Tema 1

Índice general
1. Grupos de Lie
1.1. Definiciones y primeros ejemplos . . .
1.1.1. Diferenciablidad de la inversión
1.1.2. Morfismos. . . . . . . . . . . .
1.1.3. Nuevos ejemplos . . . . . . . .
1.1.4. Otros grupos clásicos . . . . . .
1.2. Producto directo y semidirecto . . . . .
1.2.1. Producto semidirecto . . . . . .
1.3. Cálculo de la dimensión . . . . . . . . .
1.3.1. Dimensión de G = SL(n, R) .
1.3.2. Dimensión de O(n) . . . . . .
1.3.3. Resumen . . . . . . . . . . . .
1
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3
3
5
6
6
9
10
10
13
13
14
15
2
ÍNDICE GENERAL
Tema 1
Grupos de Lie
1
1.1.
Definiciones y primeros ejemplos
Los grupos de Lie (en su versión local) fueron introducidos por Sophus Lie
(1842-1899) para tratar de definir un análogo en ecuaciones diferenciales a la teorı́a
de Galois para las ecuaciones algebraicas.
Definición 1. Un grupo de Lie es una variedad diferenciable G dotada de una
estructura de grupo que es compatible, es decir tal que la operación de grupo
p : G × G → G,
p(x, y) = xy,
es diferenciable. Probaremos que se deduce que la inversión i : G → G, i(x) =
x−1 , es diferenciable.
Para nosotros, una variedad diferenciable será una variedad topológica (= espacio localmente euclı́deo) dotada de una estructura diferenciable de clase C ∞ (en
realidad puede probarse que todo grupo de Lie admite una estructura analı́tica). En
principio no pediremos que sea Hausdorff (pero todos los grupos de Lie lo son) ni
segundo numerable. Tampoco pedimos que sea conexa.
Ejemplo 1. Primeros ejemplos.
1. La recta real con la suma es un grupo de Lie (R, +) de dimensión 1, conexo,
abeliano.
1
c Macias 2005-2010
E.
3
4
TEMA 1. GRUPOS DE LIE
2. R× = R − {0} con el producto es un grupo de Lie, abeliano, no conexo.
3. Sea C el cuerpo de los complejos. Entonces C× = C − {0} con el producto
de números complejos es un grupo de Lie conexo, de dimensión 2.
4. Rn con la suma de vectores es un grupo de Lie (abeliano) de dimensión n.
5. Cualquier espacio vectorial real V de dimensión finita, con la suma, es un
grupo de Lie (abeliano).
En todos los casos anteriores no hay dificultad en probar la diferenciabilidad
de la operación de grupo, puesto que las variedades involucradas son abiertos de
un espacio euclı́deo
Ejemplo 2. El grupo lineal general.
Sea GL(n, R) el grupo de las matrices reales cuadradas n × n que son inversibles. Es un grupo de Lie no conmutativo de dimensión n2 . Veremos más adelante
que tiene dos componentes conexas, correspondientes al signo positivo o negativo
del determinante. Nótese que GL(1, R) = R× .
Si identificamos el espacio vectorial R(n) de las matrices cuadradas de orden
2
n con Rn , entonces GL(n, R) es la imagen recı́proca de R − {0} por la aplicación
2
determinante, y por tanto un abierto en Rn . Esto permite comprobar fácilmente
que GL(n, R) es una variedad, y que el producto es una aplicación diferenciable,
ya que en R(n) el producto de matrices
(aij ) · (bij ) = (
X
aik bkj )
k
se reduce a operaciones elementales.
Nota 1.
Siempre identificaremos cada A ∈ GL(n, R) con su matriz asociada respecto
de la base canónica (e1 , . . . , en ). Entonces las columnas A(e1 ), . . . , A(en ) de la
matriz A forman una base de Rn .
Ejemplo 3. El grupo lineal general complejo.
Análogamente, el grupo GL(n, C) de las matrices n × n complejas inversibles
es un grupo de Lie de dimensión (real) 2n2 . En efecto es un abierto en las matrices
2
C(n), que es isomorfo como espacio vectorial real a R2n .
1.1. DEFINICIONES Y PRIMEROS EJEMPLOS
5
Notación En un grupo de Lie G usaremos la siguiente notación.
El elemento neutro será denotado e ∈ G. Para cada x ∈ G, la traslación por la
izquierda es la aplicación Lx : G → G dada por Lx (y) = xy. Es un difeomorfismo,
con inversa L−1
x = Lx−1 . Se cumple Lx ◦ Ly = Lxy .
Análogamente la traslación por la derecha Rx es el difeomorfismo dado por
Rx (y) = yx, con inversa Rx−1 = Rx−1 , y se tiene Rx ◦ Ry = Ryx .
Además Lx ◦ Ry = Ry ◦ Lx . Nótese que las traslaciones no son morfismos de
grupos. Por ser difeomorfismos, sus diferenciales en cualquier punto son isomorfismos.
1.1.1.
Diferenciablidad de la inversión
El siguiente teorema es una aplicación directa del teorema de la función inversa
(por tanto no serı́a cierto si hablásemos de grupos topológicos, en los que la variedad topológica subyacente sólo es de clase C 0 ). El resultado es un ejemplo de cómo
la estructura de grupo de Lie es muy rica, pues implica propiedades algebraicas,
topológicas y geométricas, lo que permite aplicar resultados generales potentes.
Lema 2. La inversión i : G → G, i(x) = x−1 , es diferenciable si y sólo si la
división d : G × G → G, d(x, y) = xy −1 , es diferenciable.
Teorema 3. En todo grupo de Lie la inversión es diferenciable.
Demostración. Sabemos que el producto p : G × G → G es diferenciable. Vamos
a demostrar que la aplicación biyectiva
P : G × G → G × G,
P (x, y) = (xy, y),
no sólo es diferenciable sino que es un difeomorfismo. Como su inversa es
P −1 : G × G → G × G,
P −1 (x, y) = (xy −1 , y),
se seguirá que la división (primera componente) es diferenciable y, por el Lema 2,
la inversión será diferenciable .
Para probar que P es un difeomorfismo primero veremos que su diferencial
en cada punto es un isomorfismo. Consideremos la diferencial P∗(x,y) de P en un
punto arbitrario (x, y). Con las identificaciones usuales la diferencial se representa
por la matriz por cajas
(Ry )∗x (Lx )∗y
(1.1)
0
Id
Por hipótesis, Ry es un difeomorfismo, luego (Ry )∗x es un isomorfismo. Entonces
P∗(x,y) es un isomorfismo. Por el teorema de la función inversa, P es un difeomorfismo local, pero como es biyectiva, es un difeomorfismo global
6
1.1.2.
TEMA 1. GRUPOS DE LIE
Morfismos.
Definición 4. Un morfismo de grupos de Lie es una aplicación ϕ : G → H que es
diferenciable y homomorfismo de grupos.
Un isomorfismo es un morfismo ϕ biyectivo cuya inversa ϕ−1 también es morfismo de grupos de Lie.
Ejemplo 4. La aplicación determinante det : GL(n, R) → R× es un morfismo de
grupos de Lie.
Se conserva la operación, pues det(AB) = det A · det B, y es diferenciable
porque det : R(n) → R lo es, ya que
X
(−1)σ a1σ(1) · · · anσ(n)
det(aij ) =
σ
se escribe con operaciones elementales.
Ejemplo 5. La aplicación valor absoluto ϕ : (R× , ·) → (R+ , ·), ϕ(t) = |t|, es un
morfismo de grupos de Lie.
Se sigue de |st| = |s||t| y de la diferenciablidad del valor absoluto en R − {0}.
Ejemplo 6. La aplicación módulo ϕ : C × → R× , ϕ(ω) = |ω| es un morfismo de
grupos de Lie.
Figura 1.1: La gráfica del módulo C → R es el cono z 2 = x2 + y 2 .
Ejemplo 7. La aplicación exponencial ϕ : (R, +) → (R+ , ·), ϕ(t) = et , es un
isomorfismo de grupos de Lie.
Se tiene es+t = es et . El morfismo inverso es el logaritmo neperiano.
1.1.3.
Nuevos ejemplos
El grupo afı́n de la recta.
ϕ : R → R de la forma
Una transformación afı́n de R es toda aplicación
ϕ(t) = kt + a,
k, a ∈ R, k 6= 0.
1.1. DEFINICIONES Y PRIMEROS EJEMPLOS
7
Su gráfica es una recta de pendiente no nula. Tenemos ası́ un grupo GA(R) que
contiene todas las homotecias no nulas y las traslaciones. La operación es la composición. Si denotamos ϕ por (k, a), entonces la operación se escribe
(k, a)(k 0 , a0 ) = (kk 0 , a + ka0 ).
(1.2)
El elemento neutro es la identidad (1, 0) y el inverso de un elemento está dado por
(k, a)−1 = (1/k, −a/k).
Como variedad, GA(R) es (R − {0}) × R. Claramente la operación es diferenciable. Por tanto es un grupo de Lie no conmutativo, de dimensión 2. Tiene dos
componentes conexas.
Representación matricial de GA(R) El grupo afı́n de la recta es algebraicamente isomorfo al de las matrices no singulares de la forma
k a
, k, a ∈ R, k 6= 0.
0 1
Estas matrices forman un subgrupo cerrado de GL(2, R), pues es la intersección
de los cerrados dados por las condiciones a12 = 0 y a22 = 1.
Por el teorema de Cartan que veremos más adelante, todo subgrupo cerrado
de un grupo de Lie es una subvariedad regular y por tanto grupo de Lie pues la
operación será diferenciable. Que la estructura diferenciable coincida con la de
GA(R) como abierto de R2 se debe al hecho de que las subvariedades regulares
tienen una estructura diferenciable única.
Nota 2. El grupo afı́n es un caso particular de construcción de producto semidirecto. No todos los grupos de Lie serán representables como grupos de matrices.
El grupo de Heisenberg. Este grupo es de interés en Mecánica cuántica y en la
Teorı́a de la señal. Consideremos las matrices no singulares de la forma


1 x z
0 1 y  ,
x, y, z ∈ R.
(1.3)
0 0 1
Forman un grupo H2 que no es más que R3 con el producto
(x, y, z)(x0 , y 0 , z 0 ) = (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 + xy 0 ).
El elemento neutro es la matriz identidad, representada como (0, 0, 0), y
(x, y, z)−1 = (−x, −y, xy − z).
(1.4)
8
TEMA 1. GRUPOS DE LIE
Complejos de módulo 1 Sea la circunferencia considerada como el grupo multiplicativo de los complejos de módulo 1,
S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}.
Nótese que en principio no es suficiente saber que el producto de números
complejos es diferenciable en C = R2 para deducir lo mismo en una subvariedad
que no fuese regular. Pero tanto C× (que es abierta) como S 1 (que es compacta)
son subvariedades regulares. Como en las subvariedades regulares el rango no es
esencial para la diferenciabilidad, tenemos que el producto es diferenciable.
Ejercicio 1. Usando explı́citamente la carta ((coordenadas polares)) ϕ(eit ) = t ∈
(−2π, +2π) (o cualquier otra carta) probar que el producto en S 1 es diferenciable
en un entorno del neutro.
El grupo lineal especial SL(n, R) Es el grupo formado por las transformaciones lineales de Rn que preservan el volumen. Expresado matricialmente, son las
matrices n × n de determinante 1. Es un subgrupo cerrado de GL(n, R) y por tanto
grupo de Lie por el Teorema de Cartan. Intuitivamente su dimensión es n2 − 1
pues está dado por n2 variables ligadas por una ecuación det = 1 (lo probaremos
rigurosamente más adelante). Es conexo pero no compacto.
Nota 3. Grupos clásicos. Los llamados grupos clásicos corresponden a grupos de
transformaciones que aparecen al estudiar distintos tipos de geometrı́as (euclı́dea,
hermı́tica, simpléctica,...)
El grupo ortogonal O(n) Llamaremos grupo ortogonal real de orden n al grupo
O(n) de las transformaciones lineales de Rn que conservan el producto escalar
usual, es decir tales que
hA(v), A(w)i = hv, wi.
Si identificamos cada vector de Rn con una matriz columna,
 
v1
 .. 
.
vn
tenemos matricialmente hv, wi = v T w, y la condición de ortogonalidad es
v T w = (Av)T (Aw) = v T AT Aw.
Proposición 5. Las siguientes condiciones son equivalentes:
1.1. DEFINICIONES Y PRIMEROS EJEMPLOS
9
1. La transformación A preserva el producto escalar;
2. AT A = id;
3. las columnas de A forman una base ortonormal de Rn .
P
Demostración. Basta calcular hA(ei ), A(ej )i = nk=1 aki akj .
Nota 4. AT A = id implica det(AT ) det(A) = 1, es decir det(A)2 = 1, y por tanto
det(A) = ±1, por lo que toda transformación ortogonal es inversible, y conserva
el volumen, pero puede cambiar la orientación.
Nota 5. GL(1, R) = R× está formado por todas las transformaciones t 7→ kt,
k 6= 0 (homotecias) de la recta. En cambio, las únicas transformaciones ortogonales de R son ±id. Este grupo O(1) es isomorfo al grupo Z2 de clases de restos
módulo 2 (para el que se usa notación aditiva). Es una variedad discreta, es decir
de dimensión cero.
1.1.4.
Otros grupos clásicos
Ejemplo 8. El grupo lineal general complejo GL(n, C)
Consideremos el espacio vectorial complejo Cn . Llamamos GL(n, C) al grupo
de C-isomorfismos lineales de Cn , es decir el grupo de matrices complejas E =
2
2
(zij ) con det E 6= 0. Es un abierto en Cn = R2n , y por tanto un grupo de Lie de
dimensión 2n2 .
Ejemplo 9. El grupo unitario U (n).
Ası́ como en Rn estudiamos la geometrı́a euclı́dea asociada al producto escalar,
la geometrı́a natural de Cn corresponde al producto hermı́tico dado por
v ∗ w = v̄1 w1 + · · · + v̄n wn ,
donde z̄ denota el conjugado del complejo z.
Llamamos U (n) al grupo de transformaciones C-lineales de Cn que conservan
el producto hermı́tico. Matricialmente,
U (n) = {A ∈ C(n) : A∗ A = id},
donde A∗ = (Ā)T denota la conjugada de la matriz traspuesta de A.
Proposición 6. El determinante det A de una matriz unitaria A ∈ U (n) es un
número complejo de módulo 1.
10
TEMA 1. GRUPOS DE LIE
Demostración. Como det A = det A, se tiene | det A|2 = (det A∗ )(det A) =
1.
Ejemplo 10. Llamaremos SU (n) al grupo especial unitario, es decir el grupo de
matrices unitarias de determinante 1. Veremos que tiene dimensión n2 − 1.
Ejemplo 11. El grupo simpléctico Sp(n).
Finalmente podemos considerar las transformaciones H-lineales (por la derecha) del espacio cuaterniónico Hn que conserven el producto hermı́tico hv, wi =
v ∗ w. Esta última condición es equivalente a que A∗ A = id y se sigue que A es
inversible con inversa A−1 = A∗ .
El nombre simpléctico significa complejo en griego, y lo introdujo H. Weyl. En
realidad lo hizo para el llamado grupo simpléctico real, que veremos más adelante.
Nota 6. Por problemas de conmutatividad evitaremos hablar del determinante de
una matriz cuaterniónica.
1.2.
Producto directo y semidirecto
Dados dos grupos de Lie G y H, en la variedad producto G × H podemos
considerar la operación componente a componente
(g, h)(g 0 , h0 ) = (gg 0 , hh0 ).
Obtenemos ası́ un grupo de Lie al que llamaremos producto directo.
Ejemplo 12. El grupo de Lie Rn con la suma de vectores es el producto directo de
n copias de (R, +).
Ejemplo 13. El toro T 2 = S 1 × S 1 es un grupo de Lie compacto conexo de
dimensión 2. En general llamaremos T n = S 1 × · · · × S 1 al toro n-dimensional.
Ejercicio 2. Probar que GL(n, R) = R× × SL(n, R)
Sin embargo, el grupo afı́n GA(R) no es el producto directo R× × R, sino que
la operación incluye un término mixto entre ambas coordenadas. Es un ejemplo de
producto semidirecto.
1.2.1.
Producto semidirecto
Supongamos que G, H son grupos de Lie.
1.2. PRODUCTO DIRECTO Y SEMIDIRECTO
11
Definición 7. Decimos que G actúa por la izquierda sobre H mediante automorfismos si existe una aplicación diferenciable a : G × H → H con las siguientes
propiedades (denotamos por g · h la imagen a(g, h) del par (g, h)):
(gg 0 ) · h = g · (g 0 · h);
g · (hh0 ) = (g · h)(g · h0 )
e · h = h.
Ejercicio 3. Comprobar que se deduce:
1. g · e = e;
2. g · (h−1 ) = (g · h)−1 ;
3. Comprobar que cada g ∈ G define un automorfismo diferenciable de H;
4. la aplicación â : G → Aut(H) dada por â(g)(h) = g · h es un morfismo de
grupos.
Más adelante veremos que Aut(H) es un grupo de Lie; la aplicación â es
diferenciable.
En esta situación definimos:
Definición 8. El producto semidirecto G na H (o simplemente G n H cuando la
acción está clara) es la variedad producto G × H con la operación
(g, h)(g 0 , h0 ) = (gg 0 , h(g · h0 ))
(1.5)
El neutro es (eG , eH ) y el inverso está dado por (g, h)−1 = (g −1 , (g −1 · h)−1 ).
Ejercicio 4. Comprobar que G n H es un grupo de Lie. Demostrar que H es
(isomorfo a) un subgrupo normal de G n H y que (G n H)/H ∼
= G. Probar que la
proyección G n H → G admite una sección s que es morfismo de grupos de Lie.
Probar que la acción de G sobre H está dada por g · h = s(g)hs(g)−1 .
Ejemplo 14. El grupo afı́n GA(Rn )
El grupo afı́n de la recta es el producto semidirecto R× n R para la acción dada
por la estructura de espacio vectorial ka.
Análogamente, el grupo afı́n de Rn es GA(Rn ) ∼
= R× n Rn . Está generado por
las homotecias y las traslaciones. Es isomorfo al grupo de las matrices (por cajas)
kIn v
0 1
con k ∈ R, k 6= 0, v ∈ Rn .
12
TEMA 1. GRUPOS DE LIE
Ejemplo 15. El grupo ortogonal O(2) es el producto semidirecto de O(1) =
{±1} ∼
= Z2 con el grupo de rotaciones SO(2) ∼
= S 1 , donde la acción está dada por la identidad y la conjugación de complejos (es decir mantener el argumento
o cambiarlo de signo).
Sea Rθ una rotación y σ la simetrı́a respecto del eje OX. Cada elemento de
O(2) se escribe de manera única como Rθ ◦ σ , con = 0, 1 según que el determinante de la transformación sea positivo o negativo. Identificamos el movimiento
con el par (ε, eiθ ) ∈ Z2 × S 1 . Por otro lado, si calculamos σRθ obtenemos
cos θ − sen θ
− sen θ − cos θ
es decir R−θ ◦ σ. Esto prueba que la identificación anterior es un homomorfismo de grupos, puesto que si Rθ corresponde al complejo z = eiθ entonces R−θ
corresponde al conjugado z̄.
Nótese que como variedad, O(2) es un par de circunferencias. Una contiene
al neutro id y la otra contiene la simetrı́a σ. La diferenciablidad del isomorfismo
puede probarse usando cartas en S 1 .
Ejemplo 16. El grupo de movimientos del plano.
Llamamos movimiento rı́gido o isometrı́a del plano euclı́deo E 2 a toda aplicación ϕ : E 2 → E 2 que conserve las distancias. Si además conserva la la orientación
diremos que es un desplazamiento. Si fijamos un origen O y un sistema ortonormal
bien orientado de referencia, podemos identificar E 2 con R2 y ϕ se escribe de manera única como composición de una transformación lineal ortogonal T ∈ O(2) y
una traslación por el vector v = ϕ(O), es decir
ϕ(u) = T (u) + v,
∀u ∈ R2 .
Abreviadamente ϕ = (T, v). La composición de movimientos corresponde entonces a
(T, v)(T 0 , w) = (T T 0 , v + T (w)).
El subgrupo formado por las traslaciones es (R2 , +). El grupo ortogonal O(2)
actúa sobre R2 por transformaciones lineales. Es claro entonces que el grupo Mov (E 2 )
de movimientos del plano es el producto semidirecto O(2) n R2 .
Nota 7. Nótese que en este grupo las rotaciones y las traslaciones no conmutan,
como puede verificarse geométricamente.
Ejercicio 5. Podemos representar el movimiento ϕ = (T, v) como una matriz por
cajas
T v
.
(1.6)
0 1
La operación de composición corresponde a la multiplicación por bloques.
1.3. CÁLCULO DE LA DIMENSIÓN
1.3.
13
Cálculo de la dimensión
Intuitivamente, el grupo SL(n, R) de matrices con determinante 1 debe tener
dimensión n2 −1, porque tenemos n2 variables (las entradas de una matriz), ligadas
por una ecuación (el determinante debe ser 1).
Análogamente, para el grupo ortogonal O(n) tenemos n2 variables, ligadas por
una parte por n ecuaciones (las columnas deben tener módulo 1), y por otra parte
otras n(n − 1)/2 ecuaciones (las columnas deben ser perpendiculares dos a dos).
Por tanto la dimensión de O(n) deberı́a ser n2 − n − n(n − 1)/2 = n(n − 1)/2.
El problema está en cómo saber que las ecuaciones que ligan las variables son
independientes.
Para formalizar esta noción de m variables ligadas por n ecuaciones algebraicas independientes, se linealiza esta condición, para poder calcular simplemente
dimensiones de espacios vectoriales (rangos de matrices). Usaremos el teorema de
la función implı́cita.
1.3.1.
Dimensión de G = SL(n, R)
La aplicación det : R(n) → R es diferenciable, y G = det−1 ({1}) es la fibra
sobre q = 1. Veamos que es un valor regular, con lo que dim G = dim R(n) −
dim R = n2 − 1.
Proposición 9. La diferencial del determinante es
(dF )A (X) = det A · Traza(A−1 X).
Demostración. Para calcular la diferencial (dF )A usaremos que el dominio y el
rango son espacios vectoriales, lo que nos permite identificarlos con sus espacios
tangentes. Entonces
1
(dF )A (X) = lı́m [F (A + sX) − F (A)].
s→0 s
Comenzamos el cálculo para A = id. Si X = (xij ) ∈ R(n) = Tid GL(n, R),
como
det(id + sX) = 1 + s(x11 + · · · + xnn ) + s2 (· · · )
queda
(dF )id (X) = x11 + · · · + xnn = traza(X).
Sea ahora A una matriz inversible cualquiera. Usando que
A + sX = A(id + sA−1 X)
14
TEMA 1. GRUPOS DE LIE
se tiene
(dF )A (X) = det A · (dF )id (A−1 X) = det A · traza(A−1 X).
Si ahora A ∈ SL(n, R) tenemos det A = 1, luego dado t ∈ R podemos tomar
la matriz
X = (t/n)A
de modo que la traza de A−1 X es t, lo que prueba que la diferencial
2
2
F∗A : TA Rn = Rn → T1 R = R
es sobreyectiva.
Nótese que TI SL(n, R) es el núcleo de la diferencial, es decir el espacio de
matrices de traza cero.
1.3.2.
Dimensión de O(n)
Consideramos F : R(n) → S dada por F (A) = AT A, donde S es el espacio
vectorial de las matrices simétricas, que tiene dimensión n(n+1)/2. La fibra sobre
la matriz identidad q = I es G = O(n). Si probamos que es un valor regular
tendremos dim G = n2 − n(n + 1)/2 = n(n − 1)/2.
Proposición 10. F∗A : R(n) → S está dada por
F∗A (X) = AT X + X T A.
Demostración.
1
F∗A (X) = lı́m [F (A + tX) − F (A)]
t→0 t
1
= lı́m (A + tX)T (A + tX) − AT A
t→0 t
1
= lı́m (tX T A + tAT X + t2 X T X)
t→0 t
= AT X + X T A.
Ahora, si A es ortogonal, dada cualquier matriz simétrica S ∈ S podemos
tomar X = (1/2)AS para probar que la diferencial es sobreyectiva.
1.3. CÁLCULO DE LA DIMENSIÓN
1.3.3.
15
Resumen
Hasta ahora hemos estudiado, entre otros, los siguientes grupos:
nombre
grupo lineal general real
grupo lineal especial
grupo ortogonal
grupo especial ortogonal
grupo lineal general complejo
grupo unitario
grupo especial unitario
grupo simpléctico
notación y definición
GL(n, R) = {A ∈ R(n) : det A 6= 0}
SL(n, R) = {A ∈ R(n) : det A = 1}
O(n) = {A ∈ R(n) : AT A = id}
SO(n) = {A ∈ O(n) : det A = 1}
GL(n, C) = {A ∈ C(n) : det A 6= 0}
U (n) = {A ∈ C(n) : A∗ A = id}
SU (n) = {A ∈ U (n) : det A = 1}
Sp(n) = {A ∈ H(n) : A∗ A = id}
dimensión
n2
n2 − 1
n(n − 1)/2
n(n − 1)/2
4n2
n2
n2 − 1
2n2 + n