Los costos de la empresa Alfa están dados por la - Canek

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Optimización.
E: Los costos de la empresa Alfa están dados por la función f (x) = √
3
x
donde x representa
x2 − 1
miles de artı́culos vendidos. Se pronostica que los costos serán mı́nimos si se venden entre 1 700 y
1 800 artı́culos.
¿Es verdadero el pronóstico? Justifique su respuesta.
√
D: H El dominio de la función es R − { ±1 }, pues 3 x2 − 1 = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔
⇔ | x | = 1 ⇔ x = ±1:
√
2x2
3
x2 − 1 −
2
3(x2 − 1) − 2x2
x2 − 3
3(x2 − 1) 3
0
=
=
f (x) =
2
4
4 ;
(x2 − 1) 3
3(x2 − 1) 3
3(x2 − 1) 3
√
f 0 (x) = 0 ⇔ x2 − 3 = 0 ⇔ x2 = 3 ⇔ | x | = 3 ⇔ x ≈ ±1.7320508.
Se toma el valor positivo por tratarse de costos en una empresa.
Para saber si son extremos calculamos la segunda derivada:
4
00
f (x) =
1
6x(x2 − 1) 3 − 4(x2 − 1) 3 2x(x2 − 3)
8
=
6x(x2 − 1) − 8x(x2 − 3)
7
9(x2 − 1) 3
6x3 − 6x − 8x3 + 24x
−2x3 + 18x
=
=
7
7 .
9(x2 − 1) 3
9(x2 − 1) 3
Como
√
f 00 ( 3) =
√
3
−2 × 3 2 + 18 ×
9(x2 − 1) 3
√
√
3
3 + 18 ×
3
> 0,
9(3 − 1)
9×2
se trata de un mı́nimo, luego, efectivamente, este mı́nimo se produce cuando se venden 1 732 058
de artı́culos.
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7
3
canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
1
=
−6 ×
=
7
3