Problema de extremos con 2 variables.

Problema de extremos con 2 variables.
Se pide calcular los extremos de la función f : D → R, f (x, y) = sen(x+y)−cos(x−y),
siendo el dominio D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ π/2}.
1) Estudiamos primero el interior del dominio (0 < x < π/2, 0 < y < π/2). La
condición necesaria de extremo es:

∂f
= cos(x + y) + sen(x − y) = 0 


π π ∂x
=⇒ P
,
(1)

4 4

∂f

= cos(x + y) − sen(x − y) = 0
∂y
Condición suficiente: calculando las derivadas segundas, obtenemos el hessiano
0 −2
HP =
(2)
−2
0
correspondiente a una f. c. indefinida, por lo que se trata de un punto de silla.
2) Estudio de la frontera. Sean los puntos A(0, 0), B(0, π/2), C(π/2, 0), D(π/2, π/2).
En cada segmento determinado por dos de ellos, f se convierte en una función de
una variable, a la que primero buscamos puntos de derivada nula y luego calculamos
el valor en los extremos del segmento (lo haremos de una sola vez al final).
a) En AC, y = 0 =⇒ f = sen x − cos x =⇒ f 0 = cos x + sen x. La ecuación f 0 = 0
no tiene solución para x ∈ [0, π/2].
π = cos x − sen x =⇒
−
cos
x
−
b) En BD, y = π/2 =⇒ f = sen x + π
2
2
f 0 = − sen x − cos x. Tampoco existe solución para f 0 = 0 en x ∈ [0, π/2].
c) En AB, x = 0 =⇒ f = sen y − cos y (idéntico al caso a)).
π
π
d ) En CD, x = π/2 =⇒ f = sen 2 + y − cos 2 − y (id. b)).
Los valores de f en los 4 extremos son: fA = fD = −1; fB = fC = 1.
π ,
3) Entonces la función f , en el dominio considerado, tiene un punto de silla en P π
,
4 4
dos máximos relativos en los puntos B y C y dos mı́nimos relativos en los puntos
A y D. Estos extremos relativos son también absolutos en sentido amplio (≤).