MATEMÁTICA Programa de Estudio Séptimo Año Básico

Transcripción

MATEMÁTICA
Programa de Estudio
Séptimo Año Básico
Propuesta presentada a resolución del
Consejo Nacional de Educación
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN
DICIEMBRE 2009
INDICE
Presentación
Características del programa de estudio
I. Estructura y componentes
II. Instrumentos curriculares
III. Relación entre objetivos fundamentales, aprendizajes esperados y
niveles de los mapas de progreso
Fundamentos del programa de estudio
I. Orientaciones didácticas para el programa de Matemática, 7º año
básico
II. Orientaciones para la evaluación en los programas de estudio.
III. Oportunidades para el desarrollo de los objetivos fundamentales
transversales en el programa
Visión Global del Año
Objetivos Fundamentales de 7º año básico
Contenidos Mínimos Obligatorios
Aprendizajes esperados por semestre y unidad: Cuadro sinóptico
Semestre 1:
Unidad 1: Números y Algebra
Unidad 2: Geometría
Semestre 2:
Unidad 1: Números y Geometría
Unidad 2: Datos y Azar
Orientaciones para planificar con el programa de estudio
Anexos:
Anexo 1: Objetivos Fundamentales por Semestre y Unidad.
Anexo 2: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad.
Anexo 3: Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos
Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios
(CMO).
Bibliografía
Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación
Ministerio de Educación
Diciembre 2009
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86
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2
PRESENTACIÓN
El presente programa de estudio ha sido
diseñado con el propósito de apoyar a
las profesoras y profesores en la
realización de una enseñanza orientada
al logro de los Objetivos Fundamentales
definidos en la actualización curricular
de Educación Básica y Media del año
20091.
Los programas de estudio son un
instrumento curricular que busca
orientar el trabajo pedagógico que
realizan los docentes, y se caracterizan
por ser un material flexible y adaptable
a los diferentes contextos educativos.
Respecto a los programas anteriores del
Ministerio de Educación, los presentes
contienen algunas innovaciones que
buscan responder a la opinión y
sugerencias de los docentes, recogidas
principalmente a través de estudios de
seguimiento a la implementación
curricular2:
-
-
1
Se organizan en semestres y en
unidades dentro del semestre.
Muestran la relación entre el
programa y los demás instrumentos
curriculares.
Presentan un cuadro sinóptico de
aprendizajes esperados, que permite
tener una visión global de la
organización propuesta para el año y
de los aprendizajes a lograr.
Desarrollan el enfoque didáctico y
evaluativo del programa.
-
-
-
-
-
Definen indicadores para los
aprendizajes esperados de cada
unidad, que precisan el alcance de
estos y apoyan su evaluación.
Proveen, para cada unidad, un
ejemplo
de
experiencia
de
aprendizaje desarrollado en detalle.
Proponen, para cada unidad, una
tarea de evaluación que puede
corresponder a una actividad
completa o a un desafío que puede
incluirse como ítem de una prueba,
con sus respectivos criterios para
evaluarlas.
Promueven el uso de estos
programas en relación a los mapas
de progreso del aprendizaje3,
considerando a estos últimos como
un referente para describir el
crecimiento o mejoramiento del
aprendizaje.
Ofrecen orientaciones generales
para la planificación de la enseñanza
y uso de estos programas de estudio.
Se espera que estos programas puedan
facilitar, por una parte, la tarea de
planificación y evaluación y, por otra,
contribuir al desarrollo de prácticas
pedagógicas
más
desafiantes
y
pertinentes para los alumnos y alumnas,
en concordancia con el Marco para la
Buena Enseñanza. Los profesores y las
profesoras tendrán la responsabilidad y
el reto de nutrir esta información inicial,
complementándola, enriqueciéndola y
adecuándola sobre la base de sus
saberes pedagógicos y didácticos y, a
sus propios contextos educativos. Estas
adecuaciones deben considerar ciertas
decisiones estratégicas para un efectivo
trabajo pedagógico, como son: la
selección de aquellas estrategias
didácticas desafiantes, la definición de
Decretos Supremos 254 y 256 de 2009.
Desde la implementación de la reforma curricular,
el Ministerio ha realizado estudios de seguimiento
con diversos propósitos. Entre ellos se pueden citar:
estudio de cobertura curricular, estudio de uso de los
programas y los textos escolares, estudio de
evaluación de aula, estudio cualitativo a través de
grupos focales para conocer la opinión de los
docentes sobre los programas de segundo ciclo
básico. Información disponible en: www.curriculum3
mineduc.cl
Disponibles en www.curriculum-mineduc.cl
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los procedimientos para realizar la
evaluación de los aprendizajes y la
comunicación de sus avances y
resultados, la selección de los recursos
didácticos, el uso de los textos
escolares, la planificación concreta de
los aprendizajes y actividades, entre
otros muchos factores que contempla la
operacionalización curricular y que se
describen en el Marco recién señalado4.
Se espera que este material contribuya a
implementar
los
Objetivos
Fundamentales, estimulando el trabajo
cooperativo entre los docentes del
establecimiento,
fortaleciendo
la
observación y el análisis de los
aprendizajes, y promoviendo una
enseñanza desafiante y vinculada a las
necesidades y fortalezas de los alumnos
y alumnas. De este modo, se espera que
los programas sean una invitación
abierta y flexible para el trabajo
individual y colectivo entre docentes,
que contribuya a crear oportunidades de
aprendizaje que permitan desarrollar al
máximo las potencialidades de cada
estudiante.
4
El Marco para la Buena Enseñanza se encuentra
disponible en
http://www.docentemas.cl/documentos.php
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CARACTERÍSTICAS DEL PROGRAMA DE ESTUDIO
I.
ESTRUCTURA Y COMPONENTES
Este programa, como todos los
programas de estudio elaborados por el
Ministerio
de
Educación,
está
articulado en torno a aprendizajes
esperados. Los aprendizajes esperados
son expectativas de logro que se estima
son alcanzables en períodos de tiempo
acotados (un semestre o una unidad)
dentro de un año escolar. El conjunto
de aprendizajes esperados de un año da
cuenta de los Objetivos Fundamentales
del nivel.
Al igual que los programas anteriores,
los nuevos programas de estudio
proponen una organización didáctica
del año escolar que se expresa en una
secuencia pedagógica, aprendizajes
esperados,
y
en
orientaciones
metodológicas y sugerencias de
evaluación para apoyar la planificación
de la enseñanza y el trabajo docente de
aula. No obstante, presentan algunas
innovaciones que se describen a
continuación:
1. Capítulo de Fundamentos
El programa incorpora un capítulo de
fundamentos que expone su enfoque
didáctico y evaluativo, y las
oportunidades para trabajar los
Objetivos
Fundamentales
Transversales,
entregando
orientaciones para realizar una
enseñanza coherente con los propósitos
formativos del sector y los Objetivos
Fundamentales del nivel.
En este capítulo se desarrolla con
detenimiento el enfoque evaluativo que
es común a todos los programas de
estudio, y se explica cómo estos se
pueden articular con los mapas de
progreso del aprendizaje. Estas
orientaciones han sido elaboradas de
acuerdo con el enfoque de evaluación
para el aprendizaje, que considera que
el proceso de evaluación es parte
constitutiva de la enseñanza y una
oportunidad
para
promover
aprendizajes.
2. Organización del año
Una novedad importante de estos
programas es que se estructuran en
semestres, para facilitar la articulación
de esta propuesta con la organización
del tiempo escolar. Cada semestre se
organiza en unidades, que constituyen
agrupaciones de aprendizajes en torno
a un tema o habilidad que les da
sentido, y que tienen una duración
acotada, aproximadamente de un mes o
mes y medio de tiempo. La secuencia
que se propone entre semestres y
unidades,
ha
sido
diseñada
considerando que los estudiantes
avanzan
gradualmente
en
su
aprendizaje, y que durante el primer
semestre deben abordarse aquellos
conocimientos y habilidades que son la
base para el logro de los aprendizajes
propuestos en el segundo semestre. No
obstante lo anterior, y de acuerdo con
la naturaleza de las unidades que se
proponen, cada docente puede realizar
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modificaciones a esta secuencia si lo
considera pertinente.
Para tener una visión global de la
organización anual se presentan los
Objetivos Fundamentales y Contenidos
Mínimos para el nivel, y un cuadro
sinóptico,
que
muestra
los
aprendizajes esperados del año
distribuidos
temporalmente
en
semestres y unidades.
3. Componentes de cada Unidad.
Cada unidad se estructura según los
siguientes componentes:
a) Aprendizajes
indicadores:
esperados
e
Cada unidad se organiza en torno a un
conjunto de aprendizajes esperados
relacionados entre si. Los aprendizajes
esperados corresponden a aquellos
conocimientos, habilidades y actitudes
que se espera que cada estudiante logre
durante dicho período de trabajo. Son
el norte de la enseñanza y en base a
ellos se desarrollan los demás
componentes de la unidad.
estos programas ofrecen ejemplos de
experiencias de aprendizaje. Estas
constituyen situaciones pedagógicas
que contemplan una o más etapas de
realización, y que están diseñadas para
conducir al logro de determinados
aprendizajes
esperados.
Las
experiencias
de
aprendizaje
se
organizan considerando actividades de
inicio, desarrollo y cierre.
Las experiencias sugeridas son
ejemplos que orientan sobre cómo
abordar determinados aprendizajes
esperados. Contienen indicaciones al
docente que orientan sobre el
tratamiento de los contenidos para el
logro de los aprendizajes, y muestran
oportunidades para abordar los OFT y
realizar una evaluación formativa
durante la experiencia.
de
Se ha considerado importante que las
experiencias de aprendizaje sean
detalladas y con orientaciones claras
para el desempeño en el aula. En vez
de múltiples ideas de actividades, se ha
privilegiado esta vez ofrecer unos
pocos modelos, pero desarrollados de
forma más completa, que sirvan como
referencia para que cada docente
elabore nuevas actividades que recojan
su propia experiencia y sean adecuadas
a su realidad. Por tal razón, es
importante
destacar
que
las
experiencias de aprendizaje no
abordan el total de aprendizajes
esperados de la unidad, por el
contrario para dar cuenta de todos los
aprendizajes, el profesor o profesora
debe diseñar sus propias actividades,
adecuadas a su contexto educativo, su
experiencia y los recursos con que
cuenta.
A diferencia de los programas
anteriores, que presentaban actividades
genéricas y ejemplos de actividad,
Para la construcción de las experiencias
de aprendizaje se han considerado los
siguientes criterios, comunes para
todos los sectores, y que los profesores
Para
observar
los
aprendizajes
esperados y precisar su alcance, para
cada uno de ellos se han definido
indicadores, que representan sus
componentes constitutivos puntuales.
Los indicadores se pueden utilizar de
múltiples formas, como recurso para
analizar los trabajos de los alumnos y
alumnas y como guía para clarificar la
extensión y profundidad de los
aprendizajes esperados.
b) Ejemplos de
aprendizaje:
experiencias
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o profesoras pueden aplicar en la
construcción de sus propios ejemplos:
-
-
-
-
-
Coherencia con los aprendizajes
esperados de cada semestre, los
objetivos
fundamentales
transversales, el enfoque curricular
del sector y las orientaciones
didácticas del programa.
Énfasis en el desarrollo de
habilidades cognitivas que exigen
elaboración por parte del alumno o
alumna, tales como: investigación,
comunicación,
resolución
de
problemas, análisis, interpretación
y síntesis.
Pertinencia con la edad e intereses
de los alumnos y alumnas, y
desafiantes en términos cognitivos.
Variedad, en cuanto a metodología
y recursos didácticos, considerando
estrategias
centradas
en
el
estudiante y en el docente, trabajo
individual y grupal, y recursos
diversos que estén a disposición de
la mayoría de los establecimientos
del país (textos escolares, software,
guías didácticas, Internet, etc.).
Resguardo en cuanto a sesgo
cultural, socioeconómico o de
género.
Se busca que sirvan como modelo para
que cada docente o equipo de trabajo
diseñe
nuevas
actividades
de
evaluación.
Para su construcción, se han
considerado los siguientes criterios,
comunes para todos los sectores, y que
los docentes pueden aplicar en la
construcción de sus propios ejemplos:
-
-
-
-
-
c) Sugerencias de evaluación:
Luego de las experiencias de
aprendizaje, se presentan sugerencias
de evaluación que orientan sobre cómo
observar el aprendizaje de los alumnos
y alumnas. Son ejemplos específicos
que tienen la forma de actividades,
tareas o buenas preguntas que permitan
poner en evidencia el logro de los
aprendizajes.
Al igual que en el caso de las
experiencias de aprendizaje, las
sugerencias de evaluación no son
exhaustivas y no abordan todos los
aprendizajes esperados de la unidad.
-
Coherencia con los aprendizajes
esperados de cada semestre, los
objetivos
fundamentales
transversales, el enfoque curricular
del sector y las orientaciones
didácticas del programa.
Coherencia con el enfoque de
evaluación para el aprendizaje.
Variedad, permitiendo que los
estudiantes
expresen
sus
aprendizajes a través de distintos
tipos de desempeños.
Énfasis en habilidades cognitivas
que exigen elaboración por parte
del alumno o alumna.
Énfasis en situaciones y preguntas
que permitan a los estudiantes
mostrar diversos niveles de
desempeño.
Interesantes y desafiantes para los
alumnos y alumnas, considerando
temáticas y estrategias pertinentes
con la edad de los niños y niñas o
jóvenes del nivel.
Entrega de información individual
aunque la tarea sea grupal.
Resguardo en cuanto a sesgo
cultural, socioeconómico o de
género.
4. Anexos
Para quienes se interesen por conocer la
forma en que se han considerado los
Objetivos Fundamentales (OF) y
Contenidos
Mínimos
Obligatorios
(CMO) de los Marcos Curriculares, en
los anexos se incluyen tres cuadros: el
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primero muestra en qué semestre
unidad se abordan los distintos OF;
segundo muestra en qué semestre
unidad se abordan los
CMO;
y
el
y
y,
finalmente, se presenta un cuadro que
detalla para cada aprendizaje esperado
los OF y CMO que lo originan.
ESQUEMA GRÁFICO DE LA ESTRUCTURA Y COMPONENTES DEL PROGRAMA
CAPÍTULO FUNDAMENTOS
Indicadores
Indicadores didácticas para el sector y nivel
Orientaciones
Orientaciones sobre la evaluación
Oportunidades para trabajar los OFT
VISIÓN GLOBAL DEL AÑO ESCOLAR
Objetivos Fundamentales
Cuadro sinóptico con Aprendizajes esperados por semestre y unidad
SEMESTRE 1
Unidad 1
Aprendizajes
Esperados
Ejemplos de
Experiencias
de
Aprendizaje.
SEMESTRE 2
Unidad 2
Unidad 1
Unidad 2
Indicadores
Indicaciones al
docente
Oportunidades
de Evaluación
OFT
Ejemplos de tareas de
evaluación
ANEXOS y BIBLIOGRAFÍA
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II. INSTRUMENTOS CURRICULARES
Los programas de estudio forman parte
de un conjunto de instrumentos
curriculares que el Ministerio de
Educación pone a disposición de los
docentes, directivos y sostenedores para
apoyar
la
implementación
del
currículum.
Los marcos curriculares de Objetivos
Fundamentales y Contenidos Mínimos
Obligatorios definen el aprendizaje que
se espera que todos los alumnos y
alumnas del país desarrollen a lo largo
de su trayectoria escolar. Tienen un
carácter obligatorio y son el referente en
base al cual se construyen los planes de
estudio, los programas de estudio, los
mapas de progreso, los textos escolares y
se elaboran las pruebas SIMCE.
Los Planes de estudio definen la
organización del tiempo de cada nivel
escolar. Consignan las actividades
curriculares que los alumnos y alumnas
deben cursar y el tiempo semanal que se
les dedica.
Los Programas de estudio entregan una
organización didáctica del año escolar
para el logro de los Objetivos
Fundamentales definidos en los marcos
curriculares. En los programas de
estudio del Ministerio de Educación se
definen aprendizajes esperados, por
semestre o por unidades, que
corresponden a objetivos de aprendizajes
acotados en el tiempo. Se ofrecen
además, ejemplos de actividades de
enseñanza
y
orientaciones
metodológicas y de evaluación para
apoyar el trabajo docente de aula. Estos
ejemplos y orientaciones tienen un
carácter flexible y general para que
puedan adaptarse a las diversas
realidades de
educacionales.
los
establecimientos
Los Mapas de Progreso describen el
crecimiento típico de las competencias
consideradas
fundamentales
en
la
formación de los estudiantes dentro de cada
sector curricular, y constituyen un marco
de referencia para observar y evaluar el
aprendizaje promovido por el curriculum
nacional. Los mapas describen en 7 niveles
de progreso las competencias señaladas, en
palabras y con ejemplos de desempeño y
trabajos de alumnos y alumnas ilustrativos
de cada nivel.
Los Niveles de logro del SIMCE son
descripciones de los desempeños que
exhiben los alumnos y alumnas en los
sectores curriculares evaluados por el
SIMCE al final de cada ciclo escolar. Los
niveles de logro se han construido en base a
los desempeños efectivos de los alumnos y
alumnas en la prueba, en relación a los
Objetivos Fundamentales del marco
curricular y las competencias descritas en
los Mapas de Progreso.
Los Textos Escolares desarrollan los
Contenidos
Mínimos
Obligatorios
definidos en los marcos curriculares para
apoyar el trabajo de los alumnos y alumnas
en el aula y fuera de ella, y les entregan
explicaciones y actividades para favorecer
su aprendizaje y su autoevaluación. Para
los profesores y profesoras, los textos
constituyen una propuesta metodológica
para apoyar la implementación del
currículum en el aula, y los orientan sobre
la extensión y profundidad con que pueden
ser abordados los contenidos del marco
curricular.
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REFERENTES PARA LA EVALUACIÓN
APOYOS A LA IMPLEMENTACIÓN
CURRICULUM NACIONAL
INSTRUMENTOS CURRICULARES
Marcos Curriculares
Definen el aprendizaje que se espera que todos
los alumnos y alumnas del país desarrollen a lo
largo de su trayectoria escolar.
Planes de Estudio
Definen la
organización del
tiempo de cada nivel
escolar.
Programas de estudio
Entregan una organización
didáctica del año escolar para
el logro de los Objetivos
Fundamentales definidos en
los marcos curriculares.
Mapas de progreso
Describen el crecimiento de las
competencias consideradas
fundamentales en la formación de
los estudiantes y constituyen un
marco de referencia para observar
y evaluar el aprendizaje promovido
por los marcos curriculares.
Textos escolares
Desarrollan los contenidos
definidos en los marcos
curriculares para apoyar el
trabajo de los alumnos y
alumnas en el aula y fuera de
ella.
Niveles de logro
Describen los desempeños
que exhiben los alumnos y
alumnas en los sectores
curriculares que al final de
cada ciclo escolar evalúa el
SIMCE
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III. RELACIÓN ENTRE OBJETIVOS FUNDAMENTALES, APRENDIZAJES
ESPERADOS Y NIVELES DE LOS MAPAS DE PROGRESO
Una pregunta frecuente de las
profesoras y los profesores es por la
relación que existe entre los Objetivos
Fundamentales
de
los
marcos
curriculares, los aprendizajes esperados
e indicadores de los programas de
estudio, y los niveles y ejemplos de
desempeño de los mapas de progreso
del aprendizaje. La respuesta es simple,
se trata de descripciones del aprendizaje
con distinto grado de detalle, y que
tienen distintos usos que son
complementarios.
Los Objetivos Fundamentales (OF)
corresponden a los conocimientos,
habilidades y actitudes que se espera
que los alumnos y alumnas aprendan
año a año. Los OF van acompañados de
Contenidos
Mínimos
Obligatorios
(CMO), que definen con mayor detalle
los conocimientos, habilidades y
actitudes que se debe enseñar para que
los alumnos y alumnas puedan lograr
los objetivos de aprendizaje. Aunque se
sabe que no todos los alumnos y
alumnas logran los objetivos de un año
determinado, los OF ofrecen un
organización que ordena el sistema
escolar nacional.
El mapa de progreso es la descripción
más gruesa: en siete niveles, y en una
página, describe la trayectoria de los
estudiantes en los 12 años de
escolaridad obligatoria en un ámbito o
dominio relevante del sector. Se trata de
un continuo que los estudiantes recorren
a diferentes ritmos, y por ello, no
corresponden exactamente a lo que
todos los alumnos logran en un
determinado grado escolar.
Considerando la diversidad en el
crecimiento del aprendizaje, los mapas
de progreso están asociados a una
expectativa, que corresponde a dos años
de escolaridad. Por ejemplo, el nivel 1
corresponde al logro que se espera para
la mayoría de los niños y niñas al
término de Segundo Básico; el nivel 2
corresponde al término de Cuarto
Básico, y así sucesivamente. El nivel 7
describe el aprendizaje de un alumno o
alumna que al egresar de la Educación
Media es “sobresaliente”, es decir, va
más allá de la expectativa para Cuarto
Medio, que describe el nivel 6 en cada
mapa.
Los mapas describen competencias, es
decir desempeños de los alumnos y
alumnas que articulan conocimientos,
habilidades y actitudes. Los ejemplos de
desempeño de los mapas ilustran el tipo
de actividades que los alumnos y
alumnas realizan cuando tienen logrado
el nivel de aprendizaje o competencia
descrita, son ejemplos que ayudan a
visualizar la complejidad o exigencia
del nivel. Son una selección no
exhaustiva que podría incluir otras
evidencias del aprendizaje.
Como herramienta cotidiana orientan
sobre la expectativa nacional y le
ofrecen un marco global para conocer
cómo crece el aprendizaje y observar el
progreso de sus alumnos y alumnas5.
Los mapas se han elaborado asumiendo
que en un mismo curso los alumnos y
5
En la página web del Ministerio de Educación se
encuentra disponible el documento “Orientaciones
para el uso de los Mapas de Progreso del
Aprendizaje” y otros materiales que buscan apoyar el
trabajo con los mapas (http://www.curriculummineduc.cl/ayuda/documentos/).
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alumnas muestran distintos niveles de
logro, y que una pedagogía para ser
efectiva, debe responder a esta
diversidad.
Los aprendizajes esperados de los
programas de estudio son más
puntuales.
Corresponden
a
conocimientos, habilidades y actitudes
que se logran en semestres y unidades
acotadas en el tiempo. El conjunto de
aprendizajes esperados de un año da
cuenta de los Objetivos Fundamentales
de los marcos curriculares.
Los indicadores de los aprendizajes
esperados
son
sus
elementos
constitutivos. A diferencia de los
ejemplos de desempeño de los mapas,
pretenden ser exhaustivos, y se han
elaborado para observar el logro del
aprendizaje esperado que describen.
Estas relaciones se ilustran en el cuadro
que sigue:
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Marco Curricular
Objetivo Fundamental 7º Básico
Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número
entero positivo, calcular o estimar su valor y establecer su
relación con las potencias de exponente dos.
Programa de estudio
Semestre 1
Mapa de progreso de
Números y Operaciones
Semestre 2
Aprendizaje esperado 1
Aprendizaje
esperado:
Emplean raíces
cuadradas de números
enteros positivos en la
resolución de
problemas relativos al
teorema de Pitágoras.
Indicadores:
• Resuelven diversos problemas que
involucren el cálculo de raíces
cuadradas de números enteros
positivos, por ejemplo, en la utilización
de teorema de Pitágoras.
• Utilizan la calculadora para resolver
problemas que involucren raíces
cuadradas de números enteros positivos
cuando su resultado es un número
irracional.
Nivel 7
Comprende los diferentes conjuntos numéricos…
…
Nivel 6
Reconoce a los números complejos como…
Nivel 5
Reconoce a los números racionales como…
…
Nivel 4
Reconoce a los números enteros como un
conjunto numérico en donde se pueden resolver
problemas que no admiten solución en los
números naturales, reconoce sus propiedades y
los utiliza para ordenar, comparar y cuantificar
magnitudes. Establece proporciones y las usa para
resolver diversas situaciones de variación
proporcional. Comprende y realiza las cuatro
operaciones con números enteros. Utiliza raíces
cuadradas de números enteros positivos y
potencias de base fraccionaria positiva, decimal
positivo o entero y exponente natural en la
solución de diversos desafíos. Resuelve
problemas y formula conjeturas en diversos
contextos en los que se deben establecer
relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia
utilizada, las conjeturas formuladas y los
resultados obtenidos, utilizando conceptos,
procedimientos y relaciones matemáticas.
Nivel 3
Reconoce que los números naturales se pueden…
Nivel 2
Utiliza los números naturales hasta 1.000.000…
Nivel 1
Utiliza los números naturales hasta 1.000 para…
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FUNDAMENTOS DEL PROGRAMA DE ESTUDIO
I.
ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA EL PROGRAMA DE
MATEMÁTICA, 7º AÑO BÁSICO
Organización curricular
Los Programas de Matemática están organizados en cuatro unidades por nivel. Cada una
de ellas atiende a los aprendizajes esperados de uno o más ejes del Marco Curricular.
Cada una de las unidades presenta los aprendizajes esperados, un conjunto de
indicadores para evaluar dichos aprendizajes y experiencias de aprendizaje diseñadas
con el objeto de ejemplificar la forma en que se sugiere organizar las situaciones de
aprendizaje. Este programa se complementa con los Mapas de Progreso del aprendizaje,
otro instrumento que se recomienda tener presente, tanto al planificar el trabajo de aula
como al evaluar el progreso de los alumnos y alumnas. A continuación se presenta una
descripción de los cuatro ejes que conforman el currículum de matemática para los doce
niveles de la educación básica y media.
Los ejes del currículum:
• Números. Este eje incluye los aprendizajes referidos a la cantidad y el número, las
operaciones aritméticas, los diferentes sistemas numéricos y sus propiedades. Se
organiza en torno a los diferentes ámbitos y sistemas numéricos. Avanza en
completitud, abstracción y complejidad desde los números naturales hasta los
números complejos, pasando por enteros, racionales y reales. Se busca que los
alumnos y alumnas comprendan que cada uno de estos sistemas permite abordar un
conjunto amplio de problemas y situaciones de la matemática. El pasaje de un
sistema de números a otro se motiva a partir de los problemas que un sistema no
logra resolver. De este modo, el desarrollo de los números acompaña, y encuentra
sus motivaciones, en el desarrollo de las operaciones: la operación inversa a la suma
motiva el cero y los negativos; el cuociente y la medición, los racionales; la
extracción de raíz, motiva los irracionales y los reales y los números complejos. Así,
se relacionan números, operaciones y campos de aplicación de la matemática,
permitiendo avanzar en el sentido de la cantidad, en el razonamiento matemático y
precisar la forma en que la matemática contribuye a la descripción y comprensión de
la realidad.
• Álgebra. Este eje introduce al alumno y alumna en el uso de símbolos
constituyéndose como un lenguaje formal con el cual se pueden desarrollar la
abstracción y la generalización. El uso de símbolos y la generalización se desarrolla
de manera continua y se inicia con la incorporación de los primeros números. La
representación de los números y la notación decimal son pasos importantes en el
desarrollo de la abstracción. Las operaciones son procedimientos generales,
independientes de los números particulares sobre las que actúan. A partir del quinto
nivel se introducen en forma explícita nociones del álgebra mediante la expresión de
relaciones generales y abstractas de la aritmética y la medición. “El orden de los
factores no altera el producto”, “qué número sumado con n tiene como resultado m”,
son situaciones que permiten poner en contacto con el lenguaje algebraico a cada
estudiante desde los primeros niveles del currículo escolar. El álgebra provee de un
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lenguaje a la matemática, por ende, contribuye a, y se nutre del desarrollo de los ejes
de números, geometría y datos y azar. Este eje introduce, también, la noción de
función y el estudio de algunas de ellas en particular.
• Geometría. Este eje se orienta en los primeros niveles, a la comprensión del
espacio, al desarrollo de la imaginación espacial, y al conocimiento de objetos
geométricos básicos y algunas de sus propiedades. En particular propone relacionar
formas geométricas en dos y tres dimensiones, la construcción de figuras y de
transformaciones de figuras. Se introduce también, en los primeros niveles, la
noción de medición en figuras planas. La geometría avanza, también, en proponer
diferentes tratamientos del espacio y la medición. En efecto, el estudio de la
geometría se inicia en primer ciclo básico con una representación euclidiana del
espacio, para introducir, en el segundo ciclo, la noción de posición e iniciar a los
alumnos y alumnas en la geometría cartesiana. En enseñanza media se introducen
nociones y procedimientos de la geometría vectorial y de trasformaciones. A lo
largo de toda la trayectoria escolar, el eje se relaciona con el de números, a partir de
la medición y la representación en el plano cartesiano de puntos y figuras, y con los
ejes de álgebra y datos y azar, a partir del uso de fórmulas y la representación gráfica
de funciones y de distribución de datos. Progresivamente se introduce el concepto de
demostración, a partir de los argumentos que pueden justificar construcciones o
relaciones.
• Datos y Azar. Este eje introduce el tratamiento de datos y modelos para el
razonamiento en situaciones de in certeza. El tratamiento de datos estadísticos se
inicia en primero básico y el estudio del azar comienza en quinto año. El eje incluye
los conocimientos y las capacidades para recolectar, organizar, representar y analizar
datos, el desarrollo de modelos para realizar inferencias a partir de información
muestral en variados contextos, y la capacidad de interpretar situaciones en las que
interviene el azar. Desde la Educación Básica, se busca desarrollar habilidades de
lectura, análisis crítico e interpretación de información presentada en tablas y
gráficos. A su vez, se intenciona la habilidad para recolectar, organizar, extraer
conclusiones y presentar información. Son también temas de estudio algunos
conceptos básicos que permiten analizar y describir procesos aleatorios, así como
cuantificar la probabilidad de ocurrencia de eventos equiprobables. En Educación
Media, el estudio de Datos y Azar se propone desarrollar conceptos y técnicas
propias de la estadística y la teoría de probabilidades que permitan realizar
inferencias a partir de información de naturaleza estadística, y distinguir entre los
fenómenos aleatorios y los deterministas.
El razonamiento matemático es un aspecto central, que se aborda transversalmente en
los cuatro ejes curriculares del sector. Resolver problemas, representar y modelar
situaciones diversas, formular y verificar conjeturas, y verificar la validez de
procedimientos y relaciones, está en el núcleo de los aprendizajes esperados y, por
tanto, debe ser intencionado en el diseño pedagógico.
Por tal razón, se sugiere organizar las experiencias de aprendizaje en torno a problemas,
modelamiento de situaciones o proposición y exploración de relaciones, que desafíen a
los y las estudiantes a buscar distintas estrategias, interpretar y comunicar
procedimientos y resultados, así como verificar, argumentar o demostrar cuando
corresponda.
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Respecto al lenguaje matemático, cabe señalar que el lenguaje de conjuntos se utiliza
sólo en aquellos casos en que su aporte es pertinente o necesario. Se promueve su uso
como una eficaz y precisa herramienta para comunicar tanto ideas como conceptos
matemáticos, en tanto sea de utilidad para el logro de algún Objetivo Fundamental. En
este sentido, es importante precisar que, de manera coherente con el marco curricular, el
programa de estudio no prescribe aprendizajes esperados relacionados con teoría de
conjuntos, sino que solo incorpora el aprendizaje de símbolos y conceptos
pertenecientes al lenguaje conjuntista que permiten ampliar el vocabulario matemático
de los alumnos y alumnas.
Orientaciones y recomendaciones didácticas
Este sector está concebido como una oportunidad para que los alumnos y alumnas
desarrollen aprendizajes para la vida, ya que la Matemática constituye un área de la
cultura poderosa en la comprensión, explicación y predicción de situaciones y
fenómenos. Nociones como número, forma, probabilidades, entre otras, se introducen
para el modelamiento y el análisis de esas situaciones y fenómenos. El papel que
desempeña el conocimiento y el razonamiento matemático en el desarrollo del
pensamiento y las capacidades del ser humano para interactuar de un modo consciente
con su entorno, es una componente importante del rol que juega la matemática en el
currículum escolar. De este modo de pensar se derivan algunas de las orientaciones que
articulan los programas de estudio:
a. El uso del contexto. Es importante que la matemática sea presentada como una
disciplina culturalmente situada, con historia, con impacto en otras áreas del
conocimiento científico o tecnológico, con consecuencias y aplicaciones. La pregunta
acerca del origen de los modelos matemáticos y su ubicación histórica en el desarrollo
del pensamiento de la humanidad, son anclas importantes del conocimiento que
proponemos a nuestros alumnos y alumnas. El uso de metáforas y representaciones
cercanas a los y las estudiantes, son un recurso didáctico altamente recomendado,
especialmente en las etapas de exploración. A su vez, se sugiere el uso de las
aplicaciones de la matemática a otras áreas del conocimiento y en la vida diaria, como
un apoyo en la construcción del conocimiento matemático. Este enfoque puede ser
complementado con el necesario regreso o acceso al contexto matemático, enfatizando
el poder de la generalización y la importancia de los modelos abstractos: la Matemática
tiene muchas aplicaciones, precisamente, por su abstracción e independencia de
situaciones concretas.
b. Un conocimiento integrado. Los programas de estudio son una invitación a la
construcción de un “árbol de conocimiento” integrado y con conexiones múltiples en
cada uno de los y las estudiantes. Frente a cada nuevo objetivo o aprendizaje esperado
es posible preguntarse: ¿desde dónde venimos?, ¿para dónde vamos?, ¿cómo se aplica?,
¿con qué se relaciona?, etc. A más conectado, mayores son las probabilidades de que
ese conocimiento, modelo o procedimiento esté disponible en el momento que la vida
del que aprende lo requiera.
Se puede pensar que el aprendizaje esperado es el centro desde el cuál se pueden mirar
el resto de los aprendizajes matemáticos de cada estudiante. Desde allí, hay un antes, un
después y múltiples conexiones. El currículum ha sido elaborado considerando que en
cada eje el aprendizaje progresa desde lo más simple a lo más complejo, y que los
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entendimientos y habilidades desarrolladas en un nivel son la base y requisito para lo
que los alumnos y alumnas aprenderán en el nivel siguiente. De este modo, el docente
puede mirar el antes y el después y generar situaciones de aprendizaje que – con centro
en lo que se busca ofrecer al estudiante – actualizan conocimientos anteriores y
anticipan formas y oportunidades posteriores. La integración de los aprendizajes
matemáticos también se expresa en las articulaciones y relaciones que el o la docente
puede establecer entre aprendizajes de distintos ejes curriculares, y en las aplicaciones a
situaciones o fenómenos provenientes de otros sectores de aprendizaje.
c. Razonamiento matemático y resolución de problemas. La matemática se construye
a partir de regularidades que subyacen a situaciones aparentemente diversas. Esta
propuesta curricular enfatiza el razonamiento por sobre la acción mecánica. Se
recomienda hacer uso frecuente de preguntas y situaciones que inviten a buscar
regularidades, a analizar los procedimientos por medio de los cuales se resuelve un
problema, a justificar y cuando sea adecuado, de acuerdo con el nivel e interés de los
estudiantes, demostrar las proposiciones y modelos matemáticos. No es la resolución de
largas listas de problemas, que se pueden resolver utilizando un procedimiento
entregado en clases, lo que se valora como aprendizaje del sector. Por el contrario, es
central generar situaciones donde se requiera desarrollar la noción de estrategia,
hacerlas explícitas, comparar diversas formas de abordar problemas, así como generar
situaciones en las que sea natural que los y las estudiantes formulen y verifiquen
conjeturas acerca del comportamiento de los elementos y relaciones con que se trabaja.
Desde este punto de vista, la argumentación, la comunicación de resultados y
relaciones, la demostración y la búsqueda de patrones, son situaciones que favorecen la
reflexión y el razonamiento matemático.
La dimensión modelamiento de la matemática ofrece múltiples oportunidades para
comprender el sentido de las relaciones y conceptos que se propone al estudiante. La
física, la economía, la administración, entre otras disciplinas, hacen uso abundante de
modelos matemáticos. Estos modelos pueden servir, tanto de contexto para las
relaciones de la matemática como de situaciones en las que se puede aplicar el
conocimiento matemático en elaboración.
d. Uso del error. Asociado a un ambiente de búsqueda y de creación, está el uso
adecuado del error. Desde este punto de vista, un error es una oportunidad magnífica
para poner en la situación de aprendizaje una relación posible entre lo que se busca
enseñar y el estado del conocimiento del aprendiz. En un clima de construcción, un
error puede, en manos de un educador, ser una oportunidad para aprendizajes
especialmente significativos.
e. Aprendizaje matemático y desarrollo personal. La clase de matemática ofrece
abundantes oportunidades para el auto conocimiento y las interacciones sociales. Es una
oportunidad para la meta cognición: ¿cómo lo hice?, ¿cómo lo hicieron?, ¿de qué otra
manera es posible? Adicionalmente, el concepto que cada uno de nosotros tiene acerca
de su capacidad para aprender y hacer matemática se ha construido a través de la
retroalimentación que la experiencia nos ha brindado. En este aspecto, el
reconocimiento, tanto de los esfuerzos como de los logros, es un instrumento poderoso
en manos del educador o la educadora. A su vez, la valoración de las diferencias, la
aceptación de los logros o acciones de los pares, un clima de confianza y la forma que
cada uno enfrenta las situaciones de éxito o fracaso, tanto propias como las de los
demás, contribuyen a desarrollar en cada alumno o alumna la confianza en sí mismos.
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De este modo, la clase de matemática puede ser una oportunidad para la formación de
los niños, niñas y jóvenes.
f. Tecnologías digitales y aprendizaje matemático. El programa propone el uso de
software y ambientes creados con tecnologías digitales para ampliar las oportunidades
de aprendizaje de los alumnos y alumnas. Estas tecnologías permiten representar
nociones abstractas a través de modelos en los que es posible experimentar con ideas
matemáticas, y crear situaciones en las que los alumnos y alumnas pueden explorar las
características, límites y posibilidades de conceptos, relaciones o procedimientos
matemáticos. Los procesadores geométricos, simbólicos y de estadística son
laboratorios para explorar relaciones y ponerlas a prueba. Con un procesador simbólico,
grandes números o números muy pequeños pueden ser analizados y dotados de sentido,
y se puede estudiar el comportamiento de funciones, incluso de alta complejidad.
Internet ofrece múltiples ambientes en los que se puede encontrar representaciones
dinámicas de una gran cantidad de objetos matemáticos. Los procesadores geométricos,
en tanto, permiten la experimentación con nociones y relaciones, sea de la geometría
euclidiana, cartesiana o vectorial. Todo esto, en un espacio de alto interés para los niños,
niñas y jóvenes, y de alto impacto en cuanto a su formación para una vida cada vez más
influida por las tecnologías digitales.
g. Clima de la situación de aprendizaje. Apartarse de un modelo de enseñanza frontal
y preferentemente expositiva donde el profesor o profesora es quien expone los
conocimientos y el estudiante los escucha pasivamente y acercarse a situaciones de alta
interactividad entre docentes y estudiantes, entre alumnos y alumnas y entre cada
estudiante y el conocimiento que se le propone, exige un clima caracterizado por la
confianza y el desafío. Tanto la comunicación de resultados, la formulación de
conjeturas, la comunicación de procesos, logros y dudas, supone ese clima y, a la vez, es
un ambiente en que los resultados del aprendizaje tienden a ser valorados por los que
aprenden y a ser percibidos como aprendizajes significativos y con impacto en las vidas
individuales.
h. Motivaciones intrínsecas. Muy relacionado con lo anterior, está el tema de las
razones por las que estudiamos. Las motivaciones extrínsecas pueden mostrar cierta
efectividad en el corto plazo, pero no tienen consecuencias profundas y duraderas.
Aprender por temor a la mala nota o al castigo, apunta al miedo a la matemática que
luego inhibe la continuación de aprendizajes en esa línea. “Aprender para la prueba”
hace que el conocimiento sea desechable una vez que haya cumplido su propósito. A la
inversa, el aprendizaje con base en la curiosidad y la búsqueda interna y personalmente
conducida, tiende a lograr aprendizajes con mayor permanencia, conectados con un
mayor número de situaciones o señales que luego permiten su recuperación y
disponibilidad en diversas situaciones en las que puede ser útil.
Por último, la enseñanza de la matemática es una invitación a la innovación, a la
búsqueda de formas efectivas de interesar a los alumnos y alumnas y detonar en ellos la
energía que el aprendizaje requiere. Una matemática para la vida, con historia y
consecuencias, el razonamiento matemático, la comprensión de los procesos por medio
de los cuales operamos y razonamos, la meta cognición, el complemento de un
ambiente en el que las tecnologías digitales amplían las oportunidades, las
representaciones que apelan al interés de los y las estudiantes, y la búsqueda de
motivaciones intrínsecas, invitan a formas de enseñanza que se apartan de la clase
eminentemente expositiva, para abrir espacio a la exploración y la conjetura, pasando de
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motivaciones centradas en la prueba y en la calificación a situaciones que atraen la
atención de niños, niñas y adolescentes. En síntesis, a prácticas de aula generadoras y
centradas en el aprendizaje significativo de todos los alumnos y alumnas.
El programa de 7º año básico.
En este nivel, en la unidad de números se introducen los números enteros, por lo tanto
se inicia el tratamiento de los negativos. Se relaciona la adición y sustracción de
números enteros con la recta numérica y se intenciona su aplicación en la resolución de
problemas. El trabajo con potencias se amplía al caso de base natural, fraccionaria o
decimal positiva con exponente natural. Se introducen las raíces cuadradas de números
enteros positivos estimulando la estimación de los valores de algunas de esas raíces y su
aproximación, sea manual o mediante recursos digitales, en casos en que no sea exacta6.
La noción de razón se complementa con la de proporción.
En álgebra se amplía el trabajo con ecuaciones de primer grado y una incógnita
introduciendo la noción de términos semejantes, su reducción y el tratamiento de
paréntesis. Se propone la práctica con situaciones en las que es necesario traducir
expresiones desde el lenguaje natural a un lenguaje simbólico y viceversa. Esto último
se produce naturalmente en el trabajo con problemas de enunciado verbal.
En el tratamiento de la geometría se trabaja con construcciones mediante regla y
compás – también con procesadores geométricos – lo que da pié al estudio de elementos
secundarios en el triángulo y puntos singulares de esas figuras, en particular
construcciones de rectas perpendiculares, simetral de un trazo, bisectrices y rectas
paralelas. Se introduce el teorema de Pitágoras y algunas de sus aplicaciones además del
volumen de algunos prismas y algunas pirámides. Se recomienda analizar las
construcciones y cálculos desde el punto de vista de su variación, por ejemplo, si en un
cubo se duplican sus lados, ¿qué sucede con su volumen? ¿Cómo varían los cuadrados
construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, al variar esos lados en forma
proporcional?
En datos y azar, se busca que los alumnos y alumnas tengan criterios para la selección
de gráficas y representaciones de datos, de acuerdo con las situaciones y propósitos de
un análisis de información, y se propone experimentar con situaciones en las que es
conveniente extraer diferentes muestras aleatorias de una población, en vistas a inferir
características de esa población. Además, se realizan experimentos aleatorios simples en
dónde conjeturan acerca de los resultados.
Tal como en el resto de los niveles, se enfatiza el uso de situaciones contextuales
significativas para los conceptos, modelos y procedimientos tratados. También la
integración entre lo tratado en cada eje con los aprendizajes provenientes de otros, de
modo de generar aprendizajes integrados. El uso de tecnologías digitales es,
nuevamente, ampliamente recomendado, sea en la representación de datos en gráficas,
como en la generación de construcciones geométricas y en el análisis de los efectos en
áreas, perímetros o volúmenes producto de las variaciones en algunos de sus elementos.
6
Se entiende por “raíz cuadrada exacta” a todas aquellas raíces cuadradas cuya cantidad subradical es un cuadrado
perfecto.
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II.
ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN EN LOS PROGRAMAS
DE ESTUDIO.
Un supuesto de los programas de estudio elaborados por el Ministerio de Educación es
que una evaluación que ayuda a mejorar el aprendizaje es un proceso planificado y
articulado con la enseñanza, que ayuda a profesoras y profesores a reconocer qué han
aprendido sus estudiantes, conocer sus fortalezas y debilidades y a partir de esto
retroalimentar la enseñanza y el proceso de aprendizaje de los alumnos y alumnas. La
información que proporcionan las evaluaciones, es útil para que los y las docentes en
forma individual y en conjunto reflexionen sobre sus estrategias de enseñanza,
identificando aquéllas que han resultado eficaces, las que puedan necesitar algunos
ajustes y aquéllas que requieren de más trabajo con los alumnos y alumnas.
Este programa de estudio cuenta con indicaciones para la evaluación que se señalan en
el desarrollo de las experiencias de aprendizajes, además en cada unidad se ofrecen
sugerencias para evaluar los aprendizajes de los alumnos y alumnas en situaciones y
contextos desafiantes y variados. Ellas buscan orientar una práctica evaluativa coherente
con los aprendizajes del currículum.
Las sugerencias de evaluación que se incluyen en este programa no agotan las
estrategias ni las oportunidades que cada profesor, profesora o equipo de docentes
pueden utilizar para evaluar y calificar el desempeño de sus alumnos y alumnas. Por el
contrario éstas deben ser complementadas con otras tareas y actividades de evaluación
para obtener una visión completa y detallada del aprendizaje de sus estudiantes. De este
modo, los docentes pueden recoger información relevante para observar el logro de
aprendizaje de sus alumnos y alumnas durante el desarrollo de cada una de las unidades
o semestres.
A continuación se explica brevemente la lógica con que están construidas estas
sugerencias y se dan orientaciones para su uso.
1)
¿Qué se evalúa en las tareas y actividades de evaluación que propone este
programa?
Las tareas y actividades incluidas en el programa contribuyen a evaluar el desarrollo de
determinados aprendizajes esperados de cada unidad o semestre. Y de este modo,
observar el logro de los Objetivos Fundamentales definidos en el marco curricular para
este nivel.
Más que ayudar a evaluar si los y las estudiantes conocen algunos conceptos puntuales
o saben utilizar determinados procedimientos específicos de forma aislada, proponen
desafíos que requieren integrar conocimientos y habilidades establecidos en los
aprendizajes esperados, en situaciones significativas para los y las estudiantes, a fin de
lograr los propósitos formativos del sector.
Para evaluar el logro de los aprendizajes esperados las tareas señalan los indicadores
que se recomienda utilizar para analizar los desempeños de los alumnos y alumnas y
construir el juicio evaluativo. Estos indicadores se pueden utilizar integrados en listas de
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cotejo, rúbricas, como criterios de una pauta de observación o como criterios para
asignar puntajes totales o parciales.
2) ¿Qué características tienen las tareas y actividades de evaluación en este
programa?
Las tareas y actividades de evaluación que se presentan en este programa han sido
elaboradas considerando los siguientes elementos como base:
•
Ofrecen estímulos variados, como por ejemplo preguntas, desafíos o ítems,
que en sí mismos, pueden constituirse en un escenario o instrumento de
evaluación o integrarse a uno mayor complementado con otros estímulos.
•
El conjunto de tareas y sugerencias de evaluación busca ilustrar una variedad
de estímulos y situaciones oportunas para que los alumnos y alumnas se
desempeñen y puedan dejar evidencias del logro de los aprendizajes
esperados.
•
Se desarrollan en situaciones que desafían a los estudiantes a poner en juego
sus aprendizajes en forma integrada en contextos cotidianos potencialmente
significativos.
•
Presentan situaciones abiertas y que pueden ser resueltas de distintas
maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos
estudiantes puedan resolverlas evidenciando sus distintos niveles de
aprendizaje.
•
Las tareas ofrecen orientaciones para analizar el desempeño de los alumnos y
alumnas, utilizando los indicadores que dan cuenta del aprendizaje esperado
que está siendo evaluado. El conjunto de tareas presenta diferentes formas de
utilizar los indicadores, tales como listas de cotejo, rúbricas, y pautas de
observación.
•
Buscan ser eficientes en el sentido de entregar información relevante y
abundante a partir de un estímulo sencillo.
•
Son realizables en cualquier lugar del país y no involucran mayores costos
de materiales y tiempo, buscando su mayor utilidad.
Debido a que cada docente utiliza distintas estrategias y frecuencias para evaluar y
calificar el desempeño de sus estudiantes, se recomienda que tengan en cuenta las
consideraciones anteriores al elaborar otras tareas que complementen las que se
presentan en este programa de estudio.
3)
¿Cómo aprovechar mejor las tareas y actividades de evaluación que se
proponen en el programa?
Las sugerencias para la evaluación y las tareas que se presentan en el programa,
adquieren su mayor potencial si los profesores y las profesoras tienen las siguientes
consideraciones en su uso:
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-
Informar a alumnos y alumnas sobre los aprendizajes que se evaluarán.
Compartir con los alumnos y alumnas las expectativas de aprendizaje y los
indicadores de evaluación que se aplicarán, favorece su logro, ya que así tienen
claro que se espera de ellos y ellas.
-
Analizar los desempeños de sus alumnos y alumnas para fundar juicios
evaluativos y retroalimentar la práctica pedagógica. Un análisis riguroso de los
trabajos de los y las estudiantes en términos de sus fortalezas y debilidades,
individuales y colectivas, ayuda a elaborar un juicio evaluativo más contundente
sobre el aprendizaje de su grupo curso. El análisis de esta información es una
oportunidad para la reflexión docente sobre las estrategias utilizadas en el proceso
de enseñanza, y para tomar decisiones pedagógicas dirigidas a mejorar resultados
durante el desarrollo de una unidad, de un semestre o al finalizar el año escolar y
planificar el siguiente.
-
Retroalimentar a sus alumnos y alumnas sobre sus fortalezas y debilidades. La
información que arrojan las evaluaciones es una oportunidad para involucrar a los
alumnos y alumnas con sus aprendizajes y analizar sus estrategias de aprendizaje.
Compartir esta información con los y las estudiantes en forma individual o grupal,
es una ocasión para consolidar aprendizajes y orientarlos acerca de los pasos que
deben seguir para avanzar. Este proceso reflexivo y metacognitivo de los alumnos y
alumnas puede fortalecerse si se acompaña de procedimientos de autoevaluación y
coevaluación, que los impulsen a revisar sus logros, identificando sus fortalezas y
debilidades y revisando sus estrategias de aprendizaje.
-
Construir nuevas tareas que complementen las que aquí se presentan, de modo
que se articulen con la propuesta pedagógica de los programas de estudio, sin dejar
de lado las necesidades particulares de su curso. Utilizar otros instrumentos para
evaluar, tales como pruebas escritas, guías de trabajo, informes, ensayos, entrevistas,
debates, mapas conceptuales, informes de laboratorio, investigaciones, entre otros,
ayudará a que los alumnos y alumnas cuenten con más oportunidades para que
evidencien lo que han aprendido; y a que los y las docentes cuenten con mayor
evidencia para inferir el logro de los aprendizajes esperados de cada unidad.
-
Planificar las evaluaciones. Para que la evaluación apoye el aprendizaje, es
necesario contar con un plan que se diseñe en forma integrada con la planificación
de la enseñanza. En este plan se debe especificar los procedimientos más pertinentes
y las oportunidades en que se recolectará la información respecto al logro de los
aprendizajes esperados, determinando las tareas que necesita construir y el mejor
momento para aplicarlas para retroalimentar el proceso de aprendizaje.
-
Analizar en el tiempo el mejoramiento del aprendizaje. Para observar los
avances en el aprendizaje de los alumnos y alumnas y analizar comparativamente
sus trabajos a través del tiempo, es necesario contar con criterios de evaluación
estables que se refieran a los aspectos o dimensiones permanentes del aprendizaje
del sector. Estos criterios pueden ser extraídos de los ejes y dimensiones descritos
en los mapas de progreso del aprendizaje.
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4) ¿Cómo se pueden articular los Mapas de Progreso del Aprendizaje con la
propuesta de evaluación de los programas de estudio?
Tanto la propuesta de evaluación de los programas de estudio como los Mapas de
Progreso7 apuntan a hacer de la evaluación una instancia que ayude a lograr mejores
aprendizajes, dando orientaciones sobre qué conocimientos, habilidades y actitudes son
relevantes de evaluar y cómo observarlos en el desempeño de los y las estudiantes.
Los Mapas de Progreso ponen a disposición de profesoras y profesores y de las escuelas
de todo el país, un mismo referente para evaluar el logro de aprendizajes de los alumnos
y alumnas, ubicándolos en un continuo de progreso. Para esto los mapas describen el
desarrollo de las competencias propias de cada sector de aprendizaje a lo largo de toda
la trayectoria escolar.
Los Mapas de Progreso orientan la evaluación, acorde a la propuesta de los programas
de estudio, en tanto permiten:
•
•
•
•
•
•
•
Reconocer aquellos aspectos y dimensiones que son esenciales de evaluar e ir
observando en el tiempo, los que están señalados en las introducciones de cada
mapa de progreso del sector.
Clarificar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripción de
cada nivel, sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que
ilustran esta expectativa.
Contextualizar en una trayectoria formativa los aprendizajes esperados del
programa de estudio, asociándolos y ubicándolos en relación a los niveles
descritos en los mapas de progreso.
Observar el desarrollo, progresión o crecimiento de las competencias de un
alumno o alumna, al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el
mapa.
Analizar las fortalezas y debilidades de los logros de los alumnos y alumnas, en
relación a la expectativa nacional descrita en los niveles de los mapas de
progreso.
Analizar la situación global del curso y la diversidad de logros, en relación a la
expectativa nacional descrita en los niveles de los mapas de progreso.
Contar con modelos de tareas y preguntas que permiten a cada alumno y
alumna evidenciar sus aprendizajes.
Cada profesor y profesora posee estrategias para evaluar y calificar el trabajo de sus
estudiantes de acuerdo con las necesidades de cada curso y de su establecimiento. Por
esto, las tareas y sugerencias de evaluación que presenta este programa, en conjunto con
los Mapas de Progreso, ayudan a la apropiación de los principios que posee una
evaluación orientada a mejorar el aprendizaje. Estas sugerencias tomarán más sentido
para cada profesor o profesora al trabajar con sus estudiantes las actividades sugeridas
en el programa de estudio y en tanto conozcan y usen los Mapas de Progreso del
Aprendizaje.
7
Para ver los Mapas de Progreso de cada sector puede visitar la página web http://www.curriculummineduc.cl/
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III.
OPORTUNIDADES PARA EL DESARROLLO DE LOS OBJETIVOS
FUNDAMENTALES TRANSVERSALES EN EL PROGRAMA
LOS OBJETIVOS FUNDAMENTALES TRANSVERSALES (OFT) definen
finalidades generales de la educación referidas al desarrollo personal y la formación
ética e intelectual de alumnos y alumnas, y son un componente principal de la
formación integral que promueve el currículum nacional. Tal como señalan los marcos
curriculares, los OFT “tienen un carácter comprensivo y general orientado al desarrollo
personal, y a la conducta moral y social de los alumnos y alumnas, y deben perseguirse
en las actividades educativas realizadas durante el proceso de la Educación General
Básica y Media” (2009, p.20).
El marco curricular establece 5 ámbitos distintos de Objetivos Fundamentales
Transversales:
o
o
o
o
o
Crecimiento y autoafirmación personal
Desarrollo del pensamiento
Formación ética
La persona y su entorno
Tecnologías de Información y Comunicación
Para el desarrollo y promoción de los OFT se pueden distinguir dos grandes
modalidades de implementación, ambas relevantes para la formación de los estudiantes,
y ambas complementarias entre sí.
Por una parte, el desarrollo y promoción de los OFT tiene lugar a partir de las dinámicas
que “acompañan” y que ocurren de manera paralela al trabajo orientado al logro de los
aprendizajes propios de los sectores curriculares. Por medio del ejemplo cotidiano, las
normas de convivencia, la promoción de hábitos, entre otros se comunica y enseña a los
alumnos y alumnas, implícita o explícitamente, formas de relacionarse con otros y con
el entorno, a valorarse a sí mismos, a actuar frente a los conflictos, a relacionarse con el
conocimiento y el aprendizaje, entre otros tantos conocimientos, habilidades, valores y
comportamientos.
Por otra parte, existen algunos OFT que se relacionan directamente con los aprendizajes
propios del sector y se desarrollan de manera conjunta con el despliegue de los
objetivos de aprendizaje y contenidos de un sector curricular. Tal es el caso, por
ejemplo, de aquellos OFT relacionados con las habilidades de análisis, interpretación y
síntesis de información, con la protección del entorno natural, la valoración de la
historia y las tradiciones, la valoración de la diversidad, el uso de tecnologías de la
información y comunicación, que forman parte constitutiva de los aprendizajes
esperados de distintos sectores de aprendizaje. Esta condición de los transversales se
entiende bajo el concepto de integración. Esto implica que los OFT y los aprendizajes
esperados del sector no constituyen dos líneas de desarrollo paralelas, sino que suponen
un desarrollo conjunto, retroalimentándose o potenciándose mutuamente. Por una parte,
los aprendizajes propios del sector constituyen en sí mismos un antecedente importante
y pertinente para el desarrollo de los OFT. Por otra parte, los OFT forman parte integral
de los aprendizajes del sector.
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1. ¿Cómo se integran los OFT en los programas de estudio?
Si bien las dos modalidades arriba señaladas son importantes para el desarrollo de los
estudiantes, en los programas de estudio se han destacado aquellos aspectos de los OFT
que presentan una relación más directa con cada sector en particular. Se ha buscado
presentar de manera explícita la relación entre los aprendizajes del sector, las estrategias
de enseñanza y los objetivos transversales, con la finalidad de hacer visibles las
distintas instancias en las que los OFT están implicados, y en consecuencia, visualizar la
multiplicad de posibilidades para su desarrollo.
Es necesario remarcar que la alusión a los OFT que se hace en los programas en ningún
caso pretende agotar las distintas oportunidades o líneas de trabajo que cada docente y
cada establecimiento desarrolla en función de estos objetivos. Junto con esto, resulta
necesario señalar que los OFT que se mencionan explícitamente en este programa de
ningún modo deben entenderse como los únicos que pueden ser pertinentes al momento
de trabajar en este sector. Cada docente y cada establecimiento puede considerar otros
objetivos en función de su proyecto educativo, del entorno social en el que éste se
inserta, las características de los estudiantes, entre otros antecedentes relevantes que
merezcan ser tomados en consideración.
La presencia de los OFT en los programas de estudio se expresa en:
-
-
Los Aprendizajes Esperados e indicadores de cada unidad, que incluyen
aprendizajes relacionados con el desarrollo de los OFT. Estos aprendizajes
aparecen destacados en el cuadro sinóptico del año y en los cuadros de
aprendizajes e indicadores de cada unidad.
Las experiencias de aprendizaje que se presentan para cada unidad o semestre.
En el desarrollo de cada una de estas experiencias se señalan oportunidades para
desarrollar los OFT. Por medio de esto se busca visibilizar que la promoción de
los OFT puede estar directamente ligada al trabajo orientado a lograr los
Aprendizajes Esperados del sector, y las diversas oportunidades que el programa
ofrece para desarrollarlos.
2. ¿Cómo se evalúan los OFT?
En tanto los OFT constituyen objetivos fundamentales definidos en el currículum
nacional, el logro de los mismos debería ser evaluado por los docentes. Esta evaluación
debería orientarse a obtener información sobre el grado de desarrollo de los estudiantes
en relación a los OFT, para seguir apoyando el desarrollo de los mismos.
Cabe resaltar que los indicadores presentados para apoyar la observación de los
Aprendizajes Esperados referidos a los OFT, se entregan a modo de ejemplos de
comportamientos observables que ilustran el desarrollo del Aprendizaje Esperado. No
son exclusivos ni exhaustivos, sino que buscan ofrecer algunos referentes para la
observación y monitoreo de estos aprendizajes por parte de los docentes.
La forma de evaluar los OFT y la decisión si ellos serán objetos de calificación o no,
depende del OFT del que se trate, ya que estos objetivos son diversos en términos de sus
características, y en consecuencia, la evaluación debe ajustarse a éstas. Mientras algunos
corresponden a habilidades, otros se vinculan con el desarrollo de los sujetos y con su
formación valórica.
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25
Lo anterior implica que los instrumentos utilizados para evaluar los OFT deben ser
diversos y adecuados al OFT que se busca observar. Por ejemplo, la observación
cotidiana de las formas de conducta y de interacción de los estudiantes puede resultar
una modalidad apropiada para evaluar el OFT “ejercer de modo responsable grados
crecientes de libertad y autonomía personal (…)”. En tanto, otros objetivos pueden
requerir también conocer el discurso o las opiniones de los estudiantes. Tal es el caso,
por ejemplo, de OFT tales como “apreciar la importancia de desarrollar relaciones
igualitarias entre hombres y mujeres (…)”. En este caso puede ser útil que el docente
conozca en qué medida los alumnos y alumnas valoran las contribuciones que tanto
hombres como mujeres realizan en distintos espacios de la vida social.
Si bien todos los OFT se pueden evaluar, no todos ellos pueden ser calificados en
atención a sus distintas características. A modo de ejemplo, aquellos OFT relacionados
con el conocimiento de sí mismo y la autoestima no son calificables, básicamente por
el hecho que asignar una nota sobre estos aspectos es cuestionable en sí mismo. Se
puede “esperar” que los estudiantes logren determinado nivel de autoconocimiento y
autoestima, pero no se puede “exigir” determinado nivel de desarrollo en estas
dimensiones. En tanto, los OFT referidos a las habilidades de pensamiento, o bien el
referido a “comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento (…)”
aluden a aspectos que caben dentro de lo que se les puede exigir a los estudiantes al
momento de asignar una calificación.
La definición e implementación de los instrumentos de evaluación, así como las
decisiones respecto de la calificación de los OFT, son aspectos que en última instancia
dependen de las opciones adoptadas al interior de cada establecimiento.
Específicamente, estos son aspectos que dependerán de las disposiciones que cada
establecimiento defina en su reglamento de evaluación.
3. ¿Qué OFT se integran en el presente programa?
En la formación integral matemática no basta solo con focalizar el proceso de
enseñanza-aprendizaje en el desarrollo de habilidades de orden superior asociadas
tradicionalmente al razonamiento matemático. Es necesario observar permanentemente
el progreso de habilidades y actitudes que juegan un rol igualmente importante en la
formación de un pensamiento matemático, tales como la capacidad para trabajar en
equipo, la iniciativa personal en el planteamiento de soluciones, la perseverancia,
responsabilidad y entusiasmo en el cumplimiento de las tareas, y el interés por el
conocimiento. En este contexto, este sector contribuye a la formación de individuos con
capacidad para integrarse proactivamente a una sociedad globalizada, demandante y con
una creciente explosión tecnológica. Es así como la matemática en la escuela, se
transforma en un instrumento que no solo contribuye a desarrollar capacidades propias
de la disciplina, sino también, al igual que las otras áreas del conocimiento, realiza su
aporte al desarrollo de habilidades y actitudes relevantes para la vida de todo hombre y
mujer.
Los OFT que tienen mayor presencia en cada unidad se han destacado al interior del
programa, siendo los OFT relacionados con la perseverancia y el trabajo en equipo los
que encuentran un lugar privilegiado en este programa. No obstante lo anterior, el o la
docente puede encontrar muchas más oportunidades para su desarrollo a partir de los
contextos y situaciones matemáticas que se presenten a los alumnos y alumnas.
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VISIÓN GLOBAL DEL AÑO ESCOLAR
OBJETIVOS FUNDAMENTALES
1. Comprender que los números enteros constituyen un conjunto numérico en el que es
posible resolver problemas que no tienen solución en los números naturales.
2. Establecer relaciones de orden entre números enteros, reconocer algunas de sus
propiedades, y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos números y
aplicarlas en diversas situaciones.
3. Emplear proporciones para representar y resolver situaciones de variación proporcional en
diversos contextos.
4. Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal
positivo y potencias de 10 con exponente entero, conjeturar y verificar algunas de sus
propiedades, utilizando multiplicaciones y divisiones y aplicarlas en situaciones diversas.
5. Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo, calcular o
estimar su valor y establecer su relación con las potencias de exponente dos.
6. Resolver problemas en diversos contextos que impliquen plantear y resolver ecuaciones de
primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros8, fracciones o
decimales positivos, identificando términos semejantes y estrategias para su reducción.
7. Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y ángulos, caracterizar sus elementos
lineales y comprobar que algunas de sus propiedades son válidas para casos particulares, en
forma manual y usando procesadores geométricos.
8. Comprender el teorema de Pitágoras y aplicarlo en situaciones concretas.
9. Utilización de estrategias para la obtención del volumen en prismas rectos y pirámides en
contextos diversos, expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente y
formular y verificar conjeturas, en casos particulares, relativas a cambios en el perímetro de
polígonos y al volumen de dichos cuerpos al variar uno o más de sus elementos lineales.
10. Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos, y seleccionar formas
de organización y representación de acuerdo a la información que se quiere analizar.
11. Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de
una población.
12. Predecir acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento a partir de resultados de
experimentos aleatorios simples.
13. Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar las habilidades propias del
proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos, utilizando los
contenidos del nivel, y analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los
resultados obtenidos fomentando el interés y la capacidad de conocer la realidad.
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Es importante que las ecuaciones involucradas tengan procesos de resolución que no contemplen la multiplicación y
división de enteros negativos, ya que estas operaciones no corresponden a este nivel.
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CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS:
Números:
1. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales al
conjunto de los números enteros y caracterización de éstos últimos.
2. Interpretación de las operaciones de adición y sustracción en el ámbito de los números enteros, empleo de
procedimientos de cálculo de dichas operaciones, argumentación en torno al uso del neutro e inverso aditivo y
su aplicación en la resolución de problemas.
3. Representación de números enteros en la recta numérica y determinación de relaciones de orden entre ellos
considerando comparaciones de enteros negativos entre sí y de enteros positivos y negativos, utilizando la
simbología correspondiente.
4. Interpretación de potencias que tienen como base un número natural, una fracción positiva o un número
decimal positivo y como exponente un número natural, establecimiento y aplicación en situaciones diversas de
procedimientos de cálculo de multiplicación de potencias de igual base o igual exponente, formulación y
verificación de conjeturas relativas a propiedades de las potencias utilizando multiplicaciones y divisiones.
5. Caracterización de la raíz cuadrada de un número entero positivo en relación con potencias de exponente 2, y
empleo de procedimientos de cálculo mental de raíces cuadradas en casos simples o de cálculo utilizando
herramientas tecnológicas, en situaciones que implican la resolución de problemas.
6. Interpretación de una proporción como una igualdad entre dos razones cuando las magnitudes involucradas
varían en forma proporcional, y su aplicación en diversas situaciones, por ejemplo, en el cálculo de porcentajes.
7. Elaboración de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de 10 con exponente
entero y su aplicación para representar números decimales finitos como un producto de un número natural por
una potencia de 10 de exponente entero.
8. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan adiciones y sustracciones
con números enteros, proporciones, potencias y raíces como las estudiadas, enfatizando en aspectos relativos al
análisis de las estrategias de resolución, la evaluación de la validez de dichas estrategias en relación con la
pregunta, los datos y el contexto del problema.
Álgebra:
9. Caracterización de expresiones semejantes, reconocimiento de ellas en distintos contextos y establecimiento de
estrategias para reducirlas considerado la eliminación de paréntesis y las propiedades de las operaciones.
10. Traducción de expresiones en lenguaje natural a lenguaje simbólico y viceversa.
11. Resolución de problemas que implican el planteamiento de una ecuación de primer grado con una incógnita,
interpretación de la ecuación como la representación matemática del problema y de la solución en términos del
contexto.
Geometría:
12. Transporte de segmentos y ángulos, construcción de ángulos y bisectrices de ángulos, construcción de rectas
paralelas y perpendiculares, mediante regla y compás o un procesador geométrico.
13. Análisis y discusión de las condiciones necesarias para construir un triángulo a partir de las medidas de sus
lados y de sus ángulos. Determinación del punto de intersección de las alturas, transversales de gravedad,
bisectrices y simetrales9 en un triángulo, mediante construcciones con regla y compás o un procesador
geométrico.
14. Verificación, en casos particulares, en forma manual o mediante el uso de un procesador geométrico del
teorema de Pitágoras, del teorema reciproco de Pitágoras y su aplicación en contextos diversos.
15. Establecimiento de estrategias para la obtención del volumen de prismas rectos de base rectangular o triangular
y de pirámides, cálculo del volumen en dichos cuerpos expresando el resultado en milímetros, centímetros y
metro cúbicos y aplicación a situaciones significativas.
16. Formulación de conjeturas relativas a los cambios en el perímetro de polígonos y volumen de cuerpos
geométricos, al variar la medida de uno o más de sus elementos lineales, y verificación, en casos particulares,
mediante el uso de un procesador geométrico.
Datos y Azar:
17. Análisis de ejemplos de diferentes tipos de tablas y gráficos, argumentando en cada caso acerca de sus ventajas
y desventajas en relación con las variables representadas, la relación de dependencia entre estas variables, la
información a comunicar y el tipo de datos involucrado.
18. Establecimiento y aplicación de criterios para la selección del tipo de tablas o gráficos a emplear para organizar
y comunicar información, obtenida desde diversas fuentes, y construcción de dichas representaciones mediante
herramientas tecnológicas.
9
También conocidas como mediatrices
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19. Caracterización de la representatividad de una muestra, a partir del tamaño y los criterios en que ésta ha sido
seleccionada desde una población. Discusión acerca de cómo la forma de escoger una muestra afecta las
conclusiones relativas a la población.
20. Discusión acerca de la manera en que la naturaleza de la muestra, el método de selección, y el tamaño de ella,
afectan los datos recolectados y las conclusiones relativas a una población.
21. Predicción respecto a la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio simple y
contrastación de ellas mediante el cálculo de la frecuencia relativa asociada a dicho evento e interpretación de
dicha frecuencia a partir de sus formatos decimal, como fracción y porcentual.
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APRENDIZAJES ESPERADOS POR SEMESTRE Y UNIDAD
Cuadro Sinóptico:
SEMESTRE 1
UNIDAD 1:
Números y Algebra
1. Comprende que los números enteros
constituyen un conjunto numérico en el que
es posible resolver problemas que no tienen
solución en los números naturales.
UNIDAD 2:
Geometría
1. Construye
rectas perpendiculares,
paralelas y bisectrices de rectas usando
regla
y
compás
o
procesadores
geométricos.
2. Establece relaciones de orden entre
2. Caracteriza elementos lineales de los
números enteros y los ubican en la recta triángulos y comprueba algunas de sus
numérica.
propiedades para casos particulares,
mediante regla y compás o procesadores
3. Efectúa e interpreta adiciones y geométricos.
sustracciones con números enteros, reconoce
algunas de sus propiedades y las aplica en la 3. Construye triángulos a partir de la
resolución de diversos problemas.
medida de sus lados y/o ángulos, usando
regla
y
compás
o
procesadores
4. Reconoce una proporción como una geométricos.
igualdad entre dos razones y resuelve
problemas en diversos contextos que 4. Construye ángulos utilizando regla y
involucran proporcionalidad.
compás o un procesador geométrico
5. Resuelve
contextos que
proporcionales.
problemas en diversos
involucran variaciones
6. Identifica
términos semejantes en
expresiones
algebraicas
y
establece
estrategias para reducirlos.
problemas en diversos
contextos que impliquen plantear y resolver
ecuaciones de primer grado con una
incógnita en el ámbito de los números
enteros, fracciones o decimales positivos.
OFT intencionados
en la unidad
7. Resuelve
Muestra perseverancia, rigor y creatividad en la
resolución de problemas.
Muestra actitud de perseverancia, rigor en la
Trabaja en equipo y muestra iniciativa personal
en la resolución de problemas en contextos
diversos.
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SEMESTRE 2
UNIDAD 1:
Números y Geometría
UNIDAD 2:
Datos y Azar
1. Interpreta
y utiliza potencias de 1. Analiza información presente en
exponente natural cuya base es un número diversos tipos de tablas y gráficos.
fraccionario o decimal positivo y potencias
2. Selecciona formas de organización y
de base 10 con exponente entero.
representación de datos de acuerdo al tipo
2. Conjetura
y
verifica
algunas de análisis que se quiere realizar.
propiedades de las potencias, y las aplica en
3. Reconoce que la naturaleza y el método
situaciones diversas.
de selección de muestras inciden en el
3. Comprende el significado de la raíz estudio de una población.
cuadrada de un número entero positivo,
calcula o estima su valor y establece su 4. Predice acerca de la probabilidad de
relación con las potencias de exponente dos. ocurrencia de un evento a partir de
resultados de experimentos aleatorios
4. Emplea raíces cuadradas de números simples.
enteros positivos en la resolución de
problemas relativos al teorema de Pitágoras.
5. Comprende el Teorema de Pitágoras y
lo aplica en la resolución de problemas en
contextos diversos.
6. Utiliza
estrategias para obtener el
volumen en prismas rectos y pirámides en
contextos diversos, y expresa los resultados
en las unidades de medida correspondiente.
7. Formula y verifica conjeturas, en casos
particulares, relativas a cambios en el
perímetro de polígonos al variar uno o más
de sus elementos lineales.
8. Formula y verifica conjeturas, en casos
OFT
intencionados en la
unidad
particulares, relativas a cambios en el
volumen de prismas rectos y pirámides al
variar uno o más de sus elementos lineales.
Trabaja en equipo y muestran iniciativa personal
en la resolución de problemas en contextos
diversos.
Muestra interés por conocer la realidad al
trabajar con información cuantitativa de
diversos contextos.
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SEMESTRE 1
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UNIDAD 1:
Números y Álgebra
En esta unidad, el álgebra y los números son trabajados en forma integrada al igual que en
cursos anteriores, buscando de esta forma apoyar el establecimiento de conexiones entre estas
dos áreas por parte de los y las estudiantes.
Los números enteros son tratados como una extensión del conjunto de los números naturales, y
su existencia es justificada enfatizando aquellos problemas que es imposible resolver en el
conjunto de los naturales. En este nivel, se espera que los y las estudiantes sean capaces de
resolver problemas de adición y sustracción con números enteros. Esta unidad también propone
un trabajo con razones y proporciones y, si bien es cierto que este tema puede trabajarse desde
una mirada algebraica, para este nivel el enfoque es numérico. Es decir, se busca que los
alumnos y alumnas comprendan los alcances de comparar dos magnitudes estableciendo el
cuociente entre ambas, y puedan resolver diversas situaciones cuyos modelos representan
situaciones de variación proporcional.
Se recomienda iniciar el trabajo con los números enteros situando a los alumnos y alumnas en el
contexto histórico en que estos números cobran relevancia y los problemas que solucionaron.
Del mismo modo, se sugiere proponer diversos desafíos que tensionen la necesidad de contar
con una representación para expresiones numéricas enteras menores que el cero.
Particularmente interesante suele resultar para los alumnos y alumnas el significado del cero
según la diversidad de contextos donde se le interprete, por ejemplo en un contexto de
temperatura entre frío y calor, cero no significa que esté “templado”.
Respecto a las operaciones de adición y sustracción, hay que tener presente que, a diferencia de
lo que ocurre en los números naturales, las reglas para operar con números enteros no suelen ser
tan fáciles de comprender (si de memorizar) para los y las estudiantes. Hay que evitar que ellos
y ellas desistan en la búsqueda de la comprensión e intenten internalizar los procedimientos
memorísticamente, ya que esto implicará su rápido olvido y lo que es más complejo aún, la
creación de procedimientos inválidos producto de la fusión con otros. Se recomienda la
utilización de metáforas y representaciones visuales para facilitar la comprensión de los
procedimientos involucrados, por sobre la ejercitación rutinaria. Se sugiere especial cuidado con
el tratamiento de la diferencia entre números enteros, debido a que suele generar en los alumnos
y alumnas confusiones con el signo del número.
El álgebra, en tanto, progresa naturalmente junto al ámbito numérico ya que la reducción de
términos semejantes se trabaja en este nivel ampliando precisamente tanto los factores
numéricos de los términos algebraicos como los exponentes de los factores literales a números
enteros. El trabajo con ecuaciones que se propone en este nivel continúa naturalmente
ampliando el ámbito numérico en el que se trabajan dichas ecuaciones, ya que tanto los
coeficientes como los valores incógnitos pueden ser números enteros, decimales o fracciones
positivas.
En la búsqueda de la compresión por parte de los alumnos y alumnas del concepto de
proporcionalidad directa e inversa, se sugiere comparar con situaciones de variación no
proporcional destacando la identificación de la constante de proporcionalidad. Por ejemplo, en
el contexto de proporcionalidad directa, se les puede mostrar a los y las estudiantes la
dependencia entre variables que, a pesar que cuando una crece la otra también, no tienen una
dependencia proporcional directa (por ejemplo el número de habitantes del planeta versus los
años transcurridos o la medida del lado de un cuadrado versus su área).
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Al trabajar con ecuaciones, se recomienda a el o la docente poner especial cuidado en la
resolución de ecuaciones de primer grado con números positivos y negativos, debido a la
dificultad que los estudiantes puedan tener para interpretar el signo negativo de un número
versus el signo de la sustracción. Errores frecuentes de los estudiantes se relacionan con el uso
de procedimientos inadecuados en la resolución de ecuaciones, como por ejemplo, cuando los
estudiantes mecanizan el procedimiento de “cambiar de lado” en una ecuación, y se cometen
errores del tipo 3x – 5 = 2, suponiendo que el 5 es positivo.
Respecto a la evaluación, es recomendable ir monitoreando el logro de los aprendizajes
esperados a medida que se desarrolla la unidad y no sólo al final de ella. De este modo el
profesor o profesora podrá conocer si los alumnos y alumnas están aprendiendo los conceptos
centrales y a su vez podrá diseñar estrategias para trabajar con la diversidad de niveles de
aprendizaje que conviven en el aula.
Es importante que estas evaluaciones midan destrezas, habilidades y conocimientos, que
contengan preguntas interesantes y desafiantes pero que a su vez sean pertinentes para su edad,
relacionadas con lo trabajado durante las clases.
Se sugiere diseñar evaluaciones con preguntas abiertas y problemas que demanden por parte de
los estudiantes la elaboración de estrategias y la utilización de procedimientos, y que se
considere que los problemas en matemáticas no siempre tienen respuesta única y que no siempre
importa el resultado final. Formular preguntas de este tipo permitirá también al docente observar
los distintos niveles de desempeño que muestren los alumnos y también entregar una
retroalimentación en aquellos aspectos que los alumnos y alumnas muestran menores niveles de
comprensión.
Aprendizajes Esperados e Indicadores
Aprendizajes Esperados
que
los •
números enteros constituyen un
conjunto numérico en el que es
posible resolver problemas que •
no tienen solución en los
números naturales.
1. Comprende
•
2. Establece
relaciones de •
orden entre números enteros y
los ubican en la recta numérica. •
3. Efectúa
e
interpreta •
adiciones y sustracciones con
números enteros, reconocen •
algunas de sus propiedades y
las aplica en la resolución de
diversos problemas.
•
•
•
4. Reconoce una proporción
•
Indicadores
Argumenta sobre la pertenencia al conjunto de los
números enteros de la solución de una ecuación de
primer grado.
Explica cuando un problema, contextualizado, puede o
no tener soluciones en el conjunto de los números
naturales.
Da ejemplos de la vida cotidiana en que la
información numérica corresponde a números enteros.
Ordena de mayor a menor o de menor a mayor un
conjunto de números enteros.
Ubica un conjunto de números enteros en la recta
numérica.
Realiza adiciones y sustracciones con números enteros
y argumenta acerca del resultado.
Resuelve diversas situaciones problemáticas en las que
es necesario realizar adiciones o sustracciones con
números enteros e interpreta los resultados.
Transforma la sustracción entre dos números enteros
en una adición de estos. Por ejemplo: 70 – 45 = 70 + (45)
Explica las propiedades de la adición en el conjunto de
los números enteros.
Utiliza las propiedades de la adición en el conjunto de
los números enteros para resolver problemas asociados
a situaciones aditivas.
Compara los cuocientes entre dos razones para
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como una igualdad entre dos
razones y resuelve problemas •
en diversos contextos que
involucran proporcionalidad.
•
•
•
•
•
•
•
•
5. Resuelve
problemas en •
diversos
contextos
que
involucran
variaciones
•
proporcionales.
6. Identifica términos
•
semejantes en expresiones
algebraicas y establecen
•
estrategias para reducirlos.
7. Resuelve problemas en •
diversos
contextos
que
impliquen plantear y resolver
ecuaciones de primer grado con •
una incógnita en el ámbito de
los números enteros, fracciones
o decimales positivos.
•
8. Muestra
perseverancia, •
rigor y creatividad en la
•
•
9. Trabaja
en equipo y •
muestra iniciativa personal en
la resolución de problemas en •
contextos diversos
•
•
plantear una proporción.
Argumenta si dos razones forman una proporción
utilizando el teorema fundamental de las proporciones.
Determina el término desconocido de una proporción.
Establece relaciones de entre magnitudes involucradas
en diversas situaciones del entorno y discrimina entre
las relaciones proporcionales y las no proporcionales.
Argumenta si las variables en un cierto contexto están
relacionadas o no en forma proporcional.
Compara el cuociente entre valores asignados a
variables para identificar una relación de
proporcionalidad directa entre variables.
Compara el producto entre valores asignados a
variables para identificar una relación de
proporcionalidad inversa entre variables.
Utiliza la constante de proporcionalidad para
argumentar la proporcionalidad directa e inversa entre
variables.
Discrimina entre las relaciones proporcionales directas
e inversas apoyándose en la representación gráfica.
Aplica proporcionalidad directa para calcular
porcentajes en diversos contextos.
Evalúa y utiliza diversas estrategias para solucionar
problemas que implican variaciones proporcionales de
las magnitudes.
Resuelve problemas de variaciones proporcionales en
diversos contextos.
Diferencia entre términos semejantes y no semejantes
en expresiones algebraicas.
Reduce términos semejantes cuyos factores literales
son potencias de exponente entero.
Plantea ecuaciones de primer grado con una incógnita
que representan distintas situaciones, tanto del mundo
cotidiano como de la propia matemática.
Resuelve ecuaciones de primer grado con una
incógnita y coeficientes enteros, evaluando la
pertinencia de la solución en el contexto original del
problema.
Resuelve ecuaciones de primer grado con una
incógnita y coeficientes fraccionarios o decimales
positivos, evaluando la pertinencia de la solución en el
contexto original del problema.
Tiene un orden y método para el registro de
información.
Termina los trabajos iniciados.
Es tenaz frente a obstáculos o dudas que se le presente
en problemas matemáticos.
Participa de manera propositiva en actividades
grupales.
Es responsable en la tarea asignada.
Toma iniciativa en actividades de carácter grupal.
Propone alternativas de solución a problemas
matemáticos en actividades grupales.
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Ejemplo de experiencia de aprendizaje:
Esta experiencia se focaliza en el planteamiento de ecuaciones para resolver un
problema. Para ello, se proponen actividades que enfatizan las representaciones visuales
como apoyo al proceso de abstracción. En la primera clase se proponen actividades para
consolidar el concepto de ecuación y la idea de planteo de ecuaciones, mientras que la
segunda clase está destinada a la práctica de escritura y resolución de ecuaciones que
representan tanto situaciones cercanas a la realidad de los jóvenes como de aquellas
contextualizadas en la propia matemática.
Esta experiencia de aprendizaje no abarca todos los aprendizajes esperados ni
indicadores descritos en la unidad, por lo que debe ser complementada con otras
experiencias de aprendizaje.
El tiempo propuesto es estimado, ya que esto dependerá de la realidad específica de
cada curso. La actividad no requiere recursos adicionales a los usados normalmente en
una clase.
Tiempo estimado: 4 horas pedagógicas
Aprendizajes esperados e indicadores considerados en esta experiencia:
Aprendizajes esperados
Indicadores
Resuelve
problemas
en • Plantea ecuaciones de primer grado con una
diversos
contextos
que
incógnita que representan distintas situaciones,
impliquen plantear y resolver
tanto del mundo cotidiano como de la propia
ecuaciones de primer grado
matemática.
con una incógnita en el • Resuelve ecuaciones de primer grado con una
ámbito de los números
incógnita y coeficientes enteros, evaluando la
enteros,
fracciones
o
pertinencia de la solución en el contexto original
decimales positivos.
del problema.
• Resuelve ecuaciones de primer grado con una
incógnita y coeficientes fraccionarios o decimales
positivos, evaluando la pertinencia de la solución
en el contexto original del problema.
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CLASE 1: (2 horas pedagógicas)
INICIO: El profesor o profesora inicia la experiencia explicando a sus estudiantes el
objetivo de la clase, posteriormente realiza una serie de preguntas a fin de constatar que
ellos tengan la capacidad de representar diversas situaciones por medio de expresiones
simbólicas. Por ejemplo, puede realizar preguntas como las siguientes:
¿Cómo se puede representar un número cualquiera?
Si n representa a un número natural cualquiera, ¿cómo se puede escribir el sucesor
de n?
Si Diego tiene m años de edad, ¿cómo se puede representar la edad de una persona
que tiene la mitad de años que Diego? ¿y otra persona que tiene el triple de la edad
de Diego?
Dada la siguiente situación: “En una bolsa hay p gramos de manzanas, el doble de
gramos de peras y 20 gramos menos de naranjas que de manzanas”. ¿Cómo
escribirías en términos de p una expresión algebraica que represente la cantidad de
gramos de manzanas, peras y naranjas que hay en la bolsa?
DESARROLLO: Luego de la actividad inicial, el profesor o profesora propone a sus
estudiantes variadas situaciones que sean posibles de representar a través de ecuaciones
de primer grado y los desafía a escribir en su cuaderno una ecuación que represente la
situación propuesta para posteriormente compartirla con el resto de la clase. Es
importante que las situaciones sean variadas y pertenecientes a contextos diversos a fin
no generar en los alumnos y alumnas la idea que las ecuaciones solucionan situaciones
específicas y acotadas. Por ejemplo, el docente puede proponer a sus estudiantes
plantear ecuaciones que representen situaciones como las siguientes:
a) Se sabe que hay igual cantidad de limones en cada canasto y que además
cada uno de los tres sacos contienen la misma cantidad de limones, escribe
una ecuación que te permita encontrar la cantidad de limones que hay en
cada saco.
2x + 7 = x + 8
¿Cuántos limones hay en cada saco?
b) Sobre la moneda nueva de $100 se tiene la siguiente información:
Fecha de primera circulación: Diciembre 2001
Metal: Bimetálica
Núcleo: Alpaca (70% cobre, 15% níquel, 15% zinc). Color plateado.
Anillo: Cualni (92% cobre, 6% aluminio, 2% níquel). Color dorado.
Peso: 7,58 gramos
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Diámetro: 23,5 milímetros
Espesor: 2 milímetros
Forma: Circular
Canto: Dividido en sextos, alternadamente lisos y estriados.
c) Observa la balanza que se muestra a continuación que está equilibrada. En la bolsa
de papel de la izquierda hay monedas de $100. Escribe una ecuación y determina la
cantidad exacta de monedas de $100 que hay en ese saco.
x + 11 + 2 ⋅ 7,1 = 27,3 + 4 ⋅ 27,9
x = 109,7
Como cada moneda pesa 7,58 gramos, implica que en la bolsa hay 15 monedas de $100.
Observaciones al docente: OFT
En el desarrollo de esta actividad el profesor podría incentivar el conocer y valorar los actores,
la historia, las tradiciones, los símbolos, el patrimonio territorial y cultural de la nación, en el
contexto de un mundo crecientemente globalizado e interdependiente, comprendiendo la
tensión y la complementariedad que existe entre ambos planos.
CIERRE: El o la docente puede seleccionar a un alumno o alumna para que realice una
síntesis de los principales conceptos trabajados en la clase y las posibles aplicaciones
que puede tener el planteo de ecuaciones en la resolución de situaciones problemáticas.
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INICIO: El profesor o profesora resume los principales conceptos trabajados la clase
anterior, recordando a sus estudiantes el aprendizaje esperado y enfatizando
principalmente el objetivo de la clase: “Ejercitar el planteo y resolución de ecuaciones
en diferentes contextos”. Puede solicitar a sus alumnos y alumnas que describan con sus
propias palabras lo que recuerdan del planteo de ecuaciones y sus posibles aplicaciones
en la resolución de situaciones problemáticas.
DESARROLLO: El o la docente propone a sus estudiantes plantear y resolver un
listado de ecuaciones que representan diversas situaciones. Por ejemplo, para cada caso
que se propone a continuación, los alumnos y alumnas plantean una ecuación que
permita responder las preguntas:
•
Un terreno rectangular tiene de ancho “x metros” y de largo “30 – 2x”. ¿Cuánto
alambre se necesita para cerrar todo el perímetro del terreno con cuatro corridas de
alambre?
•
Pedro le pregunta la edad a su profesora de matemática y ésta responde de la
siguiente manera: “si al doble de mi edad le quitas 17 años se tendría lo que me falta
para tener 100 años, ¿qué edad tiene su profesora?
•
Si la balanza está equilibrada, plantea la ecuación y determina el valor numérico de
“x”
CIERRE: El profesor o profesora cierra la clase preguntando a sus estudiantes sobre las
dificultades que se les presentaron en el proceso de plantear una ecuación,
específicamente, las dificultades que les presentó la traducción de enunciados verbales o
gráficos a lenguaje algebraico. Revisa en conjunto con sus estudiantes las principales
estrategias generadas para plantear y resolver una ecuación de primer grado con una
incógnita.
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Sugerencia para la evaluación:
Aprendizajes esperados e Indicadores que se evalúan en la tarea:
Indicadores
Resuelve problemas en diversos contextos que • Plantea ecuaciones de primer grado con
impliquen plantear y resolver ecuaciones de
una incógnita que representan distintas
primer grado con una incógnita en el ámbito
situaciones, tanto del mundo cotidiano
de los números enteros, fracciones o
como de la propia matemática.
decimales positivos
• Resuelve ecuaciones de primer grado con
una incógnita y coeficientes enteros,
evaluando la pertinencia de la solución en
el contexto original del problema.
Descripción de la tarea o actividad de evaluación:
La tarea que se propone implica plantear una ecuación que permita resolver un
problema, comprobando posteriormente el resultado obtenido en el contexto original.
Tarea o actividad de evaluación:
“El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo
y éste 3 más que el menor. Si entre todos tienen la edad del padre que tiene 40 años
¿qué edad tiene cada hermano?
Pauta de Evaluación:
Para evaluar el trabajo de los alumnos y alumnas, el o la docente puede utilizar los
siguientes criterios de evaluación.
Descripción
Logrado
Plantea correctamente una ecuación con una incógnita que
permita determinar las edades de los tres hermanos. Resuelve
la ecuación dejando por escrito el procedimiento utilizado.
Asocia el resultado obtenido con el contexto original del
problema. Comprueba que el resultado es correcto.
Logrado con reparos
Plantea correctamente una ecuación con una incógnita que
permita determinar las edades de los tres hermanos. Sin
embargo, comete errores en la resolución de la ecuación o bien,
sólo escribe el resultado sin asociarlo al contexto del problema.
No logrado
No plantea una ecuación que permita determinar las edades de
los tres hermanos.
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Retroalimentación
Es importante que la evaluación no sea considerada solo como una instancia de
calificación. Independiente que esta sea formativa o sumativa, y que se realice durante o
al final de la unidad, la evaluación provee una importante información tanto para
retroalimentar la propia práctica pedagógica, como para ayudar a los y las estudiantes a
avanzar en su aprendizaje.
El proceso de retroalimentación es, por tanto, clave y puede llevarse a cabo en
diferentes contextos y a través de diversas estrategias.
Para responder correctamente la tarea propuesta, los alumnos y alumnas deberán sortear
una serie de dificultades. La primera será plantear correctamente una expresión que
permita determinar las edades respectivas de cada hermano. Un ítem de este tipo que se
deja sin contestar por parte de un estudiante, generalmente evidencia dificultades en el
planteo de la situación, por lo que cualquier análisis posterior será inerte.
Un planteo correcto debiera tener por lo menos las siguientes etapas, en las cuales el
profesor o profesora puede centrar su atención y retroalimentar posteriormente el
trabajo de el o la alumna que tuvo dificultades:
-
Asignación de las variables
Establecimiento de las relaciones entre dichas variables
Determinación de las edades de cada hermano
Identificación de la pregunta a responder
Siendo esta tarea una fiel exponente de la importancia de una adecuada lectura
comprensiva por parte de los alumnos y alumnas, se recomienda que el docente
verifique los niveles de lectura, incluyendo la comprensión del vocabulario que se
pretenda usar en la construcción de preguntas de este tipo y considere este aspecto como
un insumo en la preparación de los ítem. De este modo, el docente puede despejar si la
dificultad de los alumnos o alumnas para responder se deben a que no han logrado aun
el aprendizaje matemático esperado o, o bien, se deben a un problema de lectura.
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UNIDAD 2:
Geometría
Esta unidad ofrece a los y las estudiantes la posibilidad de resolver desafíos que estimulen el
pensamiento y la imaginación, a través de las construcciones geométricas con regla y compás o
un procesador geométrico que les permiten tener una visión global de un problema y, en
muchos casos, obtener una solución con un grado de aproximación bastante aceptable o
desarrollar una vía de resolución para lograr una solución exacta.
Se sugiere iniciar la unidad con la realización de construcciones que son la base para las
construcciones planteadas en el nivel y en niveles posteriores, tales como las construcciones de
perpendiculares, paralelas, bisectrices, copiado de segmentos y ángulos. Es importante que el o
la estudiante trabaje en detalle estos elementos básicos hasta conseguir una destreza
significativa respecto al uso de ellos, de otra manera la realización de construcciones más
avanzadas que utilizan estos elementos se verá dificultada. Para ello, se sugiere la aplicación de
las construcciones básicas en resoluciones de problemas, por ejemplo, relativos a divisiones de
trazos o a la construcción de paralelogramos.
Es importante ofrecer a los y las estudiantes la oportunidad de realizar la construcción de
triángulos a partir de la medida de sus lados, por ejemplo, dándoles los trazos y pidiéndoles
construir triángulos que tengan lados que correspondan a estos trazos. También es importante
ofrecer a los y las estudiantes la oportunidad de aplicar las construcciones básicas a la
construcción de ángulos. Esto puede requerir de la construcción previa de triángulos específicos
y de la aplicación de las construcciones básicas, por ejemplo, la construcción de un 30º requiere
de la construcción del triángulo equilátero para obtener el ángulo de 60º y de su bisección.
En las actividades que se diseñen, puede ser de mucha ayuda para los y las estudiantes que estas
contengan actividades secuenciadas. Por ejemplo, y siguiendo con el ejemplo anterior, la
construcción del triángulo equilátero desde donde se obtiene el ángulo de 60º o la construcción
de 30º a través de la bisección de 60º.
A partir de esto, los alumnos y alumnas podrán realizar construcciones de triángulos a partir de
lados y ángulos dados, de modo que las aplicaciones que pueden hacer se enriquecen y a la vez
se complejizan. Los y las estudiantes se verán enfrentados a problemas de construcción que
pueden presentar varias posibilidades de resolución. En estos casos puede ser conveniente
realizar actividades donde se presentan distintas formas de una situación o problema, en las que
el alumno o alumna tenga que investigar las que ofrecen mejores garantías de viabilidad.
En esta unidad además se trabaja en la caracterización de los elementos lineales del triángulo y,
de manera inductiva, en la formulación de conjeturas acerca de propiedades de estos elementos.
Es importante realizar actividades que guíen a los alumnos y alumnas a la formulación de esas
conjeturas y su verificación a través de actividades de construcción utilizando regla y compás o
un procesador geométrico. Es recomendable que en las construcciones que se realicen con regla
y compás, los alumnos y alumnas redacten los pasos que se deben dar para que estas se
concreten. Esta es una de las etapas de mayor dificultad en este proceso, y que ofrece la
posibilidad de trabajo mancomunado entre el área de lenguaje y de matemática.
Finalmente, a lo largo de la unidad se presenta a los estudiantes la ocasión de trabajar en la
justificación de las construcciones realizadas. Esto requiere de una aplicación acabada de los
enunciados de teoremas de geometría relacionados con las construcciones que se están
realizando y tiene como efecto la comprensión en profundidad de estos teoremas.
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Indicadores
1. Construye rectas perpendiculares,
paralelas y bisectrices de rectas usando
regla y compás o procesadores
geométricos.
•
•
•
2. Caracteriza elementos lineales de los
triángulos y comprueba algunas de sus
propiedades para casos particulares,
mediante regla y compás o procesadores
geométricos.
3. Construye triángulos a partir de la
medida de sus lados y/o ángulos, usando
regla y compás o procesadores
geométricos.
•
4. Construye ángulos utilizando regla y
compás o un procesador geométrico
•
•
•
•
•
5. Muestra actitud de perseverancia,
rigor en la resolución de problemas.
•
•
•
Copia segmentos, ángulos y sumas y restas de ellos,
mediante regla y compás o un procesador geométrico.
Construye rectas perpendiculares, paralelas y divide
segmentos en partes iguales utilizando regla y compás o
un procesador geométrico.
Construye bisectrices de rectas iguales utilizando regla y
compás o un procesador geométrico.
Conjetura acerca de las propiedades de alturas,
bisectrices y transversales de gravedad en triángulos.
Comprueba en casos particulares las propiedades de los
elementos lineales en triángulos, utilizando regla y
Construye triángulos conociendo sus lados, y argumenta
acerca de la posibilidad de construir triángulos a partir
de segmentos dados.
Construye triángulos utilizando información relativa a
lados y ángulos, y argumenta acerca de la posibilidad de
construir triángulos a partir de segmentos y ángulos.
Construye ángulos que son múltiplos de 90º y que
corresponden a bisecciones de 90º mediante regla y
Construye ángulos que corresponden a bisecciones y
múltiplos de 60º, y a combinaciones de sumas, restas y
bisecciones de ángulos de 60º y 90º mediante regla y
Tiene un orden y método para el registro de información.
Termina los trabajos iniciados.
Es tenaz frente a obstáculos o dudas que se le presente en
problemas matemáticos.
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En esta experiencia los alumnos y alumnas construyen triángulos utilizando regla y
compás. Esta construcción se realiza a partir de datos referidos a la medida de lados o a
partir de datos referidos a la medida de lados y ángulos. Se propone que el o la docente,
con el propósito de alcanzar el objetivo de la experiencia de aprendizaje, repase con sus
estudiantes una serie de construcciones básicas con regla y compás: copiado de
segmentos, de ángulos, y sumas y restas de ellos, construcción de rectas
perpendiculares, paralelas y división de segmentos en partes iguales, y construcción de
bisectrices.
cada curso.
Tiempo estimado: (4 horas pedagógicas)
Recursos: Regla y compás.
Construye triángulos a partir
de la medida de sus lados y /o
ángulos, usando regla y
compás o procesadores
geométricos
Indicadores
• Construye triángulos conociendo sus lados, y
argumenta acerca de la posibilidad de construir
triángulos a partir de segmentos dados.
• Construye triángulos utilizando información
relativa a lados y ángulos, y argumenta acerca de la
posibilidad de construir triángulos a partir de
segmentos y ángulos.
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INICIO: El profesor o profesora comienza la clase señalando la importancia que tiene
la construcción con regla y compás, y que esta plantea desafíos que estimulan el
pensamiento y la imaginación, elementos de nuestra cognición fundamentales para el
trabajo en geometría. Explica que comenzarán repasando construcciones básicas con
regla y compás necesarias para los aprendizajes esperados desarrollar las actividades en
que trabajarán.
El o la docente enfatiza a sus estudiantes que la construcción con regla y compás tiene
una serie de etapas, y que dentro de ellas la más importante está asociada a los procesos
que se desarrollan en la mente de la persona que construye, aquí se crean los pasos que
se deberán dar para que la construcción se concrete. Una segunda etapa es la redacción
de los pasos, que debe ser clara y precisa, de manera que una persona que desarrolle
esos pasos, pueda concretar la construcción utilizando regla y compás.
El profesor o profesora puede agregar a los y las estudiantes que la construcción con
regla y compás es una herramienta importante para el trabajo de transformaciones
isométricas en el plano, tema que aprenderán en octavo.
DESARROLLO: El o la docente solicita a los alumnos y alumnas que, a modo de
repaso, copien trazos y ángulos. Por ejemplo, que copien el ángulo α en la recta L:
Pide además que discutan acerca de las posibilidades de copiado que se pueden dar.
Luego, les solicita que repasen la construcción de rectas perpendiculares a una recta L
que pasa por un punto P, cuando: P no pertenece a L y cuando P pertenece a L. El o la
docente, a modo de ejemplo, puede mostrar la redacción de los pasos para construir la
perpendicular a L que pasa por P cuando P∉L:
Paso 1: Con centro en P y radio r>d (P, L), donde d (P, L) denota la distancia entre P y
L, trazar una circunferencia. Denotar por A y B los puntos en los que la circunferencia
corta a L.
Paso 2: Con centro en A y con centro en B trazar circunferencias CA y CB de radio r.
Paso 3: Trazar la recta que pasa por P y cualquiera de los puntos que pertenecen a CA
∩ CB. Esta es la recta pedida.
El o la docente verifica, utilizando regla y compás de pizarra, que al ejecutar estos pasos
se logra la construcción.
El profesor o profesora pide a sus estudiantes que redacten los pasos para construir la
recta perpendicular a L cuando P ∈ L, y que verifiquen utilizando regla y compás, que
al ejecutar los pasos se obtiene la construcción.
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Observaciones al docente: evaluación
Esta es una ocasión para evaluar el trazado de perpendiculares a lados de un triángulo
acutángulo que pasen por sus vértices opuestos.
Se sugiere en el desarrollo de estas actividades incentivar en los alumnos y alumnas la
confianza para resolver problemas, desarrollar la perseverancia y rigurosidad en el trabajo así
como la iniciativa personal, la creatividad, intencionar el trabajo en equipo y el respeto a
opiniones distintas a las propias como una contribución a los OFT
Actividad 1:
El o la docente solicita a sus estudiantes que redacten los pasos para la construcción de
una recta paralela a una recta L que pase por un punto P ∉ L y que verifiquen la
construcción ejecutando los pasos.
Se puede pedir a los alumnos y alumnas trazar las paralelas a los lados de un triángulo
acutángulo cualquiera que pasen por sus vértices opuestos.
Actividad 2:
El profesor o profesora pide a sus estudiantes que redacten los pasos para la
construcción de la bisectriz de dos rectas dadas y que verifiquen la construcción
ejecutando los pasos.
CIERRE: El o la docente pregunta por las dificultades que se presentaron en las
construcciones que realizaron, específicamente, las dificultades que presentó la
redacción de pasos de estas construcciones. Revisa en conjunto con sus estudiantes la
redacción de los pasos de las construcciones realizadas, aclara dudas acerca de ellas,
redacta los pasos de la construcción que más dificultad presentó, y verifica la
construcción realizada ejecutando los pasos redactados.
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INICIO: El profesor o profesora hace un resumen de las construcciones realizadas en la
clase anterior, pregunta por las dudas que todavía persisten y las aclara. Explica a sus
estudiantes que el objetivo de esta clase es la construcción de triángulos de acuerdo con
la información referida a sus lados y ángulos y que con ese propósito redactarán los
pasos para que ésta se concrete. Les explica que una de las etapas más importantes en
matemática es la verificación de resultados, que en el caso de las construcciones es la
ejecución de los pasos redactados.
DESARROLLO: El profesor o profesora muestra a sus estudiantes el formato de
triángulo con que se trabajará: en un triángulo de vértices A, B, C. Explica que AB se
denotará por c; BC por a y AC por b, mientras que el ángulo BAC se denotará por α,
ángulo ABC por β, y ángulo BCA se denotará por y.
El o la docente les recuerda la clasificación de triángulos de acuerdo a lados y ángulos.
Actividad 1:
El profesor o profesora pide a sus estudiantes que redacten los pasos para la
construcción de un triángulo dados sus lados, y para la construcción de un triángulo
equilátero dado un lado. Solicita, además, que verifiquen esas construcciones
ejecutando los pasos redactados.
Actividad 2:
El profesor o profesora pide que redacten los pasos que permiten construir un triángulo,
dados el lado, el ángulo α y el ángulo β y que verifiquen la construcción ejecutando los
pasos.
Actividad 3:
El o la docente solicita a sus alumnos y alumnas que dado el lado c, discutan respecto
de la relación que deben cumplir los ángulos α y β para que el triángulo se pueda
construir.
Se sugiere que en el desarrollo de estas actividades incentivar en los alumnos y alumnas la
confianza para resolver problemas, intencionar el trabajo en equipo y el respeto a opiniones
distintas a las propias como una contribución a los OFT.
Observaciones al docente: Sugerencia de evaluación
Se pide redactar los pasos que permitan construir un triángulo dados:
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CIERRE: El o la docente pregunta a los alumnos y alumnas las dificultades que se
presentaron en las construcciones de triángulos, específicamente, las dificultades que
presentó el análisis de estas construcciones. Analiza en conjunto con ellos las distintas
posibilidades de construcción de triángulos dados lados y/o ángulos, y muestra cuando
éstas no son posibles.
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Indicadores
Construye triángulos a partir de la medida de • Construye
triángulos
utilizando
sus lados y /o ángulos, usando regla y compás
información relativa a lados y ángulos, y
o procesadores geométricos.
argumenta acerca de la posibilidad de
construir triángulos a partir de segmentos
y ángulos.
Descripción de la tarea:
Se proponen dos ítemes en los que se solicita a los y las estudiantes construir un
triángulo dada la medida de uno de sus lados y la medida de dos de sus ángulos,
redactar los pasos necesarios para construir dicho triángulo y argumentar sobre la
posibilidad de construir un triángulo, dadas las medidas de dos de sus lados y un ángulo.
Estos ítems pueden ser usados como parte de una evaluación sumativa o ser utilizados
para evaluar formativamente a los estudiantes.
Tarea o actividad de evaluación:
1. Usando regla y compás o un procesador geométrico, construye un triángulo si se
sabe que uno de sus lados mide 7 cm y dos de sus ángulos 45 y 60 grados
respectivamente. Redacta los pasos realizados en dicha construcción.
2. Argumenta si es posible o no construir un triángulo dadas las medidas de los lados
“a” y “b” y la medida del ángulo ϕ
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Pauta de Evaluación
Descripción
Logrado
Construyen un triángulo de lado dado y de medidas de ángulos
dadas y redacta los pasos necesarios para construirlo.
Argumentan sobre la posibilidad de construir un triángulo,
utilizando la regla y el compás, dadas las medidas de dos de
sus lados y un ángulo y, en los casos posibles, construyen el
triángulo y redactan los pasos necesarios para construirlo.
Logrado con reparos
Construyen los triángulos pedidos utilizando regla y compás,
lo hacen con una estrategia de ensayo y error. Redactan los
pasos necesarios para construirlo pero no dan argumentos
apropiados sobre la posibilidad de construcción.
No logrado
No construye los triángulos pedidos.
Retroalimentación
La retroalimentación ofrece una oportunidad para que el alumno o alumna avance en su
aprendizaje. La tarea que se propone tiene distintas aristas y la dificultad para realizarla
por parte de los y las estudiantes puede deberse a diversas razones. Por tal razón, se
sugiere al docente, en el caso de aquellos alumnos o alumnas que muestren dificultades,
intentar identificar en primer lugar las razones de ese resultado deficiente. Por ejemplo,
si se debió a problemas de comprensión de la tarea, a una falta de conocimientos de las
propiedades que se deben cumplir para construir un triángulo, dificultades en lso
procedimientos (cómo utilizar la regla y el compás), perceptivos (al observar los trazos
les sugiere que siempre es posible construir los triángulos), etc.
Como estrategia de retroalimentación, el o la docente puede pedir a los alumnos y
alumnas que comparen sus resultados y comenten entre ellos como realizaron las
construcciones, ya que un análisis colectivo de los procedimientos utilizados puede ser
un aporte a la comprensión.
El profesor puede formular preguntas al grupo o a individuos que los orienten a
reflexionar sobre las condiciones que deben cumplir los lados y los ángulos interiores
de un triángulo para que se puedan construir, preguntas del tipo ¿Cuántos caminos
existen para moverse de un vértice a otro en un triángulo?, ¿cuál es el camino más
corto? Si se conoce la longitud de un lado de un triángulo y la medida de uno de sus
ángulos ¿es posible construirlo?
El uso de figuras de análisis (suponiendo que el problema está resuelto) puede ser una
buena estrategia para apoyar la comprensión de los conceptos, procesos y técnicas
involucradas. Así como el uso de un software geométrico adecuado (Geogebra, por
ejemplo).
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SEMESTRE 2
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UNIDAD 1:
Números y Geometría
En esta unidad se trabaja de manera integrada en eje de Números y el eje de Geometría.
En Números, se profundiza el trabajo realizado anteriormente extendiendo las propiedades de
las potencias de exponente y base natural a las potencias de exponente natural y base
fraccionaria y decimal positivas. Además, se trabaja en este curso con las potencias de base 10 y
exponente entero. Se espera que los y las estudiantes sean capaces de interpretar estos números,
aplicar algunas de sus propiedades y conjeturar respecto a ellas, verificándolas posteriormente.
Para ello es importante que los alumnos y alumnas tengan la oportunidad de trabajar en
actividades centradas en la aplicación de propiedades de potencias de base y exponente natural
para transformar potencias de exponente natural y base fraccionaria o decimal positiva. Esta
unidad, además, ofrece la oportunidad a los alumnos y alumnas de aplicar las propiedades
generadas para multiplicar y dividir potencias de los tipos trabajados, y para resolver problemas
en las que ellas intervienen.
En Geometría, se espera que los alumnos y alumnas comprendan el teorema de Pitágoras, sean
capaces de utilizar estrategias para obtener el volumen de prismas rectos y pirámides, y puedan
formular y verificar conjeturas relacionadas con el volumen y perímetro de las formas
geométricas en estudio.
Se recomienda iniciar el estudio del teorema de Pitágoras con el estudio de raíces cuadradas de
números enteros positivos, estableciendo su relación con potencias de exponente cuadrático y
trabajando en su cálculo. Es importante que los y las estudiantes tengan la posibilidad de
verificar en casos particulares este teorema y aplicarlo en la resolución de problemas en
contextos diversos. A su vez, la unidad ofrece la oportunidad de trabajar en el teorema recíproco
de Pitágoras, realizando actividades que lo lleven a su verificación y al establecimiento de su
relación con el teorema de Pitágoras. De esta manera los estudiantes tienen la posibilidad de
resolver problemas en contextos matemáticos aplicando ambos teoremas.
Se sugiere profundizar la comprensión de estos teoremas y enriquecer sus aplicaciones
utilizando algún software geométrico. También, se sugiere el uso la calculadora para optimizar
los cálculos efectuados en las aplicaciones de estos teoremas, cuando las raíces que resultan de
los procesos de resolución no son exactas.
Al trabajar en la formulación y verificación de conjeturas relativas a perímetros de polígonos, se
recomienda al docente recuperar y reforzar aprendizajes de cursos anteriores a través de
actividades que involucren variaciones en las medidas de las longitudes de los lados de
polígonos y en las medidas del perímetro de estas figuras. De esta manera, se guía a los alumnos
y alumnas en la formulación y verificación de conjeturas acerca de los cambios que se producen
en el perímetro de polígonos cuando varían las medidas de sus lados y cambios en los lados de
estas figuras cuando varían sus perímetros.
En cuanto al estudio del volumen en prismas rectos y pirámides, es importante que los alumnos
y alumnas tengan la oportunidad de utilizar estrategias para su obtención, interpretar
información relativa a volúmenes, y resolver problemas relativos al cálculo de ellos en
contextos diversos. Se recomienda que los y las estudiantes tengan la oportunidad de manipular
las figuras, de manera de poder visualizarlas desde distintas perspectivas y facilitar la utilización
de estrategias. Se recomienda proponer a los y las estudiantes actividades que involucran
variaciones en las medidas de las aristas de prismas y piramides, ya que esto facilitará la
realización de conjeturas relativas a los cambios que se produce en el volumen de estos cuerpos
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cuando varían las medidas de sus aristas y les facilitará la verificación en casos particulares de
las conjeturas formuladas.
Indicadores
1. Interpreta y utiliza potencias de • Expresa como potencia productos en que los
exponente natural cuya base es un
factores son fracciones o decimales iguales entre sí.
número fraccionario o decimal • Identifica situaciones que pueden ser representadas
positivo y potencias de base 10 con
por medios de potencias de base fraccionario
exponente entero.
positiva, decimal positiva o potencias de 10 y
exponente entero.
• Utiliza potencias de base fraccionaria positiva,
decimal positiva o potencias de 10 y exponente
entero para representar diversas situaciones del
mundo cotidiano.
2. Conjetura y verifica algunas • Formula conjeturas acerca de las propiedades de
propiedades de las potencias y las
las potencias de base fraccionaria positiva, decimal
aplican en situaciones diversas
positivo y exponente natural.
• Verifica
conjeturas relacionadas con las
propiedades de las potencias de base fraccionaria
positiva, decimal positivo y exponente natural.
• Formula conjeturas acerca de las propiedades de
las potencias de base 10 y exponente entero.
• Verifica
conjeturas relacionadas con las
propiedades de las potencias de base 10 y
exponente entero.
• Realiza operaciones de multiplicación y división de
potencias de base fraccionaria positiva, decimal
positiva o potencias de 10 y exponente entero
utilizando sus propiedades
• Utiliza las propiedades de las potencias de base
fraccionaria positiva, decimal positivo o potencias
de 10 y exponente entero para resolver problemas
que involucren este tipo de potencias.
3. Comprende el significado de la • Identifica situaciones que involucran el cálculo de
raíz cuadrada de un número entero
raíces cuadradas de números enteros positivos, por
positivo, calcula o estima su valor y
ejemplo, la diagonal de un cuadrado de lado 1.
establece su relación con las • Relaciona la raíz cuadrada de un número entero
potencias de exponente dos.
positivo con las potencias de exponente dos.
• Calcula en forma mental raíces cuadradas en casos
4. Emplea raíces cuadradas de •
números enteros positivos en la
resolución de problemas relativos al
teorema de Pitágoras.
•
5. Comprende el Teorema de •
Pitágoras y lo aplica en la resolución
de problemas en contextos diversos.
simples, por ejemplo 16
Resuelve diversos problemas que involucren el
cálculo de raíces cuadradas de números enteros
positivos, por ejemplo, en la utilización de teorema
de Pitágoras.
Utiliza la calculadora para resolver problemas que
involucren raíces cuadradas de números enteros
positivos cuando su resultado es un número
irracional.
Verifica en casos particulares, el teorema de
Pitágoras en forma manual o utilizando un
procesador geométrico.
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53
•
•
6. Utiliza estrategias para obtener el •
volumen en prismas rectos y
pirámides en contextos diversos, y
expresa los resultados en las •
unidades de medida correspondiente.
•
7. Formula y verifica conjeturas, en •
casos particulares, relativas a
cambios en el perímetro de polígonos
al variar uno o más de sus elementos
lineales.
•
8. Formula y verifica conjeturas, en •
casos particulares, relativas a
cambios en el volumen de prismas
rectos y pirámides al variar uno o
más de sus elementos lineales.
•
9. Trabaja en equipo y muestra
•
iniciativa personal en la resolución
•
•
•
Verifica en casos particulares, el teorema de
recíproco de Pitágoras en forma manual o
utilizando un procesador geométrico.
Aplica el teorema de Pitágoras y el teorema
recíproco de Pitágoras en la resolución de
problemas en contextos diversos.
Reconoce la unidad de medida de volumen e
interpreta información relativa a volúmenes de
cuerpos en contextos diversos.
Utiliza estrategias para obtener el volumen de
prismas rectos en contextos diversos expresando
los resultados en la unidad correspondiente.
Utiliza estrategias para obtener el volumen de
pirámides rectas en contextos diversos expresando
los resultados en la unidad correspondiente.
Conjetura acerca de los cambios que se producen
en el perímetro de polígonos cuando varían las
medidas de sus lados, y verifica las conjeturas
formuladas en casos particulares.
en la medida de los lados de polígonos cuando
varían las medidas de sus perímetros, y verifica las
conjeturas formuladas en casos particulares.
en el volumen de prismas rectos cuando varían las
medidas de sus aristas, y verifica las conjeturas
en el volumen de pirámides rectas cuando varían
las medidas de sus aristas y verifica las conjeturas
Participa de manera propositiva en actividades
grupales.
Es responsable en la tarea asignada.
Toma iniciativa en actividades de carácter grupal.
Propone alternativas de solución a problemas
matemáticos en actividades grupales.
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Esta experiencia se focaliza en la formulación y verificación de conjeturas relativas a
propiedades de las potencias de la forma a n , donde a puede ser un número natural,
decimal positivo o fracción positiva, y n ∈ N .
Las propiedades acerca de las que se conjetura son la multiplicación de potencias de
igual base, la multiplicación de potencias de base distinta y de igual exponente,
potencias elevadas a potencias naturales, la división de potencias de igual base y la
división de potencias de base distinta y de igual exponente. Para que los estudiantes
puedan llegar a formular estas conjeturas, se proponen actividades relacionadas con la
simplificación y amplificación de fracciones positivas, la conversión de fracciones
positivas a decimales positivos y la conversión de decimales positivos a fracciones
positivas a partir de la asociación entre una fracción y el decimal que resulta luego del
1
proceso de conversión, por ejemplo,
y 0,5 , y el proceso de generalización de
2
resultados particulares relativos a operatoria con naturales, fracciones positivas y
cada curso.
Tiempo estimado: 6 horas pedagógicas
Recursos: Proyector de videos
Indicadores
Conjetura y verifica algunas • Utiliza las propiedades de las potencias de base
propiedades de las potencias y
fraccionaria positiva, decimal positivo o potencias
las aplican en situaciones
de 10 y exponente entero para resolver problemas
diversas.
que involucren este tipo de potencias.
• Realiza operaciones de multiplicación y división
de potencias de base fraccionaria positiva, decimal
positiva o potencias de 10 y exponente entero
utilizando sus propiedades
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INICIO: El profesor o profesora inicia la clase recordando las potencias estudiadas en
cursos anteriores. Puede además motivar a sus alumnos señalando su utilidad en la
tecnología y ciencias en general, por ejemplo, la importancia que tienen las potencias de
base 10 en la medición de cantidades grandes y pequeñas se expresan en términos de
estas potencias.
El profesor o profesora realiza un resumen de la multiplicación y división con potencias
de base 10, señalando la importancia que tiene para facilitar el cálculo de
multiplicaciones y divisiones, el generar propiedades acerca de las potencias..
Observaciones al docente:
El profesor o profesora puede exhibir videos a los alumnos y alumnas donde se muestren
secuencias de objetos desde lo macro a lo micro, por ejemplo, galaxias, estrellas, hasta llegar a
moléculas y a partes del átomo y cuyas superficies se expresan en potencias de 10.
Se sugiere realizar cálculos de cantidades grandes y pequeñas con calculadoras y mostrar que
los resultados que aparecen están dados en términos de estas potencias.
DESARROLLO: El profesor o profesora recuerda a sus estudiantes los elementos que
intervienen en una potencia: base y exponente, y les explica que durante esta
experiencia se trabajará con exponentes naturales y bases que podrán ser números
naturales, fracciones positivas y decimales positivos.
Se sugiere que en el desarrollo de estas actividades se incentive en los alumnos y alumnas la
confianza para desarrollar habilidades de orden superior, resolver problemas, desarrollar la
perseverancia y rigurosidad en su trabajo así como intencionar el trabajo en equipo, el respeto a
opiniones distintas a las propias como una contribución a los OFT.
Actividad 1:
El o la docente define potencias de base y exponente natural en casos particulares, por
ejemplo 2 5 como 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 , y les solicita que generalicen esta definición.
Se sugiere recordar algunos conceptos del álgebra que vieron en 5º y 6º básico para facilitar
esta generalización.
Actividad 2:
El profesor o profesora solicita a los y las estudiantes que conjeturen acerca de la
multiplicación de potencias de igual base natural, que verifiquen la conjetura formulada
en casos particulares, y que generalicen los resultados obtenidos.
Se sugiere guiar a los y las estudiantes en esta actividad, por ejemplo, que expresen
multiplicaciones del tipo 3 4 ⋅ 3 5 en la forma 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
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El docente presenta a los alumnos y alumnas fracciones donde el numerador y
denominador está formado por productos de números, de manera que algunos de los
números que aparecen en el numerador estén presentes en el denominador, por
2⋅ 2 ⋅3⋅ 4
, y solicita que simplifiquen esta fracción.
ejemplo,
2⋅2⋅2⋅4
Se sugiere ejercitar este tipo de simplificaciones, empleando números y letras. Se debe hacer
hincapié en que la simplificación es posible en tanto algún número del numerador y algún
número del denominador de la fracción tienen un divisor o factor común.
Actividad 3:
división de potencias de igual base natural, que verifiquen la conjetura formulada en
casos particulares, y que generalicen los resultados obtenidos.
Se sugiere guiar a los alumnos y alumnas en esta actividad, por ejemplo, que expresen
divisiones del tipo
27
24
en la forma
2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
2⋅2⋅2⋅2
, o bien en la forma
24 ⋅ 23
24
CIERRE: El docente termina la clase con un resumen de los resultados encontrados
acerca de multiplicaciones y divisiones con potencias. Pregunta por las dificultades que
tuvieron al formular las conjeturas propuestas, al realizar las verificaciones de esas
conjeturas y aplicar el conocimiento adquirido en la resolución de los ejercicios
propuestos.
El profesor o profesora resuelve las dudas planteadas por los alumnos y alumnas e
informa que en la próxima clase trabajarán en la formulación de conjeturas sobre la
multiplicación y división de potencias de base y exponente natural.
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INICIO: El profesor o profesora pregunta a los y las estudiantes sobre los resultados
obtenidos la clase anterior. Por ejemplo, puede pedirles que sin hacer cálculos
respondan el resultado de 23 · 24 o de
35
33
. Generalizan en conjutno estos resultados
aplicando lenguaje algebraico. Luego, señala el objetivo de la clase.
DESARROLLO:
Actividad 1:
multiplicación y división de potencias de base natural y de igual exponente natural; que
verifiquen la conjetura formulada en casos particulares, y que generalicen los resultados
obtenidos.
El docente puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles, por ejemplo, que
expresen multiplicaciones del tipo 4 3 ⋅ 5 3 en la forma 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = (4 ⋅ 5).(4 ⋅ 5).(4 ⋅ .5) = (4 · 5) 3 y
54
divisiones del tipo 4 en la forma
7
5 5 5 5 5
=  ⋅ ⋅ ⋅  =  
7⋅7⋅7⋅7
7 7 7 7 7
5⋅5⋅5⋅5
4
A continuación, entrega un listado de ejercicios acerca de multiplicaciones y divisiones
con potencias de base natural y de base fraccionaria positiva, pide que los resuelvan
aplicando las propiedades generadas. Para esto puede apoyarse en las actividades y
ejercicios propuestos en el texto de estudios de matemática del nivel.
Esta es una ocasión que tiene el docente de evaluar la generalización que pueden realizar sus
estudiantes de las propiedades obtenidas con bases naturales a bases fraccionarias positivas.
5
Por ejemplo, de evaluar conjeturas de multiplicaciones del tipo
5
5
9
5
8
3 2
7 7 2 3
  ⋅   y divisiones del tipo   :   ,   :  
4 7
4 4 9 4
7
2 2
  ⋅  ,
3 3
8
Actividad 2:
El profesor o profesora presenta a sus estudiantes potencias elevadas a potencias con
exponentes naturales y bases naturales o fraccionarias positivas, por ejemplo,
7
3 5
(2 )
  2 6 
, o     solicita que conjeturen acerca de la relación que se establece entre
 3  


Diciembre 2009
58
los exponentes al desarrollar la expresión dada, que verifiquen la conjetura en casos
particulares y que generalicen los resultados obtenidos.
El docente les solicita que expresen números en términos de multiplicaciones y
divisiones de potencias, por ejemplo, que expresen 1.024 en términos de 2 2 , o 5.184 en
términos de multiplicación de potencias de 2 2 ⋅ 3 2 , y que calculen la potencia que
resulta de sumas de potencias iguales, por ejemplo, que expresen la suma
2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 como una potencia de base 2.
El docente puede presentar a sus estudiantes ejercicios del tipo a n + m− s y pedir que expresen
esta potencia en la forma de multiplicaciones y divisiones.
CIERRE: El o la docente hace el cierre de la clase, pidiendo a los y las estudiantes que
realicen un resumen con las propiedades generadas acerca de multiplicaciones y
divisiones con potencias. Pregunta por las dificultades que tuvieron al formular las
conjeturas propuestas, al realizar las verificaciones de esas conjeturas y aplicar el
conocimiento adquirido en la resolución de los ejercicios propuestos. El profesor o
profesora hace un resumen de los resultados obtenidos y resuelve las dudas planteadas
en conjunto con los alumnos y alumnas.
Informa a los alumnos y alumnas que en la próxima clase se trabajará la formulación de
conjeturas con potencias de exponentes naturales pero con bases formadas por
INICIO: El profesor o profesora repasa las dudas que se presentaron en la clase anterior
y resuelve algunos ejercicios relativos a expresar números en términos de
multiplicaciones y divisiones de potencias, y al cálculo de la potencia que resulta de
sumas de potencias iguales.
Informa a sus estudiantes que en esta clase trabajarán la formulación de conjeturas con
potencias de exponentes naturales pero con bases formadas por decimales positivos,
utilizando las propiedades generadas relativas a potencias de base fraccionaria y que se
realizarán aplicaciones en contextos matemáticos y cotidianos.
DESARROLLO:
El profesor o profesora trabaja con los y las estudiantes la conversión de decimales a
fracciones a partir de la asociación obtenida al transformar una fracción cualquiera a un
número decimal, por ejemplo, convierte el decimal 0,1 a fracción, utilizando la
1
asociación entre y 0,5 .
2
Diciembre 2009
59
Se sugiere expresar 0,1 en la forma
1
0,5
, y luego utilizar la asociación entre 0,5 y , de esta
5
2
1
1
1
manera 0,1 = 2 = . Se sugiere utilizar el conocimiento generado, por ejemplo que 0,1 =
,
5
10
10
para convertir decimales en fracciones.
Se sugiere que en el desarrollo de estas actividades incentivar en los alumnos y alumnas la
confianza para, resolver problemas, desarrollar la perseverancia y rigurosidad en su trabajo,
desarrollar habilidades de orden superior, así como intencionar el trabajo en equipo y el respeto
a opiniones distintas a las propias como una contribución a los OFT.
Observaciones al docente: Sugerencia de evaluación:
El docente podría pedir a sus estudiantes que transformen 0,57 a fracción utilizando la
asociación entre
4
4
y 0,8 , obtenida al transformar a decimal
5
5
El profesor o profesora solicita a los y las estudiantes que deduzcan, con lo que ya saben
sobre las propiedades de operaciones con potencias de base fraccionaria positiva y
exponente natural y la conversión de decimales a fracciones, propiedades de estas
operaciones pero con potencias de base decimal, por ejemplo 0,3 4 ⋅ 0,37 , o 0,7 7 : 0,7 2 ,
( )6
o 0,2 5 , o 0,2 4 : 0,9 4 , o 0,59 : 0,89 .
Se sugiere trabajar exhaustivamente junto a los alumnos y alumnas los procesos que se deben
dar para concretar las actividades propuestas, priorizando la deducción matemática.
El o la docente pide a los alumnos y alumnas que apliquen su conocimiento sobre las
propiedades de operaciones de potencias de base natural, decimal y fraccionaria
positiva, y exponente natural; en la resolución de ecuaciones del tipo 3 x + 2 = 27
A continuación, les solicita determinar el valor de la expresión a nx , donde a y x
satisfacen la ecuación a x +c = b , por ejemplo, se pide el valor numérico de 5 2 x , donde
x satisface la ecuación 5 x +3 = 8 .
El o la docente entrega un listado de ejercicios con ecuaciones del tipo resuelto, para
que sean trabajadas individual y grupalmente.
Se sugiere al docente en el desarrollo de estas actividades, incentivar en sus estudiantes la
confianza para resolver problemas, intencionar el trabajo en equipo y el respeto a opiniones
distintas a las propias como una contribución a los OFT.
Diciembre 2009
60
CIERRE: El profesor o profesora hace el cierre de la clase, preguntando a los y las
estudiantes qué dificultades se presentaron cuando dedujeron las propiedades de las
operatorias entre potencias de base decimal positiva y exponente natural, a partir del
conocimiento generado al respecto con las potencias de base fraccionaria positiva y
exponente natural. Repasa los procesos de deducción y reitera los resultados obtenidos
en esta experiencia. Explica la importancia que tiene en matemática utilizar
conocimientos generados para el logro de nuevos resultados.
Diciembre 2009
61
Indicadores
Conjetura y verifica algunas propiedades de • Formula conjeturas acerca de las
las potencias y las aplica en situaciones
propiedades de las potencias de base
diversas.
fraccionaria positiva, decimal positivo y
exponente natural
• Verifica conjeturas relacionadas con las
propiedades de las potencias de base
fraccionaria positiva, decimal positivo y
exponente natural.
• Realiza operaciones de multiplicación y
división de potencias de base fraccionaria
positiva, decimal positiva o potencias de
10 y exponente entero utilizando sus
propiedades.
Descripción de la tarea o actividad de evaluación:
En los ítems siguientes, cada estudiante debe formular y verificar conjeturas acerca de
una potencia de potencia, donde la base puede ser representada como fracción. Para
verificar la conjetura, los alumnos y alumnas deberán reemplazar las variables por
números que les faciliten la verificación. Estos ítems pueden ser usados como parte de
una evaluación sumativa o ser utilizados para evaluar formativamente a los estudiantes.
Tarea de evaluación:
1. Formula y verifica conjeturas acerca de propiedades de potencias de la forma
 an 
 n 
b 
m
.
En la expresión a y b representan a números que pueden ser naturales, fracciones
positivas o decimales positivos; n y m son números naturales.
2. Aplicar la propiedad generada para calcular el valor de la expresión
  1 2 
  
4 
2 

  1  
 5 
  
Diciembre 2009
2
.
62
Pauta de Evaluación
Descripción
Logrado
Logrado con reparos
No logrado
Formula y verifica conjeturas, utilizando variados ejemplos,
acerca de las propiedades de las potencias de base fraccionaria
positiva, decimal positivo y exponente natural. Aplica las
propiedades a situaciones de cálculo que las requieran.
Formula y verifica las conjeturas obtenidas. Tiene dificultades
para aplicarla.
Formula conjeturas, no las verifican ni las aplica a situaciones
de cálculo.
Retroalimentación
La actividad de evaluación propuesta se focaliza en la formulación de conjeturas. El
profesor o profesora puede apoyar a los y las estudiantes que tuvieron dificultades,
proponiéndoles situaciones numéricas simples (con números del conjunto {0, 1, 2,3}) y
orientándolos en la observación de patrones en los resultados.
Se sugiere al docente interrogar y pedir argumentos y fundamentos para las conjeturas
así como para los procesos de verificación. El intercambio a nivel grupal de las
conjeturas y sus fundamentos es una herramienta muy potente que se puede utilizar en
la retroalimentación. Se recomienda que los errores sean utilizados como una
oportunidad de aprendizaje.
Se sugiere además promover la metacognición con preguntas del tipo:¿qué aprendieron
de las potencias?,¿qué conocimientos empleaste en la formulación de tu conjetura?
Diciembre 2009
63
UNIDAD 2:
Datos y Azar
El propósito de esta unidad es profundizar en las habilidades de interpretar, comparar y
analizar información a partir de diversos tipos de tablas y gráficos en diferentes
contextos, así como también en la capacidad de organizar y representar datos a través de
los instrumentos mencionados. En esta unidad los estudiantes trabajarán con tablas y
gráficos revisados en años anteriores tales como gráficos de barras, barras múltiples, de
líneas y circulares, fundamentalmente en contextos extraídos de los medios de
comunicación. El énfasis en este nivel está puesto en el análisis crítico de la
información y en la selección de las formas de organizar y representar los datos, en
función del tipo de análisis que se desee realizar. Por otro lado, se profundiza en los
conceptos de población y muestra como algo fundamental en el estudio de la
Estadística. Se espera que los y las estudiantes reconozcan que la naturaleza de la
muestra y el método de selección inciden en el estudio de la población.
Por otra parte, en esta unidad los estudiantes continúan su trabajo con el tópico de azar y
probabilidades, profundizando en el estudio de situaciones de incerteza y experimentos
aleatorios. En este nivel se enfatiza el trabajo con tablas de frecuencia a partir del
registro de los resultados de experimentos aleatorios. Será importante la iteración de
cada experimento e ir registrando lo que sucede con la frecuencia relativa para cada
evento, de modo que sea también posible comparar más de un evento. También cobra
relevancia el uso de herramientas tecnológicas para simular un gran número de veces un
cierto experimento aleatorio, por ejemplo, lanzar dos monedas.
En el caso de la Estadística (Datos) se sugiere trabajar con contextos de interés para los
estudiantes, deseablemente escogidos desde diarios, revistas o Internet, de modo que los
alumnos y alumnas vean permanentemente que la Estadística está en conexión con la
vida cotidiana y es una herramienta para interpretar y modelar la realidad usando
representaciones tales como tablas y gráficos. Se recomienda seleccionar situaciones
que permitan a los y las estudiantes resolver problemas que impliquen interpretar
información presentada en diversos tipos de tablas y gráficos. También pueden evaluar
la coherencia entre los gráficos que se presentan en los medios de comunicación y los
textos asociados donde se realizan comentarios y conclusiones al respecto del estudio en
cuestión. Por otra parte, se sugiere proponer a los alumnos y alumnas situaciones en las
que a partir de un conjunto de datos decidan la manera de organizarlos y el tipo de
gráfico que mejor comunique la información. En esto será muy relevante el tipo de
datos que se estén utilizando. También pueden discutir sobre si es suficiente con
organizar un conjunto de datos en una tabla (de frecuencia, por ejemplo) o si es
necesario utilizar algún gráfico para clarificar la situación. En cuanto a los conceptos de
población y muestra, se recomienda proponer a los y las estudiantes discusiones
relacionadas con las formas de seleccionar una muestra, con el concepto de
representatividad y si las conclusiones de un estudio pueden ser o no generalizables a la
población.
En el caso de las Probabilidades (Azar) se recomienda proponer a los estudiantes
diversas situaciones y experimentos aleatorios, a través de los cuales puedan registrar
los resultados en tablas de frecuencias y establecer comparaciones entre los distintos
Diciembre 2009
64
eventos. Por ejemplo, el lanzamiento de dos monedas o dos dados unas 200 veces por lo
menos. El énfasis debe estar en el registro de la frecuencia relativa para los diferentes
eventos y en las regularidades observadas a medida que se aumenta el número de
lanzamientos. Cabe señalar que es importante en esta unidad el trabajo con herramientas
tecnológicas que permitan realizar simulaciones de los experimentos aleatorios y
permitar iterar un número elevado de veces (por ejemplo, 1.000, 5.000 o más). De este
modo será posible observar con más claridad las regularidades de ciertos eventos. Por
ejemplo, que al lanzar dos monedas el evento “cara y sello” claramente es más frecuente
que los eventos “cara - cara” o “sello o sello”. Es importante que los estudiantes realicen
conjeturas acerca de los resultados y luego las verifiquen o refuten realizando los
experimentos.
Es importante dejar que los y las estudiantes lean, analicen e interpreten situaciones
expresadas a través de tablas y gráficos, que respondan preguntas y resuelvan problemas
de manera grupal e individual, y que observen y busquen regularidades en la
información. Es fundamental orientar el trabajo de los alumnos y alumnas a través de
preguntas que generen discusión y conduzcan a orientar procedimientos y observaciones
que lleven a establecer conclusiones: ¿qué pasa si…?, ¿siempre pasa esto...? , ¿por
qué…?, etc.
Respecto a la evaluación se sugiere que forme parte inherente del proceso enseñanza –
aprendizaje, y que sea realizada a lo largo de toda la unidad y no sólo al final de ella. El
o la docente puede ir monitoreando el aprendizaje de la unidad a partir de las respuestas
de los estudiantes y las diversas actividades que se realizan en el aula, de modo de ir
realizando los ajustes necesarios en su planificación de clase.
Se sugiere que en la evaluación se realicen preguntas y ejercicios variados, que permitan
recoger los aprendizajes centrales y donde se pueda evidenciar distintos niveles de
desempeño. Diversas en cuanto a la forma de evaluar los aprendizajes y orientadas a
medir tanto habilidades como conocimientos. Se recomienda realizar preguntas abiertas
donde los alumnos y alumnas tengan que elaborar una estrategia o procedimiento y
donde se pueda analizar sus explicaciones y conclusiones.
Finalmente, toda información o contexto utilizado debe reguardar cualquier situación de
sesgo cultural, socioeconómico o de género.
Diciembre 2009
65
Indicadores
1. Analiza información presente en • Lee e interpreta información a partir de datos
diversos tipos de tablas y gráficos.
organizados en diversos tipos de tablas. Por
ejemplo, tablas de frecuencia donde se incorpora
la frecuencia relativa porcentual.
• Compara información extraída de diversos tipos
de gráficos y tablas y comunica sus
conclusiones.
• Lee e interpreta información a partir de datos
organizados en gráficos que usualmente
aparecen en los medios de comunicación. Por
ejemplo, gráficos de barras, circulares, de líneas
y pictogramas.
• Compara información gráfica, que usualmente
aparece en los medios de comunicación, con las
descripciones o textos que les acompañan y
evalúa la coherencia entre ambas.
• Evalúa si las conclusiones presentadas en los
medios de comunicación son pertinentes
apoyándose en la información gráfica.
2. Selecciona
formas
de • Resuelve problemas que involucren la
organización y representación de
construcción de tablas de frecuencias, donde
selecciona el tipo de frecuencia10 según el
datos de acuerdo al tipo de análisis
que se quiere realizar.
análisis que se requiera hacer.
• Organiza un conjunto de datos en diferentes
tipos de gráficos, por ejemplo de barras, circular
o líneas y selecciona aquél que le permita
responder mejor a las preguntas planteadas.
• Selecciona la representación gráfica más
adecuada para la representación de un conjunto
de datos y justifica su elección con base en el
tipo de datos involucrados.
• Resuelve problemas, en diversos contextos, que
involucren la comparación de dos o más
conjuntos de datos y donde debe seleccionar la
representación gráfica más adecuada.
• Evalúa si a través de una tabla o tabla de
frecuencia es suficiente para organizar un
conjunto de datos o si es necesario construir un
gráfico para comunicar información.
3. Reconoce que la naturaleza y el • Establece estrategias para escoger muestras de
método de selección de muestras
un determinado tamaño desde una población
inciden en el estudio de una
específica.
población.
• Señala las ventajas y desventajas de sus
estrategias para escoger muestras de un
determinado tamaño desde una población
específica.
• Decide y argumenta acerca del número y las
formas de extraer muestras, de modo que las
conclusiones a obtener sean generalizables a la
población.
• Identifica elementos que caracterizan a una
10
Frecuencia absoluta, relativa, porcentual o acumulativa.
Diciembre 2009
66
muestra representativa.
Argumenta si una muestra es o no representativa
a partir de diferentes ejemplos.
• Identifica la muestra tomada desde estudios y
encuestas
publicadas
en
medios
de
comunicación, y evalúa la pertinencia sobre las
conclusiones obtenidas por el estudio.
• Realiza diferentes experimentos aleatorios
simples (con dados, monedas, ruletas, etc.) para
identificar los resultados posibles y registra en
tablas de frecuencia que involucren una gran
cantidad de iteraciones11.
• Determina eventos que tienen mayor ocurrencia
a partir del registro de los resultados de un
experimento aleatorio en tablas de frecuencias.
• Señala si un suceso es más o menos probable, a
partir de la interpretación de información
entregada en una tabla de frecuencia.
• Predice acerca de la probabilidad de ocurrencia
de un evento, a partir de la simulación (un
número grande de iteraciones) de un
experimento aleatorio usando tecnología.
• Busca información cuantitativa por iniciativa
propia.
• Formula preguntas sobre los temas implicados
en la información trabajada.
•
4. Predice acerca de la probabilidad
de ocurrencia de un evento a partir de
resultados de experimentos aleatorios
simples.
5. Muestra interés por conocer la
realidad al trabajar con información
cuantitativa de diversos contextos.
11
Sobre 100 para que tenga sentido el análisis.
Diciembre 2009
67
El propósito de esta experiencia es introducir el concepto de probabilidad de ocurrencia
de un evento, en forma experimental, de modo que los alumnos y alumnas sean capaces
de comparar diferentes eventos en cuanto a si es más o menos probable. Cabe destacar
que en este nivel los y las estudiantes toman decisiones una vez que el experimento ha
sido realizado, a partir de tablas de frecuencias donde se registran los resultados. Toma
relevancia, entonces, la capacidad de conjeturar y la verificación de dichas conjeturas a
través de la realización del mismo experimento.
La experiencia toma como base el experimento de lanzar dos monedas, al menos 100
veces, y luego registrar los resultados. La actividad ha sido articulada de tal manera para
que los y las estudiantes logren comprender, interpretar los resultados de experimentos
aleatorios y analizarlos desde un punto de vista experimental, a través de las frecuencias
relativas. Además, los alumnos y alumnas tendrán la posibilidad de construir gráficos
de barra que les permitan un mejor análisis de la experiencia y verificar sus conjeturas.
cada curso.
Tiempo estimado: 4 horas pedagógicas.
Recursos: Dados, fichas de colores, monedas, simulador de experimentos aleatorios,
planilla electrónica.
Indicadores
Predice
acerca
de
la • Realiza diferentes experimentos aleatorios simples
probabilidad de ocurrencia de
(con dados, monedas, ruletas, etc.) para identificar
un evento a partir de
los resultados posibles y registra en tablas de
resultados de experimentos
frecuencia que involucren una gran cantidad de
aleatorios simples.
iteraciones12.
• Señala si un suceso es más o menos probable, a
• Predice acerca de la probabilidad de ocurrencia de
un evento, a partir de la simulación (un número
grande de iteraciones) de un experimento aleatorio
usando tecnología.
12
Sobre 100 para que tenga sentido el análisis.
Diciembre 2009
68
INICIO: El profesor o profesora inicia la clase explicitando el aprendizaje esperado
propuesto para la experiencia de aprendizaje. Luego, introduce los experimentos
aleatorios mostrando dados, monedas, fichas de colores y otras cosas, para destacar el
carácter aleatorio de los resultados de dichos experimentos. Puede realiza preguntas
tales como:
• Si se lanza una moneda, ¿qué resultado es más probable, cara o sello?
• Si se lanza un dado de seis caras, ¿a qué número apostarían?
DESARROLLO:
Actividad 1:
El o la docente realiza 15 lanzamientos de un dado y los registra en una tabla de
frecuencia. Luego, grafica los resultados en un gráfico de barras:
Frecuancia
Lanzamiento dado 15 veces
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
Cara del dado
Solicita a los y las estudiantes que comparen los resultados con sus compañeros y
observen si existe alguna tendencia en los resultados. A continuación vuelve a
preguntar:
•
Si se lanzan dos monedas, ¿a qué resultado apostarían, cara - cara, sello - sello o
mezclado?
Considerando el experimento de lanzar dos monedas, solicita a los y las estudiantes que
se reúnan en grupos y formulen sus apuestas. Pide que para la siguiente actividad
consideren dos monedas.
Esta actividad se puede conectar con el OFT “La persona y su entorno”, ya que se intenciona el
trabajo en equipo, el respeto a la opiniones distintas a las propias y el razonamiento matemático.
Esta actividad es una oportunidad para observar la manera en que los alumnos y alumnas
comprenden el carácter aleatorio de los resultados en experimentos de este tipo. De los cursos
anteriores ellos ya traen el vocabulario respecto a eventos seguros, imposibles posibles o
probables.
Diciembre 2009
69
Por otro lado, también es una oportunidad para evaluar si ellos recuerdan los gráficos de barras
y su construcción a partir de tablas de frecuencias.
Actividad 2: realizar el experimento de lanzar dos monedas
Para mostrar cómo se realiza la siguiente actividad, el profesor o profesora toma dos
monedas, las lanza tres veces y registra los resultados en la siguiente tabla:
Lanzamiento
Moneda 1
Moneda 2
Resultado
1
S
S
SS
2
C
S
Mezclado
3
C
C
CC
El docente solicita ahora a sus estudiantes que en grupos, realicen 100 lanzamientos de
las dos monedas y registren los resultados en las siguientes tablas:
Lanzamiento
Moneda 1
Moneda 2
Resultado
1
2
3
4
5
…
24
25
Lanzamiento
Moneda 1
Moneda 2
Resultado
26
27
28
29
30
…
49
50
Lanzamiento
Moneda 1
Moneda 2
Resultado
51
52
53
54
55
…
74
75
Lanzamiento
Moneda 1
Moneda 2
Resultado
76
77
78
79
80
…
99
100
Esta actividad es propicia para conectar con el OFT “La persona y su entorno”, en particular el
comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, por un lado, y la flexibilidad
y la originalidad por el otro.
registran información en tablas, para posteriormente llevar la información a un gráfico. Otro
punto de interés es la capacidad de hacer conjeturas que posteriormente podrán verificar.
CIERRE: el profesor o profesora solicita a los alumnos y alumnas poner en común sus
observaciones. En conjunto, discuten las tendencias de los resultados. El o la docente
puede preguntarles si la lectura de las tablas permiten o no observar claramente las
tendencias mencionadas. De este modo, sienta las bases de la necesidad del uso de una
representación gráfica para apreciar mejor una tendencia en los resultados.
Diciembre 2009
70
INICIO: El profesor o profesora pide a sus estudiantes que revisen las conclusiones
realizadas en el cierre de la clase anterior, para luego representar gráficamente los
resultados del experimento realizado.
DESARROLLO:
Actividad 1: graficar las frecuencias para cada moneda y luego ambas en un solo
gráfico
El o la docente pregunta a los y las estudiantes cómo se pueden representar los datos del
experimento realizado la clase anterior, en un gráfico de barras. El propósito es que los
alumnos y alumnas puedan hacer propuestas y las justifiquen.
A continuación, propone a los y las estudiantes que realicen sus propuestas con los
siguientes gráficos para cada moneda:
Diciembre 2009
71
Moneda 1
Moneda 2
60
Frecuencia
Frecuencia
60
58
56
54
52
58
56
54
52
50
48
46
44
42
50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
30
28
26
24
22
20
18
16
14
20
18
16
14
12
10
8
6
4
12
10
8
6
4
2
0
2
0
C
S
C
Resultados
S
Resultados
construyen gráficos de barra e interpretan la información. Además, es importante el cómo ellos
verifican sus conjeturas observando los gráficos.
Una vez que los alumnos y alumnas han graficado los resultados, el profesor o profesora
les pregunta si al observar estos gráficos pueden determinar si ganaron o no la apuesta
que realizaron la clase anterior. En cualquier caso deben justificar su respuesta.
Diciembre 2009
72
A continuación, el o la docente realiza la siguiente pregunta: ¿qué sucede si ahora en un
solo gráfico de barras se incorporan los resultados CC, SS y Mezclado? Les solicita que
construyan dicho gráfico acorde a los resultados obtenidos.
Frecuencia
Lanzamiento de dos monedas
60
58
56
54
52
50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
CC
M
SS
Resultados
Una vez que los alumnos y alumnas han graficado sus resultados, el o la docente les
pregunta si al observar este gráfico pueden determinar si ganaron o no la apuesta. En
cualquier caso deben justificar su respuesta.
Finalmente, el profesor o profesora les pregunta: si se realizaran 1.000 lanzamientos de
las dos monedas ¿cómo serían los resultados para CC, SS y Mezclado? El propósito es
que los alumnos y alumnas puedan levantar algunas conjeturas.
Observaciones al docente: evaluación:
Otra situación de interés es observar cómo los alumnos y alumnas construyen una tabla de
frecuencia, considerando frecuencia relativa y porcentual.
Diciembre 2009
73
Actividad 3:
CONSIDERAR
PORCENTUALES
LAS
FRECUENCIAS
RELATIVAS
Y
El profesor o profesora introduce los conceptos de frecuencia relativa y porcentual.
Dado que los estudiantes conocen las fracciones, los números decimales y también los
porcentajes, no será muy lejano trabajar estos nuevos conceptos.
El o la docente propone que para cada moneda, los alumnos y alumnas completen las
siguientes tablas de frecuencia. Les pregunta: ¿Qué porcentajes esperarían para C y para
S en cada moneda?
Resultado
Moneda 1
C
S
Total
Frecuencia
Frecuencia
Relativa
Frecuencia
Relativa Porcentual
Resultado
Moneda 2
C
S
Total
Frecuencia
Frecuencia
Relativa
Frecuencia
Relativa Porcentual
El profesor o profesora solicita a sus estudiantes que a partir de las tablas anteriores,
grafiquen los resultados de cada moneda considerando la frecuencia relativa porcentual.
¿Qué se puede observar en los gráficos? ¿Es claro ver en este formato si ganaron o no la
apuesta?
También es importante observar la manera en que los alumnos y alumnas transforman la
frecuencia absoluta en relativa o porcentual y viceversa.
Diciembre 2009
74
Resultados Moneda 2
80
80
70
70
60
60
50
50
Porcentajes
Porcentajes
Resultados Moneda 1
40
40
30
30
20
20
10
10
0
0
C
S
C
S
A continuación, el o la docente solicita a sus estudiantes que completen la siguiente
tabla, pero considerando la frecuencia, frecuencia relativa y porcentual. ¿Qué
porcentajes se esperaría para CC, M y SS?
Resultado del
lanzamiento
CC
Mezclado
SS
Total
Frecuencia
Frecuencia
Relativa
Frecuencia
Relativa Porcentual
Diciembre 2009
75
Finalmente, les pide que construyan el gráfico para las dos monedas usando la
frecuencia relativa porcentual. ¿Qué muestra el siguiente gráfico?
Resultados lanzamiento de dos monedas
80
Porcentajes
70
60
50
40
30
20
10
0
CC
M
SS
El profesor o profesora pregunta a sus estudiantes, de acuerdo con el gráfico anterior:
¿cuál es la apuesta ganadora?, ¿es claro observar el resultado usando las frecuencias
relativas porcentuales?
Por último, les pregunta: si se realizaran 2.000 lanzamientos de las dos monedas, ¿cómo
serían los porcentajes para los resultados de CC, SS y Mezclado?
El propósito es que los alumnos y alumnas puedan levantar algunas conjeturas.
CIERRE: El profesor o profesora solicita a los grupos que compartan su experiencia.
Propone que ahora es el momento de verificar aquellas conjeturas respecto a si se
aumentaba el número de lanzamientos. Para esto el profesor o profesora debe mostrar
una simulación en Excel o algún recurso interactivo (Applet) que permita simular el
lanzamiento de dos monedas, una gran cantidad de veces, y graficar los resultados. Por
ejemplo, aquí se tiene los resultados de la simulación del lanzamiento de dos monedas
2.000 veces.
Esta actividad se puede conectar con los OFT de Informática, en particular el conocer y manejar
herramientas de software general para el procesamiento de información y el acceso a las
comunicaciones. En este caso particular cobra relevancia la simulación de experimentos
aleatorios.
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76
60,0%
LANZAMIENTO DE 2 MONEDAS 2000 VECES
49,8%
50,0%
40,0%
30,0%
26,5%
23,8%
20,0%
10,0%
0,0%
Cara - Cara
Mezclados
Sello - Sello
El profesor plantea las siguientes preguntas para la reflexión:
1. Si se realizan 5.000 lanzamientos de las dos monedas, ¿qué resultados se
obtendrían? ¿cambiarían su apuesta?
2. Si se realizan 10.000 lanzamientos de las dos monedas, ¿qué resultados se
obtendrían? ¿cambiarían su apuesta?
3. ¿Por qué creen ustedes que la opción Mezclados tiene mayor probabilidad de
salir?
Es importante que los alumnos y alumnas realicen completamente la experiencia e identifiquen
cada etapa del proceso. Tanto el completar las tablas propuestas, como los gráficos asociados
permiten a los estudiantes observar los resultados y comprender mejor la situación o
experimento aleatorio.
Es importante motivarlos a que permanentemente realicen conjeturas acerca de los resultados de
las dos monedas. Además, como es un contexto lúdico es recomendable que la experiencia se
maneje en términos de las “apuestas”. Ellos deberían partir con una apuesta inicial (CC, SS ó
M). A medida que se realice el experimento puede que sus conjeturas vayan cambiando y su
apuesta inicial también.
Lo fundamental del trabajo con esta actividad es la capacidad de observar los patrones o
regularidades respecto a las frecuencias relativas porcentuales. En esto los gráficos cumplen una
función muy importante, ya que los alumnos y alumnas pueden constatar sus conjeturas en
forma visual. De hecho parte de la actividad es argumentar acerca de las ventajas de graficar la
información del experimento.
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77
Indicadores
Predice
acerca
de
la • Señala si un suceso es más o menos probable, a
probabilidad de ocurrencia de
un evento a partir de
resultados de experimentos • Predice acerca de la probabilidad de ocurrencia de
aleatorios simples.
un evento, a partir de la simulación (un número
grande de iteraciones) de un experimento aleatorio
usando tecnología.
Descripción de la tarea de evaluación:
En esta tarea a los alumnos y alumnas se les muestra una tabla de frecuencia con los
resultados del lanzamiento de tres monedas, considerando 1.000 intentos. A partir de
esta tabla deben construir un gráfico de barras en torno a cuatro eventos definidos y
responder a las preguntas planteadas.
La tarea de evaluación:
La siguiente tabla muestra los resultados de 1.000 lanzamientos de tres monedas. A
partir de la información dada en la tabla obtiene la frecuencia relativa y la frecuencia
relativa porcentual.
Lanzamiento de tres monedas 1000 veces
Resultado
Frecuencia
Frecuencia
Relativa
CCC
CCS
CSC
CSS
SCC
SCS
SSC
SSS
Total
Frecuencia
Relativa
Porcentual
115
118
129
119
140
129
130
120
1.000
Para desarrollar la actividad considera los siguientes eventos:
1.
2.
3.
4.
“Salen tres caras”
“Salen dos caras y un sello”
“Salen dos sellos y una cara”
“ Salen tres sellos”
1. Construye un gráfico de barras, utilizando la frecuencia porcentual relativa, donde
se comparen los cuatro eventos anteriormente mencionados.
Diciembre 2009
78
2. Responde las siguientes preguntas, usando la información de la tabla y el gráfico
anterior. Fundamenta apropiadamente cada respuesta.
a) ¿Es el evento “salen tres caras” el más probable de ocurrir?
b) ¿El evento “salen dos caras y un sello” es más probable que el evento “salen tres
caras”?
c) ¿Tienen los eventos “salen dos caras y un sello” y “salen dos sellos y una cara”
una similar probabilidad de ocurrencia?
d) ¿El evento “salen tres sellos” es el menos probable de ocurrir?
e) Si se realizan 5.000 lanzamientos de tres monedas, considerando los cuatro
eventos descritos, ¿a qué evento apostarías?
Pauta de Evaluación:
siguientes criterios de evaluación:
Descripción
Logrado
Lee e interpreta correctamente la información desde una
tabla de frecuencia y es capaz de llevarla a un gráfico de
barras según los eventos solicitados. Identifica aquellos
eventos que tienen mayor frecuencia de ocurrencia y
pueden decidir si un evento es más probable que otro.
Logrado con
reparos
Lee e interpreta correctamente la información desde una
tabla de frecuencia, pero no es capaz de llevarla a un
gráfico de barras según los eventos solicitados; o bien
tiene dificultades para decidir si un evento es más
probable que otro.
No logrado
No comprende la información entregada en una tabla de
frecuencia ni puede llevarla a un gráfico de barras, por
ende no puede decidir si un evento es más probable que
otro.
Retroalimentación
Como se puede observar, el ítem 1 hace referencia a la capacidad de llevar a un gráfico
de barras información contenida en una tabla de frecuencias. En este punto es clave que
el estudiante pueda leer e interpretar correctamente la información desde la tabla. Cabe
señalar que en ella se registran ocho eventos y se les solicita considerar cuatro con los
cuales construir el gráfico de barras. En esta acción el estudiante debe ser capaz de
identificar que en los cuatro eventos pedidos, están contenidos los ocho de la tabla al no
considerar el orden en que están registrados las caras y sellos. Es importante que el
profesor o profesora apoye esta lectura, pero a la vez invitando a que los mismos
estudiantes se den cuenta de este hecho. Esta parte será clave para desarrollar
Diciembre 2009
79
correctamente el siguiente ítem. Si los alumnos y alumnas no han construido un gráfico
conveniente, el docente deberá dialogar con ellos para que se den cuenta de cómo un
gráfico puede ser más conveniente que otro. Si esta parte no es lograda por los
estudiantes, se recomienda al profesor realizar otros ejercicios similares donde ellos
puedan llevar información desde una tabla a un gráfico, pero de manera conveniente
según lo solicitado.
Posteriormente, en el ítem 2 (letras “a” a la “e”) se propone la lectura del gráfico
construido para responder a cada pregunta en función de la frecuencia de los eventos
solicitados. Cabe destacar que aquí se pregunta en términos de la “probabilidad de
ocurrencia” y la capacidad de decidir si un evento es más “probable” que otro. Los
estudiantes deben asociar la probabilidad a la frecuencia que se registra en el gráfico. El
profesor o profesora debe lograr que sus estudiantes puedan efectivamente hacer esta
conexión y tomar decisiones respecto a la probabilidad de ocurrencia. En el caso de que
no logren aún esta comprensión, se sugiere al docente volver a trabajar con otros
ejercicios más sencillos para posteriormente retomar este tipo de ejemplo.
Finalmente, en la pregunta “e” se propone que los estudiantes realicen una inferencia
respecto a qué sucedería si en lugar de mil lanzamientos se realizan cinco mil. Ellos
deben ser capaces de argumentar su apuesta, en base a la información disponible. En
este punto si los y las estudiantes no tienen claridad de cómo responder, el profesor o
profesora puede ayudarles en términos de las regularidades que se comienzan a observar
en el gráfico a partir de una cierta cantidad de lanzamiento y que éstas se van
“estabilizando” en la medida que aumenta el número de lanzamientos. Para aquellos
estudiantes que este tipo de resultados (una aproximación intuitiva a la Ley de los
Grandes Números) aún no le dicen mucho, se sugiere apoyarse en recursos tecnológicos
donde la simulación permita hacer una gran cantidad de iteraciones.
Diciembre 2009
80
ORIENTACIONES PARA PLANIFICAR CON EL PROGRAMA DE ESTUDIO13
La enseñanza es una actividad intencionada, programada y organizada con el objetivo
de que el aprendizaje se logre efectivamente. Planificar el proceso pedagógico es
fundamental para maximizar el uso del tiempo y realizar una enseñanza para que la
diversidad de alumnos y alumnas logren los aprendizajes que se definen en el
curriculum nacional.
La planificación educativa es un proceso mediante el cual el docente secuencia los
aprendizajes, diseña estrategias y actividades de aprendizaje - basadas en un diagnóstico
acerca de las debilidades y fortalezas del aprendizaje desarrollado por sus estudiantes- ,
establece momentos y procedimientos de evaluación y retroalimentación, organiza el
uso del tiempo disponible y define los recursos que serán necesarios para la realización
de las actividades. Por ende, planificar el proceso de enseñanza y aprendizaje implica
tomar decisiones respecto a qué, a quiénes, cómo, cuándo y con qué se enseñará. Es
importante que esto se asuma como una tarea compartida entre todo el equipo del
establecimiento, de manera que se propicie el trabajo articulado y continuo entre los
distintos niveles y ciclos educativos.
Los programas de estudio del Ministerio de Educación han sido diseñados como
material flexible, que los profesores y profesoras pueden adaptar en el proceso de
planificación a los distintos contextos educativos del país. Es durante este proceso que
los profesores analizan los planteamientos del programa, las condiciones específicas del
establecimiento y los aprendizajes desarrollados por los distintos grupos que conforman
el curso para el cual están realizando las planificaciones, y toman las distintas
decisiones implicadas en el proceso de planificación.
La planificación se entiende entonces como un proceso práctico y reflexivo, que implica
el análisis de los programas de estudio y de la realidad escolar específica. Al respecto
es recomendable que los profesores y profesoras consideren los siguientes aspectos:
•
•
•
•
La diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes del curso,
en términos de grandes grupos, lo que implica planificar considerando desafíos para
estos distintos grupos.
El tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible.
Las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios.
Los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materiales
didácticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesario diseñar,
CRA y laboratorio, entre otros.
Es importante tener presente cuáles son los aprendizajes previos necesarios para acceder
a nuevos conocimientos y habilidades, y cuáles de estos fueron efectivamente logrados
por los estudiantes durante el año anterior en el nivel correspondiente. Aquellos
aprendizajes no logrados, requisitos para otros, deben incorporarse en la planificación
que se hará.
13
En este capítulo se extrae información de documentos de apoyo a las jornadas de planificación que se realizan
anualmente en las escuelas y liceos, elaborados por el Ministerio de Educación. Disponibles en:
http://www.mineduc.cl/index2.php?id_portal=17&id_seccion=919&id_contenido=790
Diciembre 2009
81
¿Cómo utilizar el programa de estudio para planificar?
En el caso de los establecimientos que organizan su quehacer pedagógico en base a los
programas del Ministerio de Educación, los aprendizajes esperados que aquí se
presentan constituyen los objetivos del proceso de enseñanza y el primer referente de la
planificación. Los aprendizajes esperados deben considerarse para:
Determinar una secuencia pedagógica anual o semestral.
Determinar la planificación de cada unidad.
Determinar y preparar las experiencias y actividades de aprendizaje que se
realizarán.
Determinar y preparar las actividades de evaluación que se aplicarán.
Para organizar la secuencia anual o semestral:
Los programas de estudio ofrecen una organización anual para la implementación del
currículum. Cada programa ha sido organizado en semestres y unidades más acotadas
en el tiempo, precisando los aprendizajes esperados que se abordarán en cada una de
ellas. Este es el primer referente para establecer una secuencia del proceso pedagógico,
y está resumido en el cuadro sinóptico de aprendizajes esperados que se presenta en
cada programa. El docente deberá estimar el período de tiempo que dedicará a cada
unidad, considerando las características de su grupo curso, el tiempo real disponible y
los aprendizajes esperados en cada una de ellas. De este modo, podrá contar con una
visión global de lo que realizará durante el año y podrá monitorear el uso del tiempo,
asegurando que todos los y las estudiantes tengan la oportunidad de aprender aquello
que se propone en cada unidad.
Para profundizar esta visión anual, el capítulo de fundamentos del sector ofrece una
explicación de los propósitos del sector y de los énfasis específicos del año escolar
correspondiente, señalando los aspectos principales que deben considerase en la
implementación.
Para la planificación de cada unidad:
Teniendo una visión general del año escolar, se puede planificar con mayor detalle las
unidades. Para ello, el programa en cada unidad define un foco, y define indicadores
para cada aprendizaje esperado, que les servirán a los profesores y profesoras de
referente para precisar el alcance de los aprendizajes y observarlos.
Analizando el foco de la unidad y el cuadro de los aprendizajes esperados e
indicadores, las profesoras y los profesores deben determinar qué experiencias de
aprendizaje se realizarán, cuánto tiempo se destinará a cada una de ellas y qué recursos
serán utilizados. A su vez, deberán definir una estrategia para monitorear y evaluar en
qué medida se van logrando los aprendizajes, de modo de poder retroalimentar tanto el
proceso de aprendizaje de sus estudiantes, como la propia práctica pedagógica.
La evaluación es parte constitutiva de la implementación curricular y, por tanto, de la
planificación. Planificar la evaluación implica especificar la forma en que serán
recolectadas las evidencias para determinar el nivel de logro de los aprendizajes, es
decir, qué se evaluará, qué actividades se realizarán, qué instrumentos se utilizarán y en
qué momentos se aplicarán.
Diciembre 2009
82
Realizar un diagnóstico al inicio del año escolar, o bien, al inicio de cada semestre o
unidad, es fundamental para una planificación orientada al logro de los aprendizajes
esperados. Este diagnóstico puede ser más o menos estructurado, lo importante es que
permita conocer si los estudiantes poseen los conocimientos y habilidades previas para
acercarse a los nuevos aprendizajes, de modo de retroalimentar la enseñanza, ajustando
los tiempos y las estrategias que se están aplicando.
Evaluar los
aprendizajes de los
alumnos y
alumnas, y el
proceso
pedagógico
Implementar la
planificación:
enseñar y
monitorear las
necesidades y
aprendizajes de los
estudiantes
Identificar qué
deben aprender los
alumnos y alumnas
Planificar
experiencias de
aprendizaje,
identificar recursos y
determinar momentos
y procedimientos de
evaluación
La planificación
se debe ir
revisando y
ajustando a
medida que se va
implementando y
se recoge
información
sobre el
aprendizaje
alcanzado por los
distintos grupos
de estudiantes
Para diseñar experiencias de aprendizaje:
Para apoyar la elaboración de actividades, que apunten al desarrollo de los aprendizajes
esperados, el programa ofrece:
- Ejemplos de experiencias de aprendizaje que pueden ser integrados a la
planificación para el trabajo de determinados aprendizajes y sirven de modelo para
el diseño de nuevas experiencias.
- Criterios para la construcción de nuevas experiencias de aprendizaje. Estos se
presentan en la sección de Estructura y Componentes, y pueden servir de base para
la construcción de estas experiencias y para interrogar las experiencias ya diseñadas.
- Indicaciones de oportunidades para el desarrollo de los Objetivos
Fundamentales Transversales al interior de las experiencias de aprendizaje.
Las experiencias aquí propuestas no son un modelo de planificación, sino que buscan
ilustrar cómo realizar una experiencia que conduzca al logro de determinados
aprendizajes. Es importante señalar que el hecho de que estos ejemplos se presenten de
modo ilustrativo no significa que, al momento de diseñar sus propias estrategias, el
docente deba describir lo que realizará con el mismo nivel de detalle.
Diciembre 2009
83
Cada docente o equipo de un establecimiento puede diseñar otras formas de presentar lo
que realizará en cada clase, utilizando este referente u otros que hayan resultado
satisfactorios para el establecimiento. Lo importante es reflexionar sobre los
aprendizajes que están en juego, aquellos conceptos, comprensiones y habilidades que
es necesario reforzar, cuál será la secuencia lógica que se seguirá, entre otros,
anticipando posibles dificultades, aquello en lo que es necesario profundizar y cómo se
irán desplegando los distintos contenidos.
Evaluación de los aprendizajes:
Para apoyar la evaluación de los aprendizajes esperados el programa ofrece:
- Ejemplos de tareas de evaluación, que pueden ser aplicadas directamente o
incluidas en un instrumento de evaluación y que, al igual que las experiencias de
aprendizaje propuestas, ofrecen un modelo para el diseño de nuevas tareas e
instrumentos.
- Criterios para la construcción de tareas de evaluación, en la sección de Estructura y
Componentes del programa, y que pueden utilizarse tanto en la elaboración de
nuevas tareas o actividades, así como para revisar las ya diseñadas.
- Un capítulo con Orientaciones para la evaluación, que expone el enfoque con que
están construidas las tareas de los programas, y que puede servir de material para
reflexionar sobre como fortalecer las prácticas evaluativas.
- Indicaciones de oportunidades para la evaluación al interior de las experiencias de
aprendizaje.
Es importante que la planificación sea un instrumento de utilidad para la labor del
docente. Para ello, requiere reflexión individual y trabajo colaborativo entre docentes y
directivos, así como aprovechar la experiencia profesional y el trabajo realizado en años
anteriores. Evaluar lo que ha resultado bien y aquello que requiere modificación,
discutir y reflexionar sobre cómo las estrategias que se desarrollan en el aula se
relacionan con los aprendizajes esperados, y conocer las características y necesidades de
aprendizaje de los propios estudiantes, entre otros aspectos, es fundamental en esta
tarea, de modo de poder orientar una retroalimentación que favorezca el mejoramiento
continuo del aprendizaje.
Cabe destacar que para la realización de los programas de estudio el Ministerio de
Educación pone a disposición de los profesores y profesores diversos materiales que le
pueden apoyar su práctica docente: Centros de Recursos del Aprendizaje (CRA), textos
escolares, Unidades LEM, Materiales digitales, Red Enlaces, orientaciones elaboradas
en las instancias de desarrollo profesional docente para abordar sectores curriculares o
temas dentro de ellos. Estos materiales tienen como propósito apoyar el aprendizaje de
todos los estudiantes del país y pueden ser usados por los profesores, articulados
coherente y convenientemente en el marco de su planificación.
Asimismo, los docentes pueden incorporar excelentes materiales elaborados por
distintas instituciones nacionales y de otros países, muchos de las cuales puede
encontrar en Internet. Es preciso subrayar la necesidad de adaptar dichos materiales a la
realidad de sus estudiantes y su entorno. Para facilitar la búsqueda, en los programas se
recomienda bibliografía y sitios web destacados.
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84
ANEXOS
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85
ANEXO 1:
Objetivos Fundamentales por Semestre y Unidad:
Objetivo Fundamental
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Comprender que los números enteros constituyen un conjunto
numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen
Establecer relaciones de orden entre números enteros,
reconocer algunas de sus propiedades, y efectuar e interpretar
adiciones y sustracciones con estos números y aplicarlas en
diversas situaciones.
Emplear proporciones para representar y resolver situaciones
de variación proporcional en diversos contextos.
Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un
número fraccionario o decimal positivo y potencias de 10 con
exponente entero, conjeturar y verificar algunas de sus
propiedades, utilizando multiplicaciones y divisiones y
aplicarlas en situaciones diversas.
Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número
entero positivo, calcular o estimar su valor y establecer su
relación con las potencias de exponente dos.
Resolver problemas en diversos contextos que impliquen
plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una
incógnita en el ámbito de los números enteros14, fracciones o
decimales positivos, identificando términos semejantes y
estrategias para su reducción.
Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y
ángulos, caracterizar sus elementos lineales y comprobar que
algunas de sus propiedades son válidas para casos particulares,
en forma manual y usando procesadores geométricos.
Comprender el teorema de Pitágoras y aplicarlo en situaciones
concretas.
Utilización de estrategias para la obtención del volumen en
prismas rectos y pirámides en contextos diversos, expresar los
resultados en las unidades de medida correspondiente y
formular y verificar conjeturas, en casos particulares, relativas
a cambios en el perímetro de polígonos y al volumen de dichos
cuerpos al variar uno o más de sus elementos lineales.
Analizar información presente en diversos tipos de tablas y
gráficos, y
seleccionar formas de organización y
representación de acuerdo a la información que se quiere
analizar.
Reconocer que la naturaleza y el método de selección de
muestras inciden en el estudio de una población.
Predecir acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento a
partir de resultados de experimentos aleatorios simples.
Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar
las habilidades propias del proceso de resolución de problemas
en contextos diversos y significativos, utilizando los contenidos
del nivel, y analizar la validez de los procedimientos utilizados
y de los resultados obtenidos fomentando el interés y la
capacidad de conocer la realidad.
Semestre 1
Semestre 2
Unidades:
1
2
Unidades:
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
14
Es importante que las ecuaciones involucradas tengan procesos de resolución que no contemplen la multiplicación
y división de enteros negativos, ya que estas operaciones no corresponden a este nivel.
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86
ANEXO 2:
Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad:
NÚMEROS:
1. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de
ampliar el conjunto de los números naturales al conjunto de los
números enteros y caracterización de éstos últimos.
2. Interpretación de las operaciones de adición y sustracción en el
ámbito de los números enteros, empleo de procedimientos de
cálculo de dichas operaciones, argumentación en torno al uso
del neutro e inverso aditivo y su aplicación en la resolución de
problemas.
3. Representación de números enteros en la recta numérica y
determinación de relaciones de orden entre ellos considerando
comparaciones de enteros negativos entre sí y de enteros
positivos y negativos, utilizando la simbología correspondiente.
4. Interpretación de potencias que tienen como base un número
natural, una fracción positiva o un número decimal positivo y
como exponente un número natural, establecimiento y
aplicación en situaciones diversas de procedimientos de cálculo
de multiplicación de potencias de igual base o igual exponente,
formulación y verificación de conjeturas relativas a propiedades
de las potencias utilizando multiplicaciones y divisiones.
5. Caracterización de la raíz cuadrada de un número entero
positivo en relación con potencias de exponente 2, y empleo de
procedimientos de cálculo mental de raíces cuadradas en casos
simples o de cálculo utilizando herramientas tecnológicas, en
situaciones que implican la resolución de problemas.
6. Interpretación de una proporción como una igualdad entre dos
razones cuando las magnitudes involucradas varían en forma
proporcional, y su aplicación en diversas situaciones, por
ejemplo, en el cálculo de porcentajes.
7. Elaboración de estrategias de cálculo mental y escrito que
implican el uso de potencias de 10 con exponente entero y su
aplicación para representar números decimales finitos como un
producto de un número natural por una potencia de 10 de
exponente entero.
8. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos
en los que se utilizan adiciones y sustracciones con números
enteros, proporciones, potencias y raíces como las estudiadas,
enfatizando en aspectos relativos al análisis de las estrategias de
resolución, la evaluación de la validez de dichas estrategias en
relación con la pregunta, los datos y el contexto del problema.
ALGEBRA:
9. Caracterización de expresiones semejantes, reconocimiento de
ellas en distintos contextos y establecimiento de estrategias para
reducirlas considerado la eliminación de paréntesis y las
propiedades de las operaciones.
10. Traducción de expresiones en lenguaje natural a lenguaje
simbólico y viceversa.
11. Resolución de problemas que implican el planteamiento de una
ecuación de primer grado con una incógnita, interpretación de
la ecuación como la representación matemática del problema y
de la solución en términos del contexto.
Semestre 1
Semestre 2
Unidades:
1
2
Unidades:
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
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87
GEOMETRÍA:
12. Transporte de segmentos y ángulos, construcción de ángulos y
bisectrices de ángulos, construcción de rectas paralelas y
perpendiculares, mediante regla y compás o un procesador
geométrico.
13. Análisis y discusión de las condiciones necesarias para
construir un triángulo a partir de las medidas de sus lados y de
sus ángulos. Determinación del punto de intersección de las
alturas, transversales de gravedad, bisectrices y simetrales15 en
un triángulo, mediante construcciones con regla y compás o un
14. Verificación, en casos particulares, en forma manual o
mediante el uso de un procesador geométrico del teorema de
Pitágoras, del teorema reciproco de Pitágoras y su aplicación en
contextos diversos.
15. Establecimiento de estrategias para la obtención del volumen de
prismas rectos de base rectangular o triangular y de pirámides,
cálculo del volumen en dichos cuerpos expresando el resultado
en milímetros, centímetros y metro cúbicos y aplicación a
situaciones significativas.
16. Formulación de conjeturas relativas a los cambios en el
perímetro de polígonos y volumen de cuerpos geométricos, al
variar la medida de uno o más de sus elementos lineales, y
verificación, en casos particulares, mediante el uso de un
DATOS Y AZAR:
17. Análisis de ejemplos de diferentes tipos de tablas y gráficos,
argumentando en cada caso acerca de sus ventajas y
desventajas en relación con las variables representadas, la
relación de dependencia entre estas variables, la información a
comunicar y el tipo de datos involucrado.
18. Establecimiento y aplicación de criterios para la selección del
tipo de tablas o gráficos a emplear para organizar y comunicar
información, obtenida desde diversas fuentes, y construcción
de dichas representaciones mediante herramientas tecnológicas.
19. Caracterización de la representatividad de una muestra, a partir
del tamaño y los criterios en que ésta ha sido seleccionada
desde una población. Discusión acerca de cómo la forma de
escoger una muestra afecta las conclusiones relativas a la
población.
20. Discusión acerca de la manera en que la naturaleza de la
muestra, el método de selección, y el tamaño de ella, afectan los
datos recolectados y las conclusiones relativas a una población.
21. Predicción respecto a la probabilidad de ocurrencia de un
evento en un experimento aleatorio simple y contrastación de
ellas mediante el cálculo de la frecuencia relativa asociada a
dicho evento e interpretación de dicha frecuencia a partir de
sus formatos decimal, como fracción y porcentual.
15
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
También conocidas como mediatrices
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88
ANEXO 3:
Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos Fundamentales (OF) y
Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO):
Semestre 1:
Unidad 1
1. Comprende que los números enteros constituyen un conjunto
numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen
2. Establece relaciones de orden entre números enteros y los ubica
en la recta numérica.
3. Efectúa e interpreta adiciones y sustracciones con números
enteros, reconoce algunas de sus propiedades y las aplica en la
resolución de diversos problemas.
4. Reconoce una proporción como una igualdad entre dos razones
y resuelve problemas en diversos contextos que involucran
proporcionalidad.
5. Resuelven problemas en diversos contextos que involucran
variaciones proporcionales.
6. Identifica términos semejantes en expresiones algebraicas y
establece estrategias para reducirlos.
7. Resuelve problemas en diversos contextos que impliquen
plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en
el ámbito de los números enteros, fracciones o decimales positivos.
OF
CMO
1
1
2
3
2
2
8
3
6
8
3
8
6
9
6
10
11
7
12
13
7
13
7
13
7
12
Unidad 2
1. Construye rectas perpendiculares, paralelas y bisectrices de
rectas usando regla y compás o procesadores geométricos.
2. Caracteriza elementos lineales de los triángulos y comprueba
algunas de sus propiedades para casos particulares, mediante regla y
compás o procesadores geométricos.
3. Construye triángulos a partir de la medida de sus lados y/o
ángulos, usando regla y compás o procesadores geométricos.
4. Construye ángulos utilizando regla y compás o un procesador
geométrico.
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89
Semestre 2:
Unidad 1
1. Interpreta y utiliza potencias de exponente natural cuya base es
un número fraccionario o decimal positivo y potencias de base 10
con exponente entero.
2. Conjetura y verifica algunas propiedades de las potencias y las
aplica en situaciones diversas
3. Comprende el significado de la raíz cuadrada de un número
entero positivo, calcula o estima su valor y establece su relación con
las potencias de exponente dos.
4. Emplea raíces cuadradas de números enteros positivos en la
resolución de problemas relativos al teorema de Pitágoras.
5. Comprende el Teorema de Pitágoras y lo aplica en la resolución
6. Utiliza estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y
pirámides en contextos diversos, y expresa los resultados en las
unidades de medida correspondiente.
7. Formula y verifica conjeturas, en casos particulares, relativas a
cambios en el perímetro de polígonos al variar uno o más de sus
elementos lineales.
8. Formula y verifica conjeturas, en casos particulares, relativas a
cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno
o más de sus elementos lineales.
OF
CMO
4
4
4
4
8
5
5
8
5
8
8
14
9
15
9
16
9
16
10
17
10
18
11
19
20
12
21
Unidad 2
1. Analiza información presente en diversos tipos de tablas y
gráficos.
2. Selecciona formas de organización y representación de datos de
acuerdo al tipo de análisis que se quiere realizar.
3. Reconoce que la naturaleza y el método de selección de
muestras inciden en el estudio de una población.
4. Predice acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento a
partir de resultados de experimentos aleatorios simples.
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90
Referencias bibliográficas sugeridas
•
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MATEMÁTICA Programa de Estudio Séptimo Año Básico

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