Cálculo Diferencial e Integral III Tarea 3 Septiembre de 2009 1. Sea f

Cálculo Diferencial e Integral III Tarea 3 Septiembre de 2009 1. Sea f

Cálculo Diferencial e Integral III
Tarea 3
Septiembre de 2009
1. Sea f : I ⊂ R → Rn derivable en x0 ∈ I. Pruebe que f es continua en x0 .
2. Sean g, f : I ⊂ R → R3 derivables en x0 ∈ I. Pruebe que la función (f × g) : I ⊂ R → R3 ,
definida como (f × g)(t) = f (t) × g(t), también es derivable en x0 y que además (f × g)0 (x0 ) =
f (t) × g 0 (x0 ) + f 0 (x0 ) × g(x0 )
3. Sea γ : [a, b] → Rn derivable. Prueba que existe ξ ∈ (a, b) tal que
kγ(b) − γ(a)k2 = (b − a)γ 0 (ξ) · (γ(b) − γ(a))
4. Muestra que la curva descrita por la función γ(t) = (sen(2t), 2 sen2 (t), 2 cos(t)) (t ∈ R) pertenece a
una esfera con centro en el origen. Calcula su rapidez y muestra que la proyección en el plano XY
de su velocidad tiene norma constante.
5. Un objeto gira (en el sentido de las manecillas del reloj) sobre una circunferencia centrada en el
origen y de √
radio R
√ con rapidez constante v. Si el objeto se desprende de la circunferencia en el
punto (−R/ 2, R/ 2), ¿en qué punto y en cuánto tiempo intersecta al eje Y ? ¿Cuál debería ser la
rapidez del objeto sobre la circunferencia para que alcance el mismo punto en la mitad del tiempo?
6. Suponga que la posición (en R3 ) de un objeto de masa m está dada por la función P (t). Si la
fuerza F que se ejerce sobre el objeto en el instante t (y que produce su movimiento) es tal que
F (t) = α(t)P (t) (donde α(t) es un escalar que depende de t), pruebe que el objeto se mueve sobre
un plano (sugerencia: use la segunda ley de Newton).
³R
´
Rb
Rb
b
7. Dada γ : [a, b] → Rn continua, con γ = (γ1 , . . . , γn ). Defina a γ(t)dt = a γ1 (t)dt, . . . , a γn (t)dt .
Pruebe que:
Rb
Rb
(a) si ĉ = (c1 . . . , cn ) es un vector constante, entonces a ĉ · γ(t)dt = ĉ · a γ(t)dt
° R
°R
°
° b
b
(b) ° a γ(t)dt° ≤ a kγ(t)k dt (sugerencia: use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para probar que
°R
°
Rb
° b
°
γ(u) · a γ(t)dt ≤ kγ(u)k ° a γ(t)dt° para toda u ∈ [a, b]; integre con respecto de u y use la
identidad del primer inciso).
Rb
(c) si γ tiene derivada continua, entonces kγ(b) − γ(a)k ≤ a kγ 0 (t)k dt = l(γ). Interprete geométricamente.
´
³
2
2u
, u ∈ [0, 1]. Prueba
8. Considera las funciones γ(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, π/2], y σ(u) = 1−u
,
1+u2 1+u2
que γ es una reparametrización de σ.
9. Supóngase que γ está parametrizada por la longitud de arco s. Si T (s) es el vector tangente unitario y θ(s, h) representa el ángulo formado por T (s) y T (s + h), pruebe que k(s) = kT 0 (s)k =
limh→0 |θ(s, h)/h|.
10. Sea γ : [a, b] → R3 una curva regular (γ 0 (t) 6= 0̂ para toda t ∈ [a, b]). Si T (t) = γ 0 (t)/ kγ 0 (t)k,
N(t) = T 0 (t)/ kT 0 (t)k y B(t) = T (t) × N (t), prueba que:
i) k(t) =
kγ 0 (t)×γ 00 (t)k
kγ 0 (t)k3
ii) B 0 (t) · B(t) = 0 = B 0 (t) · T (t)
iii) B 0 (t) es un múltiplo escalar de N(t)
iv) si denotamos por −τ al número (del inciso anterior) tal que B 0 (t) = −τ N (t), prueba que
τ=
[γ 0 (t) × γ 00 (t)] · γ 000 (t)
kγ 0 (t) × γ 00 (t)k2
v) supóngase que γ está parametrizada por la longitud de arco s. Pruebe que:
a) τ =
[γ 0 (s)×γ 00 (s)]·γ 000 (s)
kγ 00 (s)k2
b) N 0 (s) = −kT (s) + τ B(s)
11. Sea γ : [a, b] → Rn una curva regular. Prueba que la curvatura k en cada punto γ(t) está dada por:
´1/2
³
kγ 0 (t)k2 kγ 00 (t)k2 − (γ 0 (t) · γ 00 (t))2
kγ 0 (t)k3
12. Sea f : [a, b] → R una función dos veces derivable. Pruebe que la curvatura en el punto (x, f(x)), de
la gráfica de f , está dada por
|f 00 (x)|
k(x) = h
i3/2
1 + (f 0 (x))2
13. Sea γ(t) = (a cos(ωt), a sen(ωt), bt), t ∈ R
(a) calcula la parametrización por longitud de arco de esta curva
(b) calcula los vectores T (s), N (s) y B(s) en cada punto de esta curva
(c) calcula la curvatura, el radio de curvatura y la torsión en cada punto de esta curva
14. Un ratón se mueve con rapidez constante v sobre una circunferencia de radio R y un gato, también
con rapidez constante v, persigue al ratón (empezando desde el centro de la circunferencia) de tal
forma que el ratón, el gato y el centro de la circunferencia siempre son coliniales. ¿Alcanza el gato
al ratón? ¿en qué punto? ¿en qué tiempo?
15. Sean f, g : A ⊂ Rn → R (con A abierto) derivables en el punto x̂0 ∈ A y tal que g(x̂0 ) 6= 0. Prueba
que la función f /g es derivable en x̂0 ∈ A y obtén una fórmula para ∇(f/g)(x̂0 ).
∂f
∂g
16. Sean f, g : A ⊂ Rn → R y x̂0 ∈ A. Si ∂x
(x̂0 ) y ∂x
(x̂0 ) existen, pruebe la existencia (y deduzca una
i
i
expresión) de cada una de las siguientes derivadas parciales:
i)
∂(f +g)
∂xi (x̂0 )
ii)
∂(f g)
∂xi (x̂0 )
iii)
∂(f /g)
∂xi (x̂0 )
(si g(x̂0 ) 6= 0)
17. Muestra que en el ejercicio anterior la derivada parcial con respecto a xi se puede cambiar por la
derivada direccional con respecto a un vector unitario û y los resultados siguen siendo ciertos.
18. Sean f : A ⊂ Rn → R, g : B ⊂ R → R, con f derivable en x̂0 ∈ A y g derivable en y0 = f (x̂0 ) ∈ B.
Prueba que g ◦ f es derivable en x̂0 y encuentra una expresión para ∇(g ◦ f )(x̂0 ).
19. Sea f : R2 → R definida como
f (x, y) =
⎧
⎪
⎨
xy2
x2 +y 2
⎪
⎩ 0
si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) 6= (0, 0)
Prueba que esta función tiene todas sus derivadas direccionales en el (0, 0) pero que sin embargo no
es derivable en este punto.
20. Sea f : R2 → R. Use la regla de la cadena para demostrar que:
⎛ x
⎞
Z
Zx
∂f
∂ ⎝
(x, y)dy
f (x, y)dy ⎠ = f (x, x) +
∂x
∂x
0
(Define F (u, v) =
Ru
0
f (v, y)dy
y da por hecho que
0
∂F
∂v (u, v)
=
Ru ∂f
0
∂x (v, y)dy)
21. Sea f : R2 → R tal que f (x, y) = f (y, x) para todo (x, y) ∈ R2 . Prueba que
todo (a, b) ∈ R2 .
∂f
∂x (a, b)
=
∂f
∂y (b, a)
para
22. Sea f : A ⊂ Rn → R, con A un abierto conexo y f derivable en x̂, para toda x̂ ∈ A. Prueba que
si Df (x̂) = 0̂ para toda x̂ ∈ A entonces f es una función constante. (Recuerda que en un conjunto
abierto conexo cualquier par de puntos se pueden unir por una poligonal de lados paralelos a los
ejes).
∂f
(x̂) = 0 para toda x̂ ∈ A, y A un conjunto que tiene la propiedad
23. Sean, f : A ⊂ Rn → R tal que ∂x
i
de que siempre que x̂ y ŷ sean dos puntos de él que sólo difieren en su i-ésima coordenada, entonces
el segmento [x̂, ŷ] que los une está contenido en A. Pruebe que bajo estas hipótesis, entonces f no
depende de la variable xi . ¿Es importante que A tenga esta propiedad para que el resultado sea
cierto? Justifique su respuesta.
∂f
(con i = 1, . . . , n) existen y son acotadas en una
24. Sean, f : A ⊂ Rn → R y x̂0 ∈ A tales que ∂x
i
vecindad de x̂0 . Pruebe que f debe ser continua en x̂0 .
25. Sea f : A ⊂ Rn → R. Se dice que f es homogénea de grado p ∈ N si f (λx̂) = λp f (x̂) para toda λ ∈ R
y toda x̂ ∈ A tales que λx̂ ∈ A. Prueba que, si f es derivable en x̂0 ∈ A, entonces x̂0 ·∇f (x̂0 ) = pf (x̂0 )
(este resultado es conocido como el teorema de Euler para funciones homogéneas).
26. Da una estimación para las siguientes cantidades. Justifica tu respuesta.
i) (0.99e0.02 )8
ii) (0.99)3 + (2.01)3 − 6(0.99)(2.01)
iii) ((4.01)2 + (3.98)2 + (2.02)2 )1/2
27. El capitán Nemo está en problemas cerca de la parte soleada de Mercurio. La temperatura del casco
2
2
de su nave, cuando se localiza en el punto (x, y, z), está dada por la función T (x, y, z) = e−x−2y −3z ,
donde x, y y z están medidos en metros. Si la nave se encuentra en el punto (1, 1, 1):
(a) ¿en qué dirección debe mover la nave para que la temperatura decrezca más rápidamente?
(b) si la nave viaja a e8 metros por segundo, ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura si se mueve
en la dirección del inciso anterior?
(c) desafortunadamente,
el metal del casco se fracturará si este se enfría a una razón mayor de
√
14e2 grados por segundo. Describa el conjunto de posibles direcciones en las que se puede
mover la nave para que la temperatura decrezca a una razón menor que ésta.
28. Sean f, g : R3 → R. Supóngase que f es derivable y que ∇f (x̂) = g(x̂)x̂ para toda x̂ ∈ R3 . Prueba
que las esferas en R3 con centro en el origen están contenidas en los conjuntos de nivel de f , es decir,
que f es constante sobre estas esferas.
29. Calcule el plano tangente a las superficies determinadas por las siguientes ecuaciones, en el punto
indicado:
(a) x2 + 2y 2 + 3xz = 10 en (1, 2, 1/3)
(b) xez + yz = 1 en (1, 1, 0)
(c) z = cos(x) sen(y) en (0, π/2, 1)