sistemas de fuerzas

COORDENADAS VECTORIALES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS
Se entiende por sistema de fuerzas a un conjunto de fuerzas como se indica
La resultante general del sistema se obtiene sumando los vectores equipolentes
de cada una de las componentes del mismo; esto es:
r n r
R = ∑ Fi
i =1
La expresión anterior no permite conocer un punto de aplicación del soporte o
línea de acción de tal vector, por lo que R es considerado como un vector libre.
El momento del sistema con respecto a cualquier punto del espacio se puede
valuar considerando la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo,
generalmente, el punto con respecto al cual el momento es más sencillo de calcular, es
el origen, ya que en estas condiciones el momento está dado por la expresión
n
r
r
r
M O = ∑ ( r i x Fi
i =1
)
en la cual el vector ri siempre será un vector de posición a cualquier punto de la
línea de acción de cada componente y Fi representa los vectores equipolentes de las
fuerza involucradas en el sistema.
El vector MO proporciona todas las características del momento; inclusive su
posición, ya que dicho vector siempre se ubica en el denominado centro de momentos
y en estas condiciones MO siempre pasará por el origen.
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Esta pareja de vectores ( R, MO ) se conoce con el nombre de coordenadas
vectoriales del sistema de fuerzas. En este caso se puede presentar la situación en que
R y MO no sean perpendiculares, o sea, que no se cumpla R • MO = 0; igualmente es
factible que la resultante general sea nula.
Ejemplo 1
Calcular las coordenadas vectoriales del sistema activo de fuerzas que se indica
en la viga de la siguiente figura
Ejemplo 2
Obtener las coordenadas vectoriales del sistema de fuerzas que se muestra en la
siguiente figura
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SISTEMAS EQUIVALENTES
Se denominan sistemas equivalentes, aquellos en los que sus coordenadas
vectoriales son iguales, bajo el mismo marco de referencia.
Sean los sistemas I y II actuando en el cuerpo de la siguiente figura
como sus coordenadas vectoriales deben ser iguales se debe cumplir que
r
r
RI = R II
r
r
M OI = M OII
Observe que el número de elementos de cada sistema puede ser diferente, sin
que esta situación determine la equivalencia o no equivalencia de los sistemas.
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Ejemplo 1
Demostrar que el sistema de fuerzas activo aplicado en la estructura de la figura,
es equivalente a la fuerza F = - 2000 i – 6000 j [ N ] que pasa por el punto P (22, 0, 0)
[m]
Ejemplo 2:
Considerando que los siguientes sistemas de fuerzas son equivalentes,
determinar la fuerza F6 y el punto P6, ubicado en el plano XY.
Sistema I
F1 = 5 i + 9 j + 20 k [ N ]
P1 (1, 2, 3) [ m ]
F2 = 5 i + 11 j + 10 k [ N ]
P2 (1, 1, 1) [ m ]
F3 = 6 i - 4 j - 2 k
[ N ] P3 (2, 4, 6) [ m ]
F4 = - 6 i + 4 j + 2 k [ N ] P4 (-3, 5, 0) [ m ]
F5 = 3 i - 2 j + 8 k
[N]
P5 (0, 9, 16) [ m ]
Sistema II
F6 =
P6
F7 = - 3 i
[ N ] P7 (5, 6, 0) [ m ]
F8 = 3 i
[ N ] P8 (7, 6,1) [ m ]
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COORDENADAS VECTORIALES CORRESPONDIENTES
A SISTEMAS DE FUERZAS
Sistema de
fuerzas
Coordenadas
vectoriales
Se cumple que
n
r
r
R = ∑ Fi
Concurrentes
i =1
R • MO = 0
 n r
M O = rP x ∑ Fi 
 i =1 
n
r
r
R = ∑ Fi
Colineales
i =1
R • MO = 0
 n r
M O = rP x ∑ Fi 
 i =1 
a) R • MO = 0
n
r
r
R = ∑ Fi
Paralelas
i =1
n
r
M O = ∑ ri xFi
i =1
las fuerzas del sistema están
contenidas en un plano
b) R • MO ≠ 0
las fuerzas del sistema no son coplanares.
a) R • MO = 0
n
r
r
R = ∑ Fi
Generales
i =1
n
r
M O = ∑ ri xFi
i =1
las fuerzas del sistema están
contenidas en un plano
b) R • MO ≠ 0
las fuerzas del sistema no son coplanares.
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REDUCCION DE SISTEMAS DE FUERZAS
Es el proceso que consiste en obtener, de un sistema de fuerzas cualquiera, un
sistema equivalente que se considera irreductible (mínimo en sus componentes) que
produzca los mismos efectos externos que el sistema original.
Los sistemas irreductibles son:
a) el constituido por una sola fuerza,
Los sistemas de fuerzas que pueden reducirse a una sola fuerza son los
colineales, concurrentes (coplanares y espaciales), paralelos y generales en el
plano.
En este tipo de reducción se consideran dos posibilidades:
a.1) la reducción consiste en una fuerza que pasa por el origen del sistema de
referencia. Las coordenadas vectoriales del sistema por reducir son
r n r
R = ∑ Fi ≠ 0
i =1
n
r
M O = ∑ ri xFi = 0
i =1
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a.2) la reducción consiste en una fuerza cuyo soporte no pasa por el origen
del sistema de referencia. Cuado las coordenadas vectoriales del sistema
por reducir son
r n r
R = ∑ Fi ≠ 0
i =1
n
r
M O = ∑ ri xFi ≠ 0
i =1
tendremos
para estas condiciones existen dos posibilidades
a.2.1.) que el momento MO y la fuerza F sean perpendiculares
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resumiendo
Dado que los sistemas I y II deben ser equivalentes y como se
conoce R, lo único que cabria aclarar es la localización del
punto P. Sabemos que RI = RII ; analizando ahora la expresión
de momentos
n
n
i =1
i =1
M = ∑ (ri x Fi )I = ∑ (ri x R i )II = M O
R
O
II
ya que se tiene una sola fuerza en el sistema II, su momento
con respecto al origen necesariamente debe ser igual a MO,
entonces
M OR = rP x RII
Se desconocen las coordenadas del punto P, pero se puede
suponer un punto cualquiera en el espacio P(X, Y, Z), como
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i
rP x R = x
j
y
Rx
Ry
k
z =
Rz
( yRZ − zRY ) i − (xRZ − zRX )
j + ( xRY − yRX ) k
y dado que son vectores, es posible formar un sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas.
( yRZ − zRY ) = M OR
(xRZ − zRX ) = M OR
(xRY − yRX ) = M OR
X
Y
Z
cuya solución proporcionará las coordenadas del punto
buscado.
Cabe mencionar que la determinación de los valores de x, y y
z definen la ecuación del eje central: “El lugar geométrico de
todos los puntos del espacio tridimensional con respecto a los
cuales el momento del sistema es de módulo mínimo”.
Como puede proporcionarse cualquier punto de la línea de
acción de la fuerza y en virtud de que las fuerzas se pueden
considerar como vectores deslizantes, en lugar de escoger un
punto cualquiera, es posible seleccionar el punto en el cual la
línea de acción de la fuerza intersecte a cualquiera de los
planos coordenados.
Por lo que deberá analizarse el vector fuerza ya que,
dependiendo de la dirección de dicho vector, intersecará o no
a los planos coordenados, por lo que es conveniente observar
las siguientes posibilidades.
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R = xi + yj +zk
P1(x1,y1,0)
R = xi + yj
R = xi
R=
+zk
P1(x1,y1,0)
yj +zk
P1(x1,y1,0)
P1(x1,0,z1)
P1(0,y1,z1)
P1(x1,0,z1)
P1(0,y1,z1)
P1(0,y1,z1)
P1(x1,0,z1)
R = xi
R=
P1(0,y1,z1)
yj
R=
P1(x1,0,z1)
zk
P1(x1,y1,0)
b) a.2.2 ) el constituido por una fuerza y un par no coplanares (motor)
Los sistemas de fuerzas que pueden reducirse a una fuerza y un par no
coplanares son los sistemas generales en el espacio, siempre y cuando no
sean reductibles a una fuerza, a un par de fuerzas o al equilibrio y cuando
las coordenadas vectoriales canónicas sean
r n r
R = ∑ Fi ≠ 0
i =1
n
r
M O = ∑ ri xFi ≠ 0
i =1
y además se cumple que R • MO ≠ 0, es decir, estos vectores no son
perpendiculares.
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teniendo una fuerza y un momento en el origen
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c) el conformado por un par de fuerzas,
Los sistemas de fuerzas que pueden reducirse a un par de fuerzas son los
conformados por fuerzas paralelas y los generales tanto en el plano como
en el espacio, siempre y cuando sus coordenadas vectoriales sean
r n r
R = ∑ Fi = 0
i =1
n
r
M O = ∑ ri xFi ≠ 0
i =1
Esto implica que el único efecto externo que los sistemas mencionados
pueden ocasionar a cuerpos sobre los que se apliquen, sea una tendencia al
giro. No se conoce la magnitud de las fuerzas, ni dirección y puntos de
aplicación.
d) un sistema de fuerzas en equilibrio.
r n r
R = ∑ Fi = 0
i =1
n
r
M O = ∑ ri xFi = 0
i =1
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