I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a

I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a

I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a forma normal.
I. GEOMETRÍA
I.5. Cónicas: clasificación, parámetros,
reducción a forma normal.
I. GEOMETRÍA I.5. Cónicas: clasificación, parámetros, reducción a forma normal.
I.5.1. Definición
Consideramos R = O; ~e1 , ~e2 siendo ~e1 , ~e2 la base
canónica de R2 .
DEF. En el plano afín, se llama cónica al lugar geométrico de
los puntos X (x, y)R ∈ E2 que verifican una ecuación del tipo:
a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0
aij ∈ R, i, j = 1, 2, 3, i ≤ j
Notación matricial:

 
x
a11 a12 a13
x y 1 a12 a22 a23  y  = 0 ⇔ X t
a13 a23 a33
1
X
1 A
=0
1
A es la matriz de la cónica. También se puede escribir:
a11 a12
0 0
X t TX +2 a13 a23 X +a33 = 0 con T =
6=
a12 a22
0 0
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I.5.2. Ecuaciones de una cónica en distintos
sistemas de referencia
Consideramos
dos sistemas de referencia: R = O; ~e1 , ~e2 y
R′ = P; ~u1 , ~u2 .
Si P(p, q)R y (~u1~u2 ) = (~e1~e2 )C, la relación entre las
coordenadas de X ∈ E2 en los dos sistemas de referencia
viene dada por:
  
 ′
x
c11 c12 p
x1
y  = c21 c22 q  x ′ 
2
1
0
0 1
1
Trasponiendo:
x
y


c11 c21 0
1 = x1′ x2′ 1 c12 c22 0
p
q 1
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I.5.2. Ecuaciones de una cónica en distintos
sistemas de referencia (II)
 
x

Ecuación de la cónica en R: x y 1 A y  = 0
1
Sustituyendo para cambiar la referencia:

 
  ′
c11 c21 0
c11 c12 p
x
′
′





c12 c22 0 A c21 c22 q
y ′ = 0
x y 1
p
q 1
0
0 1
1
En el
sistema de referencia
R′ la matriz
 
 de la cónica es:
c11 c21 0
c11 c12 p
A′ = c12 c22 0Ac21 c22 q  congruente con A.
p
q 1
0
0 1
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I.5.3. Obtención de la ecuación reducida de una
cónica
Resultados necesarios:
1
~u1 , ~u2 es una base ortonormal si y sólo si C = ~u1 ~u2
es ortogonal.
Es decir: (~u1 · ~u2 = 0, k~u1 k = k~u1 k = 1) ⇔ C −1 = C t
2
Dada una matriz simétrica T , existe una matriz ortogonal
C tal que C t TC = C −1 TC es diagonal.
Toda matriz simétrica se puede diagonalizar
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I.5.3. Obtención de la ecuación reducida de una
cónica (II)
Proceso de obtención de la ecuación reducida:
1
Diagonalización de la matriz de términos cuadráticos (T ):
Dado que la matriz T es simétrica, existe
una matriz
λ1 0
t
−1
ortogonal C tal que: C TC = C TC =
0 λ2
Se trata de un cambio de base dado por la matriz C que
transforma la ecuación de la cónica de modo que
desaparece el término xy.
2
Eliminación de términos lineales:
Si ninguno de los autovalores de T es nulo, es posible,
mediante un cambio de origen, eliminar los términos en x
e y.
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I.5.4. Clasificación de las cónicas
DEF. Llamamos invariantes métricos de las cónicas a
I1 = a11 + a22
I2 = |T |
I3 = |A|
Clasificación:
I3 = 0 Cónica degenerada
I3 6= 0
I2 = 0 Parábola
I2 < 0 Hipérbola
I2 > 0
I1 · I3 < 0 Elipse
I2 < 0 Cónica imaginaria