(s.d.). Diseño geotécnico de túneles viales

Transcripción

Ludger O. Suárez-Burgoa
DISEÑO GEOTÉCNICO DE
TÚNELES VIALES
P RINCIPIOS
PARA LA CONCEPTUALIZACI ÓN
CON APLICACIONES EN M ATLAB ®
ABRIL
, 2016
Borrador
Editorial aún no definida – Medellı́n
Índice general
1.
Implementación de una obra subterránea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Clasificación según lejanı́a o proximidad a la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Arquitectura superficial, enterrada y subterránea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Arquitectura superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Arquitectura enterrada o troglodita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Arquitectura subterránea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Mitos referente a obras subterráneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Aspectos psicológicos y sociológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Razones para optar por la infraestructura subterránea . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Planificación de obras subterráneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Gerencia del riesgo en obras subterráneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Legislación para obras subterráneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.
Aspectos generales sobre túneles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Clasificación de túneles viales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Costo de un túnel vial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Principios de diseño para túneles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.
Diseño geométrico de un túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Orientación preferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Curvatura y esfuerzos principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Sección transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Sección policircular continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Sección U invertida no-simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Criterios para elegir ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4. La sección más eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5. Sección óvala por dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6. Sección óvala por tres circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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V
VI
Índice general
3.3.7. Sección ovoidea por dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.8. Sección ovoidea dados el eje mayor y menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4. Alineamiento horizontal y vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.
Falsos túneles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.
Acceso por pozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Diseño geotécnico de pozos verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Método de Prater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Modelamiento numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.
Deformación por consolidación y flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.
Deformación en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1. Deformaciones en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.
Campo de tensores de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Representación del tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Litostático según la regla de Heim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Triaxial axisimétrico según la teorı́a de la elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Triaxial axisimétrico según el concepto de pre-consolidación . . . . . . . . . . . .
8.5. Triaxial en campo tectonizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Estrategia sugerida por la ISRM para la estimación del CTEN . . . . . . . . . . .
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9.
Campo de presiones de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Unidades hidroestratigráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Esfuerzo efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Estimaciones a escalas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5. Estimaciones a escalas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10. Afluencia de agua al túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1. Revestimiento totalmente permeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Revestimiento parcialmente permeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. Limitaciones del método analı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4. Flujo de descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11. Resistencia y deformación mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
11.1. Análisis esfuerzo deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Índice general
VII
12. Soporte y refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12.1. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.2. Curva de reacción del macizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.3. Curvas de reacción de soportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
12.3.1. Soporte continuo elástico: módulos prefabricados . . . . . . . . . . . . . . . 100
12.3.2. Soporte continuo en concreto lanzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
12.3.3. Soporte puntual sistemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12.4. Tiempos de avance y de instalación de soporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13. Otros aspectos del diseño conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13.1. Métodos de construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13.2. Sı́smica en túneles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13.3. Portales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13.4. Otras obras subsidiarias de un túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
13.5. Otros elementos estructurales de un túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Capı́tulo 1
Implementación de una obra subterránea
1.1.
Clasificación según lejanı́a o proximidad a la superficie
Siendo el volumen de explotación aquel destinado para el aprovechamiento del espacio,
las obras de infraestructura se clasifican, según su proximidad o lejanı́a a la superficie en:
estructuras superficiales: aquellas cuyo volumen de explotación está totalmente en la
superficie y su nivel de fundación está hasta la profundidad necesaria para garantizar su
estabilidad (e.g. viviendas y oficinas);
estructuras en terraplén: aquellas estructuras superficiales bajas que son protegidas en
superficie con terraplenes;
estructuras enterradas (i.e. embebidas o embutidas): aquellas que tienen mayor parte de
su volumen de espacio de exploración debajo de la superficie del terreno (e.g. casascueva);
estructuras subterránea: aquellas cuyo volumen de espacio de explotación se encuentra
totalmente debajo de la superficie del terreno, éstas se clasifican en:
• estructuras subterráneas razas: aquellas cuyo volumen de explotación influye en la
modificación de los esfuerzos hasta la superficie del terreno (e.g. pasajes peatonales
subterráneos, pasos a desnivel);
• estructuras subterráneas profundas: aquella cuyo volumen de exploración no influye
en la modificación de los esfuerzos de la superficie del terreno (e.g. estaciones y
túneles de metro).
De este modo, una obra de infraestructura puede estar sobre la superficie (i.e. over the
surface), para el caso de estructuras superficiales; junto a la superficie o en el terreno (i.e.
at the surface o in-ground), para el caso de estructuras enterradas, o debajo del terreno (i.e.
under the surface o underground) para el caso de estructuras subterráneas. La Figura 1.1
muestra esquemas de obras subterráneas en superficie del terreno plano e inclinado, que
cumplen con este criterio de clasificación.
1
2
1 Implementación de una obra subterránea
d)
a)
e)
b)
f)
c)
Figura 1.1 Clasificación de obras subterráneas según su ubicación con respecto a la superficie
Las obras de infraestructura en la superficie y enterradas son el campo de aplicación de
la ingenierı́a civil y la arquitectura (e.g.arquitectura enterrada o arquitectura troglodita). Se
dice, por ejemplo, que las casas-cueva generan una relación con la naturaleza: no sobre ni
debajo de la superficie del terreno, sino con el terreno. Sin embargo, las obras subterráneas
como tal no han sido aún explotadas dentro del contexto arquitectónico con la misma intensidad que con las otras obras de infraestructura. Solo en los últimos 10 años, se está
entrando en el concepto de diseño arquitectónico de ambientes subterráneos.
1.2 Arquitectura superficial, enterrada y subterránea
1.2.
3
Arquitectura superficial, enterrada y subterránea
Bajo la anterior clasificación se logra tener tres conceptos arquitectónicos: la arquitectura superficial, la enterrada y la subterránea.
1.2.1.
Arquitectura superficial
Prácticamente toda la ciencia artı́stica de la arquitectura ha sido concebida para el uso
del espacio superficial. Por tanto no existen grandes controversias referente a la forma
agradable y segura que tienen estos desarrollos en la superficie.
1.2.2.
Arquitectura enterrada o troglodita
El nombre de troglodita proviene de una cultura en el oriente donde las personas hacı́an
sus viviendas en cuevas o cavernas, hechas o naturales. En este sentido se plantea que:
respeta la forma de la superficie del terreno;
el terreno sirve como aislante que protege de forma eficaz contra el frı́o, la lluvia y el
viento; por tanto obtiene condiciones climáticas agradables;
el terreno proporciona una protección natural contra efectos negativos del entorno, y
contra intromisiones no deseadas;
que el espacio enterrado: ahorra energı́a y emisión de CO2 , respeta el medio ambiente,
es ecológico y seguro;
que la superficie se destina para actividades más nobles como cultivar y además para
nutrirse de la iluminación natural.
Asimismo, se afirma que la planificación requiere de pensamiento espacial y un alto grado de creatividad, y el arquitecto debe tener una gran pretensión artı́stica, calidad plástica y
un manejo espacial innovador más allá de las tradicionales cuatro paredes en ángulo recto.
En este sentido se plantea una nueva rama de la arquitectura, llamada la geotectura que
es la aplicación de la arquitectura a los espacios subterráneos dentro de un medio geológico
propicio.
1.2.3.
Arquitectura subterránea
Los conceptos del uso del espacio subterráneo pueden derivarse para desarrollar los
conceptos de la arquitectura enterrada; sin embargo, éstos deben ser más trabajados debido
4
a la serie de mitos que existen referente a las obras subterráneas. En este sentido se plantea
que las estructuras subterráneas respetan y protegen el paisaje.
Además de la parte artı́stica que se puedan desarrollar, un ambiente subterráneo ofrece
protección contra amenazas naturales (e.g. terremotos, tormentas) y antrópicas (e.g. enfrentamientos armados, ataques terroristas).
1.3.
Mitos referente a obras subterráneas
Pese a que en la actualidad se tiene un buen desarrollo de la tecnologı́a y conocimientos
el la disciplina tunelera, aún persisten importantes mitos referente a las obras subterráneas.
Los grandes mitos referente a las obras subterráneas son que éstas:
altamente peligrosas durante la construcción;
peligrosas durante su uso;
permeables y modifican las condiciones del agua subterránea;
demasiado costosas en comparación con las obras de infraestructura superficiales.
Por tal motivo, es importante resaltar la gran importancia de estar enmarcado en las
prácticas y exigencias actuales del diseño, planificación y gestión de obras subterráneas
durante todas sus etapas: desde la concepción hasta la operación; con el fin de que el mencionado mito no se convierta en una verdadera argumentación falaz.
1.4.
Aspectos psicológicos y sociológicos
Para las personas comunes, la idea de trabajar o vivir debajo de la tierra muestra una
reacción emocional negativa. Las asociaciones negativas con lo subterráneo generalmente incluye oscuridad combinado con humedad, aire viciado, y falta de luz solar. Entre las
asociaciones más fuertes están aquellas relacionadas con la muerte, funerales o miedo a
ser atrapados por algún colapso estructural. Otra asociación negativa (o miedo) se refiere
con relación a sentirse perdido o desorientado, debido a que no se pueden ver los puntos
normales de referencia como el terreno, el cielo, el sol, y los objetos y espacios adyacentes. Asimismo, con la carencia de una directa visión con las salidas, existe una perdida de
conexión con el mundo natural, y no existen incentivos hacia las cambiantes condiciones
climáticas y la luz solar. Las preocupaciones psicológicas con lo subterráneo se focaliza
principalmente en la falta de luz natural y una ventilación pobre. Las personas quieren
ver sol y cielo abierto, ellos no quieren sentirse como prisioneros en las instalaciones subterráneas.
La reacción negativa generalizada hacia el espacio subterráneo ha obligado a los diseñadores e investigadores de intentar vencer muchas de estas preocupaciones.
1.5 Razones para optar por la infraestructura subterránea
5
Esta situación se acentúa aún más cuando el espacio subterráneo va a ser usado para
funciones que involucran la ocupación humana, donde las reacciones iniciales son por lo
general negativas y emergen una serie de preocupaciones y preguntas; a veces fundamentadas por mitos acerca de las condiciones de uso de estos espacios subterráneos.
Lo que el grupo de diseñadores debe enfrentar para esta situación es:
identificar cuáles son los efectos de las obras subterráneas en la psicologı́a de las personas;
en caso de existir dichos efectos, ¿Cuáles deben ser las estrategias que se debe emplear
para aliviar estas preocupaciones y de este modo crear un ambiente positivo y saludable?
Para responder a la primera interrogante, es necesario hacer un estudio en cada región,
debido a que estos efectos dependen por lo general de la cultura, de la historia, el lenguaje
y del subconsciente de las personas.
Cuando usted escucha y se imagina una obra subterránea, con qué sustantivos y adjetivos los relacionarı́a (escoja solo 10 de la siguiente lista): humedad, oscuridad, frı́o, ansiedad, confort, seguridad, espectativa, pérdida, libertad, ventilación, aire acondicionado,
aburrición, luz, hostilidad, mohoso, asfixia, sombrı́o, atractivo, interesante, desorientación,
humedad, poca ventilación, salud, desespero, falta de aire, claridad, fatiga, dolor de cabeza,
nerviosismo, insomnio, depresión, fatiga, entusiasmo, amenidad, satisfacción, peligrosidad,
no placentero, no-amigable, aislado, relajante.
La necesidad de un ambiente agradable es proporcional y relativo a la actividad que
uno desarrolla. Se observó que la necesidad de las personas de tener una ventana con vista
al exterior es inversamente proporcional al estatus laboral. Asimismo, las personas novidentes tienen mayor necesidad de tener contacto con el ambiente (i.e. sentir la presencia
de una ventana abierta) que las personas videntes.
Existen luces que proporcionan el espectro completo de la luz natural (i.e. full spectrum
fluorescent lighting).
1.5.
Razones para optar por la infraestructura subterránea
Hasta el siglo pasado en los paı́ses de la parte andina de Sudamérica, el uso de los túneles
viales dentro del concepto de las vı́as tenı́a el enfoque de solo superar barreras montañosas
conflictivas, (e.g. macizos rocosos inestables) de este modo los túneles solo fueron de unos
cuantos metros de longitud y muy rara vez de legaban a los 1 000 m.
A partir de la era ambiental —iniciada al rededor del año 1960— el fin principal de los
túneles es el de mejorar la calidad de vida del ser humano con el menor impacto ambiental
y la mayor relación beneficio : costo.
Las razones que se pueden relazar para optar por infraestructura subterránea pueden ser
las siguientes:
6
mejor desempeño fı́sico de los materiales perecederos en el caso de usarse como almacenes;
recibir mayor protección;
recibir mayor seguridad;
gozar de mayor estética interior;
aportar al medio ambiente de superficie trasladando los problemas al ambiente subterráneo;
hacer una alta inversión pero mayores ahorros en costos de operación y mantenimiento;
ahorro en costos en expropiaciones;
ahorro en construcción;
rentabilidad en explotaciones del material excavado;
ahorro en energı́a;
eficiencia en el uso de suelo de superficie;
estar alertas a desastres naturales o de seguridad nacional;
Además hay que resaltar que hoy en dı́a se tienen avances notables en la ingenierı́a de
túneles, se tiene mejor comprensión de la interacción macizo : obra subterránea, y existen
avances tecnológicos en este medio: se tiene obras más seguras, más baratas, y construidas
en menor tiempo (e.g. nueva generación de tuneladoras).
En contraste, cada vez las obras superficiales tienen desventajas tales como sus altos
costos de apropiación de terrenos, el impacto negativo durante la construcción y operación
—además de ser elevados. Estas obras crean alto impacto visual, segregación del espacio y
desvalorización de las zonas donde se desarrollan.
1.6.
Planificación de obras subterráneas
Se necesita más creatividad y confianza entre los profesionales que manejan la infraestructura subterránea. Se necesita imaginar planes maestros reales para la infraestructura
subterránea de las ciudades.
Se usa el espacio subterráneo cuando:
las actividades o la infraestructura son difı́ciles o imposibles de instalarlos en la superficie;
la infraestructura en la superficie es inaceptable o no deseable;
se proyectan infraestructuras mecánicas, térmicas, acústicas o hidráulicas;
se quiere tener seguridad ante:
•
•
•
•
desastres naturales;
guerras nucleares;
rayos ultravioletas;
el calentamiento global;
1.6 Planificación de obras subterráneas
7
• contaminación electromagnética;
• tormentas solares masivas.
Consideraciones fuertes referente a construir infraestructuras subterráneas han tomado
fuerza a partir de los años 80 del siglo pasado.
El acto de planificar el espacio subterráneo se tiene que hacer tomando en cuenta los
cuatro recursos de la subsuperficie —como los órganos de un solo cuerpo que está en un
equilibrio frágil— estos son: espacio, agua, energı́a, y material. Entre estos cuatro recursos,
el recurso que no se debe alterar de forma esencial es el recurso agua.
Se debe tener un plan maestro de la infraestructura debajo de las conurbaciones. Se
necesita mejorar la industria de tal modo de que las instalaciones subterráneas se construyan
de forma rápida y a costos menores a los de las infraestructuras superficiales, y además con
el menor impacto hacia las instalaciones superficiales cercanas y residencias.
Se predice que el costo de excavación subterránea se podrı́a reducir para las siguientes tres décadas, y que el costo de construcción de la infraestructura superficial aumente
rápidamente. Esto significa que la tecnologı́a de construcción y ocupación subterránea será
más económica que la superficial para el año 2050, esto sin tomar en cuenta los beneficios
ecológicos que las instalaciones subterráneas brindan a la vida.
El desarrollo de la sub-superficie puede diferenciarse en tres grupos.
1. Desarrollo del recurso subterráneo (e.g. minerı́a);
2. Desarrollo de la energı́a subterránea (e.g. geotermia);
3. Aprovechamiento y desarrollo del espacio subterráneo.
El aprovechamiento del espacio subterráneo logra:
mejorar y optimizar la calidad urbana de vida en la superficie;
administrar los insumos de los consumidores (e.g. uso de bodegas subterráneas);
prevenir desastres superficiales.
Los ingenios, proyectos, infraestructuras tienen que colocarse debajo de la superficie
si no hay necesidad de que estén en la superficie (e.g. plantas de tratamiento de aguas
residuales, plantas de almacenamiento de combustibles, fábricas, trituradoras de material).
Si la conurbación muestra signos de saturación en el uso del espacio, los sistemas de
tráfico, comunicaciones, energı́a (i.e. lı́neas y transformadores), depósitos de desechos sólidos urbanos, bibliotecas, centros de datos informáticos, baños públicos, centros de cómputo, museos, iglesias, etc. tienen que colocarse en el espacio subterráneo.
Por la misma razón a la anterior, pero en forma condicional: las industrias, edificios de
oficinas, locales de recreación, etc. pueden colocarse bajo la superficie. Se tiene que desarrollar el espacio subterráneo en ciudades sujetas a cambios climáticos severos y extremos:
alto calor y sequı́a;
baja temperatura;
frecuencia de tormentas, tifones, lluvias.
8
El espacio subterráneo tiene que ser usado para la prevención y la protección de desastres naturales:
sismos;
caı́da de rocas;
flujos de detritos.
Los espacios subterráneos son proyectos únicos y definitivos. Un espacio subterráneo no
puede ser rehabilitado a más de clausurado por retrollenado. De este modo, la planificación
es una de las tareas más importantes de estos proyectos. Un espacio subterráneo puede ser
ampliado, adecuado y reparado, pero no rehabilitado.
El uso de espacio subterráneo es susceptible a convertirse en una polı́tica radical para el
rejuvenecimiento de la urbanidad en la superficie.
Será un reto del futuro de la construcción el de construir edificaciones altas en la superficie que sean capaces de soportar obras subterráneas en sus fundaciones.
En lo que respecta la psicologı́a humana . . . será deseable crear un ambiente que brinde caracterı́sticas amenas a largo plazo desde el punto de vista la ingenierı́a humana y
eliminar el sentido de enclaustramiento asociado a las obras subterráneas y de realzar el
sentido de integración.
1.7.
Gerencia del riesgo en obras subterráneas
Cualquier obra subterránea —y entre ellas, los túneles, genera una situación de riesgo
especialmente durante la construcción. Durante esta fase debe tomarse en cuenta que una
cavidad construida tiene altas probabilidades de colapsar si no se emplean los más altos
conocimientos de la ingenierı́a.
Las personas involucradas en el diseño, construcción y operación de las obras subterráneas deben ser capaces de identificar el riesgo, mas nunca ignorarlos.
El objeto de la gerencia del riesgo en las obras subterráneas no solo es el de hacer bien
las cosas, sino de hacer las cosas correctas. Las razones de causas de fallas de túneles identificadas por la Asociación Internacional de Túneles y Obras Subterráneas (ITA) fueron:
insuficiente investigación geotécnica del sitio;
inadecuada evaluación del riesgo en la fase de planeación;
insuficiente entendimiento del proyecto;
errores durante la construcción;
errores durante la operación de las diferentes fases de operación.
Para hacer una buen gerencia del riesgo se tiene que hacer al menos un plan de manejo
del riesgo y un cronograma de tiempo de dicho plan. Estos resultados deben estar en total
consenso entre las partes involucradas durante la construcción de la obra subterránea y debe
ejecutarse inmediatamente después que el plan inicial previsto falla.
1.8 Legislación para obras subterráneas
9
Una recomendación sabia referente a la gerencia de túneles es de: estar preparado para
lo peor y esperar lo mejor.
1.8.
Legislación para obras subterráneas
En Japón la propiedad privada debajo de la superficie es hasta los 40 m. De este modo,
los proyectos que se extendieran más allá de esa propiedad pagan un recargo al estado local.
Para el caso de Colombia, no existe una legislación clara de la propiedad del espacio
subterráneo cuando éste será explotado sin fines de extracción de recursos naturales no
renovables.
Consultar los siguientes documentos
1. Constitución polı́tica de Colombia:
artı́culo 101 sobre plataforma continental espacio aéreo y espectro electromagnético;
artı́culo 82 sobre espacio público urbano;
artı́culo 64 sobre propiedad de la tierra
artı́culo 332 sobre propiedad de la nación (también ver los artı́culos 58, 63, 80*, 101,
102, 317, 360*);
artı́culo 287 sobre propiedad de municipios;
artı́culos 334 y 95 sobre recursos naturales y su explotación.
2. Leyes:
ley 388 de 1997;
leyes 42, 7 y 97 de 1993;
ley 685 de 2001;
ley 296 de 2004;
3. Decretos:
decreto 2201 de 2003
Va ser necesario crear la legislatura para el uso de espacio subterráneo (vea artı́culo 375
y 374 de la Constitución Polı́tica para el proyecto de acto legislativo).
Capı́tulo 2
Aspectos generales sobre túneles
Un túnel es una excavación subterránea en el cual una de sus tres dimensiones (L) es
mucho más larga respecto sus dos restantes dimensiones (e.g. H, y D), que necesariamente
conecta dos puntos de la superficie en sus extremos (i.e. debe tener un portal de entrada y
de salida) y generalmente cercano a ser horizontal o levemente inclinado. La razón de L
con las otras dimensiones puede estar por el orden de L > 10 máx [H, D].
Los túneles se dividen en minitúneles o microtúneles. Si la sección transversal del túnel
es menor a dos metros cuadrados —que es equivalente a una sección circular de 1,6 m de
diámetro capaz de permitir el acceso de obreros para su excavación y operación— el túnel
se denomina minitúnel; y si la sección es de alrededor de 0,03 m2 se denomina microtúnel.
En los túneles, la sección transversal es caracterı́stica y constante en toda su longitud; de
este modo, el diseño tiende a ser bidimensional bajo el criterio del estado plano de deformaciones a excepción del frente de excavación que necesita un diseño tridimensional. Esto
es ası́, solo si el campo de tensores de esfuerzos naturales es axisimétrico en el plano horizontal, o si uno de los esfuerzos principales naturales de ese campo constante es paralelo
al eje del túnel.
Un túnel vial es una obra subterránea que puede tener otras cavidades anexas a la obra
principal, tales como galerı́as (e.g. galerı́as de conexión a otros túneles, o galerı́as de escape), pozos (e.g. pozos de ventilación) y cámaras (e.g. cámaras de máquinas). Asimismo,
un túnel puede formar parte de una red de sistemas de túneles o complejos subterráneos,
por ejemplo un túnel en una red ferroviaria de trenes metropolitanos, o un túnel que forma
parte de una red de distribución de vı́as ferroviarias.
Las redes de túneles ferroviarios y viales en zonas montañosas o aquellas en las conurbaciones se consideran como maravillas de la ingenierı́a. Por ejemplo, los túneles de base
hoy en dı́a se consideran verdaderas soluciones regionales del transporte. Un túnel de base
es aquel que pasa por debajo de cadenas montañosas con sobrecapas de más 2 500 m sobre
el nivel del mar cuyos portales se encuentran a menos de los 1 500 m y cuyas longitudes
superar los 10 km.
11
12
2 Aspectos generales sobre túneles
Los túneles viales periféricos —de menor longitud que los de base— tienen el fin de
evitar complejos deslizamientos de laderas y flujos de detritos peligrosos, por ejemplo los
túneles de la vı́a internacional que comunica la ciudad de Mendoza y Santiago.
Los túneles menores —con longitudes alrededor de las centenas de metros— se han
usado con el fin de evitar cortes de vı́as en materiales muy competentes en zonas de alta
montaña. Sin embargo, el costo de estos túneles por kilómetro de longitud puede ser menor
al de los puentes.
Se ha comprobado, que la frecuencia de accidentabilidad en los túneles es menor que la
propia en vı́as abiertas. Sin embargo, los accesos de un túnel son tres veces más peligrosos
que su interior en cuestión de transitabilidad; esto es reflejado a través de la variable frecuencia de accidentabilidad. La Tabla 2.1 muestra estos valores en forma cuantitativa. La
frecuencia de accidentabilidad se define como
fa =
na
× 106 ,
nv
(2.1)
donde na es el número de accidentes, nv el número de vehı́culos para un tramo de evaluación
de 1 000 m.
Cuadro 2.1 Comparación de las frecuencias de accidentes en vı́as sobre la superficie y túneles.
Localización
fa
Túnel
Vı́a abierta
0,29
0,43
2.1.
Clasificación de túneles viales
Los túneles viales se clasifican según sus condiciones de diseño en:
túneles bajo conurbaciones (túneles citadinos);
túneles rurales;
túneles de base;
túneles a media sección;
falsos túneles.
2.2 Costo de un túnel vial
2.2.
13
Costo de un túnel vial
Los costos de un túnel vial es variable según su localización.
En el caso de los túneles subterráneos debajo de las ciudades —por ejemplo para el caso
de trenes metropolitanos— los costos pueden estar entre 20 × 106 US$ km−1 (e.g. caso del
metro de Brasilia) a 150 × 106 US$ km−1 (e.g. caso del metro de San Pablo).
Las ventajas del túnel vial debajo de ciudades son evidentes cuando se evalúa la obra tomando en cuenta los costos de expropiación, de construcción y de beneficios de explotación
y sociales. Si se compara una obra subterránea con una obra similar en la superficie destinadas ambas a complir el mismo fin, se podrı́a llegar a los valores monetarios comparativos
que se muestra en la Tabla 2.2.
Cuadro 2.2 Comparación de una obra subterránea con otra superficial que cumplen la misma función.
Obra subterránea
Obra Superficial
Item
1×$
3×$
-2 × $
4×$
4×$
2×$
-1 × $
5×$
Costos de apropiación
Costos de construcción
Beneficios de la explotación y sociales
Total
El costo de un túnel vial rural —por otro lado— se ha representado según la siguiente
ecuación empı́rica:
C = aL1,36
(2.2)
donde a es una constante que depende de la región económica donde se desarrolla el proyecto.
Sin embargo, a se puede obtener con base a la experiencia de otros túneles desarrollados
en la misma región económica. Sea el subı́ndice 1 representativo de un túneles ya desarrollado en la región, cuyo costo total C1 es conocido y por tanto su longitud L1 , y sea el
subı́ndice 2 aquel que representa a las variables del túnel proyectado. De este modo
C1 = aL11,36 y
C2 = aL21,36 .
Despejando el término semejante que es a para la misma región e igualando para los dos
casos de la comparación se tiene que
C1
L11,36
=
C2
L21,36
14
2 Aspectos generales sobre túneles
C2 =
2.3.
L2
L1
1,36
C1
(2.3)
Principios de diseño para túneles
Las obras subterráneas y su proceso de excavación tienen los tres campos del conocimiento de la ingenierı́a moderna, que insisten en:
conocer el medio mecánico donde se trabajará;
emplear técnicas estructurales para mejorar el medio;
tener a la mano la información necesaria y oportuna del comportamiento mecánico de
la interacción del medio mecánico y los elementos estructurales.
Los conocimientos adquiridos por la geotecnia auxilia al primer campo del conocimiento, los conocimientos de ingenierı́a de estructuras auxilia al segundo campo, y los métodos
de diseño observacional auxilia a la tercera.
De este modo se plantearon los que se denominan los principios del diseño de excavaciones subterráneas (i.e. principios para el diseño de túneles):
1. principio del macizo circundante: el macizo excavado es parte del sistema de soporte (y es el principal) y los esfuerzos presentes en el macizo nunca desparecen solo se
distribuyen;
2. la deformación del macizo es una condición necesaria para la redistribución de esfuerzos;
3. principio del sistema de soporte: el sistema de soporte definido para una obra subterránea
es una ayuda para el el macizo circundante;
4. principio de la instrumentación activa: la instalación, lectura e interpretación de la instrumentación activa forma parte del diseño de las obras subterráneas.
Por ejemplo, el primer principio no era parte del diseño antiguo de túneles ferroviarios;
y se le daba total responsabilidad al sistema de soporte definido en la estructura. Hoy en
dı́a se piensa inclusive de mejorar las condiciones mecánicas del macizo antes del proceso
de excavación a través de inyecciones en los frentes de excavación.
En el principio del macizo circundante se estipula que el macizo es el elemento principal del sistema de soporte de la cavidad y que los esfuerzos presentes inicialmente en
el macizo se conservan, manifestando redistribución de esfuerzos (si en un volumen dado
los esfuerzos disminuyen, por otro volumen cercano, los esfuerzos aumentan; o si en un
punto el esfuerzo normal disminuye, se debe esperar que el esfuerzo cortante aumente), y
que posteriormente éstos se disipan parcialmente y en menor proporción, manifestando un
cierto grado de deformación de convergencia. En resumen, manifiesta que la energı́a debido al campo de esfuerzo iniciales se conserva dentro del volumen de perturbación de la
cavidad o puede transformarse en energı́a de deformación, u otras formas de energı́a (e.g.
2.3 Principios de diseño para túneles
15
en cavidades a altos grados de esfuerzos, la energı́a se disipa en forma de emisiones de
ondas de diferentes frecuencias, desde sonoras hasta de luz).
En el principio de la deformación del macizo, se establece que la deformación del macizo es necesaria hasta ciertas magnitudes tolerables; y esto es beneficioso para evitar altas
concentraciones de redistribución de esfuerzos.
En el principio del sistema de soporte, se establece que el soporte diseñado y colocado
es solo una ayuda al sistema de soporte total de la cavidad. Además que todo sistema de
soporte debe estar en contacto con el macizo circundante para que cumpla con su función
y debe ser un contorno cerrado estructuralmente. En adición, el sistema de soporte tiene
que cumplir con dos condiciones: evitar la ruptura del macizo que lo soporta —común en
cavidades profundas— y evitar la excesiva deformación o convergencia de la cavidad, este
último más importante en cavidades razas.
En el principio de la instrumentación, se resalta que la instrumentación es activa durante
todo el proceso de construcción de la cavidad y es el insumo principal para verificar la
estabilidad y seguridad de la misma, y además para la toma de decisiones.
Capı́tulo 3
Diseño geométrico de un túnel
3.1.
Orientación preferencial
Por lo general, los portales de un túnel vial están definidos por exigencias definidas
por tráfico y la ruta en la que el túnel pertenece; esto evita que se tenga plena libertad para
elegir una orientación favorable de esta obra. Sin embargo en casos extremos, se tendrá que
cambiar la ubicación de los portales y la orientación global del túnel si las condiciones del
campo de tensores de esfuerzos y presiones naturales, ası́ como las estructuras geológicas
regionales y estructuras geológicas secundarias actúan de forma negativa contra el túnel.
A partir del campo de tensores de esfuerzos naturales se tiene que definir la orientación
del túnel que es dependiente de la forma geométrica del mismo (i.e. la sección transversal).
En primer lugar, en lo posible, se tiene que tratar de hacer coincidir los ejes de simetrı́a
del túnel con las direcciones principales del CTEN.
Una condición ideal se da cuando el eje longitudinal del túnel se hace coincidir con
la dirección del esfuerzo principal mayor. Esto logrará que la sección transversal del túnel
esté cargado con los esfuerzos principales intermedio y menor. Dada esa situación, la mayor
dimensión de la sección transversal hacer coincidir con el esfuerzo principal intermedio,
dejando la menor dimensión de la sección transversal para el esfuerzo principal menor.
Debido a que la condición ideal por lo general no es posible, al menos debe procurarse
que en la sección transversal actúen dos esfuerzos principales consecutivos, es decir: esfuerzo principal mayor con el intermedio o el intermedio con el menor. No es aconsejable
que en la sección transversal actúen dos esfuerzos principales extremos, es decir el máximo
y el mı́nimo; debido a que existirı́a una gran diferencia de esfuerzos en la sección.
Si las dimensiones de la sección transversal en los dos sentidos paralelos a los esfuerzos
principales son iguales, la orientación en ese plano es indiferente.
Referente a las estructuras geológicas primarias y secundarias, las situaciones que tienen
que evitarse son:
17
18
3 Diseño geométrico de un túnel
rumbos de buzamiento de estructuras primarias y secundarias paralelos al eje longitudinal del túnel;
direcciones de buzamiento de estructuras primarias paralelas al eje del túnel (a veces
inevitable);
coincidencia cercana de la dirección del esfuerzo principal intermedio con el eje del
túnel.
3.2.
Curvatura y esfuerzos principales
No es recomendable definir una sección transversal donde los radios de curvatura cambian de forma abrupta en el punto de enlace de dos curvas. Cuando una sección está compuesta por el enlace de varias curvas, la concentración de esfuerzos en los enlaces se evitan
cuanto más paralelas sean las perpendiculares a los radios de curvatura en el punto de enlace.
A mayor radio de curvatura el efecto de arco es inferior, y por el contrario se tiene un
mayor efecto de arco con un radio de curvatura menor. Por consiguiente se recomienda
orientar aquel arco de la sección de mayor radio de curvatura con la dirección del esfuerzo
mı́nimo (i.e. radio de curvartura mayor en el punto medio de la curva paralelo a la dirección
del esfuerzo menor), y orientar el menor radio de curvatura de esa sección con la dirección
del esfuerzo máximo (i.e. radio de curvatura menor en el punto medio de la curva paralelo
a la dirección del esfuerzo mayor). La Figura 3.1 muestra tal aseveración.
Figura 3.1 Orientación de los
arcos de la sección respecto la
orientación de los esfuerzos
principales.
3.3 Sección transversal
3.3.
19
Sección transversal
Uno de los pasos tempranos dentro del diseño de túneles viales será el determinar la
sección transversal. La sección transversal de un túnel vial tiene que albergar las siguientes
áreas:
gálibo de la vı́a vehicular, i.e. las lı́neas de transporte;
gálibo de la vı́a peatonal y/o ciclovı́a;
área para el flujo de aire nuevo;
área para el flujo de aire usado;
área para el paso de cableados de datos, voz, energı́a eléctrica (i.e. utilidades para el
túnel);
área para el paso de dúctos de agua o fluidos contra incendios;
área de drenaje y control de inundaciones;
área para la iluminación, señalización vehicular y de salidas de emergencia, cámaras de
control, sensores de gas (e.g. humo, cantidad de CO y CO2 ) y sensores de visibilidad.
área para teléfono de emergencia.
El gálibo es el contorno transversal interno máximo soportado por una estructura que
está destinada para la circulación de vehı́culos en su interior.
El gálibo mı́nimo para peatones es de una sección rectangular de 3,0 m de ancho y 2,5 m
de alto. Esta sección debe estar separada de la pared de la sección del túnel en la parte más
baja (i.e. piso) en al menos 0,6 m, y una similar distancia del gálibo vehicular.
En lo que respecta los gálibos vehiculares, se tiene que considerar que el gálibo total es
la unión de:
gálibo estático en lı́nea recta;
gálibo dinámico en la curva de menor radio de curvatura, a la velocidad de diseño y
tomando en cuenta el peralte.
Con estas consideraciones se puede llegar a tener un ancho de gálibo —para el ancho de
la vı́a de dos carriles, uno por sentido— de 5,5 m a 6,0 m.
El ancho mı́nimo de un gálibo para una vı́a de carretera debe contemplar además de un
espacio entre 0,50 m a 0,75 m entre la pared de la sección del túnel en la parte más baja: el
ancho de la calzada y un espacio adicional para algún otro gálibo adicional, también entre
0,50 m a 0,75 m. La altura vertical mı́nima de ese gálibo a 4,50 m. Asimismo, si en forma
adyacente se tendrá un gálibo peatonal, el espaciado debe ser mayor de 0,60 m a 1,20 m.
El hecho que se contemple un gálibo peatonal no necesariamente indica que el acceso peatonal será libre por el túnel, sino que éste es necesario para el tránsito seguro del
personal de mantenimiento del mismo.
La Figura 3.2 muestra el gálibo de una sección para un túnel vial de carril simple por
sentido, incluyendo una vı́a peatonal.
20
> 1,20 m
0,2 m
a
0,5m
Figura 3.2 Gálibo de una
sección para un túnel vial de
carril simple por sentido
0,50 m a 0,75 m
>5,5 m
> 0,95 m
2.25 m a 2.50 m
4,20 m a 4,50 m
0,50 m a 0,75 m
0,20 m
El gálibo total mı́nimo recomendado por la AASTHO para túneles viales es de 9 m de
ancho y 4,3 m de alto; mientras que el recomendado es de 13,2 m de ancho y de 4,3 m a
4,9 m de altura [11].
También es importante tener en cuenta que el contorno de excavación de la sección de
un túnel tiene que ser mayor a la planificada debido a que éste converge con el tiempo, aún
más cuando se tiene la presencia de un macizo rocoso plástico o zonas de corte o de falla.
O en otras palabras, en el momento del diseño se tiene que tomar en cuenta un posible
convergencia, que en inicio se puede asumir hasta el 3 % del radio mayor de la sección.
Sin embargo, el valor exacto de la convergencia podrá estimarse solo en el momento de la
construcción cuando se interprete la instrumentación de deformación instalada.
La eficiencia de una sección transversal se la puede definir mediante un valor de dimensión uno que es la relación entre la raı́z cuadrada del área y el perı́metro
√
at
c=
.
(3.1)
p
A mayor c, mayor área se tendrá con el menor perı́metro posible. Esto es útil porque lo
que uno desea en una obra subterránea es tener el máximo espacio teniendo que revestir la
menor superficie posible.
La definición de la eficiencia de la sección es buena para tomar decisiones, pero no
resulta ser buena para hacer cálculos por el uso de la raı́z cuadrada. De este modo, se define
un nuevo parámetro similar que se denominará el coeficiente de la inversa de la eficiencia;
y es
21
p2
.
(3.2)
a
Para tener la mayor eficiencia v tiene que ser mı́nimo.
Se puede tener secciones transversales tales como circular, elı́ptica y óvala (de cuatro,
seis u ocho centros). A continuación se describirán solo algunas secciones tı́picas.
v=
3.3.1.
Sección policircular continua
La sección tı́pica usada en los túneles viales en Alemania está compuesta por la correcta conjunción de cuatro arcos circulares, dos de ellas iguales, éstas forman una sección
policircular continua.
A continuación se describe en forma detallada la construcción geométrica de una sección tı́pica en túneles viales, que es conocida como la sección vial alemana.
El primer arco abarca media circunferencia y forma parte de toda la bóveda de la sección. Luego de este arco se tienen dos semi–arcos de radio menor que el anterior y de menor
ángulo, que forman las paredes de la sección; y finalmente se cierra toda la sección con un
semi–arco con el mayor de los radios y que forma el piso de la sección. La Figura 3.3(a)
muestra dicha sección donde se muestran las diferentes variables que definen la misma.
Entre éstas, las variables que logran definir en totalidad la sección son: l que es el largo de
la cuerda del piso, m que es la altura inferior del centro del arco de la bóveda a la cuerda
del piso, y t es al altura desde la cuerda del piso al punto más bajo de la sección también
llamada sagitta o verseno1 .
Para resolver la geometrı́a de la sección alemana es necesario encontrar algunas relaciones entre los tres arcos que la definen. Se tienen dos métodos.
3.3.1.1.
Primer método para resolver la sección
De la Figura 3.3(b) se observa que
n = p cos β
(3.3a)
m = a sin α.
(3.3b)
Por otro lado, el radio del arco de la bóveda b es
b = p + a.
1
(3.4)
De forma formal, en geometrı́a la sagitta se define como el segmento de lı́nea que es perpendicular a la
cuerda entre el punto de media de aquella cuerda y el arco de la circunferencia.
22
(a) Variables principales
(b) Variables intermedias
Figura 3.3 Sección de túnel tipo Alemán.
Por relación de triángulos
a cos α + d =
l
2
1
2
1
a cos α + p cos α =
2
l
(a + p) = sec α
2
a cos α + p sin β =
(3.5)
Observando la relación de triángulos en el arco del piso se tiene la siguiente relación:
b
t
=
sin (α + γ) sin π2 − α
De la misma figura se puede encontrar que
t=
l
tan γ,
2
por tanto, con las ecuaciones anterior y la 3.4, la Ecuación 3.6 se convierte en
(3.6)
23
p+a
l sec γ
=
sin (α + γ) 2 sin π2 − α
(3.7)
El denominador de la primera fracción sin (α + γ) se descompone según la identidad
trigonométrica, y haciendo operaciones se llega a la siguiente expresión:
p+a =
l
sec γ (cos γ tan α + sin γ)
2
(3.8)
El término de la izquierda se reemplaza con la Ecuación 3.5 y haciendo operaciones se
tiene finalmente la siguiente ecuación trigonométrica:
sec α − tan α = tan γ.
(3.9)
Sin embargo, tan γ resulta ser un número positivo cualquiera menor a uno que define el
arco inferior y por extensión la forma de toda la sección; por tanto es posible resolver la
ecuación para obtener el valor de α que será con el que se reconstruirá toda la geometrı́a
de la sección buscada.
Finalmente, el radio del techo de la sección es
r = a + (b − a) sin β .
3.3.1.2.
(3.10)
Segundo método para resolver la sección
De las anteriores expresiones se observa que para resolver la sección se tiene que definir
el arco inferior de la sección total. La forma que se resolvió arriba es a través de encontrar
el ángulo α. Sin embargo, la variable α no es una buena variable como dato de entrada
para definir una sección, porque no dice nada de sus dimensiones globales.
De este modo, se escoge cuatro variables que definirán la sección; y que a la vez dan una
mejor idea de las dimensiones globales de la sección, estos son: la altura total de la sección
H; el radio del arco del techo r; la longitud de la cuerda del arco del piso l; y la sagitta t).
Se define un sistema coordenado cartesiano, dextrógiro, bidimensional en R2 con origen
en el centro del arco de circunferencia del techo de la sección del túnel. Luego, con las
variables de entrada se encuentra la distancia desde el eje x hasta la cuerda del arco del piso
m, que es igual a
m = H − (r + t).
(3.11)
Apoyados en un teorema pitagoriano que relaciona la sagitta con la longitud l, se encuentra el radio del arco de circunferencia del piso (b). El teorema expresa que
b=
l2 t
+ .
8t 2
(3.12)
24
Obtenido b se halla β sabiendo que
l
β = arcsin
;
2b
(3.13)
y luego α, sabiendo que β y α se complementan, es decir
α=
π
−β.
2
(3.14)
El radio menor de la sección a se obtiene sólo conociendo β o α y m que son datos hasta
aquı́ conocidos, es decir
a = m sec β ,
(3.15)
a = m cosec α.
(3.16)
Finalmente, el radio del arco de la bóveda superior es:
r = a + b sin β − m tan β .
(3.17)
Como se puede observar, este segundo método maneja expresiones más sencillas que el
primero.
3.3.1.3.
Perı́metro de la sección
Conocidos todos los radios (ri ) y los tres arcos de circunferencia que definen la sección
(θi ), el perı́metro es
3
p = 2 ∑ θi ri
(3.18)
i=1
π = 2 β b + αa + r
2
= 2 (β b + αa) + πr.
donde el ángulo de los arcos se expresan en radianes. El hecho que se multiplica por dos
en la expresión anterior es debido a que se analiza solo para media sección, aquella partida
por el eje de simetrı́a vertical.
3.3.1.4.
Área de la sección
Una vez definida la sección, es importante obtener la expresión para el cálculo del área
de la sección. Como la sección es simétrica respecto al eje vertical, el área resulta ser el
25
doble del valor que se encuentre para una de sus mitades. En la Figura 3.4 se observa que
el área total (at ) se puede encontrar si se determina y opera apropiadamente las tres áreas
de los sectores circulares: a1 , a2 y a3 , donde a3 se descompone en a3a y a3b .
De este modo, el área total de la sección resulta ser:
at = 2 (a1 + a2 + a3 − a3b ) ,
donde
π 2
r ,
4
α
a2 = a2 ,
2
β
a3 = b2 ,
2
a1 =
(3.19)
(3.20a)
(3.20b)
(3.20c)
1
(b − a)2 sin β cos β .
2
(3.20d)
π 2
r + αa2 + β b2 − (b − a)2 sin β cos β .
2
(3.21)
a3b =
Haciendo operaciones se tiene que
at =
A parte de la sección alemana existen una variedad de secciones cerradas que tienen
solución geométrica. Ya solo depende de la persona que está concibiendo la sección del
túnel escoger la forma y las dimensiones apropiadas que en definitiva definirá la sección.
La única condición necesaria es que las tangentes entre una y otra curva sean las mismas,
Figura 3.4 Conjunción de
áreas para determinar el área
de la sección de túnel tipo
Alemán
26
esto es una condición esencial con la excepción de las secciones tipo U invertida simétrica
o asimétrica, o sección herradura: ellas que se cierran con una lı́nea recta en el piso.
Ejercicio 3.1. Obtenga la sección de túnel tipo Alemán (i.e. policircular continua) cuya
longitud de la semicuerda del piso (l/2) es de 3,5 m, sagitta (t) de 0,75 m, y distancia desde
el centro de la curva de la bóveda al piso a la cuerda (H − r) de 1,5 m. Trace además
a escala la sección ası́ obtenida y encuentre todas las demás dimensiones de la sección.
Luego, calcule el área y el perı́metro de la sección transversal.
Solución 3.1. Por el método primero. La profundidad desde el centro del arco del techo
hasta la cuerda del arco del piso es (H − r) − t = 1,50 − 0,75 = 0,75; este serı́a el valor de
la variable m.
Se calcula el valor de tan γ que da igual a 0,214; de ahı́ γ es igual a 12,09 °(0,21 rad).
Con el valor de la tangente se itera de modo de tener el valor de α, debido a que se conoce
el valor de γ. El valor de α encontrado con una semilla de 45 °es igual a 65,81 °(1,15 rad)
(nota importante: tanto el valor semilla como el valor resultado se da en radianes).
Con α conocido, se calcula β que da igual a 24,19 °(0,42 rad). Con este valor se calcula
el radio del arco menor del piso (a) y el radio del arco mayor del piso (b); que tienen el
valor numérico de forma respectiva de 0,82 y 8,54.
Ahora ya es posible calcular el radio del arco del techo con a + (b − a) sin(β ), que da
igual a 3,98 m. Con todo esto la sección ya está definida.
Luego se obtiene que la altura (H) y el ancho (B) totales de la sección, que son de
5,48 m y 7,97 m de forma respectiva. El área de la sección transversal es de 34,25 m2 y
su perı́metro igual a 21,62 m. Con estos valores, la eficiencia inversa de la sección es de
13,65. La Figura 3.5 muestra la sección obtenida.
El mismo problema puede solucionarse de forma automática usando la función en
MATLABr creada en este texto creategermantunnelsection ejecutando del siguiente modo:
[ at, pt ] =creategermantunnelsection( 3.5, (1.5-0.75), 0.75, true );
display( ['El \'area es de ', num2str( at, ' %5.2f' ), ' mˆ2.'] );
display( ['El per\'imetro es de ', num2str( pt, ' %5.2f' ), ' m.'] );
v = ptˆ2 /a;
display( ['La eficiencia inversa de la secci\'on es de ', num2str( v, ' %5.2f' ),
'.'] );
3.3.2.
Sección U invertida no-simétrica
La sección de U invertida no-simétrica se usa normalmente cuando se tiene un campo de
esfuerzos naturales donde dos de los esfuerzos principales forman un plano perpendicular
al eje de la sección; pero donde la orientación de estos esfuerzos no son ni horizontales
ni verticales, sino tienen un ángulo rotado. En esta condición, uno tiene que orientar el
esfuerzo principal mayor con el radio menor de curvatura del techo.
27
Figura 3.5 Sección alemana
del Ejercicio 3.1.
Las variables de entrada que definen en su totalidad esta sección son tres: la base (b),
la altura (h) y la razón del radio del arco de circunferencia mayor (R) con la base (ρ), i.e.
igual a Rb comprendido entre [0,5, 1]. Para dibujar la sección en un programa computacional
es necesario definir un sistema coordenado; que en este caso es uno en R2 , cartesiano,
dextrógiro y con origen en O.Donde O es el centro del arco circular mayor. La Figura
3.6(a) muestra la construcción de esta sección.
La formulación aquı́ presentada es válida para 12 ≤ ρ ≤ 1 y h ≥ ρb. Se tiene los siguientes casos especiales, extremos de la validez de la formulación.
1. Cuando ρ = 21 , la sección es U invertida simétrica con el radio de curvatura del arco
mayor igual a b2 .
2. Cuando ρ = 1, la sección no tiene pared vertical en un extremo; por tanto es una sección
U-invertida con un sólo arco circular de radio igual a b.
3.3.2.1.
Definición de las coordenadas de los puntos
A partir de estas variables se define todas las coordenadas de los puntos A, B, C, D,
H, I, O, O0 ; los radios R y r; y las distancias entre estos puntos. Todos estos valores son
necesarios para la sección y están en función de sólo las variables de entrada. De este modo,
las coordenadas de los puntos son:
B: (−ρb, −h + ρb)T ,
28
(a) Puntos, distancias y radios que definen la geometrı́a
Figura 3.6 Sección de túnel U invertida no-simétrica.
D: ((1 − ρ)b, −h + ρb)T ,
A: (−ρb, 0)T ,
O: (0, 0)T ,
C: ((1 − ρ)b, b(2ρ − 1))T ,
O0 : (0, b(2ρ − 1))T ,
H: (0, ρb)T ,
I: ((1 − ρ)b, 0)T ;
y los valores de los radios son:
R = ρb,
r = (1 − ρ)b.
(b) Distribución de las áreas parciales
3.3.2.2.
29
Dibujo manual de la sección
Para construir de forma manual esta sección se sigue los siguientes pasos:
conocido el ancho b, trace dos recta paralelas, separada por este ancho;
sobre la recta de la derecha, coloque el punto D y a una distancia h coloque el punto G;
desde el punto G, coloque el punto C a una distancia de (1 − ρ)b;
desde C, trace una perpendicular que corte la paralela B en el punto E;
con centro en E y radio igual a ρ b, trace un arco que corte la perpendicular en el punto
F y paralelo B en el punto A;
encuentre la bisectriz del segmento OC y marque el punto O0 y prolongarlo;
a partir del punto A, trace una recta perpendicular que cortará la prolongación de la
bisectriz en el punto O;
con centro en O0 y radio FO trace un arco que corte la bisectriz en el punto H;
con centro en O y radio AO trace el arco que toque el punto H.
3.3.2.3.
Cálculo del perı́metro
El perı́metro de toda la sección se obtiene de sumar cada uno de los lados y las longitudes
de los dos arcos de circunferencia; que simplificando los términos se tiene que es
p = 2h +
3.3.2.4.
π
b.
2
(3.22)
Cálculo del área
El área total de la sección está la suma del área del semicı́rculo pequeño (a1 ), el área del
semicı́rculo grande (a2 ), el área del rectángulo pequeño (a3 ) y área del rectángulo grande
(a4 ) (Figura 3.6(b)). Las ecuaciones de estas áreas son:
a1 =
π
(1 − ρ)2 b2 ;
4
(3.23)
π 2 2
ρ b ;
4
(3.24)
a2 =
a3 = b2 (1 − ρ)(2ρ − 1);
2
a4 = bh − ρb .
El área total (at ) queda planteada de la siguiente manera:
(3.25)
(3.26)
30
4
at = ∑ Ai
(3.27)
1
h
i
π 2
= bh − ρ + (2ρ − 1)(ρ − 1) −
ρ + (ρ − 1)2 b2 .
4
Ejercicio 3.2. En una central hidroeléctrica subterránea, el estado de esfuerzo naturales
obliga a que el techo de la sección transversal de la caverna de la casa de máquinas sea
3
no-simétrica. El ancho de la central es igual a b = 12 m y la altura h es de 2 10
b. Se definió
7
que el factor ρ sea igual a 8 . Dibujar la sección ası́ definida y encuentre el área de la misma.
Solución 3.2. La función a introducir en el programa serı́a
addpath('/media/suarezjimenez/dataDellCompaq/unalCLASES/geotecniaVial/tunnelSections')
b =12; [ area, perimeter ] =nonsymminvu( b, 2 *3/10*b, 7/8, true );
display( ['Area =', num2str(area,' %0.1f'), ' mˆ2.'] );
display( ['Perimetro =', num2str(perimeter,' %0.1f'), ' m.'] );
seccEff =sqrt(area) /perimeter;
display( ['Eficiencia seccion =', num2str(seccEff,' %0.2f'), '.'] );
La sección con esas variables de entrada es la misma de la que se muestra en la Figura
??; donde la altura pequeña es 17,1 m, la altura grande es 26,1 m, el radio menor es 1,5 m, y
el radio mayor es 10,5 m. El área de la sección transversal es igual a 307 m2 , y el perı́metro
de la sección es de 74 m. t
u
3.3.3.
Criterios para elegir ρ
El criterio para elegir un adecuado valor de la razón ρ se basa en la magnitud de los
dos esfuerzos principales (del estado de esfuerzos naturales) que son coplanarios2 con la
sección que se desea definir.
Por lo normal, y es aconsejable, que esos dos esfuerzos coplanarios con la sección transversal sean adyacentes en magnitudes si ellos se los ordena de forma ascendente o descendente. Es decir, que estos sean σ1 y σ2 o σ2 y σ3 , pero no σ1 y σ3 , por que este último par
de esfuerzos creará mayores esfuerzos cortantes si se los campara con los otros casos.
También, es aconsejable que la suma de ambos pares sea la mı́nima, porque la sección
estarı́a sometida a esfuerzos promedio menores; por tanto, se estarı́a hablando que el par
de las magnitudes de los esfuerzos coplanarios aconsejables para la sección es σ2 y σ3 .
Ahora bien, se hace la siguiente proporcionalidad
σ2 R
∝ ;
σ3
r
para cumplir que el menor radio de curvatura está orientado hacia la dirección del esfuerzo
principal mayor en es ese plano (i.e. σ2 ).
2
Coplanario: el anglicismo coplanar es incorrecto.
31
Reemplazando los valores de R y r en función de ρ, e igualando la proporcionalidad se
tiene
ρ
σ2
=
;
σ3
1−ρ
que haciendo operaciones se tiene
ρ=
σ2
.
σ2 + σ3
Y en forma general serı́a
ρ=
σi
.
σi + σi−1
(3.28)
Ejercicio 3.3. Para el caso anterior del ejemplo, determine la relación ρ de la sección transversal no-simétrica en U invertida, si se sabe que la magnitud del esfuerzo principal menor
(σ3 ) es de 24 MPa y la del intermedio (σ2 ) de 2,6 σ3 .
Solución 3.3. Con los valores presentados, la relación ρ recomendable para la sección serı́a
de 0,72. t
u
3.3.4.
La sección más eficiente
Para el caso de la sección U-invertida no-simétrica, la Figura 3.7 muestra la variación de
v en función de las variables: bh en abscisas,v en ordenadas y ρ en las isolı́neas. Se muestra
claramente que los valores mı́nimos para todos los valores de ρ están comprendidos en los
lı́mites de 34 ≤ hb ≤ 1 14 .
La función analı́tica de los valores mı́nimos de v es
vmin = (32 − 8π)ρ 2 + (8π − 32)ρ + 16;
y para conocer cuál serı́a el valor de
h
b
(3.29)
asociado con ese valor mı́nimo se usa la ecuación
h π
= 2−
+ (4 − π) (ρ − 1) ρ.
b
4
(3.30)
Ejercicio 3.4. Para el mismo caso anterior del ejemplo, determine cuál serı́a la relación
más eficiente si la relación ρ recomendable para la sección es de 0,72.
h
b
Solución 3.4. Usando la Ec. 3.30, se obtiene que la relación buscada es de 1,04, que para
efectos de diseño se toma igual a 1. Para el valor de 1 el valor de la inversa de la eficiencia
es 14,6. Con esas caracterı́sticas, la sección que se propone se muestra en la Fig. 3.8.
t
u
32
19
18
17
16
15
14
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Figura 3.7 Relación de v con las variables que definen la forma de la sección U-invertida no-simétrica.
4m
Figura 3.8 Sección Uinvertida no-simétrica eficiente para el desarrollo de la
pequeña hidroeléctrica.
3.3.5.
Sección óvala por dos circunferencias
Los pasos a seguir son [16], ver Figura 3.9:
33
trazar la recta AB y dividirla en tres partes iguales;
con centro en el punto 1 y radio 1A trazar la primera circunferencia;
con centro en 2 y el mismo radio anterior trazar la segunda circunferencia, donde en la
intersección de las dos circunferencias se obtendrán los puntos 3 y 4;
unir el punto 3 con el punto 2 y luego con el punto 1 cuyas prolongaciones cortarán a
los dos cı́rculos en los puntos F y E;
unir el punto 4 con los 1 y 2 cuyas prolongaciones también cortarán a los cı́rculos en los
puntos G y H;
con centro en 4 y radio 4G trazar el arco de circunferencia GH;
con centro en 3 y radio 3E trazar el arco de circunferencia EF.
Figura 3.9 Pasos a seguir para la construcción geométrica
de una sección ovalada definida por dos circunferencias
3.3.6.
Sección óvala por tres circunferencias
Los pasos a seguir para la construcción geométrica son los siguientes [16], ver Figura
3.10:
trazar la recta AB y dividirla en cuatro partes iguales;
con radio 1 a 2 y centro en 1, 2 y 3 trazar tres circunferencias y obtener los puntos de
intersección de éstas;
unir G con 1 y H con 3 prolongando ambos extremos para obtener los puntos 1, 4 y J;
unir E con 1 y F con 3 prolongando ambos extremos para obtener los puntos L, 5 y M;
34
con centro en 5 y radio 5L trazar un arco de circunferencia LM;
con centro en 4 y radio 4J trazar un arco de circunferencia IJ.
Figura 3.10 Sección invertida
3.3.7.
Sección ovoidea por dos circunferencias
Los pasos a seguir para su construcción geométrica son [16], ver Figura 3.11:
trazar las rectas horizontal y vertical perpendiculares entre sı́ y determinar el punto O de
la intersección;
con centro en O trazar la circunferencia mayor y definir los cuatro puntos de los cuadrantes (v.gr. 1, 2, 3 y 4);
tomar la mitad de la distancia del segmento 1 − O (10 − O) y trasladar esta distancia del
punto 4 al punto O0 ;
con centro en O0 y radio O0 4 trazar la circunferencia menor;
unir 10 con O0 y trazar su mediatriz que al prolongarse ella cortará a la recta 1 − 3 en el
punto N;
trasladar la distancia 3N al otro lado de la sección y obtener un punto simétrico a N que
se llamará M;
unir N con O0 y M con O0 para obtener los puntos R y S en la circunferencia menor;
35
con centro en M y radio M3 trazar un arco de circunferencia 3S;
con centro en N y radio N1 trazar un arco de circunferencia 1R.
Figura 3.11 Pasos a seguir
para la construcción geométrica de una sección ovoidea definida por dos circunferencias
3.3.8.
Sección ovoidea dados el eje mayor y menor
Los pasos a seguir son [16], ver Figura 3.12:
trazar las rectas horizontal y vertical perpendiculares entre sı́ y obtener el punto O;
determinar el eje menor AB sobre la recta horizontal de acuerdo a la distancia deseada;
con centro en O y radio OA trazar la circunferencia ACBE;
a partir del punto C determinar sobre la recta vertical la distancia del eje mayor CD
deseada para obtener el punto D;
unir los puntos D con A y D con B;
trasladar la distancia DE desde A hasta f y desde B hasta G;
por los segmentos DF y DG trazar mediatrices que prolongadas corten en la recta horizontal AB en los puntos M y N y además corten al eje mayor en H;
con centro en N y radio NA trazar el arco de circunferencia A1;
con centro en M y radio MB trazar el arco de circunferencia B2;
con cetro en H y radio H1 trazar el arco de circunferencia 1 − 2.
36
Figura 3.12 Pasos a seguir
para la construcción geométrica de una sección ovoidea
definida por sus dos ejes
3.4.
Alineamiento horizontal y vertical
El planeamiento del diseño del túnel vial referente al alineamiento horizontal y vertical
tiene que estar influenciado por las condiciones geológicas, geotécnicas e hidro-geológicas;
ası́ como de las restricciones ambientales.
Eje del alineamiento de un túnel se hace en el punto central más bajo de la sección.
En ambos alineamientos se aplican las reglas de construcción de curvas horizontales y
verticales del diseño geométrico de carreteras. Sin embargo, se tiene que tomar en cuenta
que:
no se recomienda un carril de vehı́culos pesados para el sobrepase (i.e. climbing lane)
dentro del túnel;
no se recomienda que un túnel vial mayor a 100 m de longitud esté unido entre portal y
portal por un alineamiento horizontal recto, al menos se tiene que tener una corta curva
en la entrada y la salida del portal (para posibilitar al conductor un cambio gradual en el
cambio de intensidad de luz), pero se tiene que evitar a la vez el mı́nimo de curvas en el
tramo subterráneo;
no se recomiendan radios de curvatura mayores a 260 m dentro; y mientras mayor sea
este mejor; donde la visibilidad menor sea de al menos 80 m (i.e. sight distance);
3.4 Alineamiento horizontal y vertical
37
se tiene que evitar las curvas verticales con pendientes mayores a 4 %; sin embargo, en
casos extremos y bien fundamentados se puede aceptar hasta 6 % de pendiente;
la pendiente transversal por peralte tiene que estar entre 1 % y 6 %.
las distancias de frenado no tienen que minimizarse.
Asimismo, en vı́as importantes no se recomienda que una sección porte con los dos
sentidos del tráfico (i.e. sección bidireccional); y en caso de tener dos secciones cercanas,
una para cada sentido del tráfico (i.e. sección unidireccional), ambas tienen que tener la
capacidad de inter-comunicarse en el caso eventual de que sea necesario usar una sección
en el modo bi-direccional cuando exista algún tipo de mantenimiento de una de la otra.
Capı́tulo 4
Falsos túneles
Los falsos túneles también se llaman túneles refugio. Ellos por lo normal se diseñan
como medidas de protección contra la caı́da de bloques de roca o flujos secos o húmedos
de materiales terrenos. El diseño de estas obras es más estructural que geotécnico y la
aproximación más sencilla es la no-acoplada.
La aproximación no-acoplada se basa en la hipótesis de interpretar la respuesta mecánica
del sistema luego de evaluar la fuerza de impacto que actúa en la interfase capa de material
(i.e. amortiguamiento) versus proyectil (i.e. bloque de roca), luego de estimar la propagación de esfuerzos a través del material por encina del techo del falso túnel; y finalmente
evaluar la reacción de la estructura ante la esa distribución de esfuerzos en el techo; todos
estos pasos, de forma independiente y por separado.
Para el análisis es necesario tomar en cuenta la exitación dinámica de la estructura portante y constituyente del túnel (normalmente de concreto reforzado). Cuando un bloque de
roca cae contra la superficie de amortiguamiento del túnel ocurre:
la penetración del bloque en al superficie del estrato de amortiguamiento;
una propagación de esfuerzos dinámicos en la estructura, de los cuales es importante
conocer aquellos que se propagan en la interfase de contacto del material de amortiguamiento y la superficie superior del techo de la estructura;
una respuesta de la estructura ante esa distribución de esfuerzos, que puede ser una
deflexión de sus elementos y la reacción e los apoyos.
Estos fenómenos tendrı́a que analizarse de forma acoplada, sin embargo los métodos simplificados toman en cuenta un desacople de estos fenómenos siempre y cuando el espesor
del material de amortiguamiento sea alto y la estructura sea rı́gida.
Asimismo, el análisis desacoplado es posible solo cuando la fuerza dinámica de impacto
se aplica en una duración menor que el tiempo de propagación de la onda de compresión
en el estrato (desde la superficie hasta el techo superior de la estructura). Esto implica que
la duración de la penetración del bloque de la roca sea más corta que la duración que tarda
39
40
4 Falsos túneles
la onda compresiva a reflejada por el techo de la estructura. También es necesario que la
estructura sea rı́gida para la propagación de la onda dinámica.
En condiciones estáticas, el incremento de una carga estática equivalente implicarı́a el
incremento en las reacciones de forma inmediata y simultánea. Ante una carga dinámica
como la que se pretende estudiar, las reacciones son a diferentes tiempos (distanciados por
fracciones de segundos) causando mayores esfuerzos diferenciales. Por tanto, el análisis
tiene que ser secuencial en cada punto de la estructura del túnel.
El efecto que le de el bloque de roca caı́do en contra del falso-túnel depende de la
capa de amortiguamiento que sobre éste se haya diseñado, ası́ como la geometrı́a de la
estructura portante del túnel. El impacto del bloque, la penetración de éste en al capa de
amortiguamiento y la transmisión de fuerzas y esfuerzos hacia la estructura son un proceso
dinámico que aún no está bien entendido. Por esta razón se toma en cuenta inicialmente
métodos semi-estáticos que tienen algunas simplificaciones en favor de la seguridad.
Capı́tulo 5
Acceso por pozos
5.1.
Diseño geotécnico de pozos verticales
Los métodos analı́tico-teóricos clásicos —basados en la teorı́a de la plasticidad— de
diseño de pozos no toman en cuenta el efecto de la superficie freática ni la rigidez de la
estructura de soporte.
La solución más sencilla se tiene para el caso de pozos verticales de sección circular.
Este caso se resuelve bajo una solución bidimensional con simetrı́a axisimétrica. Para esta
geometrı́a, se toma en cuenta los preceptos de la teorı́a de la plasticidad, donde toma en
cuenta únicamente las fuerzas estáticas presentes en el cuerpo rı́gido que ha fallado por
una superficie de ruptura tridimensional cercana a ser cónica. En este problema, la variable
incógnita resulta ser el ángulo del cono de la superficie de falla.
Las soluciones logradas con esta teorı́a posibilita tener una primera idea del comportamiento mecánicos de estas estructuras.
5.1.1.
Método de Prater
La solución de Prater [17] es una adaptación de la teorı́a de cuñas de Coulomb (que
es un problema plano) a un problema axisimétrico; donde no toma en cuenta la fricción
entre la estructura de retención y el suelo, ni la influencia de la deformación de las paredes
del pozo relativo a la deformación que da un empuje activo. Sı́ toma en cuenta pero, un
coeficiente de presión lateral de tierras en planos radiales (λ ) que está comprendido entre
Ka y Kp .
Esta variable λ resulta ser la relación de los esfuerzos radial con el vertical,
λ=
σθ
.
σv
(5.1)
41
42
5 Acceso por pozos
La solución de Prater no posibilita que se tenga una situación donde exista una carga de
ninguna naturaleza sobre la superficie del terreno detrás del la cara de pozo, ni la presencia
de agua ni muchos menos la existencia de flujo desde por detrás de la cara del pozo hacia
la base del mismo. Además la superficie del terreno tiene que ser horizontal. También el
método es limitado para valores de 15 ◦ < φ ≤ 45 ◦ .
Sea un pozo vertical de sección circular, de profundidad h y radio r; si se asume un
material plástico no deformable con peso unitario seco γ, es muy probable se desarrolle
una superficie de falla cónica desde la base del pozo hacia la superficie horizontal con una
inclinación α, que tendrá que ser sostenido y equilibrado por una fuerza (P) normal a la
cara interna del pozo.
Visto el pozo en planta, para un sector circular diferencial de ángulo dθ , la fuerza diferencial dP es [17]
1
1
γh2
tan (α + β )
h cot α + r − λ h dθ .
(5.2)
dP =
2 tan α
3
3
El ángulo β es aquel ángulo entre la dirección normal a la superficie de falla y una fuerza
de reacción que actúa contra la superficie de falla Q (Figura 5.1).
VISTA EN
PLANTA
ELEMENTO
DIFERENCIAL
Superﬁcie
de falla
Figura 5.1 Variables y suposición de la superficie de
falla de un pozo vertical en la
suposición de Prater [17].
VISTA LATERAL
EN CORTE
5.1 Diseño geotécnico de pozos verticales
43
Si se integra dP a lo largo de toda la circunferencia del pozo (i.e. de 0 a 2π)
Z2π
P=
dP,
(5.3)
0
y si se despeja h de la expresión entre llaves, se obtiene
1
1
γh3
tan (α + β )
cot α + m − λ
2π.
P=
2 tan α
3
3
(5.4)
Si la fuerza P se distribuye de forma uniforme en toda la circunferencia, es decir
p=
P
,
2πr
(5.5)
se obtiene aquella presión que se tiene que ejercer en la cara del pozo a lo largo de toda la
circunferencia para mantener la cuña cónica de falla en equilibrio; que es igual a
γh2
1
1
λ
p=
tan (α + β )
cot α + m −
.
(5.6)
2
m tan α
3
3
Esta presión p es por unidad de longitud vertical. La variable de dimensión uno m es la
relación de aspecto de la geometrı́a del pozo que resulta ser la división del radio de la
circunferencia del pozo con la altura del mismo.
La expresión entre corchetes se denomina coeficiente de presión de tierras para pozos
circulares, y se denota como kr . De este modo, la expresión de la ecuación 5.6 se puede
resumir a
γh2
p=
kr .
(5.7)
2
Aquı́ lo importante es conocer cuál es el valor de α que da la condición lı́mite, la de
la falla, y en el caso más desfavorable donde se desarrolla el empuje activo; i.e. β = −φ ;
donde φ es el ángulo de fricción interna del material.
Esta condición lı́mite se da cuando la relación m es igual a
m=
λ
2 − X − 3 tan (α−φ
)
3 tan α(X − 1)
;
(5.8)
(2α)
donde X = sinsin
(2(α−φ )) , según [17].
El autor del método creó una gráfica de la condición crı́tica expuesta en la Ec. 5.8 en el
ábaco de la Figura 5.2.
También es interesante conocer cuándo se obtiene un valor de kr igual a cero. Esto ocurre
bajo dos situaciones:
44
5 Acceso por pozos
0.8
0.6
0.4
0.2
Figura 5.2 Gráfica para
encontrar la relación m crı́tica,
para λ = 1 − sin φd y β =
−φd ).
0
55
60
65
70
75
80
cot α = 0;
(5.9)
sin2 (α + β ) = λ sin2 α.
(5.10)
no cohesivo La presión p de diseño se estima del siguiente modo.
1. Escoja un valor para λ , que de no tener mayores criterios es igual a Ko ≈ 1 − sin φ .
2. Divida la profundidad del pozo en intervalos ∆ hi , con i = 1 hasta n.
3. Para cada intervalo, calcule la presión pi con la ecuación 5.7 pero desde la superficie, es
decir que hi = ∑n1 δhi .
4. Haga un gráfico bidimensional para la variable pi (en el eje de abscisas) relacionada a
cada profundidad hi (en el eje de ordenadas), y otra gráfica para la variable kr (en el eje
de abscisas). Las dos gráficas pueden ser sustituidas por una gráfica normalizada donde
pi
y las ordenadas un valor de hri .
las abscisas tienen en valor rγ
p
−p
i
5. Calcule el presión promedio p̄i con i−1
∆ hi .
6. Haga un gráfico bidimensional para la variable p̄i (en el eje de abscisas) relacionada a
cada profundidad hi (en el eje de ordenadas).
7. Encuentre la profundidad hkr=0 para el cual kr = 0.
8. Extienda los cálculos desde el último valor calculado de hi para p̄i hasta el valor de
hkr=0 .
9. Encuentre el valor máximo de p̄i , que será con el que tiene que hacer el diseño.
Ejercicio 5.1. Se desea diseñar un pozo vertical de 2,5 m de radio y 12 m de altura, excavado desde una superficie de terreno horizontal en una arena seca con un ángulo de fricción
interna φd de 30 ° y peso unitario seco γd de 20 kN m−3 . Para ello se desea encontrar la
presión máxima radial para el diseño y la profundidad donde ésta se desarrolla; y además la
45
profundidad en la cual esta presión es cero. Para lograr el cálculo con el método de Prater
asuma que la falla se produce con el total desarrollo de la presión lateral de tierras activa,
i.e. λ = 1 − sin φd y β = −φd .
Solución 5.1. Se empezará buscando la profundidad a la cual kr = 0, esto se logra iterando
sobre la Ec. 5.10, de modo de encontrar α a partir de los valores conocidos φ , β y λ .
Para el caso especial de β = −φ y λ = 1 − sin φ , la ecuación para encontrar kr = 0 es
sin2 (α − φ ) = (1 − sin φ ) sin2 α.
(5.11)
Esta solución no es analı́tica; por tanto, para lograr una convergencia se tiene que dar un
valor semilla (αseed ) que se recomienda esté entre 55 ° a 80 ° según lo que indica la gráfica
en la Fig. 5.2.
El valor de α que cumple con la ecuación de arriba es αkr0 . Con este valor en la gráfica
de la Fig. 5.2 se obtiene la relación m, que la denotaremos mkr0 .
Con r constante, se obtiene
r
hkr0 =
;
mkr0
que es la profundidad a la cual kr = 0.
Sı́ la profundidad del pozo h es menor a hkr0 es aconsejable extender los cálculos hasta
este segundo valor, sólo para verificar la tendencia de las presiones con la profundidad.
Para un valor semilla de αseed = 61,9 ◦ se obtiene que αkr0 = 72,44 ◦ ; y con este valor
se halla que mkr0 = 0,08, que da un hkr0 = 31,25 m. De este modo extenderemos nuestro
análisis hasta 31,25 m.
Para esa longitud, se divide 20 intervalos (i.e. n = 20), y para cada uno de ellos se
encuentra los valores de αi (con i = 1 hasta i = n). Con estos valores más las otras variables
ya conocidas se calcula las presiones radiales pi y kri con la Ec. 5.6. Ambos resultados se
muestran en las Figuras 5.3(a) y 5.3(b)).
Se calcula ahora los valores promedio p̄i entre pi y pi−1 , se grafica y se ubica donde se
encuentra el mayor valor, tal como lo muestra la Figura 5.3(c).
Se concluye que la presión última máxima positiva en el intervalo de profundidad donde
se construirá el túnel es de 33,11 kPa localizada a 11,51 m.
La solución se obtiene mediante la siguiente secuencia de código MATLABr ; para ello
necesita de las funciones interpolatefrompraterplot8 y radialpressure:
% Shaft geometry %
wallHeightInM =12;
wallRadiusInM =2.5;
r =wallRadiusInM;
h =wallHeightInM;
m =r/h;
% Soil properties %
phiDeg =30;
c =0;
gammaInKnM3 =20;
46
5 Acceso por pozos
0
0
0
5
5
5
10
10
10
15
15
15
20
20
20
25
25
25
30
30
30
35
35
0
200
400
600
(a) presión
0
0.1
0.2
0.3
(b) coeficiente radial
0.4
35
−100
−50
0
50
(c) presión promedio
Figura 5.3 Variación de la presión, coeficiente, y presión promedio de empujes radiales en profundidad.
phiRad =phiDeg/180 *pi;
lambda =1 -sin(phiRad);
betaRad =-phiRad;
%
%
%
%
Find the depth where kr=0, i.e. the critical alpha angle %
Iterating equation 12 of article Prater1977.article %
alphaseedVec =[ 55, 80 ] *pi/180; %
seedAlphaRad =( alphaseedVec(end) -alphaseedVec(1) ) .*rand(1) +alphaseedVec(1); %
seedAlphaRad =61.9*pi/180;
[ kr0AlphaRad, fval, exitflag, output ] =fsolve( @(alphaRad)...
(sin(alphaRad +betaRad)).ˆ2 -lambda .*(sin(alphaRad))ˆ2,...
seedAlphaRad, ...
optimset('Display', 'notify-detailed', 'TolFun', 0.001, ...
'MaxFunEvals', 100, 'MaxIter', 1000) );
% Back calculating critical depht to obtain 'mKr0' %
kr0AlphaDeg =kr0AlphaRad/pi*180;
mKr0 =interpolatefrompraterplot8( 'm', kr0AlphaDeg, phiDeg );
hKr0 =r /mKr0;
% Discretrizing the calculation depth %
numWallDiscrim =20;
hVec =linspace( 0, max(h, hKr0), numWallDiscrim );
deltaHvec =hVec(2:end) -hVec(1:end-1);
% Failure surface angles %
numdiscrimPts =numWallDiscrim;
mVec =r ./hVec;
phiDegVec =phiDeg *ones(1, numdiscrimPts);
alphaDegVec =zeros(1, numdiscrimPts);
for i=1 :numdiscrimPts
alphaDegVec(i) =interpolatefrompraterplot8( 'alphaDeg', mVec(i), ...
phiDegVec(i) );
end
% Wall pressure value and coefficient %
pVec =zeros(1, numdiscrimPts);
krVec =zeros(1, numdiscrimPts);
for i=1 :numdiscrimPts
[ pVec(i), krVec(i) ] =radialpressure( mVec(i), hVec(i), ...
gammaInKnM3, alphaDegVec(i), (betaRad*180/pi), lambda );
end
figure(), hold on;
subplot(1,2,1)
plot( pVec, hVec, 'k-' );
xlabel('Circunferencial pressure $p$ in kPa', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('Wall depth $h$ in m', 'Interpreter', 'latex');
set(gca,'YDir','reverse');
subplot(1,2,2)
plot( krVec, hVec, 'k-' );
xlabel('Earth pressure coefficient for circular shafts', ...
'Interpreter', 'latex');
hold off;
% % Mean non-cummulated pressure
pMeanVec =(pVec(2:end) -pVec(1:end-1)) ./deltaHvec;
pMeanVec =[ 0, pMeanVec ];
% Design pressure resume %
[ paDesign, depthIndx ] =max(pMeanVec);
depthAtPadesign =hVec( depthIndx );
display( ['The design pressures are for the active case eual to', ...
num2str(paDesign, ' %6.2f'), ' kPa', ' located at the depth of ', ...
num2str(depthAtPadesign, ' %4.2f'), ' m.' ]);
[ ppDesign, depthIndx ] =min(pMeanVec);
depthAtPpdesign =hVec( depthIndx );
display( ['The design pressures are for the active case eual to', ...
num2str(ppDesign, ' %6.2f'), ' kPa', ' located at the depth of ', ...
num2str(depthAtPpdesign, ' %4.2f'), ' m.' ]);
% closed polygon %
iindx =find( ˜isnan(pMeanVec(2:end)), 1, 'first' ) +1;
iniPolVec =[0, 0; pMeanVec(iindx), hVec(iindx)];
middlePolVec =transpose([ pMeanVec(iindx:end); hVec(iindx:end) ]);
closingPolVec =[ pMeanVec(end), hVec(end); 0, hVec(end); 0, 0 ];
wholePolVec =[ iniPolVec; middlePolVec; closingPolVec ];
% Plotting the pressure line %
figure(); hold on;
plot( iniPolVec(:,1), iniPolVec(:,2), 'k-' );
plot( middlePolVec(:,1), middlePolVec(:,2), 'k-' );
plot( paDesign, depthAtPadesign, 'ko' );
plot( ppDesign, depthAtPpdesign, 'ko' );
pbaspect( [0.5, 1, 1] );
xlabel('Mean wall pressure $\bar{p}$ in kPa', 'Interpreter', 'latex');
47
48
5 Acceso por pozos
hold off;
Sobre la estabilidad de la solución de la Ecuación 5.11 para φ < 15°.La solución numérica para α dado valores de φ en la ecuación 5.11 es inestable para valores
menores a 15 °. Esto se muestra en la siguiente gráfica de abajo, que se logró evaluando el siguiente
archivo de lotes:
% Evaluating values of alphas for all phis in $\sinˆ2{(\alpha -\phi)} =(1 -\sin
{\phi}) \sinˆ2{\alpha}$ %
phiKr0DegVec =0:0.5:45;
numVals =length(phiKr0DegVec);
alphaKr0DegVec =zeros( 1, numVals );
alphaseedVec =[ 55, 80 ] *pi/180;
for i=1 :numVals
phiKr0Rad =phiKr0DegVec(i) *pi/180;
seedAlphaRad =( alphaseedVec(end) -alphaseedVec(1) ) .*rand(1) +alphaseedVec
(1);
alphaKr0DegVec(i) =fsolve( @(alphaKr0Rad)...
(sin(alphaKr0Rad -phiKr0Rad)).ˆ2 -(1 -sin(phiKr0Rad)).*(sin(alphaKr0Rad))
ˆ2,...
seedAlphaRad, optimset('TolFun', 0.001, 'MaxFunEvals', 100, 'MaxIter', 1000)
) *180/pi;
end
% plotting %
figure(), hold on
plot( phiKr0DegVec, alphaKr0DegVec, 'k-' );
xlabel('phi'); ylabel('alpha')
axis equal
axis tight
set(gca,'TickDir','out');
hold off
Este aspecto no fue reportado por [17].
75
70
65
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
5.1.2.
49
Modelamiento numérico
Con un modelo numérico uno tiene la oportunidad de preguntarse por ejemplo:
cuáles serı́an los desplazamientos en la superficie del terreno —vertical y horizontal—
si no se destinara ningún tipo de soporte (a más de solo un concreto lanzado impermeabilizante) durante la excavación de pozos verticales.
cuál es la profundidad crı́tica del pozo vertical si no se le destina ningún soporte temporal durante la construcción;
cuáles son las mejoras de los dos casos en caso de implementarse soporte temporal
durante la construcción;
cuál es el asentamiento elástico y plástico en las edificaciones aledañas al pozo con y
sin soporte durante la construcción;
cuáles son los asentamientos finales con el sistema de soporte definitivo;
cuál es el asentamiento debido a la consolidación por flujo a corto plazo (e.g. a 3 años)
y a largo plazo (e.g. a 20 años).
Ejercicio 5.2. Se desea verificar el comportamiento mecánico de pozo vertical de 4 m de
radio y 12 m de profundidad, excavado desde una superficie de terreno horizontal en un
limo arcilloso con nivel freático a 3 de profundidad y con los parámetros geotécnicos que
se describe en los cuadros siguientes.
Cuadro 5.1 Parámetros del suelo usados en el modelo.
Propiedad
Densidad
Cohesión drenada
Angulo de fricción interna drenada
Módulo elástico (de Young)
Relación de Poisson
Simb.
ρs
c0
φ
Es
νs
Unidad
kg m−3
kPa
°
MPa
1
Valor
1 600
30
20
20
0,30
Unidad
kg m−3
kPa
MPa
1
Valor
2 400
250
90
0,22
Cuadro 5.2 Parámetros del concreto impermeabilizante usados en el modelo.
Propiedad
Densidad
Esfuerzo inicial de plastificación
Módulo elástico isotrópico tangente
Simb.
ρc
σcs
Et
νc
Encuentre la profundidad crı́tica del pozo vertical si no se le destina ningún soporte
temporal durante la construcción, cuál es el asentamiento elástico y plástico de la superficie
del terreno con el soporte definitivo; y cuál es el asentamiento debido a la consolidación
por flujo a 5 años de construido del pozo.
50
5 Acceso por pozos
Cuadro 5.3 Parámetros del fluido usado en el modelo poroelástico.
Propiedad
Densidad
Viscosidad dinámica
Compresibilidad
Conductividad hidráulica saturada
Simb.
ρw
µw
χw
Ksw
Unidad
kg m−3
Pa s
Pa −1
m dia−1
Valor
1 000
0,001
4 × 10−10
25
Cuadro 5.4 Parámetros del medio poroso en el modelo poroelástico.
Propiedad
Permeabilidad
Almacenamiento especı́fico
Porosidad
Módulo de Young
Coeficiente de Biot
Simb.
κs
Ssk
ε
Es
νs
α
Unidad
m2
m−1
1
MPa
1
1
Valor
Ksw × 10−6 × 9,81−1
1 × 10−5
0,25
20
0,3
1
Solución 5.2. Debido a que los pozos son de sección circular se analizó a través de un
modelo tridimensional de simetrı́a axial (o también llamado modelo axisimétrico. El programa empleado fue COMSOL Multyphysics versión 4.3.1.161 con el módulo estructural
mecánico, módulo de flujo sub-superficial, y el modelo geo–mecánico.
Análisis a esfuerzos totales pozo sin soporte
Para el caso del pozo sin soporte se analizó bajo esfuerzos totales y con el criterio elastoplástico con envolvente de falla mecánica de Mohr–Coulomb. En este primer análisis no
se tomó en cuenta la presencia del agua.
Se encontró que se tendrı́a ruptura del suelo si se excava a más de 6 m de profundidad.
Por tanto, esta serı́a la profundidad crı́tica.
La máxima deformación radial (i.e. horizontal) se da en la cabeza del anillo impermeabilizante en el nivel de la superficie, con un valor de 50 mm; y este desplazamiento va
disminuyendo a media que se entra en profundidad, hasta un valor de 10 mm en la base del
pozo a la profundidad de 6 m. La Figura 5.4 muestra esta situación.
Similar situación se encuentra con los desplazamientos verticales, donde en la superficie
se tiene un desplazamiento vertical de 50 mm en el contacto con el anillo impermeabilizante; y en la base del pozo un valor de 20 mm. La Figura 5.5 muestra esta situación.
La zona de plastificación del suelo bajo estas condiciones se extiende en un radio de 8 m
en la superficie y en profundidad hasta aproximadamente los 4,5 m (5.6).
Bajo estas condiciones, el anillo impermeabilizante sufrirı́a altas deformaciones, y
además el asentamiento de la superficie del terreno detrás y delante del anillo serı́a de
orden de las decenas de centı́metros. Se tendrı́an asentamientos considerables mayores a
51
Figura 5.4 Desplazamientos
en sentido horizontal para una
profundidad de excavación de
6 m sin soporte.
2 mm hasta los 10 m de radio (mayores a 25 mm hasta los 5,5 m de radio). Delante del
muro se tendrı́an asentamientos menores a 5 mm.
Con el presente modelo se observa que la excavación sin soporte de los pozos —
inclusives a profundidades menores al total de 12 m— generarı́an consecuencias irreversibles como zonas plásticas en el suelo y desplazamientos horizontales y verticales de magnitudes de las decenas de milı́metros.
Se aconseja no avanzar la excavación sin la instalación sistemática del soporte, con el fin
de evitar desplazamientos irreversibles en el suelo, que afecten las edificaciones cercanas.
Análisis a esfuerzos totales pozo con soporte
El soporte previsto para este caso es una cáscara cilı́ndrica de concreto armado de 0,25 m
de espesor.
Adoptando el soporte como definitivo, se observa que no se generan desplazamientos
plásticos en ninguna fase de excavación, y por ende no se entra al campo plástico de deformaciones no zonas plásticas en el suelo. El desplazamiento máximo horizontal del macizo
de suelo en las cercanı́as del pozo son del orden de los 0,006 mm y en valor similar para
los desplazamientos verticales. Estos desplazamientos máximos se presentan en la interfase
cáscara–suelo y en la base de la excavación, tal como se muestran en la Figura 5.7.
52
5 Acceso por pozos
en sentido vertical para una
6 m sin soporte.
En este estado, desplazamientos por deformación elástica de los pozos en la superficie
del terreno: detrás y delante de la cáscara son insignificantes.
Con este análisis se determina que un método de excavación que controle el cerramiento
de la cáscara en tiempos cortos de excavación garantizan deformaciones únicamente elásticas del suelo hasta la conclusión de la construcción misma. Esto es de gran ventaja, debido
a que se prevé que el suelo no experimente deformación significante como para que las
instalaciones de las infraestructuras aledañas a los pozos sufran daños.
Análisis de desplazamientos por consolidación
Uno de los aspectos más influyentes para la existencia de desplazamientos de la masa
de suelo (i.e. masa porosa) es la denominada por consolidación. Por lo general, cuando
se construye un pozo es necesario abatir el nivel de aguas hasta un máximo igual a la
profundidad final de su base. Y el cambio en las presiones intersticiales generan esfuerzos
que al final se traduce en una compactación de las partı́culas que constituyen el suelo.
Para analizar la magnitud de los desplazamientos del suelo a causa de la consolidación
por abatimiento del nivel original de aguas, se hace uso de la teorı́a poroelástica; que implica un análisis esfuerzo deformación acoplado con un análisis hidráulico dependiente del
tiempo (i.e. análisis transitorio).
53
Figura 5.6 Ubicación de
la zona plástica para una
6 m sin soporte.
Realizado el análisis se observa que hasta los primeros cinco metros desde la superficie
se puede tener un asentamiento por consolidación de 100 mm en un lapso de 5 años; y en
hasta la base del pozo de forma gradual hasta un asentamiento por consolidación de 50 mm.
La Figura 5.8 muestra tal situación.
La deformación elástica del material no genera condiciones crı́ticas de estabilidad de
la estructura. Los desplazamientos por consolidación, en el caso que se quiera abatir el
nivel freático para la construcción del pozo o mantener el mismo a nivel del pozo mediante
drenes subterráneos, son del orden de los 100 mm y se extiende a más de 20 m del centro
del pozos.
Ambas situaciones son inadmisibles para una zona con alta densidad de edificaciones, por tanto se tiene que plantear un método constructivo que no modifique el régimen
hidráulico de la zona, que no tenga que abatir el nivel freático en ninguna de las etapas de
instalación y operación de los pozos. Asimismo, no se que perder el volumen de agua del
suelo, por ningún método debido a que también se causarı́a el fenómeno de desplazamientos por consolidación.
54
5 Acceso por pozos
(a) en la dirección radial
(b) en la dirección vertical
Figura 5.7 Desplazamientos en el suelo cuando se completa la excavación de los pozos.
por consolidación en sentido
vertical para cinco años.
55
Capı́tulo 6
Deformación por consolidación y flujo
Resumen En este capı́tulo se describen aquellos aspectos que ayudan a decidir sobre la
pertinencia de una obra subterránea en un determinado proyecto de ingenierı́a.
57
Capı́tulo 7
Deformación en la superficie
7.1.
Deformaciones en la superficie
Para estimar las deformaciones en la superficie del terreno por la presencia de un túnel
poco profundo, es también posible emplear fórmulas analı́ticas; que del igual modo a los
casos de análisis de esfuerzos y deformaciones vistos arriba, se emplea una sección circular.
La sección circular, por simetrı́a axial, reduce mucho las expresiones matemáticas y
muchas de las veces con ciertas suposiciones se consiguen expresiones analı́ticas cerradas
que son de gran ayuda para comprender de forma numérica el comportamiento de un túnel.
En el caso de la estimación de las posibles deformaciones que puedan presentarse en la
superficie por la presencia de un túnel raso.
Para ese fin, es importante definir el volumen de pérdida de material (Vp ) que se obtiene
luego de conocer la deformación del túnel por acción de la abertura de la cavidad y la
acción de los esfuerzos principales naturales iniciales que existen en el macizo.
Para un campo de esfuerzos naturales biaxial paralelo al plano de la sección del túnel
circular, la deformada será una elipse, por tanto solo si se asume que el cambio de la
deformación se debe —esta vez— a la interacción con la superficie, el Vp por metro lineal
de túnel seria la diferencia de las áreas de la sección.
El cálculo de la diferencia de estas secciones serı́a complicado hacerlo de forma analı́tica; pero existe un artificio al que se puede recurrir debido a que las deformaciones son
pequeñas y debido a que existe un cuarto de sector circular que se repite en la sección por
la simetrı́a biaxial que existirı́a en la forma de la deformada.
Por tanto, en el cuadrante de las dos secciones concéntricas del túnel (i.e. sección inicial
y sección deformada) que define los dos ejes de simetrı́a se trazan radios de tal forma que
las secciones se dividan en pequeños sectores. Una discretización del cuadrante a partir
de nueve partes es útil. Para cada unos de estos radios (i) se halla el desplazamiento de la
curva inicial a la curva final; es decir la diferencia de ro − urri . Entre dos radios —sea uno
(ro − urr,i ) y el otro (ro − urr,i+1 )— se tiene una superficie cerrada conjuntamente por el
59
60
7 Deformación en la superficie
arco inicial, el arco deformado. Esta figura no es de una forma geométrica cuya área sea
fácil de hallar; pero si se promedian los dos radios se logra que los dos arcos sean circulares
y el cálculo del área sea de forma analı́tica.
El promedio de los radios será
ūrr,i =
urr,i+1 − urr,i
,
2
(7.1)
y con él, el área del cuadrante será
A=
i
πα n−1 h 2
2
r
−
(r
−
ū
)
.
o
rr,i
o
360 ∑
i
(7.2)
Finalmente, el volumen de pérdida de material es
Vp = 4A.
(7.3)
La deformación de la superficie del terreno por la presencia de un túnel se llama depresión de asentamientos, y se asume en primera instancia que es un curva tipo Gauss,
semejante a la curva estadı́stica. Para ello, como ya se dijo, se asume que el macizo no
sufre cambio de volumen, y que todo el volumen perdido en la deformación en la sección
es equivalente en magnitud al volumen por el asentamiento del terreno (i.e. el volumen de
la depresión de asentamientos, Vs ); todos ellos evaluados por metro lineal de túnel.
Si el volumen excavado por metro lineal de túnel es Vt , la relación Vs/Vt (rV ) da un indicativo del grado de deformación del mismo y es un escalar que sirve para el control de
la excavación. Por ejemplo, se establece un umbral de esta valor, de tal modo que si uno
sobre pasa éste tiene que tomar medidas ya programadas para evitar deformaciones en la
superficie que pueden crear asentamientos diferenciales no tolerables en las edificaciones.
La relación rV se llama muchas veces como relación del asentamiento del túnel (TSR,
del acrónimo del Inglés de Tunnel Settlement Ratio) o pérdida equivalente en el frente de
excavación (EFL, del acrónimo del Inglés de Equivalente Face Loss).
En algunos textos, el valor umbral de rV (rˆV ) se especifica en 0,032; sin embargo, este
valor depende de las tolerancias en la deformación que se le quiera dar durante la construcción del túnel. Por ejemplo, si el túnel pasa por debajo de un conjunto residencial la
tolerancia será menor a que si el túnel pasa por debajo de un parque.
Una vez calculado Vs —que por definición es igual a Vp — se define además la tasa de
deformación i que es directamente proporcional a la profundidad desde la superficie del
terreno hacia el eje del túnel zo (i.e. si la sección es circular: al centro de la sección, si tiene
una forma irregular: al baricentro de la sección) y a un parámetro k que depende del macizo
que alberga el túnel:
i = kzo .
(7.4)
Con ambos valores, la deformación máxima vertical (i.e. el asentamiento máximo del terreno) es
7.1 Deformaciones en la superficie
61
Vs
smax = √
.
2π i
(7.5)
A partir de este valor máximo, se establece la ecuación de la curva de deformación en la
superficie
2
−y
sy = smax exp
.
(7.6)
2i2
El sistema coordenado adoptado para las expresiones anteriores es uno dextrógiro, cartesiano relativo al eje del túnel, es decir: con el eje x horizontal paralelo al eje del túnel; el
eje y perpendicular al anterior en el plano de la sección, que si se ve en dirección del avance
del túnel apunta hacia la derecha; y el eje z, vertical apuntando hacia abajo (hacia el Nadir).
Esto implica que el túnel tiene que ser: de totalmente horizontal a levemente horizontal.
Además, la expresiones desarrolladas obligan a que la superficie del terreno sea horizontal
a levemente horizontal; de otro modo las expresiones analı́ticas ya no son válidas, y toda
estimación tendrá que hacerse mediante modelos numéricos.
En la curva de la depresión de asentamientos, los puntos importantes son: el valor máximo del asentamiento para y = 0, y los dos puntos de inflexión simétricos al eje central
vertical del túnel. Estos puntos de inflexión separan aquellos asentamientos cóncavos (sagging settlements) de los otros asentamientos convexos (hogging settlements). Las abscisas
y√donde se ubican estos puntos de inflexión respecto el eje central son a una distancia de
3 i.
Todas las estimaciones de las deformaciones en superficie son sensibles al valor k, que
depende de las propiedades del macizo. El valor de k puede asumirse en primera instancia
de tablas en las fases de conceptualización de la obra. Sin embargo, en fases posteriores
éste tiene que obtenerse de ensayos de laboratorio de caracterización del macizo —donde
se mida varias propiedades mecánicas de deformación del mismo— y el uso de ecuaciones
empı́ricas mediante análisis multivariado; o a través de modelos fı́sicos reducidos a escala
donde se cumplan las leyes de proporcionalidad. Y, ya en la fase de construcción, la gama de
valores de k estimados de forma anticipada tienen que calibrarse continuamente mediante
instrumentación activa, medidas que además ayudarán a controlar las deformaciones en el
contorno del túnel y en la superficie del terreno.
La instrumentación en cada sección de control consiste de: deformı́metros de posición
múltiple verticales colocados desde la superficie en profundidad, que se colocan de forma
simétrica respecto el eje central vertical de la sección del túnel; y de lectores de convergencia al rededor de la bóveda del túnel que ya está excavado. Las lecturas de toda la
instrumentación requiere que sea sincronizada para todos puntos de lectura.
Ejercicio 7.1. Un túnel circular de diámetro 10 m será construido a 35 m debajo de la superficie de una ciudad en una arcilla sobreconsolidada. La relación de el diámetro con la
profundidad de la base del túnel con la superficie es de 3,5. El campo de esfuerzos naturales a esa profundidad se estableció que tiene un esfuerzo vertical principal directamente
proporcional al peso unitario del material, y que los dos esfuerzos horizontales son iguales
(σH = σh ) a una razón ko = σh/σv igual a 0,5. Se asumirá que el macizo se deforma bajo
62
7 Deformación en la superficie
un comportamiento netamente elástico, donde el módulo de deformación es E = 15 MPa y
la relación de Poisson de ν = 0,3. Si el parámetro de deformación vertical k es de 0,4, se
solicita calcular la curva de asentamiento en la superficie del terreno.
Solución 7.1. Resolver en casa.
Capı́tulo 8
Campo de tensores de esfuerzos
El macizo donde se construye un túnel vial es un material que está pre-cargado por
fuerzas que son en general de magnitud y orientación desconocidas. Esta situación es una
dificultad significativa que no se enfrentan otras ramas de la mecánica de materiales. Por
ejemplo en el diseño de estructuras donde los esfuerzos que actúan en éstas están usualmente bien definidos (i.e. cargas de diseño) y el estado inicial de esfuerzos (tensor de esfuerzos
inicial) es nulo (i.e. vigas, losas, columnas) o hidrostático (i.e. estructuras submarinas). Por
esta razón es necesario conocer antes del diseño de las obras subterráneas: el campo de
tensores de esfuerzos naturales (CTEN).
El CTEN se refiere a un volumen de masa continua delimitada en la corteza terrestre,
donde en cada punto infinitesimal se tiene un tensor de esfuerzos cargado por acciones
provenientes de la naturaleza y actividad actual de la corteza terrestre. La estimación del
CTEN en el macizo rocoso es una preocupación central dentro de las geociencias, tanto
para la comprensión de los procesos geológicos fı́sicos básicos y el estudio de la tectónica
de placas y sismos, como para la mecánica de macizos rocosos en el diseño de estructuras
en la superficie o en especial subterráneas [20].
Entender el CTEN en el macizo rocoso presenta una dificultad en la estimación ab-initio
del mismo y requerirá una estrategia que lo acerque a uno a la mejor apreciación y cuantificación. La palabra determinación expresa certeza exacta de una cantidad, mientras que la
palabra estimación incluye un componente de juicio u opinión. Debido a que no es posible
establecer la magnitud ni dirección exactas de los vectores esfuerzo y por consiguiente de
todo el tensor de esfuerzos que componen el CTEN en diversos puntos del macizo rocoso,
es más apropiado hablar de estimación del CTEN.
63
64
8.1.
8 Campo de tensores de esfuerzos
Representación del tensor de esfuerzos
En el espacio geométrico tridimensional, el tensor de esfuerzos se representa en forma
general por tres vectores esfuerzo actuantes en tres planos diferentes (éstos no son de forma
obligatoria ortogonales entre si, pero linealmente independientes). A esta representación se
la denomina representación del estado triple de esfuerzos.
Por facilidad y orden, se escogen tres planos coincidentes con las direcciones del sistema
de ejes del sistema elegido. Si el sistema es cartesiano, los tres planos son ortogonales entre
si y el tensor de esfuerzos puede representarse por tres componentes de esfuerzo normales
y seis componentes de esfuerzos tangenciales que actúan en los tres planos de un cuerpo
elemental (i.e. en total nueve variables). Sin embargo, sólo seis variables independientes
son suficientes para definir el tensor: tres esfuerzos principales y sus respectivas direcciones
(i.e. en total seis variables) (Figura 8.1).
Figura 8.1 Tensor de esfuerzos en el espacio geométrico tridimensional cartesiano, siendo x coincidente
con el Norte, y con el Este y z con el Nadir. a Representado por nueve variables (seis independientes); b
representado por tres vectores y tres direcciones.
Otra forma de representar un tensor es de la forma como se presentó en la Figura 8.2,
que muestra las direcciones de tres vectores de esfuerzos ortogonales entre ellos en la proyección estereográfica del hemisferio sur. La Figura 8.2a en sı́ muestra parte de un tensor de
esfuerzos de un determinado punto del macizo rocoso, porque faltarı́a representar las magnitudes de los tres esfuerzos, que son mostradas en el cuadro de la misma figura (Figura
8.2b).
El espacio que se muestra en la proyección estereográfica sigue siendo un espacio
geométrico tridimensional, pero ya no es cartesiano. Esta forma de representar el tensor
de esfuerzos es fuerte para representar la orientación de sus componentes principales, más
es débil para representar sus magnitudes.
8.1 Representación del tensor de esfuerzos
65
Por otro lado, un tensor de esfuerzos puede representarse en otros espacios no geométricos. Por ejemplo, en la disciplina de la mecánica del medio continuo se definió el espacio
Haigh-Westergaard que puede ser usado para definir las magnitudes del tensor de esfuerzos, definida por sus tres magnitudes de los esfuerzo principales (Figura 8.3a). Sin embargo
esta forma de representar el tensor de esfuerzos es incompleta cuando no se acompaña de
un cuadro que informe acerca de las orientaciones de los tres esfuerzos principales (Figura 8.3b). En este sentido, esta forma de representar el tensor de esfuerzos es fuerte para
representar las magnitudes de sus componentes principales, más es débil para representar sus orientaciones; lo contrario a lo que ocurrı́a con la representación en la proyección
estereográfica.
El espacio Haigh-Westergaard se emplea para mostrar cómo cambian las magnitudes de
los esfuerzos principales de un tensor de esfuerzos en un punto para un determinado tiempo
o acción (e.g. cómo cambian las magnitudes del tensor de esfuerzos en un punto del macizo
rocoso debajo de un embalse, cuando éste es llenado), lo que se conoce como trayectoria
de esfuerzos . Esta representación es suficiente para tensores de esfuerzos donde las orientaciones de los esfuerzos principales no cambian (i.e no existe rotación de los esfuerzos
principales), condición que se cumple en la mayorı́a de los análisis de esfuerzos en masas de suelo. Sin embargo, dentro de los macizos rocosos y en excavaciones subterráneas,
el cambio del tensor de esfuerzos ante ciertas alteraciones del medio ocurre por cambios
Figura 8.2 Representación de vectores esfuerzo en el espacio; a la vez los tres vectores forman en este
caso particular un tensor de esfuerzos. a Representación de la dirección de cada vector en la proyección
estereográfica; b cuadro que muestra las magnitudes de cada vector.
66
de las magnitudes y de las orientaciones de los esfuerzos principales. De este modo, la
trayectoria de esfuerzos de un macizo rocoso es mucho mas complejo de representar.
Harrison y Hudson [8] listan un grupo de principios, con sus respectivos corolarios,
sobre trayectorias de esfuerzos en macizos rocosos sometidos a alteraciones de este tipo;
para luego proponer un método nuevo para ilustrar de forma simultanea los cambios en los
seis componentes independientes del tensor de esfuerzos en un punto. Este método sugiere
se grafiquen las magnitudes de los esfuerzos principales encima de las trayectorias de los
cambios de sus respectivas orientaciones, en la proyección estereográfica de hemisferio
inferior. La Figura 8.4 muestra la representación de la trayectoria de esfuerzos en un punto
según los principios propuestos por estos autores.
8.2.
Litostático según la regla de Heim
Las condiciones litostáticas, o también llamado geoestáticas, se rigen según la regla
de Heim y sólo se cumple para grandes profundidades (i.e. > ≈10 km). La regla indica
que en profundidad y en un tiempo geológico dado, el macizo rocoso en condiciones de
cargas constantes y persistentes compensa sus esfuerzos (i.e. la resistencia a corte a largo
plazo [tiempo geológico] de la roca tiende a cero) debido a esfuerzos diferenciales internos
y procesos de fluencia del material rocoso. Por consiguiente, las magnitudes principales
Figura 8.3 Representación del tensor de esfuerzos en el espacio Haigh-Weestergaard. a Vista desde cualquier punto dentro del espacio Haigh-Weestergaard; b Cuadro que muestra la orientación de los tres vectores de esfuerzos principales.
8.3 Triaxial axisimétrico según la teorı́a de la elasticidad
67
Figura 8.4 Representación completa de la trayectoria de esfuerzos en un punto. a Magnitudes de los
esfuerzos principales en el espacio de esfuerzos Haigh-Weestergaard; b Orientaciones de los esfuerzo principales en el espacio geométrico en proyección estereográfica de hemisferio sur [8].
del tensor de esfuerzos según la regla de Heim serı́an iguales entre si y equivalentes a la
carga geoestática en el punto de análisis (i.e. σH = σh = σv = γm z). Para cualquier sistema
coordenado, el tensor de esfuerzos litostático es independiente de la dirección. Por ejemplo
para un sistema coordenado x, y, z coincidente con el Norte, Este y Nadir, respectivamente,
el tensor de esfuerzos naturales será como se muestra en la Ecuación 8.1.


100
SN = γm z  0 1 0 
001
(8.1)
A un similar estado de esfuerzos se llega en el caso del suelo cuando está en un estado
de fluido no-consolidado que ocurre cuando se deposita en primera instancia (e.g. suelo en
formación en el fondo del mar).
8.3.
Triaxial axisimétrico según la teorı́a de la elasticidad
Las magnitudes del campo de esfuerzos para profundidades someras, según la teorı́a de
elasticidad y en condición triaxial axisimétrica, se expresa según las Ecuaciones 8.2, donde
νm es la relación de Poisson del macizo rocoso.
σ v = γm z
(8.2a)
68
σH = σh =
νm
1 − νm
γm z
(8.2b)
Si se asume νm = 0, 25 y γm = 27 kN m−3 , los esfuerzos horizontales serı́an iguales a un
tercio el esfuerzo vertical. Además, si se asume νm = 0, 5 la condición triaxial axisimétrica
se reduce a la condición litostática.
En este caso, el tensor de esfuerzos depende de la dirección del esfuerzo vertical, mientras que es independiente para los esfuerzos horizontales. Para un sistema coordenado x, y,
z coincidente con el Norte, Este y Nadir, respectivamente, el tensor de esfuerzos naturales
será como se muestra en la Ecuación 8.3.




νm
0
0
σH 0 0
 1−νm 

νm
(8.3)
SN =  0 σh 0  = γm z 
0

1−νm 0 
0 0 σv
0
0
1
Esta condición triaxial axisimétrica del tensor de esfuerzos se verificó en suelos transportados sedimentarios y en algunas rocas sedimentarias en regı́menes tectónicos de baja
distensión o compresión nula (i.e. regiones no alteradas por tectonismo). Además, tiene
que cumplirse que la cuenca de formación de la roca sedimentaria no haya modificado
sus dimensiones y espesores en el tiempo geológico. Todas estas condiciones hacen que
la condición del tensor de esfuerzos naturales triaxiales axisimétricas, según la teorı́a de
la elasticidad, se cumpla poco en un macizo rocoso. Este aspecto se cumple en materiales sedimentarios no consolidados, los granulares (e.g. gravas, arenas y ciertos limos) y en
aquellos de baja cohesión (e.g. limos y algunas arcillas) una vez terminada la disipación de
presión de poros.
Si se comprueba que en una determinada región, la magnitud del esfuerzo vertical está
regido por el sobre-peso del macizo rocoso, pero que por alguna razón no detectada en
las cercanı́as de un punto se encuentra un sector en particular donde su magnitud varı́a
en cierta proporción de la vertical (e.g. una anomalı́a), se puede esperar a que el esfuerzo
en otros puntos cercanos de esta anomalı́a sea menor en una proporción similar; esto para
compensar y equilibrar el estado de esfuerzos de toda la región.
8.4.
Triaxial axisimétrico según el concepto de pre-consolidación
Para condiciones donde la cuenca de formación de la roca sedimentaria haya modificado
su espesor en el tiempo geológico por el proceso de erosión, las magnitudes de los esfuerzos
que componen el tensor de esfuerzos naturales en un punto es según la Ecuación 8.4, donde
σpc es el esfuerzo de pre-consolidación [7].
σv = γm z
(8.4a)
8.5 Triaxial en campo tectonizado
69
σH = σh = σpc − σpc − γm z
νm
1 − νm
(8.4b)
En sitios donde se observen fenómenos pasados de erosión en un macizo rocoso, que
previa a la erosión alcanzó un estado litológico estable (e.g. condición triaxial axisimétrico según la teorı́a de la elasticidad), se puede predecir que la relación de las magnitudes
del esfuerzo horizontal con el esfuerzo vertical (K) disminuye a medida que aumenta la
profundidad, llegando al valor de K de pre-erosión. Esto ocurre cuando la profundidad del
punto considerado es mucho mayor al espesor de la sobre-carga removida.
8.5.
Triaxial en campo tectonizado
Si se asume que la condición de esfuerzos del macizo rocoso fue según una condición
biaxial basada en la teorı́a de la elasticidad (i.e. macizo rocoso sedimentario) SNi , y que en
la actualidad recibe la influencia de un tensor tectónico ST , entonces el tensor de esfuerzos
naturales actual de ese macizo rocoso se obtendrı́a con la suma de ambos tensores. La Ecuación 8.5 muestra la expresión de este tensor en un sistema coordenado x, y, z coincidente
con el Norte, Este y Nadir, respectivamente.
SN = SNi + ST
 

σH 0 0
σT xx σT xy σT xz
SN =  0 σh 0  +  σT yx σT yy σT yz 
0 0 σv
σT zx σT zy σT zz
(8.5a)

(8.5b)
Sin embargo, se entra en una disyuntiva, porque el tensor ST es desconocido; y valor
conocido sumado a un valor desconocido da un valor desconocido. De este modo, el campo
de esfuerzos triaxial serı́a la condición más común y generalizada presentes en los macizos
rocosos y se da según la Ecuación 8.6.


σxx σxy σxz
SN =  σyx σyy σyz 
(8.6)
σzx σzy σzz
Como el macizo rocoso también tiene que satisfacer con la condición de equilibrio
estático de los momentos angulares, se cumple la siguientes igualdades (Ecuación 8.7),
que logra reducir el número de incógnitas del tensor de nueve a seis.
σxy = σyx
(8.7a)
σxz = σzx
(8.7b)
σyz = σzy
(8.7c)
70
Por la cantidad de incógnitas que presenta el tensor S (i.e. seis), no se tienen claras
teorı́as para estimar el campo de esfuerzos en sitio de un punto; y de ahı́ la importancia
de la medida de los esfuerzos naturales, porque cualquier condición original válida estará
alterada por otros tensores originados en lo posterior.
Por lo general, se asume que el tensor de esfuerzos naturales en cualquier punto tiene direcciones principales vertical y horizontales, de este modo el tensor se reduce a la siguiente
expresión (Ecuación 8.8). Esta condición es válida por ejemplo en topografı́as planas (e.g.
mesetas, altiplanos, llanos) en macizos rocosos homogéneos, isotrópicos y libre de megadiscontinuidades estructurales (e.g. zonas de falla).

 

σxx σxy 0
σHx σHy 0
SN =  σxy σyy 0  =  σhy σhy 0 
0 0 σzz
0 0 σv
(8.8)
Además, como el tensor es ortonormal, sólo con conocer la orientación de uno de los
tensores horizontales (e.g. dirección del esfuerzo horizontal mayor σH ) se logra conocer la
dirección del restante tensor horizontal (e.g. dirección del esfuerzo horizontal menor σh ).
La Ecuación 8.9 muestra la expresión del tensor de esfuerzos naturales en función de las
tres magnitudes principales y la dirección del esfuerzo principal mayor, dada por su acimut
respecto al norte (αH ). De este modo se muestra que si se asume un tensor de esfuerzos
naturales con direcciones principales vertical-horizontales, se necesita conocer sólo cuatro
variables.


σH cos αH σH sin αH 0
SN =  −σh sin αH σh cos αH 0 
0
0
σv
(8.9)
En un volumen continuo de macizo rocoso dado, el campo de tensores de esfuerzos
naturales Σ N puede escribirse como una función de argumentos tensoriales dependientes
de la posición en el espacio, dado por la coordenadas x, y, z, del siguiente modo (Ecuación
8.10).
Σ N = SN (x, y, z)
8.6.
(8.10)
Estrategia sugerida por la ISRM para la estimación del CTEN
Como primera fuente de información se recomienda emplear la información expuesta
en el Mapa de Esfuerzos del Mundo [18]. Las técnicas de determinación de esfuerzos a
profundidades razas (< 6 km) pueden ayudar también a esbozar las primeras hipótesis del
estado de esfuerzos de una región.
8.6 Estrategia sugerida por la ISRM para la estimación del CTEN
71
Luego se tendrá que recopilar toda la información disponible en los alrededores de la
zona del proyecto. Esto incluye tener acceso a mapas de esfuerzos regionales, informes y
artı́culos de las medidas de esfuerzos realizados con anterioridad en la región.
Luego, se deberá hacer un trabajo geológico inicial, donde se describa cada formación
donde se realizarán las medidas de esfuerzos dentro Volumen de Perturbación (PV) del
proyecto, es decir describir: las formaciones rocosas con una descripción petrológica, los
grupos estructurales, las fracturas y las fallas. Las consideraciones geológicas y geomorfológicas son siempre de ayuda para proveer algún conocimiento inicial del campo de esfuerzos.
Asimismo, se aconseja describir los acontecimientos tectónicos antiguos y recientes que
se presentaron en la zona del proyecto. Es también importante tener conocimiento y evidencia de las condiciones hidrogeológicas y del rol potencial de la presión del agua en las
fracturas e intersticios de la formación. También se puede determinar si la roca presentará
un comportamiento frágil-elástico, de deformación plástica o si los efectos visco-elásticos
serán significativos. Esto ayuda a determinar el tipo de régimen de esfuerzos presente en la
región de estudio [6].
Lo anterior ayuda a establecer si los esfuerzos principales serán asumidos verticales y
horizontales respecto la topografı́a con una posible variación lateral geológica. También
informan sobre la tectónica local y por ende acerca de las magnitudes relativas del esfuerzo
principal horizontal respecto el esfuerzo vertical.
En la superficie del terreno, el componente del esfuerzo normal a la superficie tiene una
magnitud igual a cero; es decir, es el esfuerzo principal menor si se asume que no existe
tensión. Por lo general para los primeros 100 m de profundidad en macizo rocoso duro,
independiente de la acción de la tectónica local, el esfuerzo principal menor se asume al
componente del esfuerzo vertical. No obstante, no es fácil estimar a priori la dirección de
los esfuerzos principales y sus magnitudes donde los efectos de la topografı́a y geomorfologı́a son significantes. Estos aspectos ayudan a seleccionar los sitios de medida.
Asimismo, es de ayuda que se identifiquen las grandes fallas, esto debido a que los
esfuerzos del tensor varı́an en magnitud y orientación en la vecindad de fallas o sistemas de
fallas; por lo que en la campaña de estimación de tensores puntuales de esfuerzos se evitan
aquellas áreas cercanas a las zonas de falla; o dependiendo del propósito de las medidas,
éstas se seleccionan para medidas puntuales. Las fallas se ubican a través de observaciones
geológicas de superficie, a través del acceso a la sub-superficie por medio de pozos de
exploración, y/o por registros geofı́sicos en hoyos de perforación.
Una vez validado que es posible realizar una aproximación de mecánica del continuo,
el siguiente paso es identificar los objetivos y sub-objetivos de la campaña de estimación
de esfuerzos. Tiene que establecerse cuál información se requiere: si sólo se necesitan las
direcciones principales del tensor, las magnitudes de uno o más componentes del tensor
expresado en esfuerzos principales ó todo el tensor de esfuerzos. Se decide si es importante estimar las variaciones del campo de tensores de esfuerzos en todo el volumen de
perturbación, y ¿cuál será la incertidumbre y la variabilidad espacial a ser estudiada?
72
Si es necesario, sólo haced estimaciones generales, pero si se justifica, también es necesario hacer medidas puntuales para conocer los valores relativos al contexto del sitio. En
el caso donde se decida hacer medidas puntuales, definid: ¿Con qué precisión numérica y
espacial es necesario conocer el tensor de esfuerzos? o ¿Qué métodos se emplearán?
También definid si se necesitará un procedimiento confirmatorio luego de la estimación,
si se necesitará una aproximación múltiple complementaria con una armonización final
cualitativa, si se debe sustentar los resultados con modelos numéricos subsecuentes, si se
necesita un control de calidad estricto, ó sólo una aproximación informal satisfactoria.
Tomad en cuenta, que la estimación de esfuerzos no puede basarse en una sola medida,
es siempre ventajoso combinar medidas hechas en varios lugares. No obstante, cuando no
se tiene acceso directo en profundidad al macizo rocoso, se debe propiciar los mayores
esfuerzos en una o pocas perforaciones, a varios horizontes, con el fin de por lo menos
tener una idea de la variabilidad de esfuerzos en la dimensión vertical. Los cambios en la
orientación de los esfuerzos con la profundidad pueden ocurrir debido a la superposición
de efectos de regiones tectónicas antiguas (i.e. estructuras de roca y formaciones antiguas)
que están sujetas a la acción tectónica actual tanto en las formaciones antiguas como en las
formaciones más recientes.
Cuando la distancia entre varios puntos de medidas es pequeña en relación con los gradientes de esfuerzos encontrados, se adopta los procedimientos de estadı́stica simple. Cuando se han hecho medidas en diferentes puntos donde las variaciones son significativas, se
proponen ciertas reglas de interpolación. Se establece la validez de estas reglas de interpolación respecto las hipótesis del continuo. Y, una vez validadas las reglas de interpolación,
éstas se aplican para extrapolar los resultados. Asimismo, se definen los dominios de validez para cada procedimiento de extrapolación.
Si se integran los diferentes datos de esfuerzos, pueden designarse varias técnicas para
extrapolar los resultados a regiones más grandes. En estas instancias, se recomienda caracterizar el nivel de fiabilidad de la extrapolación. Estos procedimientos de extrapolación
ayudarán a identificar zonas de heterogeneidad y discontinuidad.
Si las medidas de esfuerzos no involucran volúmenes más grandes que aquel del volumen elemental representativo, se pueden emplear métodos estadı́sticos para identificar los
componentes de esfuerzos de interés a la escala apropiada.
Es importante conocer y entender el mecanismo de cualquier heterogeneidad geológica
en la vecindad de los puntos medidos. También, la modelación numérica puede asistir en
indicar las posibles perturbaciones al campo de esfuerzos causados por algunas estructuras
y facciones geológicas. Los cambios topográficos, geológicos y litológicos pueden afectar
el tensor de esfuerzos en tal forma que sólo pueden establecerse con las medias directas.
La estrategia recomendada se describe a continuación:
use información pre-existente del estado de esfuerzos de la roca en el sitio;
considere que la dirección vertical es una dirección de esfuerzo principal (a partir de
evidencias topográficas, geológicas u otra información);
8.6 Estrategia sugerida por la ISRM para la estimación del CTEN
73
estime la magnitud del componente de esfuerzo vertical (de la densidad del macizo
rocoso y la profundidad de sobrecapa (i.e. sobrecarga, overburden));
considere indicativos de la dirección del esfuerzo principal y el valor de la relación de
éste con los demás esfuerzos (de soluciones focales planas o ortotropı́a de las ondas de
corte sı́smicas);
establezca la orientación del esfuerzo principal mı́nimo (sea esfuerzo horizontal mı́nimo
o esfuerzo horizontal actual) a partir de las fracturas inducidas por perforación o presión
hidráulica y por las orientaciones de las fracturas en los hoyos de perforación;
encuentre los componentes del tensor de esfuerzos con el empleo de métodos indirectos
en los testigos de las perforaciones (tales como el efecto de Kaiser y el análisis diferencial de deformaciones);
establezca el estado de esfuerzos completo en uno o más puntos por ensayos de sobreperforación;
• establezca el esfuerzo principal mı́nimo (por ensayos en hoyos de perforación de
fracturación hidráulica);
• establezca la magnitud del esfuerzo principal máximo (por ensayos en hoyos de perforación de fracturación hidráulica y por análisis de fracturas en los hoyos de perforación);
• establezca el estado de esfuerzos completo en uno o más puntos (por ensayos
hidráulicos de fracturas pre-existentes);
establezca la variación del estado de esfuerzos en todo el sitio debido a diferentes estratos geológicos (a través de análisis numéricos y mayores número de medidas).
La extensión en que estas recomendaciones, en la progresiva estimación del estado de
esfuerzos del macizo rocoso, puedan incorporarse en el sitio de investigación será una
función del objetivo, la practicidad de su implementación y de los recursos disponibles.
Es siempre recomendado integrar las estimaciones de los esfuerzos obtenidos por varias
técnicas. Esta integración suele tomar en cuenta de forma explı́cita las incertidumbres involucradas en las estimaciones. Para evitar estimar un peso inapropiado al grupo de mayor
cantidad de medidas, considere con cuidado el número correspondiente de estimaciones
por cada técnica.
Antes de empezar una campaña de estimación de esfuerzos, es aconsejable adoptar un
plan de acción basado en el objetivo y las circunstancias locales. Esto concluirá en un
informe, que donde se incluye una caracterización del nivel de fiabilidad de la estimación.
Debe separarse en lo posible la variación asociada con las observaciones instrumentales y
aquellas debidas a la continuidad del macizo rocoso y su homogeneidad. Debe discutirse el
rol que tienen las estructuras geológicas de gran escala cuando éstas son identificadas. Debe
discutirse la validez de las ecuaciones constitutivas asumidas en los análisis numéricos
y la interpretación de esfuerzos a partir de los análisis. En adición, los resultados de la
estimación de los esfuerzos se comentan en términos del significado regional (e.g. efectos
74
topográficos, existencia de algún componente tectónico) y se comparan con las primeras
estimaciones realizadas.
Los métodos numéricos pueden jugar un rol importante en la planificación y programación de la estimación de esfuerzos y en la decisión de la localización de ensayos de
determinación de esfuerzos. Los análisis de modelos son valiosos en situaciones donde el
acceso dentro de la zona subterránea es limitado o inexistente. El modelo numérico tiene
que procurar incluir las estructuras geológicas más relevantes que afectarán la distribución
de esfuerzos (e.g. las fallas pueden cambiar la distribución de esfuerzos en el interior del
macizo rocoso; la considerable variabilidad de los esfuerzos en distancias cortas pueden
correlacionarse con la variación del espesor de la zona de salvanda respecto el espesor a lo
largo de la falla).
Un aspecto que se suele considerarse en la modelación es de realizar un balance entre lo
complejo del modelo y la sobre-simplificación del mismo. Un modelo numérico también
puede asistir en la interpretación del estado de esfuerzos medidos u observados.
Los Métodos Sugeridos por la ISRM (2003) (SM: Suggested Method) para este fin hacen
énfasis en los siguientes tres métodos de medida en campo:
método de alivio en hoyo de perforación con la Sonda sueca Borre (ensayo SSPB);
método de fracturación inducida por técnicas hidráulicas (ensayo HF);
método de análisis de fisuras en pozos de perforación por fracturación hidráulica en
fracturas pre-existentes (ensayo HTPF).
También se comenta que el campo de tensores de esfuerzos naturales se estima a partir
de medidas, que estas estimaciones son hechas por especialistas que tienen conocimiento y
manejo de varias técnicas, y que son preferibles aquellas medidas que abarcan los mayores
volúmenes del macizo rocoso.
Capı́tulo 9
Campo de presiones de fluidos
9.1.
Introducción
La presión P es un tensor de esfuerzo de segundo orden (i.e. esfuerzo en un punto),
cuyas magnitudes de sus componentes principales son todas iguales (i.e. tensor de esfuerzos
hidrostático). Por tanto, el campo de presiones de fluidos está representado por tensores de
presión en cada punto de un continuo.
La presencia de fluidos en la corteza terrestre se calcula que alcanza hasta los 10 km de
profundidad, más allá de esas profundidades, el campo de esfuerzos naturales tiende ser
litostático y de suficiente magnitud para carecer de espacios vacı́os y redes interconectadas
de discontinuidades retenedoras y conductoras de fluidos (i.e. agua).
En profundidades menores a los 10 km, cuando un volumen de macizo rocoso no está
intervenido por la actividad de la ingenierı́a, por lo general tiene un campo de presiones
estacionario de fluidos durante su ciclo hidrogeológico. Si se interviene el macizo rocoso, es
muy probable que se modifique el régimen de flujo del fluido, dando lugar a una variación
del campo de presiones. Lo mismo ocurrirı́a a la inversa, si se modifica el régimen de
flujo del fluido darı́a lugar a un cambio en el campo de presiones. Una de las primeras
señales que esto ocurre es por ejemplo en el abatimiento o ascensión del nivel freático en
el entorno del macizo rocoso donde se intervino. Es por esta razón que una de las primeras
actividades para la descripción del campo de presiones de fluidos es conocer la posición del
nivel freático y su variación temporal, antes y durante cualquier actividad mecánica dentro
del macizo rocoso.
Este proceso puede traducirse, por ejemplo en la generación de inestabilidades mecánicas, pérdida del fluido o de lo contrario acumulación excesiva del mismo dentro o fuera del
macizo rocoso. En obras subterráneas, esta situación en el peor de los casos puede obligar
al abandono de la misma, muy frecuente en minas subterráneas.
El gran problema del control de fluidos en los macizos rocosos es que el fluido no sólo
interactúa en la masa del macizo, sino que interactúa con los gases de la atmósfera, y
75
76
9 Campo de presiones de fluidos
definen un volumen distinto al que por consideraciones mecánicas y de estado de esfuerzos
se haya definido.
En general, la relativa facilidad con el que el régimen de fluidos se modifique dentro
del macizo depende de la conductividad hidráulica intrı́nseca del material rocoso no fracturado y de las discontinuidades que existen en el macizo rocoso. La tasa de flujo por las
discontinuidades es más marcada que la tasa de flujo a través del medio poroso o medio
interconectado de micro fisuras del material rocoso. Con algunas excepciones, todo macizo rocoso que experimentó una variedad de ambientes geológicos en su historia, posee
múltiples familias de discontinuidades por donde el fluido, aparte de hallar su medio de
conducción, tiene la capacidad de modificar el estado de las discontinuidades, y con el
tiempo todo el macizo rocoso. Por estas razones, se tienen innumerables paisajes en la
naturaleza, tallados por la interacción de los fluidos con el macizo rocoso.
Imagine el siguiente ejemplo hipotético de tener tres tipos de macizos rocosos: granito, arenisca y lutita; y que han estado en un mismo ambiente geológico; por ejemplo, que
han estado sólo a un mismo grado de deformación de extensión (e.g. 1×10−3 mm mm−1 ).
Los tres tipos de macizos rocosos reaccionarán a este proceso de extensión desarrollando
familias de discontinuidades de extensión. Para el caso del granito, considere que las discontinuidades se formaron con una separación promedio de 10 m y que la deformación de
extensión cesó, y dejó la apertura de las discontinuidades a un espesor promedio de 0,01 m.
Para el caso de la arenisca, considere que las discontinuidades se han formado con un espaciamiento de 1 m, en promedio, donde cada una de ellas tiene una abertura de 1 mm. Y
para el caso de la lutita, considere un espaciamiento de discontinuidades de sólo 0,1 m con
un espesor de 0,1 mm.
Para una dirección de flujo paralela a la dirección del sistema de fracturas, la lutita tendrá
cien veces más fracturas que el granito; y si los demás parámetros de flujo son constantes, la
tasa de flujo a través de las fracturas estará relacionada con el valor del ancho de la fractura
elevado al cubo. De este modo, la tasa de flujo de una sola fractura de granito es 1×106
veces más rápida que aquella a través de la lutita, pese a que en ésta última existen 1×102
más fracturas que la que tiene el granito. Del mismo modo, la tasa de flujo en el granito es
1×104 veces más rápido que el flujo en la arenisca.
De este modo se llega a la conclusión que un macizo rocoso de mayor densidad de discontinuidades (de mayor cantidad de discontinuidades por unidad de volumen) tiene mayor
capacidad de almacenaje de fluidos que aquel que tiene menor densidad de discontinuidades, si se verifica que existe una relación inversa entre la intensidad de discontinuidades
con su abertura promedio. En realidad esta relación inversa es cierta, por lo cual es necesario no sólo conocer la intensidad de discontinuidades, sino también la relación de entre la
separación de discontinuidades y la abertura de la misma para un análisis de flujo a través
del macizo rocoso.
Si en la descripción mecánica del macizo rocoso, la abertura de las discontinuidades fue
despreciada, es ahora donde uno tiene que volver a reflexionar de la importancia de conocer
esta importante variable para la descripción hidráulica del macizo rocoso.
9.2 Unidades hidroestratigráficas
77
Regresando al tema del campo de presiones de fluido en el macizo rocoso, se observa
que la cantidad de flujo que circula en el macizo está controlada por el campo de presiones
del fluido, y que a la vez es este campo de presiones del fluido el que influirá el comportamiento mecánico del mismo. De ahı́ la importancia de conocer este campo y la forma como
éste varı́a con el tiempo.
Para obtener el campo de presiones intersticiales en un sitio es necesario conocer en el
macizo rocoso la superficie potenciométrica (para aquellos macizos que confinan el fluido)
ó la superficie del nivel freático (para aquellos que no confinan el fluido), y las propiedades
de conducción y almacenamiento de fluidos en el mismo, tales como:
propiedades de conducción de un fluido:
• permeabilidad primaria y permeabilidad secundaria;
• conductividad hidráulica;
• transmisividad.
propiedades de almacenamiento, aquellas que caracterizan la capacidad de un volumen
de macizo rocoso saturado para dejar conducir un fluido subterráneo como respuesta de
una variación de la carga hidráulica:
•
•
•
•
almacenamiento especı́fico (specific storage) o almacenamiento elástico;
almacenamiento;
fluencia especı́fica (specific yield);
capacidad especı́fica.
La escala de tiempo con la que se modifica el estado de presiones del fluido es mucha
más rápida que la que se tenı́a en el caso del estado de esfuerzos. Por esta razón no sólo es
importante conocer el estado de presiones iniciales dentro del macizo rocoso, sino que es
necesario conocer cómo ésta variará en toda la vida útil del proyecto y a qué velocidad. Al
ver la condición hidráulica del macizo de esta forma, la estimación del campo de presiones
es igual de importante que la estimación del campo de tensores de esfuerzos naturales vistos
en el capı́tulo anterior.
Como última anotación de introducción, se comenta que aparte de conocer el campo de
presiones del fluido es aconsejable analizar cuál puede ser la influencia de este campo en
la degradación del material y del macizo rocoso.
9.2.
Unidades hidroestratigráficas
En el momento de diferenciar un volumen de macizo en estudio, desde el punto de
su capacidad de conducción de fluidos, uno tiene que tener en cuenta que un volumen
de macizo adyacente de otro es diferenciable desde el punto de vista hidráulico sólo si
sus permeabilidades se diferencian de dos o tres a más ordenes de magnitud. Aquellos
78
volúmenes dentro del macizo que tengan magnitudes de permeabilidad diferentes pero de
ordenes de magnitud menores a dos, se consideran como volúmenes hidráulicamente interconectados y forman una unidad con un flujo combinado difı́cil de entender [21].
Al usar este argumento como criterio de diferenciación, es posible dividir un macizo
rocoso en unidades hidráulicas o unidades hidroestratigráficas. Las unidades hidroestratigráficas se usan para armar el modelo conceptual de un sistema de flujo, y del mismo
modo que las unidades de macizos rocosos o geotécnicas, este modelo conceptual depende
de la escala de análisis. Cada una de estas unidades tendrá su propia superficie potenciométrica y campo de gradientes hidráulicos, ambos relacionados con la conductividad
hidráulica de la unidad.
Un volumen saturado de macizo rocoso puede también ser heterogéneo y anisotrópico,
desde el punto de vista hidráulico. El primer adjetivo se refiere a los cambios en el espacio,
que el volumen de macizo rocoso saturado puede tener para con sus propiedades hidráulicas. Si la variación de estas propiedades es pequeña, se puede asumir la unidad como homogénea. El segundo adjetivo se refiere a las variaciones en las propiedades hidráulicas
respecto la dirección de flujo. Las discontinuidades secundarias (e.g. fracturas, planos de
estratificación, diaclasas) generan anisotropı́a en el flujo de fluidos dentro del macizo.
9.3.
Esfuerzo efectivo
La gran razón de conocer el campo de presiones de fluidos en un macizo rocoso es la
interacción que tiene este campo, que es también un campo de tensores pero especiales, en
el campo de tensores de esfuerzos naturales, que se traduce en la influencia al comportamiento mecánico del material y del macizo rocoso.
El campo de presiones influye en estos dos materiales en forma distinta en función al
grado e interconectividad que tienen los espacios vacı́os en éstos, y también depende del
volumen y escala de análisis. Para un mismo campo de presiones, el concepto de presión
efectiva puede ser válido para el material rocoso y no para el macizo rocoso (e.g. arenisca
sana); ó la inversa, para un material rocoso compacto (e.g. cuarcita) en un macizo rocoso
con varias familias de discontinuidades; o efectiva o no para ambos materiales.
En materiales rocosos y en macizos rocosos considerados permeables homogéneos, al
nivel de escala de análisis, se puede emplear la teorı́a de la poro-elasticidad, que define
el esfuerzo efectivo en el sumando isotrópico del tensor de esfuerzos Siso dependiente del
tensor de presiones P y un coeficiente αB denominado coeficiente de Biot (Ecuación 9.1).
Si αB es igual a la unidad, el esfuerzo efectivo se denomina esfuerzo diferencial.
Siso 0 = Siso − αB P
(9.1)
9.4 Estimaciones a escalas locales
79
El coeficiente de Biot puede expresarse como el complemento de la relación de el módulo isotrópico del material sin los intersticios o espacios interconectados K y el módulo
isotrópico del material con los intersticios o espacios interconectados KS (Ecuación 9.2).
αB = 1 −
K
KS
(9.2)
Asimismo, la presencia del campo de presiones en el macizo rocoso puede determinar
regı́menes de deformación en el macizo rocoso: el régimen de deformación no-drenado y el
régimen de deformación drenado. En el régimen no-drenado, la masa de fluido permanece
constante y la presión de fluı́do es variable (i.e. sistema termodinámico cerrado entre material y fluido). En el régimen drenado la presión de fluido es constante y el concepto de la
Ecuación 9.1 se cumple. En el régimen no-drenado, el tensor de presiones de fluidos ya no
es independiente del material. Si se introduce un coeficiente adimensional B, denominado
coeficiente de Skemptom, el cambio en la presión de fluido depende del esfuerzo isotrópico
del medio.
En la Figura 9.1 se muestra cómo pueden variar los esfuerzos principales vertical y
horizontales en un determinado punto dentro del macizo rocoso. Si la presión del fluido
es alta, los tres esfuerzos efectivos principales del macizo rocoso están más cercanos en
magnitud al esfuerzo vertical, debido a la reducida resistencia friccionante presente en las
discontinuidades (Ver el polı́gono en trazo segmentado de la Figura 9.1). Por tanto, si la
presión del fluido es muy alta, pequeños cambios de esfuerzos son suficientes para causar la
falla del macizo rocoso, y cambios pequeños en los esfuerzos pueden causar una transición
de un régimen de falla a otro.
Si se toma un determinado criterio de ruptura, el régimen de esfuerzos puede estar en el
lugar geométrico de una gráfica delimitada por cuatro lı́neas, que en su conjunto se denomina el polı́gono de esfuerzos: la lı́nea de esfuerzos geoestáticos (lı́nea 1), la lı́nea del mı́nimo
esfuerzo principal horizontal (lı́nea 2), la lı́nea del máximo esfuerzo principal horizontal
(lı́nea 3) y la lı́nea de máximos esfuerzos cortantes (lı́nea 4). El polı́gono de esfuerzos para un estado de esfuerzos donde el esfuerzo vertical es igual a 70 MPa, correspondiente a
una profundidad de 3 000 m para un peso unitario de 23 kN m−3 y parámetros de MohrCoulomb de φ de 31 ◦ y c de 0 MPa, se muestra en la Figura 9.1.
9.4.
Estimaciones a escalas locales
Como ya se dijo en las secciones anteriores de este capı́tulo, el agua presente dentro
de un macizo rocoso permeable en un estado no perturbado está a una presión hidrostática
predominante; esto por razones de equilibrio y potencial mı́nimo de energı́a respecto al
campo gravitacional de la tierra, el campo de presiones alrededor del cuerpo de agua, y el
campo de energı́a capilar del macizo rocoso.
80
Figura 9.1 Rango del régimen de esfuerzos presentes
para un esfuerzo principal
vertical de σv =70 MPa donde
se asume el criterio de MohrCoulomb neto friccionante,
con φ = 31 ◦ . El punto 1 representa un régimen de falla
por desplazamiento de rumbo.
Sin embargo, el estado de equilibrio muchas veces no se cumple debido a la presencia
de otras presiones hidrodinámicas, que dentro del contexto del lenguaje geológico se las
denominan presiones anómalas. De este modo, la presión total de agua en un punto (P)
puede expresarse como la suma de los productos de la presión hidrostática (pn = γw g) y la
presión anómala (pa ) con el tensor identidad I (Ecuación 9.3).
P = p I = (pn + pa ) I
(9.3)
La existencia de presiones anómalas en el macizo rocoso son por causas de algún
fenómeno transitorio que requiere una actividad dinámica que le de y mantenga en presencia. Veamos cuáles pueden ser tales fenómenos para los siguientes escenarios:
primer escenario, caso donde existe un cuerpo permeable de flujo artesiano a cierta
profundidad dentro del macizo rocoso (el hecho que exista flujo en dicho cuerpo es por
sı́ sola una evidencia de la presencia de presiones anómalas);
segundo escenario, donde a lo largo del tiempo a causa del desarrollo de presiones en
los intersticios por cambios de esfuerzos dentro del macizo rocoso, a razón de algún
proceso tectónico, actividad sı́smica, o proceso de carga o descarga del macizo rocoso;
es apreciable medios porosos poco permeables (e.g. lodolitas, arcillolitas).
Dentro de la estimación del campo de presiones de fluidos a nivel local es importante
tener una idea de la presencia de presiones anómalas de agua. Encontrar éstos valores fue
de gran interés dentro de la geologı́a petrolera, y tiene que ser de igual interés para fines de
descripción mecánica del macizo rocoso con fines de ingenierı́a civil y minera. El campo
de presiones de fluidos a nivel local es difı́cil de calcular o estimar, y el único recurso que
se tiene es de medir valores en diferentes puntos del macizo rocoso y luego realizar un
proceso de inversión.
9.5 Estimaciones a escalas puntuales
81
La presión anómala se expresa en función del esfuerzo vertical (λ =pn /σv ), éste que
varı́a de cero a uno.
Un valor de λ de 0,3 indica una condición cercana a la hidrostática, valores mayores a
0,3 indica presiones hidráulicas de sobrepresión o las llamadas anómalas. Se observaron
valores de λ de 0,8 a 0,9 en cuencas geosinclinales y regiones tectónicas activas. Perfiles
bien documentados de la variación de las presiones en los intersticios respecto la profundidad dentro de un macizo rocoso, y por consiguiente respecto los valores λ , se muestra en
la Figura 9.2, para el caso de un pozo petrolero en el campo Khaur en Pakistan [10]. En
ella se observa que valores de λ alcanzaron hasta un máximo de 0,94.
Figura 9.2 Variación de la
presión y valores correspondientes de λ con la profundidad en el campo Khaur,
Pakistan [10].
La interacción del agua, gas e hidrocarburos dentro de un macizo rocoso se estudia según
los conceptos de la poro-elasticidad. En los últimos años se inició el estudio de macizos
rocosos en condiciones no-saturadas en casos donde las condiciones del mismo manifiesten
dicho estado [19]. Sin embargo, por lo general para el caso de la descripción de macizos
rocosos con interés de ingenierı́a civil, rara vez se interactúa con gas y/o hidrocarburos.
9.5.
Estimaciones a escalas puntuales
En condiciones hidrostáticas, la presión del fluido en los intersticios y discontinuidades
p es igual al producto de la columna de agua en el punto de análisis multiplicado por el
peso unitario promedio del fluido (e.g. para el caso del agua γw ) (Ecuación 9.4). Para su
82
determinación en la ingenierı́a civil y minera es costumbre la instalación de piezómetros en
macizos rocosos porosos y macizos rocosos fracturados.
p = pn = γ zw
(9.4)
Pero en ciertas formaciones rocosas, las condiciones hidrostáticas pueden no cumplirse,
en especial en macizos rocosos inmersos en el mar (in-shore). Asimismo, la presión no
es hidrostática a grandes profundidades, debido a la temperatura de las formaciones, ésta
tiende a ser muy cercana a la presión de sobrecarga del material en la misma profundidad.
Por estas razones, se mide el campo de presiones. En la industria del petróleo se realizan
registros de presiones de agua a través de sondas, de modo de obtener valores precisos de p,
medidas que deberı́an implementarse también en la ingenierı́a civil y minera, en particular
para obras subterráneas profundas o con altas sobre-capas
Capı́tulo 10
Afluencia de agua al túnel
Resumen En este capı́tulo se describen aquellos aspectos que ayudan a decidir sobre la
pertinencia de una obra subterránea en un determinado proyecto de ingenierı́a.
Se dedujeron soluciones analı́ticas aproximadas de la afluencia a un túnel circular del
agua de un acuı́fero de superficie plana en el espacio semi-infinito y enmarcados en un
régimen estacionario por gravedad [15, 12, 14, 4]. Asimismo, la solución cerrada analı́tica
exacta de este caso se obtuvo a través de una transformación al espacio complejo de las
variables que intervienen en el problema [5].
A continuación se describe dos casos particulares de las soluciones aproximadas para el
caso de un túnel totalmente impermeable y otro semi-permeable.
10.1.
Revestimiento totalmente permeable
La afluencia de agua en un túnel circular totalmente permeable ubicado debajo de un
acuı́fero horizontal en un espacio simi-infinito tiene una solución analı́tica. Para ello se
determina un parámetro de dimensión λ en función del radio del túnel r y la altura del
nivel freático desde el centro del túnel h (Eq. 10.1).
h
λ= −
r
r
h2
−1
r2
(10.1)
Por tanto, el volumen de agua que penetra al túnel por unidad de tiempo y por metro
lineal de éste (Q, dado en m2 s−1 ) es
2
λ −1
h
q = 2πk
,
(10.2)
λ 2 + 1 ln λ
83
84
10 Afluencia de agua al túnel
donde: k es la conductividad hidráulica del acuı́fero isótropo y homogéneo, dado enm s−1 .
El caudal total que saldrá de un túnel de longitud l bajo estas condiciones será entonces
de
Q = ql.
(10.3)
Ejercicio 10.1. Un túnel circular de radio 5 m será construido a 100 m debajo de la superficie y tendrá una longitud de 1250 m. La topografı́a del sito es un altiplano dentro de
una cadena montañosa. El nivel freático en este sitio es plano y paralelo a la superficie del
terreno y se encuentra en su máximo valor en época de lluvias a 10 m por debajo de la
superficie. La conductividad hidráulica del macizo rocoso fracturado donde se construirá el
mencionado túnel se asemejó a un medio de conducción de fluidos del tipo continuo isótropo, y tiene una conductividad hidráulica 8,2 × 10−3 m s−1 . Se pide calcular el volumen de
agua que penetra al túnel por unidad de tiempo y por metro lineal.
Solución 10.1. Bajo esas condiciones extremas, el túnel afluirá agua con un caudal de 1,5×
103 m3 s−1 .
En el caso hipotético poco probable donde h iguale a r, la ecuación se reduce usando la
regla de L’Hopital a
q = 2πkr.
(10.4)
Si el acuı́fero tiene una inclinación α con la horizontal, la expresión para el flujo del
túnel es:
2
λ −1
d
q = 2πk
cos α,
(10.5)
λ 2 + 1 ln λ
donde d es la distancia inclinada perpendicular a la lı́nea del nivel freático desde el centro
del túnel circular.
10.2.
Revestimiento parcialmente permeable
Siguiendo con la solución cerrada anterior para el caso de un acuı́fero horizontal que
se extiende en un espacio semi-infinito, si el túnel tiene un revestimiento parcialmente
impermeable, la presión entre la interfase del túnel y el medio que transporta el agua (i.e.
el macizo) no es cero; por tanto, se propone un coeficiente entre cero y uno que se aplique
al mı́nimo valor de la presión hidrostática inicial en el techo del túnel para estimar aquella
presión entre la interfase del túnel y el macizo. El valor mı́nimo de la presión hidrostática
inicial en el techo del túnel es la diferencia entre la profundidad del centro del túnel al nivel
freático del acuı́fero y el radio del túnel. Ası́, la presión de la interfase del túnel y el medio
que transporta el agua está dada por
pt = c (h − r) ,
(10.6)
10.3 Limitaciones del método analı́tico
donde c es aquel coeficiente de proporcionalidad.
Con base a pt se puede reescribir la Ecuación 10.2 como sigue
!
λ 2 − 1 + c (λ − 1)2
h
q = 2πk
,
λ2 +1
ln λ
85
(10.7)
Ejercicio 10.2. Para el mismo enunciado del Ejercicio 10.1 el coeficiente de proporcionalidad de las alturas de carga es de c = 0,85. Calcular el volumen de agua que penetra al
túnel por unidad de tiempo y por metro lineal.
Solución 10.2. Bajo esas condiciones, el túnel afluirá agua con un caudal de 0,3 × 103 m3
s−1 .
La función circulartunnelflow.m soluciona la Ecuación 10.7. En el caso que c = 0 se
tiene la solución de la Ecuación 10.2.
% Example1:
radius =5;
longitude =1250;
zBase =100;
zNf =10;
c =linspace(0, 1, 21);
kRockMass =8.2 *10ˆ(-3);
function [ q, Q ] =circulartunnelflow( radius, longitude, zBase, zNf, c, ...
kRockMass )
10.3.
Limitaciones del método analı́tico
Las estimaciones del flujo de agua por un túnel y su influencia en el macizo que lo
alberga por el método analı́tico arriba explicado (y sus variaciones) son altamente conservadoras.
En la realidad, los valores del caudal de agua que fluye a través del la obra subterránea
(como el caso del túnel arriba estudiado), es menor por las siguientes razones:
1. El modelo analı́tico en sı́ es conservador al asumir un espacio semi-infinito con superficie horizontal. Existen otros modelos más exactos que logran obtener valores menores del caudal de afluencia de agua en la obra subterránea. Por ejemplo, un modelo
mecánico-hidráulico acoplado en tres dimensiones puede dar una mucha mejor aproximación con la realidad.
2. Se establece que el medio de conducción hidráulica es constante, homogéneo e isótropo
desde la superficie del terreno hasta la obra subterránea. Por lo normal, la conductividad
hidráulica del macizo disminuye con la profundidad por el aumento de los esfuerzos del
macizo que hacen que las discontinuidades se cierren y además porque éstas últimas en
86
10 Afluencia de agua al túnel
profundidad son más escasas. Asimismo, la permeabilidad del macizo es de ortotrópica
a caótica, y muy lejos de ser homogénea.
3. Las condiciones de impermeabilidad de la obra subterránea puede ser gestionadas con
el fin de tener casi impermeabilidad total de la cavidad practicada en el macizo. En
adición, el macizo que alberga la obra crea su propio anillo impermeable al rededor de
la excavación; se observó que una modificación del 10 % de los esfuerzos iniciales al
rededor de un túnel de 150 m de profundidad creó una zona de fracturas cerradas de
diez veces el radio del túnel.
Sin embargo, es también importante tomar en cuenta que la influencia hidráulica de
un túnel es distinta a la influencia mecánica del mismo. Esta primera puede ser del orden
mayor a cinco veces el diámetro, mientras que la segunda de alrededor de tres veces el
diámetro.
Entre los factores que más afectan desde el punto de vista hidráulico es la deformación
del macizo por consolidación, que se produce por el cambio de presiones intersticiales en el
medio. Esta deformación es mucho más influyente en cuestión de magnitudes y en tiempo
que la deformación mecánica.
10.4.
Flujo de descarga
Otro aspecto que se tiene que tomar en cuenta durante la construcción de una excavación en un macizo es el flujo por descarga (flush flow). El flujo por descarga es aquella
afluencia en la obra subterránea que se produce de forma inmediata después de practicada
la excavación debido al agua almacenada en las discontinuidades y en los intersticios del
macizo. La naturaleza de este flujo es transitoria y va perdiéndose en el tiempo hasta alcanzar un flujo estacionario en un determinado tiempo. Por ejemplo, [2] reportaron que la
afluencia de agua de descarga durante la construcción de un túnel del metro de Los Ángeles
—ubicado a 200 m debajo del nivel freático en un macizo de granodiorita en las montañas
de Santa Mónica— disminuyó en un tercio su magnitud máxima en dos dı́as.
Las proporciones de este flujo por descarga pueden ser de una a cinco veces mayor que
al afluencia estacionaria final que tendrá el macizo. Heuer [9] estimó las proporciones del
caudal de afluencia por descarga en un túnel en dos a tres veces el alcanzado posteriormente
en el mismo túnel, para un macizo con coeficiente de permeabilidad promedio isótropoequivalente de 10−7 m s−1 a 10−6 m s−1 ; y de cuatro a cinco veces para coeficientes entre
10−6 m s−1 a 10−5 m s−1 .
Este tipo de flujo (el de descarga) por lo general proviene de agua almacenada en la
vecindad del túnel, y se desarrolla a presión hasta que se llegan a cerrar las discontinuidades
e intersticios por deformación mecánica. Sin embargo, si el agua en el macizo que alberga
el túnel no tiene un sistema hidráulico de recarga (i.e. no es un cuerpo de agua dinámico),
10.4 Flujo de descarga
87
este flujo por descarga puede influir de forma considerable en la modificación del nivel
freático.
Capı́tulo 11
Resistencia y deformación mecánicas
11.1.
Análisis esfuerzo deformación
Se tiene una solución analı́tica cerrada de esfuerzo deformación para una cavidad de
sección circular de radio a, dentro de un campo de esfuerzo lejanos σov y σ oh y material
elástico lineal, conocida como las fórmulas de Kirsh [13].
Esta solución fue planteada en inicio para el análisis de placas en un estudio de aberturas
circulares en buques, por tanto se aplica solo para un estado de esfuerzos planos, por lo
que la aplicación de ésta no se correcta para cavidades circulares que se desarrollan en un
estado plano de deformaciones. Sin embargo, esta expresión fue corregida para la condición
de estado plano de deformaciones, donde se mantuvo el nombre del autor de la ecuación,
debido a que el gran trabajo del desarrollo fue basado en el primer caso.
Las expresiones para el esfuerzo radial σrr , angular σθ θ y tangencial σrθ , para el caso
de esfuerzo en el estado plano de deformaciones son:
a2
a2
a4
σ0v
(1 + K0 ) 1 − 2 − (1 − K0 ) 1 − 4 2 + 3 4 cos (2θ )
(11.1a)
σrr =
2
r
r
r
σ0v
a2
a4
σθ θ =
(1 + K0 ) 1 + 2 + (1 − K0 ) 1 + 3 4 cos (2θ )
(11.1b)
2
r
r
σ0v
a2
a4
σrθ =
(1 − K0 ) 1 + 2 2 − 3 4 sin (2θ ) ;
(11.1c)
2
r
r
donde K0 es el coeficiente de esfuerzos naturales igual a la relación σ h0 respecto σ v0;
K0 =
σ0H
;
σ0v
(11.2)
89
90
11 Resistencia y deformación mecánicas
r es el radio de cálculo (i.e. donde se desea conocer los valores de los esfuerzos) y θ es el
ángulo del radio desde la horizontal en sentido antihorario (Figura 11.1).
elemento
túnel
Figura 11.1 Variables que
intervienen en la solución de
Kirsh.
macizo que alberga
el túnel
El sistema coordenado cartesiano ortogonal x y y, con vectores unitarios ux y uy , en el
punto central del elemento de análisis (cuando el elemento es infinitesimal) coincide y es
paralelo al sistema coordenado polar cuyos vectores unitarios son ur y uθ .
Ejercicio 11.1. Un túnel de sección circular de 3 m de radio (donde a es el radio) está
bajo un campo de esfuerzos naturales cuyos esfuerzos principales coinciden con los ejes
vertical y horizontales. El esfuerzo principal menor e intermedio tienen ambos magnitudes
iguales con un valor de 0,50 veces el esfuerzo principal mayor. El esfuerzo principal mayor
coincide con el eje vertical y tiene la magnitud igual a 3,75 MPa.
Calcule el tensor de esfuerzos en los siguientes puntos dentro del macizo rocoso y
expréselo en forma de una matriz de 2 × 2.
1. En el eje de simetrı́a que es vertical en el plano de la sección transversal del túnel, en el
punto donde está el contorno del túnel (el techo del túnel, para r = a); punto P1 .
2. En el eje de simetrı́a que es horizontal en el plano de la sección transversal del túnel, en
el punto donde está el contorno del túnel (en la pared del túnel, para r = a); punto P2 .
3. A 3,8 veces el radio del túnel (a) sobre los dos anteriores ejes; puntos P3 y P4 .
11.1 Análisis esfuerzo deformación
91
4. Para un punto (P5 ) cuyo radio (r) es de 5,374 a1 en una dirección θ de 45 grados desde
el eje vertical en dirección antihoraria.
Para el punto P5 , a partir de su tensor de segundo orden calcule las direcciones y magnitudes de los esfuerzos principales y la magnitud del esfuerzo cortante máximo.
Para resolver el problema use las ecuaciones de Kirsh y los conceptos básicos de estado
de esfuerzos en un plano.
Solución 11.1. Para el punto P1 el esfuerzo radial coincide con el esfuerzo vertical y su
magnitud es nula igual que la magnitud del esfuerzo cortante, pero la magnitud del esfuerzo
angular (que coincide con el esfuerzo horizontal) es de 1,88 MPa.
Mientras que para el punto P2 el esfuerzo radial coincide con el esfuerzo horizontal y su
magnitud es nula igual que la magnitud del esfuerzo cortante, pero la magnitud del esfuerzo
angular (que coincide con el esfuerzo vertical) es de 9,38 MPa.
En los puntos P3 y P4 , ni los esfuerzos radiales ni los angulares son paralelos a los
esfuerzo vertical u horizontal. Si se asume que un eje x es paralelo al radio de la coordenada
polar, y el otro eje y está a noventa grados del anterior en sentido antihorario; entonces el
tensor con respecto a los ejes polares es de la forma
σ σ
SPi = rr rt .
σrt σtt
Si calculamos la magnitud de los tres esfuerzos (i.e. σrr , σtt y σrt ) con las ecuaciones
Ecs. 11.1, entonces el tensor para el punto P3 en los ejes polares es
3,31 0
SP3 =
;
0 2,06
y para el punto P4 es
SP4 =
1,93 0
.
0 3,96
En el punto P5 se tiene también el tensor de segundo orden orientado en las coordenadas
polares. Igualmente calculamos la magnitud de los tres esfuerzos (i.e. σrr , σtt y σrt ) con las
ecuaciones Ecs. 11.1; que resulta
2,72 1,00
SP5 =
.
1,00 2,91
Si rotamos el anterior tensor al sistema coordenado cartesiano dextrógiro, con eje x∗
horizontal y positivo hacia la derecha, y el eje y∗ vertical y positivo hacia arriba (Vea
nuevamente la Figura 11.1), el tensor es el siguiente:
1
Este valor de 5,374 resulta de operar
p
2 × 3,82 .
92
11 Resistencia y deformación mecánicas
S∗P5 =
0,10 0,10
.
0,10 −0,10
Finalmente, el tensor que indica los esfuerzos principales también están rotados con el
sistema anterior en este punto; donde el esfuerzo principal mayor está a |θ1 | = 67,50 ◦ del
eje x∗ en dirección horario; y el esfuerzo principal menor está a |θ3 | = 22,50 ◦ del eje x∗ en
dirección antihorario. Las magnitudes son:
0,14 0
∗∗
SP5 =
.
0 −0,14
La magnitud del esfuerzo cortante máximo en el punto P5 es 0,14 MPa.
t
u
Para encontrar los desplazamientos radiales ur y tangenciales uθ , las expresiones cerradas están dadas por las Ecuaciones 11.3b y 11.3c:
E
2 (1 + ν)
σov a2
a2
(1 + K0 ) − (1 − K0 ) 4 (1 − ν) − 2 cos 2θ
ur = −
4rG
r
2
2
σov a
a
uθ = −
(1 − K0 ) 2 (1 − 2ν) + 2 sin 2θ ,
4rG
r
G=
(11.3a)
(11.3b)
(11.3c)
donde G es el módulo de corte elástico, E es el módulo elástico y ν la relación de Poisson.
Si el eje de referencia y el sentido de la medida del ángulo θ cambian: al eje vertical y
sentido horario, entonces los signos de los sumandos (que no están entre paréntesis en las
dos primeras expresiones) también cambian; ası́ como en toda la expresión de la tercera
ecuación. Por ejemplo, para el caso de la Ecuación 11.1a la expresión modificada serı́a del
siguiente modo (Ec. 11.4).
a2
a2
a4
σ0v
(1 + K0 ) 1 − 2 + (1 − K0 ) 1 − 4 2 + 3 4 cos (2θ )
(11.4)
σrr =
2
r
r
r
Casos particulares de estas expresiones se dan en los siguientes casos.
1. Cuando la relación a/r es igual a uno, se tienen los esfuerzos en el contorno de la excavación. Para este caso se observa en la Ecuación 11.1a que los dos términos se anulan,
por lo tanto el esfuerzo radial en el contorno de la excavación es siempre nulo. Esta
situación se da cuando el contorno de la cavidad está en contacto con la presión del
túnel igual a la atmosférica (que es despreciable para este caso); y ası́, el contorno de
la excavación circular está sometida a un estado uniaxial cuyas magnitudes son iguales
a los esfuerzos angulares σθ θ dadas por la Ecuación 11.1b, debido a que los esfuerzos
cortantes también se desvanecen (Ecuación 11.1c).
11.1 Análisis esfuerzo deformación
93
2. Cuando K0 = 1, se observa también que los esfuerzos cortantes (Ecuación 11.1c) son
nulos, y los esfuerzos radiales y angulares son esfuerzos principales en todo el macizo.
Esto se puede apreciar también debido a que las Ecuaciones 11.1a y 11.1b se reducen a
expresiones que no dependen del ángulo θ .
3. Cuando θ es igual a 0 ° o 90 ° y r = a se presenta una condición donde los esfuerzos
radiales y angulares son los esfuerzos principales.
La solución analı́tica en el estado plano de deformaciones para una cavidad circular es
útil para hacer un diseño inicial y óptimo. Se aconseja usar ésta solución para el dimensionamiento del tamaño de la cavidad, por ejemplo. Para definir la forma (i.e. el tipo de
sección) de la cavidad, se tiene que definir los sectores circulares que tienen altos valores
de tracción y compresión dentro de la cavidad. Luego se modifica esta sección, de modo
de reducir el radio de curvatura en los sectores donde se tenga altas tracciones; y ası́ poder
aumentar el radio de curvatura en los sectores donde se tiene alta compresión.
Capı́tulo 12
Soporte y refuerzo
Soporte es el elemento que aplica una fuerza reactiva sobre la superficie de una cavidad
con el fin de contrarestar las fuerzas originadas por la apertura de la cavidad. Tales elementos son: piezas de madera, relleno, concreto lanzado, malla o elementos estructurales
metálicos o de concreto.
Refuerzo, por otro lado, es el elemento o procedimiento que se aplica dentro del macizo
rocoso para conservar o mejorar las propiedades globales mecánicas (e.g. propiedades de
resistencia y deformabilidad) o hidráulicas del mismo (e.g. permeabilidad) en las proximidades del contorno de la cavidad, por técnicas tales como la instalación de anclajes pasivos
y activos; inyecciones, etc. En esta sección no se verán los métodos de refuerzo.
Dentro de lo que son los soportes, se acostumbra a diferenciar entre un soporte temporal y uno permanente; mientras que el refuerzo por lo general es únicamente definitivo. El
soporte temporal tiene que garantizar condiciones de seguridad durante el proceso de excavación, y el permanente garantiza para el tiempo de servicio de la cavidad. Antiguamente
se acostumbraba a sacar el soporte temporal para instalar el soporte permanente; sin embargo, esta práctica viola el principio de diseño de excavaciones, por lo que se debe evitar
esta práctica.
De este modo, la nueva terminologı́a acusa a diferenciar el soporte entre primario y secundario, siendo el soporte primario aquel que se instala o aplica durante o inmediatamente
después de la excavación, donde éste necesariamente debe ser parte del sistema de soporte
total definitivo que se aplicará en fases posteriores del proceso de excavación. Al soporte
que se instala en forma definitiva se denomina soporte secundario.
Los soportes se diferencian entre los activos y los pasivos. Aquellos activos son a los
que se les impone una carga predeterminada en el momento de su instalación, y los pasivos
son aquellos que instalan sin una carga pre-determinada. Sin embargo, éstos desarrollan
sus cargas cuando el macizo intervenido se deforma.
95
96
12.1.
12 Soporte y refuerzo
Convergencia
La magnitud de convergencia es la distancia que indica cuánto se ha reducido el radio de
una sección circular para un dado radio. Este concepto solo aplica a secciones transversales
circulares.
Por ejemplo, si se trata con una sección circular en un campo de tensores de esfuerzos
naturales isótropo: estos desplazamientos (i.e. reducciones del radio) son constantes para
todo radio, por tanto existe un desplazamiento que se lo denomina magnitud de convergencia de la sección, denotada por adef . Solo con la magnitud de este desplazamiento es
posible definir la deformada de la sección a través de también un cı́rculo, que se denomina
sección de convergencia.
Si se trata con una sección circular en un campo triaxial —donde dos de los esfuerzos
principales son iguales en magnitud y entre ellos forman un plano que es perpendicular
al plano de la sección— entonces estos desplazamientos radiales de la sección tienen un
máximo adef,max y un mı́nimo adef , min que se denominan magnitud de convergencia máxima y magnitud de convergencia mı́nima. Con estas dos magnitudes se puede definir la
deformada de la sección a través de una elipse.
Si se trata con una sección no circular en cualquier campo de esfuerzos naturales, el uso
de una o dos magnitudes de convergencia no aplican; sino más bien se introduce en concepto de magnitud de convergencia puntual como aspecto general (i.e. adef,i ), donde existen n
número de magnitudes de convergencia puntuales en función a cuántos elementos se divida
la sección. Para el mismo punto de análisis i y tomando como distancia de referencia aquel
segmento que se forma desde el baricentro de la sección no-deformada hacia el punto de
análisis (i.e. magnitud radial inicial, denotada como a), se define la magnitud de convergencia puntual relativa ui como aquella relación entre magnitud de convergencia puntual
con la magnitud radial inicial.
Si la sección cualquiera es única en volumen de influencia de la abertura entonces el
baricentro tanto de la sección en el estado no-deformado no sufre desplazamiento absoluto en el espacio. Sin embargo, si existen otras aberturas adyacentes a aquella de análisis,
este baricentro sufre un desplazamiento absoluto. Por tanto, el concepto de magnitudes
de convergencia asume —se cualquiera el caso— que el baricentro de la sección en estado no deformado no ha sufrido desplazamientos absolutos durante el cambio a su estado
deformado.
Luego de completarse la excavación de una sección de análisis ocurren por lo menos
el 27 % de las deformaciones elásticas totales ut —en el caso de que la sección llegue a
deformarse en su totalidad sin ningún tipo de soporte. Gran parte de este porcentaje de la
deformación total inclusive ocurre antes de que ésta se excave debido al efecto del frente
de excavación.
La deformación luego de completar la excavación de la sección
u0 = uf + ui ,
(12.1)
12.2 Curva de reacción del macizo
97
donde uf es la deformación por efecto de frente de excavación antes de excavar la sección,
y ui es la deformación inmediata luego de completarse la excavación de la misma.
Posterior a este estado, transcurre un tiempo donde se pone el soporte primario y luego
el secundario o definitivo. Para el estado en que el soporte definitivo se haya terminado de
instalar en la sección el tiempo generó una deformación adicional us . Por tanto la deformación en el punto donde se concluye la instalación del soporte es
ur = u0 + us .
(12.2)
El soporte se coloca entre el 33 % y 67 % de la deformación total elástica estimada, es
decir
0,33ut ≤ ur ≤ 0,67ut ;
(12.3)
sin embargo, en el momento en que éste llega a actuar en pleno sobre la excavación transcurre un tiempo y se produce una deformación adicional ua , esta vez con el soporte trabajando.
Por consiguiente, la deformación final de la sección cuando el soporte trabaja en pleno
es
ut = ur + ua .
(12.4)
La deformación ua depende de la rigidez del soporte instalado, y definiendo ut como
requisito constructivo, es posible saber —con base a valores de deformación— el momento donde se debe concluir la instalación del soporte en una sección determinada. Esto es
posible a través de las curvas de reacción del macizo y de cada uno de los soportes que se
proponen instalar en la obra subterránea.
Las medidas de convergencia forman parte de las medidas realizadas con más frecuencia
en túneles (Brady & Brown, 1993). Por un lado, éstas son importantes durante la excavación
para asegurar la estabilidad del túnel y por otro lado son importantes para complementar
los datos de las medidas de esfuerzo.
12.2.
Curva de reacción del macizo
La curva de reacción (CR) del macizo para esta condición puede expresarse como una
función que relaciona la convergencia con la diferencia de magnitudes del esfuerzo del
CTEN isótropo po y la presión que ejerce el soporte psup :
gm (u, p) ,
(12.5)
donde p = po − psup .
La expresión de la curva de reacción de un túnel circular en un medio isótropo, homogéneo, elasto-plástico, y bajo la superficie de plastificación de Mohr-Coulomb es
98
δi
p − p1
=
r
G (1 + f )
f − 1 re 1+ f
+
,
2
r
(12.6)
donde δi es la deformación radial de la cavidad en el macizo, p es el esfuerzo hidrostático
natural inicial, p1 es el esfuerzo radial en la interfase elástica-plástica, G es el módulo de
corte del macizo, f es el gradiente de la deformación principal mayor con la deformación
principal menor en el tramo plástico del modelo idealizado elástico-frágil, re es el radio del
fin de la zona plástica y r es el radio de análisis igual a la periferia de la excavación circular.
El esfuerzo radial p1 depende de los parámetros de ruptura del modelo, que para el caso
del modelo Mohr-Coulomb es
2p −C0
p1 =
,
(12.7)
1+b
donde C0 es el intercepto de la curva de la envolvente con el eje de las ordenadas, en el
espacio σ1 y σ3 , y b es la pendiente de la misma envolvente.
Para fines prácticos, se muestran los valores de C0 y b en función del ángulo de fricción
interna y cohesión aparente del material:
2c cos φ
1 − sin φ
(12.8)
1 + sin φ
.
1 − sin φ
(12.9)
C0 =
b=
El radio del final de la zona de plastificación re está en función de la presión resultante
de la presión que se aplica en la superficie de la cavidad pi por algún método de soporte:
2p −Co
re = a
pi (1 + b)
donde
d=
1 + sin φr
.
1 − sin φr
1
d−1
,
(12.10)
(12.11)
La presión resultante pi varı́a según la posición del punto de análisis. Para el caso de un
túnel circular se analizan entre tres puntos cuadrantes (i.e. en el techo, en las paredes y en
el piso). La variable d es la pendiente de la envolvente de rotura del macizo plástico, que es
diferente de la del macizo rocoso elástico. En el caso del criterio de rotura Mohr-Coulomb
está condición tendrı́a una cohesión nula y un ángulo de fricción residual φr .
La disminución de la presión de la curva de reacción se debe a la redistribución de esfuerzos que ocurre en la sección de análisis cuando el frente de excavación se aleja de la
sección. Cuando la sección de análisis coincide con el frente de excavación, éste último
absorbe todo el esfuerzo que deberı́a actuar en el macizo que se excavó para no producir
ninguna deformación radial. La magnitud del aporte de esfuerzos por el frente de excavación dado a la sección de análisis es equivalente a la presión pi . A medida que el frente de
12.2 Curva de reacción del macizo
99
excavación se aleja de la sección de análisis, este primero aporta con esfuerzo estabilizante
en menos proporción a la sección de análisis (i.e. pi disminuye); y el déficit de esfuerzos
que existe por esta situación se convierte en deformación elástica en primera instancia.
Cuando el aporte de esfuerzos del frente de excavación a la sección de análisis baja
hasta un valor de p1 , la deformación que se produce deja de ser elástica y pasa a ser deformación plástica, creando una zona de plastificación alrededor del túnel. Cuando el frente
excavación se aleja mucho de la sección de análisis, la presión de aporte pi llega a ser nula,
pudiendo producirse el cerramiento total de la cavidad (i.e. falla por deformación), si es
que el material tiende a ser muy plástico; o puede producirse la falla del mismo, si es que
los esfuerzos en el macizo llegan a ser más altos que su resistencia residual.
El objeto del soporte instalado en la sección de análisis es el de aportar con esfuerzo
estabilizante, es decir ser una parte de la presión total pi . La presión con la que aporta el
soporte plin será solo la necesaria para ayudar a cubrir el déficit de la presión pi . Como en
algún momento pi será cero, plin tendrá que soportar aquel déficit y por tanto será máximo.
La diferencia entre las presiones pi y plin se llama presión interna ficticia con la denotación
de pfict . La presión plin incrementa a medida que el frente de excavación avanza.
Para hallar el valor de la presión ficticia en función de la posición del frente excavación
Panet & Guenot (1982) proponen la siguiente expresión empı́rica
pfict =
0,6084a
p,
x + 0,845a
(12.12)
donde x es la posición del frente de excavación con la sección de análisis, a es el radio
de la sección de la cavidad y p es la presión inicial que actuaba en la sección de análisis
cuando ésta coincidı́a con el frente de excavación. Esta expresión es sólo válida para túneles
profundos, donde la superficie del terreno no influye en los esfuerzos sobre el contorno de
la cavidad.
La sección crı́tica sin soporte —lugar donde se producirı́a la falla de la cavidad— serı́a
aquella distancia x al cual pfict iguala o llega a ser menor a la ordenada de la curva de reacción del macizo rocoso. Esta distancia se define como distancia crı́tica (xcrit ) del frente de
excavación para una sección sin sostenimiento. Una vez determinada esta distancia crı́tica,
con el fin de evitar tal falla, se tiene que especificar el tipo de sostenimiento y el momento
de su instalación con base la posición del frente de excavación; de modo que cuando el
frente sobrepase xcrit el sostenimiento esté trabajando en pleno.
Esto es importante determinarlo en el sostenimiento de concreto lanzado, donde las
propiedades de resistencia y deformación del concreto son variables en el tiempo, desde el
momento de su instalación hasta el curado y secado total del mismo.
100
12.3.
Curvas de reacción de soportes
La curva de reacción del soporte puede definirse como una función gs (u, p). Para el caso
unidimensional y lineal de las curvas de reacción de soportes —que solo dependen de la
rigidez del sistema— la interacción global de varios sistemas puede tomarse en cuenta con
una sola rigidez kt
1
1
1
1
= + +...+ .
(12.13)
kt
k1 k2
kn
12.3.1.
Soporte continuo elástico: módulos prefabricados
En el caso de instalar módulos pre-fabricados de concreto armado o pre-esforzado u otro
material (e.g. módulos de polı́meros) se asume una curva de reacción lineal cuya pendiente
(que es constante) es la rigidez del soporte cuando éste ya ha formado el anillo de cierre en
la sección. Esta rigidez esta dada por
ks =
E (2a − ts )ts
h s
i,
(1 + νs ) (1 − 2νs ) a2 + (a − ts )2
donde ts es el espesor de los módulos y Es es el módulo elástico de los mismos.
La carga axial de soporte máxima de los módulos es
"
#
σmax
(a − ts )2
pmax =
1−
,
2
a2
(12.14)
(12.15)
donde σmax es el esfuerzo máximo de compresión del material de la sección.
Sin embargo, la carga con el que trabajarán los módulos tiene que ser una segura,
pseg =
pmax
,
fs
(12.16)
es decir alterado por un factor de seguridad.
12.3.2.
Soporte continuo en concreto lanzado
El comportamiento de la capa de concreto lanzado se representa por la curva de reacción
del módulo de rigidez tangencial k variable con el tiempo debido a la variación del módulo
elástico del mismo (Eshot,t ), según
12.3 Curvas de reacción de soportes
ks =
101
a2 − (a − eshot )2
h
i Eshott ,
a (1 − νshot ) (1 − 2νshot ) a2 + (a − eshot )2
(12.17)
donde a es el radio del túnel, eshot es el espesor de la capa de concreto lanzado y νshot es la
relación de Poisson del concreto lanzado. Esta curva no es lineal.
El módulo elástico (Eshott ) y la resistencia a compresión uniaxial del concreto (σct ), para
un determinado tiempo se expresan según funciones de decaimiento
Eshott = Eshot,f 1 − exp−α1 t ,
(12.18)
σct = σc,f 1 − exp−α2 t ;
(12.19)
donde α1 y α2 son los coeficientes de decaimiento del módulo elástico del concreto y de la
resistencia a compresión uniaxial del mismo, respectivamente.
Las variables Eshot,f y σc,f son el módulo de deformación final y la resistencia a compresión uniaxial final del concreto, normalmente especificado a los 28 dı́as después de su
fraguado.
El esfuerzo principal máximo en el concreto lanzado (σmax ) incrementa con la carga plin
que está relacionada con la deformación de la cavidad. Cada incremento infinitesimal de la
deformación radial (du) producirı́a un incremento del esfuerzo principal máximo (dσmax ).
Como el módulo elástico del concreto lanzado varia con el tiempo, el σmax es
σmax =
2a
h
i
(1 + νshot ) (a − eshot )2 + (1 + 2νshot ) a2
Z ueq
u∗
Eshot u du.
(12.20)
El factor de seguridad del soporte es
Fs,lin =
12.3.3.
σct
.
σmax
(12.21)
Soporte puntual sistemático
Para el caso de soporte puntual sistemático, que serı́an anclajes activos, la rigidez del
mismo estarı́a dado por:
1
sl st
4l
=
+Q ,
(12.22)
ks
a πd 2 Es
donde sl es la separación longitudinal (i.e. paralela al eje longitudinal del túnel) entre anclajes activos, st la separación perpendicular a la anterior separación, l la longitud activa del
anclaje, d el diámetro de la sección transversal circular del anclaje, Es el módulo elástico
102
del anclaje y Q la relación deformación–fuerza de la parte elástica de la curva de ensayo de
arranque dada en [L][F−1 ].
La presión máxima equivalente que brinda el sistema de soportes puntuales es
psmax =
Trup
,
sl st
(12.23)
donde Trup es la fuerza de resistencia última del anclaje dada en [F].
12.4.
Tiempos de avance y de instalación de soporte
El tiempo de avance de excavación y el propio para la instalación de soporte son bien
representados en un diagrama de velocidades, donde en las abscisas se representa el tiempo
y en las ordenadas se representa la distancia de la sección de análisis a la sección del frente
de la excavación. En esta gráfica una lı́nea horizontal representarı́a tiempo muerto, donde
la sección del frente de excavación no avanza al transcurrir el tiempo. Una lı́nea inclinada
representa el avance del frente de excavación, donde su pendiente es la velocidad de avance.
Capı́tulo 13
Otros aspectos del diseño conceptual
13.1.
Métodos de construcción
Los métodos de construcción de túneles se agrupan en dos: métodos convencionales y
métodos mecanizados para sección completa.
Los métodos convencionales tienen la ventaja de que emplean todos los equipos que se
usan en excavaciones superficiales: excavadoras, volquetas, etc. Dentro de estos se tienen:
el nuevo método austriaco (NATM: New Austrian Tunneling Method);
el método de exacavación secuencial (SEM: Sequencial Excavation Method);
el método de soporte en concreto proyectado (SCL: Sprayed Concrete Lining Method).
Entre estos tres, el NATM es el que más se emplea en túneles. Este método fue desarrollado por Rabcewicz en la década de los cincuenta del siglo pasado, con base a experiencias provenientes en diversos túneles viales construidos en mecizos rocosos de Europa, y
fue oficializado como tal en 1957. La extensión del uso del NATM para macizos rocosos
blandos e inclusive suelos fue empleado por pocos, siendo Brasil un actor importante en
este proceso, con diversas obras subterráneas como el Metro de San Pablo [1].
Los métodos mecanizados para sección completa se hacen por medio de tuneladoras,
éstas tienen la ventaja respecto a los métodos convencionales de perforado y voladura en
función a que tienen mayor productividad y velocidad de avance, incremento en la seguridad, mı́nima alteración del macizo, reducción de los requerimientos de sostenimiento,
eliminación de las vibraciones por voladuras, obtención de bloques cortados de tamaños
uniformes que permite el empleo de bandas de transporte, y la producción puede ser automatizada hasta robotizada.
Las tuneladoras pueden ser desde simples escudos de protección hasta máquinas automatizadas que integran una serie de funciones durante el proceso de excavación e instalación del sistema de soporte del túnel. Sin duda, las tuneladoras se constituyeron en la
parte de la ingenierı́a tunelera que alcanzó los mayores avances tecnológicos en las dos
103
104
13 Otros aspectos del diseño conceptual
últimas décadas, con la inclusión del concepto del sistema de presurización balanceada
(EPB: Earth Pressure Balance) con su variante de balance con lodo (SB: Slurry Balance).
Estas máquinas dan de un excelente soporte y control de desplazamientos inducidos, y por
tanto dan un gran confianza en el proceso de excavación inclusive en macizos complejos.
13.2.
Sı́smica en túneles
Respecto a la respuesta de los túneles a las acciones sı́smicas de la naturaleza, se encontró que los túneles más profundos son más seguros y menos vulnerables a los sismos
que aquellos cercanos a la superficie. Asimismo, dentro de aquellos túneles albergados en
macizo rocoso, éstos son menos vulnerables que aquellos albergados en suelos.
Un túnel difı́cilmente entrará en resonancia a la acción de una onda de sismo en el caso
donde el macizo circundante se comporte de forma elástica, si se tienen frecuencias de
ondas sı́smicas entre 1 Hz hasta 100 Hz, rango que incluye toda la gamma de sismos y
actividades de voladuras.
Tampoco se espera que la energı́a de ondas de alta frecuencia —ondas Rayleigh— circunde por los contornos internos de las cavidades durante un evento sı́smico, debido a que
los resultados analı́ticos de este fenómeno en cavidades subterráneas mostró que este tipo
de energı́a es solo influyente si la longitud de onda de la misma es igual o menor que el
radio equivalente de la sección de la cavidad [3].
También se encontró que la concentración de esfuerzos dinámicos en los soportes dentro
de una cavidad subterránea no son más de 10 % a 20 % mayores que las cargas estáticas.
El colapso de una cavidad (i.e. cerrado total) por actividad sı́smica sólo ocurrirı́a en
caso de condiciones extremas poco frecuentes encontradas en obras subterráneas civiles.
Para aceleraciones menores a 0,19 g no se reportó ningún daño en túneles, y muy pocos
daños para aceleraciones menores a 0,25 g. Existieron algunos casos menores de daños con
fisuras en los sistemas de soporte para aceleraciones menores a 0,4 g.
Lo que sı́ se observó con gran frecuencia son los efectos de la sismicidad natural en los
portales de los túneles. Generalmente el daño en los portales es debido a los deslizamientos
cercanos a los mismos, éstos activados por sismos que con aceleraciones mayores a 0,25 g
y menores a 0,4 g. De este modo, en zonas sı́smicas se recomienda diseñar portales y soportes especiales en los primeros 50 m después de éstos, para que soporten aquellas cargas
eventuales [3].
13.3.
Portales
Las obras más delicadas de un túnel son sus dos portales. La mayorı́a de la inviabilización de tráfico de los túneles viales se debe a factores que están relacionados con la
13.4 Otras obras subsidiarias de un túnel
105
estabilidad y seguridad en los portales. Luego de este factor, la inviabilización se debe a
zonas de corte que producen grandes cantidades de agua, transporte de material fino saturado e inestabilidades.
En los portales se tiene que invertir los mayores conocimientos y recursos para garantizar la estabilidad del túnel; y esta tarea es por lo general ası́ debido a que el fin de un túnel
es el evitar zonas de difı́cil acceso, y difı́ciles condiciones geológicas y geotécnicas.
Los portales son obras que se deben analizar en tres dimensiones, debido a que existe
una conjunción casi inevitable de grandes cortes de talud en material inestable, presencia
de agua subterránea superficial y subterránea, y el debilitamiento del macizo por la abertura
del espacio destinado al acceso del túnel.
13.4.
Otras obras subsidiarias de un túnel
Un túnel moderno —dependiendo de su nivel de servicio— puede por lo general tener
contemplado otras obras subterráneas subsidiarias como galerı́as, pozos y cámaras.
Una galerı́a es un excavación subterránea horizontal o levemente inclinada, la cual una
de sus tres dimensiones es mucho más larga respecto sus dos restantes dimensiones, pero
que uno o ambos extremos de la misma no se conecta con la superficie. Las galerı́as pueden
diseñarse como obras bidimensionales a excepción de sus extremos que pueden terminar
en una culata o en otra cavidad, donde se deberá analizar desde el punto de vista tridimensional. Las galerı́as se usan en túneles para conectar dos túneles gemelos, para proveer de
escapes a la superficie o ventilación.
Un pozo es una excavación vertical o cercanamente vertical conducida hacia abajo desde
la superficie como acceso a diversas obras subterráneas, donde su sección transversal es
limitada en comparación de su gran profundidad. Los pozos se pueden diseñar también en
forma bidimensional bajo un criterio axisimétrico. En túneles los pozos se usan como obras
de acceso a túneles (e.g. estaciones de metro) o pozos de ventilación en túneles de base.
Las cámaras son cavidades subterráneas cuyas dimensiones son cercanas entre si formando un espacio cerrado como un cuarto. Las cámaras se conocen también con el nombre
de cuartos o cavernas, no obstante este último término se usa más para aquellas cavidades
naturales subterráneas que son comunes en macizos rocosos cársticos y dolomı́ticos. Las
cámaras se diseñan necesariamente como estructuras tridimensionales.
Estas estructuras subterráneas deben analizarse como caso especial por medio de un
especialista y con las herramientas de análisis más pertinentes.
106
13.5.
13 Otros aspectos del diseño conceptual
Otros elementos estructurales de un túnel
El diseño de un túnel puede contemplar otros elementos estructurales dentro del macizo
que los soporta, estos son por ejemplo: pilares, paredes, vigas y losas.
Un pilar conforma un volumen de macizo en donde la masa está restringida a desplazamientos solo en la dirección vertical y el resto está en contacto con el espacio excavado
(i.e. en contacto con la presión del túnel que por lo general es la atmosférica).
La viga es aquella que tiene la restricción de desplazamiento en la dirección horizontal,
estando el resto en contacto con el espacio excavado.
Las paredes y las losas son los casos respectivos de los pilares y vigas, pero donde una
dirección de desplazamiento adicional está también restringida. Las paredes y las losas generalmente se forman por la existencia de dos cavidades paralelas o cercanamente paralelas
(e.g. dos túneles gemelos) mientras que los pilares y vigas son volúmenes de macizo rocoso producto de la existencia de al menos tres excavaciones adyacentes. Dentro de estos
elementos los más comunes son los pilares y las paredes.
Estos elementos deben analizarse como caso especial por medio de un especialista y con
las herramientas de análisis más apropiadas.
Referencias
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de São Paulo, São Paulo, 2008. Capı́tulo 4: Uso do espaço subterrâneo em meios
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107
108
Referencias
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the Conference on Rapid Excavation and Tunneling, Chapter 3, pp. 41–60. Society of
Mining Engineering, 1995.
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[18] R EINECKER, J.; H EIDBACH, O.; T INGAY, M.; S PERNER, B. y M ÜLLER, B.: ((The
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[19] S HAO, J.F.; D UVEAU, G.; B OURGEOIS, F. y C HEN, W.Z.: ((Elastoplastic Damage
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[20] S U ÁREZ -B URGOA, L.O.; A SSIS, A.P.; C ASTRO -C AICEDO, A.J. y NAVARRO M ONTOYA, A.A.: ((Natural stress tensor field at the Porce III hydroelectric project,
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2010.
[21] W EIGHT, W.D. y S ONDEREGGER, J.L.: Manual of applied field hydrogeology.
McGraw-Hill, New York, 2001.
Prueba
13.1. En una región dada existı́a un poliducto que enlazaba los puntos A y B mediante
una curva compuesta. Sin embargo, por razones diversas ese trayecto necesita hacer una
variante que pase desde el punto A al punto B sin intervenir la zona negra, tal como se
muestra en la figura.
Se propone una poligonal de seis puntos de intersección, sin embargo la misma puede
ser modificada.
La zona por donde pasará la nueva variante del poliducto atraviesa cinco unidades
geológicas. La siguiente tabla muestra las propiedades de estas unidades.
Unid. Material
Prop. Mec. Material Rocoso
Prop. Mec. Discontinuidades
I
limolita
Familia 1S: 280/80, φd = 20 °, e = 0,30 m
Familia 2N: 100/85, φd = 30 °
Familia 3N: 280/10, φd = 25 °, e = 0,20 m
II
arenisca
Familia 4S: 120/60, φd = 35 °
Familia 5S: 210/30, φd = 30 °
Familia 6N: 180/30, φd = 35 °
III
arenisca
cuarzosa
σci = 90 MPa, σti = −5 MPa,
γi = 24 kN m−2 , νi = 0,3, Ei = 65 GPa
Familia 7S: 310/30, φd = 30 °
Familia 8N: 310/30, φd = 40 °
Familia 9N: 045/60, φd = 40 °
IV
cuarcita
σci = 120 MPa, σti = −10 MPa,
γi = 27 kN m−2 , νi = 0,2, Ei = 80 GPa
Familia 10: 190/50, φd = 50 °
Familia 11: 110/40, φd = 50 °
V
detritos
φ 0 = 28 °, c0 = 0 kPa, γsat = 21 kN m−3
Nota: las letras N y S después de las números de la familias indican que la familia está prevaleciendo en el
norte o sur de la unidad, respectivamente.
109
110
Referencias
En la unidad IV se hicieron medidas de esfuerzos naturales a una profundidad 500 m en
el punto que se muestran en la figura. Estas medidas revelaron un tensor de σv = 18 MPa,
σH = 25 MPa y σh = 12 MPa. La dirección de σH es de N045. Tanto σH como σh son
regı́menes de compresión.
El poliducto usa una tuberı́a de 32 pulgadas de diámetro. Las cotas de las rasantes se
toman a 2⁄3 del diámetro de la tuberı́a desde en cuadrante superior. Los niveles de las rasantes
en los puntos A y B son de 1 332 m y 1 354 m sobre el nivel del mar, respectivamente. Para el
trazado del alineamiento horizontal, se aceptan únicamente curvas circulares con tangentes
no menores a 20 m. La pendiente longitudinal pueden alcanzar hasta un máximo de 13 %
en ese tramo.
Se solicita lo siguiente:
definir el alineamiento horizontal y vertical del poliducto entre los puntos A y B;
definir el gálibo del poliducto;
Referencias
111
definir la sección transversal del poliducto tomando en cuenta que también se desea
tener un espacio para el tránsito del personal de mantenimiento sin vehı́culo (i.e. a pie);
definir el alineamiento horizontal y vertical de un túnel (si es pertinente o necesario) y
la sección transversal del mismo;
definir las pendientes y cortes en los diferentes unidades geológicas garantizando la
estabilidad de los mismos antes fallas tipo: plana, circular, cuña y volteo.
si el túnel es pertinente: definir o justificar la orientación del mismo, verificar si el mismo
es o no autoportante.
112
Referencias
Taller de Geotecnia Vial (posgrado) 300 8433
13.2. (1 punto) El costo de construcción de un túnel en la cordillera de los Andes septentrionales fue de 100 millones de dólares para 1,3 km. Proyecte el costo del otro túnel que
será construido en la misma región pero que tendrá una longitud de 2,8 km.
13.3. (1 punto) La sección de un túnel es elı́ptica con un radio de curvatura mayor de 3 m
y un radio de curvatura menor de 2 m. Los esfuerzos principales del sitio donde el túnel
estará en el sistema coordenado Norte-Este-Nadir son: σa = 3 MPa compresivo, orientado
045/00; σb = 1,7 MPa compresivo, orientado 135/00; y σc = γ z, orientado 000/90. Oriente
el eje del túnel de forma apropiada, y defina una profundidad z de modo de justificar que la
sección elı́ptica pueda colocarse con el semieje mayor vertical. El peso unitario del macizo
rocoso en todo el sito es de 0,027 MN m−3 .
13.4. (1 punto) Escriba la expresión del tensor de segundo orden que representa el campo de
esfuerzos en régimen compresivo del macizo rocoso, que se supone uno de los esfuerzos
principales es vertical, y donde: el esfuerzo horizontal mayor se orienta con el Norte en
236 °; la magnitud de del esfuerzo principal mayor es 8,2 MPa; la magnitud del esfuerzo
principal intermedio es 7,7 MPa; y la del menor es 4,3 MPa.
13.5. (2 puntos) La siguiente figura muestra la curva de reacción de un túnel circular en un
campo de esfuerzos isótropo. El radio del túnel es de 3,0 m. Se tiene previsto instalar soporte del túnel de tipo módulo prefabricado, que tiene un material con: relación de Poisson
de 0,15, resistencia máxima uniaxial a compresión de 27 MPa, y módulo de deformación
de 12 GPa.
1. Estime el espesor del módulo que sea apropiado, para que cuando se instale los módulos
a partir de una deformación radial de 200 mm éstos trabajen en el techo del túnel.
2. Encuentre el esfuerzo axial al que los módulos prefabricados estarán sometidos.
Es importante recordar que muchas veces el espesor del módulo de soporte no está regido
por el resultado de la rigidez necesaria, sino por dimensión geométrica constructiva. En
este caso, el espesor mı́nimo posible por geometrı́a es de 0,07 m.
113
Presión radial, p en MPa
Referencias
Deformación radial, urr en mm
Techo (punto A)
Pared (punto B)
Figura 13.1 Curva de reacción del macizo.
Curva de reacción del soporte

(s.d.). Diseño geotécnico de túneles viales

Transcripción

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