1.- Expresiones algebraicas 2.- Monomios y polinomios

1.- Expresiones algebraicas 2.- Monomios y polinomios

3º ESO – UNIDADES 5 y 6.- POLINOMIOS. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ
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1.- Expresiones algebraicas
Concepto de expresión algebraica
Una expresión algebraica está formada por números y letras relacionados por operaciones de suma,
resta, multiplicación, división, potencia o raíz.
Ejemplos: 3x2 – x + 2 ,
2a – 3 b
,
3x  1
,
2y  3
5m2 + n– 1 son expresiones algebraicas
Las letras que aparecen en una expresión algebraica se llaman variables.
Las expresiones algebraicas permiten expresar de forma simple un enunciado.
Por ejemplo, “el doble de un número menos su cubo” se puede expresar así: 2x – x3
siendo x el número desconocido
Ejercicio 1 Traduce al lenguaje algebraico:
a) La tercera parte del cuadrado de un número menos el doble de su cubo
b) El área de la figura formada por un cuadrado de lado “x” y un triángulo rectángulo de catetos a, b
c) Llevo monedas de 2 € , de 20 céntimos y de 50 céntimos
Valor numérico de una expresión algebraica
Es el valor que se obtiene cuando se sustituyen las variables por números dados y después se hacen
las operaciones.
Por ejemplo, el valor numérico de la expresión A(x) = –3x2 + 2x + 6 para x = –2 es:
A(–2) = –3.(–2)2 + 2. (–2) + 6 = –3.4 + 2. (–2) + 6 = –12 – 4 + 6 = –10
Ejercicio 2 Halla el valor numérico del polinomio 3a4b2 + 5a2b3 + a3 – 2 , para a = –1, b = –2
2.- Monomios y polinomios
Monomio
Es una expresión algebraica que consta de una parte numérica llamada coeficiente seguida de una
parte con letras y exponentes enteros no negativos llamada parte literal
Los elementos de un monomio están multiplicando y no hay sumas ni restas.
El grado de un monomio es el exponente, si sólo hay una letra o la suma de los exponentes, si hay
varias letras
Dos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
Por ejemplo, 3x2 , –5x2 son semejantes, pero 2x2 , 2x3 no lo son
Polinomio
Es una expresión algebraica formada por la suma/resta de monomios no semejantes.
Cada monomio se llama término del polinomio.
Si en un polinomio hay algún término formado por un sólo número, este término se llama término
independiente.
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.
Por ejemplo, 3abc4 + a2c3 – 7 es un polinomio de grado 6
Según el número de términos de un polinomio, se llama: binomio si tiene dos términos, trinomio, si
tiene tres, etc. Por ejemplo, 5x4 + 3x3 – 7 es un trinomio de grado 4 y término independiente – 7
Hacer ejercicios correspondientes, de la ficha
3.- Suma, resta y producto con monomios y polinomios
Suma y resta de monomios
Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma
parte literal.
Ejemplos:
3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2
x3 – 7x3 = (1 – 7)x3 = – 6x3
–ab2 – 5ab2 + 4ab2 = –2ab2
Suma y resta de polinomios
Para sumar o restar polinomios se reducen los términos semejantes realizando las sumas/restas de
los mismos.
Ejemplo:
3
3
2
2
(7x – 3x – 6) – (2x + 10x – 4) + (x – 4x + 1) = 7x3 – 3x – 6 – 2x3 – 10x2 + 4 + x2 – 4x + 1 =
= (7x3 – 2x3) + (–10x2 + x2) + (–3x – 4x) + (–6 + 4 + 1)
=
5x3 – 9x2 – 7x – 1
Ejercicio 3 Efectúa 3m2n – mn2 – 7m2n – mn2 + 2m2n
Producto de monomios
Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las partes
literales.
Ejemplos:
(6x4).(–5x7) = 6.(–5) x4+7 = –30x11
–3a2bc.( –2ab3) . (–b2c) = –6a3b6c2
Producto de monomio por polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva
multiplicando el monomio por cada término del polinomio.
Ejemplo: 2x(3x2 – 5x + 2)
=
2x.3x2 – 2x.5x + 2x.2
=
6x3 – 10x2 + 4x
Ejercicio 4 Realiza: 2a2bc3 . (a3 – 2b + 3c)
Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, multiplicando cada término de un
polinomio por todos los términos del otro.
Ejemplo:
2
(5x – 4x + 6).(3x – 7) = 5x2(3x – 7) – 4x(3x – 7) + 6(3x – 7) =
= 15x3 – 35x2 – 12x2 + 28x + 18x – 42
=
15x3 – 47x2 + 46x – 42
Si tuviésemos que multiplicar tres polinomios, se multiplican dos de ellos y el resultado se multiplica
por el tercero.
Por ejemplo, (2x – 1)(3x + 1)(x + 2) = (6x2 – x – 1)(x + 2) = 6x3 + 11x2 – 3x – 2
Ejercicio 5 Una parcela de 20 m de largo y 10 m de ancho está rodeada por un camino de anchura
uniforme.
a) Halla el polinomio que expresa el área del camino
b) Usando el polinomio anterior, calcula el área del camino sabiendo que tiene 3 m de anchura.
Hacer ejercicios correspondientes, de la ficha
Página 2
4.- Potencia de monomios y polinomios
Potencia de un monomio
Para calcular la potencia de un monomio se elevan al exponente el coeficiente y la parte literal.
Por ejemplo, (3x5)2 = 9 x10
La regla es: (Axm)n = An xmn
Potencia de un polinomio
Para calcular una potencia de base un polinomio, se multiplica el polinomio tantas veces como
indique el exponente.
Ejemplo:
(x2 – x + 5)2 = (x2 – x + 5)(x2 – x + 5) = x4 – 2x3 + 11x2 – 10x + 25
Igualdades notables
Cuadrado de una suma
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Ejemplos:
(5x + 4)2
= (5x)2 + 2.5x.4 + 42 =
(3y2z + 2xyz)2
=
25x2 + 40x + 16
(3y2z)2 + 2.3y2z.2xyz + (2xyz)2
=
9y2z2 + 12xy3z2 + 4x2y2z2
Cuadrado de una diferencia
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
Ejemplos:
(2x – 7)2
=
(ab2c – a2b)2
(2x)2 – 2.2x.7 + 72
=
=
4x2 – 28x + 49
(ab2c)2 – 2.ab2c.a2b + (a2b)2
=
a2b4c2 – 2a3b3c + a4b2
Suma por diferencia
(A + B)(A – B) = A2 – B2
Ejemplos:
(4x + 9)(4x – 9) = (4x)2 – 92 = 16x2 – 81
(3m + 2pq)(3m – 2pq) = (3m)2 – (2pq)2 = 9m2 – 4p2q2
Operaciones combinadas con polinomios
Para realizar operaciones combinadas con polinomios se sigue el siguiente orden:
1º) Se hacen las potencias 2º) Se hacen las multiplicaciones 3º) Se reducen los términos semejantes
Ejercicio 6 Realiza las siguientes operaciones combinadas:
a) 5x3 – (1 – 5x3)(1 – 2x) – (7x4 – 1)(x3 + 2x2 + 5)
b) (3x – 2)2 + 5x(x + 2)(x – 2) – (x + 3)2 + 2(3x – 1)(x2 + x – 2) – (2x – 3)2
Ejercicio 7 Dados los polinomios P(x) = 3x2 + 2x – 5 , Q(x) = –x2 + 3x – 2 , R(x) = 7x – 3 ,calcula:
[ P(x) – R(x) + 2.Q(x) ] . R(x)
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Página 3
5.- Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de otros polinomios del menor grado posible.
Hay varias técnicas para factorizar un polinomio
Técnica de sacar factor común
Basándose en que el área de las dos figuras es la misma: a.b + a.c = a.(b + c)
El factor común es “a”
Ejemplos: x4 + 2x3 = x3(x + 2)
3x3 – x2 = x2(3x – 1)
Hacer ejercicio correspondiente, de la ficha
Técnica de las igualdades notables
Consiste en expresar el polinomio, si es posible, de la forma (A + B) 2 ó (A – B)2 ó (A + B)(A – B)
Ejercicio 8 Factoriza, usando las identidades notables:
a) x2 + 10x + 25
b) x2 – 14x + 49
c) x2 – 36
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Técnica de la regla de Ruffini
La regla de Ruffini es un método para dividir un polinomio entre un binomio del
tipo (x + a) ó (x – a)
Ejercicio 9 Divide por la regla de Ruffini: a) (–5x3 + 2x – 1) : (x – 2)
b) (2x2 – 5x + 1) : (x + 3)
Mediante la regla de Ruffini se pueden factorizar polinomios en algunos casos pues si el resto de la
división p(x) : (x – a) es 0  p(x) = (x – a). c(x), siendo c(x) el cociente de la división.
De esta forma el polinomio p(x) está expresado como producto de dos polinomios
Se puede demostrar que el resto sólo puede ser 0 cuando “a” es un divisor del término
independiente del polinomio.
Ejercicio 10 Factoriza, usando la regla de Ruffini: a) x2 + 5x – 6
b) x2 – 2x – 15
c) x2 – 10x – 11
Hacer ejercicios correspondientes, de la ficha
Factorización de polinomios por varias técnicas
Ejercicio 11 Factoriza los siguientes polinomios: a) x3 – 16x2 + 81x
c) x3 + 11x2 + 24x – 36
d) x4 – x3 – 64x2 + 64x
b) x4 – 5x3 + 4x2
e) x4 – 4x3 + 2x2 + 4x – 3
Hacer ejercicios correspondientes, de la ficha
Página 4
f) 9x3 + 12x2 + 4x