Sistemas de referencia y de coordenadas

Transcripción

Capítulo 1
Sistemas de referencia y de
coordenadas
1.1.
Introducción
La posición de un punto se expresa en un sistema de coordendas respecto a un determinado
sistema de referencia.
En este capítulo se estudian los sistemas de referencia y de coordenadas utilizados en topografía.
El hecho de que el GPS se haya convertido en uno de los instrumentos más empleados en los
trabajos topográ…cos obliga a abordar el estudio de los sistemas de referencia geodésicos con el
rigor necesario.
Una de las funciones de la geodesia es determinar las coordenadas de puntos de la super…cie de
la Tierra a partir de mediciones relativas. Para ello se necesita situar en el espacio un sistema de
coordenadas y contar con modelos funcionales que relacionen las mediciones con las coordenadas,
aspectos ambos contemplados por el sistema de referencia geodésico.
En este capítulo se introducen los conceptos de sistema de referencia geodésico, datum y marco
de referencia, se describen los sistemas de referencia empleados en España y se aborda la transformación entre sistemas de referencia.
En la actualiadad existe un proceso de normalización de la información geográ…ca que también
afecta a los sistemas de referencia y de coordenadas. En este sentido, en un apartado de este
capítulo se hace referencia a la norma ISO-19111 y a bases de datos estándar.
Al …nal del capítulo se estudian los denominados sistemas de referencia locales, que no son sino
un caso particular del sistema de coordenadas astronómico local.
1.2.
1.2.1.
Sistemas y marcos de referencia geodésicos
El concepto de sistema de referencia geodésico
Las observaciones geodésicas clásicas son ángulos y distancias medidos entre puntos materializados en el terreno. En la actualidad se emplean preferiblemente mediciones electrónicas de distancias
efectuadas a satélites arti…ciales. En cualquier caso, el resultado es siempre una medición relativa
que por sí misma no permite obtener coordenadas absolutas. Es necesario relacionarla con objetos
cuyas coordenadas sean conocidas, lo que exige haber establecido previamente un sistema de referencia geodésico y por ello, entre las funciones de la geodesia se encuentra la de…nición de sistemas
de referencia.
De…nición 1 Se denomina sistema de referencia geodésico al conjunto de parámetros que permiten
de…nir una estructura geométrica para situar puntos del espacio y describir el modelo funcional de
las observaciones.
A efectos de representar planimétricamente la super…cie terrestre, a los sistemas de referencia
geodésicos se les suele asociar también un elipsoide como aproximación de la …gura de equilibrio o
1
2
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE REFERENCIA Y DE COORDENADAS
geoide. La determinación del elipsoide de referencia incluye, además de los aspectos geométricos de
forma y tamaño, parámetros físicos como la constante gravitacional, masa terrestre total, potencial
en su super…cie, velocidad de rotación, etc., que también forman parte de la de…nición de sistema
de referencia geodésico.
El modelo funcional relaciona las mediciones con las coordenadas: función distancia, función
acimut, ... La descripción rigurosa del modelo funcional exige contemplar todos los aspectos físicos
que intervienen en la medición: campo gravitatorio, refracción atmosférica, aspectos geodinámicos,
etc. Gran parte de las constantes físicas necesarias para establecer el modelo funcional acompañan
a la de…nición sistema de referencia geodésico: velocidad de la luz c, de…nición del segundo, campo
gravitatorio, ...
La descripción rigurosa del modelo funcional es importante ya que, partiendo de las mismas
mediciones, dos modelos funcionales diferentes producirán para los puntos coordenadas diferentes.
Además, considerar unas determinadas constantes físicas en un sistema de referencia también puede
in‡uir en las mismas mediciones. Por ejemplo, una medición electrónica de distancias se basa en la
propagación de una onda electromagnética y la distancia resultante es un valor obtenido a partir
de considerar un cierto valor para la velocidad de propagación de la luz en el vacío. Si se adopta
un valor de c distinto, las distancias cambian, la escala de la red cambia y, en de…nitiva cambian
las coordenadas.
1.2.2.
El concepto de datum
En el presente texto emplearemos la siguiente de…nición:
De…nición 2 Se denomina datum geodésico al conjunto mínimo de parámetros que permiten
de…nir de forma única la situación y orientación de un sistema de coordenadas para …nes geodésicos
Existen diferentes formas de de…nir un sistema de referencia geodésico:
1. Proporcionando la situación del origen y orientación de los ejes de un sistema cartesiano.
2. Mediante un conjunto de puntos materializados y dotados de coordenadas respecto a un
sistema de referencia geodésico.
3. Mediante unos parámetros de transformación que permitan relacionar el sistema de referencia
con otro previamente de…nido.
La primera forma de situarlo es una de…nición física del sistema, ya que exige la determinación
de ciertos aspectos relacionados con la geodinámica terrestre: geocentro, eje de rotación, etc. Para
…nes prácticos, las instituciones geodésicas suelen proporcionar el datum en las formas descritas
en los dos últimos apartados.
La forma más habitual de materializar el datum es mediante una serie de puntos convenientemente materializados sobre la super…cie terrestre y dotados de coordenadas respecto a un determinado sistema de referencia, es decir, las redes geodésicas. En la actualidad, la monumentación de
los vértices puede incluir receptores GPS de observación continua, cuyas mediciones son puestas a
disposición de los usuarios.
Pero no todos los sitemas de referencia están materializados sobre la super…cie terrestre. Por
ejemplo el sistema de referencia WGS84, empleado por el GPS, lo materializa la constelación
de satélites NAVSTAR junto con sus efemérides. Como las efemérides transmitidas tiene una
incertidumbre de varios metros, las coordenadas referidas al sistema WGS84 de un punto sobre la
super…cie terrestre presentan una variación similar.
Desde el punto de vista geométrico, la de…nición de unos ejes cartesianos exige …jar seis parámetros: tres coordenadas para situar el origen (X0 ; Y0 ; Z0 ) y tres giros para orientar los ejes (! x ; ! y ; ! z ).
Por tanto, prescindiendo de la super…cie de referencia y de las constantes físicas, son seis los
parámetros que constituyen el datum.
En el supuesto de redes planimétricas se introduce el concepto de datum horizontal. El datum
horizontal consiste en un elipsoide de referencia convenientemente orientado en el espacio. La forma
y tamaño del elipsoide se de…ne a partir de dos constantes geométricas, el semieje mayor a y el
1.2. SISTEMAS Y MARCOS DE REFERENCIA GEODÉSICOS
3
aplanamiento f , por ejemplo. La forma tradicional de orientar un elipsoide en el espacio consiste
en establecer en el denominado punto fundamental, de coordenadas astronómicas ( 0 ; 0 ; H0 ), los
siguientes parámetros:
'0
0
h0
0
0
0
latitud geodésica del punto fundamental
longitud geodésica del punto fundamental
altitud elipsódica del punto fundamental
desviación de la vertical en dirección del meridiano
desviación de la vertical en dirección del primer vertical
acimut geodésico a otro punto de la red
Adicionalmente, a efectos de asegurar el paralelismo entre el eje menor del elipsoide y el eje
Z del sistema cartesiano geocéntrico, se impone en el punto fundamental el cumplimiento de las
ecuaciones
'0 = 0
0
(
0 ) cos '0
0
=
0
Bajo estas condiciones, en cualquier punto de la red se cumple la ecuación de Laplace que
relaciona acimutes astronómicos y geodésicos:
Aij
ij
=
i
tan 'i = (
i
i ) sin 'i
Conviene resaltar que, si se asume que la escala viene de…nida por el instrumental distanciométrico utilizado en las mediciones, para …jar la situación planimétrica de una red únicamente
es necesario conocer las coordenas geodésicas de un punto y un acimut de partida.
Los seis parámetros topocéntricos '0 , 0 , h0 , 0 , 0 y 0 equivalen a los seis parámetros que
de…nen el datum en un sistema cartesiano geocéntrico: tres traslaciones y tres rotaciones. Sin
embargo, ambos grupos de parámetros no pueden relacionarse de forma directa.
Cuando el datum se proporciona en forma de parámetros de transformación se suele incluir
un séptimo parámetro para de…nir la escala a efectos prácticos. En este caso los parámetros que
de…nen el datum serían Tx ; Ty ; Tz ; ! x ; ! y ; ! z ; ".
1.2.3.
El concepto de marco de referencia geodésico
Un sistema de referencia geodésico, tal como se ha de…nido, es algo abstracto. Para ser utilizado
en la práctica ha de ser materializado mediante un datum. La forma más habitual de de…nir un
datum con …nes geodésicos y topográ…cos es establecer un marco de referencia
De…nición 3 Se denomina marco de referencia a una red integrada por un conjunto de puntos
materializados y dotados de coordenadas respecto al teórico sistema de referencia geodésico.
La …gura 1.1 ilustra la de…nición anterior.
Figura 1.1: Concepto de marco de referencia
4
La materialización puede llevarse a cabo mediante monumentación o bien mediante un instrumento de medición puesto en estación, como por ejemplo, un receptor de GPS.
Una red geodésica es un conjunto de puntos convenientemente materializados 1 sobre el terreno
entre los que se ha efectuado observaciones geodésicas con la …nalidad de obtener sus coordenadas
respecto a un determinado sistema de referencia, así como su precisión y …abilidad en términos
absolutos y relativos. Una vez proyectada, observada, calculada y compensada, una red geodésica
constituye la materialización del sistema de referencia o marco de referencia y como tal, sirve de
apoyo a las labores topográ…cas y cartográ…cas.
El datum está implícito en el marco de referencia, pero depende de la solución adoptada. La
solución obtenida para las coordenadas de los vértices que constituyen una red geodésica dependen
de las mediciones consideradas y del modelo funcional empleado el marco de referencia.
Por ejemplo el sistema de referencia europeo, denominado ETRS89 es mantenido de forma
precisa mediante sucesivos marcos de referencia: ETRF89, ETRF90, ..., ETRF00, etc. Pero las
instituciones geodésicas de cada país suelen densi…car dichos marcos mediante redes geodésicas
que son observadas, calculadas y posteriormente ajustadas. Así, a efectos prácticos, el ETRS89
está materializado en la península ibérica por la solución IBERIA95, por la solución IGM95 en
Italia, la solución RGF93 en Francia,etc.
Para realizar un levantamiento topográ…co en ETRS89, la forma más sencilla es enlazar el
trabajo a dichas densi…caciones.
El problema que se plantea a la hora de de…nir el datum geodésico a partir de un marco de
referencia es la inexactitud de las coordenadas. Si las coordenadas de todos los marcos de referencia
fuesen exactas, el datum implícito en ellos estaría de…nido de manera única y por tanto existirían
unos los parámetros de transformación únicos para relacionar dos sistemas de referencia. Pero las
coordenadas, obtenidas a partir de procesos geodésicos de medición, presentan siempre errores
absolutos y relativos que impiden de…nir de forma exacta el datum geodésico.
Cada marco de referencia, o subconjunto del mismo, de…ne un datum diferente y por tanto la
transformación de coordenadas entre dos sistemas de referencia geodésicos se reduce, en la práctica,
a una transformación entre los marcos de referencia implicados.
Para mantener la precisión del sistema de referencia geodésico a lo largo del territorio se necesitan marcos de referencia precisos que a su vez se sustentan en redes geodésicas con buena precisión
relativa y absoluta.
A modo de conclusión se puede a…rmar que, desde un punto de vista práctico:
Para realizar un levantamiento topográ…co respecto a un determinado sistema de referencia
geodésico las mediciones han de estar enlazadas al correspondiente marco de referencia que
lo materializa.
La precisión del sistema de referencia geodésico en una determinada zona se corresponde con
la precisión de las coordenadas que localmente presenta el marco de referencia.
La precisión del marco de referencia depende de la calidad de la red geodésica llevada a cabo
para su establecimiento.
1.2.4.
Sistemas de referencia geodésicos utilizados en España en la actualidad
Entre los sistemas de referencia geodésicos más empleados en España se encuentran:
ED50. Es el sistema de referencia o…cial de la cartografía española.
WGS84. Es el sistema de referencia al que están referidas las efemérides transmitidas por
los satélites de GPS y por tanto, es el sistema al que están referidas las coordenadas y los
vectores obtenidas al emplear dichas efemérides.
ETRS89. Es el sistema de referencia europeo y está basado en el ITRS.
ITRS. De…nido y mantenido por el IERS es el sistema de referencia terrestre más preciso.
1 La
materialización de los puntos puede ser mediante monumentaciones tradicionales o bien mediante receptores
de GPS puestos en estación y observando de forma permanente.
1.2.4.1.
5
Sistema de referencia geodésico Ed50
El ED50 (European Datum 1950 ) es el sistema de referencia vigente en la geodesia y cartografía
españolas, tanto en el ámbito civil como en el militar. Es un sistema de referencia obtenido por
el procedimiento tradicional de adaptar un elipsoide al geoide en una determinada zona, Europa
Occidental en concreto. Los parámetros que lo de…nen se muestran a continuación:
Punto astronómico fundamental ( PAF ): Potsdam:
'0
0
= 52 21051:004500
= 13 03058:007400
Desviación relativa de la vertical en el PAF:
= 3:003600
0 = 1:007800
0
Acimut de referencia: Orientación mediante numerosos acimutes Laplace.
Elipsoide de revolución incluido como super…cie de referencia: Internacional de Hayford,
a = 6378388
f = 1=297
Ondulación del geoide en el PAF: No se encuentra información.
Junto a los parámetros geometricos anteriores se adoptó, para los cálculos dinámicos, la fórmula
de gravedad normal de Cassinis-Silva-Heiskanen-1930,
= 9;78094 1 + 0;52884 sin2 '
0;0000059 sin2 (2') ms
2
Durante la Segunda Guerra Mundial, el ejército americano había encontrado serias di…cultades
para manejar la cartografía europea. Cada país contaba con un sistema de referencia diferente y
eran varios los sistemas de proyección cartográ…ca utilizados. Una vez concluida la contienda, los
EEUU abordaron decididamente la solución a este problema en previsión de futuros con‡ictos y
sugirieron la adopción de un sistema de referencia único para toda Europa Occidental, así como la
utilización de la proyección UTM. Para la de…nición del sistema de referencia geodésico europeo
común, los EEUU solicitaron a los diferentes países las mediciones geodésicas de sus redes geodésicas
de primer orden, y el AMS2 realizó una compensación conjunta publicada en 1950, cuya solución
constituyó el ED50.
El sistema de referencia ED50 supone el primer intento de uni…car el sistema de referencia geodésico para Europa Occidental, disponiéndose además de una red geodésica planimétrica uni…cada.
La exactitud continental del sistema de referencia ED50 oscila entre unos pocos metros en el
centro de Europa y más de diez metros en el extremo sur. Esto supone, para el caso de la red
geodésica española, una precisión relativa de unas 10 ppm:, que representa aproximadamente 10
cm: entre vértices separados 10 km: Esta precisión es completamente válida para la mayoría de los
…nes cartográ…cos, aunque es insu…ciente cuando se emplea instrumental de 1 3 ppm: de precisión
relativa , como es el caso del GPS o de los distanciómetros.
Desde el momento en que los países implicados recibieron las coordenadas en ED50, los respectivos organismos geodésicos comenzaron a analizarlas para detectar posibles errores que afectasen
a la solución. Para uni…car esta labor, la IAG constituyó en Roma, en su asamblea internacional de
1954, la Subcomisión RETrig3 para el Reajuste de la Triangulación Europea. El objetivo de esta
comisión de trabajo era analizar la solución entregada por el AMS e introducir sucesivas mejoras
a la misma con la inclusión progresiva de nuevos datos.
2 American
Mapping Service.
of Triangulation.
3 REadjustment
6
Se obtuvieron soluciones transitorias como ED77 y ED79. En estas nuevas soluciones se adoptó
Munich como punto astronómico fundamental.
Posteriormente se incluyeron observaciones de geodesia espacial entre las que se encontraba
el GPS, que comenzaba a ser operativo, aunque con escasa cobertura. La solución obtenida se
denominó ED87, dando RETrig por concluida su misión. La exactitud absoluta continental de esta
solución era del orden de los 2 m. La instauración del sistema GPS produciría un cambio en el
planteamiento de la búsqueda de la de…nición de un sistema de referencia geodésicos global, así
como de su marco de referencia geodésico, tal y como se estudia en las dos secciones siguientes.
El marco de referencia geodésico en ED50 lo constituyen hoy día la Red de Primer Orden, la Red
de Orden Inferior (ROI) y la Red de Nivelación de Alta Precisión (RNAP). A la red planimétrica
se la denomina RE50.
Las primeras redes horizontales o planimétricas se desarrollaron en el siglo XVIII y las últimas
se llevaron a cabo hace tan sólo unas décadas. Para cubrir en su totalidad el territorio se establecía
un jerarquía de redes u órdenes:
Primer orden
Segundo orden
Tercer orden
En la actualidad, en la red geodésica planimétrica española se pueden establecer dos categorías
de vértices, que conforman a su vez dos tipos de red:
Red de primer orden.
Red de Orden Inferior (ROI)
Las redes anteriores son competencia del Instituto Geográ…co Nacional (IGN). En la mayor
parte de Comunidades Autónomas se han establecido densi…caciones de la ROI, dando lugar al
denominado cuarto orden, salvo en contadas excepciones, como es el caso de Castilla - La Mancha.
La red de primer orden tenía como objetivo principal de…nir el sistema de referencia geodésico
y por tanto, sus vértices y coordenadas constituyen el marco de referencia fundamental para el
resto de los órdenes. La primera fase de estas redes, típicas del siglo XIX, solía estar formada por
cadenas de triángulos siguiendo aproximadamente líneas de meridianos y paralelos. Esta primera
fase era posteriormente densi…cada, dando lugar a una red de primer orden que cubría todo el
territorio, ilustración de la izquierda de la …gura 1.2.
Las principales características de la antigua red red de primer orden española son:
Longitud de lado 30 Km - 60 Km.
Observación angular nocturna con teodolito de décima de segundo y método Schreiber, lo
que permitía alcanzar precisiones de (0”,3-0”,5), lo que representa 0,04 m. - 0,08 m,
es decir unas 2 ppm.
Distanciometría láser 5mm + 1 ppm (
0,03 m. -
Distanciometría microondas 20 mm + 4 ppm (
0,06 m).
0,14 m. -
0,20).
Observaciones astronómicas
latitud y longitud
acimutes 0”,5
0”,2-0”,5 !
15 m
En el caso de la red geodésica española, las coordenadas de los vértices de primer orden en
el sitema de referencia ED50 fueron calculadas por el AMS de los Estados Unidos a partir de las
mediciones angulares.
Una vez observada, calculada y ajustada la red de primer orden, el sistema de referencia geodésico quedaba materializado. A partir de ahí se densi…caba la triangulación mediante la red de
segundo orden.
Las principales características de la red de segundo orden española eran las siguientes:
7
Figura 1.2: Red de Primer Orden y Red de Orden Inferior
Longitud de lado 15 Km -20 Km.
0bservación angular nocturna con teodolito de décima de segundo y método de pares a la
referencia 0”,5-0”,8 ( 0,05 m)
Distanciometría microondas 20 mm + 3 ppm (
0,06 m. -
0,10 m).
El tercer orden densi…caba la red de segundo orden. Las principales características de la red de
tercer orden española eran las siguientes:
Longitud de lado 4 Km - 8 Km.
Observación angular diurna con teodolito de segundo y método de vuelta de horizonte
! 0,05 m. - 0,10 m.
10”
Observación de ángulos verticales con teodolito de segundo.
Distanciometría microondas 20 mm + 2 ppm!
0,03 m. -
0,05 m.
Posteriormente las redes de segundo y tercer orden fueron integradas dando lugar a la red de
orden inferior o ROI, ilustración derecha de la …gura 1.2. En general, la metodología empleada fue:
Observación angular diurna con teodolito de segundo y método de vuelta de horizonte
! 0,05 m. - 0,10 m.
10”
Observación de ángulos verticales con teodolito de segundo.
Distanciometría microondas 20 mm + 2 ppm!
0,03 m. -
0,05 m.
En las redes de tercer orden, además de observar angules acimutales, se observan también
ángulos cenitales. A partir de éstos, es posible determinar, mediante nivelación trigonométrica, las
diferencias de altitud entre los vértices geodésicos. La altitud de éstos respecto a la red altimétrica
se obtiene enlazando a los clavos de la red N.A.P.
La construcción de la ROI se …nalizó en 1993. Está constituida por 10944 vértices y constituye
un marco de referencia homogéneamente distribuido a lo largo del territorio, con una densidad
media de casi 3 vértices por cada 100 km2 , lo que supone una distancia entre los mismos de
entre 5 y 10 km ( 3 mínimo,12 máximo). La con…guración de la red permite la observación angular
asegurando la visibilidad entre un vértice y al menos la mayoría de los que le rodean. A cada vértice
geodésico se le asigna un nombre y el número de 6 cifras, siendo las tres últimas el número de la
8
hoja del Mapa Topográ…co Nacional. La ROI es el marco de referencia que materializa el datum
ED50 en España. Entre vértices adyacentes, la precisión relativa de sus coordenadas planimétricas
está entre 10 y 30 cm. La precisión relativa altimétrica es inferior.
Figura 1.3: Vértice geodésico Riachuelos, perteneciente a ROI y Regente
Como resultado de las conclusiones adoptadas en la reunión de Berlín por la Asociación Internacional de Geodesia (AIG) en 1867, se iniciaron los trabajos de instauración de redes de nivelación
de precisión en los países que la integraban. Ese año dieron comienzo los trabajos en España.
El origen de altitudes adoptado fue el nivel medio del mar en Alicante. En el puerto de Alicante
se materializó la señal NP1 a la que se trasladó altitud por nivelación desde una escala de mareas
a la que se dió altitud a través de la observación de cuatro lecturas diarias entre el 1 de julio de
1870 y el 30 de julio de 1872.
Posteriormente se decidió que el punto de referencia debía estar en un lugar sólido y centrado en
el territorio nacional decidiéndose su emplazamiento en el Observatorio Astronómico de Madrid,
señal NP 26. Para contrastar la estabilidad de esta señal se enlazó al denominado polígono de
9
Madrid: Puerta de Alcalá (NAP), Museo Nacional de Pinturas (NPM), Ayuntamiento (NPC) y
Palacio Real (NPP).
Las líneas de nivelación transcurren generalmente por carreteras, vías de ferrocarril, etc. lo
que permite cumplir los exigentes requisitos de la NAP y conseguir las altas precisiones que la
caracterizan. Por tanto, no suelen coincidir con los vértices geodésicos, ni forman triangulación,
sino una malla compuesta por polígonos cerrados, tal como muestra la …gura 1.4.
Están monumentadas mediante los denominados clavos de nivelación, que dependiendo del
orden, pueden presentar diferentes formas. Los clavos de la red N.A.P. suelen ser de metal anticorrosivo, con bajo coe…ciente de dilatación y cabeza semiesférica, con la …nalidad de situar, de forma
precisa el talón de la mira. Su construcción ha de garantizar una gran estabilidad en el espacio a lo
largo del tiempo. Los clavos de nivelación se suelen incrustar en roca nativa o en edi…cios públicos,
como ayuntamientos, estaciones de ferrocarril, iglesias, etc. La RNAP se materializaba con señales
de dos tipos:
Principales.- Pieza cilíndrica de bronce de 0.10 m. rematada por un disco de 0.08 m. de
diámetro donde se grababan las iniciales N.P. y un número de orden. Las señales se disponían
cada 25 km. aproximadamente y en lugares o construcciones estables (ferrocarriles, iglesias,
...)
Secundarias.- Distribuidas a su vez en dos clases: primera , clavos de bronce de 0.1 m.
introducidos en roca, y segunda, cuadrados de 0.08 m. de lado pintados en roca. Estas señales
se disponían cada kilómetro, aproximadamente.
p
La precisión que se puede alcanzar en las altitudes es del orden de 1mm K 4 . Como los des
plazamientos locales pueden alcanzar valores de 1 mm/año o incluso más en zonas geologicamente
inestables, es conveniente reobservar estas redes cada 10 años al menos. Dadas las altas precisiones
que se manejan en las redes altimétricas y su importancia para el control geodinámico del territorio,
es sumamente importante conservar adecuadamente las redes y su monumentación.
Antes de proceder al ajuste es necesario convertir los incrementos de altitud medidos en campo
a incrementos de potencial, empleando para ello mediciones gravimétricas. Una vez que se dispone
de los números geopotenciales, todos los anillos deben cerrar a cero y puede procederse al ajuste
de la red.
Un proceso similar a la uni…cación de redes planimétricas europeas se abordó para la uni…cación
de la red altimétrica. Se inició en 1973, naciendo el proyecto de la Red Europea Uni…cada de
Nivelación UELN5 cuyo origen se …jó en el nivel medio del mar en el mareógrafo de Amsterdam.
Para España el origen de altitudes ortométricas o…cial sigue siendo el nivel medio del mar en
Alicante. En 1973 España se sumó al proyecto.
Debido a que la metodología de nivelación exige que las líneas de nivelación se observen sobre
carretereas y líneas de ferrocarril, la permanencia de las señales no se puede garantizar. El deterioro sufrido por la RNAP original ha llevado a una nueva observación que está completándose
actualmente. En la …gura 1.4 se puede observar el diseño actual de la RNAP.
La implantanción y observación de la nueva red se está llevando a cabo por fases. En el año 2001
se monumentó y observó Cataluña. En el año 2002 se monumentaron unos 2500 clavos más a lo
largo de 2400 km de líneas de nivelación (Cantabría, País Vasco, Castilla y León, Madrid, CastillaLa Mancha, Aragón y Valencia). Está previsto que el proyecto completo para toda España concluya
en el año 2008.
Además de la nivelación de alta precisión, se llevan a cabo campañas de observación gravimétrica
y de medición GPS.
Las principales aplicaciones de la RNAP son:
Servir de marco de referencia altimétrico para aplicaciones cartográ…cas.
Origen indispensable para las grandes obras públicas.
4 Un
milímetro por kilómetro
European Leveling Network.
5 Uni…ed
10
Figura 1.4: Diseño actual de la RNAP
Conocimiento muy preciso del nivel medio del mar y de sus variaciones asociadas al cambio
climático.
Detección de variaciones verticales de la corteza terrestre.
Determinación precisa de ondulaciones del geoide para sistemas de referencia geodésicos que
utilizen altitudes elipsoidales.
1.2.4.2.
Sistema de referencia geodésico WGS84
En contraste con los sistemas de referencia geodésicos clásicos, de carácter local, surgen los
sistemas de referencia globales, entre los que se encuentra el WGS846 , empleado para de…nir las
órbitas radiotransmitidas por los satélites de GPS.
Desde que en 1957 se inicia la era espacial con el lanzamiento de los primeros satélites arti…ciales
se plantea la necesidad de establecer sistemas y marcos de referencia geodésicos globales, con el
objetivo inicial de determinar sus órbitas. Uno de los primeros fue el WGS60 de…nido por DoD7 .
Sucesivamente fue mejorado al de…nir los sistemas WGS66, WGS72, culminando …nalmente con el
WGS84.
El WGS84 se de…ne mediante, …gura 1.5:
Origen coincidente con el geocentro, incluyendo oceános y atmósfera (
2 m:).
Eje Z en la dirección del Polo Terrestre Convencional (CTP8 ), tal como lo de…nió la O…cina
Internacional de la Hora (BIH9 ) para la época 1984.0.
El eje X es la intersección del plano meridiano de Greenwich de…nido por el BIHpara la
época 1984.0 y el plano del ecuador referido al CTP.
Eje Y perpendicular a los anteriores formando una terna dextrógira.
6 World
Geodetic System 1984.
of Defense.
8 Conventional Terrestrial Pole
9 Bureau International de l’Heure.
7 Department
11
Figura 1.5: De…nición de WGS84 del DoD
Elipsoide de revolución asociado,
a = 6378137;0 m:
J2 = 1082630 10 9
! = 7292115 10 11 rad s
= 3986005 108 m3 s 2
1
Es importante resaltar que el marco de referencia del sistema WGS84 lo constituye la constelación de satélites NAVSTAR y sus efemérides transmitidas. No existe, por tanto, un marco de
referencia terrestre asociado al WGS8410 y por ello no se puede emplear como sistema de referencia
geodésico.
La estrategía empleada por el sector de control es adaptar progresivamente el WGS84 a las
sucesivas soluciones ITRF, de forma que nunca di…eran más de un metro en coordenadas absolutas. La primera adaptación tuvo lugar la semana 73011 dando lugar a la solución WGS84(G730)
ajustada al ITRF91, época 1994.0. Al mismo tiempo se modi…có el parámetro para adaptarlo al
estandar del IERS
= 3986004;418 108 m3 s
2
Desde la semana 87312 se emplea en la de…nición de las órbitas de los satélites NAVSTAR una
versión más actualizada denominada WGS84(G873), referida a la época 1997.0.
El marco de referencia de WGS84 a nivel práctico lo constituyen las efemérides de los satélites
de la constelación GPS, de manera que cuando se procesan los observables GPS con esas soluciones
para la posición de los satélites los resultados se dice que están referidos a WGS84, ya sea la solución
la posición de un punto o un vector.
1.2.4.3.
Sistema de referencia geodésico ITRS
El Sistema de Referencia Terrestre Internacional, ITRS13 , es mantenido por el Servicio Internacional de Rotación de la Tierra (IERS), concretamente por el IERS ITRS Centre.
El IERS fue creado en 1987 por la Unión Internacional de Geodesia y Geo…sica (IUGG) y por
la Unión Astronómica Internacional (IAU). Los principales cometidos del IERS son:
Determinación de la orientación del eje de rotación de la Tierra
Información sobre la escala del Tiempo Universal Coordinado (UTC)
Mantenimiento del Marco de Referencia Terrestre Internacional (ITRF) del ITRS.
1 0 Evidentemente, las estaciones del segmento de control sí constituyen un marco de referencia terrestre, pero son
tan solo cinco distribuidas uniformemente en zonas próximas al ecuador.
1 1 1 de enero 1994.
1 2 26 de septiembre de 1996.
1 3 http://www.iers.org/
12
El ITRS queda de…nido por:
El origen es el geocentro o centro de masas de la Tierra, incluyendo océanos y atmósfera.
La escala ligada a la unidad de medida en el sistema internacional, el metro.
La orientación de los ejes fue acordada por el BIH en la época 1984.0.
Su evolución en orientación con el tiempo no crea rotación global residual con relación a la
corteza.
El ITRS se materializa mediante sucesivos marcos de referencia denominados de forma genérica
ITRF. Los ITRF son los marcos de referencia más precisos utilizado hoy en día.
Figura 1.6: Distribución de placas tectónicas y estaciones de observación ITRF
Las técnicas de medición empleadas para el establecimiento y mantenimiento de las coordenadas
de los puntos que constituyen el ITRF son, …gura 1.6:
Interferometría de muy larga base (VLBI14 ).
Medidas láser a satélites (SLR15 ).
Medidas láser a la Luna (LLR16 ).
Sistema de Posicionamiento Globlal (GPS17 )
Medidas Doppler Orbitales y Posicionamiento por Radio a Satélites DORIS18 .
1 4 Very
Long Baseline Interferometry
Laser Ranging
1 6 Lunar Laser Ranging
1 7 Global Positioning System
1 8 Doppler Orbitography and Radio-positoning Integrated by Satellite.
1 5 Satellite
13
Estas técnicas permiten determinar las coordenadas cartesianas geocéntricas de todas las estaciones con una precisión absoluta que oscila entre 0; 5 cm: y 2 cm: Con esta precisión es posible
medir, entre otros aspectos de la dinámica terrestre, el movimiento de las diferentes placas tectónicas. Por ello, las estaciones están repartidas sobre doce de las placas más grandes, aunque el
hemisferio sur presenta una menor densidad.
Debido a la alta precisión de las mediciones y de la progresiva inclusión de nuevas estaciones,
es necesario determinar nuevas soluciones para las coordenadas de las estaciones, así como las
velocidades de desplazamiento o deformación de las mismas. Las sucesivas soluciones no presentan
rotación residual respecto a la deformación de la corteza descrita por el modelo NNR-NUVEL1A.
Cada una de las soluciones obtenidas se identi…ca con la palabra ITRF más dos dígitos que
identi…can el año: ITRF89, ITRF97, ..., ITRF00, etc.
La orientación del eje Z corresponde al polo del IERS, que es un polo convencional que coincide
con el Polo Terrestre Convencional (CTP) con una incertidumbre de 0:0003. La situación de un
punto para una determinada fecha viene dada por la expresión
:
~r = ~r0 + ~r0 (t
t0 )
A continuación se muestra un listado correspondiente al contenido de un …chero descargado
de la página web del IERS19 que contiene los parámetros de transformación para transformar
coordenadas de la solución ITRF2000 a soluciones anteriores.
File : ITRF.TP
TRANSFORMATION PARAMETERS AND THEIR RATES FROM ITRF2000 TO PREVIOUS FRAMES
(See Note Below)
------------------------------------------------------------------------------------SOLUTION
T1
T2
T3
D
R1
R2
R3
EPOCH
Ref.
UNITS----------> cm
cm
cm
ppb
.001"
.001"
.001"
IERS Tech.
.
.
.
.
.
.
.
Note #
RATES
T1
T2
T3
D
R1
R2
R3
UNITS----------> cm/y cm/y cm/y ppb/y .001"/y .001"/y .001"/y
------------------------------------------------------------------------------------ITRF97
0.67 0.61 -1.85
1.55
0.00
0.00
0.00
1997.0
27
rates
0.00 -0.06 -0.14
0.01
0.00
0.00
0.02
ITRF96
0.67 0.61 -1.85
1.55
0.00
0.00
0.00
1997.0
24
rates
0.00 -0.06 -0.14
0.01
0.00
0.00
0.02
ITRF94
0.67 0.61 -1.85
1.55
0.00
0.00
0.00
1997.0
20
rates
0.00 -0.06 -0.14
0.01
0.00
0.00
0.02
ITRF93
1.27 0.65 -2.09
1.95
-0.39
0.80
-1.14
1988.0
18
rates -0.29 -0.02 -0.06
0.01
-0.11
-0.19
0.07
ITRF92
1.47 1.35 -1.39
0.75
0.00
0.00
-0.18
1988.0
15
rates
0.00 -0.06 -0.14
0.01
0.00
0.00
0.02
ITRF91
2.67 2.75 -1.99
2.15
0.00
0.00
-0.18
1988.0
12
rates
0.00 -0.06 -0.14
0.01
0.00
0.00
0.02
ITRF90
2.47 2.35 -3.59
2.45
0.00
0.00
-0.18
1988.0
9
rates
0.00 -0.06 -0.14
0.01
0.00
0.00
0.02
ITRF89
2.97 4.75 -7.39
5.85
0.00
0.00
-0.18
1988.0
6
rates
0.00 -0.06 -0.14
0.01
0.00
0.00
0.02
ITRF88
2.47 1.15 -9.79
8.95
0.10
0.00
-0.18
1988.0 IERS An. Rep.
rates
0.00 -0.06 -0.14
0.01
0.00
0.00
0.02
for 1988
Note : These parameters are derived from those already published in the IERS
1 9 http://www.iers.org/iers/products/itrf
14
Technical Notes indicated in the table above. The transformation parameters
should be used with the standard model (1) given below and are valid at the
indicated epoch.
: XS :
:
:
: YS :
:
:
: ZS :
: X :
: T1
:
:
:
= : Y : + : T2
:
:
:
: Z :
: T3
:
: D
:
:
: + : R3
:
:
:
: -R2
-R3
D
R1
R2 :
:
-R1 :
:
D :
: X :
:
:
: Y :
:
:
: Z :
(1)
Where X,Y,Z are the coordinates in ITRF2000 and XS,YS,ZS are the coordinates in
the other frames.
On the other hand, for a given parameter P, its value at any epoch t
is obtained by using equation (2).
.
P(t) = P(EPOCH) + P * (t - EPOCH)
(2)
.
where EPOCH is the epoch indicated in the above table and P is the rate
of that parameter.
Las coordenadas de la red geodésica de las Islas Canarias están referidas a ITRS. En concreto,
emplean el datum REGCAN95, cuya solución se re…ere a ITRF93 (1994.9).
El marco de referencia de ITRS, ITRF, es un subconjunto de la Red del Servicio Internacional
de Sistemas Globales de Navegación por Satélites IGS20 , …gura 1.7. En la actualidad se utiliza el
acrónimo GNSS para hacer referencia al conjunto de Sistemas Globales de Navegación por Satélites,
siendo el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) uno de esos sistemas de navegación.
Hasta la década de 1960 no fué posible establecer redes globales o intercontinentales, ya que
solamente se disponía de mediciones geodésicas clásicas. A partir de la década de 1970, con el
empleo de la técnica VLBI, se establecieron las primeras redes globales con coordenadas en un
sistema de referencia inercial y con una precisión de 0.001 ppm. Este hecho in‡uyó notablemente
en la concepción de las redes geodésicas y ha ido marcando progresivamente la actividad de las
diferentes instituciones geodésicas.
El IERS es el organismo internacional encargado de coordinar una serie de redes geodésicas
intercontinentales que permiten de…nir el ITRF. Las técnicas de medición empleadas en dichas redes
son diversas: GPS, VLBI, SLR, LLR, DORIS,.... La exactitud de las coordenadas es subcentimétrica
para la planimetría, 1 2 cm en altimetría. También se determina para cada estación el vector
de desplazamiento con una precisión de 1 3 mm/año.
Aunque las técnicas de medición más precisas son el VLBI y el SLR21 , por el bajo coste de
instalación y mantenimiento de los receptores, el GPS22 es en la actualidad la principal técnica
empleada para densi…car las redes globales.
Desde el 1 de enero de 1994, el IGS se encarga de la coordinación internacional de las mediciones
GPS. La red del IGS consiste en más de 200 estaciones permanentes equipadas con receptores GPS
bifrecuencia, instalados y mantenidos por las instituciones geodésicas nacionales y varios centros
de análisis y procesamiento.
Entre los productos ofrecidos por el IGS se encuentran:
2 0 International
GNSS Service, y que correspondía anteriormente a International GPS Service
razón para incluir mediciónes de VLBI y otras técnicas como el SLR, es la conexión con sistemas de
referencia inerciales, la determinación de ciertos parámetros de la dinámica terrestre, etc.
2 2 La precisión que puede alcanzar una red global basada exclusivamente en mediciones GPS es de unos 5 cm.
2 1 Otra
15
Figura 1.7: Red IGS
Efemérides precisas para los satélites de GPS.
Parámetros de rotación terrestre.
Soluciones semanales para las coordenadas de los puntos y velocidad de deformación.
Datos registrados por los receptores.
La información relativa al IGS de puede obtener de su web: http://igscb.jpl.nasa.gov/. En
particular se pueden obtener las efeméridas precisas de los satélites GPS para obtener tras el
proceso de las observaciones valores referidos al sistema de referencia asociado a la época de la
propia observación.
1.2.4.4.
Sistema de referencia geodésico Etrs89 - EVRF
EUREF es una subcomisión de la IAG encargada del marco de referencia para Europa, integrada en la subcomisión de marcos de.referencia locales (Sub-Commission 1.3. - Regional Reference
Frames) que a su vez forma parte de la comisión de marcos de referencia (Commission 1 - Reference
Frames). Euref fue fundada en 1987 en la Asamblea General de la IUGG celebrada en Vancouver.
EUREF recibió el encargo de encontrar la de…nición adecuado del sistema de referencia geodésico para Europa y su correspondiente marco de referencia.
En la reunión celebrada por la IAG en Florencia en el año 1990, EUREF estableció en su
resolución 1a que las coordenadas ITRF89 de las 36 estaciones europeas ITRS (SLR y VLBI)
de…nieran el Sistema de Referencia Terrestre de Europa de 1989 (ETRS89) y dicha materialización
se denominó Marco de Referencia Terrestre de Europa de 1989 (ETRF89).
Como el número de vértices del marco de referencia era insu…ciente para …nes cartográ…cos y
topográ…cos, ETRF89 se densi…có posteriormente mediante campañas GPS23 y a partir de 1995
mediante la Red de Estaciones Permanentes (EPN).
Al existir coordenadas de procedencia variada ha sido necesario clasi…carlas de acuerdo con su
calidad:
CLASE A. Tienen 1 cm de precisión independientemente de la época. Son estaciones GPS
permanentes.
2 3 La
campaña EUREF89, por ejemplo.
16
Figura 1.8: Red Euref
Sistema
WGS84
ITRS
ETRS89
Puntos Monumentados
No existen
Parcial
Total
Precisión
2m 3m
cm
cm
Estabilidad en el tiempo
No (evoluciona con el ITRS)
No ( 2;5 cm =a~
no)
Si
Cuadro 1.1: Comparativa entre sistemas de referencia.
CLASE B. Tienen 1 cm de precisión en una época especí…ca. Son las coordenadas obtenidas
mediante las diferentes campañas llevadas a cabo desde 1993.
CLASE C. Tienen 5 cm de precisión en una época especí…ca. Son las coordenadas procedentes
de las campañas GPS llevadas a cabo entre 1989 y 1992.
La razón fundamental para adoptar ETRS89 como sistema de referencia europeo es que es
necesario disponer de un sistema lo más estable posible en el tiempo, por lo que para evitar la
in‡uencia del movimiento de la placa europea, …gura 1.9, se eligen puntos sobre la misma. En el
cuadro 23 se compara ETRS89 con WGS84 e ITRS.
La disponibilidad de puntos monumentados para el ITRS se describe como parcial porque son
puntos en los que no se puede estacionar, ya que en ellos hay siempre un receptor observando permanentemente y además, junto con las coordenadas es necesario utilizar el modelo de velocidades.
En cambio el acceso físico a ETRS89 es total, ya que está densi…cado mediante redes geodésicas
con monumentación tradicional y basta con emplear directamente las coordenadas de cada punto,
ya que la velocidad de desplazamiento se considera nula. Por tanto, el ETRS89 es más práctico
para …nes topográ…cos y cartográ…cos.
En lo que se re…ere a la componente altimétrica, también se han realizado importantes trabajos
de uni…cación.
La red europea de nivelación UELN (United European Levelling Network), está formada por
las redes de nivelación de primer orden de los paises europeos.
Figura 1.9: Movimiento anual de la placa europea
Figura 1.10: Parte de la RNAP integrada en la solución de 1973 de la UELN
17
18
País
Austria
Bélgica
Dinamarca
Francia
Alemania
Holanda
Noruega
Portugal
Eslovaquia
España
Suiza
Suiza
Reino Unido
Datum (Mareografo)
Trieste
Ostende
10 mareógrafos
Marsella
Amsterdam
Amsterdam
Tregde
Cascais
Kronstadt
Alicante
Marsella
Marsella
Newlyn
Tipo de Altitud
normal/ortométrica
ortométrica
ortométrica
normal
normal
ortométrica
normal/ortométrica
ortométrica
normal
ortométrica
ortométrica
normal
ortométrica
HU ELN
HN acional
35 cm
231 cm
+2 cm
49 cm
+1 cm
1 cm
0 cm
32 cm
+12 cm
50 cm
35 cm
17 cm
+2 cm
Cuadro 1.2: Diferencias entre los diferntes datums altimétricos en Europa.
La primera solución uni…cada para Europa data de 1973 y se denominó UELN-73. Se tomó
como punto fundamental el nivel medio del mar en el mareográfo de Amsterdam. En la …gura 1.10
se observa la parte de la RNAP que se integró en esta solución.
En enero de 1999 se obtuvo una nueva solución denominada UELN-95/98, cuyo grá…co se
muestra en la …gura 1.11.
Figura 1.11: Solución de 1998 de la EULN
Los resultados obtenidos pueden compararse con los de las respectivas redes nacionales y obtener
la diferencia existente entre los diferentes datums altimétricos, …gura 1.12. Las diferencias encontradas se muestran en el cuadro 23.
19
Desde el 1998 la UELN se ha ido ampliando al incorporar las redes de nivelación de Estonia
y Latvia (1999), Rumanía (2000) y Lituania (2001) o bien densi…car otras existentes como la de
Suiza (2002).
Figura 1.12: Relación entre datums altimétricos europeos respecto al origen de Amsterdam
El proyecto Red Europea Vertical de Referencia (EUVN24 ) surgió inicialmente para uni…car
los diferentes datums altimétricos europeos. En la actualidad, el principal objetivo es establecer un
sistema de referencia altimétrico con signi…cado físico y geométrico y único para toda Europa.
La de…nición de un sistema de referencia altimétrico de tales características tiene importantes
aplicaciones prácticas. Permite, por ejemplo, determinar un geoide preciso y bien relacionado con
el sistema de referencia empleado por las mediciones GPS. Con un geoide de tales características
se extendería enormemente el uso del GPS para nivelación.
El proyecto EUVN contribuye también a la materialización del datum vertical europeo en
conexión con el Servicio Permanente para la Determinación del Nivel medio del Mar (PSMSL25 ).
Para ello es necesario enlazar todos los mareógrafos europeos entre sí y a su vez, estos con el
PSMSL. Se contribuye además a establecer un datum altimétrico mundial.
Para lograr sus objetivos el proyecto EUVN agrupa:
Mediciones GPS para la determinación de coordenadas ETRS89 de todos los puntos pertenecientes
a la red EUVN. Con ello, se dispone, entre otros parámetros, de la altitud elipsoidal de los
puntos.
Mediciones de nivelación de alta precisión para enlazar con los puntos nodales de UELN.
Con ello se obtiene el número geopotencial de todos los puntos de la red EUVN, es decir la
altitud física de los mismos.
Mediciones del nivel medio del mar en todos los mareógrafos de Europa. Estas mediciones
estan conveniente enlazadas a la red EUVN mediante mediciones de GPS y nivelación de alta
precisión.
En total la red EUVN tiene 196 puntos. De ellos, tal como muestra la …gura 1.13, 66 son puntos
EUREF, 13 son estaciones permanentes,54 pertenecen a la red UELN y 63 son mareógrafos.
20
Figura 1.13: EUVN
El Instituto Astronómico de la Universidad de Berna (AIUB-Astronomical Institute of the
University of Bern)26 y el Instituto Geográ…co Alemán (BKG) obtuvieron la solución …nal, cuyas
coordenadas estaban referidas a ITRF96 (época 1997.4) con una desviación típica de 1 cm para
cada componente. Posteriormente fueron transformadas a ETRS89.
En resumen, la EUVN consiste básicamente en una serie de puntos P dotados de coordenadas
cartesianas geocéntricas en ETRS89 y de número geopotencial
CP = WoU ELN
WP
La altitud normal de los mismos se obtiene a partir de
HPN =
CP
con
=
0
0;3086h 0;072 10
+
2
2
6 2
h
La EUVN, junto con la solución EULN95/98, constituye el marco de referencia altimétrico
europeo EVRF2000, mientras que en lo que se re…ere a la planimetría, el marco de referencia
geodésico para ETRS89 en el territorio peninsular español en la actualidad está integrado por dos
redes: IBERIA y REGENTE.
Tal como muestra la ilustración de la izquierda de la …gura 1.14, la red IBERIA se compone
de 39 puntos situados en la península ibérica (27 en España y 12 en Portugal) a los que se les
ha dotado de coordenadas en el sistema de referencia ETRS89 con una precisión del orden de 1
cm respecto al sistema de referencia. A la solución obtenida se la denominó IBERIA95. Por tanto
IBERIA95 es el marco de referencia que de…ne ETRS89 en la península ibérica y es consistente
con soluciones anteriores como EUREF89.
2 4 European
Vertical Reference Network
Service of Mean Sea Level
2 6 Astronomical Institute of the University of Bern.
2 5 Permanent
21
Figura 1.14: Red Iberia y Red Regente
En la …gura 1.15 se muestra la reseña del vértice geodésico San Segundo ubicado en la provincia
de Guadalajara.
La elección de los vértices geodésicos integrantes de IBERIA obedeció a diversos criterios:
acceso fácil, la distancia entre estaciones adyacentes compatible con el número escogido de vértices,
monumentación estable y duradera, utilización de centrado forzado, ubicación de los vértices en
lugares que permitan su nivelación geométrica o geodésica de alta precisión, sin interferencias de
radiofrecuencia ni obstáculos generadores de posibles multitrayectorias. La observación se realizó
simultáneamente durante cinco días consecutivos, con receptores bifrecuencia, una sesión diaria
única de 12 horas e intervalo de registro de 30 segundos.
Como IBERIA95 solamente cubre la península ibérica fue necesario dotar de infraestructura
geodésica a los archipiélagos balear y canario.
La red BALEAR, ilustración de la izquierda de la …gura 1.16, densi…ca IBERIA95. La campaña de observación adoptó los mismos criterios de observación y calidad que los empleados para
IBERIA95. A la solución …nal para las coordenadas se la denominó BALEAR98 y su sistema de
referencia es el mismo que el de IBERIA95, es decir ETRS89.
El caso de las Islas Canarias es diferente al estar situado en la placa tectónica africana. ETRS89
es un buen sistema de referencia para países situados en placa euroasiática, pero, dadas las altas
precisiones que se manejan, no lo es tanto para zonas situados en otros continentes, como es el caso
del archipiélago canario. Por tanto, para establecer el marco de referencia de las Islas Canarias, el
IGN optó por la solución denominada REGCAN95 , ilustración derecha de la …gura 1.16, referida al
sistema de referencia ITRS (International Terrestrial Reference System) y no al ETRS (European
Terrestrial Reference System).
La red REGENTE (REd GEodésica Nacional por Técnicas Espaciales) es la densi…cación del
marco de referencia IBERIA95 que materializa el sistema ETRS89 en la península ibérica. Como
la densidad de puntos de IBERIA95 no era su…ciente para satisfacer las necesidades cartográ…cas
y topográ…cas, el IGN acometió el proyecto REGENTE, tal como muestra la ilustración derecha
de la …gura 1.14. Con el proyecto REGENTE se ha conseguido dotar de coordenadas ETRS89 a
un vértice de la ROI en cada hoja del MTN5027 , con una precisión estimada en 5 cm. En la cabeza
del pilar de estos vértices se ha materializado un sistema de centrado de precisión. Mientras que la
altitud ortométrica de un vértice de la ROI se re…ere generalmente a la parte superior de la base
prismática, la altitud elipsoidal ETRS89 se suele referir a la parte superior del pilar cilíndrico, para
minimizar el error de la medida de la altura de antena en la observación GPS.
2 7 Mapa
Topográ…co Nacional a escala 1:50000
22
Figura 1.15: Reseña del vértice geodésico San Segundo de la red IBERIA
Figura 1.16: BALEAR98 y REGCAN95
1.3. SISTEMAS DE COORDENADAS EMPLEADOS EN GEODESIA
Parámetro
Latitud geodésica
Longitud geodésica
Altitud Ortométrica
Altitud Elipsoidal
Ondulación del Geoide
X Cartesiana Geocéntrica
Y Cartesiana Geocéntrica
Z Cartesiana Geocéntrica
Huso
X-UTM
Y-UTM
Convergencia de Meridianos
Anamorfosis lineal
Ed50
38;55208130
1;58313461
696;8
675;1
21;7
4966536;269
171298;049
3986112;376
30
588825;94
4308742;19
0;38376143
0;9996971
ETRS89
38;551646750
1;583581601
749;767
52;967
4966451;541
171402;881
3985989;378
30
588715;816
4308534;459
0;38347450
0;9996969
23
Ed50-Etrs89
0;00043455
0;00044699
74;667
74;667
84;728
104;832
122;998
110;124
207;731
0;00028693
0;0000002
Cuadro 1.3: Coordenadas Ed50 y ETRS89 del vértice Riachuelos.
En el siguiente cuadro se muestran las coordenadas ED50 y ETRS89 del vértice Riachuelos
localizado muy cerca de la ciudad de Albacete. Las unidades lineales son metros, las angulares
están expresadas en seudo-decimal sexagesimal y el factor de escala en tanto por uno. El único
dato que no es o…cial es la ondulación en Ed50 que ha sido extraída de un modelo poco preciso.
1.3.
1.3.1.
Sistemas de coordenadas empleados en geodesia
Introducción
En cualquier espacio afín euclideo, de…nido un sistema de referencia, se pueden utilizar diferentes
sistemas de coordenadas para parametrizar el espacio, para expresar la posición de cualquier punto.
Un sistema de coordenadas es una creación arti…cial para permitir la de…nición análitica de
un objeto o de un fenómeno. Existen múltiples opciones para de…nir analíticamente la situación
geométrica de un elemento y por tanto, es posible elegir entre diferentes sistemas de coordenadas.
Desde el punto de vista puramente matemático cualquier sistema de coordenadas es admisible.
Desde un punto de vista práctico la única razón para seleccionar un sistema de coordenadas en
particular suele ser el hecho de que una determinada cuestión objeto de estudio aparezca en su
forma más simple, geométricamente interpretable y susceptible de ser medida.
A lo largo de esta sección se describen los sistemas de coordenadas más utilizados en geodesia, entre los que se encuentran las coordenadas cartesianas, las coordenadas geodésicas y las
proyecciones cartográ…cas.
1.3.2.
Clasi…cación de los sistemas de coordenadas
Dado un sistema de referencia geodésico, la posición espacial de un punto se puede expresar
según distintos sistemas de coordenadas que en geodesia se acostumbra a clasi…car según diversos
criterios:
En función de la situación del origen:
Sistemas de coordenadas geocéntricos. Son sistemas de coordenadas cuyo origen se encuentra situado en el centro de masas terrestre.
Sistemas de coordenadas casi geocéntricos. Son sistemas de coordenadas cuyo origen está
situado en las proximidades del centro de masas terrestre, pero no exactamente en él.
Sistemas de coordenadas topocéntricos. Son sistemas de coordenadas cuyo origen está
situado en algún punto de la super…cie terrestre.
24
En función del tipo de coordenadas:
Coordenadas cartesianas:
Coordenadas cartesianas globales, (X; Y; Z).
Coordenadas cartesianas locales, (x; y; z), que en algunas ocasiones se denotan como
(e; n; u)28 .
Coordenadas curvilíneas:
Coordenadas
Coordenadas
Coordenadas
Coordenadas
esféricas (#; ; r), ( ; ), ( ; ).
astronómicas, ( ; ; W ).
geodésicas con altitud ortométrica, ('; ; H).
geodésicas con altitud elipsoidal, ('; ; h).
Coordenadas en una proyección cartográ…ca:
Coordenadas sobre una proyección cartográ…ca con altitud ortométrica ((x; y) ; H).
Coordenadas sobre una proyección cartográ…ca con altitud elipsoidal ((x; y) ; h).
Algunos de los sistemas de coordenadas anteriores se utilizan principalmente para expresar la
posición absoluta de un punto de la super…cie terrestre mientras que otros, como se estudiará en otra
unidad didáctica, son especialmente útiles para abordar el transporte de coordenadas geodésicas
al estar directamente relacionados con la práctica de los métodos de observación empleados en
geodesia.
Algunos de los sistemas de coordenadas están de…nidos para parametrizar una super…cie de
referencia y la extensión al espacio tridimensional obliga a acompañarlos de una tercera coordenada
altitud, que expresa la separación a esa super…cie o a otra relacionable con ella.
En el estudio de los sistemas de coordenadas geodésicos que se aborda en este capítulo se recurre
a la super…cie de referencia incluida en la de…nición de los sistemas de referencia geodésicos, un
elipsoide de revolución, haciéndose referencia a términos propios de la parametrización de esta
super…cie: meridianos, paralelos, etc.
1.3.3.
Sistemas de coordenadas cartesianas
1.3.3.1.
De…nición de un sistema de coordenadas cartesianas
Dado un sistema de referencia del espacio afín euclídeo E 3 , S fO; f~e1 ; ~e2 ; ~e3 gg, el sistema de
coordenadas cartesianas estándar se de…ne de manera que la posición de un punto se expresa por
!
la proyección de su vector de posición OX, de…nido por el punto origen y el propio punto, sobre
los ejes correspondientes a los tres vectores de la base elegida:
~r = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3
siendo (x1 ; x2 ; x3 ) las coordenadas del punto. Otras notaciones utilizadas para estas coordenadas
son (x; y; z) o x1 ; x2 ; x3 .
1.3.3.2.
Sistema de coordenadas cartesianas globales
A diferencia de los sistemas de coordenadas topocéntricos, astronómico local y geodésico local,
de carácter local y especialmente útiles para referir las mediciones clásicas, el sistema de coordenadas cartesianas globales sirve para expresar la posición absoluta respecto al sistema de referencia geodésico de cualquier punto de la super…cie terrestre. El sistema de coordenadas cartesiano
geocéntrico se de…ne, tal y como ilustra la …gura 1.17, a partir de:
Origen en el centro del elipsoide asociado al sistema de referencia geodésico29 .
Eje Z coincidente con el eje de rotación y perpendicular al plano XY , plano del ecuador.
2 8 Iniciales
2 9 Aunque
de easting, northing, upping
el sistema de referencia geodésico no sea geocéntrico se denominan coordenadas cartesianas geocéntricas
25
Figura 1.17: Sistema cartesiano global
Eje X en el plano Z = 0, orientado en la dirección del meridiano de Greenwich.
Eje Y en el plano Z = 0, perpendicular a los dos anteriores y con sentido tal que completa
con ellos una terna dextrógira.
1.3.3.3.
Sistema de coordenadas astronómico local
Todas las técnicas clásicas de observación geodésica se realizan con instrumental que materializa
físicamente la dirección del vector de la gravedad o vertical astronómica del lugar. El sistema de
coordenadas instrumental más empleado en geodesia se denomina sistema astronómico local y, de
acuerdo a la …gura 1.18, se de…ne de la siguiente forma:
Origen en el punto i de estacionamiento, pudiendo corresponder al centro del instrumento de
medición o a la materialización del punto en el terreno.
Eje z según la dirección del vector gravedad en i con sentido positivo cenital.
Eje y tangente a la super…cie equipotencial que pasa por i con sentido positivo al norte
astronómico.
Eje x tangente a la super…cie equipotencial que pasa por i con sentido positivo al este astronómico, de manera que junto a los otros ejes completa una terna dextrógira, o a derechas.
El dominio de las coordenadas cartesianas es R.
El vector de…nido por el punto de estación estación i y el punto visado j se suele expresar tanto
en coordenadas cartesianas como en coordenadas polares. Las coordenadas polares, directamente
relacionadas con las técnicas clásicas de observación geodésica son, tal y como se muestra en la
…gura 1.18:
acimut30 , con dominio 0
<2 .
ij
ángulo cenital31 , con dominio 0 < < .
ij
Dij distancia geométrica, con dominio en R+ .
La relación entre las coordenadas polares y las correspondientes coordenadas cartesianas, como
se deduce directamente de la …gura ??, resultan:
30
31
Se utiliza indistintamente la notación o A para el acimut astronómico:
Se utiliza indistintamente la notación V o para el ángulo cenital.
26
Figura 1.18: Sistema astronómico local
Paso de coordenadas polares a cartesianas:
xij = Dij sin
yij = Dij sin
zij = Dij cos
sin
cos
ij
ij
ij
ij
(1.1)
ij
Paso de coordenadas cartesianas a polares:
x
ij
= arctan yij
zij
ij = arc cos Dij
q
2 + z2
Dij = x2ij + yij
ij
ij
(1.2)
El sistema de coordenadas astronómico local es muy útil para expresar las mediciones efectuadas
desde el punto origen y para expresar incrementos de coordenadas respecto al mismo, pero no es
válido como sistema de referencia para un levantamiento topográ…co. La razón es que eje z sigue
siempre la dirección del vector gravedad y éste, normal a la super…cie equipotencial que pasa por
el punto de estación i, sigue una dirección diferente en cada punto. Por tanto, al desplazar el
origen, el sistema de coordenadas experimentará una rotación, cuya magnitud dependerá de la
curvatura que presenten las super…cies equipotenciales del campo gravitatorio. Es decir, que un
sistema astronómico local es único para cada punto y solamente sirve para referir las mediciones
efectuadas desde él.
Es frecuente en topografía de…nir un sistema de referencia directamente relacionado con el sistema de coordenadas astronómico local. Dada una zona de actuación de dimensiones reducidas, se
de…ne el sistema de referencia a partir de materializar un punto origen en el terreno, que habitualmente domina el horizonte de la zona, al que se dota de coordenadas cartesianas tridimensionales
arbitrarias lo su…cientemente grandes como para evitar la aparición de coordenadas negativas en
el cálculo, obteniéndose una traslación del origen del sistema de referencia. Como dirección del
eje z se toma el mismo del sistema de coordenadas astronómico local para el punto materializado,
la dirección del eje principal de un teodolito correctamente estacionado en el punto con sentido
positivo cenital, y el eje y se de…ne a partir de una dirección materializada en el terreno en la que la
puntería realizada con el teodolito está lo su…cientemente de…nida (una veleta, una antena, ...), de
manera que será recuperable en cualquier observación posterior. El levantamiento topográ…co en el
sistema de referencia de…nido pasa por dotar de coordenadas a los puntos objeto de representación
27
Figura 1.19: Sistema geodésico local
a partir del paso de las coordenadas polares observadas a coordenadas cartesianas, de acuerdo a
las expresiones 1.1. De igual forma, el replanteo de puntos en el terreno cuyas coordenadas se han
obtenido a partir del diseño sobre la representación resultado del levantamiento, se realiza a partir
de las expresiones 1.2. El error introducido tanto en la planimetría como en la altimetría por la
curvatura de las super…cies equipotenciales se corrige a partir de sencillas modelizaciones para las
mismas, considerándolas habitualmente esféricas con un radio terrestre del orden de 6370 km. Esta
sencilla forma de trabajo, útil en muchos trabajos de topografía expedita, no es válido en geodesia,
siendo necesario recurrir a métodos geodésicos de transporte de coordenadas que serán tratados
posteriormente en el texto.
1.3.3.4.
Sistema de coordenadas geodésico local
El sistema de coordenadas geodésico local es similar al sistema astronómico local excepto que
la dirección del eje z viene determinada por la normal al elipsoide o vertical geodésica, tal como
se muestra en la …gura 1.19, y se de…ne según:
Origen en el punto i de estacionamiento, pudiendo corresponder al centro del instrumento de
medición o a la materialización del punto en el terreno.
Eje z según la dirección de la normal al elipsoide que pasa por i con sentido positivo hacia
el exterior de la super…cie del elipsoide.
Eje y según la dirección resultante de la intersección del plano perpendicular al eje z con el
plano que contiene al eje de rotación del elipsoide y al eje z, con sentido positivo al norte
geodésico, es decir, eje y según la dirección de la meridiana geodésica y sentido positivo al
norte.
Eje x perpendicular a los dos anteriores con sentido positivo al este geodésico, de manera que
completa con los otros dos ejes una terna dextrógira, o a derechas.
Es frecuente encontrar en la bibliografía que se denominen a las componentes en este sistema
como enu atendiendo a las direcciones este, norte y cenital en inglés.
Este sistema de coordenadas puede considerarse una aproximación del sistema astronómico
local dado que la diferencia en dirección entre los ejes z y x depende del ángulo que forman en
el punto origen la vertical astronómica y la vertical geodésica, ángulo denominado desviación de
la vertical que será estudiado posteriormente. Si el valor de la desviación de la vertical no supera
28
algunos segundos y la precisión del sistema de nivelación del instrumental de medición angular
empleado es del mismo orden o inferior, ambos sistemas pueden utilizarse indistintamente en la
mayoría de los casos, sin pérdida de precisión.
Al igual que en el sistema de coordenadas astronómico local, en el sistema de coordenadas
geodésico local el vector de…nido por el punto origen y cualquier otro punto observado con un
instrumento se puede expresar en coordenadas polares o cartesianas, siendo la relación entre los
incrementos en ambos sistemas similar a las expresiones 1.1 y 1.2 que relacionaban los correspondientes incrementos para el sistema de coordenadas astronómico local.
La relación entre un sistema de coordenadas astronómico local y el correspondiente sistema de
coordenadas geodésico local se estudia en astronomía geodésica y se escapa del contenido de esta
asignatura.
1.3.4.
Sistemas de coordenadas curvilíneas
1.3.4.1.
De…nición de un sistema de coordenadas curvilíneas
La posición de un punto en el espacio afín euclídeo tridimensional se determina a partir de tres
coordenadas, de tres parámetros, a partir de una tripleta de números reales, (x1 ; x2 ; x3 ), que es
asignada de modo único a dicho punto. Existen múltiples modos de asignar esas tres coordenadas
y cada uno de ellos constituye un sistema de coordenadas. Manteniendo constantes dos de las tres
coordenadas, la variación de la tercera representa una curva en el espacio euclídeo. A dicha curva se
la denomina línea coordenada o curva paramétrica. De esta forma, por cada punto siempre pasan
tres líneas coordenadas L1; L2; L3; también denominadas x1 -curva, en la que únicamente varía
x1 , x2 -curva, en la que únicamente varía x2 , y x3 -curva, en la que únicamente varía x3 :
L1 := f(x1 ; x2 ; x3 ) jx2 = cte:; x3 = cte g
x1
curva
x2
curva
x3
curva
Elegida una parametrización del espacio afín euclídeo tridimensional, si las tres líneas coordenadas son rectas el sistema de coordenadas de…nido se denomina sistema de coordenadas cartesianas. Si al menos una de las curvas paramétricas no es una recta el sistema de coordenadas
de…nido es un sistema de coordenadas curvilíneas.
El sistema de coordenadas curvilíneas más sencillo es el de coordenenadas esféricas.
A partir de un sistema de coordenadas cartesiano geocéntrico, tal y como se ha de…nido anteriormente, se pueden de…nir, de acuerdo a la …gura 1.20, un sistema de coordenadas esféricas o
polares (#; ; r):
# distancia polar o ángulo que forman el eje Z y el vector de posición del punto, es la
denominada distancia polar. Su dominio se suele establecer en: 0 < # < .
ángulo que forma el plano de…nido por contener al eje Z y al vector de posición del punto,
plano meridiano del punto, con el plano Y = 0, es la denominada coordenada longitud. Su
dominio se suele establecer en:
<
.
r módulo del vector de posición del punto. Su dominio es R+ .
Las líneas coordenadas son:
-curva: circunferencias paralelas al plano Z = 0, y tienen por radio r sin #.
#-curva: circunferencias que contienen el eje Z, al punto y tienen por radio r.
r-curva: línea recta que contiene al punto y al origen del sistema de coordenadas cartesianas.
29
Figura 1.20: Coordenadas esféricas
La relación directa y recíproca entre las coordenadas cartesianas geocéntricas y las coordenadas
esféricas se deduce directamente de la …gura 1.20:
8
p
< r = X2 + Y 2 + Z2
Paso (X; Y; Z) ! (#; ; r) :
# = arcsin Zr
:
Y
= arctan X
8
< X = r cos # cos
Y = r cos # sin
Paso (#; ; r) ! (X; Y; Z) :
:
Z = r sin #
(1.3)
(1.4)
A continuación se describe el sistema de coordenadas curvilíneas más utilizados en geodesia,
las coordenadas geodésicas y las coordenadas astronómicas.
1.3.4.2.
Sistema de coordenadas geodésicas
Si la Tierra fuese esférica, el sistema de coordenadas curvilíneas idóneo serían las coordenadas
esféricas. En ese supuesto todos los puntos de la super…cie tendrían la misma coordenada r, y los
cambios en la misma representarían cambios en la separación de un punto respecto a la superfície.
Sin embargo, la Tierra presenta un achatamiento por los polos y la …gura que se suele utilizar como
super…cie de referencia en geodesia es la de un elipsoide de revolución.
El utilizar como super…cie de referencia la de un elipsoide implica que a cada punto P en
el espacio se le hace corresponder una proyección sobre el elipsoide P0 . La posición del punto
P quedará de…nida a partir de la posición de P0 , mediante dos coordenadas correspondientes a
la parametrización de la super…cie del elipsoide, y una tercera coordenada altitud que permitirá
relacionar P0 y P . En de…nitiva, la parametrización del espacio afín euclideo tridimensional se
realiza a partir de la parametrización de una super…cie, dos coordenadas, y una tercera coordenada.
Tal y como se estudió en el capítulo de introducción, y de acuerdo a la …gura 1.21, las coordenadas geodésicas son:
Latitud geodésica, '. Ángulo medido en el plano meridiano que forman la normal al elipsoide
en el punto P considerado y el plano del ecuador. En el sistema elipsoidal el plano meridiano
es el de…nido por la normal al elipsoide y el propio eje de rotación, ya que ambas rectas se
cortan en el espacio, formando un plano. Su dominio se suele establecer en: 2 < ' < 2 .
30
Figura 1.21: Coordenadas geodésicas
Longitud geodésica, . Ángulo medido en el plano del ecuador en el sentido directo que forman
el plano meridiano que contiene al punto P considerado y el plano meridiano de Greenwich.
Su dominio se suele establecer en:
<
.
Altitud elipsoidal, h. Distancia entre el punto P considerado y el elipsoide, medida a lo largo
de la normal al elipsoide que pasa por dicho punto. Este tipo de altitud no tiene ningún
signi…cado físico, solamente carácter geométrico. Su dominio es R.
Las líneas coordenadas sobre la super…cie del elipsoide serían en este caso:
'-curvas. Curvas en las que se conserva la longitud y varía la latitud, los meridianos.
-curvas. Curvas en las que se conserva la latitud y varía la longitud, los paralelos.
La ventaja más importante de utilizar la super…cie del elipsoide de revolución como super…cie
de referencia en geodesia es que se simpli…can en gran medida muchos problemas tratados en
geodesia.
1.3.4.3.
Sistema de coordenadas astronómicas
La aproximación de la forma de la super…cie de la Tierra por la de un elipsoide de revolución
no es su…ciente en ciertas aplicaciones y es necesario introducir un sistema de coordenadas que
tenga en cuenta la …gura física de la Tierra, o geoide, que, tal y como se estudió anteriormente,
debe su forma a la acción conjunta de los efectos gravitatorios de las masas terrestres, marinas y
atmosféricas, así como del resto de los planetas, del Sol y resto de cuerpos del Sistema Solar.
El sistema de coordenadas astronómico global surge como respuesta a la necesidad de encontrar
un sistema natural de coordenadas asociado al campo gravitatorio, tal y como se introdujo en el
capítulo de introducción. De esta forma, en el campo de gravedad terrestre se de…ne como sistema
natural de coordenadas el sistema de coordenadas astronómico global.
Para de…nir este sistema de coordenadas es necesario de…nir en primer lugar el concepto de
meridiano astronómico. El meridiano astronómico de un punto es contiene al vector gravedad en
el punto y a una recta paralelea al eje de rotación terrestre que pasa por el punto.
Un punto cualquiera P viene de…nido en el sistema astronómico global por tres coordenadas,
tal y como muestra la …gura 1.22:
31
Figura 1.22: Sistema astronómico global
Latitud astronómica, . Ángulo medido en el plano del meridiano astronómico entre la tangente a la dirección de la línea de la plomada en P y el plano del ecuador. Su dominio se
suele establecer en: 2 < < 2 .
Longitud astronómica, . Ángulo medido en sentido directo en el plano del ecuador entre el
meridiano astronómico de Greenwich y el plano meridiano que contiene a P . Su dominio se
suele establecer en:
<
.
Potencial de gravedad, W: La tercera coordenada es el potencial de gravedad en el punto P
y lo sitúa dentro del sistema de super…cies de nivel.
Las líneas coordenadas serían en este caso:
-curvas. Curvas alabeadas de potencial constante y longitud astronómica constante.
-curvas. Curvas alabeadas de potencial constante y latitud astronómica constante.
W -curvas. Curvas de latitud y longitud astronómica constante.
Las coordenadas
y
se pueden determinar de forma absoluta mediante observaciones astronómicas a partir de métodos de observación propios de astronomía de posición. La precisión que
se obtiene para las mismas es del orden métrico (0.”1-0.”2).
La tercera coordenada, el potencial gravitatorio W , no puede determinarse de forma absoluta. Se
determinan en su lugar diferencias de potencial respecto a la super…cie equipotencial de referencia,
el geoide, mediante el empleo de nivelación y medidas de gravedad. Por ello, se suele emplear
también la altitud ortométrica H como tercera coordenada en el sistema astronómico global, cuya
relación con el potencial ya se describió en el capítulo introductorio,
H=
ZW
W0
dW
g
(1.5)
32
La relación entre las coordenadas geodésicas y las astronómicas viene dada por:
= 'i + i
= i + i sec 'i
H i = hi N i
i
i
1.3.5.
(1.6)
Proyección Universal Transversa de Mercator, UTM
Una proyección cartográ…ca no es sino un caso particular de representación entre super…cies, en
partircular, entre la super…cie de referencia utilizada en el sistema de referencia geodésico (elipsoide
o esfera) y el plano. Por tanto, todo punto de la super…cie de referencia se puede localizar a partir
de sus coordenadas sobre cualquier proyección cartográ…ca establecida, de manera que se puede
decir que una proyección cartográ…ca es una parametrización mas de la super…cie de referencia.
Existen in…nidad de proyecciones cartográ…cas pero en esta asignatura únicamente se va a
estudiar en detalle la proyección UTM dada la importacia que le con…ere su carácter o…cial:
En España, el decreto no 2992/1968, por el que se aprueban las bases para una nueva
reglamentación de la cartografía militar, en su base cuarta, dice: “Se utilizará como elipsoide
de referencia el internacional o de Hayford, el datum europeo ( Postdam ), la proyección
Universal Transversa de Mercator ( U.T.M. ) y su correspondiente cuadrícula”
De igual forma, el decreto no 2303/1970, en su artículo primero, dispone : “Para la revisión y
nueva edición del Mapa Topográ…co Nacional en escala 1:50000 y para la restante cartografía
que publique el Instituto Geográ…co y Catastral, se adopta como reglamentaria la proyección
Universal Transversa de Mercator ( U.T.M. ), única que será utilizada en lo sucesivo. La
distribución en husos y zonas será la internacional”
La proyección transversa de Mercator es, actualmente, la más utilizada de todas las proyecciones, de acuerdo a la recomendación de la Asociación Internacional de Geodesia y Geofísica.
Algunos países que la utilizan son: Estados Unidos, Australia, el Reino Unido, Alemania,... En
Alemania recibe el nombre de proyección de Gauss-Kruger. En la antigua U.R.S.S. fue introducida
en 1930.
Al …nal de la II Guerra Mundial, fue propuesta por el A.M.S de EEUU para propósitos militares
para toda la Tierra, a excepción de las regiones polares, con el nombre de Universal Transversa de
Mercator. Su carácter de universalidad será analizado posteriormente. Para las regiones con latitud
geodésica mayor a 84o N o menor de 80o S se recurre a la denominada Proyección Estereográ…ca
Polar, UPS.
De manera similar a los trabajos realizados en la Comunidad Europea para homogeneizar los
sistemas de referencia geodésicos, se constituyó un grupo de trabajo para determinar las proyecciones cartográ…cas idóneas para Europa. En el año 2003 se publicó el documento resultado de los
trabajos en los que se establece la recomendación de utilizar la proyección UTM para cartografía
de gran escala, con la denominación de ETRS-TMzn.
En la …gura 1.23 se muestran las diferentes proyecciones cartográ…cas utilizadas en Europa.
A continuación se procede a explicar cada uno de los términos que interviene en la denominación
de la proyección.
La denominación de transversa de Mercator se debe a que es una variación de la conocida como
proyección de Mercator, ilustraciones de la izquierda de la …gura 1.24, basada en la representación
de la super…cie de referencia sobre un cilindro32 tal que su generatriz es paralela al eje de rotación
de la super…cie de referencia y su directriz es es ecuador.
La posición transversa del cilindro es tal que su directriz coincide con un meridiano, ilustraciones
de la derecha de la …gura 1.24.
3 2 Un
cilindro es una super…cie generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana dada, de modo
tal que siempre queda paralela a una recta …ja que no está en el plano de dicha curva. La recta que se desplaza
se llama generatriz del cilindro y la curva plana dada se llama directriz del cilindro. Cualquier posición de una
generatriz se llama reglada del cilindro.
Figura 1.23: Proyecciones cartográ…cas utilizadas en Europa
Figura 1.24: Proyección de Mercator y Proyección UTM
Figura 1.25: Deformación creciente en la proyección UTM
33
34
A medida que se separan las dos super…cies, de referencia y cilindro, mayores deformaciones
aparecen en la representación, …gura 1.25. De esta forma, si no se quieren superar una determinadas
deformaciones será necesario no representar más alla de una zona centrada en el meridiano de
tangencia. Estas zonas se acotan en 6 de longitud centrados en el meridiano, 3 al este y 3 al
oeste. El carácter de universalidad de la proyección UTM se consigue considerando 60 posiciones
para el cilindro, 60 zonas, de manera que si para cada posición se representan 6 , el resultado es la
representación completa de la super…cie de referencia, a excepción de las regiones polares, …gura
1.26, (por encima de los 84 para el hemisferio norte y por debajo de los 80 para el hemisferio
sur).
Figura 1.26: Proyección UPS norte y sur
La denominación de las zonas UTM, …gura 1.27, se rige por:
La zona 1 va de la longitud 180 a
174 y su meridiano central es
177 .
La numeración avanza de oeste a este, de manera que la zona 30 va de la longitud 6 a 0
y su meridiano central es 3 , y la zona 60 va de la longitud 174 a 180 y su meridiano
central es 177 .
España queda cubierta por las zonas 27, 28, 29, 30 y 31, …gura 1.28.
La proyección U.T.M. se de…ne bajo las siguientes condiciones:
La proyección es conforme.
El plano de referencia donde se de…ne el sistema rectangular es único para todas las zonas.
Los errores causados por las deformaciones propias de la proyección no exceden a una tolerancia dada.
La transformada del meridiano central de cada huso es una línea isométrica ( formada por
puntos con igual coe…ciente de deformación lineal k0 = 0;9996 ). Esta condición, al ser el
meridiano una geodésica del elipsoide, convierte a su transformada en una recta.
Las expresiones de transformación son las mismas para cualquier zona.
Figura 1.27: Zonas de la proyección UTM
Figura 1.28: Zonas UTM que cubren España
35
36
Figura 1.29: Ejes de coordenadas de la proyección UTM
La convergencia de meridianos no excede nunca los 5o .
Para cada zona, como eje de ordenadas se adopta la transformada del meridiano central de la
zona y como eje de abcisas la transformada del ecuador geodésico, …gura 1.29. De esta forma, el
origen del sistema de referencia de la proyección tendrá por coordenadas geodésicas: 0 de latitud
geodésica y 0 de longitud geodésica. Para evitar abcisas negativas al oeste del meridiano central
se considera una traslación de 500000 m:, de manera que el punto ('; )
(0; 0 ) tendrá por
coordenadas en la proyección UTM (x; y)U T M (500000;0; 0;0). En la aplicación de la proyección
para países del hemisferio sur se aplica una traslación al eje de abcisas hacia el sur de 10000000 m:
para evitar ordenadas negativas.
El motivo de que el meridiano central de cada huso no sea automecoico, sino que presente un
módulo de deformación lineal de k0 = 0;9996 en todos sus puntos, es que se aplica el arti…cio de
Tissot para reducir las deformaciones en los extremos de cada huso. Esto se traduce en que el
cilindro deja de ser tangente para pasar a ser secante, …gura 1.30.
La denominación de ETRS-TMzn asignada en europa a esta proyección se corresponde con que
el sistema de referencia el ETRS89, la proyección Transversa de Mercator con las zonas propias de
la proyección UTM para cubrir toda Europa, …gura 1.31.
En las …guras 1.32 y 1.33 se puede observar la de…nición del sistema de referencia coordenado
ETRS-TMzn de acuerdo a los metadatos de la norma ISO 19111.
En las …guras 1.35, 1.36 y 1.37 aparece la formulación o…cial de ETRS-TMzn en base a la
notación de la …gura 1.34.
Aunque la proyección UTM sea conforme, la dirección del norte cartográ…co en cada punto,
dirección del eje de la paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto, no coincide con la dirección
del norte geodésico, con la tangente a la transformada del meridiano del punto, denominándose
convergencia de meridianos al ángulo que forma en cada punto la transformada del meridiano y el
eje de ordenadas, …gura 1.38.
La proyección UTM no conserva las distancias. En general, dada una proyección cartográ…ca,
la deformación lineal varía para cada punto y cada dirección. Se de…ne el coe…ciente de anamorfosis
Figura 1.30: Variación de la deformación lineal de la proyección UTM
Figura 1.31: Zonas de ETRS-TMzn en Europa
37
38
Figura 1.32: De…nición de ETRS-TMzn de acuerdo a ISO 19111
Figura 1.33: De…nición de ETRS-TMzn de acuerdo a ISO 19111
39
40
Figura 1.34: Notación de la formulación o…cial de ETRS-TMzn
Figura 1.35: Problema directo UTM - Paso del elipsoide a proyección
Figura 1.36: Problema inverso UTM - Paso de la proyección al elipsoide
41
42
Figura 1.37: Formulación auxiliar ETRS-TMzn
Figura 1.38: Convergencia de meridianos en la proyección UTM
1.4. SISTEMAS DE REFERENCIA COORDENADOS (CRS)
43
lineal para un punto y una dirección como
('; ; ) =
ds
ds
(1.7)
Si la proyección es conforme se demuestra que la deformación lineal únicamente es función de
punto, únicamente depende de las coordenadas geodésicas del punto, de manera que se calcula un
coe…ciente de anamorfosis lineal para cada punto, respondiendo a la expresión
('; )
=
0
+
1+
1
24
1
2
4
2
cos2 ' 1 +
cos4 ' 5
2
+
4t2 + 14
2
(1.8)
28 2 t2 + 13
4
48 4 t2 + 4
6
24 6 t2
para el caso de la proyección UTM. Para la transformación de distancias …nitas se recurre a
integración numérica
s =
Zb
a
1.4.
1.4.1.
ds
s
(
6
a
+4
m
+
b)
y
s=
Zb
ds
a
s
6
1
a
+
4
m
+
1
(1.9)
b
Sistemas de referencia coordenados (CRS)
ISO 19111: estandarización de sistemas de referencia coordenados
En el año 1994 comienzan los trabajos del Comité Técnico 211 de la ISO (ISO/TC 211), …gura
1.39, con objeto de abordar la estandarización de la información geográ…ca.
Figura 1.39: ISO/TC 211
Entre las áreas de trabajo del ISO/TC 211, …gura 1.40, se encuentra la referenciación espacial
por coordenadas en la denominada ISO 19111, encuadrada dentro del Grupo de Trabajo 3 (WG
3).
Tras los diferentes trabajos por los que pasa la elaboración de una norma ISO, la ISO 19111 se
aprueba en 2003.
A continuación se describen aquellos aspectos de la ISO 19111 que se consideran más importantes en relación a esta asignatura.
44
Figura 1.40: Trabajos del ISO/TC 211
1.4.2.
De…nición de sistema de referencia coordenado
La posición de un elemento geográ…co se puede expresar por un conjunto de coordenadas. La
posición será ambigua si no se dispone de la de…nición completa del sistema de referencia al que
se re…eren las coordenadas.
Un sistema de referencia coordenado (CRS) se de…ne a partir de un datum y de un sistema de
coordenadas, …gura 1.41.
Figura 1.41: De…nición de Sistema de Referencia Coordenado
Un CRS se materializa a partir de un conjunto de puntos con coordenadas, al que habitualmente
se denomina marco de referencia.
El ISO/TC 211 considera que la posición también se puede de…nir a partir de un identi…cador
geográ…co, …gura 1.42, pero se trata en una norma diferente, la ISO 19112.
45
Figura 1.42: Posicionamiento por identi…cador geográ…co frente a posicionamiento por coordenadas.
En algunas ocasiones la componente horizontal y vertical de la posición espacial se re…ere a
diferentes CRS, lo que siempre sucede para sistemas en que la altitud se relaciona con el nivel
medio del mar. Esto se resuelve de…niendo los Sistemas de Referencia Coordenados Compuestos
(CCRS), …gura 1.43.
Figura 1.43: De…nición de Sistema de Referencia Coordenado Compuesto
En base a la de…nición de CRS se tendrán tantos CRS para un mismo datum: coordenadas
geodésicas, coordenadas geodésicas con altitud elipsoidal, coordenadas geodésicas con altitud ortométrica, coordenadas cartesianas, coordenadas sobre la proyección UTM, ...
En la ISO 19111 se establecen todos los parámetros necesarios para de…nir los diferentes elementos que integran un CRS. En la …gura se incluye a modo de ejemplo el grá…co con la de…nición
de ETRS89 en cartesianas geocéntricas (cartesiano tridimensional).
En las …guras 1.45 y 1.46 se muestra la de…nición de EUVN (European Vertical Reference
Network) como sistema compuesto de ETRS89 como CRS planimétrico (en coordenadas geodésicas
o en una proyección) y de UELN-95 como CRS altimétrico.
46
Figura 1.44: Ejemplo de de…nición de ETRS89 - Cartesianas Geocéntricas de acuerdo a ISO 19111
47
Figura 1.45: CCRS - EUVN
En la …gura 1.32 y 1.33 se incluye la de…nición de ETRS-TMzn.
1.4.3.
Sistema de Servicio e Información de CRS de Europa
Dentro del proceso de homogeneización de los CRS acometido en Europa se decidió crear un
repositorio (base de datos) en el que se recopilara y se pusiera a disposición de cualquier usuario
la de…nición de los CRS de Europa, denominándose Sistema de Servicio e Información de CRS de
Europa, quedando su gestión a cargo del Instituto Geográ…co Alemán.
El acceso a esta información se realiza a través de la página web http://crs.bkg.bund.de/crs-eu/.
Para acceder a la información de España basta con picar sobre el link ubicado en el grá…co
sobre España, …gura 1.47.
Los resultados de la consulta para España se muestra en las …guras 1.48, 1.49 y 1.50.
1.4.4.
Operaciones entre sistemas de referencia coordenados
En la ISO 19111 se de…ne una operación de coordenadas como un cambio de coordenadas,
expresado como una relación biunívoca, de un crs a otro. Se de…nen dos tipos de operaciones de
coordenadas, …gura 1.51:
Conversión de coordenadas.- Operación entre dos CRS con el mismo datum.
Transformación de coordenadas.- Operación entre dos CRS con diferente datum.
De igual forma, …gura 1.52, se de…ne operación concatenada de coordenadas como una secuencia
de múltiples operaciones de coordenadas.
En ocasiones, …gura 1.53, para pasar de un CRS referido a un datum a un CRS referido a un
datum diferente, y no se conocen parámetros de transformación directa entre ellos, hay que utilizar
un CRS intermedio para el que se conocen parámetros de transformación desde los dos datums
involucrados.
En la ISO 19111 se establecen todos los parámetros que intevienen en la correcta de…nición de
una operación, tal y como ilustra la …gura 1.54.
48
Figura 1.46: EUVN de…nido como compuesto ETRS89 y UELN-95
Figura 1.47: Sistema de Servicio e Información de los CRS de Europa
Figura 1.48: CRS de España en CRS-EU
49
50
Figura 1.49: CRS de España en CRS-EU: Ed50
Figura 1.50: CRS de España en CRS-EU: Datum Altimétrico Alicante
Figura 1.51: Tipos de operaciones entre CRS: conversión, transformación
51
52
Figura 1.52: Operación concatenada
Figura 1.53: Transformación entre CRS a través de un CRS intermedio
Figura 1.54: De…nición de una operación de transformación conforme a ISO 19111
53
54
1.4.5.
Conversión de coordenadas
Tal y como se ha de…nido en la sección anterior, una operación de conversión entre dos sistemas
de referencia coordenados consiste en un cambio de coordenadas dentro del mismo sistema de
referencia geodésico.
En esta sección se incluye la descripción de las operaciones de conversión más empleadas en
geodesia.
1.4.5.1.
Conversión entre coordenadas geodésicas y cartesianas globales
Las expresiones que permiten obtener las coordenadas cartesianas globales, (X; Y; Z), a partir
de las coordenadas geodésicas, ('; ; h), son:
8
< X = ( + h) cos ' cos
Y = ( + h) cos ' sin
Paso ('; ; h) ! (X; Y; Z) )
(1.10)
:
Z=
1 e2 + h sin '
con,
=a 1
e2 sen2 '
1
2
;
e2 =
a2
b2
a2
(1.11)
siendo a y b los semiejes mayor y menor del elipsoide de revolución, respectivamente.
La relación recíproca, que permite obtener las coordenadas geodésicas ('; ; h) a partir de las
coordenadas cartesianas globales (X; Y; Z), viene dada por.
8
;2
b sin3 #
>
< ' = arctan Z+e
r e2 a cos3 #
Y
(1.12)
Paso (X; Y; Z) ! ('; ; h) )
= arctan X
>
: h= r
cos '
siendo,
# = arctan Za
rb
2
2
e;2 =pa b2 b
r = X2 + Y 2
1.4.5.2.
(1.13)
Conversión entre coordenadas geodésicas y coordenadas sobre una proyección cartográ…ca
Una proyección cartográ…ca queda de…nida cuando se conocen las expresiones que establecen
la correspondencia biunívoca entre la super…cie de referencia (elipsoide o esfera) y el plano de la
proyección, de manera que la conversión en ambos sentidos se realiza a partir de esas expresiones,
sirviendo de ejemplo las incluidas en la proyección UTM.
1.4.5.3.
Conversión entre coordenadas cartesianas locales y cartesianas globales de
un vector
Esta conversión no se re…ere al cambio de sistemas de coordenadas de un punto sino de un
vector.
El motivo de incluir esta conversión se debe a que es muy útil ya que los observables GPS
se acostumbran a expresar en ambos sistemas de coordenadas y a que para obtener el vector en
coordenadas locales polares hay que pasar previamente por las coordenadas cartesianas locales.
Teniendo en cuenta que en ambos casos se trabaja con un vector expresado como incrementos,
la relación entre estos dos tipos de coordenadas se plantea a partir de dos rotaciones, tal y como
se aprecia en la …gura 1.55.
Considérese en primer lugar el caso del paso de cartesianas geocéntricas a geodésicas locales
expresadas como incrementos de coordenadas cartesianas.
La primera rotación tiene como eje de giro el eje Z, sentido trigonométrico y magnitud
+2 ,
con lo que la matriz de rotación resulta:
55
Figura 1.55: Relación entre el sistema de coordenadas cartesianas locales y el sistema de coordenadas cartesianas globales
Rz ( +
obteniéndose,
2
0
cos
) = @ sin
0
Rz ( ) = @
0
+2
+2
sin
cos
0
sin
cos
cos
sin
0
+
+
0
2
2
1
0
0 A
1
1
0
0 A
1
(1.14)
que es únicamente función de la coordenada longitud geodésica.
Tras aplicar la rotación anterior se habrá conseguido que el eje X y x sean paralelos, con lo
que la siguiente rotación se debe realizar en torno a esta dirección común. Esta segunda rotación
tendrá sentido trigonométrico y magnitud 2 ' , resultando:
0
1
1
0
0
sin 2 ' A
Rx (
') = @ 0 cos 2 '
2
0
sin 2 ' cos 2 '
obteniéndose,
0
1
Rx (') = @ 0
0
0
sin '
cos '
1
0
cos ' A
sin '
(1.15)
que es únicamente función de la coordenada latitud geodésica.
Tras esta rotación los ejes de ambos sistemas serán paralelos y coincidiran las tres componentes
de un vector expresado en ambos sistemas. El producto de las dos matrices de rotación permite
deducir la función de transformación entre ambos sistemas de coordenadas:
0
1
0
1
0
1
xij
Xij
Xij
@ yij A = Rx ('i )Rz ( i ) @ Yij A = R ('i ; i ) @ Yij A
zij
Zij
Zij
G
0
1
0
10
1
xij
sin i
cos i
0
Xij
@ yij A = @ sin 'i cos i
sin 'i sin i cos 'i A @ Yij A
(1.16)
zij
cos
'
cos
cos
'
sin
sin
'
Z
i
i
ij
i
i
i
G
56
siendo,
xij = xj
yij = yj
zij = zj
xi
yi
zi
Xij = Xj Xi
Yij = Yj Yi
Zij = Zj Zi
(1.17)
En de…nitiva, se ha deducido la matriz ortogonal correspondiente a un cambio entre dos bases
ortonormales.
De acuerdo a la ortogonalidad de la matriz, la transformación inversa será:
0
1
0
1
Xij
xij
@ Yij A = RT ('i ; i ) @ yij A
Zij
zij
G
0
1 0
10
1
Xij
sin i
sin 'i cos i cos 'i cos i
xij
@ Yij A = @ cos i
sin 'i sin i cos 'i sin i A @ yij A
(1.18)
Zij
0
cos 'i
sin 'i
zij
G
Adviértase que en ambos casos la función de transformación es únicamente función del punto
origen del vector considerado por lo que será constante para cualquier vector a transformar con el
mismo origen.
Una vez obtenidos los incrementos de coordenadas cartesianas en el sistema geodésico local, en
el sistema polar correspondiente se obtendrían las mediciones clásicas:
G
ij
G
ij
= arctan
Xij sin i + Yij cos
Xij sin 'i cos i Yij sin 'i sin
i
+ Zij cos 'i
0
1
X
cos
'
cos
+
Y
cos
'
sin
+
Z
sin
'
ij
i
ij
i
ij
i
i
iA
q
= arc cos @
2
2
2
Xij + Yij + Zij
q
2 + Y 2 + Z2
Dij = Xij
ij
ij
(1.19)
i
(1.20)
(1.21)
De igual forma se puede plantear el proceso de conversión concatenada contrario: pasar de
coordenadas geodésicas locales polares a coordenadas geodésicas locales cartesianas y, …nalmente,
a coordenadas cartesianas.
Los subíndices indican que la observación está referida a los puntos i esimo y j esimo. En
el caso de las coordenadas supone el incremento entre ambos puntos. Adviértase que la distancia
geométrica es independiente del sistema de coordenadas empleado, es la métrica del espacio afín
euclídeo estándar.
1.4.6.
Transformación de coordenadas
Si las coordenadas absolutas de todos los puntos fueran exactas, es decir, estuvieran exentas de
error respecto al sistema de referencia, la transformación entre sistemas de referencia sería trivial,
existirían unos parámetros de transformación únicos, siendo su…ciente para determinarlos tomar
tres puntos no alineados cuyas coordenadas se conocieran en ambos sistemas. Una vez conocidos
los parámetros de transformación, aplicándolos a cualquier punto se obtendrían sus coordenadas
transformadas.
El problema surge cuando la transformación entre dos sistemas de referencia tiene que determinarse a partir de puntos cuya situación respecto a los sistemas considerados viene dada con un
cierto error diferente en cada punto. En este caso los parámetros de transformación no son únicos
y dependerán de la situación del subconjunto de puntos empleado y de la exactitud de sus coordenadas. No existe una única transformación global, determinándose múltiples transformaciones de
carácter local. Se suele considerar una transformación válida para una zona si sus parámetros han
sido determinados a partir de puntos que de…nen un perímetro que la contiene, siendo también
aconsejable que intervengan puntos incluidos en la propia zona.
El modelo de transformación de coordenadas más empleado es el conocido como transformación de Helmert de siete parámetros. Este modelo responde a la expresión de la …gura 1.56 y la
interpretación de los siete parámetros es:
1.5. SISTEMAS DE REFERENCIA LOCALES
57
Figura 1.56: Parámetros de transformación de ETRS89 a Ed50 en España
Coordenadas del origen del sistema inicial expresado en el sistema …nal. Es un vector de
traslación de…nido por sus tres componentes ( X0 ; Y0 ; Z0 )
Un factor de escala (1 + ) que expresa la relación entre la métrica en el sistema …nal respecto
al sistema inicial
Tres rotaciones (
x;
y;
z)
que expresan los giros del sistema inicial respecto al …nal.
En este modelo de transformación la transformación inversa pasa por cambiar el signo a los
parámetros de transformación.
En el año 2000, con objeto de disponer de modelos de transformación entre los diferentes
países europeos se envió una carta a las agencias de mapas europeas solicitando parámetros de
transformación de los datum nacionales a ETRS89 con una precisión de al menos 1 o 2 metros.
Estos parámetros son los incluidos en el repositorio CRS-EU.
En el caso de España, el Instituto Geográ…co Nacional fue el encargado de obtener los parámetros de transformación. La exigencia de alcanzar una precisión en torno a 2 m. llevó a obtener dos
soluciones diferentes para el territorio peninsular español, …gura 1.56.
1.5.
1.5.1.
Sistemas de referencia locales
Introducción
Cuando las características de un trabajo permiten que no sea necesario relacionarlo con el
sistema de referencia geodésico o…cial lo más sencillo es trabajar en un sistema de referencia local.
Su uso se suele restringir a trabajos cuya zona de actuación es de reducidas dimensiones.
Estos sistemas eran muy utilizados hasta no hace mucho por el coste que suponía enlazar a la
geodesia o…cial debido fundamentalmente a la inesistencia de densi…caciones de la red geodésica
y al instrumental y metodología que se utilizaba para el enlace, habitualmente la poligonación
entre dos vértices. Estas circunstancias han cambiado ya que en gran parte del territorio existen
densi…caciones de la red geodésica, al menos en las zonas urbanas, y la introducción de tecnologías
de medición GPS ha simpli…cado en gran medida las operaciones de campo para realizar el enlace.
En un futuro próximo, cuando estén en funcionamiento en todo el territorio la redes de estaciones
permanentes de referencia GPS, el enlace a la geodesia o…cial será tan sencillo como la de…nición
de un sistema de referencia local.
1.5.2.
De…nición y materialización. Red topográ…ca
La de…nición de un sistema de referencia local pasa por materializar uno o varios puntos sobre el
terreno, dotarles de coordenadas y completar parámetros de la de…nición del sistema con el propio
instrumental.
58
En un trabajo que involucre planimetría y altimetría, la de…nición de un sistema de referencia
local pasa por …jar la posición, orientación y escala de un sistema de coordenadas cartesianas
tridimensionales respecto al terreno en la zona de actuación.
Habitualmente la escala queda de…nida por la escala del instrumento de medida de distancias,
distanciómetro o GPS. En el caso de que se trate de un distanciómetro es aconsejable que se tengan
ciertas garantías de la calidad de la de…nición de la escala, lo que pasa por realizar calibraciones
periódicas del instrumental, lo que por otra parte suele exigirse en los pliegos de prescripciones
técnicas de trabajos para la administración.
La dirección del eje Z queda ligada a la dirección de la vertical astronómica en la zona de
actuación, considerándose igual para todos los puntos, salvo raras excepciones en que la amplitud
o precisión exigida obliga a aplicar correcciones para eliminar el efecto de la esfericidad terrestre,
sobre todo en la coordenada altitud. El hecho de que la coordenada Z se re…era a la vertical
astronómica justi…ca que se denomine altitud.
Para completar la de…nición del sistema basta con dotar de coordenadas arbitrarias a un vértice
topográ…co inicial materializado en el terreno con algún sistema de señalización topográ…ca (clavo,
estaca, ...) y por …jar la dirección del eje de ordenadas o norte topográ…co.
Figura 1.57: De…nición y materialización de un sistema de referencia local
Las coordenadas arbitrarias para el vértice se suelen elegir de manera que se evite trabajar
con coordenadas negativas en la zona. Así, si la zona de trabajo tiene una extensión planimétrica
máxima de un kilómetro y un desnivel de setenta metros, bastaría con asignar al vértice inicial las
coordenadas (1000;0; 1000;0; 100;0).
La de…nición del norte topográ…co pasa por dotar de acimut a una dirección materializada
físicamente con origen en el vértice inicial. La metodología de campo consistiría en estacionar
correctamente sobre el vértice topográ…co inicial una estación total, buscar en la vuelta de horizonte
alguna dirección bien de…nida, tal como una antena de telefonía, una veleta sobre una iglesia, una
arista de un edi…cio lejano, ..., y asignarle un acimut, …gura 1.58. Las estaciones totales suelen
disponer de una brújula por si se quiere aproximar el norte topográ…co al norte magnético.
Otra forma habitual de …jar el norte topográ…co consiste en materializar un segundo vértice
topográ…co sobre el terreno, visible desde el vértice topográ…co incial, y asignándole unas coordenadas por el método de radiación topográ…co con un origen para el eje de ordenadas arbitrario y
que pasa a ser el de…nitivo. De hecho, en topografía se suele utilizar el término de base topográ…ca
para aludir a estos dos vértices.
Es fundamental que el sistema de referencia se materialice de manera que se garantice su
perdurabilidad al menos durante todas las fases de realización de los trabajos topográ…cos. En
este sentido, es frecuente que en la fase de replanteo de una obra sea necesario recurrir a alguna
metodología para recuperar el sistema de referencia debido a la desaparición de los vértices de la
red topográ…ca empleada en la fase de levantamiento.
59
Figura 1.58: De…nición del norte topográ…co
Se puede de…nir red topográ…ca como el conjunto de vértices topográ…cos que materializan el
sistema de referencia sobre el terreno y permiten, mediante los métodos topográ…cos e instrumental
adecuados, abordar los diferentes trabajos topográ…cos: levantamiento y replanteo, fundamentalmente. Una red topográ…ca puede materializar un sistema de referencia local o geodésico, constituyendo en este caso una densi…cación del propio marco de referencia geodésico. Al constituir los
puntos de coordenadas a partir de los que se realizan el resto de trabajos han de ser medidos con
un instrumental y metodología que garanticen el cumplimiento de las tolerancias impuestas para
cada trabajo.
La con…guración de una red topográ…ca puede ser de diferentes tipos, …gura 1.59, dependiendo
de las características del trabajo: un único vértice y una dirección de orientación o una base de…nida
por dos vértices, una red de triángulos, una red de poligonales, ...
Figura 1.59: Distintas con…guraciones de redes topográ…cas
Salvo que la zona de actuación sea muy reducida y no existan obstáculos, no suele bastar con un
único vértice, salvo que se utilice instrumental GPS y éste no se vea afectado por los obstáculos, o
se utilize instrumental clásico y toda la zona del trabajo esté en el horizonte visible desde el vértice.
Lo más frecuente es materializar en principio una red que rodee a la zona de actuación, densi…cándose a medida que el trabajo lo precise.
60
Cuando la exigencia de precisión en altimetría es alta es preciso recurrir al instrumental y
metodología propios de la nivelación geométrica. La nivelación geométrica implica restricciones
sobre su marco de referencia, debido fundamentalmente a la conveniencia de que los vértices se
distribuyan sobre líneas en las que exista poco desnivel, …gura 1.60, y se pueda utilizar el nivel
con facilidad, esto se traduce en que las líneas de nivelación suelen discurrir por vías asfaltadas,
líneas de ferrocarril, aceras, ... En el caso más extremo puede ser necesario contar con dos redes
topográ…cas en un mismo trabajo: una para planimetría y altimetría con precisión centimétrica, y
otra para altimetría con precisión milimétrica.
Figura 1.60: Principio de la nivelación
Para materializar un sistema de referencia local con GPS hay que tener presente el sistema de
referencia y de coordenadas al que se re…eren sus observaciones, WGS84. Una solución pasaría por
dotar a un vértice de coordenadas arbitrarias y obtener las del resto de vértices a partir de los
vectores GPS expresados en coordenadas geodésicas locales, de manera que se estaría utilizando
la vertical geodésica de cada vértice en lugar de una vertical astronómica global de toda la zona.
Si la zona es de reducidas dimensiones no afectaría ni la variación entre las verticales geodésicas
en cada punto ni la diferencia de las mismas a la vertical astronómica global. En cualquier caso,
siempre se podría hacer un estudio para acotar los errores sistemáticos al trabajar de esta forma y
veri…car si permite alcanzar las tolerancias impuestas.
1.5.3.
Sistemas de coordenadas
En los sistemas de referencia locales se utilizan principalmente los siguientes sistemas de coordenadas:
Coordenadas cartesianas de una, dos o tres dimensiones . Son los empleados para las coordenadas y para los vectores en el proceso del cálculo de las mismas. Los sistemas de coordenadas
cartesianos de una dimensión son los empleados en trabajos que únicamente precisan de altimetría y en los que se observan únicamente desniveles.
Coordenadas polares: ángulo horizontal, ángulo vertical (o ángulo de inclinación o de pendiente) y distancia. Son los empleados directamente en las mediciones por topografía clásica
(observables medidos con una estación total) pero también se utilizan en el proceso de cálculo.
Coordenadas geodésicas locales. Se utilizan, directa o indirectamente, cuando se incluye el
GPS como sistema de medición.
La transformación entre estos sistemas ya han sido estudiadas anteriormente y serán revisadas
en el estudio de los métodos topográ…cos.
1.5.4.
61
Transformación entre dos sistemas de referencia locales
En un trabajo topográ…co es muy frecuente utilizar información relacionada con diferentes
sistemas de referencia locales.
Un ejemplo sencillo corresponde al caso de tener que replantear en un solar un edi…cio proyectado por un arquitecto en un sistema de referencia local tal que el eje de ordenadas corresponde a
la línea de fachada y el origen es un punto arbitrario, la esquina izquierda más cercana del edi…cio
según se observa de frente su planta.
Otro ejemplo frecuente es el que corresponde al caso de que se deba realizar un levantamiento
en una zona y se disponga del levantamiento de una parte realizada con anterioridad.
La solución más frecuente es transformar toda la información al sistema de referencia al que
se re…ere la red topográ…ca. También se podría de…nir y materializar el sistema de referencia local
de forma que fuera coincidente con el de la información disponible más importante en términos
cuantitativos (mayor cantidad) o cualitativos (más trascendente para el objeto de los trabajos).
La transformación entre dos sistemas de referencia locales no es sino un caso particular de
transformación entre dos sistemas de referencia afín en el espacio afín euclídeo de tres dimensiones
con la particularidad de que coincide la orientación del eje Z y las bases en ambos sistemas son
ortogonales. Si por alguna rara circunstancia no coincidiera la orientación del eje Z el problema
sería similar a la transformación estudiada para sistemas de referencia geodésicos.
A continuación se considera el caso más general.
Sean dos sistemas de referencia locales, So origen y Sd destino, y un conjunto de n puntos
conocidos en ambos sistemas:
X oi = (xoi ; yoi ; zoi ; )
y
X di = (xdi ; ydi ; zdi ; )
para i 2 f1; :::; ng
La transformación en altimetría pasa por determinar y aplicar una traslación. Esta traslación
se obtendría a partir de las altitudes de al menos un punto en los dos sistemas. Si se dispone
de más de un punto se podría obtener una traslación media o media ponderada si se dispone
de la precisión de los diferentes puntos.
n
T zod =
1X
(zdi
n i=1
zoi ) ;
zd = zo + T zod
(1.22)
Adviértase que si se considera la aplicación del modelo de transformación al punto que en el
sistema origen tiene altitud cero se deduce que la traslación no es sino la altitud del origen
del sistema origen en el sistema destino.
La transformación en planimetría pasa por determinar y aplicar un helmert bidimensional,
…gura 1.61. El modelo de la transformación se expresa
xd
yd
=
Tx
Ty
+ (1 + )
cos
sin
sin
cos
xo
yo
(1.23)
El modelo anterior implica a cuatro incógnitas: la posición del origen del sistema origen expresado en el sistema destino, (T x; T y), la relación entre la métrica en el sistema destino
y origen, (1 + ), y el ángulo que forma el eje de ordenadas del sistema origen con el eje
de ordenadas en el sistema destino medido en el sentido trigonométrico, . Para determinar
los cuatro parámetros de la transformación sería necesario formar un sistema de ecuaciones
determinado, para lo que bastaría con conocer la posición de dos puntos en ambos sistemas
dado que cada punto genera dos ecuaciones, una para la abcisa y otra para la ordenada. El
modelo 1.23 no es lineal en las incógnitas pero es muy fácil convertirlo en lineal con el cambio
de variable
a = (1 + ) cos
b = (1 + ) sin
(1.24)
62
Figura 1.61: Transformación de Helmert 2D
de manera que se transforma en
xd
yd
=
Tx
Ty
+
a
b
b
a
xo
yo
y el sistema de ecuaciones para dos puntos conocidos se plantearía
0
10
1 0
1 0 xo1
yo1
Tx
B 0 1 yo1 xo1 C B T y C B
CB
C=B
Ax = b B
@ 1 0 xo2
yo2 A @ a A @
0 1 yo2 xo2
b
(1.25)
como:
1
xd1
yd1 C
C
xd2 A
yd2
cuya solución vendría dada por la inversa de la matriz de diseño del sistema
0
1 0
Tx
1
B Ty C B 0
B
C B
@ a A=@ 1
b
0
0 xo1
1 yo1
0 xo2
1 yo2
1
yo1
xo1 C
C
yo2 A
xo2
1
0
1
xd1
B yd1 C
B
C
@ xd2 A
yd2
Si se dispusiera de más de dos puntos y de información de la precisión de los mismos en
ambos sistemas la solución se obtendría por mínimos cuadrados, obteniéndose además una
estimación de la precisión de los parámetros que permitiría a su vez obtener la precisión de
los puntos que se transformaran posteriormente.

Sistemas de referencia y de coordenadas

Transcripción

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