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El concepto de lı́mite de una función en el infinito.
Def. Sea f : [a, b] → R, f se aproxima al lı́mite L cuando x → ∞ si
lı́m f (x) = L
x→∞
si y solo si
∀ > 0
∃A() > 0
tal
que
|f (x) − L| < ∀x > A()
Criterios de convergencia de Integrales Impropias
Condición de Cauchy
Una condición necesaria para que la integral impropia converga es que
cualquiera que sea > 0 ∃A() > 0 tal que para x,y arbitrarias y x, y > A()
se cumple entonces que
Z y
f (t)dt < x
R∞
Dem:Suponemos que la integral impropia a f es convergente y por definición de lı́mte dado > 0 arbitrario ∃ A() > 0 tal que
Z b
<
f
−
L
2
a
∀b > A()
con lo que si x, y > A(), se verifica
Z y Z a
Z y Z y
Z
f = f+
f ≤ f − L + L −
x
x
a
a
a
x
f < + = 2 2
2
1
x2
Ejemplo:Sea f (x) =
∞
Z
1
tenemos entonces que
1
= lı́m
x2 b→∞
b
Z
1
1
−1 b
| =1
=
lı́m
x2 b→∞ x 1
Por otro lado según la definición de lı́mite
Z x
1
<
−
1
para
todo
2
t
1
x > A()
por lo que
Z x
1x
1
1 1
1
1
− 1 = − |1 − 1 = − + 1 − 1 = − = =
<
2
t
x
x
x
|x|
1 t
Si
1
< |x| basta que x >
Z
4
3
1
1
2
si =
⇒ x > 2 por lo tanto
1 1 4 1 1 1 1
dt = − | = − +
=
<
t2 t 3 4 3 12 2
Criterio de Comparacón
Teorema.- Si f, g R: [a, ∞) → R son integrables
en todo α, w ∀w > a, si
R∞
∞
0 ≤ f ≤ g ∀x > α y a g existe entonces a f también exite
Dem: Como
Z x
Z w
f≤
0≤
entonces el conjunto
Z
{
g
α
α
w
f |w > a}
α
es
R wun conjunto acotado superiormente, entonces tiene supremo; como F (w) =
f es no decreciente, entonces el lı́mite cuando w → ∞ de F existe y por
α
tanto
Z ∞
f
existe
α
Ejemplo.-Probar que la integral
Z ∞
Senx
A=
dx
x
1
es
convergente
3
tenemos que
Z ∞
Z b
Z b
Senx
−Cosx b
Cosx
1
dx = lı́m
dx = lı́m
|1 −
Senx
dx
{z
}
|
b→∞
b→∞ 1
x
x
x
x2
1
1
|{z}
dv
u
Z b
Z b
Cosx
Cosb
Cosx
+ Cos(1) −
= lı́m −
dx
=
Cos(1)
−
lı́m
dx
b→∞
b→∞ 1
b
x2
x2
1
ésta última integral podemos acotarla
Z ∞
Cosx dx
≤ 1
y
converge
x2 x2
x2
1
por lo tanto la integral dada es convergente
Criterio del cociente
Sean 2 funciones f, g : [a, ∞] → R integrables en todo intervalo [a, x] ⊂
[a.∞) y tales que f (x) ≥ 0 y g(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, ∞). Si existe lı́mx→∞ fg = L
se cumple entonces
R∞
R∞
1) Si 0 < L < ∞ las integrales impropias a f y a g son ambas convergentes o ambas divergentes
R∞
R∞
2) Si L=0 y la integral impropia a g es convergente entonces a f también es convergente
R∞
3)RSi L = ∞ y la integral impropia a g es divergente entonces también
∞
lo es a f
DemPor definición de lı́mite en el infinito de una función tomamos 0 <
< L y X0 > 0 tal que para x > x0
f (x) − Lg(x) f (x)
< ⇒ |f (x) − Lg(x)| < |g(x)| es
decir
g(x) − L < g(x)
por lo que tenemos
−g(x) < f (x)−Lg(x) < g(x) ⇒ f (x) < (L+)g(x)
y
g(x) <
1
f (x)
L−
Aplicando el criterio de comparacion tenemos el resultado.
Ejemplo.-Aplicar el criterio del cociente para determinar la convergencia
de la integral impropia
Z ∞
x+1
dx =
3
x +x+2
1
4
Tenemos que
f (x) =
x3
x+1
+x+2
y
sea
g(x) =
1
x2
por lo tanto
f (x)
= lı́m
lı́m
x→∞
x→∞ g(x)
x+1
x2 +x+2
1
x2
x3 + x2
= lı́m
= lı́m 3
x→∞
x→∞ x + x + 2
1 + x1
x→∞ 1 + 12 +
x
= lı́m
2
x3
x3
x3
x3
x3
+
x2
x3
+
x
x3
+
2
x3
=1
por lo que según el criterio del cociente ambas integrales convergen o ambas
integrales Rdivergen.
R∞
∞
dx converge
Como 1 x12 dx = 1 converge entonces 1 x3x+1
+x+2