Examen de marzo de 2012.

Examen de Introducción a la Optimización
4 de abril de 2012
Resolver los problemas. Tiempo total 2 h.
1. Una industria tiene n clientes en diferentes sitios del mundo y está considerando la posibilidad de construir hasta m fábricas en diferentes sitios.
Se conocen los pedidos de los clientes, pi , i = 1, . . . , n, el coste de construir
las fábricas, rj , j = 1, . . . , m, la capacidad de producción de las fábricas, dj ,
j = 1, . . . , m, y el coste de hacer un envı́o de la fábrica j al cliente i, ci,j (un
cliente puede necesitar envı́os de diferentes fábricas para satisfacer su pedido).
Escribir un modelo lineal que permita determinar las fábricas que hay que
construir para minimizar los costes.
2. Sea H una matriz simétrica de n×n, y sea f (x) = ct x+(1/2)xt Hx. Sea D1 una
matriz definida positiva de n × n y sea x1 un vector dado. Para j = 1, . . . , n,
sea λj la solución óptima de minimizar f (xj + λdj ), y sean xj+1 = xj + λj dj ,
donde dj = −Dj ∇f (xj ) y
Dj+1 = Dj +
(pj −Dj qj )(pj −Dj qj )t
qjt (pj −Dj qj )
pj = xj+1 − xj
qj = Hpj .
Sabiendo que pi = Dj+1 qi para i ≤ j, j = 1, . . . , n, que los pi son linealmente
independientes y que H es invertible, demostrar que qi = HDj+1 qi para i ≤ j
y j = 1, . . . , n, y que Dn+1 = H −1 .