Examen Septiembre 2002

Komunikazioaren Teoria / Teoría de la Comunicación
Septiembre 2002 Iraila
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Denbora / Tiempo: 3 horas
Problema 1 (20p.)
Una tensión senoidal x (t ) = A ⋅ sin( 2πf 0 t + φ x ) en donde A es una variable aleatoria, y φ x una
fase aleatoria uniformemente distribuida en (0, 2π) e independiente de A, se pasa a través del
filtro paso bajo RC de la figura:
R
C
a) ¿Es x(t) estacionario en sentido amplio? Justifique su respuesta. (5 ptos)
b) Para la tensión senoidal de salida y (t ) = B ⋅ sin( 2πf 0t + φ y ) calcular B y φ y en función
de A, φ x, f0 , R y C. (5 ptos)
c) Calcular la func ión de correlación de la entrada con la salida Rxy (τ). (5 ptos)
d) Calcular la función de correlación de la salida Ryy (τ). (5 ptos)
Problema 2 (30p.)
Como sabe, un filtro adaptado a una cierta señal de entrada s(t), se caracteriza por tener una
respuesta impulsional del tipo:
h (t ) = s (T − t )
A lo largo de este ejercicio vamos a analizar algunas importantes propiedades de estos filtros. Es
importante que realice las demostraciones justificando todos los pasos realizados.
a) Demuestre la siguiente propiedad:
Propiedad 1.- Cuando la entrada al filtro es la señal a la cual está adaptado, el espectro S0 (f) de
la señal de salida s0 (t) es proporcional a la Densidad Espectral de Energía de la señal de entrada
(|S(f)|2 ), salvo por un factor de retardo. (6 ptos)
b) Demuestre la siguiente propiedad:
Propiedad 2.- Cuando la entrada al filtro es la señal a la cual está adaptado, la salida es
proporcional a una versión desplazada de la función de autocorrelación de la entrada. (6 ptos)
c) Demuestre la siguiente propiedad:
Propiedad 3.- Cuando la entrada al filtro es la señal a la cual está adaptado, y a la entrada del
filtro hay ruido blanco, la relación SNR definida como:
SNR =
s 0 (T )
σn
2
2
(σn2 es la potencia de ruido a la salida del filtro adaptado)
depende únicamente de la relación entre la energía de la señal a la entrada y de la densidad
espectral del ruido blanco situado a la entrada. (6 ptos)
d) Considere un filtro adaptado a una señal s(t) de energía finita y duración T segundos. El filtro
se excita con una entrada consistente en una versión de s(t) retardada t0 segundos. ¿En qué
instante alcanza la salida del filtro su máxima amplitud? ¿Cuál es el valor máximo de la salida y
qué significado tiene? (6 ptos)
e) El filtro adaptado puede emplearse en la recepción óptima de pulsos en presencia de ruido
gausiano, mediante el esquema:
s(t)
s0 (t)
h(t)
s0 (T)
Dibuje otra posible implementación o realización del mismo receptor. Demuestre que las salidas
obtenidas con ambos esquemas son las mismas, calculando la expresión de la señal de salida en
ambos casos para una señal de entrada x(t) cualquiera (para la que el filtro no está
necesariamente adaptado). (6 ptos)
Problema 3 (25p.)
La señal de entrada al detector síncrono de la figura es:
y R ( t ) = [ Al + Am x( t ) ]cos wc t − An x′(t ) sen wc t + n (t )
donde x′(t ) es una transformación lineal del proceso x (t ) y n (t ) es un ruido blanco con
densidad espectral de potencia
η
2.
Bloqueo
de
continua
y R (t )
Filtro ideal de predetección
ajustado al ancho de banda
de transmisión
y D (t)
K D cos( wc t + φ )
a)
b)
Obtener la relación S/N a la salida del detector. (13 ptos)
Particularizar el resultado de la relación S/N obtenida para los casos de modulación
AM, DBL y BLU. Para ello realice las consideraciones oportunas en la expresión
analítica de y R (t ) para adecuarse a la definición de cada modulación. (8 ptos)
c)
¿Cómo influye la fase inicial del oscilador local φ en la relación S/N de cada una de las
modulaciones anteriores? (4 ptos)
Problema 4 (25p.)
Se considera una transmisión digital utilizando un código AMI de la forma:
El canal que atraviesa introduce un ruido gaussiano n(t) de media nula y varianza σ 2 = 10 −6 ,
y finalmente se encara un receptor como el descrito en la figura siguiente, llegando la señal con
una amplitud V=5mV,
Muestreador
cada Ts
Circuito de
decisión
n(t)
a)
b)
c)
Considerando los '1' y '0' equiprobables, calcule los umbrales ±UD que deben
configurarse en el circuito de decisión a partir del criterio de máximo a posteriori MAP.
(10 ptos)
Considerando que se configura el detector con UD = 2.63mV, calcule la probabilidad de
error P e de la recepción. (9 ptos)
Dibuje una gráfica aproximada para la probabilidad de error Pe en función de UD del
circuito de decisión. Utilice para ello la gráfica de la función de coerror que a
continuación se presenta. (6 ptos)