Explorando la geometría Exploring geometry Explorer la

Transcripción

© MINILAND, S.A. 2004
Explorando la geometría
Exploring geometry
Explorer la géométrie
Exploração da geometria
durchforschen das geometrie
Esplorare la geometria
MINILAND, S.A.
Parque Industrial La Marjal C/ La Patronal s/nº
03430 ONIL - ALICANTE - ESPAÑA
tel.: +3496 556 49 50 e-mail: [email protected]
©
MINILAND, S.A., 2004
Exploração da geometria
70 OS POLÍGONOS
P
72 MOSAICOS
74 OS POLIEDROS
75 POLIEDROS REGULARES : OS
SÓLIDOS PLATÓNICOS
Explorando la geometría
77 POLIEDROS SEMIRREGULARES
E
82 PRISMAS
4
6
8
9
LOS POLÍGONOS
84 ANTIPRISMAS
LOS MOSAICOS
LOS POLIEDROS
POLIEDROS REGULARES :
LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS
En
16 PRISMAS
18 ANTIPRISMAS
24
25
25
25
PIRAMIDES
26
POLIEDROS ESTRELLADOS
28
DELTAEDROS
30
OTROS POLIEDROS
31
OTRAS CONSTRUCCIONES
33
38
40
Explorer la géométrie
48
Fr
LES POLYGONES
50 MOSAIQUES
52 LES POLYÈDRES
DIE POLYGONE
94
MOSAIKE
91 DELTAEDROS
96
DIE POLYEDER
91 CONSTRUÇÕES DIVERSAS
97
REGULÄRE POLYEDER:
PLATONISCHE KÖRPER
91 PIRÂMIDES
F
MOSAICS
Esplorare la geometria
POLYHEDRONS
REGULAR POLYHEDRONS:
PLATONIC SOLIDS
SEMIREGULAR POLYHEDRONS
PRISMS
ANTIPRISMS
STAR-SHAPED POLYHEDRONS
It
114 I POLIGONI
116 MOSAICI
118 I POLIEDRI
POLIEDRI REGOLARI: I SOLIDI
119 PLATONICI
121 POLIEDRI SEMIREGOLARI
126 PRISMI
47 DELTAHEDRONS
128 ANTIPRISMI
47 OTHER POLYHEDRONS
129 POLIEDRI STELLATI O DI KEPLERO
47
VARIOUS CONSTRUCTIONS
53 POLYÉDRES RÉGULIERS :
LES SOLIDESPLATONIQUES
134 ALTRI POLIEDRI
135 PIRAMIDI
55 POLYÈDRES SEMI-RÉGULIERS
135 DELTAEDRI
60 PRISMES
135 COLLEGAMENTI VARI
62 ANTI-PRISMES
63 PYRAMIDES
68
69
69
69
POLYÈDRES ÉTOILÉS
AUTRES POLYÈDRES
DELTAÈDRES
CONSTRUCTIONS DIVERSES
Asesoramiento técnico de Mercedes Mira, Licenciada en Matemáticas.
© MINILAND, S.A., 2004
D
99
POLYGONS
41 PYRAMIDS
46
92
90 OUTROS POLIEDROS
Exploring geometry
11 POLEDROS SEMIRREGULARES
19
durchforschen das geometrie
85 POLIEDROS ESTRELADOS
HALBREGULERE POLYEDER
104
PRISMEN
106
ANTIPRISMEN
107
STERNPOLYEDER
112
ANDERE POLYEDER
113
PYRAMIDEN
113
DELTAEDER
113
VERSCHIEDENE FIGUREN
INTRODUCCIÓN
La Geometría es la parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar las formas que existen en el
espacio, sus medidas y la relación entre ellas. Así pues, como se trata de intentar clasificar todos los
cuerpos existentes según sus dimensiones, sus ángulos, sus características, sus semejanzas y sus
diferencias con otros cuerpos, estamos ante la parte más interesante de las matemáticas en cuanto
que estudia objetos que usamos cotidianamente, que podemos tocar, medir, observar; en definitiva,
que existen en nuestro entorno.
LOS POLÍGONOS
Los polígonos son las figuras geométricas planas (sólo tienen dos dimensiones: ancho y largo)
delimitadas por una línea poligonal cerrada.
Línea poligonal abierta
Línea poligonal cerrada
Cada segmento que forma la poligonal lo llamamos lado del polígono, los vértices son el lugar donde
se unen dos lados y configuran un ángulo. Según cómo sean los ángulos (menores de 180º o
mayores) el polígono será convexo (todos los ángulos menores de 180º) o cóncavo (al menos un
ángulo mayor de 180º).
Polígono cóncavo
Polígono convexo
Se puede comprobar fácilmente que el menor número de lados con el que se puede formar un
polígono es tres.
Clasificación de los polígonos
Los polígonos se nombran según el número de lados que tienen; así tenemos: triángulos, polígonos
de tres lados, cuadriláteros, con cuatro lados; pentágonos, si hay cinco, hexágonos, con seis y así
sucesivamente.
triángulo
cuadrilátero
pentágono
hexágono
Dentro de los triángulos , hay otra clasificación atendiendo a la longitud de los lados; si los tres son
iguales, el triángulo se llama equilátero, si dos son iguales y otro distinto, isósceles y si los tres lados
son distintos, escaleno.
escaleno
equilátero
isósceles
4
Además los triángulos también se clasifican según sus ángulos y son: acutángulos si todos los ángulos
son agudos (menores de 90º) , obtusángulo si algún ángulo es obtuso (mayor de 90º) ó rectángulo si
tiene un ángulo recto (de 90º).
obtusángulo
acutángulos
rectángulo
En los cuadriláteros hacemos la clasificación según cómo están los lados situados, así si no hay
ningún lado paralelo lo llamamos trapezoide, si hay dos lados paralelos y otros dos no, trapecio y si
los lados son paralelos dos a dos lo llamamos paralelogramo. Si un paralelogramo tiene los cuatro
ángulos rectos, pasa a llamarse rectángulo y los lados son iguales dos a dos , en el caso particular
de que además todos los lados sean iguales tenemos el cuadrado.
trapezoide
trapecio
paralelogramo
rectángulo
cuadrado
A partir de cinco lados o más, ya no existe ninguna clasificación mas que añadir el calificativo regular al
polígono que tiene todos los lados iguales. Por ejemplo, octógono regular será el polígono que tiene ocho
lados iguales.
PIEZAS CONEXIÓN
Pasemos ya a la práctica y veamos qué polígonos de todos los que hemos nombrado anteriormente nos
vamos a encontrar en el set que acompaña a éste manual:
Triángulo equilátero
Rectángulo
Triángulo Isósceles
Cuadrado
Triángulo Rectángulo e Isósceles
Pentágono regular
Hexágono regular
Las piezas Conexión encajan unas con otras como si se tratase de un puzzle, mediante un enganche muy
particular sólo hay que tener en cuenta las longitudes, una corta en la mayoría de las figuras, y otra más
larga en los lados mayores del rectángulo, los lados iguales del triángulo isósceles y el lado distinto del
triángulo rectángulo.
Ahora que ya tienes las piezas identificadas empieza a hacer pruebas de unir unas con otras para ir
familiarizándote con el enganche. Te será más fácil el montaje de los poliedros si antes has practicado
un poco aunque no montes ninguna figura con sentido.
5
MOSAICOS
En matemáticas se entiende por mosaico al recubrimiento del plano que cumple las figuras que se
utilizan para recubrir son composiciones con polígonos o figuras curvas pero no pueden superponerse
piezas.
No es mosaico
No es mosaico
Si es mosaico
Si es mosaico
Podemos ver muchos mosaicos a nuestro alrededor: en la decoración de suelos, paredes, alfombras,
etc. Además, los mosaicos tienen interés matemático, ya que nos permiten observar formas
geométricas en la vida cotidiana, así como aumentar el interés por el diseño.
El plano es ilimitado, no tiene bordes, pero el papel o la mesa de trabajo que utilizamos está limitado
por sus bordes. Por tanto, no debes preocuparte de lo que ocurra en los bordes de la mesa, debes
proceder como si pudieras continuar ampliando el dibujo indefinidamente.
Mosaicos regulares
Se llaman así los mosaicos que se hacen utilizando un único tipo de polígono regular.
Prueba con las piezas Conexión que tienes en tu poder, para experimentar qué mosaicos regulares
puedes formar.
¿Cuáles de los polígonos regulares permiten recubrir el plano con un mosaico?
Observa que los únicos polígonos regulares que recubren el plano son los cuadrados, los hexágonos,
los rectángulos, los triángulos equiláteros, el triángulo rectángulo y el isósceles.
Cuadrado
Rectángulo
Triángulo isósceles
6
Triángulo rectángulo
Hexágono
Mosaicos semirregulares
Un mosaico construido utilizando más de un tipo de polígono regular se denomina mosaico semirregular.
Para ello, sólo hay que tener en cuenta que el mosaico estará bien construido si no tiene huecos ni
superposiciones, por eso, se tienen que cumplir dos condiciones:
-En cada vértice los mismos polígonos aparecen en el mismo orden
-Los lados de los polígonos usados deben ser de la misma longitud
7
Otros mosaicos
Existen muchos tipos de mosaicos, bien utilizando más de un tipo de polígono regular pero de modo
que en todos los vértices coincidan los mismos polígonos en el mismo orden, o bien porque los
polígonos son no regulares.
Experimenta con tus piezas e intenta hacer composiciones llamativas.
LOS POLIEDROS
Un poliedro es una figura tridimensional (tiene ancho, largo y alto) formada por polígonos que unidos
por sus lados forman una figura cerrada y con volumen.
Cada uno de los polígonos que forma el poliedro se llama cara, el lugar donde se juntan dos caras se
llama arista, y el punto donde se juntan tres o más caras, vértice y origina un ángulo
cara
vértice
arista
Según cómo sean estos ángulos, el poliedro puede ser convexo o no. Un poliedro es convexo si al
tomar dos puntos cualquiera del poliedro, la línea recta que los une no se "sale" de la figura. En otro
caso será cóncavo.
poliedro convexo
poliedro cóncavo
8
El Teorema de Euler.
Hay una propiedad muy importante conocida con el nombre del Teorema de Euler y que cumplen todos los
poliedros convexos y dice así:
"en todo poliedro convexo, el número de caras más el de vértices, es igual al número de aristas más dos"
y lo simbolizamos así, C+V=A+2.
A medida que vayamos indicando la construcción de los poliedros más conocidos iremos comprobando que
esta relación es cierta.
El menor número de polígonos que hacen falta para formar un poliedro es cuatro y la figura se llama tetraedro,
si tiene seis caras hexaedro, ocho caras octoedro, con diez decaedro y así sucesivamente.
Si un poliedro tiene todas sus caras iguales y los vértices similares, lo llamamos poliedro regular. Sólo existen
cinco poliedros regulares, que dada su importancia los estudiaremos aparte y se conocen con el nombre de
sólidos platónicos
POLIEDROS REGULARES: Los sólidos platónicos
Fue el griego Platón, en el siglo IV a. C. , el que descubrió que sólo pueden construirse cinco poliedros regulares,
que hoy los llamamos, en honor a él, sólidos platónicos, éstos son: tetraedro regular, hexaedro regular o cubo,
octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular.
Para su construcción de cada uno de estos poliedros hace falta un solo tipo de figura, así el tetraedro, octaedro
e icosaedro se forman sólo con triángulos equiláteros; el cubo con cuadrados y el dodecaedro con pentágonos
regulares.
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Características generales de los sólidos platónicos:
-Todas las caras son polígonos regulares convexos
-Todas las caras y ángulos son iguales
-Son poliedros convexos (misma definición que antes)
-Los ángulos no son superiores a 180º
-Son completamente regulares, esto es, la visual desde cada vértice es idéntica.
-Cumplen el Teorema de Euler
EL TETRAEDRO REGULAR. Las caras son triángulos equiláteros.
Nº de Caras: 4
Nº de Vértices: 4
Nº de Aristas: 6
Teorema de Euler: 4+4=6+2
Piezas Conexión: 4
Representación plana
EL HEXAEDRO REGULAR O CUBO. Las caras son cuadrados.
Nº de Caras: 6
Nº de Vértices: 8
Nº de Aristas: 12
Teorema de Euler:6+8=12+2
Piezas Conexión: 6
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Icosaedro
EL OCTAEDRO REGULAR. Las caras son triángulos equiláteros.
Nº de Caras: 8
Nº de Vértices: 6
Nº de Aristas: 12
Piezas Conexión: 8
EL DODECAEDRO REGULAR. Las caras son pentágonos regulares.
Nº de Caras: 12
Nº de Vértices: 20
Nº de Aristas: 30
Piezas Conexión: 12
EL ICOSAEDRO REGULAR. Las caras son triángulos equiláteros.
Nº de Caras: 20
Nº de Aristas: 30
Piezas Conexión: 20
*Se llaman poliedros conjugados aquellos en que el número de caras de uno es igual al número de
vértices del otro. Según el Teorema de Euler deben tener, el mismo número de aristas.
Así tenemos que son conjugados: Tetraedro-Tetraedro, Cubo-Octaedro y Dodecaedro-Icosaedro
nº de caras = 6
nº de vértices = 6
nº de aristas = 12
nº de aristas = 12
Empieza la construcción de los sólidos, uniendo las piezas Conexión de las formas arriba indicadas
sobre una superficie plana y luego, ve dándole volumen. O bien, ve uniendo pieza a pieza dándole,
poco a poco, la forma que tendrá finalmente.
También puedes jugar con los colores, combinándolos en las caras y las figuras serán más atractivas.
Cambia cada cuadrado del cubo por dos triángulos rectángulos y verás como la figura es más
llamativa.
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POLIEDROS SEMIRREGULARES
Un poliedro es semirregular si sus caras son polígonos regulares de dos o más tipos y sus vértices son
todos similares en el sentido de que los polígonos que en ellos concurren son iguales. Existe un número
infinito de ellos, pues incluye a varios grupos :
-Los Prismas Regulares, cuyas caras laterales son cuadrados o rectángulos y sus bases,
iguales y paralelas, son dos polígonos regulares.
-Los Antiprismas, cuyas caras laterales son triángulos equiláteros o isósceles y sus bases,
también dos polígonos regulares paralelos, pero están girados, de forma que cada vértice
de una se proyecta al punto medio de cada lado de la otra.
-Los Poliedros Estrellados, que se forman sustituyendo cada cara de un poliedro regular por
una pirámide (sin base) de igual número de caras que lados tiene el polígono que sustituyen.
-Los Sólidos Arquimedianos, que tienen su origen al cortar las esquinas de los poliedros regulares.
El truncamiento
El truncamiento es la operación de cortar las esquinas a los poliedros regulares para obtener poliedros
que tengan todas las caras regulares. Cada vértice del poliedro de partida se convierte en un polígono
regular con el mismo número de lados que el número de caras que concurrían en ese vértice.
Los poliedros obtenidos los diferenciamos según si el plano que realiza el corte pasa por el punto medio
de la arista (tipo 1) , o por una distancia menor (tipo 2).
tipo 1
tipo 2
LOS SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS
Los sólidos arquimedianos surgen de modificar los poliedros regulares cortando sus esquinas, para
que se obtengan sólidos que tengan todas sus caras regulares y todos los vértices iguales.
El nombre se debe a que fue Arquímedes el que los describió por primera vez.
Estos poliedros se utilizan como elementos decorativos en farolas y otros adornos, incluso en un balón
de fútbol también encontramos un poliedro de este tipo formado por 20 triángulos, 30 cuadrados y 12
pentágonos, y que se llama pequeño rombicosidodecaedro.
En la actualidad se consideran 13 sólidos arquimedianos, pero de éstos hay cuatro que utilizan
octógonos y decágonos para su construcción, y éstas son piezas que no existen en el set Conexión
y, por tanto, sólo los nombraremos.
icosaedro truncado
icosidodecaedro
tetraedro truncado
dodecaedro chato
octaedro truncado
cuboctaedro
pequeño rombicosidodecaedro
11
cubo chato
pequeño rombicuboctaedro
gran rombicosidodecaedro
dodecaedro truncado
gran rombicuboctaedro
cubo truncado
Clasificación de los Sólidos Arquimedianos
Tipo1. Sólidos arquimedianos obtenidos al cortar los sólidos platónicos con un truncamiento de tipo 1,
el corte se realiza por planos que pasan por los puntos medios de las aristas que concurren en cada
vértice.
CUBOCTAEDRO
Surge al hacer un truncamiento de tipo 1 del cubo o del octaedro. Si truncamos el cubo, por cada
vértice se obtiene un triángulo y por cada cara otro cuadrado. Si truncamos el octaedro por cada
vértice se obtiene un cuadrado y por cada cara otro triángulo
Nº de Caras: 14
Nº de Aristas: 24
Piezas Conexión: 6 cuadrados y 8 triángulos equiláteros.
ICOSIDODECAEDRO
Surge al hacer un truncamiento de tipo 1 del dodecaedro o del icosaedro regular. Si truncamos el
dodecaedro por cada vértice se obtiene un triángulo y por cada cara otro pentágono. Si truncamos
el icosaedro, por cada vértice se obtiene un pentágono y por cada cara otro triángulo
Nº de Caras: 32
Nº de Aristas: 60
Piezas Conexión: 20 triángulos equiláteros y 12 pentágonos.
No hemos desarrollado el truncamiento del tetraedro, porque se obtiene el octaedro que es un sólido platónico.
Tipo2. Sólidos arquimedianos obtenidos al cortar los sólidos platónicos mediante un truncamiento de tipo 2, el
corte se realiza con una distancia adecuada para que aparezcan polígonos regulares que tengan el doble
número de lados que el polígono de las caras del poliedro de partida, siendo la distancia al vértice menor que
la mitad del lado.
12
TETRAEDRO TRUNCADO
Se obtiene al realizar un truncamiento de tipo 2 del tetraedro regular, por cada vértice se obtiene un
triángulo y por cada cara un hexágono.
Nº de Caras: 8
Nº de Vértices:12
Nº de Aristas: 18
Piezas Conexión a utilizar: 4 hexágonos y 4 triángulos equiláteros
OCTAEDRO TRUNCADO
Truncamiento de tipo 2 del octaedro regular, por cada vértice se obtiene un cuadrado y por cada cara
un hexágono regular
Nº de Caras: 14
Nº de Aristas: 36
Piezas Conexiónr: 8 hexágonos 6 cuadrados
ICOSAEDRO TRUNCADO
Truncamiento de tipo 2 del icosaedro regular, por cada vértice se obtiene un pentágono y por cada
cara un hexágono regular
Nº de Caras: 32
Nº de Aristas: 90
Piezas Conexión : 20 hexágonos y 12 pentágonos
No hemos nombrado el cubo truncado ni el dodecaedro truncado porque se componen de octógonos ydecágonos que no
existen en las piezas conexion
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LOS ROMBIS
PEQUEÑO ROMBICUBOCTAEDRO
Se obtiene al truncar el cuboctaedro de una forma particular y haciendo unas transformaciones. Está
formado por cuadrados y triángulos
Nº de Caras: 26
Nº de Aristas: 48
Teorema de Euler:26 +24=48+2
Piezas Conexión: 18 cuadrados y 8 triángulos equiláteros
El gran rombicuboctaedro surge al modificar el cuboctaedro de otro modo y hacerle otro tipo de
transformaciones, pero en su contrucción se utilizan cuadrados, hexágonos y octógonos, pieza
que no existe en el set Conexión.
PEQUEÑO ROMBICOSIDODECAEDRO
Este poliedro se obtiene al truncar el icosidodecadro de una forma particular y haciendo unas
transformaciones. Está formado por pentágonos, cuadrados y triángulos
Nº de Caras: 62
Nº de Aristas: 120
Piezas Conexión a utilizar: 12 penágonos, 30 cuadrados y 20 triángulos equiláteros
El gran rombicosidodecaedro surge al modificar el icosidodecaedro de otro modo y hacerle otro tipo
de transformaciones, pero en su contrucción se utilizan cuadrados, hexágonos y decágonos, pieza
que no existe en el set Conexión.
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LOS CHATOS
SNUB-CUBO o CUBO CHATO
Está formado por cuadrados y triángulos. Es una figura que no tiene planos de simetría pero sí ejes
de rotación
Nº de Caras: 38
Nº de Aristas: 60
Teorema de Euler: 38 +24=60+2
Piezas Conexión: 6 cuadrados y 32 triángulos equiláteros
SNUB-DODECAEDRO o DODECAEDRO CHATO. Está formado por pentágonos y triángulos. Es una
figura que no tiene planos de simetría pero sí ejes de rotación.
Nº de Caras: 92
Nº de Aristas: 150
Piezas Conexión: 12 pentágonos y 80 triángulos equiláteros
15
LOS PRISMAS
Hay un tipo particular de poliedros que llamamos paralelepípedos. La característica principal de los
paralelepípedos es que poseen dos bases iguales situadas en planos paralelos (de ahí su nombre)
que pueden ser cualquier polígono y las demás caras laterales son paralelogramos. Si además las
bases están situadas una encima de la otra, las caras serán rectangulares o cuadradas y las figuras
pasan a llamarse prismas o prismas rectos .
Por lo tanto, si un prisma tiene todas las caras regulares también es un poliedro semirregular.
Los prismas son la forma geométrica a la que más acostumbrados estamos pues las habitaciones, los
edificios, las cajas de zapatos, los tetra-brik, etc, tienen forma de prisma y no sólo construcciones
humanas sino también en la naturaleza: las cristalizaciones de algunos minerales, las células vegetales,
el caparazón de muchos moluscos, los ojos de los insectos, etc.
Los prismas se nombran según el número de lados que tenga el polígono que forma la base, así si la
base es cuadrada el prisma se llamará cuadrangular. Si además ese polígono es regular (todos los
lados iguales), obtendremos un prisma regular.
Veamos qué prismas podemos construir con el set de piezas Conexión:
Prismas triangulares:
Bases: triángulos equiláteros
Caras laterales: cuadrados o rectángulos
Piezas Conexión: 2 triángulos equiláteros y 3 cuadrados ó 3 rectángulos.
Bases: triángulos isósceles
Caras laterales: un cuadrado y dos rectángulos
Piezas Conexión: 2 triángulos isósceles, 1 cuadrado y 2 rectángulos.
Bases: triángulos rectángulos
Caras laterales: dos cuadrados y un rectángulo
Piezas Conexión a utilizar: 2 triángulo rectángulo, 2 cuadrados y 1 rectángulo
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Prismas cuadrangulares
Bases: cuadrados
Piezas Conexión a utilizar: 6 cuadrados ó 2 cuadrados y 4 rectángulos
Bases: rombos formados por dos triángulos equiláteros
Caras laterales: cuadrados o rectángulo
Piezas Conexión a utilizar: 4 triángulos equiláteros y 4 cuadrados ó 4 rectángulos
Prismas pentagonales
Bases:pentágonos
Piezas Conexión a utilizar: 2 pentágonos y 5 cuadrados ó 5 rectángulos
Prismas hexagonales
Bases: hexágonos
Piezas Conexión: 2 hexágonos y 6 cuadrados ó 6 rectángulos
Características de los prismas
Todas las caras son polígonos convexos Son poliedros convexos Los ángulos no son superiores a 180ºCumplen
el Teorema de Euler : C + V = A + 2.
Si observas que uniendo dos cuadrados obtienes un rectángulo, o bien uniendo un cuadrado y un rectángulo o
dos rectángulos, puedes construir muchos más prismas usando las bases de los primas anteriores y como caras
laterales rectángulos construidos por la unión de dos o más figuras, y así conseguirás prismas "más altos".
17
LOS ANTIPRISMAS
Imaginemos que los lados de las caras cuadradas o rectangulares de un prisma fuesen elásticas y lo
distorsionáramos girando el polígono de la base hacia un lado y el otro polígono hacia el otro, el poliedro
resultante, se llama antiprisma. Es decir, es un prisma con dos bases iguales colocadas una encima de la otra
pero con distinta orientación y las caras laterales han sido sustituidas por triángulos. Si las caras del prisma
original eran cuadrados, obtenemos triángulos equiláteros, y si eran rectángulos obtendremos triángulos
isósceles. Los antiprismas que estén formados por caras que sean todas polígonos regulares serán poliedros
semirregulares.
Antiprismas triangulares
Bases: triángulos equiláteros.
Caras laterales: triángulos equiláteros o isósceles.
Piezas Conexión: 2 triángulos equiláteros y 6 equiláteros ó 6 isósceles.
Antiprismas cuadrangulares
Bases: cuadrados.
Piezas Conexión: 2 cuadrados y 8 triángulos equiláteros ó isósceles.
Antiprismas pentagonales
Bases: pentágonos.
Piezas Conexión: 2 pentágonos y 10 triángulos equiláteros ó isosceles.
Antiprismas hexagonales
Bases: hexágonos
Caras laterales: triángulos equiláteros o isósceles
Piezas Conexión : 2 hexágonos y 12 triángulos equiláteros ó isósceles.
18
LAS PIRÁMIDES
Las pirámides es un tipo particular de poliedros que seguro que conoces muy bien, pues los egipcios
las utilizaban para sus monumentos funerarios y hoy en día siguen estando de actualidad por los
misterios que encierran. La característica principal de las pirámides es que poseen una base sobre la
que se apoyan que puede ser cualquier polígono y las demás caras son triángulos que confluyen en
un vértice situado sobre la base.
Las pirámides se nombran según el número de lados que tenga el polígono que forma la base, así si
la base es cuadrada la pirámide se llamará cuadrangular. Y además, si el polígono es regular (todos
los lados iguales) la llamamos pirámide regular.
Si todas las caras de la pirámide son polígonos regulares entonces esta pirámide es un poliedro
semirregular.
El vértice de la pirámide es el punto donde confluyen todas las caras y está situado sobre la base. Si
trazamos una línea perpendicular a la base desde ésta hasta el vértice, esta línea recibe el nombre
de altura de la base. Si esta altura además de pasar por el vértice pasa por el centro del polígono de
la base, la pirámide es recta , si no es así la pirámide tendrá un aspecto inclinado.
Así las pirámides que puedes formar con el set de piezas Conexión son:
Pirámides triangulares
Base: triángulo equilátero
Piezas Conexión: 1 triángulo equilátero y 3 equiláteros ó 3 isósceles.
Base: triángulo rectángulo
Caras laterales: dos triángulos equiláteros y uno rectángulo
Piezas Conexión: 2 triángulos rectángulos y 2 equiláteros.
Base: triángulo isósceles
Caras laterales: triángulos isósceles
Piezas Conexión: 4 trángulos isósceles
.
19
Base: triángulo isósceles
Caras laterales: un triángulo equilátero y dos rectángulos
Piezas Conexión: 1 triángulo isósceles ,2 triángulos rectángulos y equilátero
Pirámides cuadrangulares
Base:cuadrado
Piezas Conexión: 1 cuadrado y 4 triángulos equiláteros ó 4 isósceles.
Base:cuadrado
Caras laterales: triángulos equiláteros, rectángulos e isósceles
Piezas Conexiónr: 1 cuadrado,1 triángulo equilátero, 1 triángulo isósceles y 2 triángulos rectángulos
Base:rectángulo
Caras laterales: triángulos rectángulos y equiláteros
Piezas Conexión: 1 rectángulo, 2 triángulos equiláteros y 2 triángulos rectángulos.
20
Base:rectángulo
Caras laterales: triángulos equiláteros e isósceles
Piezas Conexión: 1 rectángulo y 3 triángulos isósceles y 1 triángulo equilátero.
Pirámides pentagonales
Base:pentágono
Caras laterales: triángulos isósceles o equiláteros
Piezas Conexión: 1 pentagono y 5 triángulos isósceles
Pirámides hexagonales
Base:hexágono
Caras laterales: triángulos isósceles
Piezas Conexión: 1 hexagono y 6 triángulo isósceles.
No se puede construir la pirámide hexagonal con caras triángulos equiláteros.
Características de las pirámides
-Todas las caras son polígonos convexos
-Son poliedros convexos
-Los ángulos no son superiores a 180º
-Cumplen el Teorema de Euler, C + V = A + 2.
21
BIPIRÁMIDES
Si tomamos dos pirámides con idéntica base, quitamos las bases y juntamos las dos pirámides por
las bases obtenemos una figura que se llama bipirámide. Si son triangulares la bipirámide se llamará
triangular, si son cuadradas , cuadrangular y así sucesivamente.
Las bipirámides que podemos formar con las piezas Conexión son:
Bipirámides triangulares
Dos pirámides triangulares de triángulos equiláteros
Piezas Conexion: 6 triángulos equiláteros
Una pirámide de isóscelese y otra de quiláteros
Piezas Conexion: 3 triángulos isósceles y 3 equiláteros
Dos pirámides de triángulos isósceles
Piezas Conexion: 6 triángulos isósceles
Bipirámides cuadradas
Dos pirámides cuadradas de triángulos equiláteros
Una pirámide de isósceles y otra de equiláteros.
Piezas Conexion: 4 triángulos equiláteros y 4 isósceles
22
Bipirámides pentagonales
Dos pirámides pentagonales de triángulos equiláteros
Una pirámide de equiláteros y otra de isósceles
Piezas Conexion: 5 triángulos equiláteros y 5 isósceles
Bipirámide hexagonal
Dos pirámides hexagonales de triángulos isósceles.
23
LOS POLIEDROS ESTRELLADOS
Si en cada una de las caras de un tetraedro regular construyes una pirámide triangular, obtendrás una
con forma de estrella de 4 puntas, es un tetraedro estrellado. De la misma forma puedes construir
pirámides en las caras de los otro cuatro restantes poliedros regulares obteniendo el cubo estrellado,
el octaedro estrellado, el dodecaedro estrellado y el icosaedro estrellado, figuras que son de gran
belleza.
Para la formación de estos poliedros sólo necesitas triángulos, bien equiláteros o bien isósceles.
De igual forma construyendo las pirámides correspondientes sobre las caras de los sólidos
arquimedianos citados anteriormente, obtendríamos su estrella. Ejemplos:
Tetraedro truncado
Cuboctaedro
Tetraedro truncado estrellado.
Cuboctaedro estrellado.
Una característica importante de los poliedros estrellados es que son cóncavos, a diferencia de todos
los que hemos construido hasta ahora que eran convexos.
Cubo estrellado (24 triángulos)
Tetraedro estrellado(12 triángulos)
Octaedro estrellado (24 triángulos)
Dodecaedro estrellado(60 triángulos)
Icosaedro estrellado(60 triángulos)
24
LOS DELTAEDROS
Son una familia de poliedros que se construyen utilizando para sus caras sólo triángulos equiláteros.
Se llaman así porque en griego, la letra delta mayúscula se representaba mediante un triángulo.
Sólo hay 8 deltaedros convexos, algunos ya han aparecido anteriormente.
Tetraedro
(4 triángulos)
Bipirámide triangular
(6 triángulos)
Octaedro
(8 triángulos)
Bipirámide pentagonal
(10 triángulos)
Prisma triangular triaumentado
(14 triángulos)
Dodecaedro siames
(12 triángulos)
Bipirámide cuadrada girada
(16 triángulos)
Icosaedro
(20 triángulos)
OTROS POLIEDROS
Hay infinitos poliedros, y por eso, es imposible clasificarlos y nombrarlos todos. Anteriormente lo hemos
hecho con unos cuantos atendiendo a una cierta regularidad en las caras, en los vértices o en los
polígonos que forman las caras. Pero se pueden formar otros poliedros también muy atractivos y que
los clasificamos según otros criterios diferentes.
CONSTRUCCIONES VARIAS
Si has llegado hasta aquí construyendo todos aquellos poliedros que te hemos ido mostrando, entonces
has ampliado tus conocimientos de geometría más allá de lo que pudieras haber imaginado nunca
aprender en cualquier clase de matemáticas convencional.
Por eso, y porque te lo mereces, a partir de aquí lo que te proponemos es que juegues con el set de
piezas Conexión a tu antojo, construyendo edificios, recipientes, figuras, etc... pero no olvides en
buscar en ellos motivos geométricos o bien, si pertenecen a algún grupo de los que has estudiado,
de esta forma estarás divirtiéndote al tiempo que aplicas todo lo anteriormente estudiado.
Disfruta y enhorabuena por el trabajo bien realizado
25
INTRODUCTION
Geometry is the field of mathematics that studies the shapes that exist in space, their mesaurements
and the relation between them. It does, therefore, try to classify all the existing bodies according to
their dimensions, their angles, their characteristics, their similarities, their differences to other bodies,
we are faced with the most interesting part of mathematics in relation to the study of objects that are
used on a daily basis, objects we can touch, measure, observe, in other words, that exist in our
milieu.
POLYGONS
Polygons are the flat geometrical planes (they only have two dimensions: width and length) delimited
by a closed polygonal line.
Open polygonal line
Closed polygonal line
We call each segment that forms the polygonal the side of the polygon, the vertexes are the point
where two sides meet to shape an angle. Depending on how the angles (superior or inferior to 180º)
the polygon will be convex (all the angles inferior to 180º) or concave (at least one angle is greater
than 180º)
convex poligon
concave poligon
It can be easily established that the minimum number of sides that a polygon can be formed with
are three.
Clasification of polygons
Polygons are named accoding to the number of sides that they have; triangles, polygons with three
sides, quadrilaterals, with four sides, pentagons, if there are five, hexagons, with six and so on.
triangles
quadrilaterals
pentagons
hexagons
Within the group of triangles, there is another classification that takes the length of the sides into
account; if all three are the same, teh triangle is equilaterial, if two are the same and the other
different, it is an isosceles triangle and if the three sides are different, it is scalene.
scalene
equilateral
isosceles
26
Triangles are also classified according to their angles and they are acutangles if all the angles are
acute (less than 90º), obtuseangles if any obtuse (greater than 90º) or rectangle if it has a right angle
(90º)
obtusangle
acutangle
rectangle
Quadrilaterals are classified according to the position of the sides so if there are no parallel sides it
is called a trapezoid, if there are two parallel sides and the others are not, trapazium and if the sides
are parallel, two by two, it is called a parallelogram. If a parallelogram has four right angles, it is a
rectangle and the sides are equal, two by two, and in the specific case when all the sides are equal,
we have a square.
trapezoid
trapazium
parallelogram
rectangle
square
If there are more than 5 sides, there are no more classifications to add to the polygon that has all
the sides the same, except the description regular. For example a regular octagon is the polygon
that has eight equal sides.
CONEXION PARTS
Let's put this into practice and see how all the polygans that have been previously names are to be
found in the set:
Equilateral triangle
Rectangle
Isosceles triangle
Square
Rectangular or isosceles triangle
Regular pentagone
Regular hexagon
Conexion parts fit together like a a puzzle by means of a special connection, only the lengths have
to be taken into account, a hort one in most of the figures and another longer one on the greater
sides of the rectangle, the equal sides of the isósceles triangle and the different sides of the
rectangular triangle
Once teh colours are identified, start practising by joinin one piece to another in order to become
used to handling the connection. This will facilitate the assempbly of the polyhedrons even though
previous practice is through assempbling shapeless figures.
27
MOSAICS
In mathematics, mosaic refers to the covering of the plane that completes the shapes that are used to
cover, they are compositions with polygons or curved figures but the pieces can not be superimposed.
mosaic
mosaic
Many mosaics can be seen in our surroundings, the decoration of flooring, walls, rugs, etc.Besides
this, mosaics are of mathematical interest because we can observe geometrical shapes in daily life,
as well as rousing an interest in design.
The plane is unlimited, it has no edges but the paper or work top that we used is limited by its edges.
You must not therefore worry about the edges of the table but continue as through you can extend
the pattern indefinitely.
Regular mosaics
This is the name of the mosaics that are formed by using a simgle type of regular polygon.
Try out the conexion parts that you have got to expwriment the different mosaics you can form.
¿Which of the regular polygons allow for theplane to be covered with a mosaic?
You will observe that the only regular polygons that cover theplane are the equilateral triangles, the
squares and the hexagons. And also the rectangle, the rectangular and the isosceles triangle.
Square
Rectangle
Equilateral triangle
Isosceles triangle
28
Rectangle triangulo
Pentagone
Semiregular mosaics
A mosaic built with more than one type of regular polygon is called a semiregular mosaic. This is why it
is only necessary to take into account that the mosaic will be web built if it does not have gaps or
superimpositions, this is why it must comply with two conditions:
-In each vertex the same polygons appear in the same order.
-The sides of the polygons used must be of an equal length
29
Other mosaics
There are many different types of mosaics, either by using more than one type of regular polygon but in such
a way that in all the vertexes the same polygons in the same order coincide or because the polygons are not
regular.
Experiment with the parts and try to construct unusual compositions.
POLYHEDRONS
A polyhedron is a three-dimensional figure (it has width, lenght and height) formed by polygons joined by their
sides forming a closed figure with volume.
Each of the polygons that form the polyhedron is called a face, the point where two faces join is called an edge,
and the point where three or more faces join is called vertex and is the origin of an angle.
face
vertex
edge
Depending on how these angles are, the polyhedron can be convex or not. A polyhedron is convex if the straight
line that joins any two points of the polyhedron does not come out of the figure. The opposite of this would result
in a concave polyhedron.
Convex polyhedron
Concave polyhedron
30
Euler's Theorem.
There is a very important property known as Euler's Theorem that all convex polyhedrons fulfil,
"in all convex polyhedrons, the number of faces plus the number of vertexes equals the numbrer
of edges, plus two",
we symbolize it as follows C + V = A + 2.
As we indicate the constructions of the best known polyhedrons, we will se that this is the case. The
least number of polygons needed to form a polyhedron is four and the shape is called tetrahedron, if
it ihas six faces, a hexahedron, eight faces, a octahedron, with ten faces decahedron and so on.
If a polyhedron has equal faces and similar vertexes, we call it a regular polyhedron. There are only
five regular polyhedrons, that we will study separately, given their importance. They are known as
platonic solids.
Regular polyhedrons: platonic solids
It was Platon, the Greek, who in the IV century BC, discovered that only five regular polyhedrons can
be built, which today in his honour are called platonic solids; they are: regular tetrahedrons, regular
hexadrons or cubes, regular octahedrons, regular dodecahedrons and regular icosahedrons. Only
one kind of shape is needed to build each one of these polyhedrons, just as the tetrahedron,
octahedron and icosahedron can only be formed with equilateral triangles; the cube with
squares and the dodecahedron with regular pentagons.
Tetrahedron
Cube
Octahedron
Dodecahedron
Icosahedron
General characteristics of the platonic solids:
Al the faces are regular convex polygons. All the faces and angles are the same.
They are convex polyhedrons (same definition as before)
The angles are not greater than 180º.
They are completely regular, in other words, the image from each vertex is identical.
They comply with Euler's Theorem.
THE REGULAR TETRAHEDRON. The faces are equilateral triangles
Nº of faces: 4
Nº of vertexes: 4
Nº of edges: 6
Euler's Theorem: 4+4=6+2
Conexion parts to be used: 4
Flat representation
REGULAR HEXAHEDRON OR CUBE. The faces are square
Nº of faces: 6
Nº of vertexes: 8
Nº of edges: 12
Euler's Theorem:6+8=12+2
Conexion pieces to be used: 6
Flat representation
31
REGULAR OCTAHEDRON. The faces are equilateral triangles
Nº of faces: 8
Nº of vertexes: 6
Nº of edges: 12
Conexion pieces to be used: 8
Flat representation
REGULAR DODECAHEDRON. The faces are regular pentagons
Nº of faces: 12
Nº of vertexes: 20
Nº of edges: 30
Euler's Theorem:12+20=30+2
Flat representation
REGULAR ICOSAHEDRON. The faces are equilateral triangles
Nº of faces: 20
Nº of vertexes: 12
Nº of edges: 30
Flat representation
Combined polyhedrons are figures where the number of faces in one are the same as the number
of vertexes in the other. According to Euler's Theorem they must have the same umber of edges. So
we have the following combinations: Tetrahedron_Tetrahedron; Cube-Octahedron ad DodecahedronIcosahedron.
nº of faces = 6
nº of edges = 12
nº of faces = 6
nº of edges = 12
Begin the construction of the solids, joining the conexión pieces indicated above on a large flat surface,
creating volume. Another option is to join the pieces together one by one, working toward the final.
Use a variety of colours, mixing them in each side so that the sides are eye-catching. Change each
square from the cube for two triangular rectangles and you will be able to see how the shape is more
attractive is you nix the colours to your own taste.
32
SEMIREGULAR POLYHEDRONS
A polyhedron is semiregular if its sides are regular polygons of two or more sorts and its vertexes are
all similar because the polygons that coincide are equal. There is an infinite number as several groups
are included.
-Regular Prisms, with square or rectangular lateral sides with equal or parallel bases, are two regualr
polygons
-Antiprisms, with equilateral or isosceles triangular lateral sides and bases, also have two regular
parallel polygons but rotated in such a way that the vertex of each one is projected onto hte half
point of each side of the other.
-Star-shaped polyhedrons, are formed by substituting each face of a regular polyhedron for a
pyramid (without bse) os an equal number of faces as sides as the polygon that they substitute.
-Arquimedium solids, are created by cutting the corners of the regular polyhedrons.
We will begin the construction of the semi-regular polyhedronsn with this group which has a specific
number of parts.
Truncation
Truncation is the procedure where the corners of the regular polyhedrons are cut resulting in polyhedrons
with regular faces. Each vertex of the polyhedron is converted to a regular polygon with an equal number
of sides as the faces that meet at this vertex.
The resulting polyhedrons are differentiated depending if the plane that makes the cut runs through the
half point of the edge (type 1), or through a shorter distance (type 2).
tipe 1
tipe 2
ARQUIMEDIUM SOLIDS
Arquimedium solids arise from the modification of regular polyhedrons, cutting their corners, so that
solids with regular faces and all the vertexes equal are obtained. They are named after Archimedes
who discovered them
These polyhedrons are used as decorative elements on street lamps and other decorations, even the
official soccer ball is a polyhedron of this type formed by 20 triangles, 30 squares and 12 pentagons
which is called a small rhombicosidodecahedrons.
Nowadays 13 arquimedium solids are recognised but four of these use octagons and decagons for their
construction; these parts are not included in the conexión set , so details are not given.
Truncated icosahedron
Icosidodecahedron
Truncated tetrahedron
Snub dodecahedron
Truncated octahedron
Cuboctahedron
Small rhombicosidodecahedron
33
Snub cube
Small rhombicuboctahedron
Big rhombicosidodecahedron
Truncated dodecahedron
Big rhombicubectahedron
Truncated cube
Clasification
a) Arquimedium solids resulting from cutting the platonic solids by truncation type 1, the cut is made
along planes that run through the half points of the edgest that meet at each vertex.
CUBOTETRAHEDRON
Result of a truncation type 1 of a cube or an octahedron. If we truncate the cube, a triangle is obtained from
each vertex aqnd another square from each face. If we truncate the octahedron through each vertex a
square is obtained and another triangle from each face.
Nºof faces: 14
Nº of vertexes: 12
Nº of edges: 24
Eule's Theorem: 14+12=24+2
Conexion parts to use: 6 squares and 8 equilateral triangles
Flat representation
ICOSIDODECAHEDRON
Results of a truncation type 1 of an dodecahedron or the regular icosahedron. If we truncate the
dodecahedron calong each vertex, a triangle is the result and a pentagon from each face. If we
truncate the icosahedron, a pentagon results from each vertex and a triangle from each face.
Nº of faces: 32
Nº of vertexes: 30
Nº of edges: 60
Euler's theorem: 32+30=60+2
Conexión parts to be used: 20 equilateral triangles and 12 pentagons.
Flat representation
We have not named the truncation of the tetrahedron because an octahedron, which is a platonic solid, is
obtainerd. Arquimedium solids obtained cutting platonic solids by a truncation type 2, the cut is madewith a
sufficient distance so that regular polygons appear with double the sides that the polygon with the registered
polyhedrons faces have, with the distance to the smallest vertex than half the side.
34
TRUNCATED TETRAHEDRON
Obtained from a type 2 truncation of the regular tetrahedron, a triangle is obtained at each vertex and
a hexagon on each face.
Nº of faces: 8
Nº of vertexes:12
Nº of edges: 18
Conexión parts to be used; 4 hexagons and 4 equilateral
Flat representation
TRUNCATED OCTAHEDRON
Truncation type 2 of regular octahedron obtained a square at each vertex and a regular hexagon
for each face.
Nº of faces: 14
Nº of vertexes: 24
Nº of edges: 36
Conexión parts to be used: 8 hexagons and 6 square
Flat representation
TRUNCATED ICOSAHEDRON
Type 2 truncation of a regular icosahedron, a pentagon is obtained for each vertex and a regular
hexagon for each face.
Nº of faces: 32
Nº of vertexes: 60
Nº of edges: 90
Conexión parts to be used: 20 hexagons and 12 pentagons
Flat representation
We have not named the truncated cube or the truncated dodecahedron because octagons and
decagons appear that do not exist in the Conexion parts
35
RHOMBOIDS.
SMALL RHOMBICUBOTAHEDRON
This polyhedron results from truncating cubotahedron in a particular way and makins some
transformations. It is formed by squares and triangles.
Nº de faces: 26
Nº of vertexes: 24
Nº of edges : 48
Euler's theorem:26 +24=48+2
Conexión parts to be used: 18 squares and 8 equilateral triangles
Flat representation
The big rhombocosidodecahedron appears by modifying the cuboctahedron in a different way and by making other
sorts of transformations but squares, hexagons and octagons are used for its construction, this piece does not exist in
the Conexion set.
SMALL RHOMBICOSIDODECAHEDRON
This polyhedron results from truncating the icosidodecahedron in a particular way and making some
transformations. It is formed by pentagons, squares and triangles.
Nºof faces: 62
Nº of vertexes: 60
Nº of edges: 120
Conexión parts to be used: 12 pentagons, 30 squares and 20 equilateral triangles
Flat representation
The big rhombicosidodecahedron appears by modifying the icosidodecahedron in a different way and making other types of
transformations, but squares, hexagons and decagons are used in its construction, a piece not included in the Conexión set
36
SNUBS.
SNUB-CUBE
Formed by squares and triangles. This shape does not have symmetrical planes but it does have
rotational axis.
Nº of faces: 38
Nºof vertexes: 24º
Nº of edges: 60
Euler's theorem:38 +24=60+2
Conexión pieces to be used: 6 squares and 32 equilateral triangles
Flat representation
SNUB-DODECAHEDRON. Formed by pentagons and triangles. This shape does not have symmetrical
planes but it does have totational axis.
Nº of faces: 92
Nº of vertexes: 60
Nº of edges: 150
Conexión parts to be used: 12 pentagons and 80 equilateral triangles.
Flat representation
37
PRISMS
There is a particular type of polyhedrons called parallelepipedos . The main characteristic of
parallelepipedos is that they have two equal bases situated on parallel planes (the origin of its name)
that can be any polygon and the other lateral sides are parallelograms. If the bases are also one on
top of the other, the faces will be rectangular or square and the figures become prisms or straight
prisms. If, therefore, all the faces of a prism are regular, it is also a semi-regular polyhedron.
Prisms are the geometrical form that we are most accustomed to because buildings, shoe boxes,
tetra-brik, etc. are all rpism-shaped and not only human constructions but also Nature: the
crystallizations of some minerals, vegetable cells, the shell of many molluscs, insect eyes, etc.
Prisms are named according to the number of sides the polygons that forms their base has, so if the
base is square, the prism is called quadrangular. If this polygon is also regular (all the sides are the
same), we have a regular prism.
Let's see which prisms can be constructed with the conexión set of parts:
Triangular prisms:
Bases: equilateral triangles.
Lateral sides: square or rectangle.
Conexión parts to be used: 2 equilateral triangles and 3 squares or 3 rectangles.
Flat representation
Bases: isosceles triangles.
Lateral sides: a square and two rectangles.
Conexión parts to be used: 2 isosceles triangles, 1 square and 2 rectangles.
Flat representation
Bases: rectangular triangles
Lateral sides: two squares and a rectangle.
Conexión parts to be used: 2 rectangular triangles, 2 squares and 1 rectangle
Flat representation
38
Quadrangular prisms
Bases: square
Lateral sides: square or rectangles.
Conexión parts to be used: 6 squares or 2 sauqres and 4 rectangles
Flat representation
Bases: rombhus formed by two equilateral triangles
Lateral sides: square or rectangles
Conexión parts to be used: 4 equilateral triangles and 4 squares or 4 rectangles
Flat representation
Pengagonal prisms
Bases:pentagons
Lateral sides: squares or rectangles.
Conexión parts to be used: 2 pentagons and 5 squares or 5 rectangles
Flat representation
Hexagonal prisms
Bases: hexagons
Lateral sides : squares or rectangles
Conexión parts to be used: 2 hexagons and 6 squares or 6 rectangles
Flat representation
CHARACTERISTICS OF PRISMS
All the faces are convex polygons They are convex polyhedrons The angles are not greater than 180º They
comply with Euler's theorem : C + V = A + 2.
If you notice that joining two squares you obtain a rectangle, or by joining a square and a rectangle or two
rectangles, you can build many mor prisms using the bases of the previous primes and as lateral sides,
rectangles built by the union of two or more figures, so you will achieve "higher" prisms.
39
ANTIPRISMS.
Let's imagine that the sides of the square or rectangular faces of a prism are elastic or tht we could idstort
them by twisting the polygon from the base towards one side and the other polygon towards the other, the
resulting polyhedron, is called antiprism. In other words, a pris with equal bases, set one on top of the other
but with a different orientation and the lateral faces have been substituted for triangles. If the faces of the
original prism were square, we obtain equilateral triangles, and if they were rectangular, we will obtain
isosceles triangles.
The antiprisms that are formed by faces that are all regular polygons will be semi-regular polyhedrons.
Triangular antiprisms
Bases: equilateral triangles
Lateral faces: equilateral or isosceles triangles
Conexión parts to be used: 2 equilateral triangles adn 6 equilateral triangles or 6 isosceles triangles
Flat representation
Quadrangular antiprisms
Bases: squares
Conexión parts to be used: 2 squares and 8 equilateral triangles or isosceles triangles
Flat representation
Pentagonal antiprisms
Bases: pentagons
Lateral faces : equilateral or isosceles triangles
Conexión parts to be used: 2 pentagons and 10 equilateral triangles or 10 isosceles triangles
Flat representation
Hexagonal antiprisms
Bases: hexagons
Lateral faces : equilateral or isosceles triangles.
Conexión parts to be used: 2 hexagons and 12 equilateral triangles or 12 isosceles triangles
Flat representation
40
PYRAMIDS
The piramids are a particular type of polyhedrons that you probaby know well, because the Egyptians
used for their funeral monuments that are still of interest because they hold great mysteries. The main
feature of the pyramids is that they possess a base that they rest on and it can be any polygon and the
other faces are triangles that meet on a vertex situated on the base.
Pyramids are named according to the number of sides that the polygon forming the base has, so if the
base is square the pyramid is called quadrangular. Moreover, if the polygon is regular (all sides are
equal) we can it a regular pyramid.
If all the faces of the pyramid are regular polygons, then this pyramid is semi-regular polyhedron.
The vertex of the pyramid is the point where the faces meet and it is situated above the case. If we
trace a perpendicular line to the base, from there to the vertex, passing through the centre of the base
of the polygon, the pyramid is straight, if not, the pyramid will have an inclined aspect
Pyramids that can be formed with the conexión parts are:
Triangular pyramids
Base: equilateral triangle
Conexión parts to be used: 1 equilateral triangles and 3 equilateral triangles or 3 isosceles triangles
Flat representation
Base: rectangular triangle
Lateral sides: two equilateral triangles or one rectangle
Conexión parts to be used: 2 rectangle triangles and 2 equilaterl triangles.
Flat representation
Base: isosceles triangle
Lateral faces: isosceles triangles.
Conexión parts to be used: 4 isosceles triangles.
Flat representation
.
41
Base: isosceles triangle
Lateral faces: an equilateral triangle and two rectangles.
Conexión parts to be used: 1 isosceles triangle, 2 rectangular triangles and 1 equilateral triangle
Flat representation
Quadrangular pyramids
Base:square
Conexión parts to be used: 1 square and 4 equilateral triangles or 4 isosceles triangles.
Flat representation
Base: square
Lateral faces: equilateral triangles, rectangles and isosceles
Conexión parts to be used: 1 square and 1 equilateral triangle, 2 rectangular triangles and 1 isosceles.
Flat representation
Base:rectangle
Lateral faces: rectangular and equilateral triangles:
Conexión parts to be used: 1 rectangle, 2 equilateral triangles and 2 rectangular triangles
Flat representation
42
Base: rectangle
Lateral faces: equilateral and isosceles triangles.
Conexión parts to be used: 1 rectangle and 3 isosceles triangles and 1 equilateral triangle
Flat representation
Pentagonal pyramids
Base: pentagon
Lateral faces: isosceles or equilater triangles
Conexión parts to be used: 1 pentagon and 5 isosceles triangles
Flat representation
Hexagonal pyramids
Base:hexagon
Lateral faces: isosceles triangle
Conexión parts to be used: 1 hexagon and 6 isosceles triangles
Flat representation
The hexagonal pyramid can no be constructed with equilateral tirangle faces
Characteristics of the pyramids
All the faces are convex
They are convex poilyhedrons
The angles are not greater than 180º
They comply with Euler's theorem, C + V = A + 2.
43
BIPYRAMIDS
If we take two pyramids with identical bases, we remove the bases and we join the pyramids at the
bases, we get a shape called bypiramid. If tehy are triangular the bipyramid is called triangular, if
they are square, quadrangular and so on.
Bipyramids that can be formed with the conexión parts are:
Triangular bipyramids
Two triangular pyramids of equilateral triangles (6 equilateral triangles)
Flat representation
An equilateral pyramid and another isosceles pyramid (3 equilateral triangles and 3 isosceles )
Flat representation
Two pyramids of isosceles triangles(6 isosceles triangles)
Flat representation
Square bipyramids
Two square pyramids of equilateral triangles (68 equilateral triangles)
Flat representation
An equilateral pyramid and an isosceles pyramid (4 equilateral triangles and 4 isosceles)
Flat representation
44
Two pyramids of isosceles triangles ( 8 isosceles triangles)
Flat representation
Pentagonal bipyramids
Two pentagonal pyramids of equilateral triangles (10 equilateral triangles)
Flat representation
A pyramid of equilaterals and another of isosceles ( 5 equilateral triangles and 5 isosceles)
Flat representation
Two pyramids of isosceles triangles (10 isosceles triangles)
Flat representation
Hexagonal bipyramid
Two hexagonal pyramids of isosceles triangles
Flat representation
45
STAR-SHAPED POLYHEDRONS
If on each of the faces of a regular tetrahedron you build a triangular pyramid with a fourpoint star, a star´shaped tetrahedron. From the same shape we can construct pyramids on
the faces of the other four remaqining regular polyhedrons obtaining a star-shaped cube,
the star-shaped octahedron, the star-shaped dodecahedron and the star-shaped icosahedron,
figures of great beauty. To form these polyhedrons you only need triangles, equilateral or
isosceles.
We can obtain the star in a similar way by constructing the corresponding pyramids on the faces of
the arquimediums mentioned earlier.Examples:
Truncated tetrahedron
Cubostahedron
Star-shaped truncated tetrahedron.
Star-shaped cuboctahedron
An important characteristic of these polyhedrons is that they are cocave, unlike those that we have
built up to now, which were convex.
Star-shaped tetrahedron(12 triangles)
Star-shaped cube (24 triangles)
Star-shaped octahedron (24 triangles)
Star-shaped dodecahedron (60 triangles)
Star-shaped icosahedron (60 triangles)
46
DELTAHEDRONS
These are a family of polyhedrons that are built using only equilateral triangles. They are called this
because the capital deltadetter in Greek is represented by a triangle.
There are only 8 convex deltahedrons, some of which have been seen before.
tetrahedron (4 triangles)
triangular bipyramid (6 triangles)
octahedron (8 triangles)
pentagonal bipyramid(10 triangles)
siamese dodecahedron
(12 triangles)
triaumentated triangular prism
(14 triangles)
icosahedron
(20 triangles)
turned square bipyramid
(16 triangles)
OTHER POLYHEDRONS
There are infinite polyhedrons and this is why it is impossible to classify and to name them all. We have done
it before with some polyhedrons, maintaining a certain regularity on the faces, on the vertexes or on the
polygons that form the faces. But other attractive polyhedrons also be formed and we can classify based on
other criteria.
VARIOUS CONSTRUCTIONS
If you have got this far constructing all the polyhedrons that we have shown you, then you have widened
your knowledge of geometry more than you could have imagined, things never learnt in a conventional
mathematics class.
For this reason and because you deserve it, we propose that from now on you play with conexion set
of pieces as you wish, constructing buildings, recipients, figures, etc.... but do not forget, however, to
look for geometrical motifs or if they belong to any of the groups you have studied, in a way that you can
have fun and apply your previously studied knowledge at the same time.
Enjoy yourself and congratulations for a job well done.
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INTRODUCTION
La Géométrie est la partie des mathématiques qui se consacre à l'étude des formes existant dans
l'espace, leurs mesures et la relation qu'elles peuvent avoir entre elles. C'est pourquoi, étant donné
qu'il s'agit d'essayer de classer tous les corps qui existent selon leurs dimensions, leurs angles, leurs
caractéristiques, leurs similitudes et leurs différences avec d'autres corps, nous nous trouvons en
face de la partie la plus intéressante des mathématiques du fait qu'elle s'oriente vers des objets que
nous utilisons tous les jours, que nous pouvons toucher, mesurer, observer ; en somme, des objets
qui existent autour de nous.
LES POLYGONES
Les polygones sont des figures géométriques planes (elles ont uniquement deux dimensions : largeur et
longueur) et sont délimitées par une ligne polygonale fermée.
Ligne polygonale ouverte
Ligne polygonale fermée
Chaque segment qui constitue la polygonale est appelé côté du polygone, les sommets sont le point d'union
de deux côtés et constituent un angle. En fonction des angles (inférieurs ou supérieurs à 180º) le polygone
obtenu est convexe (tous les angles sont inférieurs à 180º) ou concave (un angle, au moins, est
supérieur à 180º).
Polygone concave
Polygone convexe
On peut aisément vérifier qu'il suffit de trois côtés pour former un polygone.
Classement des polygones
Le nom des polygones dépend du nombre de côtés dont ils disposent : nous aurons donc les triangles,
polygones à trois côtés, quadrilatères, avec quatre côtés ; pentagones, s'il y en a cinq, hexagones,
avec six côtés, et ainsi de suite.
triangles
quadrilatères
pentagones
hexagones,
Parmi les triangles, on distingue une autre catégorie en fonction de la longueur des côtés : si les trois
sont égaux, on dit que le triangle est équilatéral, si deux sont égaux seulement, on dit qu'il est isocèle
et si les trois côtés sont différents, on dit qu'il est scalène.
scalène
équilatéral
isocèle
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En outre, les triangles peuvent être classés en fonction de leurs angles qui sont : acutangles si tous
les angles sont aigus (moins de 90°), obtusangles si un angle est obtus (plus de 90º) ou rectangle
s'il y a un angle droit (de 90º).
obtusángle
acutangle
rectangle
Parmi les quadrilatères, le classement tient compte de comment sont situés les côtés. S'il n'y a aucun
côté parallèle, on l'appelle trapézoïde, s'il y en a deux seulement, trapèze et si les côtés sont parallèles
deux à deux, on l'appelle parallélogramme. Si un parallélogramme a quatre angles droits, il est alors
rectangle et les côtés sont égaux deux à deux. Si, en plus, tous les côtés sont égaux, nons avons un
carré.
trapézoïde
trapèze
parallélograme
rectangle
carré
À partir de cinq côtés et plus, il n'existe pas de classement supplémentaire outre l'ajout du qualificatif
régulier au polygone ayant tous les côtés égaux. Par exemple, l'octogone régulier est un polygone
ayant les huit côtés égaux.
PIÈCES CONEXION
Passons maintenant à la pratique et voyons quels sont les polygones ci-dessus référencés que nous
allons trouver dans le coffret :
Triangle équilatéral
Rectangle
Triangle Isocèle
Carré
Triangle Rectangle et Isocèle
Pentagone régulier
Hexagone régulier
Les pièces Conexion s'emboîtent les unes dans les autres comme s'il s'agissait d'un puzzle, grâce
à un crochet particulier. Il suffit de tenir compte des longueurs, une courte dans la plupart des figures,
et une plus longue sur les côtés les plus grands du rectangle, les côtés égaux du triangle isocèle et
le côté différent du triangle rectangle.
À présent que tu disposes des pièces identifiées, commence à essayer de les unir pour te familiariser
avec le crochet. L'assemblage des polyèdres te paraîtra plus facile après avoir essayé des figures
même si elles ne ressemblent à rien.
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MOSAÏQUES
En mathématiques, on parle de mosaïque lorsqu'on recouvre la surface plane des figures.Ce sont des
compositions avec des polygones ou des figures courbes mais sans superposer de pièces.
mosaïque
mosaïque
Il est possible de voir de nombreuses mosaïques autour de nous : dans la décoration des sols, des murs,
des tapis, etc. De plus, les mosaïques présentent un intérêt mathématique car elles nous permettent
d'observer des formes géométriques dans la vie de tous les jours, de même que cela intensifie l'intérêt
pour la création. Le plan est illimité, il n'a pas de bords tandis que le papier ou le bureau que nous utilisons
est limité par des bords. C'est pourquoi, tu ne dois pas t'inquiéter de ce qui se passe au bord de la table,
tu dois faire comme si tu pouvais continuer ton dessin indéfiniment.
Mosaïques régulières
On appelle ainsi les mosaïques que l'on fait en utilisant seulement le polygone régulier. Essaie avec les
pièces Conexion que tu as sous la main de réaliser les mosaïques régulières.
Quels sont les polygones réguliers qui te permettent de couvrir le plan avec une mosaïque ?
Tu observeras que les seuls polygones réguliers qui recouvrent le plan sont des triangles équilatéraux,
des carrés et des hexagones, de même que le rectangle, le triangle rectangle et le triangle isocèle.
Rectangle
Carré
Triangle equiláteral
Triangle isoscèle
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Triangle rectangle
Hexagone
Mosaïques semi-régulières
Une mosaïque construite en utilisant plus d'un type de polygone régulier est appelé mosaïque semi régulière.
Pour cela, on doit considérer que la mosaïque sera bien construite s'il ne reste aucun trou ni superposition,
il faut donc respecter deux conditions :
- À chaque sommet, les mêmes polygones apparaissent dans le même ordre.
- Les côtés des polygones utilisés doivent avoir la même longueur.
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Autres mosaïques
Il existe de nombreux types de mosaïques, soit à partir de plus d'un polygone régulier mais de sorte
qu'à tous les sommets, les polygones se retrouvent bien dans le même ordre, soit à partir de
polygones irréguliers.
Essaie avec tes pièces de faire des compositions originales.
LES POLYÈDRES
Un polyèdre est une figure tridimensionnelle (largeur, longueur et hauteur) constitué par des
polygones qui, une fois unis par les côtés, forment une figure fermée ayant du volume. Chacun
des polygones formant le polyèdre s'appelle une face, le point d'union de deux faces s'appelle
une arête, et le point de rencontre de trois faces ou plus, un sommet d'ou est issu l'angle.
face
angle
arête
En fonction de ces angles, le polyèdre peut être convexe ou pas. Un polyèdre est convéxe si en
prenant deux points quelconques du polyèdre, la ligne droite qui les unit ne "sort" pas de la figure.
Dans le cas contraire, il est concave.
polyèdre convéxe
polyèdre concave
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Le Théorème d'Euler.
Il existe une propriété très importante connue sous le nom de Théorème d'Euler relatif aux polyèdres
convexes. Elle dit ceci :
"dans tout polyèdre convexe, la somme du nombre de faces et du nombre de
sommets est égale au nombre d'arêtes plus deux",
nous l'écrirons symboliquement comme suit : C+V=A+2.
Au fur et à mesure que nous indiquerons la construction des polyèdres les plus connus, nous
vérifierons cette affirmation. Le nombre minimum de polygones nécessaires pour constituer un
polyèdre est de quatre, la figure s'appelle alors tétraèdre ; s'il y a six faces, c'est un hexaèdre ; s'il
y en a huit, c'est un octoèdre ; s'il y en a dix, c'est un décaèdre et ainsi de suite.
Si un polyèdre a toutes ses faces égales et les sommets semblables, nous l'appelons polyèdre régulier.
Il existe seulement cinq polyèdres réguliers, que nous étudierons à part étant donné leur importance,
ce sont les solides platoniques.
POLYÈDRES RÉGULIERS : les solides platoniques
Ce fut le grec Platon, au IV° siècle avant J.-C., qui découvrit qu'il était possible de construire uniquement
cinq polyèdres réguliers. C'est en son honneur que nous les appelons solides platoniques : tétraèdre
régulier, hexaèdre régulier ou cube, octaèdre régulier, dodécaèdre régulier et icosaèdre régulier.
Pour la construction de chacun de ces polyèdres, il te faut une seule figure :
le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre se forment uniquement avec des triangles équilatéraux ; le cube
avec des carrés et le dodécaèdre avec des pentagones réguliers
Tétraèdre
Cube
Octaèdre
Dodécaèdre
Icosaèdre
Caractéristiques générales des solides platoniques
Toutes les faces sont des polygones réguliers convexes
Toutes les faces et les angles sont égaux
Ce sont des polyèdres convexes (même définition que précédemment)
Les angles ne dépassent pas 180º
Ils sont entièrement réguliers, c'est-à-dire que l'aspect depuis chaque sommet est identique
Ils respectent le théorème d'Euler
LE TÉTRAÈDRE RÉGULIER. Les faces sont des triangles équilatéraux
Nº de Faces : 4
Nº de Sommets : 4
Nº de Arêtes : 6
Théorème d'Euler : 4+4=6+2
Pièces Conexion à utiliser : 4
Représentation plane
L'HEXAÈDRE REGULIER OU CUBE. Les faces sont des carrés
Nº de Faces : 6
Nº de Sommets : 8
Nº de Arêtes : 12
Théorème d'Euler :6+8=12+2
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L'OCTAÈDRE RÉGULIER. Les faces sont des triangles équilatéraux
Nº de Faces : 8
Nº de Sommets : 6
Nº de Arêtes : 12
LE DODÉCAÈDRE RÉGULIER. Les faces sont des pentagones réguliers
Nº de Faces : 12
Nº de Sommets : 20
Nº de Arêtes : 30
Théorème d'Euler :12+20=30+2
L'ICOSAÈDRE RÉGULIER. Les faces sont des triangles équilatéraux
Nº de Faces: 20
Nº de Sommets: 12
Nº de Arêtes: 30
Théorème d'Euler: 20+12=30+2
Pièces Conexion à utiliser: 20
On appelle polyèdres conjugués ceux dont le nombre de faces de l'un est identique au nombre de
sommets de l'autre. Selon le Théorème d'Euler ils doivent avoir le même nombre d'arêtes. C'est
pourquoi nous avons les polyèdres conjugués suivants : Tétraèdre-Tétraèdre; Cube-Octaèdre et
Dodécaèdre-Icosaèdre.
nº de faces = 6
nº de arêtes = 12
nº de faces = 6
nº de arètes = 12
Commence la construction des solides, en assemblant les pièces Conexion des formes ci-dessus
mentionnées sur une surface plane et ensuite, donne-leur peu à peu du volume. Ou bien, unis pièce
après pièce, jusqu'à arriver à la forme finale.
Joue aussi avec les couleurs en les mélangeant sur les faces, tes figures en seront plus attrayantes.
Échange chaque carré du cube par deux triangles rectangles et tu verras comme la figure est jolie
si tu joues avec les couleurs.
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POLYÈDRES SEMI-RÉGULIERS
Un polyèdre est semi-régulier si ses faces sont des polygones réguliers de deux types ou plus, que
ses sommets sont tous identiques et que les polygones qui y convergent sont égaux. Il en existe un
nombre infini et plusieurs groupes apparaissent alors :
Les Prismes Réguliers, dont les faces latérales sont des carrés ou des rectangles et dont les bases,
égales et parallèles, sont des polygones réguliers.
Les Anti-prismes, dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux ou isocèles et dont les
bases sont aussi des polygones réguliers parallèles, mais orientés de telle sorte que chaque sommet
de l'une se projette au milieu de chaque côté de l'autre.
Les Polyèdres Étoilés, qui se forment en remplaçant chaque face de polyèdre régulier par une
pyramide (sans base) au nombre égal de faces que de côtés du polygone qu'elle remplace.
Les Solides archimédiens, obtenus en coupant les coins des polyèdres réguliers.
Nous commencerons la construction des polyèdres semi-réguliers par ce groupe-ci, ayant un nombre
précis de corps.
La troncature
La troncature consiste à couper les coins des polyèdres réguliers de façon à obtenir des polyèdres aux
facettes régulières. Chaque sommet du polyèdre de départ devient un polygone régulier au nombre de
côtés identique au nombre de faces se rejoignant à ce sommet.
Les polyèdres obtenus se distinguent en fonction de la troncature : si elle passe par le milieu de l'arête
(type 1) ou par un point de distance inférieure (type 2).
type 1
type 2
LES SOLIDES ARCHIMÉDIENS
Les solides archimédiens s'obtiennent en modifiant les polyèdres réguliers dont on coupe les coins
pour avoir des solides aux faces régulières et aux sommets identiques. Ils doivent leur nom à
Archimède qui fut le premier à les découvrir.Ces polyèdres sont utilisés comme éléments décoratifs
pour des lanternes et autres décorations.
Même le ballon officiel de football est un polyèdre constitué de 20 triangles, 30 carrés et 12 pentagones
et s'appelle petit rhombicosidodécaèdre.
Actuellement, on dénombre 13 solides archimédiens mais quatre d'entre eux utilisent des octogones
et des décagones pour leur construction. Ces pièces n'apparaissant pas dans le coffret Conexion,
nous n'en parlerons pas.
icosaèdre tronqué
icosidodécaèdre
tétraèdre tronqué
snub dodécaèdre
octaèdre tronqué
cuboctaèdre
petit rhombicosidodécaèdre
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snub cube
petit rhombicuboctaèdre
grand rhombicosidodécaédre
dodécaédre tronqué
grand rhombicuboctaédre
cube tronqué
CLASSEMENT
a) Solides archimédiens obtenus en coupant les solides platoniques selon une troncature de type 1, la
coupure s'effectue par le milieu des arêtes qui convergent à chaque sommet.
CUBOCTAÈDRE
On l'obtient en réalisant une troncature de type 1 sur un cube ou un octaèdre. Si nous coupons le
cube, à chaque sommet on obtient un triangle et un carré à chaque facette. Si nous coupons
l'octaèdre, à chaque sommet on obtient un carré et un triangle à chaque facette.
Nº de Facettes : 14
Nº de Sommets : 12
Nº de Arêtes : 24
Pièces Conexion à utiliser : 6 carrés et 8 triangles équilatéraux
ICOSIDODÉCAÈDRE. On l'obtient en réalisant une troncature de type 2 sur un dodécaèdre ou un
icosaèdre régulier. Si nous coupons le dodécaèdre, à chaque sommet on obtient un triangle et un pentagone
à chaque facette. Si nous coupons l'icosaèdre, à chaque sommet on obtient un pentagone et un triangle à
chaque facette.
Nº de Sommets : 30
Nº de Arêtes : 60
Pièces Conexion à utiliser : 20 triangles équilatéraux et 12 pentagones
Nous n'avons pas parlé de la troncature du tétraèdre car on obtient un octaèdre qui est un solide platonique.
b) Solides archimédiens obtenus en coupant les solides platoniques selon une troncature de type 2,
la coupure s'effectue à une distance adéquate pour qu'apparaissent des polygones réguliers ayant
le double de côtés par rapport aux facettes du polyèdre de départ, la distance jusqu'au sommet
étant inférieure à la moitié du côté.
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TÉTRAÈDRE TRONQUÉ
On l'obtient en réalisant une troncature de type 2 sur le tétraèdre régulier. On obtient à chaque
sommet un triangle et à chaque facette un hexagone.
Nº de Facettes : 8
Nº de Sommets : 12
Nº de Arêtes : 18
Pièces Conexion à utiliser : 4 hexagones et 4 triangles équilatéraux
OCTAÈDRE TRONQUÉ
Troncature de type 2 sur un octaèdre régulier. A chaque sommet, on obtient un carré et à chaque
facette, un hexagone régulier.
Nº de Sommets : 24
Nº de Arêtes : 36
Pièces Conexion à utiliser : 8 hexagones et 6 carrés
ICOSAÈDRE TRONQUÉ
Troncature de type 2 sur un icosaèdre régulier. A chaque sommet, on obtient un pentagone et à
chaque facette un hexagone régulier.
Nº de Sommets : 60
Nº de Arêtes : 90
Pièces Conexion à utiliser : 20 hexagones et 12 pentagones
Nous n'avons pas parlé du cube tronqué ni du dodécaèdre tronqué parce qu'ils s'obtiennent à partir d'octogones
et de décagones absents dans les Pièces Conexion.
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LES RHOMBES
PETIT RHOMBICUBOCTAÈDRE
Ce polyèdre s'obtient si l'on tronque un cuboctaèdre d'une certaine façon et après avoir fait
quelques transformations. On a besoin de carrés et de triangles.
Nº de Sommets : 24
Nº de Arêtes : 48
Théorème d'Euler : 26 +24=48+2
Le grand rhombicuboctaèdre s'obtient en transformant le cuboctaèdre autrement, mais dans sa construction,
on utilise des carrés, des hexagones et des octogones, ces derniers étant absents dans le coffret Connexion.
PETIT RHOMBICOSIDODÉCAÈDRE
Ce polyèdre s'obtient si l'on tronque l'icosidodécaèdre d'une certaine façon et après avoir fait
quelques transformations. On utilise des pentagones, des carrés et des triangles.
Nº de Sommets : 60
Nº de Arêtes : 120
Pièces Conexion à utiliser : 12 pentagones, 30 carrés et 20 triangles équilatéraux
Le grand rhombicosidodécaèdre s'obtient en transformant l'icosidodécaèdre autrement, mais dans sa
construction, on utilise des carrés, des hexagones et des décagones, ces derniers étant absents dans
le coffret Conexion.
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LES APLATIS
SNUB-CUBE ou CUBE APLATI
On utilise des carrés et des triangles. C'est une figure qui n'a aucun plan symétrique, par contre elle a des
axes de rotation.
Nº de Sommets : 24
Nº de Arêtes : 60
Théorème d'Euler : 38 +24=60+2
SNUB-DODÉCAÈDRE ou DODÉCAÈDRE APLATI
On utilise des pentagones et des triangles. C'est une figure qui n'a aucun plan symétrique, par contre elle a
des axes de rotation.
Nº de Sommets : 60
Nº de Arêtes : 150
Pièces Conexion à utiliser : 12 pentagones et 80 triangles équilatéraux
59
LES PRISMES
Il existe un cas particulier de polyèdres appelés parallélépipèdes. La caractéristique principale des
parallélépipèdes est de posséder deux bases égales situées sur des plans parallèles (d'où leur nom)
pouvant être n'importe quel polygone. Les autres faces latérales sont des parallélogrammes. Si les bases
sont situées l'une au-dessus de l'autre, les faces seront rectangulaires ou carrées et on a alors des figures
appelée prismes ou prismes droits. Donc, si un prisme a toutes les faces régulières, c'est aussi un polyèdre
semi-régulier.
Les prismes sont la forme géométrique la plus courante car les chambres, les édifices, les boîtes à
chaussures, les tetra-brik, etc, ont la forme d'un prisme et se retrouvent non seulement dans des
constructions humaines mais aussi dans la nature : les cristallisations de certains minéraux, les
cellules végétales, la coquille de certains molusques, les yeux des insectes, etc.
Le nom des prismes dépend du nombre de côtés du polygone qui sert de base ; ainsi, si la base
est carrée, on parlera de prisme quadrangulaire. Si en plus ce polygone est régulier (tous les côtés
égaux), nous obtiendrons un prisme régulier.
Voyons quels prismes nous pouvons construire avec le coffret de pièces Conexion.
Prismes triangulaires :
Bases: triangles équilatéraux
Faces latérales : carrés ou rectangles
Pièces Conexion à utiliser : 2 triangles équilatéraux et 3 carrés ou 3 rectangles
Bases : triangles isocèles
Faces latérales : un carré et deux rectangles
Pièces Conexion à utiliser : 2 triangles isocèles, 1 carré et 2 rectangles
Bases : triangles rectangles
Faces latérales : deux carrés et un rectangle
Pièces Conexion à utiliser : 2 triangles rectangles, 2 carrés et 1 rectangle
60
Prismes quadrangulaires
Bases : carrés
Faces latérles : carrés ou rectangles
Pièces Connexion à utiliser : 6 carrés ou 2 carrés et 4 rectangles
Bases : rhombes formés par deux triangles équilatéraux
Pièces Conexion à utiliser : 4 triangles équilatéraux et 4 carrés ou 4 rectangles
Prismes pentagonaux
Bases : pentagones
Pièces Conexion à utiliser : 2 pentagones et 5 carrés ou 5 rectangles
Prismes hexagonaux
Bases : hexagones
Pièces Conexion à utiliser : 2 hexagones et 6 carrés ou 6 rectangles
CARACTÉRISTIQUES DES PRISMES
Toutes les faces sont des polygones convexes. Les angles ne dépassent pas 180º. Ils respectent le
Théorème d'Euler : C + V = A + 2.
Si tu observes qu'en réunissant deux carrés tu obtiens un rectangle, ou bien en réunissant un carré et un
rectangle ou deux rectangles, tu peux construire de nombreux prismes en utilisant les bases des prismes
antérieurs et comme faces latérales, des rectangles obtenus avec deux figures ou plus, tu réussiras à avoir
des prismes "plus hauts"
61
LES ANTI-PRISMES
Imaginons que les côtés des faces carrées ou rectangulaires d'un prisme soient élastiques et que nous
puissions orienter le polygone de la base d'un côté et l'autre polygone de l'autre côté, on obtiendrait un
anti-prisme. C'est un prisme à deux bases égales placées l'une au-dessus de l'autre mais avec une orientation
différente et des faces latérales remplacées par des triangles. Si les faces du prisme de départ sont des carrés,
nons obtenons des triangles équilatéraux ; si ce sont des rectangles, nous obtiendrons des triangles isocèles.
Les anti-prismes formés avec des polygones réguliers comme faces sont des polyèdres semi-réguliers.
Anti-prismes triangulaires
Bases : triangles équilatéraux
Faces latérales : triangles équilatéraux ou isocèles
Pièces Conexion à utiliser : 2 triangles équilatéraux et 6 équilatéraux ou 6 isocèles
Anti-prismes quadrangulaires
Bases : carrés
Pièces Conexion à utiliser : 2 carrés et 8 triangles équilatéraux ou isocèles
Anti-prismes pentagonaux
Bases : pentagones
Pièces Conexion à utiliser : 2 pentagones et 10 triangles équilatéraux ou isocèles
Anti-prismes hexagonaux
Bases : hexagones
Pièces Conexion à utiliser : 2 hexagones et 12 triangles équilatéraux ou isocèles
62
LES PYRAMIDES
Les pyramides sont un type particulier de polyèdres que tu connais bien car les Egyptiens les utilisaient pour
leurs monuments funéraires qui conservent jalousement encore aujourd'hui des mystères. La caractéristique
principale des pyramides est qu'elles possèdent une base sur laquelle elles s'appuient, base pouvant être
n'importe quel polygone, les autres faces étant des triangles qui se rejoignent au sommet.
Le nom des pyramides dépend du nombre de côtés du polygone qui constitue leur base, ainsi si la
base est carrée la pyramide sera quadrangulaire. De plus, si le polygone est régulier (tous les côtés
sont égaux), il s'agit d'une pyramide régulière.
Si toutes les faces de la pyramide sont des polygones réguliers, alors on parle de polyèdre semirégulier. . Le sommet de la pyramide est le point de rencontre de toutes les faces et il se trouve sur
la base. Si nous traçons une ligne perpendiculaire à la base depuis celle-ci jusqu'au sommet, cette
ligne reçoit le nom de hauteur de la base. Si cette hauteur en plus de passer par le sommet passe
par le centre du polygone de la base, alors la pyramide est droite ; sinon, elle sera inclinée.
Ainsi les pyramides que tu peux construire grâce à tes pièces Connexion sont :
Pyramides triangulaires
Base : triangle équilatéral
Pièces Conexion à utiliser : 1 triangle équilatéral et 3 équilatéraux ou isocèles
Base : triangle rectangle
Faces latérales : deux triangles équilatéraux et un triangle rectangle
Pièces Conexion à utiliser : 2 triangles rectangles et 2 triangles équilatéraux
Base : triangle isocèle
Faces latérales : triangles isocèles
Pièces Conexion à utiliser : 4 triangles isocèles
63
Base : triangle isocèle
Faces latérales : un triangle équilatéral et deux triangles rectangles
Pièces Conexion à utiliser : 1 triangle isocèle, 2 triangles rectangles et 1 équilatéral
Pyramides quadrangulaires
Base : carré
Pièces Conexion à utiliser : 1 carré et 4 triangles équilatéraux ou isocèles
Base : carré
Faces latérales : triangles équilatéraux, rectangles et isocèles
Pièces Conexion à utiliser : 1 carré et 1 triangle équilatéral, 1 triangle isocèle et 2 triangles rectangles
Base : rectangle
Faces latérales : triangles rectangles et équilatéraux
Pièces Conexion à utiliser : 1 rectangle, 2 triangles équilatéraux et 2 triangles rectangles
64
Base : rectangle
Faces latérales : triangles équilatéraux et isocèles
Pièces Conexion à utiliser : 1 rectangle et 3 triangles isocèles et 1 triangle équilatéral
Pyramides pentagonales
Base : pentagone
Pièces Conexion à utiliser : 1 pentagone et 5 triangles isocèles
Pyramides hexagonales
Base : hexagone
Pièces Conexion à utiliser : 1 hexagone et 6 triangles isocèles
Impossible de construire la pyramide pentagonale et hexagonale avec des triangles équilatéraux pour faces
CARACTÉRÍSTIQUES DES PYRAMIDES
Toutes les faces sont des polygones convexes. Ce sont des polyèdres convexes. Les angles ne dépassent
pas 180º. Elles respectent le Théorème d'Euler, C + V = A + 2.
65
BI-PYRAMIDES
Prenons deux pyramides à base identique, nous ôtons les bases et nous joignons les deux pyramides
par les bases, nous obtenons alors une figure nommée bi-pyramide. Si elles sont triangulaires, la
bi-pyramide sera triangulaire, si elles sont carrées, quadrangulaire et ainsi de suite.
Les bi-pyramides que nous pouvons former avec les pièces Conexion sont :
Bi-pyramides triangulaires
Deux pyramides triangulaires à triangles équilatéraux 6 triangles équilatéraux
Une pyramide à triangles équilatéraux et une autre à triangles isocèles 3 triangles équilatéraux et 3 isocèles
Deux pyramides à triangles isocèles 6 triangles isocèles
Bi-yiramides carrées
Deux pyramides carrées à triangles équilatéraux 68 triangles équilatéraux
66
Deux pyramides à triangles isocèles triangles isocèles
Bi-pyramides pentagonales
Deux pyramides pentagonales à triangles équilatéraux 10 triangles équilatéraux
Deux pyramides à triangles isocèles 10 triangles isocèles
Bi-pyramide hexagonale
Deux pyramides hexagonales à triangles isocèles.
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LES POLYÈDRES ÉTOILÉS
Si à chacune des faces d'un tétraèdre régulier tu construis une pyramide triangulaire, tu obtiendras une figure
en forme d'étoiles à quatre branches, c'est un tétraèdre étoilé. De la même façon, tu peux construire des
pyramides sur les faces des quatre polyèdres réguliers restants et obtenir un cube étoilé, un octaèdre étoilé,
un dodécaèdre étoilé et un icosaèdre étoilé, figures de toute beauté.
Pour la formation de ces polyèdres, tu as uniquement besoin de triangles, soit équilatéraux, soit isocèles.
De la même façon, en construisant des pyramides correspondant aux faces des solides archimédiens
déjà cités, tu obtiendras leur correspondant étoilé. Exemples:
Tétraèdre tronqué
Cuboctaèdre
Tétraèdre tronqué étoilé.
Cuboctaèdre étoilé.
Une caractéristique importante de ces polyèdres est qu'ils sont concaves, à la différence de tous ceux
que nous avons construits jusqu'à présent qui étaient convexes.
Tétraèdre étoilé (12 triangles)
Cube étoilé (24 triangles)
Octaèdre étoilé (24 triangles)
Dodécaèdre étoilé (60 triangles)
Icosaèdre étoilé (60 triangles)
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LES DELTAÈDRES
Il s'agit d'une famille de polyèdres qui se construisent en utilisant uniquement des triangles équilatéraux
pour leurs faces. On les appelle ainsi parce qu'en grec la lettre delta majuscule ressemble à un triangle.
Il n'y a que 8 deltaèdres convexes, certains d'entre eux ont déjà été vus.
tétraèdre (4 triangles)
octaèdre (8 triangles)
dodécaèdre siamois (12 triangles)
bi-pyramide triangulaire (6 triangles)
bi-pyramide pentagonale (10 triangles)
prisme triangulaire grossi 3 fois
(14 triangles)
bi-pyramide carrée orienté
(16 triangles)
eicosaèdre(20 triangles)
AUTRES POLYÈDRES
Il y a une infinité de polyèdres, et par conséquent, il est impossible de les classer ou de tous les nommer.
Plus haut, nous avons réfléchi avec quelques-uns d'entre eux sur des formes assez régulières dans les faces,
les sommets ou les polygones mais on peut réaliser d'autres polyèdres tout autant attractifs et que nous
classerons selon d'autres critères.
CONSTRUCTIONS DIVERSES
Si tu es arrivé jusque-là en construisant tous les polyèdres que nous t'avons montrés, tu as approfondi
tes connaissances en géométrie au-delà de ce que tu aurais pu imaginer apprendre en cours de
mathématiques traditionnel.
C'est pourquoi, et parce que tu le mérites, nous te proposons à présent de jouer avec les pièces
Conexion comme il te plaît : construis des édifices, des récipients, des figures, etc... mais n'oublie
pas de chercher des motifs géométriques ou demande-toi s'ils appartiennent à un des groupes que
tu as analysé et tu t'amuseras tout en appliquant ce que tu as étudié auparavant.
Profites-en bien et félicitations pour ton travail !
69
INTRODUÇÃO
A Geometria é a parte das matemáticas que estuda as formas que existem no espaço, as suas medidas e a
relação entre elas. Pois se tratando de classificar todos os corpos existentes segundo suas dimensões,
características, semelhanças, diferenças com outros corpos, seus ángulos, estamos perante a parte mais
interessante das matemáticas, visto que estuda objectos que usamos cada dia, que podemos tocar, medir,
observar; em definitivo que existem em nosso ambiente.
OS POLÍGONOS
Os polígonos são figuras geométricas planas ( só têm duas dimensões : largura e comprimento) definidas
por uma linha poligonal fechada.
Linha poligonal aberta
Linha poligonal fechada
Chamamos lado do polígono cada segmento que forma a poligonal ; os vértices são o lugar onde se unem dois
lados e configuram um ângulo. Segundo os seus ângulos (menores que 180º ou maiores) o polígono será
convexo (todos os ângulos menores que 180º) ou côncavo (ao menos um ângulo mayor que 180º).
Polígono cóncavo
Polígono convexo
Pode ser provado fàcilmente que o número menor de lados com que pode ser formado um polígono é três.
Classificação dos polígonos
Os polígonos são nomeados segundo o número de lados que têm ; temos : triângulos, polígonos de três lados ;
quadriláteros, com quatro lados ; pentágonos, se têm cinco ; hexágonos, com seis ; e assim sucessivamente.
Dentro dos triângulos, há outra classificação segundo a longitude dos lados : se os três são iguais, o triângulo é
chamado equilátero ; se tem dois lados iguais e outro diferente, é um triângulo isósceles ; se tem os três lados
diferentes, é um triângulo escaleno.
escaleno
equilátero
isósceles
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Os triângulos também são classificados segundo os seus ângulos : o triângulo é acutângulo se todos os
seus ângulos são agudos (menor que 90º), obtusângulo se algum ângulo é obtuso (maior que 90º),
rectângulo se tem um ângulo recto (de 90º).
obtusángulo
acutángulos
rectángulo
Nos cuadriláteros, fazemos a classificação segundo a situação dos seus lados : se o quadrilátero não tem
lados paralelos, o chamamos trapezoide ; se tem sòmente dois lados paralelos, e os outros dois não, é
trapézio ; se os lados são paralelos dois a dois, é paralelogramo. Se um paralelogramo tem os seus
quatro ângulos rectos, é rectângulo e os lados são iguais dois a dois ; e se todos os seus lados são
iguais, temos o cuadrado.
trapezoide
trapecio
paralelogramo
rectángulo
cuadrado
A partir de cinco lados ou mais, já não existe classificação : sómente se ajunta o qualificativo regular ao
polígono que tem todos os seus lados iguais. Por exemplo, octógono regular é o polígono que tem oito
lados iguais.
Conjunto de peças Conexão
Agora vamos à prática : vamos ver, de todos os que previamente nomeamos, que polígonos estarão nesse jogo :
Rectángulo
Triángulo Isósceles
Quadrado
Triángulo Rectángulo e Isósceles
Pentágono regular
Hexágono regular
As peças do jogo Conexion encaixam umas nas outras como se fora um quebra-cabeça, mediante um
gancho muito particular ; sòmente é necessário ter em conta as longitudes : uma curta na maioria das
figuras, e outra mais longa nos lados maiores do rectângulo, nos lados iguais do triângulo isósceles e
no lado diferente do triângulo rectângulo.
Agora tens as peças identificadas e podes unir algumas peças com outras para te familiarizar com o gancho.
Será mais fácil a montagem dos poliedros se antes praticaste um pouco, mesmo que não montas nenhuma
figura com senso.
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MOSAICOS
Nas matemáticas, um mosaico é o recubrimiento de um plano por umas figuras. São composições com polígonos
ou figuras curvas mas não podem estar sobrepostas. (Foto 1)
Não e mosaico
Não e mosaico
Si e mosaico
Si e mosaico
Podemos ver muitos mosaicos por todos os lados : na decoração de chãos, paredes, tapetes,etc. Também, os
mosaicos presentam interesse matemático : nos permitem observar formas geométricas na vida quotidiana, e
também aumentar o interesse pelo desenho.
O plano é ilimitado, não tem bordas, mas o papel ou a mesa que utilizamos estão limitados pelas suas bordas.
Portanto, não deves te preocupar do que aconteça nas bordas da mesa : deves proceder como se pudesses
aumentar o desenho indefinidamente.
Mosaicos regulares
Chamamos assim os mosaicos que são feitos com um único tipo de polígono regular. Experimenta com as peças
do jogo Conexão que tens no teu poder, para saber que mosaicos regulares podes formar.
Quais dos polígonos regulares permitem recobrir o plano com um mosaico?
Podes observar que os únicos polígonos regulares que recobrem o plano são os triângulos equilaterais, os
quadrados e os hexágonos, e também o rectângulo, o triângulo rectângulo e o isósceles.
Quadrado
Rectângulo
Triângulo equiláteral
Triângulo isósceles
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Triângulo rectángulo
Pentágono
Mosaicos semirregulares
Um mosaico construído com vários tipo de polígonos regulares é denominado mosaico semirregular. Para isto, é
sòmente necessário ter en conta que o mosaico ficará muito bem construído se não tem vazios nem superposições ;
deve-se respeitar duas condições :
a) Em cada vértice os mesmos polígonos aparecem na mesma ordem
b) Os lados dos polígonos utilizados devem ser de comprimento igual
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Outros mosaicos
Muitos tipos de mosaicos existem : quer utilizando vários tipos de polígonos regulares, mas de modo que em
todos os vértices coincidam os mesmos polígonos na mesma orden ; quer porque os polígonos não são regulares.
Experimenta com as tuas peças e tenta fazer composições atraentes.
OS POLIEDROS
Um poliedro é uma figura tridimensional (tem largura, comprimento e altura) formada por polígonos que, unidos p
elos seus lados, formam uma figura fechada e com volume.
Cada um dos polígonos que formam o poliedro é chamado face ; o lugar em que se unem duas faces é a aresta ;
o ponto onde se juntam três ou mais faces é o vértice e origina ángulos.
Face
Vértice
Aresta
Segundo estes ângulos, o poliedro pode ser convexo ou não. Um poliedro é convexo se, quando tomamos dois
pontos quaisquer do poliedro, a linha recta que os une não "sai" da figura. Em outro caso será côncavo.
poliedro convexo
poliedro côncavo
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O Teorema de Euler.
A propriedade muito importante conhecida com o nome de Teorema de Euler, cumplida por todos os poliedros
convexos, diz assim : "em qualquer poliedro convexo, o número de faces mais o número de vértices é
igual ao número de arestas mais dois" ;
o simbolizamos assim : F + V = A + 2.
Ao indicar a construção dos poliedros mais conhecidos, vamos verificar que esta relação é exacta.
O número menor de polígonos necessários para formar um poliedro é quatro e a figura se chama tetraedro ;
se tem seis faces, hexaedro ; oito faces, octoedro ; com dez, decaedro e assim sucessivamente.
Chamamos poliedro regular um poliedro que tem todas as suas faces iguais e os seus vértices similares.
Existem sòmente cinco poliedros regulares - que estudaremos separadamente visto a sua importancia conhecidos com o nome de sólidos platónicos.
POLIEDROS REGULARES : OS SÓLIDOS PLATÔNICOS
O grego Platão, no século IV antes de Cristo, descobriu que só podem ser construídos cinco poliedros regulares
que hoje, em honra de ele, chamamos sólidos platónicos ; e são : o tetraedro regular, o hexaedro regular ou
cubo, o octaedro regular, o dodecaedro regular e o icosaedro regular. Para a construção de cada um destes
poliedros é necessário um único tipo de figura : o tetraedro, o octaedro e o icosaedro se formam com triângulos
equilaterais ; o cubo, com quadrados e o dodecaedro, com pentágonos regulares.
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Características gerais dos sólidos platônicos
. Todas as faces são polígonos regulares convexos. Todas as faces e ângulos são iguais.
. São poliedros convexos (mesma definição que acima)
. Os ângulos não são superiores aos 180º
. São totalmente regulares, isto é, a pontaria desde cada vértice é idêntica.
. Realizam o Teorema de Euler
O TETRAEDRO REGULAR. As faces são triângulos equiláterais.
Nº de faces: 4
Nº de Vértices: 4
Nº de Arestas: 6
Peças Conexión: 4
Representacão plana
EL HEXAEDRO REGULAR O CUBO. As faces são quadrados.
Nº de faces: 6
Nº de Vértices: 8
Nº de Arestas: 12
Peças Conexión: 6
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Icosaedro
O OCTAEDRO REGULAR. As faces são triângulos equiláterais.
Nº de faces: 8
Nº de Vértices: 6
Nº de Arestas: 12
Peças Conexión: 8
O DODECAEDRO REGULAR. As caras são pentágonos regulares.
Nº de faces: 12
Nº de Arestas: 30
Peças Conexión: 12
O ICOSAEDRO REGULAR. As faces são triângulos equiláterais
Nº de faces: 20
Nº de Arestas: 30
Peçass Conexión: 20
Chamamos poliedros conjugados os poliedros em que o número de faces dum poliedro é semelhante ao número
de vértices do outro. Segundo o Teorema de Euler, devem ter o mesmo número de arestas. Assim temos os
seguintes poliedros conjugados: Tetraedro-Tetraedro; Cubo-Octaedro e Dodecaedro-Icosaedro.
nº de caras = 6
nº de vértices = 6
nº de arestas = 12
nº de arestas = 12
Agora, podes começar a construção dos sólidos, unindo as peças de Conexão, como indicado acima, sobre
uma superfície plana ; e depois, lhes das volume. Ou podes unir peça a peça, dando-lhes, pouco a pouco, as
suas formas definitivas. Também podes jogar com as cores : combinando-as nas faces, as figuras serão mais
atraentes. Muda cada quadrado do cubo por dois triângulos rectângulos e verás como a figura é mais atraente
se combinares as cores segundo o teu gosto.
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POLIEDROS SEMIRREGULARES
Um poliedro é semirregular se as suas faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos e os seus vértices
são todos similares, quer dizer que os polígonos que o formam são iguais. Existe um número infinito de poliedros
semirregulares, porque incluem vários grupos:
a) Os Prismas Regulares cujas faces laterais são quadrados ou rectângulos e as suas bases, iguais y paralelas,
são dois polígonos regulares
b) Os Antiprismas cujas faces laterais são triângulos equilaterais ou isósceles e as suas bases também são
dois polígonos regulares paralelos, mas são girados, de modo que cada vértice de uma se projeta ao ponto
meio de cada lado da outra.
c) Os Poliedros Estrelados que se formam substituindo cada face dum poliedro regular por uma pirámide (sem
base) ; e o número das suas faces é o mesmo que o número de lados do polígono que substituem.
d) Os Sólidos Arquimedianos que se originam ao cortar as esquinas dos poliedros regulares.
O truncamento
O truncamento é a operação de cortar esquinas aos poliedros regulares para obter poliedros com todas as suas
faces regulares. Cada vértice do poliedro original se torna um polígono regular com o mesmo número de lados
que o número de faces que convergem naquele vértice.
Diferenciamos os poliedros obtidos segundo se o plano realizado pelo corte passa pelo ponto meio da aresta
(tipo 1), ou por uma distância menor (tipo 2).
tipo 1
tipo 2
OS SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS
Os sólidos arquimedianos surgem de modificar os poliedros regulares cortando as suas esquinas, para obter
sólidos com todas as suas faces regulares e todos os seus vértices iguais. Se deve o seu nome a Arquímedes
que os descreveu pela primeira vez.
Estes poliedros são utilizados como elementos ornamentais em lampadários e outras decorações, a bola oficial de
futebol também é um poliedro deste tipo formado de 20 triângulos, 30 quadrados e 12 pentágonos, e é chamado
rombicosidodecaedro pequeno.
Na actualidade, consideram 13 sólidos arquimedianos, mas quatro deles utilizam octógonos e decágonos para a
sua construção : e são peças que não existem no jogo Conexão e, então, não os nomearemos.
(Ë possível incluir aqui um desenho de todos : os que podemos construir e os que não)
icosaedro truncado
icosidodecaedro
tetraedro truncado
dodecaedro chato
octaedro truncado
cuboctaedro
Pequeno rombicosidodecaedro
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cubo achatado
Pequeno rombicuboctaedro
gran rombicosidodecaedro
dodecaedro truncado
gran rombicuboctaedro
cubo truncado
CLASSIFICAÇÃO
a) Sólidos arquimedianos obtidos ao cortar os sólidos platônicos com um truncamento de tipo 1, o corte
é realizado por planos que passam pelos pontos meios das arestas que convergem em cada vértice
CUBOCTAEDRO
Surge ao fazer um truncamente de tipo 1 do cubo ou dooctaedro. Se truncamos o cubo, para cada vértice é
obtido um triângulo e para cada face, outro quadrado. Se truncamos o octaedro por cada vértice obtemos
um quadrado e por cada face outro triângulo
Nº de faces: 14
Nº de Arestas: 24
Piezas Conexión: 6 quadrados e 8 triângulos equiláterais.
ICOSIDODECAEDRO
Surge ao fazer um truncamente de tipo 2 do dodecaedro oudo icosaedro regular. Se truncamos o dodecaedro
por cada vértice obtemos um triângulo que e por cada face outro pentágono. Se truncamos o icosaedro, por
cada vértice obtemos um pentágono e por cada face outro triângulo
Nº de faces: 32
Nº de Arestas: 60
Piezas Conexión: 20 triângulos equiláteros e 12 pentágonos.
Não nomeamos o truncamento do tetraedro, porque obtemos o octaedro que é um sólido platônico.
Sólidos arquimedianos obtidos ao cortar os sólidos platônicos mediante um truncamento de tipo 2,
o corte é realizado com uma distância apropriada para que apareçam polígonos regulares que têm duas vezes
mais lados que o polígono das faces do poliedro original, sendo a distância ao vértice inferior à metade do lado.
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TETRAEDRO TRUNCADO
É obtido ao realizar um truncamente de tipo 2 do tetraedro regular, por cada vértice é obtido um
triângulo e por cada face um hexágono.
Nº de faces: 8
Nº de Vértices:12
Nº de Arestas: 18
Piezas Conexión a utilizar: 4 hexágonos e 4 triângulos equiláteros
OCTAEDRO TRUNCADO
Truncamento de tipo 2 do octaedro regular, por cada vértice é obtido um quadrado e por cada face um
hexágono regular
Nº de faces: 14
Peças Conexiónr: 8 hexágonos 6 quadrados
Nº de Arestas: 36
ICOSAEDRO TRUNCADO
Truncamento de tipo 2 do icosaedro regular, para cada vértice é obtido um pentágono e para cada face um
hexágono regular
Nº de faces: 32
Peças Conexión : 20 hexágonos e 12 pentágonos
Nº de Arestas: 90
Não nomeamos o cubo truncado nem o dodecaedro truncado porque surgem octógonos e decagonos que não
existem nas peças Conexion
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LOS
ROMBIS
OS
ROMBIS
PEQUENO ROMBICUBOCTAEDRO
Este poliedro é obtido truncando o cuboctaedro de um modo particular e fazendo algumas transformações.
É formado por quadrados e triângulos
Nº de faces: 26
Nº de Arestas: 48
Teorema de Euler:26 +24=48+2
Peças Conexión: 18 quadrados e 8 triângulos equiláterais
O grande rombicuboctaedro surge ao modificar o cuboctaedro de outro modo e lhe fazer outro tipo
de transformações ; mas na sua construção são utilizados quadrados, hexágonos e octógonos ;
esta peça não existe no jogo Conexão
PEQUENO ROMBICOSIDODECAEDRO
Este poliedro é obtido truncando o icosidodecaedro de um modo particular e fazendo algumas transformações.
É formado por pentágonos, quadrados e triângulos
Nº de Faces: 62
Nº de Arestas: 120
Peças Conexión a utilizar: 12 penágonos, 30 quadrados e 20 triângulos equilâteros
O grande rombicosidodecaedro surge ao modificar o icosidodecaedro de outro modo e lhe fazer outro tipo de
transformações, mas para a sua contrução, são utilizados quadrados, hexágonos e decágonos ; essa peça
não existe no jogo Conexão.
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OS CHATOS
SNUB-CUBO ou CUBO ACHATADO
É formado por quadrados e triângulos. É uma figura que não tem planos de simetria mas sim eixos de rotação
Nº de faces: 38
Nº de Arestas: 60
Teorema de Euler: 38 +24=60+2
Piezas Conexión: 6 quadrados e 32 triângulos equiláterais
SNUB-DODECAEDRO o DODECAEDRO CHATO. É formado por pentágonos e triângulos.
É uma figura que não tem planos de simetria mas sim eixos de rotação
Nº de faces: 92
Nº de Arestas: 150
Piezas Conexión: 12 pentâgonos e 80 triângulos equiláterais
81
OS PRISMAS
Existe um tipo particular de poliedros que chamamos paralelepípedos. A característica principal do paralelepípedos
é que possuem duas bases iguais situadas em planos paralelos (de lá o seu nome) que podem ser qualquer
polígono ; as outras faces laterais são paralelogramos. Se também as bases ficarem situadas uma sobre a outra,
as faces serão rectangulares ou quadradas e as figuras chamam-se prismas ou prismas rectos. Portanto, se um
prisma tem todas as suas faces regulares, também é um poliedro semirregular.
Os prismas são a forma geométrica mais habitual : os quartos, os edifícios, as caixas de sapatos, os tetra-brick
do leite, etc, têm forma de prisma e não só construções humanas mas também na naturaza : cristalizações de
alguns minerais, celas vegetais, concha de muitos moluscos, olhos de insectos, etc.
Os prismas são denominados segundo o número de lados do polígono que forma a sua base: se a base é cuadrada,
o prisma se chamará quadrangular. Se aquele polígono também é regular (todos os seus lados iguais), obteremos
um prisma regular.
Vamos ver que prismas podemos construir com o jogo de peças Conexão :
Prismas triangulares:
Bases: triângulos equilaterais
Faces laterais: quadrados ou rectángulos
Peças Conexión: 2 triângulos equiláteros e 3 quadrados ou 3 rectângulos.
Bases: triângulos isósceles
Caras laterais: un quadrado e dois rectângulos
Peças Conexión: 2 triângulos isósceles, 1 quadrado e 2 rectângulos.
Bases: triângulos rectángulos
Faces laterais: dois quadrados e un rectângulo
Peças Conexión a utilizar: 2 triângulo rectângulo, 2 quadrados e 1 rectângulo
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Prismas quadrangulares
Bases: quadrados
Faces laterais: quadrados ou rectângulos
Peças Conexión a utilizar: 6 quadrados ou 2 quadrados e 4 rectângulos
Bases: rombos formados por dos triángulos equiláteros
Faces laterais:quadrados ou rectángulo
Peças Conexión a utilizar: 4 triângulos equiláteros e 4 quadrados ou 4 rectángulos
Prismas pentagonais
Bases:pentágonos
Peças Conexión: 2 pentágonos e 5 quadrados ou 5 rectângulos
Prismas hexagonais
Bases: hexágonos
Peças Conexión: 2 hexágonos e 6 quadrados ou 6 rectângulos
Características dos prismas
Todas as faces são polígonos convexos
São poliedros convexos
Os ângulos não são superiores aos 180º
Demostram o Teorema de Euler: F + V = A + 2.
Se observas que unindo dois quadrados obtens um rectângulo, ou unindo um quadrado e um rectângulo ou dois
rectângulos, podes construir muito mais prismas utilizando as bases dos prismas anteriores e como faces laterais
rectângulos construídos pela união de dois ou mais figuras, obterás prismas "mais altos"
83
OS ANTIPRISMAS
Vamos imaginar que os lados das faces quadradas ou rectangulares dum prisma são elásticos e que os
torcemos girando o polígono da base para um lado e o outro polígono para o outro lado : o poliedro resultante
é chamado antiprisma. Quer dizer, é um prisma com duas bases iguais colocadas uma sobre a outra mas com
orientação diferente e as faces laterais foram substituídas por triângulos. Se eram quadrados as faces do prisma
original, obtemos triângulos equilaterais, e se eram rectângulos, obtemos triângulos isósceles.
O antiprismas formados por faces que são todas polígonos regulares serão poliedros semirregulares.
Antiprismas triangulares
Bases: triângulos equiláteros.
Faces laterais: triângulos equiláteraiss ou isósceles.
Peças Conexión: 2 triángulos equiláteros y 6 equiláteros ó 6 isósceles.
Antiprismas quadrangulares
Bases: quadrados.
Faces laterais: triângulos equiláteros o isósceles.
Peças Conexión: 2 quadrados y 8 triângulos equiláteros ó isósceles.
Representação plana
Antiprismas pentagonais
Bases: pentágonos.
Faces laterais: triângulos equiláterais ou isósceles.
Peças Conexión: 2 pentágonos e 10 triângulos equiláterais ou isosceles.
Antiprismas hexagonais
Bases: hexágonos
Faces laterais: triângulos equiláterais ou isósceles
Piezas Conexión : 2 hexágonos y 12 triângulos equilaterais ou isósceles.
84
AS PIRÂMIDES
As pirâmides são um tipo particular de poliedros que sconheces muito bem : os egípcios as utilizaram para os
seus
monumentos funerários e hoje são de actualidade pelos mistérios que contêm. A característica principal das
.
pirâmides é que a base na qual se apóiam pode ser qualquer polígono e as outras faces são triângulos que
convergem num vértice situado sobre a base.
As pirâmides são denominadas segundo o número de lados do polígono que forma a base ; se a base é cuadrada,
a pirâmide se chamará quadrangular. E também, se o polígono é regular (todos os seus lados iguais) a chamamos
pirâmide regular.
Se todas as faces da pirâmide são polígonos regulares esta pirâmide é um poliedro semirregular.
O vértice da pirâmide é o ponto onde convergem todas as faces e fica situado sobre a base. Se traçamos uma
linha perpendicular à base, desde a base até o vértice, esta linha recebe o nome de altura da base. Se esta altura
além de passar pelo vértice passa pelo centro do polígono da base, a pirâmide é recta, se não é assim, a pirâmide
terá um aspecto inclinado.
Assim as pirâmides que podes formar com as peças do jogo de Conexion são :
Pirâmides triangulares
Base: triângulo equilateral
Peças Conexión: 1 triângulo equiláteral e 3 equiláterais ou 3 isósceles.
Representaçao plana
Base: triângulo rectângulo
Caras laterales: dois triângulos equiláterais e umo rectângulo
Peças Conexión: 2 triângulos rectângulos e 2 equiláterais.
Base: triângulo isósceles
Caras laterais: triângulos isósceles
Peças Conexión: 4 triângulos isósceles
.
85
Base: triângulo isósceles
Faces laterais: um triângulo equiláteral e dois rectângulos
Peças Conexión: 1 triângulo isósceles ,2 triângulos rectângulos y equiláterais
Pirâmides cuadrangulares
Base:cuadrado
Peças Conexión: 1 cuadrado y 4 triângulos equiláterais ou 4 isósceles.
Base:cuadrado
Faces laterais: triângulos equiláterais, rectângulos e isósceles
Peças Conexión: 1 cuadrado,1 triângulo equilátal 1 triângulo isósceles y 2 triângulos rectángulais
Base:rectângulo
Caras laterais: triângulos rectângulos e equiláterais
Peças Conexión: 1 rectángulo, 2 triângulos equiláterais e 2 triângulos rectángulais.
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Base:rectángulo
Faces laterais: triângulos equilâterais e isósceles
Peças Conexión: 1 rectângulo y 3 triângulos isósceles y 1 triângulo equilátero.
Pirâmides pentagonais
Base:pentágono
Faces laterais: triângulos isósceles o equiláterais
Peças Conexión: 1 pentagono y 5 triángulos isósceles
Pirâmides hexagonais
Base: hexágono
Faces laterais: triângulos isósceles
Peças Conexión: 1 hexágono y 6 triângulo isósceles.
Não podes construir a pirâmide pentagonal e hexagonal com faces triângulos equilaterais.
Características das pirâmides
* Todas as faces são polígonos convexos
* São poliedros convexos
* Os ângulos não são superiores aos 180º
* Demostram o Teorema de Euler, F + V = A + 2.
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Duas pirâmides de triângulos isósceles
Bipirámides pentagonais
Duas pirâmides pentagonais de triângulos equiláterais
Peças Conexion: 10 triângulos equiláterais
Uma pirâmide de equiláterais e outra de isósceles
Peças Conexion: 5 triángulos equiláterais y 5 isósceles
Duas pirâmides de triângulos isósceles
Peças Conexion: 10 triângulos isósceles
Bipirámide hexagonal
Duas pirâmides hexagonais de triângulos isósceles.
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BIPIRÁMIDES
Se tomamos duas pirâmides com base idêntica, tiramos as bases e juntamos as duas pirâmides pelas
bases, obtemos uma figura chamada bipirámide. Se são triangulares, a bipirámide se chamará triangular ;
se são quadrados, quadrangular e assim sucessivamente.
As bipirámides que podemos formar com as peças do jogo Conexão são :
Bipirámides triangulares
Duas pirâmides triangularais de triângulos equiláterais
Peças Conexion: 6 triângulos equiláteros
Uma pirâmide de isósceles e outra de quiláterais
Peças Conexion: 3 triángulos isósceles y 3 equiláteros
Bipirámides cuadradas
Duas pirâmides cuadradas de triângulos equiláterais
Peças Conexion: 8 triângulos equiláterais
Uma pirâmide de isósceles e outra de equiláterais
Peças Conexion: 4 triângulos equiláterais e 4 isósceles
89
OS POLIEDROS ESTRELADOS
Se em cada uma das faces dum tetraedro regular queres construir uma pirâmide triangular, obterás uma figura
em forma de estrela de 4 bicos : é um tetraedro estrelado. Da mesma maneira podes construir pirâmides nas
faces dos outros quatro poliedros regulares : obtens o cubo estrelado, o octaedro estrelado, o dodecaedro
estrelado e o icosaedro estrelado, figuras de grande beleza.
Para a formação destes poliedros sòmente precisas de triângulos, quer equilaterais, quer isósceles.
De igual modo, construindo as pirámides correspondentes nas faces dos sólidos arquimedianos apresentados
acima, obteríamos a sua estrela.
Tetraedro truncado
Cuboctaedro
Tetraedro truncado estrelado.
Cuboctaedro estrelado.
Uma característica importante destes poliedros é que eles são côncavos, ao contrário de todos os que, até
agora, construímos e que eram convexos.
Cubo estrelado (24 triângulos)
Tetraedro estrelado(12 triângulos)
Octaedro estrelado (24 triângulos)
Dodecaedro estrelado(60 triângulos)
Icosaedro estrelado(60 triângulos)
90
OS DELTAEDROS
São uma família de poliedros construídos utilizando para as suas faces sòmente triângulos equilaterais.
Se chamam assim porque em grego a letra delta maiúscula era representada mediante um triângulo.
Existem só 8 deltaedros convexos, alguns já apareceram acima.
TETRAEDRO (4 triângulos)
BIPIRÁMIDE TRIANGULAR (6 triângulos)
OCTAEDRO (8 triângulos)
BIPIRÁMIDE PENTAGONAL (10 triângulos)
DODECAEDRO SIAMÊS (12 triângulos)
PRISMA TRIANGULAR TRIAUMENTADO (14 triângulos)
Icosaedro
(20 triângulos)
BIPIRÁMIDE QUADRADA GIRADAICOSAEDRO
(16 triângulos)(20 triângulos)
OUTROS POLIEDROS
É impossível classificar e nomear todos os poliedros : existe uma infinidade. Previamente o fizemos com alguns deles,
repararando numa certa regularidade nas faces, nos vértices ou nos polígonos que formam as faces. Mas também podem
ser formados outros poliedros muito atraentes e que vamos classificar segundo critérios diferentes.
CONSTRUÇÕES DIVERSAS
Se chegaste até aqui construindo todos aqueles poliedros que te mostramos, aumentou o teu conhecimento da
geometria além do que nunca poderias ter imaginado aprender em qualquer classe convencional de matemáticas.
Por isso, e porque o mereces, a partir daqui o que te propomos é que jogues com as peças de Conexão segundo o
teu capricho, construindo edifícios, recipientes, figuras, etc... mas não te esqueças de procurar figuras geométricas
ou, se essas figuras pertenecerem a algum grupo que estudaste, te divertirás e aplicarás tudo o que previamente
estudaste.
Aproveita e parabéns para o teu bom trabalho!
91
EINFÜHRUNG
Die Geometrie ist das Gebiet der Mathematik, das sich mit Linien, Flächen und Körpern befasst. Die Geometrie
teilt die bestehenden Körper gemäβ ihren Dimensionen, ihren Winkel und Eigenschaften ein. Die Geometrie ist
das interessantest Teilgebiet der Mathematik, weil sie die Körper, die man täglich sieht, nimmt und benutzt, ,,
untersucht". Die Geometrie befasst mit den bestehenden Körper, die in unserer Umbegung sind.
DIE POLYGONE
Die Polygone oder Vielecken sind geometrische und ebene Figuren, die nur zwei Dimensionen haben: Breit
und lang. Die Polygone sind auch Figuren, die bei einer vieleckigen Linie angegrenzt werden.
Geöffnete vieleckige Linie
geschlossene vieleckige Linie
Die Segmenten eines Polygons sind seine Seiten. Die Scheitel sind, wo die Seiten konvergieren und die Winkel
formen. Es gibt zwei Arten von Winkel: Konvex (kleiner als 180º) oder Konkav (gröβer als 180º)
Konkav Polygon
Konvex Polygon
Sie werden einfach beweisen, dass Sie nur mit drei Seiten ein Polygon formen können. Dieses Polygon ist der
kleinste!
Einteilung der Polygone
Die Namen der Polygone hängen von den Seiten ab. Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Seiten, ein Viereck ist ein
Polygon mit vier Seiten, ein Fünfeck ist ein Polygon mit fünf Seiten, ein Sechseck ist ein Polygon mit sechs Seiten,
und so weiter und so fort.
Dreieck
Viereck
Fünfeck
Sechseck
Gemäβ den Seiten der Dreiecken gibt es auch eine andere Einteilung: das gleichseitige Dreieck (bei einem
gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang), das gleichschenklige Dreieck
Dreieck sind wenigstens zwei Seiten gleich lang) und das ungleichseitige Dreieck (bei einem ungleichseitigen
Dreieck sind keine Seiten gleich lang)
gleichseitige Dreieck
gleichschenklige Dreieck
92
ungleichseitige Dreieck
Man kann auch die Dreiecken gemäβ ihren Winken einteilen: spitzer Winkel (kleiner als 90º), stumpfer Winkel
(gröβer als 90º) oder rechter Winkel (90º).
(
spitzer Winkel
rechter Winkel
stumpfer Winkel
Man kann die Vierecken gemäβ den Stellung einteilen. Wenn es keine parallele Seiten gibt, ist es ein Trapezoid.
Wenn es nur zwei parallele Seiten gibt, ist es ein Trapez. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem je zwei
einander gegenüberliegende Seiten parallel sind Wenn die Winkel eines Paralellogrammes recht sind, ist es
ein Rechteck. Und ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten
Trapez
Trapezoid.
Parallelogramm
Rechteck
Quadrat
Es gibt keine Klassifikation mehr, wenn die Polygone mehr als füf Seiten haben. Man fügt das Adjektiv regulär"
hinzu, wenn alle Seiten dieser Polygone gleich sind. Zum Beispiel: ein reguläres Achteck ist ein Polygon mit
acht gleichen Seiten.
Verbindungsstück
Von jetzt an werden Sie üben, was Sie gelernt haben. Sie können die folgende Polygone in diesem
Set finden:
Das gleichseitige Dreieck
Rechteck
Das gleichschenklige Dreieck
Quadrat
Das rechtwinklige Dreieckund das
Reguläres Fünfeck
Reguläres Sechseck
Man kann die Verbindungsstücke dieses Sets gut und einfach einfügen, wie sie ein Puzzle wären. Um die Stücke
besser einzufügen, gibt es einen besondere Haken. Ihr sollt nur auf die Längen achten, weil es Seiten in der Figuren
gibt, die kurzer oder länger sind. Zum Beispiel: die zwei Seiten des Rechteckes, die zwei Seiten des gleichschenkligen
Dreieck oder die Seite des rechtwinkligen Dreieck. .
Nach der Identifizierung der Stücke, können Sie anfangen, die Stücke zu verbinden. Üben vielSie mit dem Haken.
Je mehr Übung, desto einfacher einzuhanken. Es ist egal, wenn Sie keine gute oder perfekte Figur ,,bauen".
93
MOSAIKE
In Mathematik ist ein Mosaik die Verkleidung eine Ebene mit Figuren. Diese Figuren sind entweder Polygone oder
krumme Figuren, die sie nicht übergelagert sein können. (
MOSAIKE
MOSAIKE
Es gibt viele Mosaike in unserer Umgebung: in der Dekoration von dem Fuβboden, der Wände oder Teppiche,
usw. Auβerdem sind die Mosaike sehr interessant angesichts der Mathematik, weil sie uns erlauben,
geometrische Figuren in unserem Alltag zu beobachten. Die Mosaike vermehren auch das Interesse an der
Zeichnung und dem Design.
Die Ebene ist immer unbegrenzt und hat keine Ränder. Aber das Papier oder den Tisch, der Sie benutzen, hat
Ränder und ist immer begrenzt. So machen Sie keine Sorge, wenn Sie das Mosaik nicht enden können. Bilden
Sie immer das Mosaik, als Sie es zu Ende bringen können.
Reguläre Mosaike
Die reguläre Mosaike sind Mosaike, die nur reguläre Polygone benutzen, um sie zu formen lassen.
Prüfen Sie ihre Verbindungstücke über und versuchen Sie, reguläre Mosaike zu formen.
Welche reguläre Polygone haben Sie benutzt, um die Ebene mit einem Mosaik zu verkleiden?
Sie werden festellen, dass die einzigen regulären Polygone, die die Ebene verkleiden können, sind die gleichseitigen
Dreiecken, die Quadraten ,die Sechsecken, die Rechtecken, die rechtwinkligen Dreiecken und die gleichschenkligen
Dreiecken.
Quadraten
Rechtecken
Dreiecken
leichschenkligen
Dreiecken.
94
Reguläres Sechseck
Das rechtwinklige Dreieckund das
Halbreguläre Mosaike
Ein halbreguläres Mosaik ist ein Mosaik, das aus verschiedenen regulären Polygone geformt ist. Berücksichtigen
Sie, dass es keine Lücken oder Überlagerung gibt. Deshalb achten Sie auf zwei Bedingungen:
Legen Sie die Polygone in der gleichen Ordnung auf der Ecke.
Die Seitenfläche der Polygone, die sie benutzen, sollen die gleiche Länge haben.
95
Andere Mosaike
Es gibt viele Arten von Mosaike. Um diese Mosaike zu formen, können Sie entweder reguläre Polygone, die auf
den Ecken zusammentreffen, oder nicht-reguläre Polygone. Versuchen Sie verschiedene und bunte Mosaike zu
formen.
DIE POLYEDER
Ein Polyeder, auch Vielflächner oder Ebenflächner genannt, ist ein Körper, der durch ebene Polygone begrenzt wird.
Ein Polyeder ist eine dreidimensionale Figur (breit, lang und hoch). Es ist eine geschlossene Figur mit Volumen.
Jedes Polygon des Polyeders ist eine Fläche. Die Kanten sind, wo die Flächen konvergieren. Die Ecken sind, wo
drei oder mehr Flächen konvergieren und einen Scheitel und einen Winkel formen.
Fläche
Scheitel
Kanten
Ein Polyeder kann entweder konvex oder konkav sein. Ein Polyeder ist konvex, , wenn man durch jede seiner Ecken
eine Ebene legen kann, die das Polyeder nur in dieser Ecke trifft und sonst nirgends.
.
Konvex
Konkav
96
Eulerscher Polyedersatz.
Der Eulersche Polyedersatz beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von konvexen Polyedern. Der Satz
besagt: Seien E die Anzahl der Ecken, F die Anzahl der Flächen und K die Anzahl der Kanten eines konvexen
Polyeders, dann gilt: E + F = K+ 2. In Worten: ,, Anzahl der Ecken plus Anzahl der Flächen gleich Anzahl
der Kanten plus zwei" Sie werden diese Beziehung der Ecken, Kanten und Flächen mit dem Bau von
Polyeder beweisen.
Ihre Namen stammen aus dem Griechischen und beziehen sich auf die Anzahl ihrer Flächen: Tetraeder (
vier Dreiecke), Hexaeder (das ist der Kubus oder Würfel) (sechs Quadrate), Oktaeder (acht Dreiecke),
Dodekaeder (zwölf Fünfecke) und Ikosaeder (zwanzig Dreiecke).
Wenn alle Flächen Ecken eines Polyeders gleich sind, wird das Polyeder ,, reguläres oder regelmäβiges
Polyeder" gennant. Es gibt nur fünf reguläre Polyeder. Sie sind die platonische Körper .
REGULÄRE POLYEDER: PLATONISCHE KÖRPER
Während des 4. Jahrhunderts entdeckte Platon die fünf regulären Polyeder. Heutzutagen heiβen sie ,,platonische
Körper" zu Ehren Platons. Die reguläre Polyeder sind: das reguläre Tetraeder, das reguläre Hexaeder oder Würfel,
das reguläre Oktaeder, das reguläre Dodekaeder oder das reguläre Ikosaeder. Um diese Figuren zu bauen, benutzt
man nur eine Art von Figur. Zum Beispiel: um ein Tetraeder oder ein Oktaeder oder ein Ikosaeder zu ,,bauen",
benutzt man nur gleichseitige Dreiecke. Um einen Würfel zu bauen, benutzt man nur Vierecke. Und um ein
Dodekaeder zu bauen, benutzt man reguläre Fünfecke. TetraederWürfelOktaederDodekaederIkosaeder
Tetraeder
Hexaeder
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder
Allgemeine Eigenschaften von den platonischen Körper
Die Flächen der regulären Vielecken sind kongruent. Alle Flächen und Winkel sind gleich.
Die Polyeder sind konvex.
Winkel kleiner als 180º
Die platonische Körper befolgen das Eu ler Theorem, E + F = K + 2.
Die platonische Körper sind regulär, d.h., dass ihre Seitenflächen zueinander kongruente regelmäßige Vielecke
sind, von denen in jeder Ecke jeweils gleich viele zusammentreffen
REGULÄRES TETRAEDER
vier gleichseitigen Dreiecken als Flächen
Flächen: 4
Ecken: 4
Kanten: 6
Eulerscher Polyedersatz: 4+4=6+2
Verbindungsstücke: 4
ebene Abbildung:
REGULÄRES HEXAEDER ODER WÜRFEL
sechs Quadraten als Begrenzungsflächen
Flächen: 6
ebene
Ecken:
8 Abbildung:
Kanten: 12
Eulerscher Polyedersatz:6+8=12+2
97
REGULÄRES OKTAEDER
Acht gleichseitigen Dreiecken als Flächen
Flächen: 8
Ecken: 6
Kanten: 12
ebene Abbildung:
REGULÄRES DODEKAEDER
12 regelmäßigen Fünfecken als Flächen
Flächen: 12
Ecken: 20
Kanten: 30
Eulerscher Polyedersatz:12+20=30+2
ebene Abbildung:
REGULÄRES IKOSAEDER
Zwanzig gleichseitigen Dreiecken als Flächen
Flächen: 20
Ecken: 12
Kanten: 30
ebene Abbildung:
Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen eines platonischen Körpers, so erhält man (mit den
Verbindungslinien als Kanten) wieder einen platonischen Körper, und zwar mit demselben Mittelpunkt. Dieser
Körper wird als Dualkörper zum Ausgangskörper bezeichnet. Auf Grund der Konstruktion ist klar, dass jeder
Fläche des Ursprungskörpers jeweils eine Ecke des dualen Körpers entspricht. Außerdem entspricht jeder Kante,
die zwei Flächen trennt, eine Kante, die zwei Ecken verbindet. Daraus ergibt sich, dass auch jeder Ecke des
Ursprungskörpers jeweils eine Fläche des dualen Körpers entspricht. (Man kann sich das so verbildlichen, dass
jede Fläche eine Ecke des Ursprungskörpers "abschneidet".) Diese Dualkörper haben die gleiche Anzahl von
Kanten haben. Die wichtigste Dualkörper sind: Tetraeder- Tetraeder; Würfel- Oktaeder und Dodekaeder- Ikosaeder.
Flächen = 6
Ecken = 6
Kanten = 12
Kanten = 12
Verbinden Sie die Verbindungstücke und bauen Sie die Körper (oben) mit Volumen auf einer ebenen Oberfläche.
Sie können auch die Stücke verbinden und formen Sie die Figuren nach und nach. Mischen Sie Farben, damit die
Flächen und die Figuren attraktiver und lustiger werden.Sie können auch jede Quadrat der Figur für zwei bunten
rechtwinkligen Dreiecke. Ihre Figur wird greller, wenn Sie verschiedene Farben benutzen.
98
HALBREGULÄRE POLYEDER
Ein Polyeder ist ein halbreguläres Polyeder, wenn die Flächen aus verschiedenen Polygone bestehen und, wenn
die Ecken dieser Polygone gleich sind. Es gibt viele halbreguläre Polyeder, die hier in Gruppen geteilt sind:
Reguläre Prismen: die Flächen sind Quadraten oder Rechtecke und die Grundflächen zwei reguläre
Polygone. Die Grundfläche sind immer gleich und parallel.
Die Antiprismen: die Flächen sind entweder gleichseitige Dreiecke oder gleichschenklige Dreiecke. Die
Grundflächen sind auch zwei regulären und parallelen Polygone, aber sie sind verdreht. So, wenn man eine
Linie von einer Seite zeichnet, wird der Scheitel dieser Seite in der Mitte der anderen Seite sein.
Die Sternpolyeder sind Polyeder, die auf jeder Seite (reguläre Polyeder) eine Pyramide (ohne Grundfläche)
haben. Diese Polyeder haben so viele Seiten, wie seine Polygone Seiten haben.
Die archimedische Körper sind Polyeder, die mit dem Schnitt von den Ecken dieser regulären Polyeder enstehen.
Fangen Sie mit dem Bau archimedischen Körper an.,denn es gibt eine bestimmte Nummer von diesen Polyeder.
Die Durchdringung
Die Durchdringung ist, wenn Sie die Ecken der Polyeder schneiden, um reguläre Flächen in der Polyeder zu
bekommen. Jede Ecke des Polyeders wird ein reguläres Polygon mit der gleichen Nummer von Seiten,die Flächen
oder Seiten auf dieser Ecke lagen, sein. Man kann diese Polyeder gemäβ dem Schnitt einteilen: (Typ 1), wenn der
Schnitt in der Mitte der Kante ist. (Typ 2), wenn der Scnitt nicht in der Mitte ist.
typ 1
typ 2
DIE ARCHIMEDISCHE KÖRPER
Die archimedischen Körper sind eine Klasse von sehr regelmäßigen geometrischen Körpern, die den platonischen
Körpern ähneln. Je nach Zählweise gibt es 13 oder 15 archimedische Körper. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass
die Ecken eines solchen Körpers nicht voneinander unterschieden werden können. Die archimedischen Körper
sind nach dem griechischen Mathematiker Archimedes benannt, der alle diese Körper bereits im dritten
Jahrhundert vor Christus entdeckt hatte.
Man benutzt diese Polyeder als dekorative Elemente auf Straβenlaternen oder auf anderen Gegenstände. Der
offiziellen Fuβballball ist auch ein Polyeder 20 Dreiecke, 30 Quadraten und 12 Fünfecke un es heiβt kleines
Rhombenikosidodekaeder".
Heutzutage gibt es 13 archimedische Körper, aber vier von diesen Körper benutzen Achtecke und Zehnecke in
seinem ,,Bau". In diesem Set fügt man nicht diese Teile ein, also erklärt man nicht diese Polyeder.
ABGESTUMPFTES
IKOSAEDER
IKOSIDODEKAEDER
ABGESTUMPFTES
TETRAEDER
ABGESCHRÄGTES
DODEKAEDER
ABGESTUMPFTES
OKTAEDER
KUBOKTAEDER
KLEINES
RHOMBENIKOSIDODEKAEDER
99
ABGESCHRÄGTES
KUBOKTAEDER
KLEINES
RHOMBENKUBOKTAEDER
Abgestumpftes Hexaeder
Abgestumpftes dodekaeder
groβe Rhombikosaeder
groβe Rhombenkuboktaeder
EINLEITUNG
a) Man bekommt einen archimedischen Körper mit Durchdringung Typ 1, wenn man einen platonischen
Körper schneiden". Der Schnitt dieser Körper ist in der Mitte der Kanten, die auf jeder Ecke liegen.
KUBOKTAEDER
Ein Kuboktaeder (auch Kubooktaeder, Kubo-Oktaeder) ist ein archimedischer Körper, der durch die
Schnittmenge der Durchdringung eines Hexaeders (Kubus) und Oktaeders beschrieben wird. In dem
Namen stecken die Wörter Kubus und Oktaeder.Wenn man ein Kuboktaeder durchdringen, wird man
ein Quadrat in jedem Ecke und ein Dreiecke in jeder Fläche bekommen.
Flächen: 14
Ecken: 12
Kanten: 24
6 Quadraten und 8 gleichseitige Dreiecke
ebene Abbildung:
IKOSIDODEKAEDER
Ein Ikosidodekaeder ist ein archimedischer Körper, der aus zwei Dodekaeder oder aus einem regulären
Ikosaeder stammt. Wenn man ein Dodekaeder durchdringen, wird man ein Dreiecke in jedem Ecke und
ein Fünfecke in jeder Fläche bekommen. Wenn man ein Ikosaeder durchdringen, wird man ein Fünfecke
in jedem Ecke und ein Dreiecke in jeder Fläche bekommen.
Flächen: 32
Ecken: 30
Kanten: 60
20 gleichseitige Dreiecke und 12 Fünfecke
ebene Abbildung:
Man erklärt nicht die Durchdringung des Tetraeders, denn dieses Polyeder aus einem Oktaeder
(platonischer Körper) gestaltet ist.
b) Diese Körper sind die archimedische Körper, die Sie durch eine Durchdringung Typ 2 bekommen. Mit
diesem Schnitt werden diese Körper scheinen, dass ihre regulären Polygone das Doppelte von Seiten in Vergleich
der Seiten des Anfangspolyeders haben. Der Schnitt ist nicht in der Mitte von der Seite.
100
ABGESTUMPFTES TETRAEDER
Wenn man eine Durchbringung (Typ 2) von einem regulären Tetraeder ausführen, wird man ein Dreiecke
in jedem Ecke und ein Sechsecke in jeder Fläche bekommen.
Flächen: 8
Ecken: 12
Kanten: 18
Verbindungsstücke: 4 Sechsecke und 4 gleichseitige Dreiecke
ebene Abbildung:
ABGESTUMPFTES OKTAEDER
Wenn man eine Durchbringung (Typ 2) von einem Oktaeder ausführen, wird man ein Quadrat in jedem
Ecke und ein reguläres Sechsecke in jeder Fläche bekommen.
Flächen: 14
Ecken: 24
Kanten: 36
Verbindungsstücke: 8 Sechsecke und 6 Quadraten
ebene Abbildung:
ABGESTUMPFTES IKOSAEDER
Wenn man eine Durchbringung (Typ 2) von einem Ikosaeder ausführen, wird man ein Fünfecke in jedem
Ecke und ein reguläres Sechsecke in jeder Fläche bekommen.
Flächen: 32
Ecken: 60
Kanten: 90
Verbindungsstücke: 20 Sechsecke und 12 Fünfecke
ebene Abbildung:
Man erklärt nicht den Würfel oder das abgestumpften Dodekaeder, denn sie aus Achtecke und Zehnecke formen.
Achtecke und Zehnecke nicht einschlieβlich!
101
KLEINES RHOMBENKUBOKTAEDER
Man bekommt dieses Polyeder, wenn man ein Kuboktaeder auf eine besondere Weise durchdringen. Man
soll auch Umwandlung machen. Das Rhombenkuboktaeder besteht aus Quadraten und Dreiecken.
Flächen: 26
Ecken: 24
Kanten: 48
Eulerscher Polyedersatz:26 +24=48+2
Verbindungsstücke: 18 Quadraten und 8 gleichseitige Dreiecke
ebene Abbildung:
Man bekommt das groβe Rhombenkuboktaeder, wenn man ein Kuboktaeder auf eine besondere Weise
durchdringen und besondere Umwandlungen machen. Das Rhombenkuboktaeder besteht aus Quadraten,
Sechsecken und Achtecken. Achtecke in diesem Set nicht einschlieβlich!
KLEINES RHOMBENIKOSIDODEKAEDER
Man bekommt dieses Polyeder, wenn man ein Ikosidodekaeder auf eine besondere Weise durchdringen.
Man soll auch Umwandlung machen. Das Rhombenikosidodekaeder besteht aus Fünfecken, Quadraten
und Dreiecken.
Flächen: 62
Ecken: 60
N Kanten: 120
Verbindungsstücke: 12 Fünfecke, 30 Quadraten und 20 gleichseitige Dreiecke
ebene Abbildung:
Man bekommt das groβe Rhombenikosidodekaeder, wenn man ein Ikosidodekaeder auf eine besondere Weise
durchdringen und besondere Umwandlungen machen. Das Rhombenikosidodekaeder besteht aus Quadraten
Sechsecken und Zehnecken. Zehnecke in diesem Set nicht einschlieβlich!
102
DIE ABGESCHRÄGTE KÖRPER
ABGESCHRÄGTES KUBOKTAEDER
Das abgeschrägte Kuboktaeder besteht aus Quadraten und Dreiecken. Dieser Körper hat keine
Symmetrieebene, aber es hat Rotationsachse.
Flächen: 38
Ecken: 24
Kanten: 60
Eulerscher Polyedersatz:38 +24=60+2
Verbindungsstücke: 6 Quadraten und 32 gleichseitige Dreiecke
ebene Abbildung:
ABGESCHRÄGTES DODEKAEDER
Es besteht aus Fünfecken und Dreiecken. Dieser Körper hat keine Symmetrieebene, aber es hat Rotationsachse
Flächen: 92
Ecken: 60
Kanten: 150
Verbindungsstücke: 12 Fünfecke und 80 gleichseitige Dreiecke
ebene Abbildung:
103
DIE PRISMEN
Ein Prisma (Mehrzahl: Prismen) ist ein geometrischer Körper, der durch Parallelverschiebung eines ebenen
Vielecks entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht. Ein Prisma ist daher ein
spezielles Polyeder.
Erfolgt die Parallelverschiebung senkrecht zur gegebenen Fläche, spricht man von einem geraden Prisma,
andernfalls von einem schiefen Prisma. Das gegebene Vieleck wird als Grundfläche bezeichnet, die andere
dazu kongruente und parallele Begrenzungsfläche als Deckfläche. Die Gesamtheit aller übrigen
Begrenzungsflächen heißt Mantel. Dieser besteht aus Parallelogrammen, im Spezialfall des geraden Prismas
aus Rechtecken. Wenn alle Seiten der Mantel regulär sind wird man ein halreguläres Polyeder bekommen.
Man kamm Prismen irgendwo finden: Zimmer, Wohnungen, Schuhschachtel, Tetrapakbrik, usw. Aber wir sind
viel an diese geometrischen Figuren gewöhnt, um sie wiederzuerkennen. In der Natur gibt es auch Prismen:
die Kristallisierung von einigen Mineralen, die pflanzlichen Zellen, die Panzer von Weichentiere, die Augen von
Insekten, usw.
Die Namen der Prismen hängen von den Grundflächepolygone ab. Wenn es ein Quadrat als Grundfläche gibt,
wird das Prima ,,ein viereckiges Prisma" sein. Auβerdem, wenn das Polygon regulär ist (alle Seiten gleich), wird
das Prisma auch regulär sein.
Die Prismen, die Sie mit mit diesem Set bauen können, sind folgende:
DREIECKIGE PRISMEN:
Grundfläche: gleichseitige Dreiecke
Seitenflächen: Quadraten oder Rechtecke
Verbindungsstücke: 2 gleichseitige Dreiecke und 3 Quadraten oder 3 Rechtecke
ebene Abbildung:
Grundfläche: gleichschenklige Dreiecke
Seitenflächen: ein Quadrat oder zwei Rechtecke
Verbindungsstücke: 2 gleichschenklige Dreiecke, 1 Quadraten und 2 Rechtecke
ebene Abbildung:
Grundfläche: rechtwinklige Dreiecke
Seitenflächen: zwei Quadraten und ein Rechteck
Verbindungsstücke: 2 rechtwinklige Dreiecke, 2 Quadraten und 1 Rechteck
ebene Abbildung:
104
Viereckige Prismen
Grundfläche: Quadraten
Verbindungsstücke: 6 Quadraten oder2 Quadraten und 4 Rechtecke
ebene Abbildung:
Grundfläche: Rhomben, die bei zwei gleichseitigen Dreiecke gestalten sind.
Verbindungsstücke: 4 gleichseitige Dreiecke und 4 Quadraten oder 4 Rechtecke
ebene Abbildung:
Fünfeckige Prismen
Grundfläche: Fünfecke
Verbindungsstücke: 2 Fünfecke und 5 Quadraten oder 5 Rechtecke
ebene Abbildung:
Sechseckige Prismen
Grundfläche: Sechsecke
Verbindungsstücke: 2 Sechsecke und 6 Quadraten oder 6 Rechtecke
ebene Abbildung:
Eigenschaften der Prismen
Die Flächen der Prismen sind kongruente Vielecke
Die Prismen sind konvexe Polyeder
Die Prismen befolgen den Eulersche Polyedersatz, E + F = K+ 2..
Sie werden die „hochste Prismen" bekommen, wenn Sie Quadraten und Rechtecke verbinden.
Sie können sio viele Prismen bauen, wie Sie wollen. Benutzen Sie die vorhergehenden Prismen.
Die Mantel soll aus Rechtecke bestehen. Sie können auch Rechtecke mit Quadraten schaffen.
105
DIE ANTIPRISMEN
Ausdenken Sie, dass die Mantel der Primen flexibel wäre und dass wir die Grundflächen in gegenüberliegenden
Richtung verdrehen können. Das resultierende Polyeder heiβt Antiprisma.Ein Antiprisma ist ein Prisma, das
zwei gleichen Grundflächen hat. Die Grundflächen sind eine auf der anderen, aber sie haben unterschieliche
Richtungen. Die Seitenfläche des Polyeder sind jetzt Dreiecke. Das Anfangspolyeder hatte Quadraten als
Seitenfläche. Nach dieser Drehung bekommen wir gleichschenklige Dreiecken. Wenn die Antiprismen aus
regulären Polygone bestehen, werden sie halbreguläre Polyeder sein.
DREISCKIGE ANTIPRISMEN
Grundfläche: gleichseitige Dreiecke
Seitenflächen: gleichseitige Dreiecke oder gleichschenklige Dreiecke
Verbindungsstücke: 2 gleichseitige Dreiecke und 6 gleichseitige
Dreiecke oder 6 gleichschenklige Dreiecke
ebene Abbildung:
VIERECKIGE ANTIPRISMEN
Grundfläche: Quadraten
Verbindungsstücke: 2 Quadraten y 8 gleichseitige Dreiecke oder 8 gleichschenklige Dreiecke
ebene Abbildung:
FÜNFECKIGE ANTIPRISMEN
Grundfläche: Fünfecke
Verbindungsstücke: 2 Fünfecke und 10 gleichseitige Dreiecke oder 10 gleichschenklige Dreiecke
ebene Abbildung:
SECHSECKIGE ANTIPRISMEN
Grundfläche: Sechsecke
Verbindungsstücke: 2 Sechsecke und 12 gleichseitige Dreiecke oder 12 gleichschenklige Dreiecke
ebene Abbildung:
106
DIE PYRAMIDEN
Die Pyramide ist ein spezielles Polyeder, die Sie sie schon gut kennen. Die Ägypter benutzten diese Gebäude
als Grabstätten, und heutzutage sind sie sehr interessant aufgrund seiner Geheimnisse. Die Pyramide wird
immer von einem Vieleck (Polygon) beliebiger Eckenzahl (der Grundfläche) begrenzt und mindestens drei
Dreiecken (Seitenflächen), die in einem Punkt (der Spitze der Pyramide) zusammentreffen.
Die Namen der Pyramiden hängen von der Polygone (Grundflächen) ab. Zum Beispiel: wenn die Grundfläche
der Pyramide ein Quadrat ist, wird die Pyramide eine ,,viereckige Pyramide". Die Pyramide wird auch eine
reguläre Pyramide, wenn das Polygon der Grundfläche ein reguläres Polygon ist.
Wenn alle Seitenflächen reguläre Polygone sind, dann wird die Pyramide ein halbreguläres Polyeder sein.
Der Punkt oder die Spitze der Pyramide ist, wo alle Seitenflächen der Pyramide zusammentreffen. Man kann
die Höhe einer Pyramide berechnen, wenn man eine senkrechte Linie von der Grundfläche bis den punkt
zeichnen. Diese Linie heiβt Höhe der Grundfläche. Man spricht von einer regelmäßigen oder regulären
Pyramide, wenn die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und der Mittelpunkt dieses Vielecks zugleich
der Fußpunkt der Pyramidenhöhe ist. Jede regelmäßige Pyramide ist daher auch gerade.Wenn dies nicht
passiert, wird die Pyramide schief sein.
Die Pyramiden, die Sie mit diesem Set bauen können, sind folgende:
DREIECKIGE PYRAMIDEN
1) Grundfläche: gleichseitiges Dreieck
Verbindungsstücke: 1 gleichseitiges Dreieck und 3 gleichseitige Dreiecke oder 3 gleichschenklige Dreiecke
ebene Abbildung:
ebene Abbildung:
Grundfläche: rechtwinkliges Dreieck
Seitenflächen: zwei gleichseitige Dreiecke und ein Rechteck
Verbindungsstücke: 2 rechtwinklige Dreiecke und 2 gleichseitige Dreiecke
ebene Abbildung:
Seitenflächen: gleichschenklige Dreiecke
Verbindungsstücke: gleichschenklige Dreiecke
ebene Abbildung:
107
Seitenflächen: gleichseitiges Dreieck und zwei Rechtecke
Verbindungsstücke: 1 gleichschenklige Dreiecke ,2 rechtwinklige Dreiecke und 1 gleichseitige Dreiecke
ebene Abbildung:
VIERECKIGE PYRAMIDEN
1) Grundfläche:Quadraten
Verbindungsstücke: 1 Quadrat und 4 gleichseitige Dreiecke oder 4 gleichschenklige Dreiecke
ebene Abbildung:
2) Grundfläche:Quadrat
Seitenflächen: gleichseitige Dreiecke, Rechtecke und gleichschenklige Dreiecke
Verbindungsstücke: 1 Quadrat und 1 gleichseitige Dreieck, 1 gleichschenklige Dreiecke und 2
rechtwinklige Dreiecke
ebene Abbildung:
3) Grundfläche:Rechteck
Seitenflächen: rechtwinklige Dreiecke und gleichseitige Dreiecke
Verbindungsstücke: 1 Rechteck, 2 gleichseitige Dreiecke und 2 rechtwinklige Dreiecke
ebene Abbildung:
108
4) Grundfläche:Rechteck
Seitenflächen: gleichseitige Dreiecke und gleichschenklige Dreiecke
Verbindungsstücke: 1 Rechteck und 3 gleichschenklige Dreiecke und 1 gleichseitige Dreiecke
ebene Abbildung:
Fünfeckige Pyramiden
1) Grundfläche:Fünfeck
Verbindungsstücke: 1 Fünfeck und 5 gleichschenklige Dreiecke
ebene Abbildung:
Sechseckige Pyramiden
1) Grundfläche: Sechseck
Verbindungsstücke: 1 Sechsecke und 6 gleichschenklige Dreiecke
ebene Abbildung:
Man kann nicht eine fünfeckige Pyramide oder eine sechseckige Pyramide mit gleichseite Dreiecke gestalten.
Eigenschaften der Pyramiden
Die Flächen der Pyramiden sind kongruente Vielecke
Die Pyramiden sind konvexe Polyeder
Die Pyramiden befolgen den Eulersche Polyedersatz, E + F = K+ 2.
109
BIPYRAMIDEN
Markiert man alle Seitenmitten eines Polyeders, durch Flächen, deren Flächen gemeinsame Eckpunkte haben, dann
erhält man den zum Polyeder dualen Körper. Der duale Körper eines geraden Prismas mit polygonaler Grundfläche
ist eine Bipyramide; diese besteht aus zwei spiegelbildlichen Pyramiden, die sich eine gemeinsame Grundfläche
teilen. Eine Bipyramide besteht also aus einer Pyramide und der an ihrer Grundfläche gespiegelten Pyramide Wenn
die Bypiramiden dreieckige sind, werden sie dreieckige Bipyramiden heiβen. Wenn die Byramiden viereckig sind,
werden sie viereckige Bipyramiden heiβen. Und so weiter und so fort.
Man kann die folgende bipyamiden mit den Verbindungsstücke gestalten:
Dreieckige Bipyramiden
Zwei viereckige Pyramiden mit gleichseitigen Dreiecke
6 gleichseitige Dreiecke
ebene Abbildung
Eine Pyramide mit gleichseitigen Dreiecke und eine Pyramide mit gleichschenkligen Dreiecke
3 gleichseitige Dreiecke und 3 gleichschenklige Dreiecke
ebene Abbildung
Zwei Pyramiden mit gleichschenkligen Dreiecke
6 gleichschenklige Dreiecke
ebene Abbildung
Viereckige Bipyramiden
Zwei viereckige Pyramiden mit gleichseitigen Dreiecke
ebene Abbildung
ebene Abbildung
110
Zwei Pyramiden mit gleichschenkligen Dreiecke
gleichschenklige Dreiecke
ebene Abbildung
Fünfeckige Bipyramiden
Zwei fünfeckige Pyramiden mit gleichseitigen Dreiecke
ebene Abbildung
ebene Abbildung
Zwei Pyramiden mit gleichschenkligen Dreiecke.
ebene Abbildung
Sechseckige Bipyramiden
Zwei sechseckige Pyramiden mit gleichschenkligen Dreiecke.
ebene Abbildung
111
DIE STERNPOLYEDER
Wenn Sie eine Pyramide auf jeder Seitenfläche von einem regulären Tetrader bauen, werden Sie eine
Sternfigur mit vier Spitzen bekommen. Diese Figur heiβt Sterntetreder. Und wenn Sie Pyramiden auf jeder
Seitenfläche von den anderen regulären Polyeder bauen, werden Sie dann auch einen Sternkörper zum
Würfel, einen Sternkörper zum Oktaeder, einen Sternkörper zum Dodekaeder oder einen Sternkörper zum
Ikosaeder bekommen. Diese Figuren sind aber schön!
Von dem Tetraeder kann man einen Sternkörper zum abgestumpften Tetraeder bekommen.
Von dem Kuboktaeder kann man einen Sternkörper zum Kuboktaeder bekommen.
Um diese Sternfiguren zu formen, werden Sie gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke benutzen.
Wenn man Pyramiden auf der Seitenflächen von den archimedischen Körper baut, kann man Sterne bekommen.
Ein wichtiges Merkmale dieser Polyeder ist, dass sie konkav sind. Die andere Polyeder, die Sie mit diesem Set
gelernt haben, sind alle Konvex.
Sterntetraeder(12 Dreicke)
Sternkörper zum Würfel (24 Dreicke)
Sternkörper zum Oktaeder (24 Dreicke)
Sternkörper zum Dodekaeder(60 Dreicke)
Sternkörper zum Ikosaeder(60 Dreicke)
112
DIE DELTAEDER
Der Name ,, Deltaeder" stammt aus dem Wort ,,Delta". Delta ist ist der vierte Buchstabe im griechischen Alphabet
und seines Symbol ist ein Dreieck (Δ).. Ein Deltaeder ist ein Polyeder, das ausschließlich durch gleichseitige
Dreiecke begrenzt ist.Es existieren 8 konvexe Deltaeder:
TETRAEDER (4 Dreiecke)
DREIECKIGE BIPYRAMIDE
(6 Dreiecke)
OKTAEDER (8 Dreiecke )
FÜNFECKIGE BIPYRAMIDE
(10 Dreiecke)
TRIGONDODEKAEDER (12 Dreiecke)
DREIECKIGE PRISMEN
(14 Dreiecke)
UMGEDREHTE VIERECKIGE BIPYRAMIDE
(16 Dreiecke)
IKOSAEDER
( 20 Dreiecke)
ANDERE POLYEDER
Es gibt viele Polyeder, deshalb kann man nicht alle klassifizieren und erklären. Man hat schon einige Polyeder
gemäβ der Anzahl von Seiten, Ecken und Polygone der Seiten klassifiziert. Aber man kann auch andere
reizvolle Polyeder formen, die sie gemäβ anderen Merkmale klassifizieren werden.
VERSCHIEDENE FIGUREN
Wenn Sie alle Polyeder gebaut haben, werden Sie ihre Kenntnise über Geometrie viel erweitern. Mit diesem Set
können Sie diese Kenntnisse mehr verbessern, als während eines herkömmlichen Mathematik-Unterrichtes.
Wir empfehlen Ihnen, dass Sie mit dem Verbindungsspiel nach Lust und Laune spielen. Sie werden Wohnungen,
Behälter, Figuren, usw. bauen. Aber Sie sollen nie vergessen die geometrischen Elemente, die Sie hier gelehrt
haben. So werden Sie spielen und anwenden, was Sie gelehrt haben. Genieβen Sie ihres Set und
Glückwunsch für ihre Arbeit!
113
INTRODUZIONE
La Geometriaè quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme, delle loro misure e delle l
oro mutue relazioni. La geometria, per tanto, classifica gli oggetti esistenti secondo loro dimensioni, angoli,
caratteristiche, somiglianze e differenze ed è la parte più interessante della scienza matematica perché
osserva e studia gli oggetti che usiamo quotidianamente. La Geometria si incarica di esaminare gli oggetti
che possiamo toccare, misurare ed osservare, in definitiva, che esistono intorno a noi.
I POLIGONI
Un poligono è una forma geometrica piana: è quella parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa
non intrecciata. I poligoni hanno due dimensioni: largo e lungo.
Linea poligonale aperta
Linea poligonale chiusa
Ciascuno dei segmenti che formano la figura poligonale si chiama lato. I vertici sono il punto d'incontro dei lati
di un poligono e formano gli angoli. Questi angoli possono essere convavi (maggiore di 180 º) o convessi
(minori di 180º).
Poligoni concavi
Poligoni convessi
Si può verificare facilmente che bastano tre lati per formare un poligono.
Classificazione dei poligoni
I poligoni prendeno il nome degli angoli, infatti: se hanno tre angoli si chiamano triangoli; se hanno quattro angoli si
chiamano quadrilateri; se hanno cinque angoli si chiamano pentagoni; se hanno sei angoli si chiamano esagoni, e così via.
Triangoli
Quadrilateri
Pentagoni
Esagoni
I triangoli possono essere classificati in base alla lunghezza dei lati. Se ha tutti i lati uguali si chiama triangolo equilatero;
se ha due dei lati uguali si chiama triangolo isoscele; e se tutti i lati sono differenti, si chiama triangolo scaleno.
triangolo equilatero
triangolo isoscele
triangolo scaleno.
114
I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più ampio, sono
descritti di seguito usando i gradi d'arco. Un triangolo rettangolo (o triangolo retto) ha un angolo interno di
90°; un triangolo ottusangolo (o triangolo ottuso) ha un angolo interno maggiore di 90° (un angolo ottuso);
Un triangolo acutangolo (o triangolo acuto) ha tutti gli angoli interni minori di 90° (tre angoli acuti).
Acutangolo
Ottusangolo
Rettangolo
Si distiguono vari tipi di quadrilateri secondo la disposizione dei lati. In trapezio è un quadrilatero con due lati
mutuamente paralleli ed il trapezoide non ha nessun lato parellelo. un parallelogramma è un quadrilatero nel
quale i lati opposti sono paralleli. Un parallelogramma che ha i quattro angoli interni congruenti (e quindi retti)
è un rettangolo. Un parallelogramma per il quale sono congruenti sia i lati che gli angoli interni (e che quindi
è sia un rombo che un rettangolo) è un quadrato.
Trapezio
Trapezoide
Parallelogramma
Rettangolo
Quadrato.
Non c'è nessuna classificazione speciale per i poligoni che hanno cinque o più lati. Regolare è il poligono con
tutti i lati uguali. Per esempio, ottagono regolare è il poligono con otto lati uguali.
La cosa migliore che si può fare è praticare con i poligoni prima spiegati. Questi sono i poligoni di questo set:
Triangolo equilatero
Triangolo isoscele
Triangolo rettangolo e isoscele
PEZZI DI COLLEGAMENTO
Rettangolo
Quadrato
Pentagono regolare
Esagono regolare
I pezzi di collegamento incastrano fra loro come si fossero i pezzi di un puzzle. Questi pezzi di collegamento hanno
un'agganciamento speciale. Inoltre, le lunghezze dei pezzi sono molto importante: piccole per la maggioranza delle
figure e lunghe per i lati maggiori del rettangolo, per i lati uguali del triangolo isoscele e per il lato differente del
triangolo rettangolo.
Dopo la spiegazione, puoi cominciare ad unire i pezzi ed a familiarizzarsi con l'agganciamento. Il montaggio dei
poliedri sarà più facile, se pratichi un po' il collegamento dei pezzi senza formare nessuna figura.
115
MOSAICI
In matematica si usa la parola mosaici per indicare il rivestimento del piano che formano le figure che si usano da
rivestimento. Questa composizione è fomata da poligoni e da figure curve che non possono essere sovrapposti.
MOSAICI
MOSAICI
Ci sono molti mosaici intorno a noi: sui pavimenti, parete, muri, tappeti, ecc. Inoltre, i mosaici sono molto interessanti
dal punto di vista matematico, perché si possono osservare forme geometriche nella vita quotidiana. I mosaici
aumentano l'interesse e curiosità per il disegno. Il piano è illimitato e senza bordi, ma il foglio di carta o la tavola,
che utilizzi, è limitato da bordi. Pertanto, non fare attenzione ai bordi della tavola o del foglio di carta, costruisci il
mosaico come se il disegno continuasse in modo indefinido.
Mosaici regolari
Sono le pavimentazioni che è possibile creare usando solamente un tipo di poligono regolare.
Prova con i tuoi pezzi di collegamento che mosaici regolari puoi creare.
Che poligoni regolari rivestono il piano con un mosaico?
I poligoni regolari che possono rivestire il piano sono: i triangoli equilateri, i quadrati, gli esagoni, i rettangoli, i triangoli
rettangolo ed i triangoli isosceli.
Ettangoli
Quadrati
Triangoli equilateri
Triangoli isosceli
116
triangoli
rettangolo
Esagoni
Mosaici semiregolari
Sono le pavimentazioni che è possibile creare usando diversi poligoni regolari. Il mosaico sarà costruito bene, se
non ha nessun buco né sovrapposizione. Perciò, bisogna compiere queste condizioni: Ciascuno dei vertici dei
poligono devono essere sempre nello stesso ordine. I lati dei poligoni usati devono avere la stessa lunghezza.
117
Altri mosaici
Ci sono molti tipi di mosaici che si possono creare con diversi poligoni regolari. Ma in tutti i vertici devono collimare
gli stessi poligoni con lo stesso ordine o perché non sono poligoni regolari.ratica coi tuoi pezzi e prova di fare
composizioni vistose.
I POLIEDRI
Un poliedro è un solido tridimensionale (con largo,lungo ed alto) delimitato da un numero finito di facce piane
poligonali che formano una figura chiusa e con volume.
Ciascuno dei poligoni che formano il poliedro si chiama faccia. Ogni lato di ciascun poligono che costituisce una
faccia coincide con il lato di un'altra faccia e viene detto spigolo del poliedro. Ogni vertice di una faccia è vertice di
altre facce (almeno 3) e si dice vertice del poliedro. Questi vertici fomano un angolo.
Faccia
Vertice
Spigoli
Gli angoli di un poliedro possono essere convessi o concavi.Si dice poliedro convesso un poliedro tale che ogni
coppia di suoi punti interni individa un segmento interamente costituito da suoi punti interni. Un poliedro non
convesso si dice poliedro concavo.
poliedro convesso
poliedro concavi
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Il teorema o l'identità di Eulero.
Il teorema di Eulero afferma che per l'intera classe dei poliedri convessi, ma anche per la più vasta gamma dei
poliedri a superficie semplicemente connessa, vale l'uguaglianza F+V=S+2 ("in ogni poliedro convesso, il numero
di facce + i vertici = spigoli +2"). Dopo la spiegazione di tutti i poliedro, verficheremo questo teorema.
Con quattro poligoni si può formare un poliedro. Questa figura geometrica con quattro poligoni si chiama
tetraedro; se la figura geometrica ha sei poligoni si chiama esaedro; se la figura ha otto poligoni, si chiama
ottaedro; se ha dieci poligoni, si chiama decaedro.
Si dice poliedro regolare un poliedro le cui facce sono tutte poligoni regolari e congruenti e i cui vertici sono tutti
regolari e dotati di poligoni associati tutti congruenti. Di solito vengono chiamati solidi regolari solamente i cinque
poliedri regolari convessi. I cinque poliedri regolari convessi sono chiamati anche solidi platonici.
POLIEDRI REGOLARI: I SOLIDI PLATONICI
Fu il greco Platone chi, durante il secolo IV a.C, scoprì che solo si possono formare cinque poligoni regolari. Perciò
i poligoni regolari si chiamano anche solidi platonici. I cinque solidi platonici sono: il tetraedro regolare, l'esaedro
regolare o cubo, l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare. Per poter realizzare la "costruzione"
di ciascuno di questi poliedri è necessario solo un tipo di figura geometrica. Per esempio, il tetraedro, l'ottaedro e l'
icosaedro vengono formati solamente di triangoli equilateri. Il cubo viene formato da quadrati e il dodecaedro da
pentagoni regolari.
Tetraedro
Cubo
Ottaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Caratteristiche generali dei solidi platonici
Tutte le facce sono poligoni regolari convessi. Tutte le facce e gli angoli sono uguali.
Sono poliedri convessi (la stessa definizione che prima)
Gli angoli non sono maggiore di 180º
I solidi platonici sono completamente regolari, cioè, la visuale da ciascuno dei vertici è identica.
I solidi platonici compiono il Teorema di Eulero
IL TETRAEDRO REGOLARE
Le facce sono triangoli equilateri
Nr. di facce: 4
Nr. di vertici: 4
Nr. di spigoli: 6
Teorema di Eulero: 4+4=6+2
Rappresentazione piana:
Pezzi di collegamento: 4
L' ESAEDRO REGOLARE O CUBO
Le facce sono quadrati
Nr. di facce: 6
Nr. di vertici: 8
Nr. di spigoli: 12
Teorema di Eulero:6+8=12+2
Pezzi di collegamento: 6
119
L'OTTAEDRO REGOLARE
Nr. di facce: 8
Nr. di vertici: 6
Nr. di spigoli: 12
Pezzi di collegamento:
Rappresentazione
piana:8
IL DODECAEDRO REGOLARE
Le facce sono pentagoni regolari
Nr. di facce: 12
Nr. di vertici : 20
Nr. di spigoli: 30
Pezzi
di collegamento:
12
Rappresentazione
piana:
L' ICOSAEDRO REGOLARE
Nr. di facce: 20
Nr. di vertici: 12
Nr. di spigoli: 30
Rappresentazione
piana:
Pezzi
di collegamento:
20
Si dice poliedro coniugato un poliedro il cui numero facce è uguale al numero di vertici di altro poliedro. Secondo il
Teorema di Eulero, questi poliedri hanno lo stesso numero di spigoli. I poliedri coniugati più importanti sono:
Tetraedro-Tetraedro; Cubo-Ottaedro e Dodecaedro- Icosaedro
Faccia = 6
Vertici = 6
Spigoli = 12
Spigoli = 12
Comincia a costruire i solidi unendo i pezzi di collegamento delle figure mostrate sopra. O realizzi la costruzione
su una superficie piana e dopo, la dai volumen., oppure, unisci i pezzi ad uno ad uno e gli dà un po' per volta la
forma finale. Utilizza anche i colori. Combina i diversi colori del set per costruire facce e figure vistose.
Scambia ciascuno dei quadrati del cubo con due triangoli rettangoli. La figura geometrica sarà più vistosa, se
combini i colori come ti piace.
120
POLIEDRI SEMIREGOLARI
Un poliedro semiregolare è un poliedro le cui facce sono costituite da diversi tipi di poligoni regolari e se tutti i suoi
vertici sono simili perché i poligoni che coincidono sono uguali. C'è un numero finito di poligoni semiregolari. Si
dividono in questi gruppi:
I prismi regolari, hanno tutte le facce costituite da poligoni regolari e quindi hanno tutti gli spigoli di uguale lunghezza.
Le facce sono quadrati o rettangoli e loro basi sono uguali e parallele.
Gli antiprimi sono poliedri le cui facce sono triangoli equilateri o isosceli. Le basi degli antiprismi sono poligoni
regolari girati. Il giramento di queste basi permette che il vertice di una faccia si proietti sul punto medio di ogni lati
dell' altra faccia.
I poliedri stellati, è un poliedro regolare, in cui tutte le facce sono formate da identici poligoni regolari (piramidi
senza base) e che ha lo stesso numero di facce e di lati che il poligono da cui si forma.
I solidi archimedei sono poliedri che si formano dal taglio degli angoli dei poliedri regolari.
Comincia la costruzione dei poliedri semiregolari per i solidi archimedei, perché questo gruppo ha un numero finito
di figure geometriche.
I SOLIDI ARCHIMEDEI
I solidi archimedei sono poliedri che si formano dalla modificazione di poligoni regolari e dal taglio di loro angoli.
Così, tutte le facce dei solidi sono regolari e loro vertici uguali. I solidi archimedei traggono il loro nome da Archimede,
il loro scopritore.
Di solito, questi poliedri si utilizzano come elementi decorativi per lampioni o per altri oggetti. Per esempio, il pallone
ufficiale di calcio è anche un poliedro che si chiama piccolo rombicosidodecaedro e che è formato da 20 triangoli, 30
quadrati e 12 pentagoni
Attualmente ci sono 13 solidi archimedei. Tra questi 13 tipi di solidi archimedei, ci sono quattro che utilizzano ottagoni
e decagoni in loro costruzione. Questi pezzi (gli ottagoni e i decagoni) non sono inseriti in questo set, di modo che non
saranno spiegati.
tipi 1
tipi 2
Il troncamento
Il troncamento consiste nel taglio degli angoli dei poliedri regolari per ottenere poliedri con tutte le facce regolari.
Ogni vertice del poliedro si trasformerà in un poligono regolare con tanti lati come facce coincidevano.
Ci sono due gruppi di poliedri secondo il piano che realizza il taglio del troncamento: se il taglio si proietta sul
punto medio dell spigolo, il poliedro è di tipo 1; se il taglio si proietta su una distanza minore, il poliedro è di tipo 2.
icosaedro troncato
icosidodecaedro
tetraedro troncato
dodecaedro camuso
octaedro troncato
cubocttaedro
picolo rombicosidodecaedro
121
cubo camuso
picolo rombicuboctaedro
Grande rombicosidodecaedro
dodecaedro troncato
Grande rombicubottaedro
cubo troncato
CLASSIFICAZIONE
a) Solidi archimedei ottenuti dal taglio del troncamento di tipo 1 di solidi platonici. Il taglio si realizza e proietta
sul punto medio dei spigoli che coincidono in ogni vertice.
CUBOTTAEDRO
Si ottiene dal troncamento di un cubo ed un ottaedro. Se tronchiamo il cubo, otterremo un triangolo da ciascuno
dei vertici ed un quadrato da ciascuna delle facce. Se tronchiamo l'ottaedro, otterremo un quadrato da ciascuno
dei vertici ed un triangolo da ciascuna delle facce.
Nr. di facce: 14
Nr. di vertici: 12
Nr. di spigoli: 24
Pezzi di collegamento: 6 quadrati ed 8 triangoli equilateri
ICOSIDODECAEDRO
Si ottiene dal troncamento del tipo 2 di un dodecaedro o di un icosaedro regolare. Se tronchiamo il dodecaedro,
oterremo un triangolo da ciascuno dei vertici ed un pentagono da ciascuna delle facce. Se tronchiamo
l'icosaedro, otterremo un pentagono da ciascuno dei vertici ed un triangolo da ciascuna delle facce.
Nr. di facce: 32
Nr. di vertici: 30
Nr. di spigoli: 60
Pezzi di collegamento: 20 triangoli equilateri ed 12 pentagoni
Il troncamiento del tetraedro non viene spiegato, perché si ottene un' ottaedro (un solido platonico).
b) Solidi archimedei ottenuti dal taglio del troncamento di tipo 2 di solidi platonici. Il taglio si realizza ad una
distanza adeguata, affiché i poligoni siano regolari ed abbiano doppia quantità di facce che il primo poligono.
La distanza al vertice sarà minore che la metà della faccia del poligono.
122
TETRAEDRO TRONCATO
Dal troncamento del tipo 2 di un un tetraedro regolare si ottiene un triangolo da ciascuno dei vertici ed un esagono
regolare da ciascuna della facce
Nr. di facce: 8
Nr. di vertici:12
Nr. di spigoli: 18
Pezzi di collegamento: 4 esagoni e 4 triangoli equilateri
OTTAEDRO TRONCATO
Dal troncamento del tipo 2 di un ottaedro regolare si ottiene un quadrato da ciascuno dei vertici ed un esagono
regolare da ciascuna della facce.
Nr. di facce: 14
Nr. di vertici: 24
Nr. di spigoli: 36
Pezzi di collegamento: 8 esagoni e 6 quadrati
ICOSAEDRO TRONCATO
Dal troncamento del tipo 2 di un icosaedro regolare si ottiene un pentagono da ciascuno dei vertici ed un esagono
regolare da ciascuna delle facce.
Nr. di facce: 32
Nr. di vertici: 60
Nr. di spigoli: 90
Pezzi di collegamento: 20 esagoni e 12 pentagoni
Il cubo troncato ed il dodecaedro troncato non vengono spiegati perché dal troncamento di questi poliedro si
ottengono ottagoni e decagoni. Questi pezzi (ottagoni e decagoni) non vengono inseriti nel set Conexion.
123
I ROMBI
PICCOLO ROMBICUBOTTAEDRO
Questo poliedro si ottiene dal troncamento del cubottaedro in un modo particolare e con qualche trasformazioni.
È formato da quadrati e triangoli.
Nr. di facce: 26
Nr. di vertici: 24
Nr. di spigoli: 48 Teorema di Eulero:26 +24=48+2
Pezzi di collegamento: 18 quadrati ed 8 triangoli equilateri
Il grande rombicubottaedro si ottene dalla modificazione del cubottaedro. Con il grande rombicubottaedro
si realizzano un'altro tipo di trasformazioni. Per poter realizzare la sua costruzione, sono necessari quadrati,
esagoni ed ottagoni. Questi pezzi non vengono inseriti nel set Conexión.
PICCOLO ROMBICOSIDODECAEDRO
Questo poliedro si ottiene dal troncamento dell' icosidodecadro in un modo particolare e con qualche
trasformazioni. È formato da pentagoni, quadrati e triangoli.
Nr. di facce: 62
Nr. di vertici: 60
Nr. di spigoli: 120 Teorema die Eulero: 62+60=120+2
Pezzi di collegamento: 12 pentagoni, 30 quadrati e 20 triangoli equilateri
Il grande rombicosidodecaedro si ottene dalla modificazione dell' icosidodecaedro. . Con il grande rombicosidodecaedro
si realizzano un'altro tipo di trasformazioni. Per poter realizzare la sua costruzione, sono necessari quadrati, esagoni
e decagoni. Questi pezzi non vengono inseriti nel set Conexión.
124
I CAMUSI
SNUB-CUBO o CUBO CAMUSO
È formato da quadrati e triangoli. Figura gometrica che non ha piani di simmetria, ma ha assi di rotazione.
Nr. di facce: 38
Nr. di vertici: 24
Nr. di spigoli: 60
Teorema di Eulero:38 +24=60+2
Pezzi di collegamento: 6quadrati e 32 triangoli equilateri
SNUB-DODECAEDRO o DODECAEDRO CAMUSO
È formato da pentagoni e triangoli. Figura gometrica che non ha piani di simmetria, ma ha assi di rotazione.
Nr. di facce: 92
Nr. di vertici: 60
Nr. di spigoli: 150
Pezzi di collegamento: 12 pentagoni ed 80 triangoli equilateri
125
I PRISMI
In geometria si definisce prisma un poliedro individuato da due facce poligonali congruenti appartenenti a due piani
paralleli (chiamate basi) collegate da facce (dette facce laterali) in numero uguale al numero di lati delle basi e
costituite da parallelogrammi. Inoltre, se le basi sono collocate una sopra l'altra e le facce sono rettangolari o
quadrate, le figure geometriche si chiamano prismi o prismi retti. Perciò, se un prisma ha tutte le facce regolari,
si chiama anche poliedro semiregolare.
I prismi sono la figura geometrica più visibili. Siamo abituati a vedere prisma intorno a noi: stanze, edificio, cassa, i
tetra-brik, ecc. Ci sono anche prismi nella natura: le cristallizzazioni di qualche minerali, le cellule vegetali, il guscio
di qualche molluschi, gli occhi degli insetti, ecc.
Il nome dei prismi dipende e varia secondo il numero di lati che ha il poligono della base. Se il poligono della base
è un quadrato, il prisma si chiamerà quadrangolare. Se il poligono è regolare (tutti i lati uguali), il prima sarà
prisma regolare.
Questi sono i prismi che puoi costruire con i pezzi del set Conexion:
Prismi triangolari:
1) Basi: triangoli equilateri
Facce laterali: quadrati o rettangoli
Pezzi di collegamento: 2 triangoli equilateri e 3 quadrati o 3 rettangoli
2) Basi: triangoli isosceli
Facce laterali: un quadrato e due rettangoli
Pezzi di collegamento: 2 triangoli isosceli, 1 quadrati e 2 rettangoli
3) Basi: triangoli rettangoli
Facce laterali: due quadrati ed un rettangolo
Pezzi di collegamento: 2 triangoli rettangoli, 2 quadrati e 1 rettangoli
126
Prismi quadrangolari
1) Basi: quadrati
Pezzi di collegamento: 6 quadrati o 2 quadrati e 4 rettangoli
2)Basi: rombi ottenuti da due triangoli equilateri
Pezzi di collegamento: 4 triangoli equilateri e 4 quadratri o 4 rettangoli
Prismi pentagonali
1)Basi: pentagoni
Pezzi di collegamento: 2 pentagoni e 5 quadrati o 5 rettangoli
Prismi esagonali
1)Basi: esagoni
Pezzi di collegamento: 2 esagoni e 6 quadrati o 6 rettangoli
Caratteristiche dei prismi
Tutte le facce sono poligoni convessi
Sono poliedri convessi
Gli angoli non sono maggiore di180º
I prismi compiono il Teorema di Eulero, F + V = S + 2.
Puoi costruire prismi "più alti" o unendo due quadrati per formare un rettangolo, o unendo un quadrato e un
rettangolo, oppure due rettangoli ed usando le basi dei prismi anteriori. Le facce laterali di questi prismi
sarannp rettangoli ottenuti dalla unione di due o più pezzi.
127
GLI ANTIPRISMI
Immagina per un momento che i lati delle facce quadrate o rettangolari di un prisma sono elastici e che puoi girare
il poligono della base. Il poliedro che resulta dal giro si chiama antiprisma. L'antiprisma è un prisma con le due basi
uguali collocate una sopra l'altra, ma con orientamiento differente. Le facce laterali sono state cambiate da triangoli.
Se le facce del prisma originale erano quadrati, otterai triangoli equilateri; se, invece, le facce del prisma originale
erano rettangoli, otterrai triangoli isosceli.
Gli antiprisma formati da facce che siano poligoni regolari, si trasformeranno in poliedri semiregolari.
Antiprismi triangolari
1)Basi: triangoli equilateri
Facce laterali: triangoli equilateri o isosceli
Pezzi di collegamento: 2 triangoli equilateri e 6 triangoli equilateri o 6 triangoli isosceli
Antiprismi quadrangolari
1) Basi: quadrati
Pezzi di collegamento: 2 quadrati ed 8 triangoli equilateri o 8 triangoli isosceli
Antiprismi pentagonali
1)Basi: pentagoni. Facce laterali: triangoli equilateri o isosceli
Pezzi di collegamento: 2 pentagoni e 10 triangoli equilateri o 10 triangoli isosceli
Antiprismi esagonali
1)Basi: esagoni. Facce laterali: triangoli equilateri o isosceli.
Pezzi di collegamento: 2 esagoni e 12 triangoli equilateri o 12 triangoli isosceli
128
LE PIRAMIDI
Le piramidi sono un tipo di poliedri molto speciali. Sicuro che hai visto una piramide!Gli egiziani utilizzavano le piramidi
come momumenti funerari ed attualmente queste piramidi egiziane sono molto importanti per i misteri che nascondono.
Le caratteristiche principali delle piramidi sono che hanno una base che può essere formata da qualsiasi poligono e che
le loro facce sono triangoli che si congiungono in un vértice situato sopra la base.
Il nome delle piramidi dipende dal numero di lati cha abbia il poligono che forma la base. Se la base della piramide è un
quadrata, la piramide si chiama quadrangolare; se il poligono della base è regolare (tutti i lati uguali), la piramidei chiama
piramide regolare.
Se tutte le facce della piramide sono poligoni regolari, questa piramide sarà un poliedro semiregolare.
Il vertice della piramide, che è situato sopra la base, è dove si congiungono tutte le facce. Se disegni una linea
perpendicolare dal vertice alla base, questa linea si chiama altezza della base. Se l'altezza della base passa per il
centro del poligono della base, la piramide è retta. Invece, se non passa per il centro, la piramide avrà un' aspecto
inclinato.
Le piramidi che puoi costruire con i pezzi del set di Conexion sono:
Piramidi triangolari
1)Base: triangolo equilatero
Pezzi di collegamento: 1 triangoli equilateri e 3 triangoli equilateri o 3 triangoli isosceli
2)Base: triangolo rettangolo
Facce laterali: due triangoli equilateri ed un triangolo rettangolo
Pezzi di collegamento: 2 triangoli rettangoli e 2 triangoli equilateri
3)Base:triangolo isoscele
Facce: triangoli isosceli
Pezzi di collegamento: 4 triangoli isosceli
129
4)Base: triangolo isoscele
Facce laterali: un triangolo equilatero e due triangoli rettangoli
Pezzi di collegamento: 1 triangoli isosceli ,2 triangoli rettangoli ed 1 triangoli equilateri
Piramidi quadrangolari
1)Base: quadrato
Pezzi di collegamento: 1 quadrati e 4 triangoli equilateri o 4 triangoli isosceli
2)Base: quadrato
Facce laterali: triangoli equilateri, rettangoli ed isosceli
Pezzi di collegamento: 1 quadrati e 1 triangoli equilateri, 1 triangoli isosceli e 2 triangoli rettangoli
3)Base: rettangolo
Facce laterali: triangoli rettangoli ed equilateri
Pezzi di collegamento: 1 rettangoli, 2 triangoli equilateri e 2 triangoli rettangoli
130
4)Base: rettangolo
Facce laterali: triangoli equilateri ed isosceli
Pezzi di collegamento: 1 rettangoli e 3 triangoli isosceli e 1 triangolo equilatero
Piramidi pentagonali
1)Base: pentagono
Pezzi di collegamento: 1 pentagoni e 5 triangoli isosceli
Piramidi esagonali
1)Base: esagono
Facce laterali: triangoli isosceli
Pezzi di collegamento: 1 esagoni e 6 triangoli isosceli
La piramide esagonale non possono essere costruite con facce di triangoli equilateri
Caratteristiche delle piramidi
Tutte le facce sono poligoni convessi
Sono poliedri convessi
Gli angoli non sono maggiore di180º
Gli piramidi compiono il Teorema di Eulero, F + V = S + 2.
131
BIPIRAMIDI
Una bipiramide o dipiramide è un poliedro ottenuto a partire da due piramidi aventi basi congruenti e identificando
le due basi. Se le basi sono triangolari, la bipiramide si chiama bipiramide triangolare; le basi sono quadrate, si
chiama bipiramide quadrangolare; e così via. I bipiramidi che puoi costruire con i pezzi del set Conexión sono:
Bipiramidi triangolari
Due piramidi triangolari da triangoli equilateri
6 triangoli equilateri
Una piramide da triangoli equilateri ed altra piramide da triangoli isosceli
3 triangoli equilateri e 3 isosceli
Due piramidi da triangoli isosceli
6 triangoli isosceli
Bipiramidi quadrate
Due piramidi quadrate da triangoli equilateri 8 triangoli equilateri
Una piramide da triangoli equilateri ed altra triangoli isosceli
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Bipiramidi pentagonali
Due piramidi pentagonali da triangoli equilateri
10 triangoli equilateri
Una piramide da triangoli equilateri ed altra piramide da triangoli isosceli
Bipiramide esagonale
Due piramidi esagonali da triangoli isosceli.
133
I POLIEDRI STELLATI O DI KEPLERO
Se su ogni facce di u tetraedro regolare costruisci una piramide regolare, otterrai una figura geometrica con forma
di stella di 4 punte. Questa figura geometrica si chima tetraedro stellato. Allo stesso modo, puoi costruire piramidi
sulle facce degli altri poliedri regolari ed otterrai un cubo stellato, un ottaedro stellato, un dodecaedro stellato ed un
icosaedro stellato. Queste figure geometriche sono molto belle.
Per poter realizzare queste costruzione hai bisogna solamente di triangoli equilateri e triangoli isosceli.
Inoltre, se costruisci piramidi sulle facce dei solidi archimedei , otterrai loro stelle. Esempi:
- dal tetraedro troncato otterrai il tetraedro troncato stellato.
- dal cubottaedro otterai il cubottaedro stellato.
Tetraedro troncato
Cuboctaedro
Tetraedro troncato stellato
Cuboctaedro stellato
Una caratteristica importante di questi poliedri è che sono poliedro concavi. Invece, i poliedro precedenti erano p
oliedro convessi.
Tetraedro stellato (12 triangoli)
Cubo stellato (24 triangoli)
Ottaedro stellato (24 triangoli)
Icosaedro stellato(60 triangoli)
Dodecaedro stellato(60 triangoli
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I DELTAEDRI
In geometria un deltaedro è un poliedro le cui facce sono tutte triangoli equilateri. Questo nome deriva dal nome
della lettera delta dell'alfabeto greco (Δ), simbolo che ha la forma di un triangolo equilatero.
Ci sono solo 8 deltaedri convessi. Qualche di questi poliedri hanno apparso prima.
TETRAEDRO (4 triangoli)
BIPIRAMIDE TRIANGOLARE
(6 triangoli)
OTTAEDRO (8 triangoli)
BIPIRAMIDE PENTAGONALE
(10 triangoli)
PRISMA TRIANGOLARE TRIAUMENTATO
(14 triangoli)
DODECAEDRO SIAMESE
(12 triangoli)
BIPIRAMIDI QUADRATE GIRATA
(16 triangoli)
ICOSAEDRO
( 20 triangoli)
ALTRI POLIEDRI
C'è un numero infinito di poliedri e, perciò, è impossibile la loro classificazione e spiegazione. Finora, sono stati
spiegati qualche poliedri secondo la regolarità delle facce, dei vertici e dei poligoni delle facce. Ma, ci sono altri
poliedri molto attraenti che si possono classificare secondo altri criteri differenti.
COLLEGAMENTI VARI
Se hai costruito tutti i poliedri spiegati in questo set, hai ampliato le tue conoscenze di geometria più di quanto mai
immaginassi. Con questo set si apprende più che in una lezione convenzionale di matematica. Perciò, e perché te
lo meriti, proponimo che giochi con i pezzi del set Conexion come ti pari e piace. Costruisci edifici, recipiente, figure
geometriche...ecc., ma non ti dimentichi mai di cercare motivi geometrici o se appartengono a un gruppo di quelli
previamente spiegato e studiato. Così, ti divertirai ed allo stesso tempo, applicherai tutto quello che hai appreso.
Godi e complimenti per lavoro ben realizzato!
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Explorando la geometría Exploring geometry Explorer la

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