tesis completa . - Universidad Autónoma de Guerrero
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO FACULTAD DE MATEMÁTICAS UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS DIFICULTADES QUE PRESENTAN LOS ESTUDIANTES DE TERCER GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA AL TRABAJAR CON LOS DIFERENTES REGISTROS DE REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL TESIS QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: LICENCIADO EN MATEMÁTICAS, ÁREA: MATEMÁTICA EDUCATIVA. PRESENTA: RAQUEL GUZMÁN DAMIÁN DIRECTOR DE TESIS: M. C. HERMES NOLASCO HESIQUIO ACAPULCO, GRO. DICIEMBRE DEL 2006. AGRADECIMIENTOS Doy gracias a Dios por guiar mi camino y por permitirme llegar a una de mis metas que siempre había deseado y a mis padres por darme la vida. A mis hermanos Macedonio, Leovi y Adela por el apoyo brindado. De manera muy especial agradezco a mi hermana Edith y a su esposo Domingo Eugenio por su apoyo incondicional para llevar a cabo este trabajo. Agradezco enormemente al M. en C. Hermes Nolasco Hesiquio Por su paciencia, su valioso tiempo, su gran apoyo y su sabia dirección para el desarrollo de este trabajo. Al Dr. Santiago Ramiro Velásquez Bustamante y al Lic. Mario Rodríguez Valdés por la revisión y sus acertados comentarios para el enriquecimiento de este trabajo. DEDICO: A mis padres: Marcelino Guzmán y Catalina Damián por brindarme su cariño y su confianza. A mi maestro: Thomas Abraham Mayoral Olmedo por su confianza y gran apoyo para la continuación de mis estudios, y su mejor deseo por verme superada cada día. ÍNDICE INTRODUCCIÓN......................................................................................................6 CAPÍTULO 1. ASPECTOS ESENCIALES DE LA INVESTIGACIÓN 1.1 Planteamiento del problema……………………………………………………….9 1.2 Objetivo de la investigación……………………………………………………….9 1.3 Preguntas de investigación……………………………………………………….10 1.4 Metodología utilizada en la investigación………………………………………..10 CAPÍTULO 2. ELEMENTOS TEÓRICOS 2.1 Un aprendizaje basado en las representaciones…………………………………...12 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DIDÁCTICO DE LA FUNCIÓN LINEAL 3.1 Aplicación de la función lineal...…………………………………………………18 3.2 La solución de problemas en educación secundaria……………………………...20 3.3 La función como objeto de enseñanza……………………………………………21 3.3.1 Plan y programas…………..……….…...………………………………...23 3.3.2 Secuencia y organización de contenidos…………………………………24 3.3.3 El libro para el maestro……………………………………………………25 3.3.4 El fichero de actividades…………………………………………………..27 3.3.5 Texto que utiliza el alumno……………………………………………….29 3.4 Tipos de representaciones……………………………………….………………..31 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE LA EXPERIMENTACIÓN 4.1 Análisis de la actividad 1…………………………………………………………36 4.2 Análisis de la actividad 2…………………………………………………………40 4.3 Análisis de la actividad 3…………………………………………………………42 4.4 Análisis de la actividad 4…………………………………………………………44 4.5 Análisis de la actividad 5…………………………………………………………47 4.6 Análisis de la actividad 6…………………………………………………………50 CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS..................................…...….....58 CONCLUSIONES…………….................................................................................61 RECOMENDACIONES….………….…………………………………………...62 REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA..…..………………………………………63 ANEXOS INTRODUCCIÓN El presente trabajo es una investigación que tiene como objetivo primordial identificar las dificultades que presentan los estudiantes de tercer grado de educación secundaria, al trabajar con los diferentes registros de representación de las funciones, particularmente la función lineal. El concepto de función relaciona una gran variedad de representaciones (como son la representación gráfica, la expresión algebraica, la tabular, figuras, lengua natural), éstas son muy mencionadas tanto en los materiales de apoyo para el profesor y en los textos utilizados por el estudiante al abordar el tema. La comprensión de esta noción involucra la articulación coherente de estos registros de representación que juegan un papel primordial en la resolución de un problema, como lo menciona Duval (1998) sobre registros de representación semiótica, la conversión o transformación de una representación en otra perteneciente a otro registro, juega un papel fundamental en la actividad matemática. Se ha demostrado en estudios experimentales, Hitt (1996), tanto con alumnos como con profesores de matemáticas que algunos sistemas son más difíciles de articular que otros, en el estudio realizado por Ismenia (1998), afirma que los estudiantes sometidos a dicha investigación mostraron deficiencias conceptuales y falta de coordinación entre la representación gráfica y el lenguaje natural. Con fundamento en los resultados de estos estudios preliminares y atendiendo al objetivo principal, se diseñó un cuestionario que consta de seis actividades, la tarea solicitada en estas actividades eran precisamente el paso de un registro de representación a otro, con la finalidad de conocer con mayor precisión las dificultades que presentan los alumnos al trabajar con la función lineal, estos resultados muestran que de acuerdo con la tarea solicitada los estudiantes muestran deficiencias conceptuales y por supuesto la falta de coordinación de los diferentes registros de representación. Para tal motivo este trabajo se organiza en cuatro capítulos. En el primer capítulo, se plantea el problema de investigación, el objetivo principal, las preguntas que orientan a dicha investigación y la metodología utilizada. En el segundo capítulo, se habla acerca de algunas investigaciones realizadas en torno a las dificultades para articular los registros de representación como elementos teóricos que son la base del soporte de este trabajo. En el tercer capítulo se presenta un análisis didáctico del concepto de función lineal, atendiendo a los documentos oficiales y al libro de texto para el alumno de educación secundaria, con la finalidad de conocer el objetivo general que recomiendan estos materiales. En el cuarto capítulo se describen las actividades aplicadas y los resultados obtenidos comentando acerca de algunas dificultades que presentan los estudiantes y realizando una explicación de los resultados. En la sección de Anexos se muestran las actividades aplicadas a los estudiantes. CAPÍTULO 1 ASPECTOS ESENCIALES DE LA INVESTIGACIÓN Una de las características más importantes de las matemáticas en la actualidad, es su uso en casi todas las áreas del quehacer humano, desde las actividades cotidianas hasta la investigación científica. La matemática educativa estudia los procesos de transmisión, adquisición y construcción de los diferentes contenidos matemáticos en situación escolar, se propone describir y explicar los fenómenos relativos a las relaciones entre enseñanza y aprendizaje del saber matemático. Donde a partir de los estudios realizados desde esta disciplina, se han identificado problemas en el proceso enseñanza-aprendizaje de la matemática y se ha contribuido además, con propuestas para mejorar este proceso. Los modelos lineales son muy importantes en matemáticas porque permiten resolver aquellos problemas de la ciencia que se comportan linealmente y aproximar otros cuya modelación es no lineal. Generalmente se hace uso de las funciones lineales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria. Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y". Las funciones reales de variable real, que tienen la forma f ( x) = ax + b , son uno de los modelos lineales más simples y representan para estudiantes de educación secundaria el primer contacto formal con el concepto de función, en muchas de las aplicaciones importantes de las funciones subyace la idea de variación; la idea de una cantidad que varía al cambiar los valores de otra. De aquí el interés mostrado por algunos investigadores, en explicar las dificultades de aprendizaje enfrentadas por los estudiantes para entender aquellas nociones relacionadas con las funciones lineales. Leinhardt (1990), reconoce que una tarea de mayor dificultad es la traducción entre las representaciones gráfica y algebraica. Eisenberg (1992) señala que la función es un concepto trascendental en la comprensión de la matemática y que desarrollar en los estudiantes una sensibilidad para las funciones debe ser uno de los objetivos primordiales del currículum. 1.1 Planteamiento del problema de investigación Diversas investigaciones constatan que los estudiantes presentan diferentes dificultades al trabajar con la función lineal. (Janvier, 1978 y 1987; Duval, 1998; Ismenia, 1998; Hitt, 1996). El problema que motiva esta investigación tiene que ver con la inquietud de saber cuáles son las dificultades que presentan los estudiantes y las concepciones que tienen acerca del tema de función lineal y las formas de representación que conocen y utilizan. El problema de investigación consiste en conocer ¿cuáles son las dificultades que presentan los alumnos de tercer grado de educación secundaria al trabajar con las diferentes formas de representación semiótica de la función lineal? 1.2 Objetivo de la investigación Para tal motivo, se ha planteado como objetivo fundamental realizar un análisis exploratorio para identificar las dificultades que presentan los estudiantes de educación secundaria al trabajar con las diferentes formas de representación de la función lineal. 1.3 Preguntas de investigación Para orientar esta investigación se plantean las siguientes preguntas: 1. ¿Cuáles son los argumentos que el alumno utiliza al trabajar con funciones lineales de la forma f(x) = mx+b, desde las diferentes formas de representación? 2. ¿Qué dificultades enfrentan los estudiantes de secundaria al trabajar con las diferentes formas de representación de la función lineal? 3. ¿Cuáles son las formas de representación de la función lineal más usadas por los estudiantes? 1.4 Metodología utilizada en la investigación La presente investigación se aborda desde el enfoque esencialmente exploratorio y cualitativo. Por lo que se sustentó en el análisis de las producciones de los estudiantes para indagar los efectos que producían las secuencias con fines de detectar algunas dificultades en la conversión de un registro a otro, para lo cual se desarrolla de la siguiente manera: 1. Estudio documental. a) Se realizó un breve análisis de algunas investigaciones (Janvier, 1978 y 1987; Duval, 1998; Hitt, 1996; Hitt, 2003) realizadas en torno a las dificultades que presentan los estudiantes al trabajar con los diferentes registros de representación de la función lineal. b) Un análisis bibliográfico de los materiales de apoyo para el profesor de educación secundaria, plan y programas, organización y secuencia de contenidos, el fichero de actividades y el libro para el maestro, así mismo dos libros de texto utilizado por el estudiante; con la finalidad de conocer cuáles son los registros de representación que sugieren estos materiales cuando se aborda el tema de función lineal, así mismo, las actividades recomendadas y las habilidades que se deben desarrollar con dicho tema, para así realizar el diseño de las actividades a aplicar. 2. La experimentación. Las actividades fueron aplicadas a estudiantes que estaban culminando el tercer grado de educación secundaria. El cuestionario se aplicó de manera grupal, el cual constaba de dos actividades, se les dio las indicaciones necesarias, se les aclaró algunas dudas para que procedieran a contestar las actividades, y se les pidió que dieran explicación de sus respectivas respuestas. 3. Finalmente se realizó el análisis de los resultados de la experimentación con las producciones de los estudiantes con el objetivo de conocer con mayor precisión las dificultades que presentan. La experimentación se realizó de manera grupal a estudiantes de tercer grado de educación secundaria, de la Secundaria Técnica No. 9 de Cd. Renacimiento. Para tal propósito, se aplicó un cuestionario con seis actividades, de las cuales fueron contestadas por 73 estudiantes de tres grupos: en el primer grupo participaron veinte alumnos respondiendo la actividad uno y dos; veinticinco en la actividad tres y cuatro, y veintiocho alumnos en la actividad cinco y seis. CAPÍTULO 2 ELEMENTOS TEÓRICOS 2.1 Un aprendizaje basado en las representaciones Como ya se ha mencionado, el objetivo de este trabajo es conocer las dificultades que presentan los estudiantes al trabajar con las diferentes formas de representación de la función lineal, para tal efecto, en este capítulo, se realiza un breve análisis de la investigación de R. Duval (1998), la cual trata sobre los registros de representación como se detallará enseguida, y otras investigaciones que de alguna manera consideran estos aportes para la realización de sus investigaciones. La enseñanza de la función lineal puede ser abordada mediante el uso de algunas de sus representaciones: la algebraica, la tabular o la gráfica. A través de la manipulación de estas tres formas de representación el estudiante realiza traducciones entre ellas, por ejemplo, de la algebraica a la tabular, de la tabular a la gráfica, o de la gráfica a la algebraica. La interacción con estas representaciones y la exitosa traducción entre ellas, permite al estudiante explorar algunas nociones acerca del concepto de función, por lo que resulta de gran interés prestar atención a lo que el estudiante realiza de ir de una forma de representación a otra, ya que por ejemplo algunas traducciones no son directas, sino que requieren de alguna otra forma de representación de intermedio para poder efectuarse, como es el caso del proceso de ir de lo algebraico a lo gráfico, en que el estudiante en ocasiones acude, como paso intermedio, a la tabulación de la expresión algebraica, en donde obtiene una serie de valores que le permiten ubicar puntos en el plano cartesiano y así construye la gráfica que corresponde a la función dada. Al trabajar con la función lineal es de gran importancia trabajar con las diferentes formas de representación. Los elementos relevantes a considerar acerca de los aportes de R. Duval, son la importancia de trabajar con los diferentes registros de representación semiótica1, y la coordinación entre estos, ya que juegan un papel fundamental en la actividad matemática, afirma que “los objetos matemáticos2 no son directamente accesibles a la percepción humana o de una experiencia intuitiva, es necesario entonces poder proporcionar representantes”. Podríamos decir que la adquisición de los conceptos matemáticos es una aprehensión conceptual y la actividad con los conceptos matemáticos sólo se da a través de las representaciones semióticas. Es decir, un concepto matemático visto en sus diferentes representaciones proporcionará información específica, dando solidez al concepto. Al respecto, Duval señala: La comprensión (integradora) de un contenido conceptual, reposa en la coordinación de al menos dos registros de representación, y esta coordinación se manifiesta por la rapidez y la espontaneidad de la actividad cognitiva de conversión. Cabe destacar dos ideas importantes del párrafo anterior: coordinación y conversión. En otras palabras, la aprehensión conceptual de un objeto matemático sólo se logrará si existe actividad (cognitiva) con registros de representación, la cual deberá realizarse con la coordinación de al menos dos de ellos. Se entiende por conversión a la trasformación de una forma de representación en otro registro de representación, conservando la totalidad o solamente una parte del contenido inicial. Por ejemplo, realizamos una conversión cuando al resolver un problema 1 Representaciones semióticas: son producciones constituidas por el empleo de signos, que representan a un sistema de representación, el cual tiene sus propios constreñimientos de significancia y de funcionamiento. Éstas pueden ser representadas por medio de un enunciado en lengua natural, una fórmula algebraica, una gráfica, una figura geométrica. 2 Duval (1998) menciona que los objetos matemáticos no es otra cosa que lo conceptual, (aprehensión conceptual), ejemplos de objetos matemáticos: una escritura, una notación, un número, una función, un vector, lo mismo lo son los trazos y las figuras geométricas. matemático usamos un gráfico cartesiano para representar una función y en el siguiente paso de la resolución, expresamos con una ecuación algebraica la misma función (o viceversa), o cuando transformamos una ecuación en un enunciado en lengua natural (o viceversa). En el diseño y el análisis de las actividades de esta investigación entran en juego las diferentes representaciones semióticas y se considera de gran importancia la conversión que se realiza entre ellas. Señala que una forma de medir la aptitud del alumno para realizar la conversión, particularmente del registro gráfico al algebraico, es la capacidad de visualización. Es necesario tener en cuenta que las representaciones semióticas no son un simple medio de exteriorización de las representaciones mentales para fines de comunicación, sino que también son esenciales para la actividad cognitiva del pensamiento, como lo afirma Duval. Garbin (2005) hace una explicación de los aportes de Duval de la siguiente manera: En matemáticas se habilitan diferentes lenguajes matemáticos, como: el algebraico, analítico, el geométrico, el gráfico y el verbal, y cada lenguaje utiliza ciertos registros de representación semiótica que pueden ser del tipo lingüístico (lenguaje natural, escritura algebraica, lenguaje formal) o de otro tipo (figuras geométricas, gráficos cartesianos, esquema, etc.), esta información la muestra como se puede ver en el siguiente cuadro: Contexto algebraico En matemáticas se habilitan Contexto analítico Contexto geométrico Lenguajes matemáticos Algebraico, analítico, geométrico, gráfico, verbal. Contexto gráfico Registros lingüísticos (lenguaje natural, escritura algebraica, lenguaje formal) Otros registros (figuras geométricas, gráficos cartesianos, tablas…) Contexto físico En un estudio realizada por Ismenia (1998) con estudiantes de primer año de ingeniería, considerando como referencia el enfoque cognitivo basado en los registros de representación semiótica Duval (1998), y su incidencia en el aprendizaje de nociones matemáticas, en particular algunas propiedades de funciones y tomando en cuenta los registros gráfico, algebraico (o formal) y lengua natural, afirma que los estudiantes muestran deficiencias conceptuales y falta de coordinación entre los registros algebraico, gráfico y lenguaje natural. Tienen dificultad para relacionar; ya que los estudiantes están poco familiarizados en las funciones de coordinar la lectura de un hecho expresado en un registro determinado y en la expresión o formulación en lenguaje natural y, a la inversa, expresar un enunciado dado en lenguaje natural en términos de otro registro, y por supuesto los traslados del registro gráfico al algebraico. Menciona que la preparación de los estudiantes es insuficiente en este tipo de tareas; estas traducciones y traslados requieren aprendizaje. El trabajo de Janvier (1978), citado por Cruz (1998), lo enfoca a los diferentes medios de representación, reporta que algunas traducciones no son directas, sino que requieren de alguna otra forma de representación para poder efectuarse, como es el caso del proceso de ir de lo algebraico a lo gráfico, en el que el estudiante acude, como caso intermedio, a la tabulación de la expresión algebraica, con lo que se obtiene una serie de valores que le permiten ubicar estos puntos en el plano cartesiano para así construir su gráfica correspondiente. Janvier (1987, citado por González, M.) indica las habilidades que necesitan los alumnos para realizar la exitosa traducción entre varias representaciones como se muestra en la siguiente tabla: Hasta Desde Descripciones verbales Tablas de datos Gráficos cartesianos Expresiones algebraicas Descripciones verbales Tablas de datos Medir Leer Interpretar Reconocer una fórmula Gráficos cartesianos Esbozar Expresiones algebraicas Modelizar Dibujar Ajustar Ajustar Leer Calcular Dibujar En una investigación hecha por Hitt (1996), con 30 profesores de enseñanza media, en la aplicación de 14 cuestionarios, con la finalidad de detectar con mayor precisión las dificultades que presentan en la articulación de los diferentes registros de representación, menciona que unos registros de representación fueron más difíciles de articular que otros, por ejemplo, en el sistema semiótico de representación gráfica, los profesores no identifican con facilidad las representaciones relativas a los subconceptos, dominio y conjunto imagen, además, observa que los profesores tienen diferentes tipos de dificultades de las que tienen sus alumnos, no realizan una articulación coherente entre los diferentes sistemas semióticos asociados al concepto de función y poseen varias ideas intuitivas como son la utilización del argumento geométrico (línea vertical) para decidir si una curva es una función o no. En cuestiones en donde se solicitaba la interpretación de una gráfica en un contexto físico, y viceversa, el paso de un contexto físico a la representación gráfica, las dificultades detectadas por Hitt (1996), estuvieron asociadas a: La forma de la gráfica y no el estudio analítico de la información proporcionada por la gráfica, determinó, en algunos profesores, el tipo de recipiente. La forma del recipiente y no el estudio del fenómeno en un contexto analítico, determinó los errores de la mayoría de los profesores. CAPÍTULO 3 ANÁLISIS DIDÁCTICO DE LA FUNCIÓN LINEAL De acuerdo al objetivo de esta investigación, en éste capítulo se realiza un breve análisis de la importancia que tiene la resolución de problemas en la enseñanza - aprendizaje de la matemática. Así como los propósitos específicos que se recomiendan para el tratamiento del concepto de función en el sistema de enseñanza; para esto, se realiza una revisión de los programas oficiales: plan y programas de estudio de secundaria, organización y secuencia de contenidos, libro para el maestro y el fichero de actividades, así como dos libros de texto utilizado por el estudiante. 3.1 Aplicación de la función lineal. Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia x n de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. LejeuneDirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Generalmente se hace uso de las funciones lineales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y". Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P = mx + b , donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes. En el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información. Esta dada por la formula y = mx + b donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta. 3.2 La solución de problemas en educación secundaria El programa de matemáticas vigente para la educación secundaria en la parte correspondiente al enfoque plantea en su propósito central: que el alumno fortalezca sus conocimientos y habilidades (operatorias, de comunicación y de descubrimiento) adquiridos en educación primaria, y aprenda a utilizarlas en la “solución de problemas”, no solamente las que se resuelven con los procedimientos y técnicas aprendidas en la escuela, sino también aquellos cuyo descubrimiento y solución requieren de la curiosidad y la imaginación creativa. (Plan y Programa. Secundaria, 1993). Santos Trigo (1997) afirma que: aprender matemáticas significa identificar los artefactos de la disciplina, esto es, sus conceptos y procedimientos. Otra idea de aprender matemáticas se relaciona con que el estudiante desarrolle o construya ideas matemáticas; y un aspecto esencial en el desarrollo de estas ideas es el proceso de “formular y resolver problemas” ya que desempeña un papel muy importante cuando se discuten las estrategias y el significado de las soluciones. Para la enseñanza, el proceso que se realiza se vuelve más importante que el resultado, ya que las matemáticas son una actividad cuyo fin último es resolver problemas. Los problemas interesantes no son aquellos para los que hay disponible un procedimiento de aplicación sino aquellos en los que hay que experimentar, conjeturar, intentar y descubrir. Trigo retoma algunas ideas de Schoenfeld (1983) y define a un problema en términos generales de la siguiente manera: Es una tarea o situación en la cual aparecen las siguientes componentes. a) La existencia de un interés; es decir una persona o un grupo de individuos quiere o necesita encontrar una solución. b) La no existencia de una solución inmediata; es decir, no hay un procedimiento o regla que garantice la solución completa de la tarea. Por ejemplo, la aplicación directa de algún algoritmo o conjunto de reglas no es suficiente para determinar la solución. c) La presencia de diversos caminos o métodos de solución (algebraico, geométrico, numérico, gráfico). d) La atención por parte de una persona o grupo de individuos para llevar a cabo un conjunto de acciones tendientes a resolver esa tarea. Para apreciar las matemáticas no basta con contemplar sus resultados, sino hay que involucrarse en ellas, hacerse preguntas e intentar responderlas. Así, un aprendizaje significativo de las mismas no puede reducirse a la memorización de hechos, definiciones y teoremas, ni tampoco a la aplicación mecánica de ciertas técnicas y procedimientos. Por lo cual es necesario que los alumnos aprendan a plantearse y resolver problemas en situaciones que tengan sentido para ellos y les permitan generar y comunicar nuevos conocimientos. Como se puede ver la resolución de problemas juega un papel fundamental en la enseñanza – aprendizaje de las matemáticas, por tal motivo, los problemas presentados deben dar a los estudiantes la oportunidad de explorar las relaciones entre nociones conocidas y utilizarlas para descubrir y asimilar nuevos conocimientos y que los puedan comunicar. Esta es, esencialmente, la naturaleza de la actividad matemática. 3.3 La función como objeto de aprendizaje El álgebra es un tema central del currículo escolar, es muy importante para todos los alumnos y no sólo para aquellos que van a continuar sus estudios. En nuestros días a quedado atrás la vieja idea de que aprender a leer y escribir, y un mínimo de conocimientos aritméticos y geométricos, permite desempeñar un trabajo o ejercer un oficio. La mayoría de empleos que se crean actualmente requieren de individuos con mayor preparación, capaces de asimilar nueva información y utilizarla para resolver problemas, así como acceder al uso de nuevos instrumentos o técnicas. Aun actividades que se han vuelto tan cotidianas y necesarias para el trabajo, como llenar un formulario o leer un instructivo o manual de operación, necesitan que las personas conozcan y estén familiarizadas con los modos de expresión simbólica y pensamiento abstracto que se desarrollan por medio del estudio del álgebra, como son poder extraer información de cuadros, tablas y gráficas. En educación secundaria; en primer grado el álgebra se inicia con algunos contenidos de preálgebra como es el uso de las expresiones con términos literales, primeras reglas sencillas de escritura algebraica, (el libro para el maestro recomienda que las actividades que se presenten, deben enfatizar el uso de situaciones concretas y su representación por medio de tablas de valores y gráficas, para que el alumno explore regularidades y patrones y aprenda a expresarlos simbólicamente). En el segundo grado se aborda el estudio de las ecuaciones lineales, trabajando con las regiones y subconjunto en el plano cartesiano y la iniciación al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y a su solución, se contemplan algunos temas de operaciones con monomios y polinomios. En el tercer grado se profundiza y completa el estudio de los temas anteriores y se introducen además los temas de productos notables, factorización y ecuaciones cuadráticas, poniendo énfasis en la factorización de polinomios de segundo grado y la solución de ecuaciones cuadráticas por diversos métodos. Se trabajan las funciones en sus representaciones algebraicas, tabulares y gráficas, familias de gráficas de la forma y = mx y y = mx + b , se cubren funciones lineales y cuadráticas. Para el caso de la función lineal se estudia su comportamiento a través de estas representaciones. 3.3.1 PLAN Y PROGRAMAS El plan y programas de estudio (SEP) son un medio para mejorar la educación, atendiendo las necesidades básicas de aprendizaje de los estudiantes, garantizando que la mayor permanencia en el sistema educativo se realice en la adquisición y consolidación de los conocimientos, las capacidades y los valores que son necesarios para aprender permanentemente dicho conocimiento. Las prioridades de este material son: ampliar y consolidar los conocimientos y habilidades matemáticas y las capacidades para aplicar la aritmética, el álgebra y la geometría en el planteamiento y resolución de problemas de la actividad cotidiana y para entender y organizar información cuantitativa. El plan y programa puntualiza que la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria tiene como propósito general que el alumno desarrolle las habilidades operatorias, comunicativas y de descubrimiento. Para ello, deben desarrollar sus capacidades para: o Adquirir seguridad y destreza en el empleo de técnicas y procedimientos básicos a través de la solución de problemas. o Reconocer y analizar los distintos aspectos que componen un problema. o Elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas. o Escoger y adaptar la estrategia adecuada para la resolución de un problema. o Comunicar sus estrategias, procedimientos y resultados de manera clara y concisa. o Predecir y generalizar sus resultados. 3.3.2 ORGANIZACIÓN Y SECUENCIA DE CONTENIDOS El propósito central de La secuencia y organización de contenidos es ofrecer a los maestros de matemáticas, una herramienta para la planeación de sus cursos, a través de sugerencias para establecer la adecuada progresión y organización de los contenidos de esa asignatura. El propósito fundamental que presenta este material para el tratamiento del tema de función es: Que el alumno se familiarice con los diversos medios de expresión matemática: la escritura simbólica, tablas, gráficas y fórmulas para explorar y presentar la relación entre dos cantidades variables, así como el uso y significado de expresiones donde interviene el término función. Esto deberá hacerse a través de: o Ejemplos de variación proporcional y lineal, usando tablas y gráficas para explorar si dos cantidades varían proporcional o linealmente. o Ejemplos que permitan comparar el crecimiento lineal o aritmético con otros modos de crecimiento. o Paso, en casos sencillos, de una tabla o una gráfica a la expresión algebraica de una función o viceversa (casos de funciones de las formas y = mx; y = mx + b). o Ejercicios de graficación de funciones lineales, estudio de familias de la forma y = mx, y = mx + b y dibujarlo en un mismo sistema de ejes coordenados. 3.3.3 LIBRO PARA EL MAESTRO El propósito general de este material de apoyo en la enseñanza de las matemáticas es enriquecer los recursos de que dispone el profesor para ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas, para así: desarrollar sus habilidades (calcular, inferir, comunicar, medir, estimar, generalizar, deducir), promover actitudes positivas (colaboración, investigación, respeto, perseverancia, autonomía) y adquirir conocimientos matemáticos. El propósito que se menciona para trabajar con el tema de función lineal es: » Utilizar constantemente los diversos medios de expresión matemática: lenguaje algebraico, tablas y gráficas en el planteo y la solución de problemas muy diversos y, en casos sencillos, desarrollar criterios para pasar de unos a otros. Sugiere que las actividades en clase deben escogerse de tal manera que los alumnos puedan darse cuenta del poder y la utilidad de las funciones para describir y modelar fenómenos del mundo real, de la física, la geometría, la economía y otros contextos, que se planteen actividades y problemas que conduzcan a los alumnos a elaborar tablas y gráficas a partir de la expresión algebraica de una función, y en casos sencillos, a buscar la expresión algebraica que corresponde a una tabla o a una gráfica de tal manera que ellos puedan comprender la utilidad de trabajar con las diversas formas de representación de la función lineal (con funciones de la forma y = mx , y y = mx + b ). Ejercicios de graficación de función y familias de gráficas de la forma y = mx + b , por ejemplo graficar en un mismo sistema de ejes coordenados la función y = mx + 1 , donde m puede tomar diferentes valores. Se menciona en seguida algunos de los ejemplos que el libro para el maestro recomienda al abordar este tema. 1. En los países de habla inglesa la temperatura se mide en grados Fahrenheit (°F) y no en grados Celsius o centígrados (°C) como lo hacemos nosotros. En la siguiente tabla están dadas, para algunos valores de la temperatura, las equivalencias entre los grados Celsius y Fahrenheit. °C °F -30 -22 -20 -4 -10 14 0 32 10 50 20 68 30 86 a) Representa gráficamente los valores de la tabla y utiliza la gráfica que obtienes para convertir las siguientes temperaturas de una escala a otra. -15°C, 5°C, 100°C, -50°F, 0°F, 100°F b) Encuentra una fórmula para pasar de grados Centígrados a Fahrenheit y otra para pasar de Fahrenheit a Centígrados. ¿Para qué temperatura la escala en grados centígrados y Fahrenheit marcan lo mismo? 2. Un agente de ventas recibe dos ofertas de empleo de una misma compañía: un salario base mensual de $500 más un 8% de comisión sobre las ventas, o bien un 15% de comisión sobre las ventas, sin salario base. Escribe en cada caso una fórmula para indicar cómo dependen los ingresos del agente de las ventas que realiza. Construye una tabla para comparar los ingresos posibles en cada caso, por ejemplo, ¿cuánto recibe en cada caso si vende 1000, 2000, 3000,… pesos? ¿En qué casos le conviene aceptar una u otra oferta? El objetivo de estas actividades es que los alumnos al resolver los problemas se vayan familiarizando con el traslado de un registro de representación a otro. 3.3.4 FICHERO DE ACTIVIDADES El fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Es un material de apoyo, dirigido a los maestros, en el que sugieren actividades de estudio para realizarlas con los alumnos. El propósito que enmarca este material referido al tema de función es: » Que los alumnos se familiaricen con los diversos medios de expresión matemática (la escritura simbólica, lenguaje algebraico, tablas y gráficas) y utilizarlos constantemente en el planteamiento y solución de problemas muy diversos y, en casos sencillos, desarrollar criterios para pasar de unos a otro. Los contenidos son: 1. El uso de tablas y gráficas para explorar si dos cantidades varían en forma proporcional y linealmente. 2. Paso de una tabla o gráfica a la expresión algebraica de una función. Las actividades que se sugieren en este fichero son para trabajarse por equipo, aquí se muestra un ejemplo: COMO PRIMERA PARTE: En equipos de 4 alumnos, formar en un geoplano polígonos que cumplan con las siguientes condiciones: a) El polígono debe tener en su interior un clavo. b) La liga no debe cruzarse consigo misma. Ejemplo Esta actividad se propone con el propósito de calcular el área de cada polígono obtenido y cuenten cuantos clavos hay en el perímetro, anotando los datos en el pizarrón para destacar lo siguiente: Todos los polígonos tienen un clavo en su interior, no todos tienen el mismo número de clavos en el perímetro, y no todos tienen igual área. SEGUNDA PARTE: Ahora con las mismas condiciones a) y b), formen en el geoplano polígonos con el número de clavos indicado por X en la tabla. x 3 4 5 6 7 8 9 10 y Donde x = número de clavos en el perímetro. y = área del polígono resultante. Una vez que hayan completado la tabla, deben responder lo siguiente: ◊ y ¿Se reconoce algún patrón en la forma de variación de y cuando varía x? ◊ Localicen en el plano cartesiano los puntos de la tabla anterior. ◊ ¿Son colineales esos puntos? ◊ Construyan una expresión algebraica que x relacione y con x. Los alumnos, al haberlo explorado en un geoplano se darán cuenta de que a un determinado número de clavos en el perímetro le corresponde una cierta área, en el cual si los alumnos tabularon y graficaron favorablemente observarán que los puntos son colineales, se recomienda aprovechar este momento para mencionarles que la relación entre x y y en este problema es una relación lineal. Se sugiere promover el análisis de la tabla y de la gráfica para que sean los alumnos quienes encuentren la expresión que relaciona ambas variables, y que la relación encontrada sea válida para todas las parejas. 3.3.5 LIBRO DE TEXTO PARA EL ALUMNO Se analizaron dos textos de tercer grado el de Bosch y Gómez, C. (2002) y el de Valiente y Gómez, S. (1999) en los cuales se encontró que el tratamiento de los contenidos de este material de apoyo tienen el propósito general de desarrollar las habilidades de comunicación, operativas y de descubrimiento, para que el alumno pueda construir su propio conocimiento. » En ambos textos, el propósito fundamental en el desarrollo del tema de función lineal se orienta en la familiarización con los diversos medios de representación y con más profundidad en la representación gráfica. En este material, para abordar el tema de función lineal, se sugieren ejemplos de: estiramiento de un resorte (ley de Hooke), pérdida del valor de un automóvil con el tiempo (devaluación), relación entre altura y peso, la velocidad de un automóvil, costo de la luz según el consumo; así como también en muchos fenómenos ocurre que una magnitud depende de otra. • El perímetro de un cuadrado depende del valor del lado. • El dinero que habrá de pagarse por la compra de lápices depende de la cantidad que se compre. • La longitud de una circunferencia depende de la medida del radio de la misma. • Cuando un objeto se va sumergiendo en un depósito con agua, la presión ejercida en él aumenta uniformemente. Se menciona que uno de los ejemplos más claros e importante de una función es el caso de un vehículo que se traslada, donde las posiciones del coche minuto a minuto se pueden representar en una gráfica, y en el caso más simple de que el automóvil recorra distancias iguales en tiempos iguales, los puntos de la gráfica quedan alineados, que es la representación que tiene una función lineal. Se señala que las funciones se pueden expresar mediante fórmulas, expresiones algebraicas, tablas de valores o en forma gráfica; además, la gráfica de una función es la serie de puntos en el plano cartesiano, en la que la primera componente es la variable independiente, y la segunda componente es la variable dependiente. La función con la cual se trabaja es de la forma y = mx + b . En este material se sugiere el trabajo con familias de rectas donde m y b toman diferentes valores ya sean positivos o negativos, como se muestra en el siguiente ejemplo, en este caso b toma el valor de 2 y m toma diferentes valores: m<0 m>0 En conclusión: el objetivo general tanto en los documentos oficiales como en el texto que utiliza el estudiante referidos al tema de función, en particular de la función lineal es: » Que el alumno se familiarice con los diversos medios de expresión algebraica, como tablas de valores, gráficas y fórmulas, en casos sencillos realizar la conversión entre ellos, es decir que de la fórmula o expresión algebraica pasar a una tabla de datos o a una gráfica, o viceversa, desarrollando sus habilidades (calcular, inferir, visualizar, comunicar). Es decir, que se presenten problemas interesantes que conduzcan a los alumnos a elaborar tablas y gráficas ya sea a partir de una expresión algebraica de una función, o viceversa, de tal manera que ellos comprendan la importancia de trabajar con las diversas formas de representación de la función lineal. Señala la importancia de la utilización en el planteamiento y la solución de problemas muy diversos, no sólo de la matemática, sino de problemas extraídos de la física, la biología, entre otros. 3.4 Tipos de representaciones Para tratar de comprender el mundo y sus experiencias, las personas construyen representaciones. Las representaciones, se basan en una función central del sistema cognitivo: simbolizar. Es decir, en la capacidad para concebir que algo tome el lugar de otra cosa. Una escritura, una notación, un símbolo, representan un objeto matemático: un número, una función, un vector,… Lo mismo los trazos y las figuras. Por su parte Paper (1993) señala que las representaciones mentales difícilmente pueden ser comunicadas o desarrolladas sin un soporte externo, por ejemplo el lenguaje, o cualquier otra forma de representación sobre el papel. Es decir, se necesita el soporte semiótico que suministran las representaciones externas para que el proceso comunicativo, tenga lugar, ha escrito un apoyo de esta posición: Uno de mis axiomas matemáticos es que la construcción que toma lugar “en la cabeza” con frecuencia es más exitosa si está apoyada por una construcción de naturaleza pública, “que está en el mundo” –un castillo de arena, una casa de lago, una corporación, un programa computacional, un poema, o una teoría del universo. Parte de lo que llamo “en el mundo”, es que el producto pueda ser mostrado, discutido, examinado, dirigido, y admirado. Está “ahí afuera”. En la investigación más reciente realizado por Hitt (2003) con estudiantes y profesores en formación para la escuela preuniversitaria, hace un análisis de la construcción de conceptos desde una teoría de las representaciones por parte de los estudiantes. Menciona sobre la importancia que juegan las diferentes representaciones de un concepto matemático en su construcción; y dice: “Sabemos que las representaciones de un concepto matemático, solo representan una parte del mismo, por lo tanto, el tratamiento de las diferentes representaciones del concepto es lo que nos permitirá su construcción”. Es decir, las tareas de conversión entre representaciones y la manipulación coherente de tales representaciones permitirán una sólida construcción del concepto en cuestión. Desde una perspectiva teórica, donde la tecnología no queda excluida pero tampoco es central, Duval (1998) citado por Hitt señala: “. . . estamos entonces en presencia de lo que se podría llamar la paradoja cognitiva del pensamiento matemático: por un lado, la aprehensión de los objetos matemáticos no puede ser otra cosa que una aprehensión conceptual y, por otro lado, solamente por medio de las representaciones semióticas es posible una actividad sobre los objetos matemáticos”. ¿Qué es Representación? (Del lat. representatĭo, -ōnis). Acción y efecto de representar. Figura, imagen o idea que sustituye a la realidad. Cosa que representa otra. Imagen o concepto en que se hace presente a la conciencia un objeto exterior o interior. Figura con que se expresa la relación entre diversas magnitudes. Término con el que se designa, en general, la reproducción mental de un objeto por parte de la conciencia, ya sea un objeto externo (una cosa) o interno (un estado del sujeto). De acuerdo a las consideraciones teóricas de Duval (1998), para la construcción de conceptos matemáticos el afirma que no basta trabajar las actividades dentro de un solo sistema de representación, sino que hay que realizar las tareas de conversión de una representación a otra, y viceversa. Son éstas las que favorecerán la construcción de los conceptos matemáticos. En cada representación se manifiesta una forma de mirar un mismo objeto desde distintas ópticas, en cada caso se atiende una perspectiva distinta que puede iluminar diferentes aspectos del mismo. Se menciona a continuación la forma de representación de la función lineal atendiendo a los documentos oficiales y el texto utilizado por el estudiante: Gráficos cartesianos: Es la presentación el plano cartesiano, incluyendo los convenios implícitos en la lectura de gráficos. Por ejemplo, interpretación de ejes coordenados, de unidades, etc. Permiten representar las funciones en forma muy clara y ayudan a sacar conclusiones respecto de las mismas. Cuando representamos movimientos en un gráfico cartesiano, a simple vista podremos darnos cuenta de lo sucedido con el vehículo en movimiento en el transcurso del tiempo. Cada punto del gráfico nos permite saber dónde se encuentra el vehículo en cada instante de tiempo. (Ver figura 1). D i s t a c i a Tiempo Figura 1. Tabla de valores: se compone de pareja de valores para las cuales a la primera de éstas se le conoce como abscisa, o variable independiente, y, a la segunda, como ordenada o variable dependiente. (Ver Figura 2). A partir de estas tablas, los alumnos encontrarán la regla que relaciona los números de la primera columna con los de la segunda y la expresarán simbólicamente, la cual son un antecedente importante en el tratamiento de la función lineal. T d 1 16 4 64 . 9 . . Figura 2. Expresión algebraica: expresado por medio de una ecuación o una fórmula. y = ax + m ó y = 2x + 3 Expresión verbal: En este caso, el lenguaje común es el utilizado para representar situaciones llamadas del mundo real. Estas pueden ser modeladas en cualquiera de los otros registros, ejemplo de expresión verbal: El precio de venta de un producto es igual al costo de éste, incrementado en un 35% debido a gastos administrativos y de publicidad. CAPÍTULO 4 ANÁLISIS DE LAS SECUENCIAS En este capítulo se presentan los resultados obtenidos en la aplicación de un instrumento de experimentación, la cual se aplicó a estudiantes de tercer grado de educación secundaria, como se especifica en la metodología utilizada en esta investigación. El análisis se realizó considerando las producciones de los estudiantes, tomando en cuenta las argumentaciones y el análisis de las gráficas con el propósito de detectar las dificultades de la conversión de un registro de representación a otra. Análisis de la secuencia 1 La primera actividad trata sobre la articulación entre el registro de representación gráfica y un contexto real3. A los alumnos se les presentó cuatro recipientes de diferentes formas pero con la misma capacidad y cuatro representaciones gráficas cuya variable independiente representaba la cantidad de líquido y la variable dependiente la altura del líquido durante el llenado del recipiente, se les solicitó que relacionaran ambas representaciones y que dieran su justificación el porqué lo relacionan de esa manera. Con el propósito de conocer si a partir de una figura ellos reconocen sus representaciones gráficas y cuáles son las argumentaciones que dan con respecto a la relación que realizan, se muestra enseguida la actividad. Actividad No. 1. Si a varios envases de distinta forma, pero de la misma capacidad, les viertes lentamente la misma cantidad de líquido, hasta llenarlos, y tratas de graficar la forma de llenado de cada envase, ¿cuál crees que correspondería a cada gráfica? 3 Actividad tomada y adaptada del libro de texto para el alumno de educación secundaria. a b c Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3 d Gráfica 4 Explica con tus palabras lo que aprecias y porqué lo relacionas de esa manera: ¿Alguna de éstas gráficas representa una función lineal, porqué? Dos estudiantes relacionan correctamente la figura b con la gráfica 2, uno justifica su respuesta y lo hace al visualizar la forma que toma cada figura y la gráfica, por ejemplo, en su justificación menciona que ambos contienen partes rectas, con lo que se puede contrastar que lo relacionan tomando en cuenta la forma del recipiente y no el estudio en términos del llenado del recipiente. Cuatro estudiantes relacionan correctamente las figuras a y b con sus respectivas gráficas, sólo un estudiante justifica, y lo hace en relación al tiempo de llenado del envase, su explicación lo da de la siguiente manera “la figura 1 la relaciono con la gráfica 3, porque creo que el agua entraría lentamente y es la forma que va tomando”. Dos estudiantes relacionan las figuras b y c correctamente, de ellos justifica uno, su explicación lo realiza al igual que en casos anteriores por la forma; dice que el envase c lo relaciona con la gráfica 3 porque tiene forma de curva y que la circunferencia también lo tiene, la figura b con la gráfica 2 porque tiene más partes rectas, menciona que los envases a y d “son de forma casi igual porque tienen la misma forma pero tienen la tapa en distintos lados”. Los cuatro estudiantes que relacionan correctamente todas las figuras con sus gráficas sólo un estudiante no justifica, de los tres que dan alguna explicación, dos lo relacionan por la forma que va tomando el recipiente y la forma de la gráfica, por ejemplo la gráfica 3 lo relacionan con el recipiente c porque ellos dicen que se parecen ya que ambos tienen forma ovalada, otro lo relaciona por el tiempo de llenado, menciona que del espacio del envase depende el tiempo, entre más espacio más tiempo necesita para llenarse, y por lo tanto es la forma que va tomando la gráfica. Siete estudiantes no realizaron ninguna relación correcta y un estudiante definitivamente no relaciona ni da justificación alguna. Hubo una mayor dificultad al relacionar los recipientes c y d, ya que en las argumentaciones que dieron se pudo contrastar que la relación lo hacen tomando en cuenta la forma del recipiente y la gráfica y no el estudio en un contexto analítico, la mayoría relacionó el recipiente c con la gráfica 3 por la forma ovalada del recipiente y de la gráfica; hubo mayor acierto con respecto a la gráfica 2 dado que en su argumentación mencionan que el recipiente con el que lo relacionan tiene más lados rectos. Estas dificultades y las argumentaciones que dan coinciden con las detectadas por Hitt (1996); en su investigación realizada con profesores de enseñanza media, donde les presenta las funciones representadas gráficamente y les solicita que lo representen en su contexto físico, y viceversa, la articulación de un contexto físico a una representación gráfica. Del total de estudiantes que participaron sólo dos identifican la gráfica que representa una función lineal y lo justifican de la siguiente manera: “porque es una línea perpendicular y recta”. Como se puede observar, no identifican con facilidad la gráfica que representa a dicha función, ya que los estudiantes no tienen una idea clara de la forma que toma la gráfica cuando se refiere a la representación gráfica de una función lineal, porque no se trata de una línea perpendicular como lo mencionan en su justificación. Se muestra la gráfica del porcentaje y la tabla del total de respuestas correctas, incorrectas y no contestadas por los estudiantes (ver Gráfica 1 y tabla 2). No contestó Incorrectas 80% 60% 50% 70% 55 % 70% 65 % 75 % Correctas 40% 30% 25 % 40% 30% 20% 5% 10% 5% 5% 5% 20% 0% 1 2 3 4 Gráfica 1. FIGURA GRÁFICAS Tabla 2. CORREC- INCO- NO CON- TAS RRECTAS TESTÓ 8 11 1 14 5 1 6 13 1 4 15 1 Análisis de la secuencia 2 Esta actividad se aplicó con la finalidad de conocer que tipo de representaciones conocen y utilizan. Actividad No. 2. Los pesos de objetos que se cuelgan de un resorte y los alargamientos que éste experimenta son directamente proporcionales. Completa la siguiente tabla y represéntala. (Modelo gráfico, algebraico, otros.) Peso Alargamiento (gramos) (cm.) 10 2 15 4 5 30 En esta actividad se observaron dos tipos de modelos. Modelo de representación que utilizan A B Utilizan modelo gráfico Representan por medio de gráficas de barras (histogramas). Tabla 3. No. Estudiantes 12 8 o De los doce estudiantes involucrados en el inciso A que utilizan modelo gráfico, seis utilizan el caso 1 y los otros seis el caso dos: Caso 1 Caso 2 En este caso el estudiante no considera el hecho para cuando hay ausencia de peso, además existe dificultad al identificar las variables dependiente e independiente, y se observa al momento en que ubican los valores en la gráfica, además, en ningún momento mencionan cuál es la cantidad que depende de la otra y de qué otra manera pueden representar dicha información. o De los ocho estudiantes que utilizan gráficas de barras, siete lo representaron como el caso 1 y un alumno lo representó como el caso 2. Caso 1 Caso 2 Al igual que en el modelo anterior existe la dificultad de identificar las variables. Se considera que es un tema ya conocido por ellos, han tomado al menos un curso específico a este tema, por lo que no se espera que el estudiante utilice este tipo de respuesta, y como lo menciona Hitt (1996); la dificultad de una tarea provoca que al no tener alternativas que ayuden a resolver el problema propuesto durante el proceso de resolución emergen ideas intuitivas (alguna de ellas erróneas) sin que el estudiante tenga conciencia de ello; en este caso se puede observar cuando el estudiante utiliza histogramas al querer representar la función lineal. Análisis de la secuencia 3. Esta actividad se presentó con el objetivo de ver si los estudiantes tienen alguna noción de función y cuáles son las argumentaciones que dan, además conocer que otro tipo de representación conocen, se esperaba que generalizaran sus respuestas dando a conocer la expresión algebraica y que además lo representaran por medio de una gráfica. Actividad No. 3. Un automóvil recorre 9 km. por cada litro de gasolina. ¿Ésta relación es una función? Si es así, explica porqué y represéntala. Número de litros Distancia recorrida 1 9 2 3 4 ¿De qué otra manera puedes representar esta relación? A pesar de la poca complejidad para completar la tabla se pudo observar una respuesta como la que sigue. En este caso, el estudiante no analiza el problema antes de darle solución, ya que su respuesta no tiene relación alguna con lo que se le pide. Se encontraron 5 tipos de representaciones como se muestran a continuación: o Tres estudiantes lo representaron por medio de un modelo pictórico4, aunque a estas alturas no se puede esperar que el estudiante utilice este tipo de representación, lo que indica que no tienen una noción clara del tema tratado, es necesario prestar más atención en este tipo de tareas. o Nueve estudiantes que tienen la noción de representar por medio de gráficas, cuatro de ellos representaron únicamente el plano, y no localizan ningún punto o algo relacionado con la actividad, cuatro de ellos trataron de representar su información, de la siguiente manera: 4 Trigo (1997) señala que cuando un estudiante resuelve un problema, es posible que pueda utilizar un modelo pictórico, y define que este modelo puede incluir figuras, dibujos o diagramas como un medio para representar el problema. o Dos estudiantes utilizan otro tipo de representación diferente como la que sigue: o Diez estudiantes mencionaron que otra manera de cómo podían representarlo es por medio de una simple multiplicación, pero no lo representaron de manera escrita, tienen dificultad al momento en que quieren comunicar de manera escrita su respuesta. Análisis de la secuencia 4. En esta actividad se les presentó una lista de cinco expresiones algebraicas de funciones lineales y se solicitó que lo graficaran, con el propósito de identificar algunas dificultades del paso de lo algebraico a lo gráfico, y ver si utilizan alguna otra forma de representación de intermedio para poder llegar a lo gráfico, se esperaba que los alumnos utilizaran como caso intermedio una tabla en donde ubicaran algunos valores dados para x y los obtenidos para y en cada expresión. (Se les da intencionalmente el plano cartesiano sin la numeración correspondiente en los ejes coordenados, para que ellos colocaran los valores y graficaran, ver anexo, Actividad No. 4). Actividad No. 4. Grafica las siguientes funciones: y = -2x y = 2x + 1 y = -3x + 2 y = -x – ½ y = 5x – 5 Participaron 25 estudiantes, nueve estudiantes definitivamente no dieron respuesta, de los restantes que contestaron, no hubo un solo estudiante que respondiera correctamente, lo que se pudo observar es, que para graficar localizan dos puntos en el plano cartesiano y trazan la recta correspondiente, y lo realizan de la siguiente manera: o Siete alumnos ubican el valor de m en el eje x y el valor de b en el eje y, dependiendo de que el valor sea positivo o negativo como se puede observar a continuación en las gráficas (ver gráfica 2). y = 5x – 5 y = -3x + 2 y = 2x Gráfica 2. En la justificación que dan tres estudiantes a sus respuestas, “los valores los coloqué de manera que se vieran representados en la gráfica”, “los puntos los tomé de acuerdo a los datos y los acomodé dependiendo en qué línea vayan y así uní los puntos” se puede observar claramente que toman directamente los valores que se le da en la función y los ubica en el plano cartesiano y no realizan ninguna transformación, como darle valores a x o utilizar alguna tabla para colocar los valores y enseguida graficar. Para el caso de la tercera gráfica se puede observar que localizaron únicamente un punto ya que la función carece de la constante b y no encontraron otro valor para graficarlo; sorprendentemente cometen el error de creer que los valores se pueden ubicar directamente en el plano cartesiano. o Los restantes (nueve estudiantes) colocan los valores de manera contraria al anterior, es decir, el valor de m lo ubican en el eje y y el valor de b lo ubican en el eje x, como se muestra en los ejemplos para las siguientes funciones (ver gráfica 3). y = 2x + 1 y = 5x - 5 Gráfica 3. La dificultad se concentra en la idea intuitiva que tienen, al considerar que es una manera correcta de poder graficar funciones, ubicando directamente los valores de los parámetros m y b en el plano cartesiano, además tienen una mala interpretación de la ubicación de los valores en los ejes coordenados. Janvier (1978) menciona que: algunas traducciones no son directas, sino que requieren de alguna otra forma de representación para poder efectuarse, como es el caso del proceso de ir de lo algebraico a lo gráfico, el estudiante acude, como caso intermedio, a la tabulación de la expresión algebraica, con lo que se obtiene una serie de valores que le permiten ubicar puntos en el plano cartesiano para así construir su gráfica correspondiente, a diferencia de estos resultados, los estudiantes sometidos a esta investigación no consideran importante este hecho, ya que no utilizan ningún medio de representación de intermedio, para obtener su gráfica, sino proceden de manera directa y erróneamente ubicando los valores de la función en el plano cartesiano. Como lo realiza el estudiante, la función y = 3 x + 1 el valor de m (3) no puede ubicarse directamente en el plano, ya que no indica la intersección con alguno de los ejes, sino que expresa la inclinación de la recta al eje x, y el parámetro b indica el desplazamiento de la recta sobre el eje y. Es la recta cuando el valor de m se ubica en el eje x y el de b en el eje y. Recta correcta para función y = 3x + 1 Esta es la recta cuando el valor de m se ubica en y y b en x. Para cuando se realiza el caso en que los valores de m y b se ubican en x y y respectivamente sufre un cambio con respecto a la pendiente, coincide únicamente en la intersección en el eje y, pero cuando los valores se ubican m en y y b en x no coincide con ningún punto. Análisis de la secuencia 5. Esta actividad se les presentó un conjunto de seis expresiones algebraicas y seis representaciones gráficas de funciones lineales, se pide al estudiante que identifique cual de las gráficas se corresponde con cada una de las expresiones algebraicas dadas, se trata de ver si el estudiante puede identificar directamente las variables visuales con los parámetros de la expresión algebraica, y si no es así, de qué herramientas se vale para convertir la expresión algebraica a la gráfica. (Ver las gráficas en anexo). Actividad No. 5. Relaciona las siguientes expresiones algebraicas con su gráfica, colocando en el paréntesis la letra que corresponda a la ecuación correcta. a) y = 1/5x + 1 b) y = x c) y = 2x – 4 d) y = 5x + 2 e) y = -x f) y = x + 2 En esta actividad se pudieron observar 11 tipos de respuestas de los cuales se describen en la siguiente tabla. A Relacionaron correctamente el inciso a 1 B Relacionaron correctamente el inciso c 1 C Relacionaron correctamente los incisos a y f 1 D Relacionaron correctamente los incisos a y d 1 E Relacionaron correctamente los incisos a y c 7 F Relacionaron correctamente los incisos b y e 1 G Relacionaron correctamente los incisos f y c 1 H Relacionaron correctamente los incisos f, b y e 1 I Relacionaron correctamente los incisos a, b, c y d 4 J Relacionaron correctamente los incisos a, c, d y f 3 K Relacionaron correctamente todos los inciso 7 Tabla 4. Con lo que se puede concluir que: Función Gráfica Correctas Incorrectas a) y = 1/5x + 1 24 4 b) y = x 13 15 c) y = 2x – 4 23 5 d) y = 5x + 2 11 17 e) y = -x 13 15 f) y = x + 2 13 15 Tabla 5. En esta actividad la gráfica de la función del inciso a) fue más fácil de identificar, posiblemente porque algunos valores de los parámetros m y b hacen intersección con los ejes, y los alumnos tienen la idea de considerar que las cantidades variables se pueden ubicar directamente en el plano, y para el caso de la expresión algebraica del inciso d) no se visualizan directamente estos valores en alguna de las gráficas para que se diera la relación. Se muestra en la siguiente gráfica el porcentaje total de alumnos que relacionó correctamente cada inciso (Ver Gráfica 4): Correcto 100% 86% Incorrecto 82% 80% 61% 54% 54% 60% 46% 39% 46% 54% 46% 40% 18% 14% 20% 0% 1 2 3 4 5 6 Gráfica 4. Análisis de la secuencia 6. Esta actividad se propuso con el fin de identificar si representan diferentes gráficas en las que muestren que la recta, pasa por el origen y en los cuadrantes II y IV cuando m < 0, o que la pendiente en este caso es negativa, para el caso cuando se trata de la función de la forma y = mx; o en los cuadrantes I y III cuando m es positiva; y se va aproximando al eje y cuando m toma valores muy grandes y al eje x cuando m es muy pequeño, es decir valores menores que 1 y mayor que 0. Actividad No. 6. Bosqueja la gráfica de las representaciones de la forma: y = mx Explica qué es lo que sucede cuando el parámetro m es: (Grafica). Caso 1: m > 0 y caso II: m < 0. Esta actividad se analizó con las producciones gráficas que realizaron los estudiantes, ya que la mayoría de ellos no justificó sus respuestas. Contestaron 18 estudiantes de los cuales se pudo observar que no tienen noción clara de los conceptos relacionados con el tema de función, en ningún momento mencionan que la recta tiene que pasar por el origen y no se detienen a pensar en qué sentidos se tiene que dar la inclinación cuando el parámetro m cambia de valores positivos o negativos, sus dificultades están asociadas a: No distinguen cuando se trata de valores positivos y negativos. Tres de ellos consideran la siguiente manera de representar: Dibujan una recta para cada caso pero para ellos no hay diferencia alguna para cuando m > 0 y m < 0. Mala interpretación de los ejes coordenados. Un estudiante solamente ubica un punto para cada caso y lo representa en el plano, y como obtiene un solo punto no traza ninguna recta. Ubica los puntos; sobre el eje y, en los positivos cuando m > 0 y en los negativos cuando m < 0. Dos estudiantes igual que en el anterior localizan un punto para cada caso, pero lo representan en un mismo plano y lo grafican de la siguiente manera. Localizan un punto, sobre el eje y, en los positivos cuando m > 0 y sobre el eje x en los negativos cuando m < 0, de esa manera obtiene puntos y traza su recta. dos Cinco estudiantes contestan de la siguiente manera: Cuando m > 0 ubican una recta de tal manera que ésta pasa por los cuadrantes II y IV, y cuando m < 0 la recta pasa por los cuadrantes I y III. Tres estudiantes lo resuelven de la siguiente manera. La recta pasa por los cuadrantes II y IV cuando m < 0 y en los cuadrantes I y III cuando m > 0, aunque no consideran el hecho de que la recta deba pasar por el origen. Dan valores a m y b y los ubican directamente en el plano cartesiano y trazan su gráfica. Cuatro estudiantes lo representan en una sola gráfica y lo que hacen es darle algún valor a m dependiendo si es positivo o negativo y lo localizan directamente en el plano cartesiano; de la misma manera como lo realizan los estudiantes en la actividad 4. Cuando m > 0, ubican un punto en el eje x y en el eje y, ambos positivos, y cuando m < 0 los ubican en ambos ejes negativos y trazan su recta. ¾ Para el caso cuando se refiere a la función de la forma y = mx + b. Cuando y = mx + b, se desplaza sobre el eje y cuando el parámetro b toma diferentes valores. Se esperaba que los estudiantes realizaran al menos dos gráficas para cada caso en la cual mencionaran que la recta sube o se desplaza en y > 0 cuando b > 0 y se encuentra en y < 0 cuando b < 0. Caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 m>0 b <0 m>0 b >0 m<0 b>0 m<0 b <0 o Diez estudiantes les dan diferentes valores a m y b dependiendo si son positivos o negativos, el valor de m lo ubica en el eje x y el valor de b en el eje y, lo hacen de manera directamente en el plano y enseguida trazan la recta correspondiente. Al igual que en los casos anteriores no se tiene alguna noción clara con el tema que se está tratando. o Cinco de ellos representan cada caso por una recta, pero únicamente da valores positivos a m y a b le da valores negativos, no toma en cuenta los valores que se consideran para cada caso. o Dos estudiantes grafican de tal manera que cuando ambos valores son positivos considera que la recta se encuentra en los cuadrantes I y II, da una breve explicación de sus respuestas como se muestra a continuación. A diferencia de los casos anteriores, este estudiante primero representa cada caso por medio de una ecuación, le da valores a x y obtiene la solución, después ubica los valores en el plano y traza su gráfica, se observa que tiene alguna idea en relación a este tema, pero no lo utiliza de manera adecuada, además realiza una mala interpretación de las variables, le da diferentes valores a x en la ecuación y al momento de ubicar los resultados en la tabla cambia los valores, considera que al momento de pasar de una representación a otra también tienen que cambiar los datos, además se detectan errores aritméticos. Caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS Se presenta en esta sección un resumen de los resultados arrojados por cada actividad. Actividad No. 1 En esta actividad hubo un mayor porcentaje de aciertos favorables en relación al segundo recipiente, ya que la mayoría de los estudiantes que argumentan sus respuestas mencionan que la figura dos tiene más lados rectos, por lo que le corresponde la gráfica que contiene la línea recta. Hubo un mayor porcentaje de errores en relación de la tercera y la cuarta figura, se pudo observar que las argumentaciones de los estudiantes están asociadas más por la forma de la gráfica y la figura. La forma del recipiente y no el estudio del fenómeno en un contexto analítico, fue lo que determinó que se les dificultara a la mayoría de los estudiantes no llegar a responder favorablemente. Actividad No. 2 En esta actividad se pudo observar que hubo una mayor inclinación en la utilización de la representación gráfica ya que el 60% lo representó de esta manera, el problema que se pudo detectar en estos alumnos fue la interpretación errónea de las variables, en ningún momento mencionan cual es la variable independiente y cual la dependiente, solamente el 20% colocó correctamente los valores y respondió al problema favorablemente lo que indica que no tienen idea clara de este tema. Actividad No. 3 En esta actividad el alumno interpreta el problema y se pudo observar en la tabla que completaron (sólo hubo un error), pero se les dificulta cuando tienen que expresar la información de otra manera y al momento en que tienen que generalizar su resultado, ya que el 32% menciona que otra manera de representarlo es por medio de una multiplicación pero no lo representan de manera escrita y además, aún tienen la idea de representar por medio de dibujos. Actividad No. 4 En la actividad No. 4 en donde, teniendo un modelo algebraico se les pide pasar a la representación gráfica, el 100% de los estudiantes no respondió favorablemente, su mayor dificultad se pudo detectar a partir de la numeración que colocaron en los ejes, no tienen noción clara de lo que es el plano cartesiano, ya que solamente siete estudiantes colocaron correctamente los valores, lo que indica que el 72% tiene problemas de cómo ubicar los valores en el plano, no les dan importancia del orden en que van estos valores o definitivamente no lo saben (ver figura 3), este tema es primordial que se viene tratando desde el primer grado de secundaria, además cometen el error de creer que los valores de los parámetros m y b se pueden ubicar directamente en el plano cartesiano, no tienen una noción clara de función lineal ni del plano cartesiano, de esta manera, no se puede esperar que el alumno pueda graficar correctamente las funciones lineales, los valores en los ejes los ubican de la siguiente manera. Dos alumnos tres alumnos dos alumnos Dos alumnos nueve alumnos Figura 3. Actividad No. 5 En esta actividad se observó que no utilizan ningún otro tipo de representación de intermedio cuando se trata de pasar de un modelo algebraico a un gráfico, hubo más aciertos en relación a las funciones de los incisos a) y c), menos del 50% contestó correctamente los incisos restantes (b), d), e) y f)), ya que la mayoría tiene la idea de ubicar directamente los valores numéricos que observan en la función, por lo que la relación lo realizaron de esa manera. Actividad No. 6 En esta actividad, analizando las gráficas que elaboraron los estudiantes se pudo observar que confrontan las mismas dificultades que se han observado en las actividades anteriores, por ejemplo, la mala interpretación los ejes coordenados, en ocasiones realizan solamente una gráfica donde ubican dos puntos, a m > 0 lo colocan sobre el eje x y a m < 0 lo ubican en el eje y, y trazan su gráfica, en ningún momento hacen mención a la pendiente, cuando es positivo o negativo, que expresa la inclinación de la recta al eje x, o que valores deben tomar los parámetros m y b para que la recta pase por el origen o se pueda desplazar sobre los ejes. Se considera que este tema debe ser conocido por ellos, ya que en los documentos oficiales revisados y los textos para el alumno, se orientan al trabajo con familias de rectas de la forma y = mx y y = mx + b, donde m y b se le asignan diferentes valores. CONCLUSIONES Nuestro estudio revela que los estudiantes muestran deficiencias conceptuales, de interpretación y falta de coordinación entre los registros algebraico, gráfico y tabular, tienen diferentes dificultades al pasar de la expresión algebraica a la gráfica, por ejemplo, creen que los valores de los parámetros m y b de las funciones pueden ubicarse directamente en el plano cartesiano, realizan una representación incorrecta de estos valores y muy pocos estudiantes justifican sus respuestas, lo que indica que no están acostumbrados a comunicar sus resultados. Además, ningún tipo de representación es favorecida por ellos, ya sea porque no tienen una idea clara relacionada con el concepto de función. Esto puede ser posiblemente a consecuencia de la enseñanza recibida por estos estudiantes, porque como lo señala Trigo “cuando se comete un gran número de errores en procedimientos simples, se puede pensar que es el resultado de un mal aprendizaje o que el estudiante es una copia fiel el cual sólo aprenderá eficientemente lo que el profesor le enseñe”. Las dificultades registradas no solo revelan un descuido notorio de las actividades de conversión por parte de la enseñanza, sino además una confianza excesiva de los estudiantes en los procedimientos que han logrado mecanizar y de los que no manifiestan tener una significación clara. Las dificultades para convertir una representación en otra pueden interpretarse como resultado de una conceptualización deficiente del objeto bajo estudio, la preparación es insuficiente en este tipo de tareas; en estas condiciones es muy difícil que los estudiantes puedan utilizar con éxito la función lineal como herramienta para resolver problemas. En este trabajo de investigación no estoy interesada en investigar al profesor; pero sería interesante que en una investigación posterior se realizara una investigación en este sentido para ver si las actividades con las cuáles trabajan los profesores en este nivel están apegadas a las sugeridas por los documentos oficiales, y si cumplen con las expectativas de desarrollar las habilidades que en estos documentos se puntualizan. RECOMENDACIONES Para favorecer el aprendizaje de la función lineal y el desarrollo del pensamiento conceptual, es fundamental que los alumnos puedan articular y realizar la conversión de las diferentes representaciones semióticas (por ejemplo: de una expresión algebraica pasar a la gráfica, de un enunciado en lenguaje natural a una expresión algebraica, o viceversa); para lo cual es necesario, enfrentarlos a suficientes problemas de articulación entre las distintas representaciones. El uso adecuado de los materiales de apoyo recomendados por la SEP (Plan y Programas, fichero de actividades, libro para el maestro) y los textos utilizados por el alumno, orientadas por el profesor, favorecerá el aprendizaje de la función lineal. El docente debe tener en claro las recomendaciones didácticas relacionadas con el concepto de función, sus características y representaciones, para orientar adecuadamente a los estudiantes durante su aprendizaje, además, se deben plantear problemas interesantes que tengan relación con los que se enfrentan en la vida cotidiana, de tal manera que motiven al estudiante a la búsqueda de soluciones, relacionando los conocimientos adquiridos y generando así nuevos conocimientos. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA Bosch, C. y Gómez, C. (2002). Matemáticas 3. Educación Secundaria. Plano cartesiano y funciones, 32- 52. Ed. Nuevo México. 2° Ed. Cruz, V. (1998) Familia de funciones: expresiones algebraicas y sus gráficas 2, págs. 111. La calculadora en el salón de clase. Ed. Iberoamérica. Diccionario de la real academia. Duval, R. (1998). Investigaciones en matemática educativa II. Registro de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento, págs. 173-201, Ed. Hitt, F., Grupo Editorial Iberoamérica. Fichero de actividades didácticas (1999). Matemáticas. Educación secundaria (SEP). Garbin, S. (2005, julio). ¿Cómo piensan los alumnos entre 16 y 20 años el infinito? La influencia de los modelos, las representaciones y los lenguajes matemáticos, págs. 169193. Revista RELIME Vol. 8, Núm. 2. González, M. Dificultades y concepciones de los alumnos de educación secundaria sobre la representación gráfica de funciones lineales. Extraído el 6 de julio del 2006. Disponible en http://www.iberomat.uji.es/carpeta/comunicaciones/77_teresa_gonzalez_2.doc [en línea]. Hitt, F., (1996) Investigaciones en Matemática Educativa, Sistemas semióticos de representación del concepto de función y su relación con problemas epistemológicos y didácticos, págs. 245-246. Ed Iberoamérica. Libro para el maestro (1997). Matemáticas. Secundaria (SEP). Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Plan y Programas de estudio (1993). Educación Básica. Secundaria. Trigo, L., (1997) Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. Pág. 30. Ed Iberoamérica. Ruiz, L., (1998). La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Tesis doctoral. Valiente, S. y Gómez, S., (1999) Matemáticas 3. Educación Secundaria. El plano cartesiano y funciones, págs. 16-41. Ed. Castillo. ALUMNO (A) __________________________________________________________ Analiza detenidamente cada cuestión y soluciónalo: 1. Si a varios envases de distinta forma, pero de la misma capacidad, les viertes lentamente la misma cantidad de líquido, hasta llenarlos, y tratas de graficar la forma de llenado de cada envase, ¿cuál crees que correspondería a cada gráfica? Explica con tus palabras lo que aprecias y porqué lo relacionas de esa manera: ¿Alguna de éstas gráficas representa una función lineal, porqué? a b Gráfica 1 Gráfica 3 c d Gráfica 2 Gráfica 4 ALUMNO (A) __________________________________________________________ 2. Los pesos de objetos que se cuelgan de un resorte y los alargamientos que éste experimenta son directamente proporcionales. Completa la siguiente tabla y represéntala. (Modelo gráfico, algebraico, otros.) Peso Alargamiento (gramos) (cm.) 10 2 15 4 5 30 ALUMNO (A) __________________________________________________________ 3. Un automóvil recorre 9 km. Por cada litro de gasolina. ¿Ésta relación es una función? Si es así explica porqué y represéntala. Número de litros Distancia recorrida 1 9 2 3 4 ¿De qué otra manera puedes representar esta relación? ALUMNO (A) __________________________________________________________ 4. Grafica las siguientes funciones: y = -2x y = 2x + 1 y = -3x + 2 y = -x – ½ y = 5x – 5 ALUMNO (A) __________________________________________________________ 5. Relaciona las siguientes expresiones algebraicas con su gráfica, colocando en el paréntesis la letra que corresponda a la ecuación correcta. ( ) ( ) ( ) a) y = 1/5x + 1 b) y = x c) y = 2x – 4 d) y = 5x + 2 e) y = -x f) y = x + 2 ( ) ( ) ( ) ALUMNO (A) __________________________________________________________ 6. Bosqueja la gráfica de las representaciones de la forma: y = mx Explica qué es lo que sucede cuando el parámetro m es: (Graficá) m>0 m<0 y = mx + b Cuando los parámetros m y b son: Caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 m>0 b <0 m>0 b >0 m<0 b>0 m<0 b <0