PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE CIENCIA DE LA COMPUTACION
Teorı́a de Modelos Finitos - IIC3260
Tarea 5
Entrega: Jueves 20 de Noviembre
1. Sea σ el vocabulario {R(·, ·)}, y considere el conjunto de grafos no dirigidos sobre σ que no
contienen loops (arcos de la forma (a, a)).
Para definir los axiomas de extensión para el caso de grafos no dirigidos basta con modificar la
definición de los conjuntos Aσ (x1 , . . . , xn ). Formalmente, en este caso sólo consideramos conjuntos Aσ (x1 , . . . , xn ) tales que: (1) si R(u, v) ∈ Aσ (x1 , . . . , xn ), entonces {u, v} ⊆ {x1 , . . . , xn }
y u 6= v, y (2) si R(u, v) ∈ Aσ (x1 , . . . , xn ), entonces R(v, u) ∈ Aσ (x1 , . . . , xn ).
Sea AE nd el conjunto de axiomas de extensión para grafos no dirigidos, y sea G el grafo
infinito hN, RN i, donde
RN = {(i, j) | i 6= j y (pi divide a j o pj divide a i)},
donde pi es el i-ésimo número primo (suponemos que p0 = 2). Demuestre que G satisface
AE nd .
2. En la pregunta anterior usted consideró la ley 0-1 para el caso de grafos no dirigidos. En
general, la probabilidad asintótica de una oración se puede definir con respecto a cualquier
clase de estructuras.
Formalmente, dado un vocabulario σ, una clase de estructuras C y una oración ϕ, la probabilidad asintótica de ϕ con respecto a C, denotado como µσ (ϕ | C), se define como lı́m µnσ (ϕ | C),
n→∞
donde:
µnσ (ϕ | C) =
|{A ∈ C | dominio de A es {1, . . . , n} y A |= ϕ}|
|{A ∈ C | dominio de A es {1, . . . , n}}|
Por ejemplo, para el caso de los grafos no dirigidos se tiene que σ = {R(·, ·)} y C es la clase
de σ-estructuras definidas por la oración:
∀x ¬R(x, x) ∧ ∀x∀y (R(x, y) → R(y, x)).
Existen clases de estructuras C para las cuales LPO no tiene la ley 0-1. En esta pregunta
usted va a demostrar que esto puede ocurrir incluso para clases C que son definibles en LPO.
Encuentre un vocabulario σ, una clase de estructuras C definible en LPO sobre σ y una
σ-oración ϕ tal que µσ (ϕ | C) = d, con 0 < d < 1.
3. Demuestre que CASI-VAL es NP-hard.
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