Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones

Ejercicios Resueltos de Derivadas y
sus aplicaciones:
1.- Sea la curva paramétrica definida por
a) Halle
, con
.
.
Solución:
b) ¿Para qué valor(es) de
, la curva tiene recta tangente vertical?
Solución:
2.- Halle para
:
a)
Solución:
b) La ecuación de la recta tangente a , en el punto
Solución:
3.- Si
Solución:
, verifique que es solución de la ecuación
.
4.- Determine la derivada de
Solución:
5.- Determine la derivada
para la curva
Solución:
6.- Dada la función
determine:
a)
Solución:
b) La ecuación de la recta tangente a
Solución:
7.- Calcule el límite:
Solución:
en
8.- Halle
si
.
Solución:
9.- Para la curva definida en forma paramétrica:
valores de donde la recta tangente es vertical.
halle el o los
Solución:
10.- Considere la función
. Calcule
que
, donde
.
Solución:
11.- Determine
Solución:
, si existe, para
.
es una función diferenciable tal
12.- Obtenga
si
.
Solución:
13.- Calcule, si existe, el valor de
de modo que
satisfaga la ecuación:
Solución:
14.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva, dada a través de la ecuación:
en el punto
Solución:
La ecuación de la recta tangente a la curva, descrita por
tiene la forma
, donde la pendiente
valorada en
.
15.- Determine si existe o no el
Solución:
para:
el punto
es la derivada de la función
16.- Dada la curva
, hallar:
a)
Solución:
b) La ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto
Solución:
17.- Dado
, hallar:
a)
Solución:
b)
Solución:
c) Máximos y mínimos absolutos
Solución:
18.- Sea
Determine el valor de L para que
sea continua en
.
Solución:
19.- Calcule, si existe:
Solución:
20.- Determine
.
Solución:
y
tal que:
sea continua en
y
21.- Calcule
para
e
, con
constante.
Solución:
22.- Calcule
para
.
Solución:
23.- Dada la curva
, determine la ecuación de la recta tangente en
.
Solución:
24.- Determine el punto donde la recta normal a la elipse
intercepta por segunda vez.
en
la
Solución:
25.- Una bola de nieve esférica se funde de tal modo que su volumen se reduce a una
. Con qué velocidad disminuye el diámetro cuando mide 10 cm.
velocidad de
Solución:
26.- Calcular:
Solución:
27.- Calcular la derivada de:
Solución:
28.- Encuentre los valores extremos relativos y absolutos de la función
en el intervalo
.
Solución:
definida por
29.- Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva
punto de intersección con la recta
.
Solución:
30.- Calcular:
Solución:
31.- Hallar
para la curva dada implícitamente por:
Solución:
32.- Hallar
Solución:
para:
en el
33.- Una bola de nieve se derrite tal que el área de su superficie disminuye a razón de
Hallar la razón en que disminuye el radio, cuando su área es de
.
Solución:
34.- Si
en
.
Solución:
35.- Dada la función
, ¿Qué valores de
, satisfacen la ecuación:
Solución:
36.- Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva:
punto
Solución:
.
en el
.
37.- Calcule:
Solución:
38.- Dada la función:
a) Determine los máximos y mínimos relativos de la función
Solución:
b) Determine intervalos de crecimiento y decrecimiento
Solución:
c) Determine puntos de inflexión si existen
Solución:
d) Determine intervalos de concavidad
Solución:
Cóncava hacia abajo en
Cóncava hacia arriba en
39.- Una escalera de
forma horizontal a razón de
la escalera se encuentra a
de largo se apoya en una pared. Si la escalera se desplaza en
, ¿a qué razón varía el extremo superior cuando el pie de
de la base?
Solución:
40.- Encuentre las dimensiones de una caja de base cuadrada, sin tapa cuyo volumen es de
y su superficie sea mínima.
Solución:
41.- Sea
donde
son números reales constantes.
Determine el valor de dichas constante de tal forma que se verifique la condición:
Solución:
42.- Sea
la función definida por:
a) Determine los intervalos del dominio de
decreciente
en donde la función es creciente y donde es
Solución:
b) Determine, si existen, los valores extremos de la función f
Solución:
43.- Sea
dada por:
a) Determine el dominio de
Solución:
b) Calcule:
Solución:
c) Encuentre
Solución:
44.- La cantidad de jóvenes de una Universidad, que se inscriben para participar en
actividades de ayuda a la comunidad en cierto año se modela mediante la función
, donde denota los meses del año numerados del al , desde
Enero, ¿En qué mes se produjo el máximo de jóvenes inscritos? ¿Cuál fue el número
máximo?
Solución:
350
300
250
200
F(x)=x^3-15x^2+63x
150
100
50
0
1
2
3
4
5
45.- Calcule la derivada de:
Solución:
6
7
8
9
10 11 12
46.- Encuentre números reales
:
Solución:
47.- Si
:
a)
Determine
y
Solución:
b) Demuestre que
Solución:
y
de modo que la siguiente función
sea continua en
48.- Calcule la derivada de:
Solución:
49.- Calcular
de:
Solución:
50.- Determinar los coeficientes
de tal manera que la curva
por el punto
y la recta tangente en
sea paralela a la recta
Solución:
51.- Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la ecuación
, en un punto donde la abscisa sea el valor opuesto a la ordenada.
Solución:
pase
.
52.- Pruebe que:
Solución:
53.- Pruebe:
Solución:
54.- Derive aplicando teoremas:
Solución:
55.- Dada la función:
a) Determine para que valores de
anula.
Solución:
en el dominio de la función
se verifica que
se
b) Determine para que valores de
existe.
en el dominio de la función
se verifica que
no
Solución:
56.- Dada la función
cuya abscisa es
determine la ecuación de la recta tangente y recta normal en el punto
.
Solución:
57.- Pruebe que la función
es constante.
Solución:
58.- En la fabricación y venta de unidades de cierto bien, el precio por artículo esta dado
por
(dólares) con un costo total anual de
(dólares).
Determine el nivel de producción que producirá la máxima utilidad.
Solución: