⋆ + v2⋆
(9) Sea α = {v1 , v2 , v3 , . . . , vn } una base de V y β = {w1 , w2 , w3 , . . . , wn } tal que wi =
i
X
j=1
i = 1, 2, . . . , n.
(i) Determine β ⋆
(ii) Determine [vj∗ ]β ⋆ , para j = 1, 2, . . . , n
(iii) Determine [wj⋆ ]1α
(10) Sea α∗ = {φ1 , φ2 , φ3 } ⊂ (R2 [x])∗ tal que para cada elemento
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ R2 [x]
φ1 (p(x)) =
φ2 (p(x)) =
φ3 (p(x)) =
R1
0
R2
0
p(x) dx
p(x) dx
R −1
0
p(x) dx
• Demuestre que α∗ es una base de (R2 [x])∗ .
• Determine la correspondiente base α de R2 [x].
BUEN TRABAJO !!!
jvj , para