INICIACIÓN AL SISTEMA DIÉDRICO

Transcripción

UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA
ÁREA DE EXPRESIÓN GRÁFICA EN LA INGENIERÍA
INICIACIÓN AL SISTEMA DIÉDRICO
Autor: Gerardo Martín Lorenzo
Iniciación al Sistema Diédrico
PRÓLOGO
El problema de la representación de objetos tridimensionales en el plano es tanto
más sencillo cuanto mejor percepción visual tenga el alumno, no en vano para realizar
este ejercicio se requiere de un adiestramiento de percepción así como de una alta dosis
de imaginación.
La presente obra persigue este objetivo de adiestramiento a través de una
explicación espacial del sistema así como de una colección de problemas típicos
resueltos tanto espacialmente como en el plano.
Podría haberse profundizado más en el estudio del propio sistema pero eso
habría ido en contra de la filosofía con la que el autor ha concebido este libro, que no es
otra que la de iniciación en el Sistema Diédrico, puesto que en el mercado existen ya
numerosas publicaciones de prestigiosos autores las cuales cumplen ya con el objetivo
anteriormente mencionado.
La forma de avanzar en la lectura del libro es progresiva y se sugiere especial
atención a la resolución de los problemas planteados así como a las notas de aclaración.
Una vez superada la primera parte de teoría se propone la resolución de una
colección de ejercicios referidos a esta primera parte de la publicación, de forma que si
el alumno tuviera alguna dificultad de comprensión de las soluciones se recomienda
encarecidamente volver a mirar los temas anteriores y no proseguir hasta que se tengan
asumidos los conceptos.
Una vez superada esta primera parte se presenta la segunda en la que aparecen
las operaciones del sistema y el tema de ángulos. Cabe resaltar que un mismo problema
se puede resolver utilizando cualquiera de las operaciones sugeridas por lo que ninguna
es imprescindible, aunque es conveniente conocer las tres porque hay problemas que se
resuelven de forma más fácil a través de una operación que de otra.
Tras esta segunda parte aparece nuevamente una colección de problemas en la
que intervienen todos los conceptos desarrollados hasta el momento, así como el
tratamiento de volúmenes, que aunque no han sido incluidos en esta publicación,
Profesor Asociado de la Escuela Universitaria de Las Palmas de Gran Canaria
1
seguramente el alumno no tendrá ningún problema en acceder a información acerca de
estos.
Por último aparece como tema final de la publicación una introducción a la
intersección de volúmenes planteada desde una perspectiva lo mas sencilla posible y que
servirá como introducción para aquellos que se vean en la necesidad de desarrollar más
este tema.
2
INTRODUCCIÓN
La Geometría Descriptiva es la ciencia que tiene por objeto la representación de
figuras y objetos tridimensionales en el plano (espacio bidimensional).
El elemento mínimo de representación en cualquier sistema es el punto y para
poder proyectarlo se traza una recta ( rayo proyectante) por él, cumpliendo una serie de
condiciones, y se calcula la intersección de este rayo con el plano sobre el cual se desea
proyectar. s puede establecer un paralelismo, para mejor comprensión, con el acto de
iluminar un objeto con una linterna, en este caso la sombra del objeto proyectada sobre
la pared guarda una cierta similitud con la proyección de un objeto sobre un plano de
proyección.
Así pues podemos decir que los elementos indispensables para definir un sistema
de proyección dado son:
•
El objeto a proyectar.
•
El plano o los planos sobre los que se proyectará.
•
El conjunto de rayos proyectantes.
Según sea el tipo de rayo proyectante que utilicemos tenemos una primera
clasificación de los sistemas :
- OBLICUAS
CILÍNDRICAS
- ORTOGONALES
PROYECCIONES
- CÓNICAS
Las proyecciones cilíndricas son aquellas en las que los rayos proyectantes son
paralelos entre sí tal como ocurre con las generatrices de un cilindro, de ahí su nombre,
mientras que las proyecciones cónicas son aquellas en las que los rayos proyectantes
parten todos de un mismo punto (p.e. una linterna).
3
En función del tipo de rayo utilizado para proyectar y del número de planos de
proyección tenemos los siguientes sistemas de representación como los mas utilizados :
Sistema de Planos Acotados
- Utiliza un solo plano de proyección
- Proyección Cilíndrica Ortogonal.
Sistema Diédrico
- Utiliza dos planos de proyección.
- Proyecciones Cilíndrica Ortogonal.
Sistema Axonométrico
- Tres planos de proyección.
- Proyección Cilíndrica Ortogonal.
Sistema Cónico
- Un plano de proyección.
- Proyección Cónica.
SISTEMA DIÉDRICO O DE MONGE
En este sistema se utilizan dos planos de proyección perpendiculares entre si que
reciben el nombre de Plano Vertical de Proyección ( P.V. ) y Plano Horizontal de
Proyección (P.H. ). La intersección de estos dos planos es una recta que recibe el
nombre de Línea de Tierra ( L.T. ).
Estos dos planos dividen el espacio en cuatro regiones denominadas Cuadrantes
o Diedros los cuales se enumeran tal y como se aprecia en la figura 1, es decir, el primer
cuadrante es el superior derecho y el resto se enumeran en sentido contrario a las agujas
del reloj.
4
1er Cuadrante
2º Cuadrante
P.H.A.
P.H.P.
3er Cuadrante
4º Cuadrante
fig. 1
En esta figura se pueden observar varios detalles, uno de ellos son las líneas que
aparecen en discontinuo lo cual quiere indicar que los planos de proyección son opacos
y que lo que se encuentra detrás de ellos no se ve, aunque por criterios de representación
y dado que normalmente se trabajará de forma que el observador se encuentra en el
primer cuadrante, todo lo que se encuentre en los restantes cuadrantes se representará en
discontinua. Otro detalle es que se ha realizado una segunda clasificación en los planos
de proyección de forma que, para mejor entendimiento, podemos suponer que existen
dos zonas diferenciadas en el Plano Vertical de Proyección, el superior (P.V.S.) y el
inferior (P.V.I.), esto mismo ocurre con el Plano Horizontal de Proyección en el que
tendríamos el anterior (P.H.A.) y el posterior (P.H.P.).
Dado que se trata de un sistema de proyecciones ortogonales, se puede suponer
que el observador se sitúa en el infinito (de esta forma los rayos son paralelos) para
5
proyectar los objetos ortogonalmente sobre los planos de proyección. Primero sobre un
plano y luego sobre el otro. Este proceso se muestra simuladamente en la figura 2.
P.H.A.
fig. 2
Para poder representar este sistema en el plano (nuestra lámina de trabajo)
debemos realizar un giro de 90º de uno de los planos de proyección utilizando como eje
de giro la Línea de Tierra. Este proceso se muestra en la siguiente figura.
LAMINA
P.H.P.
P.V.S.
P.V.I.
P.H.A.
fig. 3
Este giro, que se realiza una vez se han obtenido las proyecciones
correspondientes, nos permite reflejar en un plano ( lámina de trabajo) dos zonas
separadas por la Línea de Tierra, la zona superior en la que se encuentran las
6
proyecciones efectuadas sobre el Plano Vertical Superior y sobre el Plano horizontal
Posterior y la zona inferior en la que se encuentran las proyecciones de los objetos
proyectadas sobre el Plano Horizontal Anterior y Plano Vertical inferior
7
TEMA 1 : EL PUNTO
1.1 PUNTO GENÉRICO
La representación diédrica del punto se efectúa a través de proyecciones
ortogonales a los planos de proyección. En la fig. 1.1 tenemos el punto A situado en el
primer cuadrante y sus proyecciones respectivas serían A" (proyección sobre el plano
vertical de proyección) y A' (proyección sobre el plano horizontal de proyección).
P.V.
A"
A
ab
P.H.
A'
(0)
fig. 1.1
Sobre esta misma figura podemos señalar la distancia existente entre el punto A
y el Plano Vertical de proyección ( en lo sucesivo P.V.), que recibe el nombre de
alejamiento (a), la distancia entre A y el Plano Horizontal de proyección (en lo
sucesivo P.H.) que se denomina cota (c) del punto y la distancia, medida sobre la Línea
de Tierra ( de aquí en adelante L.T.), desde la línea de referencia de A hasta el origen
(0), distancia que en la figura 1.1 se representa por (ab) y que se denomina Abcisa del
punto A. Estos tres conceptos se representan en el diedro según la figura 1.2.A
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P.V.
1er Cuadrante
2º Cuadrante
A
A"
A"
ab
0
C
P.H.
A'
A
A'
4º Cuadrante
3er Cuadrante
A
B
fig. 1.2
Así un punto puede designarse por un vector de tres coordenadas (a,b,c) donde
"a" representa la abcisa del punto que según sea positiva o negativa significará un
desplazamiento hacia la derecha o izquierda respectivamente, "b" representa el valor de
la cota del punto la cual puede ser también, positiva o negativa; si fuera positiva
significa que el punto se encuentra en la zona del espacio por arriba del P.H. (1er ó 2º
Cuadrante), mientras que si es negativa se encontrará por debajo del P.H. (3er ó 4º
Cuadrante). Por último el valor de "c" nos cuenta acerca del alejamiento del punto, de
tal forma que si es negativo implica que el punto se encuentra detrás del P.V. - a la
izquierda del P.V., según la figura1.2.B -(2º ó 3er Cuadrante) y si es positivo el punto
está a la derecha del P.V.
Un resumen de lo expuesto es el siguiente cuadro :
DEFINICIÓN
LETRA
+
-
Abcisa
a
derecha
izquierda
Cota
b
P.V. superior
P.V. inferior
Alejamiento
c
P.H. anterior
P.H. posterior
Cuadro 1.1
En esta misma línea podemos definir un cuadro que nos oriente en cuanto a la
posición espacial del punto en función de los valores de cota y alejamiento
respectivamente:
9
Cuadrante Cota Alejam.
1er
+
+
2º
+
-
3er
-
-
4º
-
+
Cuadro 1.2
En la figura 1.2.B vemos como será la representación del punto A en tercera
proyección y como a partir de esta se obtienen las proyecciones diédricas. Obsérvese las
indicaciones de las flechas que hacen alusión al abatimiento del P.H., que sólo afecta a
la proyección horizontal del punto.
1.2 PUNTO EN LOS DISTINTOS CUADRANTES
Algunos ejemplos de representación de puntos son :
3ª Proyección
B
B"
3ª Proyecció
C'
B"
C'
B'
B'
C"
A
C"
C
B
3 er Cuadrante
2º Cuadrante
fig. 1.3
10
1.3. PUNTO CONTENIDO EN LOS PLANOS DE PROYECCIÓN
Los puntos contenidos en los planos de proyección son denominados en
ocasiones, puntos Trácicos y son los representados en la figura 1.4 y 1.5:
A
B
3ª Proyección
3ª Proyección
A = A"
A"
B"
A'
B'
A'
B = B"
B'
Punto contenido en P.V. superior
Punto contenido en P.V. inferior
fig. 1.4
D'
C"
C"
C =C'
D"
D"
D = D'
C'
Punto contenido en P.H.ant.
Punto contenido en P.H. post.
fig. 1.5
1.4. PUNTOS CONTENIDOS EN LA L.T.
Son puntos que pertenecen a los cuatro cuadrantes y su característica principal es
que tienen cota y alejamiento cero, por lo tanto sus proyecciones se encuentran en L.T..
11
1.5. PUNTOS CONTENIDOS EN LOS PLANOS BISECTORES
Por estar en esta posición tienen como característica principal que su cota es
igual a su alejamiento, cumpliendo a su vez las condiciones generales de los puntos en
los distintos cuadrantes. Evidentemente, el caso anterior (punto contenido en la L.T.) es
un caso particular de este tipo de puntos pues su cota y alejamiento son iguales fig. 1.7.
A"
A
B
A'
B' = B"
fig. 1.7
12
EJERCICIOS
1.1 Representar un punto "C" del P.V. superior, uno "B" del P.H. anterior y un
punto "A" del primer cuadrante.
A
A"
C"
A'
B"
B'
C'
1.2 Representar tres puntos del primer cuadrante con igual cota que alejamiento.
¿ A qué plano pertenecen dichos puntos?. Representarlos también en el plano de tercera
proyección.
C"
B"
C'''
C"
B'''
B"
A"
B
A"
C
A'''
A
C'
B'
A'
A'
B'
C'
13
Nota : El hecho de que los puntos tengan igual cota que alejamiento nos indica
que pertenece a alguno de los dos bisectores, en este caso en concreto, al primer
bisector.
1.3 Obtener las proyecciones de un punto "A" perteneciente al semiplano vertical
inferior, otro "B" que pertenece al semiplano horizontal anterior y otro "C" del cuarto
cuadrante.
A'
B"
B=B'
C'
A=A"
C
C"
1.4 Obtener un punto del primer cuadrante y su simétrico respecto del plano
vertical de proyección.
B
A"
=B
"
A
B'
A'
14
1.5 Dibuja tres puntos: uno del P.V. otro del P.H. y uno de la L.T. únelos entre si
y observa lo que obtienes.
A"
B"
C"=C'
A'
B'
Nota : La unión de tres puntos no alineados en el espacio define un plano.
15
TEMA 2 : LA RECTA
2.1 PROYECCIONES DE UNA RECTA.
Segmento de una recta . Verdadera magnitud de un segmento. Tipos de
rectas.
La unión de dos o mas puntos alineados define una recta, así pues las
proyecciones de la recta serán las de los puntos que la configuran.
A"
A"
A
r"
r"
B"
r
A'
B"
A'
r'
B
r'
B'
B'
fig. 2.1
El resultado de proyectar una recta cualquiera es el que se muestra en la figura
2.1, en la que se puede observar como en proyecciones se verifica el hecho de que las
proyecciones respectivas de los puntos están sobre las proyecciones homónimas de la
recta y también que la recta es infinita.
Dos de los puntos característicos de una recta son los puntos de intersección de
esta con los planos de proyección, llamadas 'Trazas de la recta' y que nombraremos Hr
y Vr , siendo Hr la intersección de la recta con el P.H. y Vr con el P.V.
16
V"
V"
r
r"
X
r'
H'
H"
H"
V'
r"
V'
r'
Y
H'
fig. 2.2
Vemos que V' está determinado por el punto de corte de r' con L.T. por lo que V"
estará en la proyección ortogonal sobre r". Así mismo donde r" corta con la L.T.
obtenemos H", y H' estará sobre r'. Las líneas de referencia que pasan por V y H en el
diedro (X,Y fig. 2.2) divide el diedro en tres partes. Vemos que para la zona
comprendida entre X e Y la proyección vertical (r") se encuentra por encima de L.T. y la
proyección horizontal (r') está por debajo, por lo tanto podemos asegurar que esta zona
se encuentra en el primer cuadrante. Siguiendo esta misma lógica de análisis podremos
observar que la zona a la izquierda de X estará en el segundo cuadrante y la de la
derecha de Y estaremos situados en el cuarto cuadrante.
Para diferenciar el paso por el primer cuadrante sólo de dibujará con trazo
continuo la zona perteneciente a este, permaneciendo el resto en discontinua, tal como
se muestra en 2.2.
Atendiendo a una clasificación estricta podemos encontrarnos con los siguientes
tipos de rectas :
•
Horizontal.
•
Frontal.
•
Vertical.
•
De Punta.
•
Paralela a L.T.
•
Oblicuas o Genéricas.
17
•
Contenida en los bisectores.
•
Paralela a los bisectores.
•
De Perfil
A continuación se analizará alguna de estas rectas por entender qe son las mas
complicadas de comprender, el resto serán utilizadas indistintamente a lo largo de este
libro.
2.2 RECTA DE PERFIL.
Proyecciones. 3ª Proyección. Verdadera magnitud. Puntos pertenecientes a
una recta de perfil. Distintos cuadrantes.
r
s
fig. 2.3
La condición característica de una recta de perfil se encuentra en que todos sus
puntos tienen igual abcisa esto hace que sus proyecciones (r" , r') coincidan en el
diedro (fig. 2.4.A).
A
r" = r'
B
s" = s'
r" = r'
fig. 2.4
18
Otra particularidad es que dos rectas de perfil diferentes r y s, con igual abcisa,
tienen idénticas proyecciones en el diedro (fig. 2.4.B). Esto nos obliga a indicar algún
elemento que nos permita diferenciarlas. Si representamos en tercera proyección ambas
rectas podríamos apreciar que estas rectas son ciertamente distintas (fig. 2.5). Los
puntos Vr , Hr y Vs , Hs designan las trazas de las rectas r y s respectivamente, que
como puntos que son , en tercera proyección (ver tema del punto) pueden ser llevados al
diedro de tal forma que tendremos representados dos puntos característicos de sendas
rectas.
También podemos definir como particularidad de estas rectas el hecho de que al
ser paralelas al plano de tercera proyección al efectuar su proyección sobre dicho plano
(tercera proyección), esta proyección si que estará en verdadera magnitud, así como
los ángulos que forma la recta con los planos de proyección.
En resumidas cuentas se hace imprescindible el trabajar en tercera proyección
con este tipo de rectas para poder definirlas con exactitud.
3ª P.
V"s
s
s" = r"
V"r
r
s' = r'
H's
H'r
fig. 2.5
2.3 RECTAS PERPENDICULARES A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN
La recta perpendicular al P.H. se llama " recta vertical " y la perpendicular al
P.V. " recta de punta". En este apartado nos referiremos exclusivamente a la recta
vertical y se podrán trasladar todas las consideraciones a la recta de punta por similitud.
Las proyecciones diédricas así como la tercera proyección son las representadas
en la figura 2.6.
19
r
s"
s
s"
3ª P.
s"'
r"
r"
r"'
s'
r'
s'
r'
fig. 2.6
Una característica singular es que las proyecciones horizontales de los infinitos
puntos contenidos en la recta coinciden, por lo que r' se representará como un punto en
proyección horizontal. Así mismo dado que la recta es paralela al P.V., su traza vertical
estará en el infinito. Una singularidad mas de estas rectas es que su proyección vertical
así como en tercera proyección estará en verdadera magnitud (V.M.), por lo que se
podrá medir directamente la distancia entre dos puntos pertenecientes a la recta, en
proyección vertical (proyección horizontal para la recta de punta ).
2.4 RECTAS PARALELAS A L.T.
3ª P.
B"
r"
A"
B
r"
A"
r
h
A
r'
r''' = A'''
B'
A'
r'
A'
fig. 2.7
20
Como su nombre indica, son rectas paralelas a L.T. . Sus proyecciones serán
paralelas a la L.T. y por ello su tercera proyección también será paralela a L.T. Las
proyecciones de la recta estarán en V.M.
Por ser paralela a L.T., la distancia "h" en tercera proyección, indica la verdadera
distancia entre esta recta y la L.T. Las proyecciones de esta recta en los distintos
cuadrantes será la indicada en la figura 2.8.
3ª P.
3ª P.
s"
s'
s"'
t'
t"
t"'
fig. 2.8
21
EJERCICIOS
2.1 Representar V(10,30,0) , H(60,0,50) así como la recta que ellos definen y sus
proyecciones.
V"
r
H'
r'
H"
r"
V'
2.2 Representar el punto P(_, 30, -40) y sus proyecciones.
Representar un punto que unido al anterior de como resultado una recta
horizontal y representar las proyecciones de dicha recta.
2º C.
P"
P
r
P'
A
r'
A"
r"
A'
2.3 Proyecciones del punto A(_, -10, -50) y de otro punto del segundo cuadrante
que unido con el A nos de como resultado una recta de perfil.
22
B
B"
r
r"
B'
A'
r'
A"
A
2.4 Dibujar, en el 1er cuadrante una recta Horizontal "r" contenida en el P.H. y
cuya traza vertical se encuentra en abcisa 50. Trazar también una recta frontal "s"
contenida en el P.V. cuya traza horizontal se encuentra en abcisa 50.
- ¿Qué ángulo forma la recta horizontal con el plano horizontal?.
- ¿A que te recuerdan estas dos rectas?.
r=r"
"
r' = s
s'
* El ángulo se mide directamente entre la proyección vertical de la recta y la
línea de tierra.
23
TEMA 3 : EL PLANO
3.1 PLANO GENÉRICO
Como indica la figura 3.1 los planos genéricos pasan por los cuatro cuadrantes.
Teóricamente un plano se puede obtener de cualquiera de las siguientes formas : tres
puntos no alineados, una recta y un punto no perteneciente a la misma, dos rectas
paralelas ó dos rectas que se cortan.
a
a2
a1
fig. 3.1
Dada la peculiar forma de un plano esta impide que se pueda proyectar al mismo
directamente sobre los planos de proyección por lo que lo que se hace es proyectar los
elementos que este contiene ( puntos y rectas ), de tal forma que al proyectar estos
elementos estaremos definiendo el plano en si mismo. De todos los elementos que
componen un plano determinado existen dos elementos (en algunos planos un solo
24
elemento) que son característicos de cada plano estos son las dos rectas de intersección
de los planos con los planos de proyección , a estas dos rectas es a lo que se denomina "
trazas del plano " y que aquí nombraremos siguiendo la siguiente nomenclatura
(Traza horizontal del plano)
2
1
(traza vertical del plano),tal como se muestra en la
figura 3.2.
a2
a2
a2=
a1
a
a1
fig. 3.2
Dado que generalmente, en este sistema de representación, trabajaremos en el
primer cuadrante, sólo trazamos la parte continua de las trazas aunque no hemos de
perder de vista que como rectas que son se prolongarán através de los otros cuadrantes.
Dos observaciones importantes, la primera las rectas a2
y a1 se cortarán
siempre en un punto de L.T. (llamado punto de corte de las trazas). Segundo, al ser
rectas contenidas en los planos de proyección, a2' y a1" coincidirán siempre en L.T.
por lo que por norma prescindiremos de estas dos proyecciones y simplemente
representaremos a2 " y a1' como a2 y a1.
3.2 CRITERIOS DE PERTENENCIA
Veamos la figura 3.3, en ella tenemos representados la porción del primer
cuadrante de un plano a y una recta contenida en dicho plano. Se ve claramente que
para que r pertenezca a
las trazas de la recta r deben estar sobre las trazas del plano
, o dicho de otra forma, los puntos de intersección de la recta r con los planos de
proyección deben pertenecer a las rectas intersección de
FRQ ORV SODQRV GH
proyección.
25
V"
a2
r
r"
H'
r'
a1
fig. 3.3
Así en el diedro quedará representado según la figura 3.4 (A), mientras que en la
fig. 3.4 (B) se observa que la recta no pertenece al plano.
A
B
a2
V"
a2
V"
r"
r"
r'
r'
a1
a1
H'
H'
fig. 3.4
26
3.3 RECTAS CARACTERÍSTICAS DE UN PLANO
Recta Horizontal del plano
Evidentemente esta será una recta horizontal, que como ya sabemos tiene
solamente una traza, la vertical, por lo que para que esta recta esté contenida en el plano
deberá cumplir que su traza vertical esté sobre la traza vertical del plano y su proyección
horizontal debe ser paralela a la traza horizontal de a para que de esta forma se cumpla
que la traza horizontal de la recta esté sobre la traza horizontal del plano (en el infinito),
"r" en fig. 3.5.
a2
r"
V"
r'
a1
fig. 3.5
Recta Frontal del plano
Se justifica de igual forma que la anterior. fig. 3.6.
a2
r"
V"
r'
a1
fig. 3.6
27
Recta de Perfil
Debe cumplir las condiciones generales de pertenencia de recta a plano y las
características particulares de una recta de perfil. fig. 3.7.
V"
a2
r"
V' = H"
r'
a1
H'
fig. 3.7
Recta de Máxima Pendiente (R.M.P.)
Es aquella recta que perteneciendo a
IRUPD HO PD\RU iQJXOR SRVLEOH FRQ HO
P.H. Atendiendo a la definición de que " el ángulo que forma una recta con un plano es
el que forma la recta con su proyección sobre dicho plano", veamos la figura 3.8
a2
r"
90º
r'
r
90º
a1
fig. 3.8
Según se ve en la figura, la recta r cumple las siguientes condiciones:
28
• " r " es perpendicular a a1 en el espacio.
• " r' " es perpendicular a a1 en proyecciones.
• Esta es la recta, que estando contenida en Alfa, forma el mayor
ángulo
posible con el P.H.
Con todo esto la proyección de la recta de máxima pendiente de un plano
genérico será la mostrada en la figura 3.9 .
a2
r"
r'
90º
a1
fig. 3.9
Recta de Máxima Inclinación (R.M.I.)
Esta recta se define como la recta que perteneciendo al plano forma el mayor
ángulo posible con el P.V.
Esta recta debe cumplir :
- " r " es perpendicular a a2 en el espacio.
- " r" " es perpendicular a a2 en proyecciones.
- Esta es la recta que, estando contenida en Alfa, forma el mayor
ángulo posible con el P.V.
Su representación en proyecciones será:
29
a2
90º
r"
r'
a1
fig. 3.10
3.4 PUNTO PERTENECIENTE A UN PLANO
La condición necesaria y suficiente para que un punto esté contenido en un plano
es que este esté contenido en una recta que a su vez debe estar contenida en el plano.
Veamos los siguientes ejemplos:
A"
A"
A'
A"
A'
A'
1
2
3
A"
A'
A" = A'
4
5
fig. 3.11
1.- P pertenece a a.
2.- P no pertenece a a, porque no pertenece a " r " y " r " si pertenece
a a.
30
3.- P no pertenece a a, porque " r " no pertenece a a.
4.- P pertenece a a porque pertenece a una recta de a , a este tipo de
punto que está contenido en alguna de las trazas del plano le
denominaremos punto trácico.
5.- P pertenece a a , porque pertenece a sus trazas.
3.5 TIPOS DE PLANOS Y SUS CARACTERÍSTICAS
A continuación se describen las características generales de cada tipo de plano y
se ofrece una representación gráfica de cada uno de ellos conteniendo una recta y un
punto.
Planos Oblicuos.
Son los vistos hasta ahora y no cumplen ninguna condición particular,
simplemente las normas generales de los planos.
Planos Proyectantes
Plano Horizontal •
Paralelo al plano horizontal de proyección (P.H.). Dos posiciones
posibles, por arriba o por abajo del P.H.
•
Todos los puntos pertenecientes a estos planos tienen la misma cota.
•
Todas las rectas que contienen son rectas horizontales.
•
Sólo se representa su traza vertical puesto que la horizontal se encuentra
en el infinito.
•
Todo lo que contienen lo proyectan verticalmente sobre su traza.
A"
V"
r" =
a2
r'
A'
fig. 3.12
31
Plano Vertical o Frontal •
Paralelo al P.V.
•
Dos posiciones posibles, delante o detrás del P.V.
•
Todos los puntos pertenecientes a estos planos tienen el mismo
alejamiento.
•
Todas las rectas que contienen son rectas frontales.
•
Sólo se representa su traza horizontal ya que la vertical se encuentra
en el infinito.
•
Todo lo que contienen lo proyectan horizontalmente sobre su traza.
A"
r"
H'
A'
r' = a1
fig. 3.13
Plano Proyectante Vertical o De Canto •
Plano perpendicular al P.V.
•
El ángulo que forma la traza horizontal del plano con la L.T. es, en
verdadera magnitud, el que forma el plano con el P.H.
•
Todo lo que contiene lo proyecta sobre su traza vertical.
•
No puede contener rectas horizontales salvo la recta de punta.
32
r" =a2
V"
a2
a1
r'
a1
H'
fig. 3.14
Plano Proyectante Horizontal •
Plano perpendicular al P.H.
•
El ángulo que forma la traza horizontal con la L.T. es, en verdadera
magnitud, el que forma el plano con el P.V.
•
Todo lo que contiene lo proyecta sobre su traza horizontal.
•
No puede contener rectas frontales salvo la recta vertical.
V"
a2
r"
a2
a1
r' =a1
H'
fig. 3.15
33
Planos Paralelos a la L.T.
•
Preferiblemente se analizarán en tercera proyección.
•
Tiene ocho posiciones posibles, de las cuales cuatro son paralelas a
los bisectores.
•
Sus trazas son paralelas a la L.T. y si la cota de la traza vertical es
igual al alejamiento de la traza horizontal estaremos hablando de un
paralelo a un bisector.
•
El ángulo que forma con los planos de proyección se puede obtener
directamente en tercera proyección.
3ª Proyección
V"
a2
a3=
r"
r'''
r'
H'
a1
fig. 3.16
Planos que pasan por la L.T.
•
Sus trazas se confunden con la L.T.
•
Necesitan que se declare un punto que esté contenido en dicho plano
para poder definirlo fig. 3.17.
•
Se deben analizar en tercera proyección.
•
Cuatro posiciones posibles de las cuales dos son los bisectores.
•
Todas las rectas que contienen, salvo la paralela a L.T., son rectas
que pasan por L.T.
34
3ª Proyección
a3
P'''
P"
a2
=
a1
P'
fig. 3.17
Planos Perpendiculares a los Bisectores
•
Dos posiciones posibles (perpendicular al primer o segundo
bisector).
•
Sus trazas forman el mismo ángulo con la L.T.
1 er B.
r
a2
s
a1
s
fig. 3.18
Nota : La recta " r " es perpendicular al Primer Bisector por lo que cualquier
plano que la contenga también será perpendicular al Bisector, en este caso el plano
cumplirá esta premisa y dado que " r " es una recta de perfil cuyas trazas tienen igualdad
35
de cota y alejamiento, las trazas de a formarán los mismos ángulos con los planos de
proyección.
V"
a2
a2
r"
=
V"=H'
r"=r'
=
r'
a1
H'
a1
Perp. al Primer Bisector
Perp. al Segundo Bisector
fig. 3.19
Planos de Perfil
•
Perpendicular a los planos de proyección, por lo tanto paralelos al
plano de tercera proyección.
•
Sus trazas son perpendiculares a la L.T. y se confunden en
proyección.
•
Se deben analizar generalmente en tercera proyección puesto que
todo lo que contengan se verá ahí en verdadera magnitud.
•
No contienen rectas horizontales o frontales salvo la de punta y la
vertical.
3ª P.
a2 =r''
A"
r"'
A'''
B'''
B"
A'
B'
a1 = r'
fig. 3.20
36
EJERCICIOS
3.1 Representar un plano "a " genérico y un punto de dicho plano.
r"
r
P
P"
r'
P'
3.2 Representar un plano "a " genérico, cuyas trazas se abren hacia la derecha.
Localizar las proyecciones de un punto de la traza vertical de dicho plano.
¿ Que característica tienen los puntos trácicos de un plano?.
¿ Que tipo de recta es la traza horizontal de un plano?.
Dibujar una recta genérica del plano.
V"
a2
r
P=P"
r"
r'
P'
H'
a1
Nota : Los puntos trácicos de un plano presentan la característica de que o bien
no tienen alejamiento o bien no tienen cota.
La traza horizontal de un plano es una recta horizontal contenida en el plano
horizontal de proyección.
37
3.3 Obtener las proyecciones de una recta contenida en un plano proyectante
horizontal.
r
a2
r"
a1
r'
3.4 Sean las trazas de la recta "r", V( 10, 40, 0) y H( 50, 0, 30). Pasar por un
punto de cota 20 de dicha recta otra recta "s", de perfil, cuya traza horizontal es Hs (_, 0,
40). Obtener el plano "a " definido por ambas rectas.
V"
a2
V"
r
s
H'
H'
3.5
Trazar un plano perpendicular al segundo bisector y paralelo a L.T.
Representar las proyecciones de la intersección de dicho plano con el 2º Bisector.
38
a2
r"
r
r'
a1
3.6 Dibuja un plano "a " genérico y una recta de máxima inclinación de dicho
a2
plano.
r
r"
r'
a1
Nota : Téngase en cuenta que tanto la proyección vertical (r") como la propia
recta son perpendiculares a la traza vertical del plano, por lo que el ángulo que forma
la recta de máxima inclinación con el plano vertical es el mismo que el que forma el
plano que la contiene con dicho P.V.
39
TEMA 4 : INTERSECCIÓN
4.1. INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS.
La intersección entre dos rectas viene dada por un punto. Dos rectas pueden no
intersectase, sino cruzarse, no existiendo en este caso punto intersección. En el diedro,
verificaremos que dos rectas se cortan cuando el punto intersección de las proyecciones
verticales de ambas rectas coincide en abcisa con el punto intersección de las
proyecciones horizontales. La fig. 4.1 muestra un caso de intersección entre rectas
(4.1.A) y cruce de rectas(4.1.B).
A
B
s"
r"
r"
s"
r'
r'
s'
s'
Interseccion de rectas
Cruce de rectas
fig. 4.1
4.2. INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS.
La intersección entre dos planos es una recta la cual debe cumplir que sus
trazas coincidan con las trazas respectivas de los planos.
40
b2
a2
a2
b2
i"
r
a1
i'
b1
b1
a1
A
B
fig. 4.2
Así podemos resumir que la traza vertical de la recta intersección entre los
planos ß y a estará donde se intersecta ß2 y a2 ; y de forma análoga, la traza
horizontal de la recta estará en el punto de corte de ß1 y a1 . La traducción de esta
conclusión en el diedro se puede resumir según el cuadro siguiente.
H’→ ß1 y a1
V”→ ß2 y a2
Cuadro 4.1
H” y V’ en el diedro estarán en la L.T. pues H y V son puntos contenidos en los
planos de proyección.
4.3. INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.
La intersección entre recta y plano es un punto que, como muestra la fig. 4.3.A
se obtiene como intersección entre “r” y otra recta “s”, que es la intersección de a y b
,siendo b un plano auxiliar que contiene a “r” . Este plano auxiliar puede ser uno
cualquiera, pero se simplifica bastante el problema si tomamos un plano proyectante. El
41
mismo procedimiento se muestra en la fig. 4.3.B. El cuadro 4.2 resume el
procedimiento.
A
B
s"=i"
b2
a2
a2
I"
b2
I
I'
s
b1
i'
s'
r
a1
b1
a1
fig. 4.3
DATOS : r, ß
1) b(r)
2) "s" int. "a" y "b"
3) "I" int "r" y "s"
Cuadro 4.2
42
EJERCICIOS
4.1 Dados un plano a, Proyectante Vertical, que abre sus trazas hacia la
derecha y otro b igual que el anterior, que abre sus trazas en sentido contrario, calcular
la intersección de ambos.
b2
a2
i"
i
a1
i'
b1
4.2 Dados dos planos genéricos que abren sus trazas en sentido contrario,
obtener la recta intersección de ambos.
a2
b2
i
a1
b1
43
4.3 Dado un plano genérico cuyas trazas se abren hacia la derecha obtener la
recta intersección de dicho plano con el Primer Bisector usando una recta horizontal de
dicho plano.
i
a2
s
r"
r
r'
a1
Nota : Hay que buscar una recta horizontal contenida en el primer bisector de
igual cota que "r" y localizar el punto de intersección de ambas rectas. Otro punto de la
recta intersección será aquel donde se corten las trazas del plano con n la L.T. Uniendo
estos dos puntos obtenemos la recta "i".
4.4 Representar la intersección de un plano de perfil con una recta horizontal
,contenida en el Primer Bisector.
a2
r"
r
r'
a1
44
4.5 Calcular la intersección de una recta genérica con un plano genérico
haciendo uso de un plano proyectante.
b2
a2
V"r
r
i
I
b1
H'r
a1
4.6 Intersección de una recta vertical con un plano genérico.
r"
i
r
b2
a2
I
b1
a1
Nota : Se ha resuelto utilizando el método general de intersección de recta y
plano, pero se podía haber obtenido la misma solución con una recta horizontal de a,
cuya proyección horizontal contuviese a la proyección horizontal de r (r’).
45
TEMA 5 : PARALELISMO
5.1. RECTAS PARALELAS
Se puede asegurar que dos rectas son paralelas cuando lo son sus
proyecciones homónimas .Así la figura 5.1 muestra un ejemplo en el diedro de rectas
paralelas:
r"
s"
s'
r'
fig. 5.1
5.2. PLANOS PARALELOS
Dos planos son paralelos cuando sus trazas homónimas lo son tal y como
se puede apreciar en la figura 5.2 entre los planos Alfa y Beta.
a2
b2
b1
a1
fig. 5.2
46
El procedimiento es algo mas laborioso cuando imponemos la condición de que
el plano paralelo contenga a un punto determinado.
b2
a2
P"
P'
b1
a1
fig. 5.3
Para obtener este plano Beta que contiene a "P" y sea paralelo a Alfa nos
apoyaremos en una recta auxiliar "r" que contenga al punto " P ", que sea horizontal
(paralela a una recta horizontal de Alfa) y luego contenemos a "r" en un plano Beta,
paralelo al Alfa, de tal forma que la traza vertical ß2 pase por la traza vertical de la
recta V" paralelamente a la traza vertical del plano Alfa y ß1 se cortará con ß2 en L.T. y
será paralela a r'.
DATOS : P,a
- r (P) horizontal, r' || a 1
- ß(r) || a
47
TEMA 6 : PERPENDICULARIDAD
6.0 CONCEPTOS GENERALES
• Una recta es perpendicular a un plano cuando lo es , por lo menos, a dos rectas
de dicho plano que pasen por su pie ( Intersección recta - plano).
• Una recta es perpendicular a un plano si por ella pasan dos planos
perpendiculares al primero.
• Si una recta es perpendicular a un plano, todos los planos que contengan a
dicha recta serán perpendiculares a dicho plano.
• Todos los planos perpendiculares a una recta son paralelos entre si.
• Si dos planos son paralelos, la intersección que les produce otro plano
perpendicular a uno de ellos, serán dos rectas perpendiculares entre si.
6.1. PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO
Una recta "r" y un plano ß son perpendiculares cuando en proyección diédrica,
las proyecciones de la recta sean perpendiculares a las trazas homónimas del plano.(fig.
6.1)
a2
a1
r"
r'
fig. 6.1
48
Los casos mas generales de este procedimiento son los siguientes:
a) Recta "r" que contiene a un punto P y es perpendicular a
Deben cumplirse las condiciones de perpendicularidad anteriormente expuestas
y, además, "r" debe contener al punto "P". Así en el diedro veremos:
a2
r"
P"
r'
a1
P'
fig. 6.2
b) Plano a que contiene a un punto "P" y es perpendicular a "r".
En este caso debemos valernos de un recta auxiliar "s" ,que contiene a "P" y que
podría ser una horizontal o una frontal, que posteriormente estará contenida en el plano ;
en el supuesto de que se elija una recta horizontal, s' debe ser perpendicular a r' (porque
la traza horizontal del plano será perpendicular a r’). Por otro lado a debe contener a
"s" de esta forma contendrá a "P". Para que a sea perpendicular a "r", a2 debe ser
perpendicular a r" y contener a la traza vertical de "s" y por último, al ser a1 paralela a s'
será perpendicular a r'. Este procedimiento se ilustra en la siguiente figura.
49
r"
a2
s"
P"
a1
P'
r'
s'
fig. 6.3
6.2 PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS
Dada una recta "r", diremos que otra recta "s" es perpendicular a la anterior si
está contenida en un plano a perpendicular a "r".
a2
r"
s"
s'
r'
a1
En el ejemplo ilustrado las dos rectas son perpendiculares aunque no se cortan.
50
6.3 PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS
Para obtener un plano b, perpendicular a otro a , tendremos que obtener una
recta ( r) que sea perpendicular a a , y que a su vez esté contenida en b.
a2
r"
b2
V"
H'
r
r'
b1
a1
51
EJERCICIOS
6.1 Dibujar una recta que pasa por L.T. y un plano perpendicular a ella. Obtener
las proyecciones del punto intersección.
a2
r"
r
I
r'
a1
6.2 Dada una recta frontal "r" trazar un plano perpendicular a ella.
r"
a2
r
I
r'
a1
52
6.3 Dada una recta horizontal "r" Trazar otra recta que sea perpendicular a ella.
a2
s
r"
I
I"
90
r
r'
I'
a1
Nota: Cualquier recta contenida en el plano perpendicular a "r" ,
será
perpendicular a "r".
6.4 Dado un plano genérico "a", obtener las proyecciones de otro perpendicular
al mismo.
a2
r" - perpendi.
r' - Perpendi.
b2
b1
b2
r"
r'
b1
a1
53
TEMA 7: DISTANCIA
7.0 CONCEPTOS
Si un segmento AB se proyecta sobre un plano a, la imagen resultante
A'B', tendrá una longitud menor que la de AB, en el caso general en que el plano y el
segmento sean oblicuos entre si y en el mejor de los casos, es decir que el plano y el
segmento sean paralelos, el valor de AB será igual al de A'B'.
Teniendo en cuenta el funcionamiento del sistema diédrico hemos de ser
conscientes de que por lo general tendremos dos proyecciones cuyas longitudes serán
diferentes, una sobre el P.V. y otra sobre el P.H., y estas proyecciones a su vez serán
diferentes al valor original del segmento, salvo excepciones.
7.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Aplicaremos, para el cálculo de la distancia real existente entre dos puntos, los
procedimientos de diferencia de cotas y diferencia de alejamientos. Aunque, como
veremos mas adelante, también se podría calcular la V.M. de la distancia aplicando las
operaciones que nos proporciona este sistema, tales como abatimientos, cambios de
plano o giros.
B
B"
r"
r"
d
A"
B"
B
d
A"
A
r'
B'
A'
A'
dif. alej.
B'
fig. 7.1.A
fig. 7.1.B
54
La fig. 7.1.A muestra como la distancia "d" la podemos obtener en el P.V.
mediante el desarrollo del triángulo rectángulo A"B"B, que es semejante al ABB"
siendo el cateto B"B la diferencia de alejamientos de A y B. La hipotenusa "d" nos
proporciona la distancia entre A y B. El procedimiento llevado a proyecciones se
muestra en la fig. 7.1.B. Este procedimiento es el de diferencia de alejamiento y de
forma similar se desarrolla el de diferencia de cotas, tal como se muestra en la fig. 7.2.
B"
dif. de cotas
A"
A'
B'
d
dif. cotas
fig. 7.2
7.2 DISTANCIA ENTRE PUNTO Y PLANO
El procedimiento es el que se ilustra en la figura 7.3 de forma que los
datos de partida son el punto P y el plano. Para solucionar este ejercicio se traza una
recta perpendicular al plano que contenga a P, se calcula la intersección de la recta con
el plano (Y) y por último se determina la distancia entre P e I.
55
a
I
P
r
fig. 7.3
7.3 DISTANCIA ENTRE PUNTO Y RECTA
Siempre que se habla de distancia estaremos hablando en realidad de mínima
distancia. Aplicando una metodología similar a las fig. 7.3, la distancia entre el punto
"P" y la recta "r" vendrá expresada según la fig. 7.4, donde se busca un plano
TXH
contenga al punto "P" y sea perpendicular a "r", luego se determina la intersección de "r"
con el plano obteniéndose así el punto "I" y por último se determina la distancia entre
los puntos "P" e "Y".
56
r
P
I
fig. 7.4
Todo este procedimiento puede resumirse en el cuadro adjunto.
DATOS : P y R
1) a (P) Perpendicular a "r"
2) "I" int. De "r" y a
3) Dist. "I", "P"
Cuadro 7.2
Igualmente el proceso queda ilustrado en la fig. 7.5
r"
I"
a2
P"
a1 P'
D
I'
r'
b1
fig. 7.5
57
7.4 DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS
Dadas las rectas "r" y "s" paralelas como se muestra en la fig. 7.6 la distancia
entre estas rectas se obtiene con la ayuda de un plano a perpendicular a ambas rectas
por cualquier punto de ellas. La distancia entre "r" y "s" vendrá dada por la distancia
r
s
I
J
entre los dos puntos de intersección de las rectas con el plano. Un ejemplo de la
resolución se muestra en la fig. 7.7.
fig. 7.6
El cuadro 7.3 resume el procedimiento y la figura 7.7 lo ilustra.
DATOS : r y s
1) a perpendicular a "r" y "s"
2) "I" int. De "r" y a
3) "J" int. De "s" y a
4) dist. "I", "J"
Cuadro 7.3
58
r"
s"
d" J"
I"
d'
J' s'
a2
a1
I' r'
fig. 7.7
7.5 SOBRE UNA RECTA "r" SITUAR UN PUNTO "Q" SEPARADO
UNA DISTANCIA "d" DEL PUNTO P
Estamos ante un caso donde "P" que pertenece a "r" está separado una cierta
distancia de "Q" a la que llamaremos "d".
Para resolver este ejercicio nos apoyaremos en un punto cualquiera "T" de la
recta "r" y hallaremos la distancia de "P" a "T", a la que llamaremos d'. Sobre la
prolongación de "d' " podemos situar la distancia "d" tomando como referencia el punto
"P" ya que en esta prolongación tendremos la recta "r" en verdadera magnitud. A la
distancia "d" situaremos el punto "Q" y en orden inverso a como se obtuvo "T",
obtendremos "Q" " y "Q' ". Ver fig. 7.8.
59
Q"
T"
P"
Q'
T'
P'
d
Q
fig. 7.8
60
PROBLEMAS PARTE 1
61
1.1.- El punto A tiene igual cota que alejamiento y pertenece a los cuatro
cuadrantes, siendo su abcisa 20. De "B" sabemos que encontrándose en abcisa 50, el
valor de su cota es 20 mm mayor que su alejamiento pero de signo negativo y su
proyección horizontal dista 50 de "A'" por debajo de L.T.
A'=A"
0
50
B'
B"
Nota: En este caso las distancia entre A' y B' es 50 pero hay que resaltar que esta
no es la distancia real entre los puntos A y B.
1.2.- V(20,30,0) es la traza vertical de una recta horizontal a la cual también
pertenece el punto A(50,_,35). Determinar en dicha recta un punto "C" que también
pertenece al Primer Bisector y otro punto "D" del Segundo Bisector.
62
V"
D"=D'
C"
Nota1: C es un
A"
punto que pertenece a r
y tiene igual cota que
alejamiento. Geométrica
mente
V'
se
obtendrá
representando
el
simétrico de cualquiera
de las dos proyecciones,
en este caso el simétrico
C'
de r".
A'
Nota2: D es mas sencillo de buscar geométricamente puesto que es el punto de
corte de las dos proyecciones.
1.3.- La recta r pasa por los cuadrantes 1º,2º y 3º, en este orden. Sabiendo que
contiene al punto A(10,40,10), que se corta con el Segundo Bisector en un punto de
abcisa 30 y que contiene al punto B(50,-10,_). Obtener sus proyecciones.
A"
Nota: r" está
B'
V"
perfectamente definida con los
r'
datos pero para representar r'
hay que tener en cuenta que en
r"
el punto de abcisa 30 deben
cortarse ambas proyecciones,
tal y como se vio en el
V'
A'
B"
ejercicio anterior.
63
1.4.- "r" es un recta que sólo pasa por el primer cuadrante y uno de sus puntos
tiene alejamiento 20. "S" es una recta de perfil que pasa por L.T. en un punto de abcisa
30 y por el punto B(30,40,30). Obtener las proyecciones de las rectas y las del plano
definido por ambas.
b"'
3ª P.
r"
P"
r"'=P"'
s"
a3
a1 a2
s'
r'
P'
Comentario : Las únicas rectas que pasan por un solo cuadrante son las
paralelas a L.T. y por otro lado para que dos rectas formen un plano, estas deben
cortarse en un punto. Dado que s es una recta de perfil, la mejor forma de saber si s corta
a r es en tercera proyección.
1.5.- sea "r" una recta en la que todos sus puntos tienen abcisa 40 y alejamiento
0. De todos los planos que puedan contener a esta recta, obtener las proyecciones de
aquel que todo lo que contenga se proyecte de igual forma sobre el P.V. que sobre el
plano de 3ª Proyección.
64
r"
a2=b2
r'
45º
b1
45º
a1
Comentario: Para que los elementos contenidos en un plano se proyecten igual
sobre el P.V. que sobre el de 3ª Proyección, debe ocurrir que la posición relativa de este
plano respecto de los dos anteriores sea la misma. Este es el caso de los dos planos
solución ya que en ambos casos forman 45º tanto con el P.V. como con el de 3ª
Proyección.
1.6.- Siendo la recta "r" de Máxima Pendiente del plano a y dadas las trazas de
r{ H(30,0,20), V(70,40,0) }, localizar un punto del plano a A(40,30,_) y pasar por él
una recta "s" perpendicular a a
sabiendo que el plano abre sus trazas hacia la
derecha.
65
s"
V"
A'
t"
A"
s'
r"
a2
r'
t'
H'
a1
Comentario: Tal y como se puede comprobar en el tema de perpendicularidad,
hay que trazar a1 per pendicular a r' pasando por H' y a2 debe contener a V" e intersectar
con a1 en L.T.
1.7.- M(50,20,40) es un punto de una recta "r" Horizontal del plano a obtener las
trazas de dicho plano sabiendo que estas se cortan en un punto de abcisa 10 y que el
punto A(30,0,40) pertenece a dicho plano.
M"
r"
a2
A"
r'
a1
A'
M'
66
Comentario : Al ser A un punto de las trazas del plano ( lo sabemos porque su
cota es cero), por él debe pasar la traza horizontal, esto nos dará la inclinación de la
proyección horizontal de la recta .
1.8.- La recta vertical r que contiene al punto P(40,30,40), forma el mismo
ángulo con el P.H. que el plano que la contiene; sabiendo que las trazas de dicho plano
se cortan en abcisa 70, obtener sus proyecciones. Obtener igualmente las proyecciones
de una recta horizontal "s" y una frontal "t" de dicho plano.
P"
t"
r"
a2
s"
t'
s'= a1
P'
1.9.- sabiendo que "r" es una recta contenida en el Primer Bisector. Localizar un
plano a que la contenga y sea Perpendicular al segundo Bisector.
67
r"
s"
3ª P.
a2
r"'
a1
r'
s'
Comentario : Dado que el plano que buscamos es perpendi cular al segundo
bisec tor y el primer bisector también lo es, la recta intersección de ambos también será
perpendi cular al segundo bisec tor. Por otra parte necesitamos otra recta (s) que se corte
con r y que pertenezca al plano buscado. Sabemos que s se corta con r porque pasa por
un punto de esta.
1.10.- Dada la recta "r" cuyas proyecciones se cortan en abcisa 20 y contiene al
punto A(40,20,20) obtener un plano a que la contenga.
r"
A"
a2
P"
s"
s'
P'
a1
A'
r'
68
Comentario : Existen infini tos planos que contengan a una recta r de todos
ellos escogemos uno cualquiera que también contiene a una recta s, que corta a r en P.
Pasamos las trazas del plano por las trazas de las rectas y lo obtenmemos.
1.11.- El plano a
queda definido por los puntos O(40,0,0), A (80,40,0) y
B(40,0,30). Localizar en dicho plano una recta de perfil "r" cuya traza vertical tiene cota
30. La recta "s" contiene un punto de "r" que también pertenece al Primer Bisector, y al
punto P(30,0,0). Determinar el plano b formado por " r y s".
A"
r"
s"= b2
a2
A'
O"=O'
s'
b1
r'
a1
Comentario : El único plano que completamente definido con estos dos puntos
es un proyectante vertical. Es interesante resaltar también el hecho de que r es la recta
resultante de la intersección de los dos planos proyectantes.
69
1.12.- sea a (50,-20,30,20). Localizar un punto de abcisa 60 de dicho plano, cuya
distancia a la L.T. sea 30.
V"r
P"'
P"
a2
25
r"'
r"
P'
a1
H'r
r'
Comentario : Al cono cer la abcisa del punto y saber que pertenece al plano
podemos deducir que estará en una recta del plano en la que todos sus puntos tienen la
misma abcisa, esto es una recta de perfil, una vez tenemos la recta simplemente
solucionamos el proble ma en tercera proyec ción.
70
1.13.- Todos los puntos del plano a tienen alejamiento 40. El punto A de abcisa
20 pertenece también al 2º Bisector. De todos los puntos del P.V. de cota 40, seleccionar
aquel que diste 50 de A a su derecha.
P'
P"
a1
A'=A"
Comentario : El hecho de que A pertenezca al segun do bisector significa que
su cota y alejamiento son iguales y que puede pertenecer al 2º ó 4º cuadrante. Como
también debe pertenecer a un plano frontal del primer y cuarto cuadrante, el punto A
estará en el 4º cuadrante.
Dado que P tiene la misma cota que A al medir la distancia entre los dos
lo podemos hacer en verdadera magnitud, en proyección horizontal, porque pertenecen a
un mismo plano horizontal.
71
TEMA 8: ABATIMIENTOS
8.0 CONCEPTOS
El abatimiento de un plano consiste en girarlo en el espacio hasta superponerlo a
otro plano, utilizando como eje de giro la recta intersección de ambos planos, este
fenómeno se puede comparar al abatimiento de una puerta, siendo el eje de giro la
bisagra de la misma.
En la figura 7.1 se puede apreciar el abatimiento del plano a sobre el plano b,
utilizando para ello la recta y como eje de giro (también llamada charnela).
Evidentemente este abatimiento se puede hacer en cualquiera de los dos sentidos
posibles.
P
a
i
P1
b
fig. 8.1
Por lo general los abatimientos se realizan sobre los planos de proyección
(vertical u horizontal)
por lo que la charnela será la traza del plano (vertical u
horizontal, según sea el caso), de esta forma conseguimos que todos los elementos
contenidos en el plano abatido queden representados en verdadera magnitud (por
aparecer contenidos en un plano de proyección), esto hace que esta sea una de las
operaciones mas utilizadas en el sistema diédrico.
72
8.1 ABATIMIENTO DE UN PUNTO
Observemos la figura 8.2 en la que aparece representado un punto A contenido
en un plano a y como se produciría el abatimiento de este punto sobre el P.H.
espacialmente...
a
A
P.H.
R
A0
C
cota de A
A'
a1
fig. 8.2
En esta misma figura se aprecia el mismo abatimiento del punto, pero esta vez
realizado sobre el P.H. (rojo), tal y como se realizará en proyecciones, teniendo en
cuenta las siguientes reglas:
1) El Punto abatido A0 se encuentra en la perpendicular a la charnela que
pasa por la proyección del punto.
2) La intersección de esta perpendicular con la charnela proporciona el
punto C centro del giro.
73
3) Por la proyección del punto se pasa una paralela a la charnela donde se
colocará la cota (o alejamiento, según sobre que plano de proyección sea
el abatimiento) del punto.
4) Se realiza el abatimiento centrando en C.
En la figura anterior podemos apreciar que los puntos pertenecientes a la
charnela pertenecen a los dos planos por lo que estos puntos ya están abatidos, en caso
de necesitarlos.
A continuación se resuelve el problema en proyecciones:
A0
a2
C
A"
alejam. de A
a2
a1
A"
A'
A'
C
R
cota de A
a1
A0
Abatimiento sobre P.V.
Abatimiento sobre P.H.
fig. 8.3
De esta forma se pueden ir abatiendo todos los puntos del plano que nos
interesen uno a uno.Sin embargo, y aunque se verá mejor en el siguiente apartado, este
arduo proceso se puede simplificar si abatimos previamente una de las trazas del plano,
lo que significa abatir una recta del plano pero esta recta tiene una condición particular y
es que uno de sus puntos, el punto de corte con la L.T., pertenece al plano sobre el que
se abate por lo que no hay que abatirlo. A continuación se presenta este procedimiento
realizado de dos formas diferentes de las cuales se recomienda la solución en rojo por
ser más rápida.
74
b0
a2
b2
A"
A'
C
A0
a0
b1
a1
fig. 8.4
8.2 ABATIMIENTO DE RECTAS
Para abatir una recta bastará con abatir dos de los puntos de la misma. Este
proceso es mas rápido si los puntos utilizados son las trazas de la recta a abatir.
A continuación se presentan algunos abatimientos de rectas singulares del plano:
. rectas frontal y horizontal de plano.
a2
V"
s'
H'
V"
(a2)0
r0
r"
s"
r'
a1
s0
fig. 8.5
75
Nota : Dado que la recta horizontal es paralela al P.H., en el abatimiento esta
recta será paralela a la traza horizontal del plano (no en vano esta recta también es
horizontal), por lo que simplemente abatiendo uno de sus puntos (preferentemente su
traza) podremos montar la recta abatida por paralelismo. Algo similar ocurre con la
recta frontal.
. rectas de máxima pendiente y máxima inclinación.
a2
r"
s"
s'
r'
s0
r0
(a2)0
a1
Nota : Obsérvese como las rectas siguen conservando su característica de
perpendicularidad a las trazas correspondientes.
76
. recta genérica y de perfil.
(a1)0
r0
a2
s0
r"
s"
s'
r'
a1
.abatimiento de figura plana.
a2
B"
A"
C"
D"
E"
(a2)0
D'
C0
C'
D0
E'
B0
B'
E0
A0
a1
A'
Nota : En este ejercicio inicialmente se ha trazado el plano en el cual está
contenido el pentágono y se ha abatido. En el abatimiento del plano se ha dibujado el
77
pentágono tal y como es en realidad y posteriormente se ha desabatido para obtener sus
proyecciones diédricas.
. abatimiento de una circunferencia.
a2
A"
B"
4'
4
B
1'
3
3'
2'
A
(a2)0
2
1
a1
Nota : El abatimiento de una circunferencia siempre se puede realizar abatiendo
un número indeterminado de puntos (nunca menos de ocho), de forma que la unión de
estos puntos nos den la elipse resultante. Sin embargo se puede optar por la solución
expuesta en la que los puntos elegidos son aquellos que nos suministrarán los ejes
principales de la elipse, para que de esta forma la construcción de la misma sea mas
exacta, en proyecciones.
Para obtener los ejes principales habrá que utilizar dos rectas para la proyección
horizontal que son una de máxima pendiente y una horizontal, que pasan por el centro
de la circunferencia (en azul en el dibujo), y otras dos para la proyección vertical
(frontal y de máxima inclinación).
Cabe resaltar que no es necesario desabatir los cuatro puntos sino que con dos es
suficiente porque los otros dos se obtienen a partir de los anteriores puesto que en el
78
sistema diédrico las proporciones se mantienen, es decir, que el punto medio seguirá
siendo el punto medio en proyecciones y lo mismo ocurre para cualquier otra
proporción, un tercio, un cuarto, etc...
Así es como se ha resuelto en proyección vertical, en donde sólo se han
desabatido dos puntos y los otros dos están a la misma distancia (distancia en
proyección) del centro que los anteriores.
Para resolver la elipse se puede utilizar cualquier método de resolución dados los
ejes principales.
79
TEMA 9: GIROS
9.0 INTRODUCCIÓN
Los giros son procedimientos mediante los cuales desplazamos puntos, rectas o
planos hasta posiciones convenientes para su estudio, para de esta forma facilitar el
trabajo de análisis.
Para que se produzca un giro de un punto este debe realizarse de forma que el
punto se mueva siempre sobre un mismo plano y a una misma distancia de un punto
"O", de tal forma que todas las posibles posiciones que pudiera ocupar el punto "P" en
el plano describen una circunferencia de centro "O" (centro de giro) y radio "PO" (radio
de giro). Partiendo de la posición inicial de "P" y una vez determinada su posición final
denominamos como ángulo de Giro al ángulo recorrido por el punto.
9.1 GIRO DE UN PUNTO
La figura 8.1 muestra un ejemplo de giro de un punto en el sistema diédrico.
Para poder realizar el giro es necesario definir el eje de giro, que será una recta
alrededor de la cual girará el punto, como norma general el eje de giro debe ser
perpendicular al plano sobre el que se quiere que gire el punto, en este caso dicho eje es
e"
B"
e
B
A
A"
A"1
A1
e'
A'1
una recta vertical porque lo que pretendemos es girar el punto sobre un plano
Horizontal.
80
fig. 9.1
Mientras A gira alrededor del eje, su proyección Horizontal "A' " también lo
hace en torno a "e' ", describiendo una circunferencia de centro "e' " y radio e'A'. Su
proyección vertical, en cambio, se desplaza paralela a la L.T., oscilando entre los puntos
de abcisa correspondientes a los puntos de la circunferencia de mayor y menor abcisa. El
movimiento de A se describe en la figura 8.2.
e"
B"
A"
A"1
A'
A'1
e'
B'
fig. 9.2
Es importante señalar el punto "B". Si nos fijamos este punto pertenece a la recta
que se ha elegido como eje de giro, por lo que aunque quisiéramos girarlo no podríamos
porque el radio de giro es cero, salvo que escogiésemos otro eje de giro.
Cabe destacar por último que en este ejemplo el giro se ha realizado sobre un
plano horizontal. Si por el contrario hubiéramos utilizado un eje de punta, el giro
debería realizarse sobre un plano Frontal.
9.2 GIRO DE UNA RECTA
Este es uno de los métodos mas utilizados para colocar las rectas de forma que
las veamos en proyecciones en verdadera magnitud, para lo cual debemos girar la recta
para transformarla en una recta Horizontal o en una Frontal, según nos interese.
El giro de una recta se hace tomando dos puntos de la misma y girándolos
teniendo en cuenta lo siguiente:
- Siempre se deben girar los dos puntos utilizando el mismo eje de giro.
81
- Los dos puntos deben girar en la misma dirección.
- Los dos puntos deben girar el mismo ángulo.
En cualquier caso, en la práctica lo que se hace para girar una recta es utilizar un
eje de giro que corte a dicha recta, porque tal y como vimos en el apartado anterior, los
puntos que pertenecen al eje permanecen en el mismo sitio después del giro, de esta
forma sólo tendremos que girar un punto de la recta y unirlo con la intersección de la
recta y el eje (ver fig. 9.3 - 9.4).
r"1
e"
T"
T"1
r"
P"
P"1
T'
r'
P'1
T'1
r'1
P'
e'
fig. 9.3
e"
r"
r"1
A"1
A"
e'
A'1
r'1
r'
A'
fig. 9.4
82
EJERCICIOS
9.1 Tomar el punto P(-,30,30) y mediante un eje vertical, someterle un giro de
30º a su izquierda.
e"
e
P"
P
P"1
P1
e'
P'
P'1
9.2 tomar la recta V(20,40,0) H(70,0,40) y girarla hasta transformarla en recta
horizontal del P.H.
V"
r
e = e'
e"
H'
r1 = r'1
NOTA : El eje que se ha utilizado es una recta de punta que pasa por el punto H.
Observar también que una vez transformada la recta, la tenemos como recta horizontal,
83
es decir, en verdadera magnitud y que el ángulo que forma esta recta con el P.V.
también está en V.M.
9.3 Dada la recta r { H(20,0,-20) V(40,15,0) } y un punto de ella de cota 20, girar
dicha recta y transformarla en frontal utilizando un eje que pasa por P.
e
r1
r
r"
P
V"
r'
H'
84
TEMA 10: CAMBIO DE PLANOS
10.0 INTRODUCCIÓN
El fundamento de obtención de proyecciones en el sistema diédrico se
basa en elegir un diedro recto sobre el que se proyectarán los elementos espaciales. La
elección de este diedro es, en principio, libre y según se elija uno u otro la imagen
(proyección) del objeto será diferente, suponiendo que tal objeto tiene una posición fija
en el espacio. En realidad un diedro puede ser útil para proyectar un determinado objeto
pero no tanto para otro puesto que las proyecciones obtenidas para este segundo objeto
son poco definitorias del mismo.
Teniendo en cuenta este hecho en este capítulo se proporcionará una herramienta
que nos permitirá, a partir de las proyecciones de u objeto sobre un diedro determinado,
obtener las proyecciones sobre otro diedro que nos facilite las operaciones, a esta
herramienta se le conoce con el nombre de "Cambio de plano".
10.1 CAMBIO DE PLANO DE UN PUNTO
la figura 10.1 muestra las proyecciones del punto P respecto del diedro elegido,
sobre los planos P.H. y P.V. .Si pudiéramos girar el P.V. sobre un eje vertical hasta la
posición deseada y luego proyectásemos sobre ese nuevo P.V.1 obtendríamos un nuevo
diedro o sistema de proyecciones que actúa de la misma forma que el anterior,
obteniéndose las proyecciones indicadas en la figura 9.1. En este caso lo que hemos
hecho es un cambio de plano vertical.
85
P"1
P"
P
P'
fig. 10.1
Observemos el mismo cambio de plano en la figura 10.2 (representación
diédrica) y veremos cuales son sus propiedades:
- La proyección horizontal permanece en el mismo sitio.
- la cota del punto es la misma.
- La nueva L.T. dispone de dos trazos en sus extremos.
- A la derecha de L.T. se colocan las siglas V1,H.
P"
P"1
1.8
2
1.82
V
1
P'
H
fig. 10.2
Para efectuar un cambio de plano horizontal se realiza de igual forma pero en
este caso sus propiedades son:
- La proyección vertical permanece en la misma posición.
- El alejamiento del punto es el mismo.
86
- La nueva L.T. dispone de dos trazos en sus extremos.
- A la derecha de L.T. se colocan las siglas H1,V.
1.
87
P"
P'1
1.87
P'
V
H1
fig. 10.3
10.2 CAMBIO DE PLANO DE UNA RECTA
Para efectuar el cambio de plano de una recta bastará con cambiar de plano dos
puntos de dicha recta, según el método anteriormente explicado, y una vez hecho esto
unirlos entre si. Hay que resaltar que para analizar relaciones entre dos elementos de
un problema que hallan sufrido cambio de plano, han de haber sido sometidos los
dos elementos al mismo cambio de plano.
10.3 CAMBIO DE PLANO DE UN PLANO
Al efectuar este cambio de plano debemos observar que una de las trazas del
plano, aquella cuyo nombre coincide con el del cambio de plano, permanecerá tal como
es, sin sufrir ninguna transformación mientras que la otra si se modificará.
Para modificar la otra traza del plano habrá que localizar un punto de dicha traza
y cambiarlo de plano. Para simplificar el método el punto elegido deberá ser aquel cuya
proyección se encuentre en el punto de corte de las dos L.T., tal como se ve en la figura
9.4. Una vez tenemos cambiado este punto lo uniremos con el punto de corte de la otra
traza del plano con la nueva L.T.
87
a2
A"
a1
A'1
(a1)1
fig. 10.4
88
TEMA 11: ÁNGULOS
INTRODUCCIÓN
El ángulo que forma una recta con un plano es el ángulo que forma dicha recta
con su proyección sobre dicho plano, es decir, que por ejemplo el ángulo que formará
una recta cualquiera con el P.V. es el que formará esa recta con su proyección vertical.
A pesar de que existen varios métodos para la determinación de estos ángulos en
este estudio nos basaremos en un método que por su precisión y sencillez parece el mas
apropiado para el objetivo que se persigue en la presente publicación.
Básicamente el método se fundamenta en la obtención de un cono de forma que
una de las generatrices del mismo es la recta que estamos buscando o una paralela a la
misma.
Por definición un cono se forma con una curva cualquiera (Directriz), plana o
alabeada, y un punto exterior a ella. Las infinitas rectas (Generatrices) que pasando por
el punto P se apoyan constantemente en la directriz, definen la superficie cónica (fig.
11.1).
V
Generatriz
Directriz
fig. 11.1
89
En base a esta explicación existen una cantidad infinita de conos aunque para el
fin que perseguimos en este capítulo sólo nos interesan aquellos conos que teniendo una
directriz circular de radio r y cuya altura es perpendicular al plano de la base por el
centro de la misma (Conos rectos) en la fig. 11.2 tenemos una representación espacial de
este tipo de conos.
V
h
d
fig. 11.2
En este tipo particular de conos siempre podremos asegurar que sus generatrices
miden lo mismo y que todas forman el mismo ángulo con el plano que contiene a la
base.
11.1 ÁNGULO QUE FORMA UNA RECTA CON UNO DE LOS PLANOS
DE PROYECCIÓN
Genéricamente para obtener una recta que forme un ángulo determinado con uno
de los planos de proyección lo que tendremos que hacer es generar un cono de forma
que sus generatrices formen el mismo ángulo con el plano que la recta buscada. Dado
que se podrían formar infinitos conos de este tipo para particularizar vamos a suponer
que la recta ha de formar un ángulo Ah con el P.H. y que ha de contener al punto P
(dato).
La solución sería exactamente igual que para el caso genérico pero en este caso
haremos que el vértice del cono sea el punto P, para de esta forma obligar a todas las
generatrices a contenerlo, y la base del cono deberá estar en el P.H. puesto que es con
este plano con el que queremos calcular el ángulo (fig. 11.3).
90
P"
P
Ah
P'
fig. 11.3
La representación diédrica es la de la figura 11.4. Para obtener esta
representación partimos de una recta frontal (r) que contiene al punto P y forma un
ángulo "Ah" con el P.H. (ángulo en V.M., ver capítulo 2). Una vez obtenida esta recta
generamos el cono, que en proyección horizontal será una circunferencia de centro P' y
radio P'H' y en proyección vertical será un triángulo isósceles cuyo vértice es P". Sobre
esta circunferencia se encuentran las trazas horizontales de todas las posibles rectas que
formando un ángulo Ah (p.e. la recta t) con el P.H. pasan por el punto P. Así pues sólo
queda elegir la proyección que mas nos interese en función de las características del
problema a resolver.
91
P"
r"
t"
Ah
V't
H"t
t'
r'
P'
H't
fig. 11.4
Si el problema no nos impone la condición de pasar por un punto P determinado
la construcción es algo mas genérica (fig. 11.5).
V"r
r"
s"
t"
r'
t'
s'
H'
fig. 11.5
Partiendo igualmente, de una recta frontal, tomaremos un punto de esta, que
posteriormente será la traza vertical de la recta buscada, y haremos que este punto sea el
vértice del cono y siguiendo los mismos pasos anteriores desarrollaremos este nuevo
92
cono que en esta ocasión tendrá la mitad en el segundo cuadrante. Como, por lo general
, los datos suelen ser referidos al primer cuadrante las posibles soluciones se encontrarán
en la semicircunferencia perteneciente al primer cuadrante (aunque no hay que olvidarse
que existen igual número de soluciones en el segundo cuadrante).
Por otra parte resaltar que, por paralelismo, cualquier recta paralela a una de
estas generatrices (s) formará el mismo ángulo que estas con los planos de proyección,
por lo que en ocasiones el cono se puede formar en uno de los extremos de la lámina y
por paralelismo trasladar la recta a la posición requerida.1
Hasta ahora lo que hemos hecho es obtener una recta que forma un ángulo Ah
con el P.H. pero si lo que queremos es medir el ángulo que una recta dada forma con el
P.H., deberemos girar la recta y transformarla en una recta frontal, midiendo el ángulo
directamente una vez transformada2 fig. 11.6.
V"
V
.M
.
t"
Ah
t'
H'
fig. 11.6
En esta pregunta lo hemos resuelto todo respecto del P.H. pero para el caso de
ángulos con el P.V. habría que seguir los mismos pasos y donde dice recta frontal
debería decir recta horizontal, generando el cono apoyado en el P.V.
1
Si lo que se pretende es un segmento de recta cuyo valor en el primer cuadrante es d
(distancia entre trazas), partiremos de una recta frontal cuya V.M. es d.
2
Otra forma de conseguir estos es conteniendo a la recta en un plano Proyectante
Horizontal ( o proyectante vertical para el caso de ángulo con el P.V.), abatir dicho plano y medir
el ángulo que forma la recta abatida con la traza horizontal del proyectante α1 (α2 para el P.V.)
93
11.2 ÁNGULO QUE FORMA UN PLANO CON UNO DE LOS PLANOS
DE PROYECCIÓN
Para resolver este problema nos basaremos en que un plano que se encuentre
apoyado en un cono formará el mismo ángulo, con el plano que contiene la base del
cono, que las generatrices de este (fig. 11.7).
V"
a2
a1
H'
fig. 11.7
Dado que sabemos como obtener el cono lo que nos queda por ver son las
condiciones de tangencia.
Tal y como se muestra en la figura 11.7 se puede asegurar que un plano es
tangente a un cono, apoyado en el P.H.3, cuando el plano contiene a una de sus
generatrices y la traza horizontal del plano a1 es tangente a la directriz del cono ( por la
traza de dicha generatriz). Diédricamente se resuelve según la figura 11.8.
3
Si lo que se pretende es un plano que forme un ángulo determinado con otro (b
)que no sean los de proyección, habrá que realizar las mismas operaciones pero en este caso el
cono se construirá apoyado en dicho plano (b) y la recta intersección de ambos planos debe ser
tangente a la directriz del cono.
94
V"
a2
b2
r"
Ah
b1
r'
a1
H'
fig. 11.8
En este ejemplo se muestran dos de los infinitos planos que se podrían obtener
que formen el ángulo Ah con el P.H.; también cabe hacer hincapié en que la recta que
contiene el plano y que es a su vez generatriz del cono ( r), es una recta de máxima
pendiente del plano la cual, tal y como se mencionó en el capítulo 2, formará el mismo
ángulo con el P.H. que el propio plano.
El caso inverso consistirá en medir el ángulo que forma un plano con uno de los
de proyección para lo cual habrá que tener en cuenta lo siguiente:
De todas las rectas contenidas en un plano existen unas determinadas que forman
el mismo ángulo con el P.H. que dicho plano, estas son las rectas de máxima pendiente
(rectas de máxima inclinación para el caso de ángulo con el P.V.). Así pues para
determinar el ángulo que forma un plano con el P.H. lo que debemos hacer es tomar una
95
recta de máxima pendiente del plano y calcular el ángulo que forma esta con el P.H.(
recta de máxima inclinación para el ángulo con el P.V.) fig. 11.9.
V"r
r"
a2
t"
Ah
Av
t'
r'
a1
H'r
fig. 11.9
11.3 ÁNGULO QUE FORMA UNA RECTA CON LOS DOS PLANOS DE
PROYECCIÓN
Este problema lo solucionaremos nuevamente apoyándonos en el mismo
"método del cono" . En esta ocasión utilizaremos dos conos, uno de ellos (Cono 1)
generado a partir de un segmento de recta frontal que mide "d" unidades formando un
ángulo Ah con el P.H. y el otro (Cono 2) generado por un segmento de recta horizontal
que mide "d"4 unidades y forma un ángulo Av con el P.V. de proyección. Fig. 11.10
4
Los dos segmentos deben medir lo mismo puesto que se trata de la misma recta girada
dos veces.
96
Cono 1
Cono 2
V"
Ah
Av
H'
H'
H'
fig. 11.10
Según esta figura vemos que al trasladar H' paralelamente a L.T. nos proporciona
dos posibles posiciones para H' sobre la directriz del Cono 1 que son las dos posibles
soluciones de este problema en el primer cuadrante. Si construyéramos el Cono 2 de
forma que H' estuviera en el segundo cuadrante, obtendríamos las otras dos soluciones
del segundo cuadrante; así pues este problema siempre tendrá cuatro posibles soluciones
entre las que se deberá escoger la que nos interese.
Evidentemente, también se puede apreciar en la figura que es indiferente
trasladar H' ó V", las soluciones serán las mismas.
Diédricamente se aportan las cuatro soluciones en la figura 11.11.
V"
H'4
H'3
d
4"
2"
3'
1"
Ah
1'
Av
2'
Ah
Av
3"
4'
d
H'1
H'2
fig. 11.11
El problema inverso, es decir, determinar los ángulos que forma una recta con
los dos planos de proyección, ya lo hemos solucionado en los apartados anteriores, así
97
pues habrá que determinar primeramente el ángulo que forma con uno de los planos de
proyección y luego con el otro.
11.4 ÁNGULO QUE FORMA UNA RECTA QUE PASA POR L.T. CON
LOS PLANOS DE PROYECCIÓN
No deja de ser un caso particular del expuesto anteriormente pero dado que lo
vamos a necesitar para posteriores aplicaciones haremos hincapié en él.
Para determinar el ángulo que forma con el P.V. transformaremos la recta en una
horizontal, mientras que para calcular Ah, la transformaremos en una frontal. Estos
pasos se muestran en la siguiente figura, así como la solución completa.
V.M.
P"
P"
P"1
r"
r"
P"1
Ah
P'1
Av
r'
r'
P'1
P'
P'
V.M.
V.M.
r"
Ah
Av
V.M.
r'
fig. 11.12
Para solucionar el problema inverso (determinar una recta que forme unos
ángulos dados con los planos de proyección) realizaremos los pasos a la inversa, es
98
decir, partimos de la recta transformada en horizontal y en frontal (ver figura 11.13) y
realizaremos los giros a la inversa.
V.M.
V.M.
r"
Ah
Av
r'
V.M.
V.M.
fig. 11.13
11.5 ÁNGULO QUE FORMA UN PLANO CON LOS DOS PLANOS DE
PROYECCIÓN
La forma de determinar estos dos ángulos , dado el plano, ya la hemos estudiado
anteriormente, así pues habría que calcular primero el ángulo que forma con uno de los
planos de proyección y luego con el otro, siguiendo la metodología propuesta en
apartados anteriores o cualquier otra.
Sin embargo, si lo que se pretende es obtener las trazas de un plano, conocidos
los ángulos que este forma con los dos planos de proyección, la solución a este
problema se alcanza por otros métodos no vistos hasta el momento, uno de los cuales se
expone a continuación.
Nos basaremos en una recta (r) que pasa por L.T. y es perpendicular al plano a
que queremos determinar. Por geometría sabemos que si el plano a forma un ángulo Av
con el P.V., el hecho de que r sea perpendicular a él implica que r formará un ángulo de
( 90 - Av) con el P.V., lo mismo ocurrirá en el plano horizontal donde a formará un
ángulo Ah ,dado , y r (90 - Ah) lo que se muestra en la figura 11.14.
99
a2
Av
m"=s"
m
m'
s
a1
90-Av
I
90º
s'
fig. 11.14 En la figura se
puede apreciar la recta m que
es una recta de máxima
inclinación del plano y por lo
tanto for mará el mismo ángulo con el P.V. que el propio plano. También se aprecia la
intersección de la recta m con la s en el punto I.
Sólo se muestra respecto del P.V. puesto que para el ángulo con el P.H. se hacen
las mismas consideraciones.
Así pues se tratará de buscar una recta que forme (90- Av) con el P.V. y (90 Ah) con el plano horizontal, conocidos Av y Ah, por el método descrito en el apartado
anterior. Una vez tengamos las proyecciones de esta recta, cualquier plano que se
perpendicular a la misma formará un ángulo Av con el P.V. y un ángulo Ah con el P.H.
Hay que destacar que la suma de los dos ángulos (Ángulo que forma con el P.V.
y con el P.H.) de los posibles planos debe estar comprendida entre 90<= x <= 180, de tal
forma que para el valor de 90 tendremos un plano horizontal o frotal y para 180 un
plano de perfil.
A continuación se presenta una resolución diédrica de este ejercicio:
100
r"
a2
90-Ah
90-Av
a1
r'
fig. 11.15
Siendo el plano obtenido una de las posibles soluciones. Por supuesto cualquier
plano paralelo a este formará los mismos ángulos con los planos de proyección, por lo
que el ejercicio se puede montar a un lado de la lámina y trasladar el plano por
paralelismo a la posición que nos interese.
11.6 ÁNGULO QUE FORMA UNA RECTA CON LA L.T.
Este ejercicio se resolverá por abatimientos, para lo cual es necesario tener un
plano que será el que vamos a abatir. Este plano será el formado por la recta que nos da
el problema y la L.T., evidentemente este será un plano que pasa por línea de tierra por
lo que preferiblemente lo abatiremos en tercera proyección. Una vez hayamos abatido la
recta tendremos el ángulo que esta forma con la L.T. en verdadera magnitud. A
continuación se muestra la resolución gráfica de este ejercicio en la figura 11.16.
101
3ª P.
P"
P"'
r"
r'
V.M.
P'
P1
fig. 11.16
102
EJERCICIOS
1.- Dado el plano Alfa que forma 45º con el P.H. y 60º con el P.V., cuyas trazas
se cortan en abcisa 20 abriéndose hacia la derecha. Obtener la recta "r" de dicho plano
que forma 30º con el P.H. y pasa por el punto P(50, 10, -) perteneciente al plano, de
forma que la traza horizontal de la recta esté a la derecha de la vertical.
a2
a2
r"
P"
30º
0
P'
r'
a1
a1
Nota : Inicialmente se ha resuelto el plano a un lado de la lámina y se traslada
por paralelismo hasta el lugar que nos interesa. Se aplica el método del cono (azul) para
obtener la recta, haciendo que el vértice del mismo sea el punto P para de esta forma
forzar a que la recta solución pase por P. Una vez trazamos la base del cono vemos que
existen dos posibles soluciones, que serán aquellos puntos en que la base corta a la traza
horizontal del plano, porque la recta debe pertenecer al plano. Por último se elige la
solución que nos interese, en este caso la solución en rojo.
103
2.- La recta r pasa por el punto P 40, 30, 10), forma 60º con el P.H. y 30º con
el P.V., estando en el primer cuadrante y su traza horizontal a la derecha de la vertical. r
es recta de máxima pendiente del plano Beta. Obtener las trazas de dicho plano.
b2
P"
r"
d
15
0
P'
60
d
r'
b1
Nota : A un extremo de la lámina se monta la recta según las descripciones del
problema y siguiendo el método ya conocido, puede verse claramente dos de las cuatro
soluciones para esta recta, tomándose la que nos conviene (azul). Una vez obtenida la
trasladamos por paralelismo al punto que nos interesa y cuando la tengamos situada
pasamos un plano de forma que esta recta se convierta en recta de máxima pendiente del
plano (rojo).
3.- El plano Alfa contiene al punto P, forma 45º con el P.V. y sus trazas se
abren hacia la izquierda cortándose en el punto de abcisa 70. P (30, 20, 25).
104
a2
P"
r"
0
P'
r'
a1
Nota : Se desarrolla el cono de forma que el vértice del mismo sea el punto P
(azul), cuando lo tengamos pasamos una recta tangente a la base que corte a la L.T. en el
punto de abcisa 70, seguidamente obtenemos la recta que conteniendo al punto P
pertenece al plano (verde) esta recta será de máxima inclinación del plano, y por último
pasamos la traza horizontal del plano de forma que contenga a la recta r.
4.- El punto T dista 90 del origen de abcisas y está en el P.H. anterior, siendo
su alejamiento 40. Desde T se localiza el punto P que dista 20 de él y tiene su misma
abcisa y alejamiento, de forma que P se encuentra en el primer cuadrante. Por P pasa
una recta que "pasa por L.T." y forma 60º con esta. Obtener las proyecciones de la recta
sabiendo que sus puntos disminuyen de cota al aumentar su abcisa.
105
3ª P.
P"
P"'
r"
r"'
60
0
90
r'
r1
T'=P'
P1
Nota : Hay que tener en cuenta que el primer dato se da como distancia entre
dos puntos, dado que el punto T pertenece al P.H. la recta " 0T" es una recta horizontal
por lo que podemos medir en ella los 90. A partir de T y aplicando distancia
nuevamente localizamos el punto P sobre una recta vertical que pasa por T. Con el
punto P nos vamos a tercera proyección y abatimos el punto y la recta r (azul). La recta
abatida debe formar 60º con L.T. (verde). Una vez conocemos el punto de corte de las
proyecciones de la recta con la L.T. sólo nos queda pasar las proyecciones de la recta
por el punto P (rojo).
5.- El plano Alfa viene definido por las rectas r {(30, 0 ,10) (60, 30, 0)} y s que
pasa por el punto (10, 0, 0) y corta a r en un punto de abcisa 40.
Determinar el ángulo que forma el plano con el P.H. y con la L.T.
106
3ª P.
a2
t"
s" u"
r"
n"
n"'
Ang
t"'
n'
r' s' u'
a1
Nota : El ángulo que forma el plano con el P.H. se determina con una recta de
máxima pendiente y aplicando el método ya conocido (azul). Para el segundo apartado
tomamos una recta de perfil del plano (n) y la llevamos a tercera proyección en donde
trazamos una recta que pasa por L.T. y es perpendicular a la anterior, esta recta
pertenecerá al plano Alfa y el ángulo que forme esta recta con la L.T. será el mismo que
el que forme el plano con L.T. (verde - rojo).
107
PROBLEMAS PARTE 2
108
1.- P (20, 35,-) es un punto del 2º cuad., 2º bisector; M pertenece al 1er cuad. , 1er
bisector y tiene 15 de alejamiento distando 40 de P a la derecha. El plano Alfa es
perpendicular a la recta s ,definida por los dos puntos anteriores. M es el centro de la
circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero contenido en el plano Alfa de forma
que una altura de este triángulo es recta de máxima pendiente del plano, uno de los
vértices se encuentra en uno de los planos de proyección y todo el triángulo se encuentra
en el primer cuadrante. Este triángulo es la base de una pirámide recta de altura 50 mm
cuyo vértice se encuentra a la derecha de la base. Obtener las proyecciones de la
pirámide indicando partes vistas y ocultas.
a2
P"=P'
M"
s"
a1
M'
s'
Paso 1: Para localizar los puntos hemos aplicado el método de distancias por
diferencia de alejamientos. Como no conocemos previamente ninguna de las
proyecciones de M, construimos un triángulo semejante al que resultaría una vez
aplicado el método (azul), de esta forma obtenemos el valor que tendrá en proyecciones
la distancia P"M", este valor lo trasladamos con un arco centrado en P" hasta llegar al
valor de cota correspondiente (15). El cálculo del plano perpendicular se obtiene
apoyándose en una recta que sabemos estará contenida en dicho plano y contiene a M
(rojo).
109
a2
P"=P'
A"
M"
B"
C"
s'
C'=C
B'
M'
a1
M1
A'
B
(a2)1
A
Paso 2 : Para poder construir el triángulo es necesario abatir el plano Alfa. Una
vez lo hemos abatido seguimos las restricciones que nos impone el problema, en este
caso uno de los vértices en un plano de proyección y todo el triángulo en el primer
cuadrante. Cuando se tiene el triángulo se desabate y se representa en proyecciones.
(Azul - rojo).
110
a2
P"=P'
A"
B"
M"
T"
V"
C"
s'
C'=C
a1
A'
V1
B'
M'
T'
(a2)1
Paso 3: Por geometría sabemos que el vértice de una pirámide recta se encuentra
sobre una recta perpendicular a la base por el centro de esta. En nuestro caso esa recta es
la recta PM y el centro de la base M, dado que esta recta no se encuentra en verdadera
magnitud debemos girarla para poder medir los 50 mm a partir de M (azul), para este
menester se a utilizado el punto T. Una vez tenemos el vértice simplemente habrá que
unir los vértices de la base con V y tener en cuenta que parte de la pirámide será vista y
cual otra oculta, las partes ocultas se representarán en discontinua (rojo). Este ejercicio
es ante todo algo que se coge con la práctica puesto que a pesar de que existen métodos
para determinar las partes ocultas estos son mas complicados que la propia percepción
por parte del alumno.
111
2.- r es una recta que pasa por L.T. por el punto de abcisa (20)y contiene al punto
T(65,35,25). Perpendicularmente a esta recta y por el punto P(90,20,15) pasa el plano
Alfa. Por la intersección de Alfa con r pasa una recta de punta (s) y en un punto de esta
de alejamiento cero, se encuentra centrada una circunferencia de radio (cota de s)
contenida en un plano perpendicular a s. Esta circunferencia es la base de un cono recto
contenido en el primer cuadrante de altura 60 mm. Obtener las proyecciones del cono.
intersección de la recta vertical m que pasa por el punto (50,0,20) con el cono.
1"
T"
I"
2"
P"
a2
b2r" i"
1'
P'
r'
T'
b1
I'
s'
a1
i'
2'
g1
Pasol 1 : Para la determinación de la intersección de los dos planos hemos
utilizado un plano frontal que al intersectar a los otros dos produce dos rectas frontales
las cuales se cortan en un punto. El otro punto se obtiene directamente por la
intersección de las trazas verticales de los planos Alfa y Beta, este procedimiento se
suele utilizar cuando las trazas se cortan fuera de la lámina de trabajo (azul). El plano
perpendicular a s por un punto de alejamiento cero será el P.V. por lo que la
circunferencia la veremos en verdadera magnitud en proyección vertical (rojo).
112
1"
T"
I"
2"
P"
a2
b2r" i"
1'
P'
r'
T'
b1
I'
s'
a1
i' V'
2'
g1
Paso 2: Para el cálculo de la altura es necesario una recta perpendicular a la base
por el centro de esta ( porque es un cono recto), que en este caso es la propia recta s.
Dado que esta recta está en verdadera magnitud en proyección horizontal, podremos
medir en ella directamente el valor de la altura (50 mm) y una vez tengamos este punto
lo unimos a los puntos del contorno aparente de la base y tendremos las proyecciones
del cono (rojo).
113
t2
m"
1"
1"
T"
I"
2"
P"
a2
b2r" i"
1'
P'
1'2'm'
b1
T'
I'
s'
a1
i' V'
2'
t1
g1
Paso 3: Para calcular la intersección de una recta con un cono hay que localizar
un plano que contenga a la recta y al vértice del cono ( en este caso un plano proyectante
horizontal), si este plano corta a la base del cono (en este caso si la corta) de los puntos
de corte partirán dos generatrices del cono, donde esas dos generatrices corten a la recta
(puntos 1 y 2) ahí se encontrarán los puntos intersección (solución en rojo). En el caso
en que el plano no corte a la base,evidentemente , no existirá intersección de la recta con
el cono.
Hay que resaltar también que el tramo comprendido entre los dos puntos
intersección debe ir en trazos discontinuos puesto que es una zona oculta.
114
3.- r es una recta de perfil paralela al segundo bisector por el punto (60,50,10), s
es perpendicular a r por su punto medio y todos sus puntos pertenecen al primer
cuadrante. Las trazas de r son dos de los vértices de un cuadrado (ABCD), estando los
otros dos sobre s. Estos vértices los nombraremos en sentido antihorario siendo el A el
de menor cota. Localizar el punto T que estando en el mismo plano que el cuadrado
equidista 15 mm de B Y C teniendo la mayor cota posible. Calcular el ángulo que forma
la recta DA con los planos de proyección.
C"
P"'
r"
s"
D"
B"
s"'
r"'
A"=C'
s'
D'
B'
r'
A'
Paso 1: La recta s debe ser, por las características dadas una recta paralela a L.T.
por lo que podremos medir en ella en verdadera magnitud en proyecciones, lo mismo
ocurre con la recta de perfil en tercera proyección. Así pues tomamos la medida en
tercera proyección y la situamos sobre s en proyecciones. Observar que la figura está
contenida en un plano paralelo a L.T. y al 2º bisector y como las proyecciones resultan
iguales.
115
C"
T"'
T"
T
P"'
r"
B"
s"
D"
s"'
r"'
D
B
A"=C'
T'
A
D'
s'
B'
r'
A'
Paso 2 : Para poder localizar el punto T es necesario realizar un abatimiento del
plano que en este caso se hace sobre el P.V. en tercera proyección , procedimiento este
que se muestra en azul, una vez lo hemos hecho se localizará al punto T que debe estar
sobre la mediatriz del segmento BC y luego procedemos a su desabatimiento (rojo).
C"
T"'
T"
T
P"'
r"
B"
s"
D"
s"'
r"'
D
B
A"
D'
T'
A
s'
B'
r'
A'
Paso 3: Este paso se soluciona por el método ya conocido. Para el cálculo del
ángulo que forma con el P.H. se puede apreciar el procedimiento en azul, y en rojo para
el P.V.
116
4.- El punto A pertenece al primer bisector, primer cuadrante, tiene cota 40 y
abcisa 50 mm. Este punto es el centro de una circunferencia de radio 30 que se ve en
verdadera magnitud en proyección horizontal. La recta r es paralela al primer bisector y
contiene a los puntos P(100,10,20) y T(70,-,30).La circunferencia es la base de un cono
recto cuyo vértice se encuentra en el P.H. calcular la intersección de la recta con el cono.
A"
T"
r"
P"
r'
P'
T'
Paso 1: En principio no presenta ninguna dificultad salvo la obtención de la
recta que como sabemos las dos proyecciones presentan el mismo ángulo con la L.T.
117
a2
m
A"
1"
T"
2"
r"
P"
r'
m
2'
P'
T'
a1
1'
Paso 2: Para poder determinar la intersección de la recta con el cono
seccionamos el cono con un plano que contiene a la recta (plano proyectante vertical), la
sección que le produce este plano al cono será una elipse que se determina con el
método que se muestra. Por el punto medio de la proyección vertical de la sección
(segmento rojo) se pasa un plano horizontal que también secciona al cono produciendo
una circunferencia, se desabate la mitad de esta circunferencia en proyección vertical y
se localiza el segmento m tal y como se muestra en el dibujo. Este segmento será el
valor del semieje menor en proyección horizontal y el eje mayor de la elipse se trae
directamente desde la proyección vertical. Una vez se tienen los dos ejes se construye la
elipse y donde esta elipse corte a la recta (puntos 1 y 2 en verde), estos serán los puntos
de corte de la recta con el cono. Este método es válido para cualquier intersección de
plano con cono recto sólo que si el plano no es un proyectante hay que transformarlo en
uno aplicando cambio de planos.
118
5.- El plano Alfa viene definido por las rectas r y s. r es una frontal que forma
30º con el P.H. y contiene al punto (30,25,0) de forma que sus puntos aumentan de cota
hacia la izquierda. s es horizontal, forma 45º con el P.V., sus puntos aumentan de
alejamiento hacia la izquierda y se corta con r en L.T. . Paralelamente a Alfa 40 mm a su
derecha se encuentra el plano Beta.En Alfa se encuentra un triángulo equilátero inscrito
en una circunferencia de radio 25 mm tangente a los dos planos de proyección, de forma
que uno de los lados de este triángulo, el de mayor abcisa, es una recta de máxima
inclinación. Este triángulo es la base inferior de un prisma recto cuya base superior se
encuentra en el plano Beta. Obtener las proyecciones del prisma indicando partes vistas
y ocultas.
40 mm
P"
b2
r" a2
P'
s' a1
b1
Paso 1: Para la determinación de un plano paralelo a otro es necesario disponer
de una recta que sea perpendicular al segundo sobre la cual deberemos medir la
distancia entre ambos planos. Como esta recta (azul) no está en verdadera magnitud
hemos de girarla, medir la distancia y deshacer el giro. Una vez tengamos el punto que
dista 40 mm del plano hacemos pasar por este punto el plano paralelo.
119
P"
b2
a2
P'
a1
b1
Paso 2: En esta parte del problema se ha de construir en el abatimiento la
circunferencia tangente a las dos trazas del plano y orientar el triángulo inscrito según
nos pide el problema (azul) . Una vez lo tenemos procedemos a su desabatimiento
(rojo).
120
P"
b2
I"
a2
I'
P'
a1
b1
Pasol 3: el hecho de que el prisma sea recto implica que sus aristas serán
perpendiculares a los dos planos. Utilizando una de estas aristas calculamos la
intersección de esta con el plano Beta (proceso en azul). Por este punto intersección
pasaremos rectas paralelas a la base inferior puesto que al ser los planos paralelos y al
pasar estas rectas por un punto del plano Beta (Y), podemos asegurar que las rectas
paralelas pertenecerán al plano Beta, de esta forma nos ahorramos el tener que abatir
Beta para construir nuevamente la base.
121
6. -Dos de las caras de un cubo de arista 45 mm, están contenidas en planos
proyectantes horizontales que forman 60º con el P.V., abriendo sus trazas hacia la
derecha. El vértice A de la base cuya abcisa es 100 mm, tiene cota 0 y es el de menor
alejamiento, siendo este 30. Obtener las proyecciones del cubo. Obtener igualmente la
sección y Verdadera Magnitud que le produce un plano p definido por M(140,0,0),
N(100,40,0) y S(100,0,90). Desarrollar la superficie del cubo incluyendo la
transformada de la sección.
F"
B"
G"
C"
E"
H"
D"
A"
A'
B'=F'
D'=H'
C'=G'
Paso 1: Las aristas que no estén contenidas en los planos, deben ser
perpendiculares al plano que contiene las caras y dado que A es el vértice con menor
alejamiento esto obliga a una construcción en la que una de las caras está apoyada en el
P.H. por lo que todas las aristas de esa cara estarán en V.M.. Por otro lado las aristas
perpendiculares a la base estarán en V.M. en proyección vertical por ser rectas
verticales.
122
p2
F"
B"
G"
C"
E"
H"
D"
A"
A'
p1
B'=F'
D'=H'
C'=G'
Paso 2: La determinación del plano es inmediata. En primer lugar hay que
observar que tanto la traza horizontal del plano como la base del cubo pertenecen al
plano horizontal por lo que si existe alguna intersección entre estos se debe apreciar
directamente en proyección horizontal tal y como se puede ver en el dibujo. Dado que el
plano entra por la base es una buena suposición el pensar que saldrá por la base superior
y para comprobar esto utilizamos una recta horizontal que pertenece tanto al plano de la
base superior del cubo como al plano seccionante (en rojo). De esta forma apreciamos
que corta a esta base en dos puntos. Por otro lado las únicas aristas que hay entre la
entrada y la salida del plano son las que parten de A y C, así pues estas son las únicas
que hay que analizar, para lo que utilizamos rectas frontales que pertenecen tanto a un
hipotético plano frontal que contiene a estas aristas como al plano seccionante (azul).
Esto se podía haber resuelto de múltiples formas.
123
p2
F"
B"
E"
G"
C"
H"
D"
A"
A'
p1
B'=F'
D'=H'
C'=G'
Paso 3: Este último paso simplemente implica un abatimiento de la sección para
así tenerla en V.M. En la resolución se han aprovechado las propias rectas horizontales
y frontales que se utilizaron para la determinación de la sección.
124
E
A
D
F
G
B
G
F
H
E
C
D
A
C
Paso 4 : La construcción del desarrollo del cubo se hace partiendo del valor de
una de sus aristas en V.M. y uniendo las caras de forma consecutiva. Una vez lo
tenemos hemos de localizar los puntos de la sección sobre las aristas correspondientes y
unirlos entre si para obtener la transformada de la sección.
7. - Dado el punto A(50,30,0) se localiza a partir de él el punto P que pertenece
al P.H. y dista 50 mm de A, siendo su alejamiento 35 mm, de forma que quede lo más a
la izquierda posible. Este punto P es el de menor cota de una circunferencia de radio 20
mm contenida en el plano Alfa ( su traza vertical pasa por A y se corta con L.T. en
abcisa 100). Sabiendo que la circunferencia es la base de un cono recto de altura 90 mm
que se encuentra en el primer cuadrante, obtener sus proyecciones y las del plano
tangente al mismo por un punto de su superficie de cota 15 y abcisa 0.
125
a2
A"
A'
P"
a1
P'
Paso 1: Dado que el punto P pertenece al Plano Horizontal de Proyección
podremos partir de una recta que pasa por A y mide 50 en V.M., esta recta la giraremos
hasta llegar a un punto de abcisa 35. Este será el punto P.
a2
A"
P"
A'
a1
P'
126
Paso 2: Este segundo paso consiste en realizar un abatimiento del plano para
localizar la circunferencia base de forma que esta sea tangente a la traza horizontal del
plano por el punto P. Una vez la conseguimos procedemos a su desabatimiento para lo
que se han utilizado cuatro rectas, dos de las cuales (azul) nos proporcionan los ejes
principales en proyección horizontal y las otras dos (rojo) nos darán los ejes principales
en proyección vertical.
a2
A"
P"
A'
a1
P'
Paso 3: Este tercer paso consiste en localizar el vértice del cono para lo cual se
traza una recta perpendicular al plano de la base por el centro de esta. En esta recta y a
90 de la base se encuentra el vértice y para obtenerlo se ha realizado un giro del eje del
cono.
127
r"
b2
P"
H"
V'
V"
s"
b1 H'
r'
P'
P
s'
Paso 4: Para obtener un plano tangente al cono hemos de definirlo con dos rectas
una de las cuales debe ser una generatriz del cono, que contenga al punto al cual debe
ser tangente el plano, y la otra debe ser tangente a la base del cono, pertenecer al plano
de la base y cortarse con la anterior. Estas dos rectas aparecen representadas en la figura
anterior como r y s en rojo y el plano en azul.
8 .- Una esfera de radio (25 mm)se encuentra apoyada en los dos planos de
proyección, estando su centro en un punto de abcisa (10). Esta esfera se ve seccionada
por un plano perpendicular a los dos de proyección de forma que la circunferencia
sección tiene de radio (15 mm).
En esta circunferencia se encuentra inscrita la base hexagonal de un
prisma recto de altura (70) de forma que la base superior se encuentra a la derecha de la
anterior. Dos de las rectas de la base anterior (A-B , D-E) son rectas verticales, de forma
que la (A-B) es la más próxima al P.V. y el vértice A es el de mayor cota de este
segmento.
128
Se pide obtener las proyecciones del conjunto así como el ángulo que
forma la cara (C-D , I-J ) con los planos de proyección.
3ª
O"
O"'
O'
Paso 1: La tangencia
a los planos de proyección se
resuelve
perfectamente
en
P
tercera proyección y luego se
traslada al punto de abcisa
correspondiente. Para obtener
el plano seccionante se puede
resolver
directamente
P
R
d
r
O
C
R
r
d
O
C
en
proyecciones o aplicando el
método
general
que
se
muestra en la figura que acompaña.
129
Este método se fundamenta en la relación que existe entre el radio de la
esfera, el de la circunferencia sección y la distancia entre ambos centros (d).
Mediante la construcción de un triángulo rectángulo, tal y como se muestra, se
puede obtener uno de los datos conociendo el otro. En este caso los datos
conocidos son el radio de la circunferencia sección y el de la esfera.
3ª
A"'
O"
E"'
O"'
D"'
B"'
C"'
O'
Paso 2: Una vez se tiene la circunferencia sección se dibuja directamente en 3ª
Proyección, porque estará en verdadera magnitud, el hexágono inscrito cumpliendo con
las condiciones de las rectas y luego se pasa a proyecciones.
130
3ª
Paso 3 : El cálculo de los
ángulos, en este caso, dado que es un
F"'
A"'
plano paralelo a L.T. se realiza
directamente en 3ª Proyección tal y
E"'
O"'
D"'
B"'
C"'
como se indica en la figura
9.- La recta r{V(70,50,0),H(70,0,60)}, pertenece a los dos planos
\ E GH
forma que la traza vertical de Alfa y b1 forman respectivamente (45º) y (-120º) con la
L.T. Estos dos planos junto con los de proyección definen el volumen de una pirámide.
Obtener el desarrollo total de la pirámide sabiendo que la misma se ve
seccionada por el plano p que forma ángulos de 45º con el P.H., 60 con el P.V., sus
trazas se abren hacia la izquierda y se cortan en un punto de abcisa 120.
131
D"
a2
A"=A'
b2
B"=D'
C"=C'
b1
a1
B'
Paso 1: Dado que la recta pertenece a los dos planos, debe ser la recta
intersección de ambos por lo que pasamos las trazas dato por los puntos
correspondientes a fin de contener a la recta en los mismos, cumpliendo con los datos
del problema. Cabe resaltar que el ángulo que forman las trazas con la L.T. se monta
directamente porque las trazas están contenidas en los planos de proyección, es decir ,
son rectas frontales u horizontales.
132
p2
D"
a2
A"=A'
b2
C"=C'
B"=D'
b1
a1
p1
B'
Paso 2: La determinación del plano se hace aplicando el método descrito en la
sección de ángulos. Para la obtención de la sección se podría hacer aplicando el método
general con planos proyectantes aunque en esta ocasión se deduce fácilmente porque las
aristas seccionadas pertenecen a los planos de proyección al igual que las trazas del
plano.
133
D
A
A
C
B
B
Paso 3: Para efectuar el desarrollo habrá que ir abriendo el volumen mediante
triangulaciones, tomando las distancias en verdadera magnitud entre los vértices. En
este caso en particular, todas las aristas, a excepción de la BD, están en V.M. por
pertenecer a los planos de proyección, por lo que se puede medir en ellas directamente.
Por último y aunque no se ha realizado en el ejercicio, faltaba incluir la sección en el
desarrollo.
134

INICIACIÓN AL SISTEMA DIÉDRICO

Transcripción

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Revista DeViajes diciembre 2013