docMétodos para resolução de sistmas lineares
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Métodos para resolução de sistmas lineares
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Resolução de equações lineares Introdução e métodos exatos Ivanovitch Medeiros Dantas da Silva Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de Engenharia de Computação e Automação DCA0399 - Métodos Computacionais para Engenharia Civil Natal, 31 de agosto de 2011 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sumário 1 Introdução Objetivos Aplicações Sistemas Lineares 2 Método de Gauss 3 Método de Jordan 4 Método LU Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sumário 1 Introdução Objetivos Aplicações Sistemas Lineares 2 Método de Gauss 3 Método de Jordan 4 Método LU Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Objetivos Objetivos gerais Definição dos conceitos de equação linear e sistema linear Apresentação dos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares: Métodos exatos ou diretos: Gauss, Jordan, Decomposição LU Métodos iterativos: Gauss-Seidel, Jacobi Aplicações dos métodos descritos na engenharia Descrição de algoritmos para implementação em software Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Aplicações Aplicações de sistemas lineares Análise do estado estacionário de um sistema de reatores (Engenharia Quı́mica/Bioengenharia) Análise de uma treliça estaticamente determinada (Engenharia Civil/Ambiental) Correntes e Voltagens em Circuitos de Resistores (Engenharia Elétrica) Sistemas Massa-Mola (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Aplicações Correntes e voltagens em circuitos de resistores Segunda Lei de Kirchhoff (Lei das Tensões ou Lei das Malhas) A soma algébrica da d.d.p (Diferença de Potencial Elétrico) em um percurso fechado é nula. 2i1 + 4(i1 − i2 ) + 2(i1 − i3 ) − 10 = 0 2i2 − 2i2 + 2(i2 − i3 ) + 4(i2 − i1 ) = 0 6i3 + 2(i3 − i1 ) + 2(i3 − i2 ) − 4 =0 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares O que é uma equação linear? Uma equação é linear se: Cada termo contém não mais do que uma variável Cada variável aparece na primeira potência Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Não Linear x 4 − 6y + z = 0 Não Linear Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares O que é uma equação linear? Uma equação é linear se: Cada termo contém não mais do que uma variável Cada variável aparece na primeira potência Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Não Linear x 4 − 6y + z = 0 Não Linear Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares O que é uma equação linear? Uma equação é linear se: Cada termo contém não mais do que uma variável Cada variável aparece na primeira potência Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Não Linear x 4 − 6y + z = 0 Não Linear Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares O que é uma equação linear? Uma equação é linear se: Cada termo contém não mais do que uma variável Cada variável aparece na primeira potência Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Não Linear x 4 − 6y + z = 0 Não Linear Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares O que é uma equação linear? Uma equação é linear se: Cada termo contém não mais do que uma variável Cada variável aparece na primeira potência Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Não Linear x 4 − 6y + z = 0 Não Linear Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares O que é uma equação linear? Uma equação é linear se: Cada termo contém não mais do que uma variável Cada variável aparece na primeira potência Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Não Linear x 4 − 6y + z = 0 Não Linear Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares O que é uma equação linear? Uma equação é linear se: Cada termo contém não mais do que uma variável Cada variável aparece na primeira potência Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Não Linear x 4 − 6y + z = 0 Não Linear Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares O que é uma equação linear? Uma equação é linear se: Cada termo contém não mais do que uma variável Cada variável aparece na primeira potência Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Não Linear x 4 − 6y + z = 0 Não Linear Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares O que são sistemas lineares? Um conjunto de n equações lineares com n variáveis (incógnitas) é denominado de: Sistemas de n equações lineares ou Sistema Linear de Ordem n Uma solução para um sistema linear consiste de determinar valores para as n variáveis que satisfaçam todas as equações simultaneamente. x + y + z x −y −z 2x + 3y − 4z Ivanovitch Silva =1 =1 =9 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares O que são sistemas lineares? Um conjunto de n equações lineares com n variáveis (incógnitas) é denominado de: Sistemas de n equações lineares ou Sistema Linear de Ordem n Uma solução para um sistema linear consiste de determinar valores para as n variáveis que satisfaçam todas as equações simultaneamente. x + y + z x −y −z 2x + 3y − 4z Ivanovitch Silva =1 =1 =9 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares O que são sistemas lineares? Um conjunto de n equações lineares com n variáveis (incógnitas) é denominado de: Sistemas de n equações lineares ou Sistema Linear de Ordem n Uma solução para um sistema linear consiste de determinar valores para as n variáveis que satisfaçam todas as equações simultaneamente. x + y + z x −y −z 2x + 3y − 4z Ivanovitch Silva =1 =1 =9 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares Representação a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 . . . + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 . . . + a2n xn a31 x1 + a32 x3 + a33 x3 . . . + a3n xn ...... an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 . . . + ann xn a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. .. .. .. . . . . an1 an2 . . . ann × Ivanovitch Silva x1 x2 .. . xn = b1 b2 .. . = b1 = b2 = b3 = bn ⇒ Ax = b bn Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares Representação a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 . . . + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 . . . + a2n xn a31 x1 + a32 x3 + a33 x3 . . . + a3n xn ...... an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 . . . + ann xn a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. .. .. .. . . . . an1 an2 . . . ann × Ivanovitch Silva x1 x2 .. . xn = b1 b2 .. . = b1 = b2 = b3 = bn ⇒ Ax = b bn Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares Classificação dos Sistemas Lineares Possı́vel ou consistente: pelo menos uma solução Determinado: apenas uma solução. Indeterminado: mais de uma solução. Impossı́vel ou inconsistente: nenhuma solução Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares Classificação dos Sistemas Lineares Sistema Possı́vel e Determinado Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares Classificação dos Sistemas Lineares Sistema Possı́vel e Indeterminado Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares Classificação dos Sistemas Lineares Sistema Impossı́vel Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Sistemas Lineares Peculiaridades dos Sistemas Lineares Transformações básicas São operações efetuadas sobre um sistema linear com o intuito de obter um outro sistema linear equivalente. Objetivo é transformar esse outro sistema linear numa versão mais fácil de resolver. 1 Trocar a ordem de duas equações do sistema. 2 Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula. 3 Adicionar duas equações. Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Sistemas Lineares Peculiaridades dos Sistemas Lineares Transformações básicas São operações efetuadas sobre um sistema linear com o intuito de obter um outro sistema linear equivalente. Objetivo é transformar esse outro sistema linear numa versão mais fácil de resolver. 1 Trocar a ordem de duas equações do sistema. 2 Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula. 3 Adicionar duas equações. Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares Peculiaridades dos Sistemas Lineares Transformações básicas - Trocar a ordem de duas equações do sistema 1 1 × x ( x +y 2x + y =1 =5 = 1 ⇒ x = 4, y = −3 2 1 y 5 2 1 y 5 = ⇒ x = 4, y = −3 1 1 x 1 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Sistemas Lineares Peculiaridades dos Sistemas Lineares Transformações básicas - Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula 1 1 2 1 2 2 2 1 × × x y x y ( x +y 2x + y =1 =5 = = Ivanovitch Silva 1 5 2 5 ⇒ x = 4, y = −3 ⇒ x = 4, y = −3 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Sistemas Lineares Peculiaridades dos Sistemas Lineares Transformações básicas - Adicionar duas equações ( x +y 2x + y L2 = L2 − L1 1 1 2 1 1 1 1 0 × × Ivanovitch Silva x y x y =1 =5 = = 1 5 2 4 ⇒ x = 4, y = −3 ⇒ x = 4, y = −3 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sistemas Lineares Observações gerais Os métodos numéricos para resolução de sistemas lineares que serão discutidos são usados para sistemas lineares de ordem n que tenham solução única. Esses sistemas são aqueles em que a matriz dos coeficientes é não singular. det (A) 6= 0 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Sistemas Lineares Resolução numérica de sistemas lineares Métodos exatos ou diretos São aqueles que forneceriam a solução exata, não fossem os erros de arredondamento, com um número finito de operações Métodos iterativos São aqueles que permitem obter a solução de um sistema com uma dada precisão através de um processo infinito convergente Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sumário 1 Introdução Objetivos Aplicações Sistemas Lineares 2 Método de Gauss 3 Método de Jordan 4 Método LU Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método da Eliminação de Gauss Visão geral O método de Gauss consiste em transformar o sistema original num sistema triangular superior (eliminação progressiva) e em seguida resolver o sistema através de uma substituição regressiva Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método da Eliminação de Gauss Visão geral Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Eliminação progressiva das variáveis - Passo 1 Formando a matriz aumentada a11 a12 a13 . . . a1n a 21 a22 a23 . . . a2n . .. .. .. .. .. . . . . an1 an2 an3 . . . ann Ivanovitch Silva .. . b1 .. . b2 .. . .. . bn Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Eliminação progressiva das variáveis - Passo 2 Normalização a11 a12 a13 . . . a1n a 21 a22 a23 . . . a2n . .. .. .. .. .. . . . . an1 an2 an3 . . . ann L2 = L2 − L1 × L3 = L3 − L1 × Ln = Ln − L1 × Ivanovitch Silva .. . b1 .. . b2 .. . .. . bn a21 a11 a31 a11 an1 a11 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Eliminação progressiva das variáveis- Passo 2 Normalização a11 a12 a13 . . . a1n 0 0 0 a0 22 a23 . . . a2n . .. .. .. .. .. . . . . 0 0 0 0 an2 an3 . . . ann Ivanovitch Silva .. . b1 .. . b20 .. . .. 0 . bn Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Eliminação progressiva das variáveis- Passo 3 Normalizando o próximo elemento da diagonal principal a11 a12 a13 . . . a1n 0 0 0 a0 22 a23 . . . a2n . .. .. .. .. .. . . . . 0 0 0 0 an2 an3 . . . ann L3 = L3 − L2 × L4 = L4 − L2 × Ln = Ln − L2 × Ivanovitch Silva .. . b1 .. . b20 .. . .. 0 . bn 0 a31 0 a22 0 a41 0 a22 0 an1 0 a22 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Eliminação progressiva das variáveis - Passo 3 Normalizando o próximo elemento da diagonal principal a11 a12 a13 . . . a1n 0 0 0 a0 22 a23 . . . a2n . .. .. .. .. .. . . . . 00 00 0 0 an3 . . . ann Ivanovitch Silva .. . b1 .. . b20 .. . .. 00 . bn Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Eliminação progressiva das variáveis - Passo 4 Normalizando até o (n-1)ésimo elemento da diagonal principal a11 a12 a13 . . . a1n 0 0 0 a0 a2n 22 a23 . . . . .. .. .. .. .. . . . . n−1 0 0 0 . . . ann Ivanovitch Silva .. . b1 .. . b20 .. . .. n−1 . bn Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Eliminação progressiva das variáveis Exemplo .. . −49 . 1 −2 −5 .. 5 . 3 −6 10 .. −84 7 −3 Ivanovitch Silva 3 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Eliminação Progressiva das variáveis Algoritmo Entrada: a matriz de coeficientes A(n,n) e o vetor dos termos independentes B(n,1) . Saı́da : a matriz aumentada triangular superior. // Percorre os n-1 elementos da diagonal principal 1 Para i ← 1 até n − 1 // Percorre os elementos abaixo do pivô na mesma coluna 2 Para j ← i + 1 até n 3 a fator ← aji ; ii 5 6 // Zera os elementos aji ← 0; // Normaliza os elementos de uma linha Para k ← i + 1 até n ajk ← ajk - fator × aik ; 7 bj ← bj - fator × bi ; 4 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Substituição regressiva - Ideia básica a11 a12 a13 . . . a1n 0 0 0 a0 a2n 22 a23 . . . . .. .. .. .. .. . . . . n−1 0 0 0 . . . ann .. . b1 .. . b20 .. . .. n−1 . bn n−1 xn = bnn−1 /ann n−2 n−2 n−2 xn−1 = (bn−1 − an−1,n xn )/an−1,n−1 x1 = (b1 − a12 x2 − . . . − a1n xn )/a11 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Substituição regressiva Algoritmo . . Entrada: a matriz aumentada triangular superior (A(n,n) .B(n,1) ). Saı́da : o vetor solução X(n,1) . 1 xn ← abn nn // Percorre as n-1 linhas da matriz aumentada 2 Para i ← n − 1 até 1 3 soma ← bi ; // Somatorio das outra incógnitas que xi depende 4 Para j ← i + 1 até n 5 soma ← soma- xj × aij ; 6 xi ← soma ; a ii Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Exemplo - Método de Gauss . 6 2 −1 .. 7 . 2 4 1 .. 7 . 3 2 8 .. 13 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Exemplo - Método de Gauss Eliminação progressiva . 6 2 −1 .. 7 . 2 4 1 .. 7 . 3 2 8 .. 13 L2 = L2 − L1 × 2 6 L2,1 = 2 − 2 = 0 2 10 = 3 3 1 4 L2,3 = 1 + = 3 3 7 14 L2,4 = 7 − = 3 3 L2,2 = 4 − Ivanovitch Silva L3 = L3 − L1 × 3 6 L3,1 = 3 − 3 = 0 L3,2 = 2 − 1 = 1 L3,3 = 8 + 1 2 L3,4 = 13 − = 7 2 17 = 2 19 2 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Exemplo - Método de Gauss Eliminação progressiva 6 0 0 2 10 3 1 . −1 .. .. 4 . 3 .. 17 . 2 L3 = L3 − L2 × 7 14 3 19 2 1 10 3 L3,2 = 1 − 1 = 0 4 81 L3,3 = 17 2 − 10 = 10 14 81 L3,4 = 19 2 − 10 = 10 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Exemplo - Método de Gauss Substituição regressiva 6 0 0 . −1 .. .. 4 . 3 .. 81 . 10 2 10 3 0 81 10 81 10 14 − 43 3 10 3 x3 = x2 = x1 = 14 3 81 10 =1 7+1−2 6 Ivanovitch Silva 7 =1 =1 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Alguns problemas Divisão por zero Durante a normalização, se o pivô usado para normalizar as outras equações for igual a zero, um erro ocorrerá. Erros de arredondamentos Um erro de arredondamento pode torna-se particularmente importante quando se resolve um número grande de equações, por causa do fato de que cada resultado depende dos resultados anteriores. Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Alguns problemas Divisão por zero . 0 2 3 .. 8 . 4 6 7 .. −3 .. 2 1 6 . 5 L2 = L2 − L1 × Ivanovitch Silva 4 0 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Alguns problemas Erro de arredondamento . 0.0003 3.0000 .. 2.0001 . 1.0000 1.0000 .. 1.0000 Algarismos significativos x2 x1 Erro relativo (x1) 3 0.667 -3.000 1099 4 0.6667 0.0000 100 5 0.66667 0.30000 10 6 0.666667 0.330000 1 7 0.6666667 0.3330000 0.1 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método do pivoteamento parcial Antes que cada linha seja normalizada, é vantajoso determinar o maior coeficiente disponı́vel na coluna do elemento pivô. As linhas podem ser trocadas de modo que o maior coeficiente seja o elemento pivô. Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método do pivoteamento parcial . 0 2 3 .. 8 . 4 6 7 .. −3 .. 2 1 6 . 5 ⇓ . 4 6 7 .. −3 . 0 2 3 .. 8 .. 2 1 6 . 5 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método do pivoteamento parcial Onde posicionar o algoritmo? Eliminação progressiva Entrada: a matriz de coeficientes A(n,n) e o vetor dos termos independentes B(n,1) . Saı́da : a matriz aumentada triangular superior. // Percorre os n-1 elementos da diagonal principal 1 Para i ← 1 até n − 1 2 pivoteamentoParcial(A,B,i) // Percorre os elementos abaixo do pivô na mesma coluna 3 Para j ← i + 1 até n 4 a fator ← aji ; ii 6 7 // Zera os elementos aji ← 0; // Normaliza os elementos de uma linha Para k ← i + 1 até n ajk ← ajk - fator × aik ; 8 bj ← bj - fator × bi ; 5 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método do pivoteamento parcial Algoritmo 0 e a posição j do elemento pivô. Entrada: A0(n,n) , B(n,1) Saı́da : a matriz aumentada com o pivoteamento parcial. 1 maxValor ← aj,j ; // pivô 2 maxLinha ← j; // linha do pivô // Identificar o maior coeficiente da coluna, a partir da linha do pivô 3 Para i ← j até n − 1 4 Se ABS(maxValor) < ABS(ai+1,coluna ) Entao 5 maxValor ← ai+1,coluna ; 6 maxLinha ← i+1; 7 Se maxValor 6= aj,j Entao // Fazendo a troca entre as linhas 8 Para i ← 1 até n 9 aux ← aj,i ; 10 aj,i ← amaxLinha,i ; 11 amaxLinha,i ← aux; 12 aux ← bj ; 13 bj ← bmaxLinha ; 14 bmaxLinha ← aux; Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método do pivoteamento parcial Exemplo . 0.0003 3.0000 .. 2.0001 . 1.0000 1.0000 .. 1.0000 Sem pivoteamento Algarismos significativos x2 x1 Erro relativo (x1) 3 0.667 -3.000 1099 4 0.6667 0.0000 100 5 0.66667 0.30000 10 6 0.666667 0.330000 1 Com pivoteamento Algarismos significativos x2 x1 3 0.667 0.333 0.1 4 0.6667 0.3333 0.01 Erro relativo (x1) 5 0.66667 0.33333 0.001 6 0.666667 0.333333 0.0001 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sumário 1 Introdução Objetivos Aplicações Sistemas Lineares 2 Método de Gauss 3 Método de Jordan 4 Método LU Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Ideia básica Consiste em operar transformações elementares sobre as equações do sistema linear até que seja encontrado um sistema diagonal equivalente. a11 0 A= .. . 0 0 ... 0 a22 . . . .. .. . . 0 .. . Ivanovitch Silva 0 . . . ann Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Ideia básica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a e i b c f g j l d h m a b c d 0 f 0 g 0 h0 0 j0 l 0 m0 a00 0 0 d 00 00 0 f 0 h00 0 0 l 00 m00 a0 0 0 c0 d0 f0 g0 0 l 00 h0 m00 d 00 a00 00 y = hf 00 m00 z = l 00 x= Ivanovitch Silva 0 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Ideia básica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a e i b c f g j l d h m a b c d 0 f 0 g 0 h0 0 j0 l 0 m0 a00 0 0 d 00 00 0 f 0 h00 0 0 l 00 m00 a0 0 0 c0 d0 f0 g0 0 l 00 h0 m00 d 00 a00 00 y = hf 00 m00 z = l 00 x= Ivanovitch Silva 0 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Ideia básica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a e i b c f g j l d h m a b c d 0 f 0 g 0 h0 0 j0 l 0 m0 a00 0 0 d 00 00 0 f 0 h00 0 0 l 00 m00 a0 0 0 c0 d0 f0 g0 0 l 00 h0 m00 d 00 a00 00 y = hf 00 m00 z = l 00 x= Ivanovitch Silva 0 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Ideia básica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a e i b c f g j l d h m a b c d 0 f 0 g 0 h0 0 j0 l 0 m0 a00 0 0 d 00 00 0 f 0 h00 0 0 l 00 m00 a0 0 0 c0 d0 f0 g0 0 l 00 h0 m00 d 00 a00 00 y = hf 00 m00 z = l 00 x= Ivanovitch Silva 0 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Ideia básica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a e i b c f g j l d h m a b c d 0 f 0 g 0 h0 0 j0 l 0 m0 a00 0 0 d 00 00 0 f 0 h00 0 0 l 00 m00 a0 0 0 c0 d0 f0 g0 0 l 00 h0 m00 d 00 a00 00 y = hf 00 m00 z = l 00 x= Ivanovitch Silva 0 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Ideia básica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a e i b c f g j l d h m a b c d 0 f 0 g 0 h0 0 j0 l 0 m0 a00 0 0 d 00 00 0 f 0 h00 0 0 l 00 m00 a0 0 0 c0 d0 f0 g0 0 l 00 h0 m00 d 00 a00 00 y = hf 00 m00 z = l 00 x= Ivanovitch Silva 0 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Ideia básica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a e i b c f g j l d h m a b c d 0 f 0 g 0 h0 0 j0 l 0 m0 a00 0 0 d 00 00 0 f 0 h00 0 0 l 00 m00 a0 0 0 c0 d0 f0 g0 0 l 00 h0 m00 d 00 a00 00 y = hf 00 m00 z = l 00 x= Ivanovitch Silva 0 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Ideia básica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a e i b c f g j l d h m a b c d 0 f 0 g 0 h0 0 j0 l 0 m0 a00 0 0 d 00 00 0 f 0 h00 0 0 l 00 m00 a0 0 0 c0 d0 f0 g0 0 l 00 h0 m00 d 00 a00 00 y = hf 00 m00 z = l 00 x= Ivanovitch Silva 0 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método de Jordan Exemplo x + y + 2z = 4 2x − y − z = 0 x − y − z = −1 1 1 2 4 2 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método de Jordan Exemplo 1 1 2 4 2 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 L2 = L2 − L1 × 2 1 L2,1 = 2 − 1x2 = 0 L2,2 = −1 − 1x2 = −3 L3 = L3 − L1 × 1 1 L3,1 = 1 − 1x1 = 0 L3,2 = −1 − 1x1 = −2 L2,3 = −1 − 2x2 = −5 L3,3 = −1 − 2x1 = −3 L2,4 = 0 − 4x2 = −8 L3,4 = −1 − 4x1 = −5 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método de Jordan Exemplo 1 1 2 4 2 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 L2 = L2 − L1 × 2 1 L2,1 = 2 − 1x2 = 0 L2,2 = −1 − 1x2 = −3 L3 = L3 − L1 × 1 1 L3,1 = 1 − 1x1 = 0 L3,2 = −1 − 1x1 = −2 L2,3 = −1 − 2x2 = −5 L3,3 = −1 − 2x1 = −3 L2,4 = 0 − 4x2 = −8 L3,4 = −1 − 4x1 = −5 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método de Jordan Exemplo 1 1 2 4 2 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 L2 = L2 − L1 × 2 1 L2,1 = 2 − 1x2 = 0 L2,2 = −1 − 1x2 = −3 L3 = L3 − L1 × 1 1 L3,1 = 1 − 1x1 = 0 L3,2 = −1 − 1x1 = −2 L2,3 = −1 − 2x2 = −5 L3,3 = −1 − 2x1 = −3 L2,4 = 0 − 4x2 = −8 L3,4 = −1 − 4x1 = −5 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método de Jordan Exemplo 1 1 2 4 2 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 L2 = L2 − L1 × 2 1 L2,1 = 2 − 1x2 = 0 L2,2 = −1 − 1x2 = −3 L3 = L3 − L1 × 1 1 L3,1 = 1 − 1x1 = 0 L3,2 = −1 − 1x1 = −2 L2,3 = −1 − 2x2 = −5 L3,3 = −1 − 2x1 = −3 L2,4 = 0 − 4x2 = −8 L3,4 = −1 − 4x1 = −5 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Exemplo 1 0 0 1 L1,2 = 1 − (−3)x L1,3 = 2 − (−5)x L1,4 = 4 − (−8)x 4 − 3 −5 −8 −2 −3 −5 L1 = L1 − L2 × L1,1 = 1 − 0x 2 1 −3 1 −3 1 −3 1 −3 1 −3 L3 = L3 − L2 × −2 −3 =1 L3,1 = 0 =0 L3,2 = −2 − (−3)x = = 1 3 4 3 Ivanovitch Silva L3,3 = −3 − (−5)x L3,4 = −5 − (−8)x −2 −3 −2 −3 −2 −3 =0 = = Introdução e métodos exatos 1 3 1 3 Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Exemplo 1 0 0 1 L1,2 = 1 − (−3)x L1,3 = 2 − (−5)x L1,4 = 4 − (−8)x 4 − 3 −5 −8 −2 −3 −5 L1 = L1 − L2 × L1,1 = 1 − 0x 2 1 −3 1 −3 1 −3 1 −3 1 −3 L3 = L3 − L2 × −2 −3 =1 L3,1 = 0 =0 L3,2 = −2 − (−3)x = = 1 3 4 3 Ivanovitch Silva L3,3 = −3 − (−5)x L3,4 = −5 − (−8)x −2 −3 −2 −3 −2 −3 =0 = = Introdução e métodos exatos 1 3 1 3 Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Exemplo 1 0 0 1 L1,2 = 1 − (−3)x L1,3 = 2 − (−5)x L1,4 = 4 − (−8)x 4 − 3 −5 −8 −2 −3 −5 L1 = L1 − L2 × L1,1 = 1 − 0x 2 1 −3 1 −3 1 −3 1 −3 1 −3 L3 = L3 − L2 × −2 −3 =1 L3,1 = 0 =0 L3,2 = −2 − (−3)x = = 1 3 4 3 Ivanovitch Silva L3,3 = −3 − (−5)x L3,4 = −5 − (−8)x −2 −3 −2 −3 −2 −3 =0 = = Introdução e métodos exatos 1 3 1 3 Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método de Jordan Exemplo 1 0 0 1 L1,2 = 1 − (−3)x L1,3 = 2 − (−5)x L1,4 = 4 − (−8)x 4 − 3 −5 −8 −2 −3 −5 L1 = L1 − L2 × L1,1 = 1 − 0x 2 1 −3 1 −3 1 −3 1 −3 1 −3 L3 = L3 − L2 × −2 −3 =1 L3,1 = 0 =0 L3,2 = −2 − (−3)x = = 1 3 4 3 Ivanovitch Silva L3,3 = −3 − (−5)x L3,4 = −5 − (−8)x −2 −3 −2 −3 −2 −3 =0 = = Introdução e métodos exatos 1 3 1 3 Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método de Jordan Exemplo 1 0 1 3 4 3 0 −3 −5 −8 1 1 0 0 3 3 L1 = L1 − L3 × 1/3 1/3 L2 = L2 − L3 × −15 L1,1 = 1 − 0x(1) = 1 L2,1 = 0 L1,2 = 0 − 0x(1) = 0 L2,2 = −3 L1,3 = L1,4 = 1 3 4 3 − − 1 3 1 3 x(1) = 0 L2,3 = −5 − x(1) = 1 L2,4 = −8 − Ivanovitch Silva 1 3 1 3 x(−15) = 0 x(−15) = −3 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método de Jordan Exemplo 1 0 1 3 4 3 0 −3 −5 −8 1 1 0 0 3 3 L1 = L1 − L3 × 1/3 1/3 L2 = L2 − L3 × −15 L1,1 = 1 − 0x(1) = 1 L2,1 = 0 L1,2 = 0 − 0x(1) = 0 L2,2 = −3 L1,3 = L1,4 = 1 3 4 3 − − 1 3 1 3 x(1) = 0 L2,3 = −5 − x(1) = 1 L2,4 = −8 − Ivanovitch Silva 1 3 1 3 x(−15) = 0 x(−15) = −3 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método de Jordan Exemplo 1 0 1 3 4 3 0 −3 −5 −8 1 1 0 0 3 3 L1 = L1 − L3 × 1/3 1/3 L2 = L2 − L3 × −15 L1,1 = 1 − 0x(1) = 1 L2,1 = 0 L1,2 = 0 − 0x(1) = 0 L2,2 = −3 L1,3 = L1,4 = 1 3 4 3 − − 1 3 1 3 x(1) = 0 L2,3 = −5 − x(1) = 1 L2,4 = −8 − Ivanovitch Silva 1 3 1 3 x(−15) = 0 x(−15) = −3 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método de Jordan Exemplo 1 0 1 3 4 3 0 −3 −5 −8 1 1 0 0 3 3 L1 = L1 − L3 × 1/3 1/3 L2 = L2 − L3 × −15 L1,1 = 1 − 0x(1) = 1 L2,1 = 0 L1,2 = 0 − 0x(1) = 0 L2,2 = −3 L1,3 = L1,4 = 1 3 4 3 − − 1 3 1 3 x(1) = 0 L2,3 = −5 − x(1) = 1 L2,4 = −8 − Ivanovitch Silva 1 3 1 3 x(−15) = 0 x(−15) = −3 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método de Jordan Exemplo 1 0 0 1 0 −3 0 −3 1 1 0 0 3 3 x= y= z= Ivanovitch Silva 1 1 =1 −3 −3 = 1 1 3 1 3 =1 Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método de Jordan Algoritmo Entrada: a matriz de coeficientes A(n,n) e o vetor dos termos independentes B(n,1) . Saı́da : um sistema diagonal equivalente. // Percorre os n elementos da diagonal principal 1 Para i ← 1 até n 2 pivoteamentoParcial(A,B,i) // Percorre os elementos abaixo e acima do pivô na mesma coluna 3 Para j ← 1 até n 4 Se i 6= j Entao 5 a fator ← aji ; ii 7 8 // Zera os elementos aji ← 0; // Normaliza os elementos de uma linha Para k ← i + 1 até n ajk ← ajk - fator × aik ; 9 bj ← bj - fator × bi ; 6 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Sumário 1 Introdução Objetivos Aplicações Sistemas Lineares 2 Método de Gauss 3 Método de Jordan 4 Método LU Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Introdução O método LU é conhecido também como método da decomposição LU ou método da fatoração LU O objetivo do método é fatorar a matriz dos coeficientes, A, em um produto entre duas matrizes: L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos da diagonal são iguais a 1 U - matriz triangular superior, onde todos os elementos da diagonal são diferentes de 0. A = LU y = Ux Ax =b Ly =b LUx =b Ux =y Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Introdução O método LU é conhecido também como método da decomposição LU ou método da fatoração LU O objetivo do método é fatorar a matriz dos coeficientes, A, em um produto entre duas matrizes: L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos da diagonal são iguais a 1 U - matriz triangular superior, onde todos os elementos da diagonal são diferentes de 0. A = LU y = Ux Ax =b Ly =b LUx =b Ux =y Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Introdução O método LU é conhecido também como método da decomposição LU ou método da fatoração LU O objetivo do método é fatorar a matriz dos coeficientes, A, em um produto entre duas matrizes: L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos da diagonal são iguais a 1 U - matriz triangular superior, onde todos os elementos da diagonal são diferentes de 0. A = LU y = Ux Ax =b Ly =b LUx =b Ux =y Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Matrizes L e U 1 0 ... 0 m21 1 ... 0 L= .. .. . . .. . . . . mn1 mn2 . . . 1 (0) a11 0 U= .. . 0 (0) (1) a12 (0) ... a1n (1) ... .. . a2n .. . 0 . . . ann a22 .. . (n−1) mi,j - são os multiplicadores (fatores) usados nos métodos de Gauss ou Jordan k - são os elementos de A modificados durante a triangulação ai,j Lembrando que Ux = y Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Exemplo 4 −1 −2 3 −2 −4 1 2 5 6 20 7 L2 = L2 − L1 × 0 0 L = −0.5 1 0 0.25 0 1 −2 4 L2,1 = −2 − 4x(−0.5) = 0 L2,2 = −4 − 3x(−0.5) = −2.5 L3 = L3 − L1 × 1 1 4 L3,1 = 1 − 4x0.25 = 0 L3,2 = 2 − 3x0.25 = 1.25 L2,3 = 5 − (−1)x(−0.5) = 4.5 L3,3 = 6 − (−1)x0.25 = 6.25 L2,4 = 20 − (−2)x(−0.5) = 19 L3,4 = 7 − (−2)x0.25 = 7.50 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Exemplo 4 −1 −2 3 −2 −4 1 2 5 6 20 7 L2 = L2 − L1 × 0 0 L = −0.5 1 0 0.25 0 1 −2 4 L2,1 = −2 − 4x(−0.5) = 0 L2,2 = −4 − 3x(−0.5) = −2.5 L3 = L3 − L1 × 1 1 4 L3,1 = 1 − 4x0.25 = 0 L3,2 = 2 − 3x0.25 = 1.25 L2,3 = 5 − (−1)x(−0.5) = 4.5 L3,3 = 6 − (−1)x0.25 = 6.25 L2,4 = 20 − (−2)x(−0.5) = 19 L3,4 = 7 − (−2)x0.25 = 7.50 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Exemplo 4 −1 −2 3 −2 −4 1 2 5 6 20 7 L2 = L2 − L1 × −2 4 L2,1 = −2 − 4x(−0.5) = 0 L2,2 = −4 − 3x(−0.5) = −2.5 0 0 L = −0.5 1 0 0.25 0 1 L3 = L3 − L1 × 1 1 4 L3,1 = 1 − 4x0.25 = 0 L3,2 = 2 − 3x0.25 = 1.25 L2,3 = 5 − (−1)x(−0.5) = 4.5 L3,3 = 6 − (−1)x0.25 = 6.25 L2,4 = 20 − (−2)x(−0.5) = 19 L3,4 = 7 − (−2)x0.25 = 7.50 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Exemplo 4 0 0 3 − 2.5 1.25 −1 −2 1 0 L = −0.5 1 0 0.25 −0.5 1 19 6.25 7.5 4.5 L3 = L3 − L2 × 1.25 −2.50 L2,1 = 0 − 0x(−0.5) = 0 L2,2 = 1.25 − (−2.5)x(−0.5) = 0 L2,3 = 6.25 − 4.5x(−0.5) = 8.5 L2,4 = 7.5 − 19x(−0.5) = 17 Ivanovitch Silva 0 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Exemplo 4 0 0 3 − 2.5 1.25 −1 −2 1 0 L = −0.5 1 0 0.25 −0.5 1 19 6.25 7.5 4.5 L3 = L3 − L2 × 1.25 −2.50 L2,1 = 0 − 0x(−0.5) = 0 L2,2 = 1.25 − (−2.5)x(−0.5) = 0 L2,3 = 6.25 − 4.5x(−0.5) = 8.5 L2,4 = 7.5 − 19x(−0.5) = 17 Ivanovitch Silva 0 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Exemplo 4 0 0 3 − 2.5 1.25 −1 −2 1 0 L = −0.5 1 0 0.25 −0.5 1 19 6.25 7.5 4.5 L3 = L3 − L2 × 1.25 −2.50 L2,1 = 0 − 0x(−0.5) = 0 L2,2 = 1.25 − (−2.5)x(−0.5) = 0 L2,3 = 6.25 − 4.5x(−0.5) = 8.5 L2,4 = 7.5 − 19x(−0.5) = 17 Ivanovitch Silva 0 Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Exemplo 4 3 −1 −2 0 −2.5 4.5 19 0 0 8.5 17 4 3 −1 U = 0 −2.5 4.5 0 0 8.5 1 0 0 L = −0.5 1 0 0.25 −0.5 1 −2 y = 19 17 3 x = −4 2 Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Algoritmo Entrada: a matriz de coeficientes A(n,n) e o vetor dos termos independentes B(n,1) . Saı́da : a matriz aumentada triangular superior (U,y) e a matriz L. // Inicia a matriz L, com 1’s na diagonal principal e os outros elementos tudo em zero 1 L ← ones(); // Percorre os n-1 elementos da diagonal principal 2 Para i ← 1 até n − 1 3 pivoteamentoParcial(A,B,i) // Percorre os elementos abaixo do pivô na mesma coluna 4 Para j ← i + 1 até n 5 6 7 8 9 10 a fator ← aji ; ii // Armazena os fatores na matriz L lji ← fator; // Zera os elementos aji ← 0; // Normaliza os elementos de uma linha Para k ← i + 1 até n ajk ← ajk - fator × aik ; bj ← bj - fator × bi ; Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Método LU Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Qual a vantagem? Se o método LU faz os mesmos procedimentos da técnica de eliminação de Gauss, qual a diferença entre essas duas técnicas? Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentes situações mudando apenas o vetor b. Na primeira execução já encontrarı́amos as matrizes L e U. Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessário realizar substituições diretas (encontrar y) e regressivas (encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U sempre são os mesmos. Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Qual a vantagem? Se o método LU faz os mesmos procedimentos da técnica de eliminação de Gauss, qual a diferença entre essas duas técnicas? Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentes situações mudando apenas o vetor b. Na primeira execução já encontrarı́amos as matrizes L e U. Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessário realizar substituições diretas (encontrar y) e regressivas (encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U sempre são os mesmos. Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Qual a vantagem? Se o método LU faz os mesmos procedimentos da técnica de eliminação de Gauss, qual a diferença entre essas duas técnicas? Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentes situações mudando apenas o vetor b. Na primeira execução já encontrarı́amos as matrizes L e U. Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessário realizar substituições diretas (encontrar y) e regressivas (encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U sempre são os mesmos. Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Método LU Qual a vantagem? Se o método LU faz os mesmos procedimentos da técnica de eliminação de Gauss, qual a diferença entre essas duas técnicas? Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentes situações mudando apenas o vetor b. Na primeira execução já encontrarı́amos as matrizes L e U. Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessário realizar substituições diretas (encontrar y) e regressivas (encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U sempre são os mesmos. Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
