Integral impropia

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Integral impropia
De primera especie
Si una función f es integrable en cada intervalo de la forma [a, R] para cualquier R ≥ a se
define
Z ∞
Z R
f (x) dx = lı́m
f (x) dx
R→∞
a
a
.
Se dice que la integral impropia es
convergente si el lı́mite es finito
divergente si el lı́mite es finito
oscilante si el lı́mite es no existe
De manera análoga se puede definir la integral impropia cuando el intervalo de integración es
[−∞, b] o [−∞, ∞]:
Z
Z
b
b
f (x) dx = lı́m
Z
Z
∞
R1 →∞
−R
Z
c
f (x) dx = lı́m
−∞
f (x) dx
R→∞
−∞
R2
f (x) dx + lı́m
R2 →∞
−R1
f (x) dx
c
De segunda especie
Si una función f es integrable en cada intervalo de la forma [a + ², b] para 0 < ² < b − a
pero no acotada en [a, b]. Entonces se define
Z
a
Z
b
f (x) dx = lı́m+
²→0
b
f (x) dx
a+²
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Se dice que la integral impropia es
convergente si el lı́mite es finito
divergente si el lı́mite es finito
oscilante si el lı́mite es no existe
De manera análoga se puede definir la integral impropia cuando no hay acotación en el extremo
superior o en ambos extremos del intervalo:
Si f es integrable en [a, b − ²],
Z
Z
b
a
f (x) dx = lı́m+
²→0
b−²
f (x) dx
a
Si f es integrable en [a + ²1 , b − ²2 ],
Z
a
Z
b
f (x) dx = lı́m+
²1 →0
Z
c
a+²1
f (x) dx + lı́m+
²2 →0
Material interactivo
Ejercicio: Área de una región infinita. Ejemplo 1
Ejercicio: Área de una región infinita. Ejemplo 2
b−²2
f (x) dx
c