1.- Primitiva de una función(28.01.2015)

1.- Primitiva de una función(28.01.2015)

1.- Primitiva de una función (28.01.2015)
1.1. Definición. Sea f : I → R. Se dice que F : I → R es una primitiva de f si F
es derivable y F 0 = f en I. En ese caso escribimos
Z
F (x) = f (x)dx
Si F es una primitiva de f en I, entonces f admite como primitivas a las funciones
F + K, ∀K ∈ R, y sólo a ellas. En efecto:
a) Si F es primitiva de f, (F + K)0 = F 0 = f .
b) Si G0 = f , entonces (G − F )0 = G0 − F 0 = 0 =⇒ G − F = K =⇒ G = F + K.
1.2. Condición necesaria para la existencia de primitiva.
• En “La derivada como lı́mite de derivadas” (CI1, tema IV) se demostró lo siguiente:
Sea f : I → R, definida en I = [a, a + δ). Si f es continua en I, derivable en I \ {a}
y ∃ lı́m+ f 0 (x), entonces f es derivable en a+ y se cumple: f 0 (a+ ) = lı́m+ f 0 (x)
x→a
(análogamente para el caso correspondiente con a− ).
x→a
Esta es una condición suficiente. Si existe lı́mite, f es derivable. Pero puede ocurrir
que no exista lı́mite y f sea derivable.
0 −
0
• Sea f derivable en I. Entonces ∃f 0 (x0 ) ∀x0 ∈ I, luego ∃f 0 (x+
0 ) = f (x0 ) = f (x0 ).
En este caso existen dos opciones:
- ∀x0 ∈ I existen los lı́mites laterales de f 0 (x), que deben coincidir con f 0 (x0 )
por el teorema anterior, y la función f 0 es continua en I.
- En algún punto de I no existe alguno de los lı́mites laterales, con lo que f 0
tiene en dicho punto una discontinuidad de 2a especie.
• Ası́ pues, si una función es derivable, su derivada puede ser discontinua en algún
punto, porque no exista algún lı́mite lateral; pero no puede tener discontinuidades de salto (lı́mites laterales distintos). Por lo tanto, que una función sea
discontinua no impide que tenga primitiva, pero si f tiene una discontinuidad
de salto en un punto a ∈ I, no tiene primitiva en I.
(
1 , x 6= 0
x2 sen x
• Ejemplo 1: Sea la función f (x) =
0,
x = 0.
1 − cos 1 , ∀x 6= 0 y f 0 (0) = 0.
Calculando la derivada, obtenemos f 0 (x) = 2x sen x
x 1
0
0
Esta función f no es continua en x = 0, pues: lı́m f (x) = lı́m − cos
.
x→0
x→0
x
A pesar de ello, tiene primitiva (f ), continua y derivable en todo R.


0≤x<1
0,
• Ejemplo 2: Compruébese que la función continua F (x) = x − 1,
1≤x<2


2x − 3,
2≤x<3
es primitiva de y = E(x) en los intervalos (0,1),(1,2) y (2,3). Sin embargo, F no
es derivable en los puntos de discontinuidad de E(x).