Gráficas. D: Τ (a) Df = R − {1}. (b) Las raıces: {−2,2 - Canek
Transcripción
Gráficas. D: Τ (a) Df = R − {1}. (b) Las raıces: {−2,2 - Canek
7 Gráficas. D: H (a) Df = R − { 1 }. (b) Las raı́ces: { −2, 2 }. (c) Vamos a derivar la función (x − 1 6= 0) d d (x − 1)2 (x2 − 4) − (x2 − 4) (x − 1)2 d x2 − 4 df dx dx = = = dx dx (x − 1)2 (x − 1)4 (x − 1)2 (2x) − (x2 − 4)2(x − 1) (x − 1)[(x − 1)(2x) − (x2 − 4)2] = = = (x − 1)4 (x − 1)4 2x2 − 2x − 2x2 + 8 (x − 1)(2x) − 2(x2 − 4) = = = (x − 1)3 (x − 1)3 −2x + 8 x−4 = = −2 . (x − 1)3 (x − 1)3 La raı́z de la derivada es x = 4. La derivada no está definida en x = 1. x−4 El signo de la primera derivada viene dado por la expresión − . x−1 Los intervalos de monotonı́a los calculamos con la tabla siguiente Intervalo Valor de prueba − x−4 x−1 Signo de f 0 x<1 0 − −4 −1 − 1<x<4 2 − 2−4 2−1 + 4<x 10 − 10−4 10−1 − La función es decreciente en (−∞, 1] y en (4, +∞). La función es creciente en (1, 4). 4 En (4, f(4)) = 4, hay un máximo local estricto. 3 (d) Calculamos la segunda derivada (x − 1 6= 0) d 3 d (x − 4) − (x − 4) (x − 1)3 (x − 1) d f d x−4 dx dx = = = −2 −2 dx2 dx (x − 1)3 [(x − 1)3 ]2 (x − 1)3 − 3(x − 4)(x − 1)2 (x − 1)3 (1) − (x − 4)3(x − 1)2 = −2 = = −2 (x − 1)6 (x − 1)6 (x − 1) − 3(x − 4) (x − 1)2 [(x − 1) − 3(x − 4)] = −2 = = −2 (x − 1)6 (x − 1)4 x − 1 − 3x + 12 −2x + 11 = −2 = −2 = 4 (x − 1) (x − 1)4 2x − 11 =2 . (x − 1)4 2 7 canek.azc.uam.mx: 9/ 2/ 2007 1 2 11 La raı́z de la segunda derivada es x = . 2 El signo de la segunda derivada viene dado por la expresión 2x − 11. Los intervalos de concavidad los calculamos con la tabla siguiente Intervalo x<1 1<x< 11 2 <x 11 2 Valor de prueba 2x − 11 Signo de f 00 0 −11 − 2 −7 − 10 20 − 11 + S 11 1, . La función es cóncava hacia abajo en (−∞, 1) 2 11 , +∞ . La función es cóncava hacia arriba en 2 (e) Para calcular la ası́ntota horizontal evaluamos x2 − 4 x2 − 4 lı́m f (x) = lı́m = lı́m = lı́m x→±∞ x→±∞ (x − 1)2 x→±∞ x2 − 2x + 1 x→±∞ 1− 4 x2 1 2 1− + 2 x x = 1. Tenemos una única ası́ntota horizontal: y = 1. Tenemos igualmente una única ası́ntota vertical: x = 1. Vamos a evaluar la función en algunos puntos x f (x) 0 −4 4 1.3333 11 2 1.296 x2 − 4 = −∞ la gráfica de la función x→1 (x − 1)2 Usando toda la información anterior y lı́m f (x) = lı́m x→1 f (x) es: y b 1 1 −2 b 2 b b 4 11 2 x −4b El máximo local estricto (4, 1.3) resulta ser absoluto.